Il problema del calcolo delle aree. Suddivisione dell intervallo [a,b] in sottointervalli che ne costituiscono una partizione
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- Sabrina Mattioli
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1 Inegrle Deno. Il prolem del clcolo delle ree Suddvsone dell nervllo [,] n soonervll che ne cosuscono un przone De. Przone S chm przone P dell nervllo [,] un nseme d n+ pun =< <..< n =, comunque scel r e. S pone:,..,n h De. nmeno Un przone P è de essere un rnmeno o pù ne dell przone P se: P P
![Inegrle Deno: Plurrengol Assummo che l unzone s lm nell nervllo [,].](/docs-images/89/98520470/images/2-2.jpg "D un deermn przone P d [,] consdermo per ogn nervllno Δ : m = l esremo nerore ssuno dll unzone n Δ M = l esremo superore ssuno dll unzone n Δ Cosrumo l rengolo nscro: d se Δ ed lezz m Ed ssocmo d")
2 Inegrle Deno: Plurrengol Assummo che l unzone s lm nell nervllo [,]. D un deermn przone P d [,] consdermo per ogn nervllno Δ : m = l esremo nerore ssuno dll unzone n Δ M = l esremo superore ssuno dll unzone n Δ Cosrumo l rengolo nscro: d se Δ ed lezz m Ed ssocmo d esso l re che può nche essere negv se lo è l unzone d d: Δ m. L nseme de rengol nscr cosurà l plurrengolo o sclode nscro. Cosrumo l rengolo crcoscro: d se Δ ed lezz M Ed ssocmo d esso l re che può nche essere negv se lo è l unzone d d: Δ M. L nseme de rengol nscr cosurà l plurrengolo o sclode crcoscro.
3 Inegrle Deno: Somme Superor ed Ineror De. Somme Superor S P, M Cosuscono un pprossmzone per eccesso dell re De. Somme Ineror s P, m Cosuscono un pprossmzone per deo dell re Amo che: s P, S P, E evdene che con pù rnmo l przone dell nseme [,], con pù ruscremo d vere un vluzone precs dell re. Precsmene, pssndo d un przone P d un przone pù ne P nomo che le somme neror umenno menre quelle superor dmnuscono rspendo sempre l relzone. Qund: se P P s P, s P, S P, S P, con s P, S P,
4 Inegrle Deno: Somme Superor ed Ineror Aumenndo l numero d pun le somme neror umenno Aumenndo l numero d pun le somme superor dmnuscono 4
5 Inegrle Deno d emnn: Cosruzone Poché le somme neror sono sempre mnor od ugul lle somme superor, mo che: Sup P s In P S De. Funzone Inegrle secondo emnn L unzone è negrle secondo emnn, o -negrle se e solo se: Sup P s In P S De. Inegrle Deno d emnn Il numero rele precedenemene rovo rppresen l negrle deno dell unzone sull nervllo [,] e s scrve: No. L clsse delle somme neror e delle somme superor sono due clss d numer rel un mnore dell lr dunque sono clss sepre. Esse possono vere un elemeno seprore l unco numero compreso r le somme neror e quelle superor. Se le numero esse l unzone è de emnn-inegrle o -Inegrle su [,] 5 e le numero è, per denzone, l negrle d emnn dell unzone d su [,]. d
6 Inegrle Deno d emnn: Osservzon d e sono de esrem d negrzone è deo esremo nerore d negrzone è deo esremo superore d negrzone è de unzone negrnd No. L vrle d negrzone è un vrle mu. Per cu le seguen espresson ndcno sempre lo sesso numero: d Teorem Un unzone lm su [,] è -negrle se esse un przone P d [,] le che: d SP,-sP, y dy No. Il eorem precedene erm che le somme neror e superor, per unzon - negrl, sono due clss sepre m ndenmene rvvcne o congue. ε 6
