EFFETTO DELLA RIASSICURAZIONE TRADIZIONALE E FINANZIARIA SUL LIVELLO DI SOLVIBILITA DI UNA COMPAGNIA D ASSICURAZIONE DANNI.

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1 EFFETTO DELLA RIASSICURAZIONE TRADIZIONALE E FINANZIARIA SUL LIVELLO DI SOLVIBILITA DI UNA COMPAGNIA D ASSICURAZIONE DANNI. INDICE Introduzone...pag. 1 Captolo 1. Aspett general della rasscurazone tradzonale. Premessa. pag Natura gurdca e dscplna..pag Rasscurazone proporzonale:...pag Il trattato quota globale ( quota share ) pag Il trattato per eccedente d somma ( surplus ).. pag Rasscurazone non proporzonale :..pag Modaltà del calcolo del premo rasscuratvo. pag Rasscurazone per eccesso d sngolo snstro ( excess of loss ).pag Rasscurazone per eccesso d perdta ( stop loss )..pag Rasscurazone per eccesso d dann global ( umbrella XL )..pag La rserva snstr :...pag Stma della rserva snstr con l metodo della catena (metodo d Chan Ladder ). pag. 44 Captolo. Studo varable aleatora del costo snstr aggregato, X ~,secondo l approcco collettvo della teora del rscho classca Premessa pag Dstrbuzone della varable aleatora numero de snstr, N ~, secondo l processo d Posson Puro...pag. 5 1

2 . Dstrbuzone della varable aleatora numero de snstr, N ~, secondo l processo d Posson Msto..pag Dstrbuzone della varable aleatora costo del sngolo snstro, Z ~...pag Dstrbuzone composta della varable aleatora del costo snstr aggregato, X ~...pag. 76 Captolo 3. Studo dell andamento della rserva d rscho, della probabltà d rovna e della solvbltà d una compagna ramo ann. Premessa pag Studo dell andamento della rserva d rscho, U ~, e della relatva probabltà d rovna, nel breve e nel lungo perodo Anals d breve perodo del processo d rscho U ~ pag Stma del captale a rscho U r.pag Alcune relazon per la determnazone del lmte d conservazone M n funzone d altr varabl pag Anals d lungo perodo del processo d rscho U ~ t...pag Stma della rserva d rscho medante le smulazon...pag Poltca d rtenzone ottma della cedente secondo l crtero dell utltà attesa : cenn. pag La rasscurazone tradzonale e fnanzara : uno strumento d consoldamento del margne d solvbltà dsponble...pag. 138 Captolo 4. Aspett general della rasscurazone fnanzara. Premessa...pag Trattat prospettc Il trattato fnanzaro proporzonale ( fnancal proportonal cover )...pag Il trattato fnanzaro eccesso d snstr aggregato prospettco ( spread loss )...pag. 155

3 4. Trattat retrospettv Il trattato d trasfermento delle rserve snstr ( Loss Portfolo Transfer ) pag I dervat asscuratv. Premessa...pag I futures asscuratv pag Le optons catastrofal...pag. 174 Concluson...pag. 180 Bblografa pag

4 RINGRAZIAMENTI 4

5 INTRODUZIONE La rasscurazone è l contratto con l quale l asscuratore trasfersce una parte del rscho, o de rsch assunt n portafoglo, ad un altro asscuratore (rasscuratore), rducendo pertanto la propra esposzone aleatora. Il presente lavoro rsulta suddvso n quattro part. Nella prma parte, preva spegazone d alcun concett base e delle motvazon che possono spngere l asscuratore a comprare una copertura rasscuratva, vengono analzzat trattat d rasscurazone tradzonale (quota globale, per eccedente d somma, excess of loss, stop loss, umbrella XL). Per cascuno d ess, s esamna la modaltà d cessone de rsch, la determnazone del premo da corrspondere al rasscuratore, l mpegno aleatoro conservato dalla cedente e, a lvello teorco, benefc e gl scapt, sa per la cedente che per l rasscuratore, dervant dal loro utlzzo. In merto, s presta partcolare attenzone al loro grado d semplctà operatva, all mpatto sulla varabltà del portafoglo, nonchè a margn d proftto potenzalmente consegubl dalle part. Nella seconda e terza parte s fa rfermento alla teora del rscho classca, come strumento d anals per l management d una generca compagna asscuratva, nel nostro caso ramo dann. Sulla base d tale strumento, nella seconda parte, sono state studate le varabl aleatore N ~, Z ~, X ~, rspettvamente numero totale de snstr n portafoglo, costo del sngolo snstro, costo snstr aggregato, al fne d 5

6 poter analzzare e stmare, nella parte successva, l andamento, nel breve e nel lungo perodo, della rserva d rscho, l proflo della sua solvbltà. u~ t, della compagna, nonché In partcolare, nella seconda parte, unvocamente dal punto d vsta della cedente, è stata focalzzata l attenzone sulle relazon ntercorrent tra l lmte d conservazone del sngolo snstro* e moment prncpal della varable aleatora Z ~, e, qund,nella parte successva, vene analzzato l mpatto che tale lmte d conservazone ha sul processo d rscho u~ t, ovvero sulla probabltà d rovna della compagna stessa. S è voluto approfondre lo studo del suddetto mpatto medante l supporto nformatco del lnguaggo d programmazone Matlab, che c ha consentto d ottenere delle smulazon d u~, varando gl scenar d rscho. In partcolare, potzzando un portafoglo statco negl ann, una poltca rasscuratva d tpo quota globale e attrbuendo opportune dstrbuzon d probabltà alle varabl aleatore present nel modello, N ~, Z ~, X ~, è stato possble analzzare rsultat e moment prncpal della rserva d rscho al varare della quota d conservazone e delle commsson d rasscurazone ; cò ha consentto, qund, d poter conoscere la stratega mglore tra tre potetche stratege proposte coè quella che massmzza l valore atteso degl utl, ma che, al contempo, rende mnma la varabltà del portafoglo consderato. Nella quarta parte, preva spegazone de motv che possono ndurre l asscuratore a rcorrere ad una copertura rasscuratva non tradzonale, rconducbl per lo pù al bsogno d rdurre le fort fluttuazon fnanzare e d reddto tpche de blanc asscuratv, vengono analzzat trattat d rasscurazone fnanzara ( fnancal proportonal cover, t 6

7 *Il lmte d conservazone può rferrs anche al sngolo rscho o alla globaltà de rsch - o snstr - generat dal portafoglo. spread loss,loss portfolo transfer) e dervat asscuratv. Per cascun trattato s è cercato d esamnare, come nel caso della rasscurazone tradzonale, le modaltà d cessone de rsch, del calcolo del premo e l mpegno aleatoro conservato dalla cedente. Al fne d studare l mpatto che tal trattat nducono su rsultat d blanco, sono stat rportat opportun esemp numerc, n cu s è focalzzata l attenzone sulla varazone d alcun ratos (prem/surplus, expense rato, loss rato, combned rato), a seguto dell applcazone de suddett trattat. Infne, per meglo comprendere la funzone e la funzonaltà de dervat asscuratv, s è rtenuto necessaro confrontarl con trattat d rasscurazone tradzonale. Nell ambto della realtà gestonale asscuratva, le poltche d rasscurazone sono da esamnars, qund, come potenzal stratege atte ad aumentare la solvbltà d una compagna; tale obettvo sarà l flo conduttore d tutta la trattazone. 7

