Matematica Finanziaria

Corso di Matematica Fiaziaria a.a. 202/203 Testo a cura del Prof. Sergio Biachi

Programma Operazioi fiaziarie i codizioi di certezza L operazioe fiaziaria elemetare Operazioi a proti e a termie Regimi fiaziari Della capitalizzazioe composta Della capitalizzazioe semplice Dello scoto commerciale Operazioi fiaziarie complesse Redite Obbligazioi Idici temporali e di variabilità Maturity Scadeza media aritmetica Scadeza media fiaziaria Durata media fiaziaria (duratio e covexity) Costituzioe di capitali e ammortameti Ammortameto italiao Ammortameto fracese Ammortameto tedesco Ammortameto americao

Defiizioi itroduttive Matematica Fiaziaria Braca della matematica applicata che modellizza le operazioi fiaziarie Operazioe fiaziaria (o.f.) Ogi atto che produce ua variazioe di capitale per effetto dello scambio o cotemporaeo di almeo due importi. Oggetto di studio è la coppia (I, t) - Importo, Epoca Più i geerale, u operazioe fiaziaria può scriversi come isieme di coppie F = {(I, t ), (I 2, t 2 ),..., (I, t )} Notazioe: Rispetto al soggetto che valuta l o.f., l importo ha sego egativo se costituisce u uscita e sego positivo se costituisce u etrata.

Classificazioe delle operazioi fiaziarie Elemetare, se #(F) = 2 (se lo scambio è fra ua sola prestazioe ed ua sola cotroprestazioe) Complessa, se #(F) > 2 (se lo scambio riguarda più prestazioi e/o cotroprestazioi) L operazioe fiaziaria è A proti se il prezzo dell o.f. viee pagato el mometo i cui esso viee cocordato tra le parti A termie se il prezzo dell o.f. viee pagato i u epoca successiva a quella i cui esso è cocordato Certa se etrambi gli elemeti della coppia (I,t) soo determiistici (decisioi fiaziarie i codizioi di certezza) Aleatoria se tale è almeo uo degli elemeti della coppia (I,t) (decisioi fiaziarie i codizioi di icertezza)

Il mercato dei capitali Le trasazioi che hao ad oggetto operazioi fiaziarie avvegoo el Mercato dei capitali iteso come luogo di icotro della domada (fiaziameti co vicolo di credito [obbligazioi] e/o di capitale [azioi]) e dell offerta (emissioi e/o egoziazioi di titoli relativi prestiti moetari). Teoria Formulazioe di ipotesi sul comportameto degli partecipati al mercato per defiire u modello: il mercato ideale Aalisi del mercato dei capitali Pratica Valutazioe della coveieza fiaziaria delle opportuità sulla base delle trasazioi el mercato reale

Caratteristiche del mercato dei capitali ideale Competitività (competitive) Ogi operatore: a) usufruisce gratuitamete delle stesse iformazioi b) igora le cosegueze delle proprie azioi sul mercato c) è u massimizzatore di profitti (mira a coseguire il maggior risultato ecoomico co il miimo costo No frizioalità (frictioless) Le trasazioi soo libere da costi aggiutivi (di itermediazioe, fiscali ecc.) Le operazioi: a) soo divisibili (possoo cioè avere ad oggetto importi qualsiasi) b) possoo essere effettuate i ogi istate Soo ammesse vedite allo scoperto (short sales) (è cioè possibile vedere titoli che o si possiedoo) No c è rischio di isolveza (default risk) Asseza di arbitraggi

Caratteristiche del mercato dei capitali ideale (segue) Defiizioe di arbitraggio U arbitraggio è u'operazioe fiaziaria che cosete al soggetto che la poe i essere di coseguire u profitto certo seza correre alcu rischio. Distiguiamo tra: Arbitraggio di tipo A Si ha quado l o.f.: ha u costo ullo o egativo e geera u flusso di importi tutti o egativi, co almeo u pagameto positivo Arbitraggio di tipo B Si ha quado l o.f.: ha u costo egativo e geera u flusso di importi tutti o egativi