7 Funzone non -Inegrle No. Non ue le unzon lme sono -negrl. Dremo pù vn delle condzon sucen nché un unzone s -Inegrle. Occupmoc d un esempo d unzone che NON è -negrle: L Funzone d Drchle M S P, se Q se \Q S consder l nervllo [,]. Ess è un unzon lm. Per ess, consdero l o che qulunque s l przone P, nell nervllno Δ compono nn numer rrzonl ed nn rzonl, vremo: Sccome: m s P, In S P, Sup s P, L unzone non rsul -negrle. NB L unzone d Drchle presen un dsconnuà per ogn numero rzonle r e. Nomo che l dsconnuà sono nne e sono numerl poché l sono numer rzonl: 7
8 Inegrle Deno: le somme d emnn No. Consderndo unzon lme non possmo ermre che vlor m ed M sono vlor ssun dll unzon nell nervllno Δ. Se l unzone è connu l eorem d Weersrss sscur l o che l unzone ssume n Δ l vlor, che concdono con l mnmo ed l mssmo dell unzone sess n Δ. Al poso delle somme neror e superor è llor possle consderre le seguen somme d emnn: P, con Per esse vle l seguene eorem: De. P M Teorem é -negrl e lm P, P no E vle d lm P σp, 8
9 Inegrle Deno: Sgnco Geomerco. Se l unzone negrnd è posv su [,] < llor d ppresen l re dell regone d pno delm dll sse delle, dl grco dell unzone e dlle ree vercl = ed =. E rsul: d Se l unzone negrnd è negv su [,] < llor d ppresen l re dell regone d pno n senso lgerco n quno negv delm dll sse delle, dl grco dell unzone e dlle ree vercl = ed =. E rsul: d 9
10 Inegrle Deno: Sgnco Geomerco. Se l unzone negrnd non h segno sso su [,] < llor l negrle deno può essere posvo, negvo o nullo. d d? sen d cos d
11 Inegrle Deno: Sgnco Geomerco. d g d Può essere penso come re dell regone d pno compres r le due unzon e g. d g d.. g
12 Inegrle Deno: Condzon Sucen per l -Inegrlà. Teorem. Se l unzone è connu su [,] llor è -Inegrle. Dm. Per l eorem d Weersrss mmee mssmo M e mnmo m n ogn nervllno Δ. Essono qund n Δ due pun e * l che =m e * =M. Poché è connu, dll denzone d lme mo che: m M P s P S,, * se : * * Fccmo n modo che P <δ llor: * Per l eorem l unzone è -Inegrle. Scelo:
13 Inegrle Deno: Condzon Sucen per l -Inegrlà. Teorem 4. Se l unzone è lm su [,] e possede un numero no d dsconnuà llor è -Inegrle. Es. Il eorem precedene permee d ermre che unzon come: sn per per Sono -negrl sull nervllo [,]. Quno scro erm l emnn negrlà dell unzone e qund l essenz dell re, non l suo vlore, evdenemene. In relà un unzone -negrle può presenre nche un numero nno purché l pù numerle d dsconnuà, uv ques propreà non può essere generc m leg ll propreà d monoon dell unzone. Vle n l seguene eorem:
14 Inegrle Deno: Condzon Sucen per l -Inegrlà. Teorem 5. Se l unzone è monoon crescene o decrescene su [,] llor è -Inegrle. Allor l seguene unzone: n per per n n loor presen un nnà numerle d dsconnuà. sul però -negrle, per l precedene eorem, propro perché è monoon crescene 4
15 Inegrle Deno: Condzone necessr e sucene per l -Inegrlà. Inne l seguene eorem enunc un condzone necessr e sucene per essere -negrl, legndo l negrle d emnn l pù generle negrle d Leesgue le eor vene ormulo ne cors vnz d nls memc. Teorem 6 d Vl - Leesgue. S : un unzone lm e null l d uor d un nseme lmo. Allor s equvlgono le condzon seguen: e negrle secondo emnn; l'nseme de pun d dsconnuà d é rscurle nullo per l msur d Leesgue. Se vlgono le condzon, llor e msurle e negrle nche secondo Leesgue e gl negrl secondo emnn e secondo Leesgue concdono. 5