8 CAPITOLO 1 Captolo 1 Aspett general della rasscurazone tradzonale. Premessa : la rasscurazone è l contratto con l quale l asscuratore (rasscurato) trasfersce una parte del rscho o de rsch assunt ad un altro asscuratore. La rasscurazone, come la coasscurazone, è uno degl strument tpc, prevst dal codce cvle, per la rpartzone del rscho tra pù asscurator. Mentre nella coasscurazone l rscho vene assunto pro quota da coasscurator al momento della stpula del contratto d asscurazone, nella rasscurazone l rscho è assunto dall asscuratore, che provvede alla sua rpartzone medante la stpulazone d un successvo contratto con un altro asscuratore. Ne consegue che, a dfferenza della coasscurazone, la rasscurazone è un contratto al quale l asscurato rmane estraneo e che, pertanto, non crea rapport tra quest ultmo e l rasscuratore (1). Gurdcamente cò che rleva, a fn della dstnzone tra le due fattspece, è la poszone dell asscurato. esamnato Rasscurazone è anche la cosddetta retrocessone, termne con l quale s desgna l contratto con l quale l rasscuratore rasscura, a sua volta, rsch rasscurat presso un secondo (o un terzo o un quarto e così va ) rasscuratore. Cerchamo ora d spegare le ragon che nducono l asscuratore a rcercare a sua volta una copertura ( o asscurazone d seconda fase ) rpartendo, n sostanza, l rscho o rsch del suo portafoglo con altr soggett operant sul mercato. (1) art. 199 codce cvle. 8

9 CAPITOLO 1 Un qualsas soggetto ( ndvduo, famgla, mpresa, ecc ) presso l quale sano localzzat cert rsch, può trasferre ad altr soggett ( almeno parzalmente ), alcun de rsch.tale trasfermento sarà attuato quando l complesso d rsch che l soggetto dovrebbe sopportare, supera un lvello da lu rtenuto accettable. La capactà d conservazone de rsch, dpende da var fattor, tra qual, ha un evdente ruolo, l ammontare de mezz fnanzar ( e, n partcolare, d captale propro ) che possono essere utlzzat per coprre la possbl conseguenze de rsch stess. Il trasfermento de rsch avvene tpcamente medante la stpulazone d opportun contratt d asscurazone, l soggetto che s accolla rsch è dunque un asscuratore. Come gà detto, anche una compagna d asscurazone può trovars nelle condzon d rtenere convenente operare una rduzone della propra esposzone aleatora, cedendo parte de propr rsch assunt, coè rasscurandos. Per effetto d tale scelta, l asscuratore dovrà pagare un prezzo per l servzo d trasfermento del rscho, l premo d rasscurazone, pertanto, mentre vedrà dmnure la varabltà e qund l rscho del propro portafoglo, dovrà rpartre con l rasscuratore gl utl attes n msura dpendente dalle condzon del trattato. A volte, però, l sacrfco degl utl potrebbe essere consderato eccessvo dal management della compagna, n partcolare può accadere che, nonostante la varabltà della rserva d rscho ( n altre parole l patrmono netto della compagna ) s rduca ad un lvello adeguato per la compagna stessa, l valore atteso della stessa rserva d rscho s rduca n una msura così elevata da causare un aumento della probabltà d rovna della compagna, anzché una dmnuzone, pertanto, al fne d rdurre la propra esposzone aleatora la compagna potrebbe adottare altre stratege. 9

10 CAPITOLO 1 I rapport d rasscurazone possono essere varamente regolamentat. Generalmente l rapporto rasscuratvo può svolgers dal punto d vsta della cedente, e rspettvamente del cessonaro, su base : 1) facoltatva / facoltatva (rasscurazone facoltatva) ; ) obblgatora / obblgatora (rasscurazone obblgatora ) ; 3) facoltatva / obblgatora (rasscurazone facob). Nel caso (1) la cessone ha luogo contratto per contratto, secondo le esgenze della compagna cedente, la quale fornsce tutte le nformazon relatve al sngolo rscho ; l rasscuratore può non accettare la cessone. Questo tpo d cessone è assa complcato e laboroso : la produzone della documentazone necessara, la rcerca de rasscurator dsponbl, temp d valutazone del rscho etc rendono la procedura lunga e costosa. Per semplfcar lo svolgmento dell attvtà rasscuratva, esste l trattato d rasscurazone. Nel seguto m propongo d trattare l tema della rasscurazone consderando solo trattat d rasscurazone e precsamente l caso (). Ne cas () e (3) appunto, l rapporto rasscuratvo è regolamentato da un contratto d rasscurazone, stpulato tra cedente e cessonaro, chamato trattato. Il trattato d tpo () obblga la cedente a trasferre assegnate quote d rsch e l rasscuratore ad accettarle. Il trattato d rasscurazone permette qund d rasscurare rsch a pror, ovvero permette alla cedente d sottoscrvere un rscho e d averlo automatcamente rasscurato da parte d que rasscurator che abbano stpulato l trattato. Un trattato d tpo (3), nvece, mpegna solamente l rasscuratore ad accettare, entro prefssat lmt e opportune clausole d accordo, le quote d contratt che la cedente decde d rasscurare. Sulla scorta d quanto detto, un rapporto d tpo obblgatoro / facoltatvo sarebbe prvo d sgnfcato concreto.s not che la stpulazone d un trattato asscuratvo d tpo () 10

11 CAPITOLO 1 o (3) dà all asscuratore che ntende cedere parte de propr rsch la certezza d poterlo fare ( almeno parzalmente, coè entro cert lmt d accettazone del trattato ).La presenza d un trattato è dunque necessara affnché l asscuratore possa accettare contratt d captale molto elevato. D altra parte, se l asscuratore dovesse sottoscrvere rsch fno al lmte massmo della sua capactà, potrebbe sottoscrvere rsch d enttà lmtata. Il poter dsporre della forza economca de suo rasscurator s traduce n una crescta della capactà d sottoscrzone che consente, qund, all asscuratore d sottoscrvere parte de rsch n msura superore a quanto potrebbe fare contando solo sulle sue dsponbltà economche e fnanzare. Inoltre, ogn asscuratore, per l equlbro della sua gestone, deve far s che la probabltà teorca del verfcars d un dato evento dannoso (snstro), s avvcn l pù possble alla sua probabltà statstca. Al fne d consegure tale rsultato, deve aumentare l numero de cas n gestone al punto da rdurre al mnmo tale dfferenza. Dato che per la legge de grand numer è meglo per la compagna avere n portafoglo un grande numero d pccol rsch, puttosto che un pccolo numero d grand rsch, è nteresse dell asscuratore mantenere l portafoglo quanto pù omogeneo possble, rducendo qund l esposzone de rsch grand e rcorrendo, pertanto, ad approprate stratege, tra cu la rasscurazone. Infne, un altro aspetto fondamentale della rasscurazone è quello d dare stabltà a rsultat economc e fnanzar della cedente, proteggendo l suo surplus da shock dervant da un numero rlevante d snstr o da un snstro catastrofale. Attutre le fluttuazon d tal rsultat s traduce pertanto nel fatto d aumentare la solvbltà della cedente, dmnuendone, qund, la probabltà d rovna. Un modo d classfcare le forme d rasscurazone rguarda la modaltà 11