Caratteristiche del mercato dei capitali ideale (segue) «Co il termie arbitraggio si itede idicare u'operazioe che cosete di otteere u profitto certo, seza che il soggetto che la mette i essere corra alcu rischio. Solitamete l'arbitraggio cosiste ell'acquisto/vedita di uo strumeto fiaziario (ma ache o fiaziario, come ua commodity) e i ua cotemporaea operazioe di sego opposto sullo stesso strumeto egoziato su u mercato diverso dal precedete, oppure su uo strumeto diverso ma avete le stesse caratteristiche a livello di payout del primo. Appare evidete che ua siffatta operazioe può geerare u profitto solo el caso i cui esista u differeziale di prezzo tra due strumeti pressochè idetici, differeziale determiato da ua iefficieza di tipo iformativo (o ormativo): questo è il presupposto fodametale perché si creio opportuità di questo tipo. U altro presupposto è rappresetato dalla esisteza di strumeti fiaziari perfettamete sostituibili. Questo può avveire el caso i cui si predoo i cosiderazioe strumeti idetici ma scambiati su mercati diversi, oppure i quello relativo a strumeti diversi ma aveti lo stesso payout (ad es. u paiere di titoli azioari ed il future avete lo stesso paiere come sottostate), o acora i quello di cui uo strumeto può essere replicato siteticamete (triagolazioi sul mercato valutario).» Da www.borsaitaliaa.it

Il mercato dei capitali reale Diretto Le egoziazioi avvegoo mediate accordi diretti tra le parti, che determiao autoomamete le codizioi di scambio. Es.: operazioi bacarie Mercato dei capitali Mercato moetario (egoziazioe di strumeti a breve scadeza, covezio- almete o superiori a 8 mesi) Aperto Le egoziazioi soo di tipo impersoale ed hao caratteristiche (taglio degli importi, scadeze, tassi, ecc.) stadardizzate. Es: operazioi di cambio Mercato fiaziario (egoziazioe di mezzi fiaziari obbligazioi e/o azioi geeralmete a medio e lugo termie) Mercato dei cambi (egoziazioe di valute estere)

L operazioe fiaziaria elemetare Accordo che scambia le coppie (P, x) ed (M, y), co y x ; x 0,y 0 Schema: A coferisce a B all epoca x l importo P i cambio dell importo M che B coferirà ad A all epoca y, co y > x. P A B x M A B y Esempio : Acquisto oggi (epoca t) u BOT (Buoo Ordiario del Tesoro) al prezzo di 95,87 ed icasserò tra u ao 00. Assumedo l ao come uità di misura del tempo, l o.f. può scriversi come F = { ( 95,87, t), (00, t+)} Esempio 2: Preseto oggi (epoca t) all icasso u credito per.000 che maturerà tra 30 giori. Ricevo dalla cotroparte 995. Assumedo il gioro come uità di misura del tempo, l o.f. può scriversi come F = { (995, t), (.000, t+30)}

L operazioe fiaziaria elemetare (segue) Ipotesi:. Gli importi P ed M soo espressi ella stessa uità di misura 2. I soggetti che attuao lo scambio soo razioali: a) ( I, x) f ( I, x) 2 se I > I 2 b) ( I, x ) f ( I, y ) se x < y Criteri di prefereza assoluta Pricipio di equivaleza fiaziaria «E fiaziariamete equivalete ricevere [corrispodere] u importo immediatamete oppure riceverlo [corrispoderli] i u epoca successiva purché i questa secoda evetualità all importo si aggiuga u iteresse per il differimeto della trasazioe.»

L operazioe fiaziaria complessa (esempi) Esempio 3: Acquisto oggi (epoca t) u BTP (Buoo del Tesoro Polieale) co scadeza tra tre ai al prezzo di 0,25 che paga cedole semestrali i base al tasso auo del 4%. Assumedo l ao come uità di misura del tempo, l o.f. può scriversi come 3 5 {( 0.25, ), (2, 2), (2, ), (2, 2), (2, 2), (2, 2), (02, 3) } F = t t + t + t + t + t + t + Esempio 4: Acquisto oggi (epoca t) u auto del valore di 5.000 e la pago co rate mesili di 300 per i prossimi 5 ai (umero di rate = 2 5 = 60). Assumedo il mese come uità di misura del tempo, l o.f. può scriversi come {(5.000, ), ( 300, ), ( 300, 2),...,( 300, 60) } F = t t + t + t +

L o.f. elemetare: ivestimeto e aticipazioe L operazioe fiaziaria elemetare F = {( P, x),( M, y)} è detta di ivestimeto (o impiego) se, oto P, deve determiarsi M ( se P rappreseta u uscita) I questo caso: x è l epoca di ivestimeto y è l epoca di scadeza P è il capitale impiegato (o ivestito) all epoca x M è il motate alla data y del capitale ivestito alla data x. P x M (icogita) y di aticipazioe (o scoto o fiaziameto) se, oto M, deve determiarsi P ( se P rappreseta u etrata) I questo caso: x è l epoca di aticipazioe y è l epoca di scadeza P è il valore attuale all epoca x dell importo M dispoibile all epoca y M è l importo dispoibile all epoca y P x (icogita) I etrambi i casi, per il pricipio di equivaleza fiaziaria, deve aversi M P y x M y

L o.f. elemetare: esempi di ivestimeto e aticipazioe Esempi di operazioi di ivestimeto A presta a B la somma P i cambio della restituzioe, tra u mese, della somma M > P (da determiare ell accordo che itercorre tra A e B). A effettua u versameto di importo P su u coto correte bacario e, seza movimetare il coto, preleva a fie ao l importo M > P. Esempio di operazioi di aticipazioe A cede all epoca x u credito a B di importo M che scade all epoca y ed ottiee i cambio l importo P < M.