16 Inegrle Deno: Propreà Convenzone d d d d Propreà d lnerà Propreà d ddvà Propreà d omogeneà g d d g d d d 6
17 Inegrle Deno: Propreà d d se d d Propreà d ddvà rspeo ll nervllo d negrzone c d d d c Propreà d monoon se n [, ] d d 7
18 Inegrle Deno: Teorem dell med negrle Teorem 6 dell Med Inegrle o d Lgrnge. S consder l unzone connu n [,]. Allor esse lmeno un puno c n [,] le che: Dm. d c Sccome è connu è -negrle. Per l eorem d Weersrss se m ed M sono l mnmo ed l mssmo dell unzone n [,] mo m M vld per ogn n [,]. Dll propreà d monoon dell negrle segue:: md d Md m d M m d M d con m M Il eorem d Drou sscur che esse c n [,] le che c= d c c.v.d. De. Med Inegrle d 8
19 Inegrle Deno: Funzone Inegrle S consder l unzone, -negrle su [,]. Consdermo due pun d [,] : ed. Cosrumo l seguene negrle deno: De. Funzone Inegrle d Consdermo l unzone che d ogn numero n [,] ssoc l numero rele deno dll relzone precedene: le unzone è l unzone Inegrle d n [,]. S un unzone -negrle su [,] s densce unzone negrle F d su [,] con orgne n F d 9
20 Inegrle Deno: Teorem d Torrcell-Brrow Teorem 7 d Torrcell - Brrow S un unzone connu su [,]. Allor l unzone negrle F d su [,] con orgne è connu e dervle n per ogn d [,] e vle F = Dm. S consder: h F F h F h d d d d h d c h con c, h Applcndo l eorem 6 dell med negrle. F' lm h F h lm h c h h lm h c Per l connuà d c.v.d. L unzone negrle F rsul nelle poes del eorem connuà d un prmv d. In generle s può dmosrre che: Teorem 8 eorem Generlzzo d Torrcell-Brrow Se è -negrle llor F è connu Se è connu llor F è dervle Se è dervle llor F è dervle con derv connu
21 Inegrle Deno: Teorem ondmenle del clcolo Teorem 9 Fondmenle del Clcolo S un unzone connu su [,]. S F un su prmv, llor: Dm. S consder: d d d c.v.d. F F d d d F F F F : F F F d Convenzone
22 Inegrle Deno: Vlor Med Es. Vlore medo d =,,, n nell nervllo [,],] [ d [,] d 4 [,] d [,] n d n n Es. Vlore medo d =sen nell nervllo [,π] Es. Vlore medo d =sen nell nervllo [,π] ], [ d sen sen ] [, d sen sen cos sn
23 Inegrle Deno e unzon prmve F : F F d No. Gl negrl delle unzon connue possono essere clcol con le unzon prmve se quese s possono esprmere per v elemenre. Se l unzone negrnd non è connu m solo -negrle, l prmv poree non essere perché, d esempo, non essono unzon dervl che hnno derve con dsconnuà slo. Tuv può essere l negrle. Es. d per per per Non esse uv un unzone dervle n uo [,] che come unzone derv 6
24 Inegrle Deno: Inegrzone per pr Teorem ' g d g g' d Es. Clcolre l re compres r l sse delle e l grco dell unzone ln r pun d scss e ln d ln d ln d ln ~.86 4
25 d Inegrzone per sosuzone / g cos d g' d sen d rccos rccos cos sen d rccos rccos cos cos sen d sen d sen d sen cos 4 Are quro d cercho d rggo 5
![Inegrzone per sosuzone / Teorem Sno :[,] connu, Φ :[,] connu,dervle,con derv connu e con Φ n [,].](/docs-images/89/98520470/images/26-0.jpg "Allor se g è l unzone nvers d Φ, mo Es.")