12 CAPITOLO 1 d cessone de rsch e la determnazone de prem da corrspondere al rasscuratore. S parla d rasscurazone proporzonale quando l rasscuratore s mpegna a rmborsare alla cedente la quota parte d rsarcmento da questa effettuata per un snstro, che è par alla quota parte d premo rcevuta n cessone. Quando nvece non esste un rapporto dretto tra premo rcevut n cessone e rmbors alla cedente, s parla d rasscurazone non proporzonale. Mentre nella versone proporzonale, l ntervento del rasscuratore n caso d snstro è certo, rmanendo aleatora, alla stpula del contratto, la sua enttà, nell altro caso l ntervento, come vedremo, è eventuale. Pertanto, nel prmo caso s ha una rpartzone de rsch, nel secondo una rpartzone de dann. S dstnguono ulterormente le forme ndvdual, coè rferte al rscho sngolo, da quelle global che rguardano l ntero portafoglo. Così, per la rasscurazone non proporzonale cosddetta d eccesso, nelle forme pù tradzonal, s dstngue l caso d eccesso snstro sngolo ( o con termne anglosassone, nternazonalmente usato, excess of loss spesso abbrevato nella sgla XL ) da quell d eccesso d perdta ( stop loss ), eccesso d dann aggregato ( aggregate XL )che s dfferenza dal precedente per l fatto che l ammontare rasscurato vene ndcato con un lmte monetaro, anzché percentuale, mentre per la rasscurazone proporzonale s parla d rasscurazone n quota ( quota share ) nel caso globale, rspettvamente per eccedente d somma ( surplus ) n quello ndvduale. Nella pratca, po, come vedremo nel seguto della trattazone, un portafoglo può venre rasscurato n forme mste d varo tpo. 1

13 CAPITOLO Natura gurdca e dscplna La dscplna codcstca della rasscurazone s rassume n pochssme norme (artt ). L art. 198 regola l regme della prova del contratto. Il trattato d rasscurazone deve essere provato per scrtto, mentre la prova scrtta non è rchesta per la rasscurazone sngola o per l sngolo rapporto posto n essere n esecuzone del trattato. L art. 199, come s è gà accennato, esclude qualsas rapporto tra asscurato e rasscuratore, «salvo le dsposzon specal sul prvlego della massa degl asscurat», vale a dre l prvlego specale, prevsto dall art. 85 t.u. a favore della massa degl asscurat, sulle somme dovute dal rasscuratore n caso d lqudazone coatta ammnstratva dell asscuratore-rasscurato. Gl art regolano recproc rapport delle part n caso d lqudazone coatta ammnstratva. La prma norma rsolve una questone molto dbattuta, vgente l codce d commerco, e coè se, n caso d lqudazone coatta ammnstratva dell asscuratore-rasscurato, l rasscuratore fosse tenuto a pagare al prmo ntegralmente gl ndennzz dovut, ndpendente dall effettva enttà delle somme pagate dalla lqudazone a questo ttolo agl asscurat. L art dspone espressamente che l rasscuratore deve pagare ntegralmente l ndenntà dovuta, ma fa salva la compensazone con prem e gl altr credt verso l rasscurato. L art prevede, sa per l caso d lqudazone coatta del rasscuratore che per l caso d lqudazone del rasscurato, la compensazone d drtto tra credt e debt recproc che, alla fne della lqudazone, rsultano dalla chusura de cont relatv a pù contratt d rasscurazone. La scarna normatva del codce non rsolve l problema della dscplna 13

14 CAPITOLO 1 applcable al rapporto. D qu l dbattto sulla natura gurdca della rasscurazone. La collocazone degl artcol all nterno della dscplna del contratto d asscurazone suggersce la qualfcazone asscuratva del contratto. E n effett la rasscurazone vene d regola consderata un asscurazone dell asscuratore. S dscute se s tratta d un asscurazone contro dann, o vceversa d un asscurazone che segue la natura dell asscurazone d base (ass. dann o ass. vta), o ancora se s tratta d una sottospece delle asscurazon contro dann (asscurazone del patrmono o d resp. cv.) o d un sottotpo partcolare d contratto d asscurazone dverso dall asscurazone dann e dall asscurazone vta. Va però rlevato che gl artt 198 ss. non contengono alcun rnvo alle norme sull asscurazone. Il dbattto ha un rlevo pù teorco che pratco. La rasscurazone è regolata essenzalmente dagl us e, segnatamente da us d carattere nternazonale. S tratta d regole costantemente applcate, dalle qual emerge un contratto orgnale, che non può essere assmlato tout court al contratto d asscurazone e, a maggor ragone, non può essere nquadrato n uno de sottotp o de ram dscplnat dal codce (ass. dann, ass r.c., ass dann o ass. vta a seconda del rscho asscurato). 1. Rasscurazone proporzonale. Premessa E utle rbadre che s parla d rasscurazone proporzonale quando l rasscuratore s mpegna a rmborsare alla cedente la quota parte d rsarcmento da questa effettuata per un snstro, che è par alla quota parte d premo rcevuta n cessone. Focalzzamo l dscorso con la seguente descrzone formale : sano X ~ 1, X ~,, X ~ n gl mpegn aleator 14

15 CAPITOLO 1 relatv agl n contratt che fgurano nel portafoglo della cedente e sa X ~ = =1,,,n (1) N ~ h = 0 () Z ~ h l mpegno aleatoro dell asscuratore all atto dell assunzone del rscho (contratto) -esmo, dove N ~ è l numero aleatoro d snstr che possono colpre nel corso dell anno l rscho -esmo e Z ~ h è l rsarcmento ~ aleatoro del snstro h-esmo. Consderamo Γ l mpegno aleatoro conservato dalla cedente sul totale mpegno X ~. Conseguentemente, l mpegno accettato dal rasscuratore per quel rscho è X Indcheremo con Γ ~ ~ ~ - Γ. l mpegno conservato dall asscuratore sull ntero portafoglo. Nel caso d rasscurazon proporzonal, avremo : 1) rasscurazone globale n quota ( quota share ) n Γ ~ = Γ = a = a 0 a 1 (1.1) = 1 ~ n = 1 n N ~ X ~ () Z ~ h = 1 h= 0 ) rasscurazone per eccedente d somma (surplus) n Γ ~ = Γ = = a 0 a 1, (=1,, n) (1.) = 1 ~ n = 1 a X~ n N ~ Z~ h = 1 h= 0 () Sa l valore asscurato o l massmale garantto per ogn rscho - M esmo, seguent mport cert, rspettvamente nel caso 1) e ) : a = a max ( M a h () Z ~ ; M ) (1.3) M = a max ( () Z ~ ; ) (1.4) h M sono dett pen d conservazone. Pertanto appare charo che l mpegno del rasscuratore, per ogn snstro che colpsca l -esmo rscho, è par a (1-a) () Z ~, nel prmo caso e par a (1-a ) ( Z ~ ), nel secondo. Una h volta fssat pen, la cedente trasferrà al rasscuratore l rscho o rsch da le non copert, cedendo altresì part proporzonal de prem ntrotat.come gà detto, l rasscuratore accettato quanto trasfertogl h 15