L o.f. elemetare: iteresse e scoto La differeza (o egativa) M P è detta elle operazioi di ivestimeto, iteresse (sul capitale ivestito P) ed è idicata come I x,y. Pertato elle operazioi di aticipazioe, scoto (sul capitale dovuto M) ed è idicata come D x,y. l iteresse I x,y è la somma che frutta l ivestimeto dell importo P tra le epoche x ed y lo scoto D x,y è la somma che frutta l aticipazioe all epoca x dell importo M dovuto all epoca y M P = I M = P + I x, y x, y M P = D P = M D x, y x, y Il motate dell importo P è pari alla somma dello stesso importo P e dell iteresse da questo prodotto. Il valore attuale dell importo M è pari alla differeza tra lo stesso importo M e lo scoto. Osservazioe. Si cosideri che per defiizioe è x, y, I = D x y

L o.f. elemetare: la fuzioe valore Le assuzioi alla base del mercato dei capitali ideale garatiscoo che esiste ua sola fuzioe f che, ota la tera x, y e P, idividua uivocamete M, cioe : Ipotesi sulla fuzioe f Assumeremo che la fuzioe f sia: f : ( P, x, y) M M = f ( P, x, y) cotiua su u isieme costituito da opportui itervalli di defiizioe delle variabili derivabile parzialmete rispetto alle tre variabili State il sigificato fiaziario della fuzioe f, dovrà ache essere P = f ( P, x, x), x 0, P f > 0 P f > 0 y (f crescete al crescere di P) (f crescete al crescere di y) f < 0 x (f decrescete al crescere di x)

L o.f. elemetare: la fuzioe valore (segue) Ipotesi sulla fuzioe f (segue) (Ipotesi di proporzioalità o idipedeza dall importo) M = f ( P, x, y) = P f (, x, y) essedo detta f(, x, y) fuzioe di importo uitario. Osservazioi Dal puto di vista ecoomico, l ipotesi assume che l utilità margiale del dearo sia costate L assuto è realistico el caso di importi coteuti o di periodi o molto lughi. Si può iterpretare f(, x, y) come il prezzo all epoca y di ua uità di capitale (p.es.: u euro) dispoibile all epoca x

L o.f. elemetare: ivertibilità della fuzioe valore (segue) Richiamo Data la fuzioe y = f(x) cotiua e strettamete crescete (decrescete) ell itervallo I esiste la sua fuzioe iversa f che risulta cotiua e strettamete crescete (decrescete) ell itervallo J, co J = f(i). y f y = f(x) f f f x = f (y) x

L o.f. elemetare: ivertibilità della fuzioe valore (segue) Per ipotesi, la fuzioe f è cotiua e strettamete crescete rispetto all importo P. Esiste duque la sua fuzioe iversa (rispetto a P) che idichiamo co g. Pertato M = f(p, x, y) P = g(m, x, y) restituisce l importo M dispoibile all epoca y i cambio dell importo P dispoibile all epoca x restituisce l importo P dispoibile i x i cambio dell importo M dispoibile all epoca y Valedo l ipotesi di proporzioalità si ha ache che M M = P f (, x, y) = f (, x, y) P Per defiizioe poiamo r(x, y) = f(, x, y). P P = M g(, x, y) = g(, x, y) M Per defiizioe poiamo v(x, y) = g(, x, y).