26 Inegrzone per sosuzone / Teorem Sno :[,] connu, Φ :[,] connu,dervle,con derv connu e con Φ n [,]. Allor se g è l unzone nvers d Φ, mo Es. d g g' d g sen rcsen cos d d rcsen rcsen sen sen cos cos d rcsen rcsen 4 Are quro d cercho d rggo 6
27 Inegrle Deno: Are r grc d unzon A g d g A g d d A c d d d d 4 d c d 4 d c 7
28 Inegrl mpropr d spece Amo snor prlo d negrl d unzon lme n prcolre connue su nervll lm [,]. Essono delle esenson s per unzon non lme che per nervll non lm. Inegrzone Funzon non lme su nervll lm Inegrl IMPOPI d SPECIE S consder :,] non lm d es / n,] le che s -negrle su ogn nervllo dell orm [+ε,] e le che : Denmo llor: lm d lm d Se l lme * esse no llor s dce negrle n [,] e che l negrle IMPOPIO d SPECIE è convergene Se l lme * è ± llor s dce che l negrle IMPOPIO d SPECIE è dvergene Se l lme * non esse llor s dce che l negrle IMPOPIO d SPECIE non esse * 8
29 9 Inegrl mpropr d spece Es. S clcol: d lm lm lm d Es. S clcol: d ln lm lm d Es. S clcol: d lm lm d lm se se Per Per = ved es. precedene. Glolmene: d se se
30 Inegrl mpropr d spece d lm d * Ad es. /- n [, Teorem dvergene se d é convergen e se Vle un rsulo peremene nlogo per: d L negrle converge se l unzone è nn d ordne < lrmen dverge.
31 Inegrl mpropr d spece Anlogmene nel cso n cu s : lm S densce: d lm d ** Ad es. /- n [, Vle un rsulo peremene nlogo quello enunco nel eorem : Teorem -s dvergene se d é convergen e se L negrle converge se l unzone è nn d ordne < lrmen dverge.
32 Inegrle Deno: Inegrl mpropr d spece Inegrzone Funzon su nervll llm Inegrl IMPOPI d SPECIE S consder : [,+ connu. Ponmo: d: lm d Anlogmene, se :-,] connu. Ponmo: d: lm d Se :-,+ connu. Ponmo: d d: d d lm d lm h h d M nche : d d: lm lm d h h
33 Inegrle Deno: Inegrl mpropr d spece Es. S clcol: Es. S clcol: Es. S clcol: d lm lm d d Es. S clcol per n : d n lm lm d lm ln lm ln d lm lm lm d n n lm d lm lm n n n n n se n se n n n Per n= ved es. precedene. Glolmene: d n n se n se n L negrle converge se l unzone è nnesm d ordne n> lrmen dverge.