16 CAPITOLO 1 dalla cedente, potrà a sua volta retrocedere parte de rsch presso altr rasscurator, dett appunto retrocessonar. Il rasscuratore dovrà, noltre, corrspondere adeguate provvgon alla cedente, vale a dre una commssone, n percentuale de prem rasscurat, a copertura de cost d acquszone e della gestone de rsch e de snstr. Questa percentuale può essere determnata a pror (commssone fssa), o a posteror (commssone a scalare). Ovvamente, la modaltà d calcolo della commssone a posteror deve essere prevsta a pror nel contratto e, n questo caso, è necessaro stablre una commssone provvsora al cu aggustamento s procederà a fne eserczo, una volta conoscut dat prevst dalla formula per la determnazone della percentuale defntva.generalmente, quest ultma è defnta entro un range d varazone, nversamente proporzonale al loss rato (rapporto snstr a prem d competenza dell eserczo). Questo consente alla cedente d ottenere proftt maggor d quell attes, mentre tutela l rasscuratore da una snstrostà partcolarmente avversa. Esempo 1- commssone a scalare. Supponamo che la formula per l calcolo delle commsson sa data da () : RL RCR = PRCR SF (1 PRCR RM) 1.A RP sub mn RCR RCR max RCR, dove : RCR = (rensurance cedng commsson rate) commsson d rasscurazone n percentuale de prem. PRCR = (provsonal rensurance commsson rate ) commsson d rasscurazone provvsore = 33% () Formula tratta da : Savell N. (00): Rsk analyss of a non-lfe nsurer and tradtonal rensurance effects on the solvency profle, presented at 6 th Internatonal Congress on Insurance, Mathematcs and Economcs, Lsbon. 16

17 CAPITOLO 1 SF = slde factor = 50% RL = (rensurance loss / rensurance premum) = rapporto snstr a RP prem a carco del rasscuratore. RM = (rensurer s margn) = margne d proftto del rasscuratore = 5% mn RCR = valore mnmo d RCR = 5% max RCR = valore massmo d RCR = 35%. RL Se potzzamo che l rapporto sa una varable aleatora d tpo RP Gamma, calcolandone meda e varanza, è possble rsalre alla sua dstrbuzone d probabltà. Post lmt d RCR, n accordo con la RL formula 1.A., al varare d, vareranno, n modo nversamente RP proporzonale, le commsson. Può verfcars, noltre, che l rasscuratore non accett che parte d quanto rchesto dalla cedente, pertanto quest ultma provvederà a pazzare, con rasscurazone facoltatva o con altro trattato, la parte non ancora accettata. Generalmente, nel caso delle rasscurazon proporzonal, appunto, lvell massm d accettazone del rasscuratore sono msurat n multpl nter de pen. Per fssare le dee e con rfermento ad un certo rscho, sa V l valore asscurato ( o l massmale ) e C l peno conservato dall asscuratore. Se C< V sarà V = nc + S, con n ntero e S < C e l asscuratore chederà la copertura dell mporto (n-1)c + S. Un prmo trattato con un rasscuratore potrà garantre la copertura d m pen (m < n ). Nel caso sano copert m< n-1 pen, rmane scoperto l mporto (n-m-1)c + S che sarà rasscurato con un trattato d secondo eccedente ( o, a seconda del caso, con pù trattat d secondo, terzo eccedente ). 17

18 CAPITOLO 1 Analzzamo ora cas 1) e ) separatamente Il trattato quota globale ( quota share ). Il trattato quota è un accordo nel quale la compagna cedente s obblga a cedere ed l rasscuratore s obblga ad accettare una proporzone prefssata d ogn rscho orgnaramente sottoscrtto dalla cedente. Il rasscuratore condvde ( Obblgo d segure l destno ) proporzonal- mente tutt snstr e rceve la stessa proporzone de prem meno le commsson. A ttolo d esemplfcazone numerca, supponamo, ad esempo, che una compagna decda d stpulare un trattato quota che copra tutte le sue sottoscrzon nel ramo ncendo, conservando l 0% d ogn rscho e che l lmte monetaro per sngolo rscho, (massmale garantto o somma asscurata ), prevsto dal trattato, sa d 800 mlon. Secondo la 1.3 avremo che l peno d conservazone è par a : a = a max ( M Z ~ () h ; M ) = (mlon) pertanto l mpegno del rasscuratore sarà par a : (1-a) () Z ~ h = 0.8 () Z ~ h = 80% ( Z ~ ) h. dove () Z ~ h M Quest ultmo rceverà pertanto l 80% de prem (meno le commsson) e, n base alla 1.1, dovrà pagare n 1- Γ ~ = 1- Γ = 1-a = (1- a) Z ~ h = = 1 ~ n = 1 n N ~ X ~ () = 1 h= 0 n N ~ = 1 h= 0 () 0.8 Z ~ h coè l 80% d tutt snstr che colpranno rsch cedut al trattato. Supponamo noltre che l rasscuratore corrsponda alla cedente una commssone par al 5% de prem cedut. Illustramo quanto detto, nelle seguent tabelle : 18

19 CAPITOLO 1 tabella 1.A Ramo ncendo Lmte monetaro per rscho 800 mlon Conservato cedente 0% Ceduto a rasscurator 80% Commssone rconoscuta alla cedente 5% tabella 1.B Rscho Somma asscurata Conservato Ceduto Conservato addzonale Somma asscurata 1500 Rsch trattato n quota Conservato addzonale Ceduto Conservato Rscho Rsulta evdente che l rscho numero 5 supera l lmte massmo prevsto dal contratto. Pertanto, la parte d questo rscho eccedente d 19

20 CAPITOLO 1 700, non appartene al trattato n quota e, percò, dovrà allora essere rasscurata con un altro contratto o ceduta ad un altro rasscuratore n va facoltatva, o, nfne, essere conservata dalla cedente n aggunta alla sua normale conservazone ( conservazone addzonale ). Osservamo ora cosa succede a prem relatv a rsch prma ndcat : tabella 1.C Rscho Premo Conservato addzonale Commsson sul ceduto Premo Premo Premo orgnale conservato Ceduto 1 8 1,6 6,4 0 1,6 17 3,4 13,6 0 3, ,8 43, 0 10, ,0 5,0 0 13, ,0 64, ,0 Per la regola d cessone proporzonale, anche prem e qund le commsson verranno rpartt proporzonalmente come lmt asscurat. Ad esempo, nel rscho numero 5, l premo conservato è dato da 160/1500 moltplcato per 150 pct. E evdente che le commsson vanno detratte da prem lord, che dventano così prem cedut nett. Grafcamente: 100% 80% 60% 40% 0% % Cessone proporzonale de rsch Conservato addzonale Ceduto Conservato 0% Rsch 0