L o.f. elemetare: sigificato della fuzioe valore r(x, y) può iterpretarsi come:. il umero di uità di capitale dispoibili all epoca y i cambio di ua uità di capitale dispoibile all epoca x. x r(x,y) y 2. il prezzo all epoca y di u importo uitario dispoibile all epoca x. 3. Il fattore di capitalizzazioe i quato forisce il motate all epoca y per ogi uità di capitale P ivestito all epoca x v(x, y) può iterpretarsi come:. il umero di uità di capitale dispoibili all epoca x i cambio di ua uità di capitale dispoibile all epoca y. v(x,y) x y 2. il prezzo all epoca x di u importo uitario dispoibile all epoca y. 3. Il fattore di attualizzazioe i quato forisce il valore attuale all epoca x per ogi uità del capitale M dovuto all epoca y

L o.f. elemetare: relazioe tra r e v Osservazioe Essedo per defiizioe seguoo baalmete le M P P = r( x, y) e = v( x, y) M r( x, y) v( x, y) = r ( x, y ) = v( x, y) v( x, y) = r( x, y)

L o.f. elemetare: Esempi Esempio 5 Ivesto il 02.03.2008 u capitale di 00 ed ho i restituzioe il 02.08.2008 u capitale di 02,5. P = 00 M = 02,5 x = 02.03.08 y = 02.08.08 M 02.08.08 = P 02.03.08 r(02.03.08, 02.08.08) 02,5 = 00 r(02.03.08, 02.08.08) da cui 02,5 r (02.03.08,02.08.08) = =,025 00 Fattore di capitalizzazioe

L o.f. elemetare: Esempi Esempio 6 Disporrò il 02.2.2008 u importo di 00 e cedo tale dispoibilità i cambio di 90 che mi vegoo corrisposti il 02.0.2008 P = 90 M = 00 x = 02.0.08 y = 02.2.08 P 02.0.08 = M 02.2.08 v(02.0.08, 02.2.08) 90 = 00 v(02.0.08, 02.2.08) da cui 90 v (02.0.08,02.2.08) = = 0,90 00 Fattore di attualizzazioe

L o.f. elemetare: tasso di iteresse (periodale) Nelle operazioi di ivestimeto, si è defiito l iteresse I x,y come I x,y = M P () essedo M il motate all epoca y dell importo P ivestito all epoca x. Dividedo etrambi i membri della () per P si ottiee Per defiizioe poiamo I x, y M P M = = P P P, i( x, y) = P Il umero puro i(x,y) rappreseta l iteresse prodotto tra le epoche x ed y da ogi uità di capitale ivestito P e prede il ome di tasso effettivo di iteresse Osservazioe Si tega be presete che il tasso sopra defiito è u tasso periodale, relativo cioè al periodo di tempo che itercorre tra le epoche x ed y. I x y

L o.f. elemetare: tasso di scoto (periodale) Aalogamete, elle operazioi di aticipazioe, si è defiito lo scoto D x,y come D x,y = M P (2) essedo M il capitale dispoibile all epoca y e P l ivestito aticipato all epoca x. Dividedo etrambi i membri della (2) per M si ottiee Per defiizioe poiamo Dx, y M P P = = M M M, d( x, y) = M Il umero puro d(x,y) rappreseta lo scoto corrisposto per ogi uità di capitale M che, dispoibile all epoca y, viee aticipata all epoca x. Esso prede il ome di tasso effettivo di scoto Osservazioe Come osservato i precedeza, si rammeti che quello sopra defiito è u tasso periodale, relativo cioè al periodo di tempo che itercorre tra le epoche x ed y. D x y

L o.f. elemetare: relazioi tra gradezze fiaziarie Defiiti il ed il è ecessario esplicitare: tasso effettivo di iteresse i(x, y) tasso effettivo di scoto d(x,y). le relazioi che legao tali quatità alle altre gradezze già itrodotte (fattore di capitalizzazioe, fattore di scoto) 2. la relazioe esistete tra i(x, y) e d(x, y)

L o.f. elemetare: relazioi tra gradezze fiaziarie ) Relazioe tra tasso effettivo di iteresse e fattori di capitalizzazioe e scoto Per defiizioe Cocludedo I M P M P P P x, y (, ) = = = = (, ) i x y r x y i( x, y) = r( x, y) r( x, y) = + i( x, y) Ma è ache r ( x, y ) = v( x, y) da cui segue v( x, y) i( x, y) = = v( x, y) v( x, y) ed ache v( x, y) = + i ( x, y )

L o.f. elemetare: relazioi tra gradezze fiaziarie ) Relazioe tra tasso effettivo di scoto e fattori di capitalizzazioe e scoto Per defiizioe Cocludedo d x y I M P P = = M M M x, y (, ) = = v( x, y) d( x, y) = v( x, y) v( x, y) = d( x, y) Ma è ache r ( x, y ) = v( x, y) da cui segue r( x, y) d( x, y) = = r( x, y) r( x, y) ed ache r( x, y) = d ( x, y )