34 Inegrle Deno: Inegrl mpropr d spece Es. Andmeno grco 4
35 Inegrle Deno: Inegrl mpropr d spece 4 Es. S clcol: d lm lm h h h d lm lm rcn lm h lm rcn h rcn h 5
36 Inegrle Deno: Inegrl mpropr d spece «prcolr» Ecco nne lcun negrl mpropr rgurdn unzon d cu l prmv non è esprmle con unzon «elemenr» e d sn d sn d / 6
37 Inegrl mpropr d spece «prcolr» e d e d Per l smmer pr dell unzone negrnd e e d? y d dy y d e dy e d? z d dz e z d e dz z e dz 7
38 Inegrle Deno: Lunghezz d un curv Consdermo un unzone y=. S un unzone connu con derv connu n [,]. Voglmo clcolre l lunghezz dell curv rppresen dl grco dell unzone r pun d scss e. Per ncremen nnesm dell vrle d +d l vrle y h un ncremeno dy che possmo pprossmre con dy= d derenzle. Allor l lunghezz nnesm dell curv dl può essere scr rverso l eorem d Pgor: dl d dy d ' d d ' dl ' d Ne segue: d dl d dy lunghezz ' d d 8
39 9 Inegrle Deno: Lunghezz d un curv Es. Lunghezz Crconerenz d rggo L lunghezz dell crconerenz d rggo vle: d d l 4 ' 4 ' d 4 rcsen rcsen rcsen Es. Lunghezz Arco d Prol ' 4 ' dy y d d l ~ ln 5 y SeSh y y d d 4 4
40 Inegrle Deno: Lunghezz d un curv Es. Lunghezz Cenr curv lungo l qule s dspone un une pesne omogene, nel cmpo d grvà, ss gl esrem. Ch ' Sh l Sh d Ch d Sh Sh Sh e e 4
41 Inegrle Deno: Superce sold d rozone dl L superce del soldo d rozone vene clcol come somm negrle delle superc lerl de ronch d cono nnesm d lezz d. L superce lerle d un ronco d cono vle: S l r d Essendo l poem ed, r rgg delle s. Il prmo eorem d Pppo-Guldno sscur che l clcolo dell superce d rozone può essere uo molplcndo l lunghezz del segmeno dl che gener l superce d rozone per l lunghezz dell crconerenz che l rcenro del segmeno percorre durne l rozone. Percò: ds l dl S l dl ' d 4
42 4 Inegrle Deno: Superce sold d rozone Es. Superce Ser ser d S y ' ' 4 4 d S ser
43 Inegrle Deno: Volum sold d rozone / d Il volume del soldo vene cosruo come somm negrle d clndre nnesm s spessore lezz d e superce d se π []. dv d V d Es. Volume Cono P h, h re : y V h h V h d h h h h 4
44 44 Inegrle Deno: Volum sold d rozone / Es. Volume Ser ser d d V d dy y 4 y y dy y y
45 Inegrle Deno: Volum sold d rozone sse y / d dy dv g y dy c d V g y dy c y Volume del soldo oenuo per rozone del grco d gy orno ll sse delle y r vlor c e d 45
46 Inegrle Deno: Volum sold d rozone sse y / dy c Funzone nverle: dv y dy V y d c dy d d Cmmeno d vrle: y y y V d c y dy d c ' d d ' ' V d d c 46
47 y Sudo Funzone Fre l grco qulvo dell unzone e clcolre l vlore dell negrle nel ro Asno vercle : =- e = y' y'' Asno Olquo : y= d d d ln d c ln [ln ln ] ln 5, 5 9
48 Sudo Funzone g e y Fre l grco qulvo dell unzone seguene e clcolre l vlore dell negrle nel ro ' e e y 4 '' e e e e y Flesso per =ln Puno ngene vercle nell orgne d e d d e d e d d d e c e e rcn c d d d rcn
49 Sudo Funzone g Fre l grco qulvo dell unzone seguene e clcolre l vlore dell negrle nel ro y e e d e rcn e e rcn e,78
x = Il problema del calcolo delle aree Suddivisione dell intervallo [a,b] in sottointervalli che ne costituiscono una partizione
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Integrle Dento. Il prolem del clcolo delle ree Suddvsone dell ntervllo [,] n sottontervll che ne costtuscono un prtzone De. Prtzone S chm prtzone P dell ntervllo [,] un nseme d n+ punt <
x = Il problema del calcolo delle aree Suddivisione dell intervallo [a,b] in sottointervalli che ne costituiscono una partizione
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Integrle Dento. ( Il prolem del clcolo delle ree Suddvsone dell ntervllo [,] n sottontervll che ne costtuscono un prtzone De. Prtzone S chm prtzone P dell ntervllo [,] un nseme d (n+ punt <
Il problema del calcolo delle aree. Suddivisione dell intervallo [a,b] in sottointervalli che ne costituiscono una partizione
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Integrle Dento. Il prolem del clcolo delle ree Suddvsone dell ntervllo [,] n sottontervll che ne costtuscono un prtzone De. Prtzone S chm prtzone P dell ntervllo [,] un nseme d n+ punt =<