21 CAPITOLO 1 % 100% 80% Cessone proporzonale de prem Premo conservato addzonale Premo ceduto Premo conservato 60% 40% 0% 0% Rsch Faccamo ora un esempo relatvo a snstr che colpscono rsch analzzat. Tabella 1.D Rscho Ammontare snstro conservato Ammontare snstro ceduto Ammontare snstro conservato addzonale Ammontare snstro Sul rscho numero 5, la parte del snstro a carco del rasscuratore è la rsultante dal rapporto tra l mporto del snstro (100) e la percentuale assunta dal rasscuratore (640/1500). Grafcamente : 1

22 CAPITOLO 1 100% 80% 60% 40% 0% 0% % Cessone proporzonale de snstr Rsch Ammontare snstro conservato addzonale Ammontare snstro ceduto Ammontare snstro conservato Analzzamo, ora, vantagg e gl svantagg dell uso del trattato della rasscurazone n quota : vantagg per la compagna cedente : semplctà operatva. Con poco lavoro ammnstratvo l trattato quota permette alla cedente d sottoscrvere e rasscurare automatcamente tutt rsch fno ad un lmte prefssato, (nel nostro caso 800 mlon ), e, contemporaneamente, d sopportare una esposzone massma nferore a tale lmte, nel nostro caso par a 160 mlon per rscho ; con l trattato quota la cedente raggunge lo scopo d aumentare la propra capactà d sottoscrzone ; dato che questo trattato offre a rasscurator uno spread mglore degl affar, senza antselezone, e che d solto produce pù utl degl altr trattat proporzonal, la cedente, otterrà commsson pù alte che con altr tp d trattato. svantagg per la compagna cedente : la cedente non può varare la sua conservazone per un rscho partcolare e, qund, cede, ndstntamente, prem su rsch pccol

23 CAPITOLO 1 che potrebbe, tranqullamente, conservare per ntero ; la dmensone de rsch conservat non è omogenea, n quanto la cedente conserva una percentuale fssa d tutt rsch sottoscrtt, che sappamo essere d vare dmenson. Qund la cedente non ha mglorato l equlbro del suo portafoglo. vantagg per l rasscuratore : l rasscuratore partecpa, senza antselezone, agl affar sottoscrtt dalla compagna cedente, n msura maggore rspetto agl altr tp d trattato, rcevendo appunto, ndstntamente, una stessa quota d ogn sngolo rscho ; Il rasscuratore ottene una quota potenzale d utl maggore rspetto agl altr tp d trattato. svantagg per l rasscuratore : commsson generalmente pù alte che n altr tp d trattato. Il trattato n quota è lo strumento rasscuratvo che meglo s presta alle nuove compagne cedent o a quelle che nzno ad operare n un nuovo ramo asscuratvo.tale trattato, noltre, essendo quello con l maggor volume d prem cedut, garantsce alla cedente un ncremento del suo tasso d solvbltà (3), maggore rspetto agl altr tp d trattato. Nel seguto approfondremo tale argomento. 3)Uno degl ndc usat per controllare la soldtà d una compagna d asscurazone è la msurazone della sua solvbltà. Essa vene calcolata dalla percentuale data dal captale pù rserve lbere rspetto a prem nett (prem nett =prem lord prem cedut n rasscurazone) 3

24 CAPITOLO Il trattato per eccedente d somma ( surplus ). Come abbamo gà constatato, uno degl svantagg del trattato quota è che non mglora l equlbro del portafoglo conservato, n quanto essa conserva una percentuale fssa d tutt rsch che possono essere d vare dmenson.nel caso d un trattato per eccedente d somma, nvece, la cedente fssa un peno d conservazone, coè l mporto massmo che vuole conservare per ogn sngolo rscho. Generalmente, n questo tpo d trattato, come è gà stato accennato, lvell massm d accettazone (capactà) del rasscuratore sono msurat n multpl nter de pen d conservazone. Per fssare le dee, con rfermento agl n rsch n portafoglo, e secondo la 1.4, sa a M = M (con a=1 e =M per =1,,,n) l peno conservato dall asscuratore per cascun rscho e V l valore asscurato ( o l massmale ). Se M< V sarà V = nm + S, con n ntero e S < M e l asscuratore chederà la copertura dell mporto (n-1)m + S. Un prmo trattato con un rasscuratore potrà garantre la copertura d m pen (m<n ). Nel caso sano copert m< n-1 pen, rmane scoperto l mporto (n-m-1)c + S che sarà rasscurato con un trattato d secondo eccedente ( o, a seconda del caso, con pù trattat d secondo, terzo eccedente ) o n va facoltatva. Sulla scorta d quanto detto, avremo che rsch, d mporto nferore o uguale a M, sono nteramente conservat, mentre quell d mporto superore, per la parte d rscho che eccede l lmte d conservazone, nel nostro caso V-M, verranno cedut n rasscurazone. Per la regola d cessone proporzonale, prem cedut sono n proporzone del rscho ceduto (V-M). A ttolo d esemplfcazone numerca, supponamo che la compagna cedente stablsca un peno d conservazone par a 00 mlon e che la M 4

25 CAPITOLO 1 capactà del rasscuratore sa par a 800 mlon, coè 4 volte l peno d conservazone.pertanto per que rsch nferor o ugual a 00 mlon, l rasscuratore non rceverà alcunché, né, a maggor ragone rsponderà, n alcun modo, de snstr che colpranno tal rsch. Per la regola d cessone proporzonale avremo che : a) per rsch fno a 500 mlon, l rasscuratore rceverà l 60% de prem ( meno le commsson ) e dovrà rspondere, per la medesma proporzone (60%), al pagamento d eventual snstr relatv a tal rsch ; b) per rsch fno a 1 mlardo, l rasscuratore rceverà l 80% de prem ( meno le commsson ) e dovrà rspondere, per la medesma proporzone, al pagamento d eventual snstr relatv a tal rsch ; c) per rsch fno a mlard l rasscuratore rceverà l 40% de prem ( meno le commsson ) e dovrà rspondere, per la medesma proporzone, (40%), al pagamento d eventual snstr relatv a tal rsch. Come nel trattato n quota, quel che supera la capactà del trattato, o vene conservato (conservato addzonale), o è rasscurato con un trattato d secondo eccedente ( o, a seconda del caso, con pù trattat d secondo, terzo eccedente ), o n va facoltatva. Analzzamo, ora, vantagg e gl svantagg dell uso del trattato per eccedente d somma : vantagg per la compagna cedente : la cedente conserva un massmale fsso d ogn sngolo rscho, anzché una quota fssa come nel trattato n quota, pertanto l portafoglo che conserva è omogeneo ed equlbrato ; conservando n ammontare maggore d rsch pccol, (generalmente mglor ), ed un ammontare mnore d rsch grand, (generalmente 5