L o.f. elemetare: relazioi tra gradezze fiaziarie 2) Relazioe tra tasso effettivo di iteresse e tasso effettivo di scoto d( x, y) = r( x, y) r( x, y) Abbiamo appea dedotto che () r( x, y) = + i( x, y) e che (2) Sostituedo la (2) ella () segue immediatamete che i( x, y) d ( x, y ) = + i ( x, y ) v( x, y) i( x, y) = v( x, y) Aalogamete abbiamo ache dedotto che (3) v( x, y) = d( x, y) e che (4) Sostituedo la (4) ella (3) segue immediatamete che d( x, y) i( x, y) = d ( x, y )

L o.f. elemetare: sigificato fiaziario della relazioe tra i e d Si cosideri la catea di uguagliaze i( x, y) d( x, y) = = i( x, y) = i( x, y) = i( x, y) v( x, y) + i( x, y) + i( x, y) r( x, y) L uguagliaza tra primo e ultimo membro cosete di iterpretare fiaziariamete d( x, y) = i( x, y) v( x, y) il tasso di scoto come valore attuale del tasso di iteresse. i(x, y) v(x, y) d(x, y) i(x, y) x y

L o.f. elemetare: sigificato fiaziario della relazioe tra i e d Aalogamete si cosideri la catea di uguagliaze d( x, y) i( x, y) = d( x, y) d( x, y) d( x, y) r( x, y) d( x, y) = d( x, y) = v( x, y) = L uguagliaza tra primo e ultimo membro cosete di iterpretare fiaziariamete i( x, y) = d( x, y) r( x, y) il tasso di iteresse come motate del tasso di scoto. d(x, y) r(x, y) d(x, y) i(x, y) x y

L o.f. elemetare: tavola riepilogativa delle relazioi fodametali Queste fuzioi i fuzioe di queste r(x, y) v(x, y) i(x, y) d(x, y) r(x, y) r(x, y) r( x, y) r( x, y) r( x, y) r( x, y) v( x, y) v(x, y) v(x, y) v( x, y) v( x, y) v( x, y) + i( x, y) i(x, y) + i( x, y) i(x, y) i( x, y) + i( x, y) d( x, y) d( x, y) d( x, y) d(x, y) d( x, y) d(x, y)

L o.f. elemetare: esempi Nell esempio 5 era Quidi sarà 02,5 r (02.03.08,02.08.08) = =,025 00 Queste fuzioi i fuzioe di queste r(x, y) r(x, y) v(x, y) i(x, y) d(x, y) r(x, y) r( x, y) r( x, y) r( x, y) r( x, y),025 0,9756 0,025 0,02439

L o.f. elemetare: esempi Nell esempio 6 era Quidi sarà 90 v (02.0.08,02.2.08) = = 0,90 00 Queste fuzioi i fuzioe di queste r(x, y) v(x, y) i(x, y) d(x, y) v(x, y) v( x, y) _, v(x, y) v( x, y) v( x, y) _ v( x, y) 0,90 0, 0,0

L o.f. elemetare: esempi Esempio Si deve corrispodere alla scadeza y l importo di.000. Il tasso effettivo di iteresse periodale è del 2,5%. Si determii all epoca x (co x < y) la somma da aticipare, lo scoto ed il tasso effettivo di scoto dell operazioe. P = M v( x, y) = M = + i( x, y) =.000 = 975,6 + 0,025 Dx, y = M P =.000 975,6 = 24,39 D x y, 24,39 d( x, y) = = = 0,02439 M.000 975,6.000 x y

Cotratti a proti e cotratti a termie Nell operatività fiaziaria la regolazioe del prezzo avviee solitamete i epoche successive a quella i cui il prezzo stesso viee cocordato dalle parti. Esempio Si acquista oggi u bee che si iizierà a pagare tra sei mesi. Il prezzo del bee è cotrattualmete stabilito oggi dalle parti. L esborso per l acquirete è differito rispetto alla data di stipula del cotratto. Cosegueza E ecessario ampliare lo schema fi qui adottato per descrivere le o.f. semplici. D ora i avati idicheremo co u l epoca i cui viee pattuito il prezzo dell operazioe fiaziaria (è geeralmete l epoca ella quale si stipula il cotratto); x l epoca i cui viee regolato il prezzo dell operazioe fiaziaria (è geeralmete x > u) y l epoca i cui ha termie l operazioe fiaziaria

Cotratti a proti e cotratti a termie (segue) durata del cotratto durata dell o.f. u x y Epoca i cui viee pattuito il prezzo Epoca i cui viee regolato il prezzo Epoca i cui ha termie il cotratto Si osservi che y u : durata del cotratto (rileva l epoca di accordo sul prezzo) y x : durata dell operazioe fiaziaria (rileva l epoca di regolameto del prezzo)

Cotratti a proti e cotratti a termie: esempio Esempio 8 Il..08 (epoca u) il soggetto A stipula u cotratto co il soggetto B i base al quale si impega a corrispodere a B u importo pari a 870 il.0.09 (epoca x) i cambio di u importo di 000 che B ricooscerà ad A il.06.09 (epoca y). Schema dell operazioe 870 +.000 0//08 0/0/09 0/06/09 durata dell o.f. (5 mesi) durata del cotratto (7 mesi).000 = 870 r ( 0//08, 0/0/09, 0/06/09) 870 =.000 v ( 0//08, 0/0/09, 0/06/09) v(0//08, 0/0/09, 0/06/09) = 0,87 è il prezzo a termie di ua uità di capitale che sarà dispoibile il giugo 2009.