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Università del Sannio
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Calcolare l area di una regione piana
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si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x
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Versione 20 dicembre. Integrali curvilinei. 2.1 Curve nel piano e nello spazio
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. dsegnndo l crcuto senz ncroc e pplcndo l trsformzone trngolostell s ottengono gl schem seguent. Ω Ω eq Ω Ω Ω Ω Ω Ω eq Ω Ω Ω Ω eq Ω eq // Ω. S trsform l stell edenzt n rosso n un trngolo (le resstenze
Integrali doppi e tripli
negrli oppi e ripli NEGRAL OPP N OORNAE REANGOLAR Supponimo che l funione ( f si efini in un ominio chiuso e limio el pino O Suiviimo il ominio in mnier rbirri in n sooomini rispeivmene i re σ σ σ n e
OPTOELETTRONICA E FOTONICA Prova scritta del 7 luglio 2009
OPTOLTTRONC FOTONC Prov scritt del 7 luglio 9 COGNOM Nome Mtricol Posto n dell fil n s Un sistem untistico (che rppresent un sort di ttrzione centrle su un prticell d prte di, dove è un costnte rele con
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Integrli in senso generlizzto Pol Rubbioni Integrzione su domini non itti Definizione.. Un funzione continu f : [, + [ R si dice integrbile in senso generlizzto (brevemente, G-integrbile) se esiste finito
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GRNDEZZE PERIODICHE Un grndezz empodipendene (), che supponimo rele, si definisce periodic qundo d u- guli inervlli ssume vlori uguli, cioè qundo vle l relzione (con n inero qulsisi): ( ) ( n) + () - Il
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1 Perché l frur frgile si verifichi è necessrio il conemporneo verificrsi delle re segueni condizioni: livello di sollecizione elevo (nche se inferiore ll ensione di rour); presenz di un difeo (cricc)
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Propagazone degl error Msure drette: la grandezza sca vene msurata drettamente (ad es. Spessore d una lastrna). Per questo tpo d msure, la teora dell errore svluppata nelle lezone precedent é sucente per
Integrazione numerica
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Noi investiamo in qualità della vita e Tu?
No nvestmo n qultà dell vt e Tu? sosttuzone de serrment SI NO - RISPARMIO IN BOLLETTA - COMFORT - QUALITÀ DELLA VITA + - lvor d rqulfczone lvor d rqulfczone + eff cen 10 nn relzzzone del cppotto z e nerg
Capitolo 2. Il problema del calcolo delle aree
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Volume di un solido di rotazione
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LS-DYNA3D ABAQUS-explicit PAMCRASH RADIOSS. Vediamo come si sviluppa la soluzione esplicita del problema
Anlisi rnsiori L'nlisi dinmic rnsiori (de nche nlisi emporle) è un ecnic che consene di deerminre l rispos dinmic di un sruur sogge d un generic eccizione emporle Gli eei emporli sono li d rendere imporni
Ortogonalità di funzioni
Cpitolo 0 Ortogonlità di funzioni 01 Funzioni linermente indipendenti e funzioni ortogonli Si (, b) un intervllo dell sse rele Si dice le n + 1 funzioni φ 0 (x), φ 1 (x),, φ n (x), definite in (, b), sono
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Esercitazioni Capitolo 3 Irraggiamento
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I problemi del Clcolo Ininitesimle (Newton, Method o Fluxions, 67) o Problem. (Derivt) Dt l lunghezz dello spzio percorso in ogni istnte di tempo, determinre l velocità in ogni istnte. 2 o Problem. (Integrle)
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Area del Trapezoide. f(x) A f(a) f(b) f(x)
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Introduzione al calcolo integrale
Introduzione l clcolo integrle Indice: Integrle di Riemnn. Proprietà delle funzioni integrbili. Continuità dell funzione integrle. Teorem dell Medi. Teorem Fondmentle del Clcolo Integrle. Metodi di integrzione.