26 CAPITOLO 1 peggor ), la cedente conserva una potenzaltà d proftto maggore d quanto ne ceda al rasscuratore. svantagg per la compagna cedente : l contratto n eccedente è pù complesso da ammnstrare, dato che bsogna effettuare un calcolo specfco per ogn rscho da rasscurare e per ogn snstro da recuperare ; la commssone è generalmente pù bassa rspetto a quella del trattato n quota. vantagg per l rasscuratore : l unco vantaggo per l rasscuratore è rappresentato dal fatto che l ammontare delle commsson rconoscute alla cedente sono nferor a quelle del trattato n quota. svantagg per l rasscuratore : l rasscuratore rceve un ammontare d rsch grand (generalmente peggor ), rasscurando pertanto un ammontare maggore d rsch con punta molto elevata (rsch d punta), dato che la cedente conserva n maggor parte o nteramente rsch pù pccol ; l ammontare de prem total che l rasscuratore rceve nel trattato eccedente è molto nferore rspetto all ammontare che rceve nel trattato n quota e, soltamente, anche nferore al lmte asscurato. I motv prncpal che possono spngere la cedente a rasscurars con questo tpo d trattato sono rappresentat dal fatto d poter aumentare la propra capactà d sottoscrzone, e, graze alle provvgon, d poter ottenere una stablzzazone de rsultat fnanzar. Tale trattato, noltre, è utlzzato, per lo pù, nelle coperture d propretà d ben, raramente negl altr tp d asscurazone. 6

27 CAPITOLO Rasscurazone non proporzonale. Premessa. Rcordando che la rasscurazone non proporzonale prevede una rpartzone del danno, (e non del rscho ), e che non esste un rapporto dretto tra prem rcevut n cessone e rmbors alla cedente, ntroducamo l dscorso, rprendendo n consderazone la formula (1). Consderamo pertanto l mpegno aleatoro dell asscuratore all atto dell assunzone del rscho (contratto) -esmo : X ~ = () Z ~ =1,,,n N ~ h = 0 h dove gl X ~ ~ 1, X,, X ~ n, rcordamo, sono gl mpegn aleator relatv agl n contratt che fgurano nel portafoglo della cedente, N ~ è l numero aleatoro d snstr che possono colpre nel corso dell anno l rscho -esmo e Z ~ h è l rsarcmento aleatoro del snstro h-esmo. ~ Consderamo Γ l mpegno aleatoro conservato dalla cedente sul totale mpegno X ~, e X ~ ~ - Γ l mpegno accettato dal rasscuratore per quel rscho. Come nel caso della rasscurazone proporzonale, ndcheremo con Γ ~ l mpegno conservato dall asscuratore sull ntero portafoglo. Nel caso d rasscurazon non proporzonal avremo : 1) rasscurazone per eccesso d snstro ( excess of loss XL) Γ ~ n = Γ ~ n N = () ~ mn( Z ~ h ; L ) (1.5) = 1 = 1 h= 0 dove L è un mporto certo detto prortà ; ) rasscurazone per eccesso d perdta ( stop loss ) n Γ ~ = mn X ~,L (1.6); = 1 dove L ha lo stesso sgnfcato d L 3) rasscurazone per eccesso d dann aggregato ( aggregate XL ) che 7

28 CAPITOLO 1 s dfferenza dal precedente per l fatto che l ammontare rasscurato vene ndcato con un lmte monetaro, anzché percentuale, n accordo al loss rato. Per tale motvo, sceglerò d trattare solo uno de due cas, e coè l caso ) ; 4) rasscurazone eccesso dann globale ( umbrella XL) Γ ~ n = Γ ~ K n =mn () () X ~ j j mn,l ; L'' (1.7); = 1 j= 1 = 1 ( j) dove L' ' è la prortà del suddetto trattato eccesso dann globale e L è la prortà relatva al j-esmo ramo. Quest ultma forma rasscuratva rappresenta una sofstcata varazone delle ultme due precedent e copre l snstro conservato netto globale, causato dallo stesso evento che colpsce pù ram. Gl mport cert L, L e L'', chamat prortà, hanno l sgnfcato de pen d conservazone M, ncontrat nel caso della rasscurazone proporzonale, pertanto rappresentano l lmte oltre l quale entra n vgore l trattato. Oltre alle forme fondamental ctate, possono, come gà s è detto, venr pratcate forme d asscurazon mste. Uno stesso portafoglo può, ad esempo, venre rasscurato n quota ndvduale e altresì, quando l rasscuratore non s accontent d rcevere quanto d sua competenza secondo tale modaltà, n quota globale. Vene dunque ceduta al rasscuratore una determnata quota d tutt rsch e, sulla parte resdua, l asscuratore trattene propr pen, rasscurando relatv eccedent. Vedremo nel seguto alcun esemp. La determnazone razonale delle prortà, così come quella de pen d conservazone ( nel caso delle rasscurazon proporzonal ), costtusce, naturalmente, l aspetto pù delcato, dal punto d vsta tecnco attuarale, dell operazone d rasscurazone, al quale dedcheremo ampo spazo ne prossm paragraf. 8

29 CAPITOLO 1 Una volta fssate le prortà, la cedente trasferrà al rasscuratore l rscho o rsch da le non copert, corrspondendo, dversamente dal caso proporzonale, prem appostamente calcolat dal rasscuratore. Anche n questo caso l rasscuratore potrebbe non accettare nteramente quanto rchesto dalla cedente, pertanto quest ultma, provvederà a pazzare con rasscurazone facoltatva o con altro trattato la parte non ancora accettata. Pensamo, ad esempo, ad un trattato XL, dove è fssata una c.d. portata n accordo alla massma esposzone del rasscuratore ne confront del sngolo snstro. Se l massmo rsarcmento per snstro prevsto nel contratto d asscurazone è M e la prortà concordata con l rasscuratore è L, la portata è usualmente par a L-M, ma potrebbe essere nferore e par a L'-L, con L' < M, nel qual caso l asscuratore chederebbe altrove l ulterore copertura n eccesso snstro, con prortà L' (e portata M- L' ). Nel caso, nfne, d garanza llmtata o per M molto elevato, la stessa cedente frazona la copertura n eccesso alla (prma) prortà L n pù fasce (layers) operant n successone e nteressant gl ntervent d pù asscurator. Prma d analzzare separatamente cas sopra ctat, è opportuno fornre una spegazone sulla modaltà d calcolo del premo d rasscurazone non proporzonale, non essendo questo logcamente deducble come nel caso proporzonale Modaltà d calcolo del premo rasscuratvo. Metodo del burnng cost. Nella pratca de mercat asscuratv l calcolo del premo del rasscuratore d eccesso snstro è frequentemente rcondotto alla valutazone del cosddetto burnng cost.con tale nome vene ndcato 9