Cotratti a proti e cotratti a termie: Proprietà Euciamo le proprietà della fuzioe v(u, x, y) (date le relazioi fodametali, proprietà aaloghe possoo essere desute per le fuzioi d(u, x, y), r(u, x, y), i(u, x, y)).. E ovviamete u x y 2. Se u = x si ottiee il caso particolare v(u, x, y) = v(x, x, y) = v(x, y), prezzo a proti 3. La fuzioe v(u,x,y) rappreseta il prezzo, cocordato all epoca u, da pagarsi all epoca x di u importo uitario dispoibile all epoca y. Pertato è 0 < v(u, x, y) u x y 4.Se x = y la durata dell operazioe fiaziaria è ulla. Pertato v(u, y, y) = 5. Il prezzo di u importo uitario esigibile i y aumeta all avviciarsi alla scadeza dell istate i cui il prezzo viee regolato. Formalmete v( u, x, y) v( u, x, y) se u x x y 2 2 6. Tra due importi uitari dispoibili i epoche future diverse ha prezzo maggiore quello dei due che è dispoibile prima. Formalmete v( u, x, y ) v( u, x, y ) se u x y y 2 2

Cotratti a proti e cotratti a termie: termiologia Cotratti a proti Il prezzo viee corrisposto el mometo i cui esso è pattuito. Nelle operazioi di capitalizzazioe r(x, y) x r(x, y) è il fattore di capitalizzazioe a proti (spot) y a termie Il prezzo viee corrisposto i u epoca successiva a quella i cui esso è pattuito. Nelle operazioi di capitalizzazioe u r(u, x, y) x r(u, x, y) è il fattore di capitalizzazioe a termie y Nelle operazioi di attualizzazioe Nelle operazioi di attualizzazioe v(x, y) x v(x, y) è il fattore di attualizzazioe a proti o prezzo a proti (prezzo spot) y u v(u, x, y) x v(u, x, y) è il fattore di attualizzazioe a termie o prezzo a termie y

Cotratti a proti e cotratti a termie: termiologia (segue) Co riferimeto al prezzo v(u, x, y), fissado u e y [v(u, x, y) diviee fuzioe della sola epoca x] Evoluzioe del prezzo (dei cotratti che, stipulati i u, hao scadeza i y) u e x [v(u, x, y) diviee fuzioe della sola epoca y] Evoluzioe per scadeza (dei cotratti che, stipulati i u, vegoo regolati i x) x e y [v(u, x, y) diviee fuzioe della sola epoca u] Evoluzioe delle strutture dei prezzi (dei cotratti che, regolati i x, hao scadeza i y)

Operatività a proti ed a termie Stati le ipotesi formulate circa il mercato dei capitali, i ogi epoca gli operatori possoo decidere se effettuare u operazioe a proti o a termie. Ci poiamo pertato tre obiettivi:. Costruire uo schema che descriva la struttura a proti 2. Costruire uo schema che descriva la struttura a termie 3. Chiarire la relazioe (fodametale) che itercorre tra operatività a proti e a termie Premessa Per semplificare la otazioe supporremo che il tempo sia rappresetato da u variabile discreta. Deoteremo co t l epoca iiziale e co il aturale il umero di periodi uitari (orizzote) a partire da t. Lo scadezario di riferimeto sarà duque: t t+ t+2... t+k... t+ t+

Schema della struttura a proti Lo schema della struttura a proti è particolarmete semplice. All epoca t si osservao el mercato gli prezzi a proti: v(t, t+), v(t, t+2),..., v(t, t+) Come ormai chiaro, v(t, t+k) è il prezzo pattuito e corrisposto all epoca t che garatisce la dispoibilità di u importo uitario i t + k (k =, 2,, ) Sullo scadezario avremo: v(t, t+) t t+ t+2... t+k... t+ t+ v(t, t+2) t t+ t+2... t+k... t+ t+ : v(t, t+) t t+ t+2... t+k... t+ t+