LE SUCCESSIONI RICORSIVE
. U prolem d prolà LE SUCCESSIONI RICORSIVE U sgore h due cppell, uo co ed uo gllo. Og goro doss l pù uo solo de cppell. Per decdere se e qule dossre segue quese regole: Se l goro prm h dosso l cppello
Calcolo I, a.a Esercizi dicembre ) Sia f : [a, b] R una funzione continua. Calcolare le derivate. d dx. 1 lim.
![Calcolo I, a.a Esercizi dicembre ) Sia f : [a, b] R una funzione continua. Calcolare le derivate. d dx. 1 lim.](/thumbs/98/138893612.jpg "Calcolo I, a.a Esercizi dicembre ) Sia f : [a, b] R una funzione continua. Calcolare le derivate. d dx. 1 lim.")
Clcolo I,.. 5 6 Esercizi 8 dicembre 5 Si f : [, b] R u fuzioe coiu. Clcolre le derive d f( d, d b f( d, Iolre (usdo il Teorem di de l Hôpil clcolre il ie d f( d. Ricorddo che per il Teorem fodmele del
(somma inferiore n esima), (somma superiore n esima).
Clcolo integrle Appunti integrtivi lle dispense di Mtemtic ssistit rgomento 9 (Integrli definiti) e rgomento (Integrli impropri) cur di C.Znco (Il contenuto di questi ppunti f prte del progrmm d esme)
F (r(t)), d dt r(t) dt
Cmpi vettorili Un cmpo vettorile è un funzione vlori vettorili F : A R, con A R n, ove in questo cso l imensione el ominio e el coominio è l stess. F ( 1, 2,..., n ) (f 1 ( 1, 2,..., n ), f 2 ( 1, 2,...,
Comportamento Meccanico dei Materiali. 5 Soluzione degli esercizi proposti. Esercizio 5-1
Esercizio 5- lcolre lo sposmeno dell esremo e le sollecizioni preseni nell sruur in figur, compos d due se in serie con sezione circolre di dimero D 0 e D 8, lunghe enrme 00 e soggee d un crico di 0 k.
Intorduzione alla teoria delle Catene di Markov
Intorduzone alla teora delle Catene d Markov Mchele Ganfelce a.a. 2014/2015 Defnzone 1 Sa ( Ω, F, {F n } n 0, P uno spazo d probabltà fltrato. Una successone d v.a. {ξ n } n 0 defnta su ( Ω, F, {F n }
Il procedimento di linearizzazione consiste nell'usare una funzione delle variabili anziché le variabili stesse.
Y Lnerzzzone Il dgrmm d dspersone suggersce che le funzone d nterpolzone de dt non sono lner, m presentno un ndmento che n un cso (dots ner) potree essere d tpo esponenzle, mentre nell ltro cso (dots ross)
Integrali definiti (nel senso di Riemann)
Integrli definiti (nel senso di Riemnn) Problem: cos è l re di un figur pin? come clcolrl? Grficmente concetto intuitivo ed evidente. Tecnicmente ci sono definizioni e formule d hoc per le figure elementri.
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Formulario di Analisi Matematica 1
Formulrio di Anlisi Mtemtic Indice degli rgomenti Punti interni, isolti, di ccumulzione e di frontier Alcune costnti Proprietà delle potenze Proprietà degli esponenzili Proprietà dei logritmi Proprietà
Capitolo 5. Integrali. 5.1 Integrali di funzioni a gradinata
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Formule di Integrazione Numerica
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Elenco dei teoremi dimostrati a lezione
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