30 CAPITOLO 1 l mporto rmasto a carco del rasscuratore, per la copertura de snstr relatva ad un anno d trattato. Sano allora C 1,C, C k gl esbors del rasscuratore ne K ann T T T precedent l eserczo attuale e,,, prem d tarffa ncassat dalla cedente n quegl ann (usualmente K è par a 3 o a 5 ). Nell potes che non sa cambato l tpo d rsch ( e d copertura prevsta dal trattato n essere ), l tasso d burnng cost del rasscuratore per l prossmo anno è valutato dalla meda : K C K = 1 1 C τ = K o, n alternatva dalla = T K = 1 P P T = 1 P 1 P P K τ * (1.8) Il tasso τ così calcolato, che stma un tasso d premo, vene po gravato da un carcamento ( per spese e d scurezza ) fornendo un tasso τ = τ ( 1+ η) che, applcato ad una stma del monte prem dell eserczo attuale, t, della cedente, EPI t, ( expected premum ncome ), fornsce l premo del rasscuratore per la copertura dcharata n trattato. L ordne d grandezza del coeffcente η è usualmente par al 45%. In sntes, l premo trasferto al rasscuratore, sarà : P = EPI t τ ( 1+ η), (1.9) R t oppure la cedente corrsponderà un premo mnmo, MIN P t, generalmente R par a 0.8 P e, alla fne dell anno t, not orma prem ncassat Pt, la t stessa provvederà ad una sorta d conguaglo, calcolando la dfferenza tra l mporto de prem effettvamente ncassat ( nell eserczo d rfermento ) moltplcato per l tasso τ e l premo mnmo, coè : P = Pt τ - R t MIN P t (1.10) 30

31 CAPITOLO 1 R Se P è postvo, l asscuratore dovrà rmborsare la dfferenza al t rasscuratore, vceversa nel caso contraro, a meno che non sa dsposto dversamente dalle clausole del trattato. Osservamo che τ sarebbe propramente un tasso d premo equo, se prem della cedente fossero prem equ. Anche per l calcolo del premo d rasscurazone stop-loss (analogamente aggregate XL) e umbrella XL, possono adottars metod del tpo ndcato per la rasscurazone nella forma excess of loss. In tutte queste forme non proporzonal, sono prevste po lmtazon superor all ntervento del rasscuratore. In pratca, una copertura stoploss può prevedere, ad esempo, che l rasscuratore copra l ammontare de dann che super l 90% del totale de prem dell anno, sno ad un lmte, però, del 10% e con un esposzone massma d S untà monetare. La forma d rasscurazone stop-loss (e analogamente aggregate XL) è, evdentemente, la pù appetta dall asscuratore che vedrebbe copert dal rasscuratore lo scostamento per eccesso dalla sua prevsone del rapporto snstr a prem e, con quella copertura, manterrebbe globalmente l equlbro desderato. La forma non è, però, altrettanto gradta dal rasscuratore per la gà segnalata dffcoltà d determnare n modo adeguato l premo (attesa la grande varabltà della sua stma camponara ) e anche perché l asscuratore, pur d ntrotare prem, potrebbe non curare oculatamente le assunzon de sngol rsch. Da qu la preferenza per una forma d stop-loss modfcato come quella che affronteremo nel paragrafo Nelle forme d rasscurazone non proporzonale, occorre po tener conto delle conseguenze de fenomen legat all nflazone, per colpa de 31

32 CAPITOLO 1 qual l ammontare del sngolo snstro o del globale cumulo de snstr può superare, al momento della lqudazone, la prortà fssata alla stpula del trattato. Tale evenenza s manfesta se la lqudazone è notevolmente dfferta nel tempo, è chamata allora n causa la c.d. clausola d stabltà n forza della quale l asscuratore è tenuto ad ndczzare l lvello della sua rtenzone (prortà) adeguandolo nel tempo al potere d acqusto della moneta. Non è nusuale, noltre, che la compagna cedente rcorra a servz d un ntermedaro d rasscurazone per collocare sul mercato rasscuratv suo trattat. La remunerazone d questo servzo vene chamata brokerage ed è pagata da rasscurator come una percentuale fssa de prem cedut al trattato. Consderamo ora, un altro mportante metodo d calcolo del premo, probablstco anzché statstco. Metodo d Pareto. Tale metodo s basa sull assunzone che la dstrbuzone del sngolo snstro sa ( almeno n corrspondenza alla coda ) una dstrbuzone d Pareto (pertanto può essere utlzzato solo n presenza d una copertura rasscuratva XL ).In partcolare, alla chusura del perodo contrattuale, snstr d maggore enttà, generalmente rfert a 3/5 ann precedent, opportunamente rvalutat secondo l tasso nflazonstco, sono regstrat dall asscuratore e classfcat n ordne decrescente dell ammontare d rsarcmento. Nell potes Il numero d snstr da regstrare è fssato all nzo del perodo.focalzzamo l dscorso con la seguente descrzone formale : sano F e f rspettvamente la portata e la prortà del trattato, X rsarcment relatv agl n snstr regstrat e sa X o l snstro pù pccolo rlevato, allora sa 3

33 CAPITOLO 1 α X0 = 1 con α = P{ X ~ f} f n = 1 n X log la probabltà d avere un snstro nferore o uguale alla prortà. X 0 (1.11) Per stmare l costo de snstr a carco del rasscuratore (C), occorrerà dapprma calcolare l numero de snstr maggor della prortà ( n (>f) ) e moltplcarl per l mporto de snstr che superano la prortà (S (>f) ), fno al raggungmento della portata, formulstcamente s avrà : C = n (>f) S (>f) dove : (1.1) n (>f) = n ( X0 ) Pr{ X ~ f } = n ( X0 ) X 0 f α, coè l numero de snstr maggor della prortà è uguale al numero d snstr maggor d moltplcato per la probabltà d avere un snstro maggore della prortà; S (>f) = F 1-α 1 1 ( z) se α 1 α -1 z -1 F + f φ = F φ (z) = F (1.13) f 1 lnz se α = 1 z -1 X 0 dove, per semplctà d scrttura, F + f f = z. Non c soffermeremo sulla spegazone d queste formule, n quanto, per nostr scop, non presenta partcolare mportanza. Vedremo, nel seguto, alcune applcazon delle suddette formule. Tornando alla modaltà del calcolo del premo, come nel metodo del burnng cost, s procede con l calcolare l tasso d premo, secondo la 33

34 CAPITOLO 1 formula 1.8, consderando pertanto, anche n questo caso, prem d tarffa ncassat dalla cedente n quegl ann, adeguatamente rvalutat. Il tasso trovato, al fne d calcolare l premo del rasscuratore per la copertura dcharata n trattato, dovrà qund essere applcato ad una stma del monte prem dell eserczo attuale, t, della cedente, EPI t. Valgono le stesse consderazon del metodo del burnng cost Rasscurazone per eccesso d sngolo snstro ( excess of loss XL). Il trattato per eccesso d sngolo snstro è un accordo tra l rasscurato (cedente) e rasscuratore nel quale, rcordamo, (n accordo con la formula (1) ), l rasscuratore ntervene ne rguard del rscho -esmo solo se l rsarcmento del generco h-esmo snstro, (h=1,, N ), supera l mporto L. Generalmente tale ntervento è lmtato, n quanto vene fssata una c.d. portata n accordo alla massma esposzone del rasscuratore ne confront del sngolo snstro. Essendo l attenzone focalzzata sul sngolo snstro, l suddetto trattato è una forma d rasscurazone ndvduale. A ttolo d esemplfcazone numerca supponamo che l rasscurato ponga l ammontare L, ( prortà ), par a 100, l massmo rsarcmento per snstro, M, prevsto nel contratto d asscurazone par a 300 e la portata par a 00 (M- L ). Pertanto, n accordo con la smbologa gà adottata ne paragraf precedent,secondo (la 1.5), avremo che l mpegno aleatoro del rasscurato sarà n Γ ~ = Γ = mn( Z ~ h ; L ) = = 1 ~ n N () ~ = 1 h= 0 n N ~ () mn( Z ~ h ;100(mlon)) = 1 h= 0 34