Schema della struttura a termie Lo schema della struttura a termie è più articolato. Per dedurlo, el geerico prezzo a termie v(u, x, y), fissiamo u = t, x = t+ e lasciamo che y assuma il valore di ciascua delle epoche rimaeti. Ripetiamo il procedimeto fissado x = t + 2, valore i corrispodeza del quale y assumerà il valore di ciascua delle 2 epoche rimaeti. Procediamo ideticamete fiché sarà x = t +, valore i corrispodeza del quale y potrà valere solo t+. v(u, x, y) u = t ; x = t+ ; y = t+2, y = t+3,..., y = t + ( ) prezzi x = t+2 ; y = t+3, y = t+4,..., y = t + ( 2) prezzi : x = t + 2 ; y = t +, y = t + 2 prezzi x = t + ; y = t + prezzo

Schema della struttura a termie (segue) Sullo scadezario avremo v(t, t+, t+2) t t+ t+2... t+k... t+ t+ t t+ t+2... t+k... t+ t+ : v(t, t+, t+k) v(t, t+, t+ ) t t+ t+2... t+k... t+ t+ v(t, t+, t+) t t+ t+2... t+k... t+ t+ prezzi a termie il cui prezzo è regolato all epoca t +: v( t, t +, t + 2), v( t, t +, t + 3),..., v( t, t +, t + )

Schema della struttura a termie (segue) Sullo scadezario avremo v(t, t+2, t+3) t t+ t+2... t+3... t+ t+ : v(t, t+2, t+ ) t t+ t+2... t+k... t+ t+ v(t, t+2, t+) t t+ t+2... t+k... t+ t+ 2 prezzi a termie il cui prezzo è regolato all epoca t +2. v( t, t + 2, t + 3), v( t, t + 2, t + 4),..., v( t, t + 2, t + ) e così via

Schema della struttura a termie (segue) Prezzi N v(t, t+, t+2), v(t, t+, t+3),..., v(t, t+, t+) v(t, t+2, t+3), v(t, t+2, t+4),..., v(t, t+2, t+) v(t, t+3, t+4), v(t, t+3, t+5),..., v(t, t+3, t+) : : v(t, t+ 2, t+ ), v(t, t+ 2, t+) 2 v(t, t+, t+) 2 3 Il umero di prezzi a termie che si osserva el mercato all epoca t su u orizzote di periodi uitari è ( ) ( ) + ( 2) +... + 3 + 2 + = 2 Per ogi epoca t, l isieme di tali prezzi defiisce la struttura a termie del mercato.

Relazioe tra operazioi a proti e a termie Quidi, u operatore che all epoca t voglia assicurarsi u importo uitario all epoca t + i ( i ) può combiare operazioi a termie co operazioi a proti co l uico vicolo rappresetato dalle scadeze dell orizzote temporale sul quale opera. I particolare può scegliere se: oppure stipulare i t u cotratto a proti co scadeza t+i stipulare uo dei possibili cotratti a termie regoladoe il prezzo, i rapporto al cotratto scelto, i ua delle epoche t +, t + 2,..., t + i Problema Che tipo di relazioe esiste tra i due tipi di operatività? Più precisamete, le caratteristiche del mercato ideale cosetoo di stabilire delle codizioi di coereza tra i prezzi a proti e a termie?

Relazioe tra operazioi a proti e a termie Per rispodere ragioiamo sul caso semplificato di u orizzote di due periodi, cioè sullo scadezario i relazioe al quale l obiettivo fiaziario dell operatore, che agisce all epoca t, è di assicurarsi u importo uitario all epoca t+2. Come può procedere l operatore? t t+ t+2. Può stipulare u cotratto a proti che scade i t+2, pagado i t l importo v(t, t+2) 2. Può stipulare u cotratto a termie che scade i t+2, pagado i t+ l importo v(t, t +, t +2) I questo caso, qual è la somma che l operatore deve ivestire all epoca t per assicurarsi la dispoibilità della somma v(t, t +, t +2) all epoca t +? La somma è v(t, t+, t+2) attualizzata dall epoca t+ all epoca t, cioè moltiplicata per il fattore di attualizzazioe v(t, t+) v(t, t +, t +2) v(t, t +)

Relazioe tra operazioi a proti e a termie Equivalete fiaziario (prezzo) all epoca t dell importo v(t, t+, t+2) all epoca t + Equivalete fiaziario (prezzo) all epoca t + di u importo uitario all epoca t +2 v(t, t+, t+2) v(t, t+) v(t, t+, t+2) t t+ t+2 Riassumedo: Per disporre di u importo uitario all epoca t+2, l operatore all epoca t deve ivestire v(t, t + 2) i u operazioe a proti o v(t, t +, t + 2) v(t, t + ) i u operazioe a termie Possoo i due importi differire?