35 CAPITOLO 1 Può accadere, come gà accennato, che la portata sa nferore a M- L, 00 nel nostro caso, e par a L '-L, con L ' < M. In questo caso l asscuratore dovrà chedere altrove l ulterore copertura n eccesso snstro, con prortà L ' (e portata M- L ' ). Nel caso, nfne, d garanza llmtata o per M molto elevato, la stessa cedente frazona la copertura n eccesso alla (prma) prortà L n pù fasce (layers) operant n successone e nteressant gl ntervent d pù asscurator. Le coperture operatve possono essere su base per rscho o per evento. Nel prmo caso l ntervento del rasscuratore è condzonato dall enttà d un snstro che colpsce un sngolo rscho. Questo tpo d trattato vene utlzzato prncpalmente per le coperture d tpo property, d rado per quelle d tpo casualty. Vceversa nel secondo caso, dove l ntervento del rasscuratore è condzonato dall enttà d uno o pù snstr, generat da un evento sngolo. S pens, ad esempo, nel ramo ncendo, alla copertura d un grattacelo : propretar, qund gl asscurat, e con ess rsch, possono essere pù d uno. Se l grattacelo dovesse brucare, causerà, n, numero d snstr per n numero d rsch. Uno de motv che potrebbe spngere l asscuratore a rcorrere a questo trattato, oltre a voler lmtare la sua esposzone aleatora, è rappresentato dal fatto d voler rdurre l cumulo del costo snstr a suo carco. Come per ogn trattato, esamnamo quell che possono essere vantagg e gl svantagg per la compagna cedente e per l rasscuratore. Vantagg per la compagna cedente : la cedente conserva, per ogn sngolo snstro, un ammontare adeguato per l suo equlbro del portafoglo, rducendone qund la varabltà ; 35

36 CAPITOLO 1 la cedente attutsce le fluttuazon de suo rsultat economc e fnanzar, rendendo meno probable la sua nsolvbltà. Svantagg per la compagna cedente : tale trattato, come nel caso d quello per eccedente, è laboroso da gestre perché occorre prendere n consderazone ogn sngolo snstro; all aumentare della prortà aumenta l premo rchesto dal rasscuratore, con la conseguenza d un sacrfco, sempre maggore, degl utl attes. Vantagg per l rasscuratore : l rasscuratore chederà un carcamento d scurezza tanto maggore, quanto pù lunga sarà la coda della dstrbuzone della varable aleatora costo sngolo snstro a suo carco, pertanto, potenzalmente, avrà un utle atteso elevato. Svantagg per l rasscuratore : l rasscuratore ha, a suo carco, la coda della dstrbuzone della varable aleatora costo sngolo snstro a suo carco, pertanto tale trattato rsulta essere pù rschoso, dal punto d vsta della solvbltà, d quella vsto nel caso della rasscurazone proporzonale Rasscurazone per eccesso d perdta ( stop loss ). La copertura stop-loss, anche conoscuta come eccesso del rapporto snstr a prem, copre l rasscurato contro l eventualtà che la globaltà de suo snstr rspetto a prem, n una determnata classe d affar, super una percentuale prefssata. Il rasscuratore, pertanto, non è chamato a pagare alcun snstro, fno a che snstr global dell anno non eccedano una percentuale prefssata de prem, coè la prortà L. 36

37 CAPITOLO 1 Essendo l attenzone focalzzata sulla globaltà de snstr dell anno (n rapporto a prem ), l suddetto trattato è una forma d rasscurazone globale. La portata della copertura rasscuratv è anch essa espressa n rapporto snstr a prem. Le coperture stop-loss sono d sovente usate per proteggere l rscho grandne. E dffcle, n questa classe d affar, stablre quale sa un rscho sngolo, noltre gl event asscurat sono normalmente d natura catastrofca rregolare, pertanto è v problematco usare altr tp d rasscurazone non proporzonale.una copertura stop-loss potrebbe essere espressa come segue : l rasscuratore paga un ammontare n eccesso all 80% del rapporto snstr/prem fno al 10% d tale rapporto. Il rasscuratore soltamente fssa un lmte monetaro, oltre l quale la copertura rasscuratva non opera. Questo prevene l rasscurato dall aumentare troppo l suo monteprem, aumentando, d conseguenza, anche l esposzone del rasscuratore. Pertanto, n accordo con la smbologa della (1) e della (1.6) ed essendo P la portata del trattato, avremo che l mpegno aleatoro del rasscurato sarà n Γ ~ = mn,l + max 0; L = mn X ~ = 1 n = 1 X ~ n snstr X ~,0.8 = 1 prem + max 0; P, dove anche è espresso n percentuale. n = 1 X ~ n = 1 X ~ Come abbamo precedentemente accennato, potrebbero essere preferte della forme d rasscurazone mste, a seconda della esgenze del rasscurato e del rasscuratore. Una forma msta partcolarmente nteressante è quella detta d stop loss modfcato. Sa X ~ l mpegno aleatoro globale del portafoglo dell asscuratore. Vengono concordate una sogla L, par ad un valore del loss rato, e una percentuale a e, 37

38 CAPITOLO 1 per effetto della rasscurazone, l mpegno conservato, Γ ~, è defnto dalla seguente forma : Γ ~ = X ~ se X ~ L L + a ( X ~ -L) se X ~ > L, 0 < a < 1 (1.14) La forma è, dunque, una combnazone d quella stop-loss (a=0, L 0) e d quella d quota globale (L=0, a 0). Per l rasscuratore questa forma msta è preferta a quella d stop-loss perché convolge l mpegno dell asscuratore anche quando è superata la sogla L ed è preferta altresì alla forma globale perché evta gl ntervent su sngol snstr. Rtornando alla forma tradzonale del trattato stop-loss, esamnamone vantagg e gl svantagg de due nterlocutor convolt nel trattato. Vantagg per la compagna cedente : la forma d rasscurazone stop-loss, come gà accennato, è, evdentemente, la pù appetta dall asscuratore che vedrebbe copert dal rasscuratore lo scostamento per eccesso dalla sua prevsone del rapporto snstr a prem ; con questa copertura, la cedente manterrebbe globalmente l equlbro desderato, rendendo ancora meno probable del caso precedente (excess of loss ) la sua nsolvbltà. tale trattato è meno laboroso da gestre, rspetto al precedente, perché, trattandos d una forma d rasscurazone globale, non necessta d consderare ogn sngolo snstro; Svantagg per la compagna cedente : 38