Relazioe tra operazioi a proti e a termie NO perché etrambe le operazioi fiaziarie dao luogo allo stesso risultato (u importo uitario) all epoca t+2. Per le ipotesi che reggoo il mercato dei capitali ideale, esiste u solo prezzo per l isieme delle operazioi che producoo il medesimo risultato fiaziario. Vale pertato la seguete relazioe v(t, t + 2) = v(t, t + ) v(t, t +, t + 2) (5) che deriva dal pricipio di asseza di arbitraggio. Dalla (5) segue immediatamete v( t, t +, t + 2) = v( t, t + 2) v( t, t + ) la quale sottoliea come il prezzo della struttura a termie possa essere calcolato oti i prezzi a proti. La struttura a termie è duque implicita ella struttura a proti.

Relazioe tra operazioi a proti e a termie Esempio Sul mercato all epoca t : u BOT co scadeza u ao (t+) quota V(t, t+) = 95,69 (*); u CTZ co scadeza due ai (t+2) quota V(t, t+2) = 9,57. I ipotesi di asseza di arbitraggio si vuole determiare il prezzo a termie del titolo che, acquistato all epoca t e regolato all epoca t+, paga 00 all epoca t+2. Dalla segue v( t, t +, t + 2) = Pertato il prezzo richiesto è 95,684. v( t, t + 2) v( t, t + ) 9,57 v( t, t +, t + 2) = = 0,95684 95,69 (*) Co v idichiamo il prezzo uitario. Per idicare il prezzo di importi o uitari si è soliti utilizzare la lettera maiuscola.

Esempio 9 (arbitraggio) Si suppoga che el mercato si osservio i segueti prezzi: v(t, t+) = 0,98 v(t, t+, t+2) = 0,96 v(t, t+2) = 0,958 La relazioe v(t, t + 2) = v(t, t + ) v(t, t +, t + 2) o vale, essedo 0,958 > 0,98 0,96 = 0,9408 Come si sfrutta cocretamete l icoereza tra prezzi che il mercato preseta? Devo coprire questo esborso Devo coprire questo esborso t t+ t+2 Vedo i t il cotratto a proti che scade i t+2 Compro i t il cotratto a termie (che regolo i t+) +0,958 0,96 + Compro i t 0,96 uità del cotratto a proti che scade i t+ 0,96 0,98 = 0,9408 +0,96 Profitto uitario +0,072 0 0

Esempio 0 (arbitraggio) Si suppoga che el mercato si osservio i segueti prezzi: v(t, t+) = 0,98 v(t, t+, t+2) = 0,96 v(t, t+2) = 0,938 La relazioe v(t, t + 2) = v(t, t + ) v(t, t +, t + 2) o vale, essedo 0,938 < 0,98 0,96 = 0,9408 Come si sfrutta cocretamete l icoereza tra prezzi che il mercato preseta? Devo azzerare questa etrata Devo azzerare questa etrata t t+ t+2 Compro i t il cotratto a proti che scade i t+2 Vedo i t il cotratto a termie (che viee regolato i t+) 0,938 + +0,96 Vedo i t 0,96 uità del cotratto a proti che scade i t+ +0,96 0,98 = + 0,9408 0,96 Profitto uitario +0,0028 0 0

Pricipio di asseza di arbitraggio Dagli esempi prima visti, sullo scadezario dato dalle epoche t T s, deduciamo lo schema geerale. Se fosse v(t, s) > v(t, T) v(t, T, s) la strategia t T s Vedo allo scoperto il cotratto a proti che scade i s +v(t, s) Compro il cotratto a termie che scade i s v(t,t,s) + Compro v(t,t,s) uità del cotratto a proti che scade i T Profitto uitario v(t,t,s)v(t,t) v(t,s) v(t,t,s)v(t,t) +v(t,t,s) 0 0 darebbe luogo ad arbitraggio co u profitto uitario pari a v(t, s) v(t, T) v(t, T, s).

Pricipio di asseza di arbitraggio I maiera aaloga, se fosse v(t, s) < v(t, T) v(t, T, s) la strategia t T s Compro il cotratto a proti che scade i s v(t, s) + Vedo il cotratto a termie che scade i s +v(t,t,s) Vedo v(t,t,s) uità del cotratto a proti che scade i T Profitto uitario +v(t,t,s)v(t,t) v(t,t,s)v(t,t) v(t,s) v(t,t,s) 0 0 darebbe luogo ad arbitraggio co u profitto uitario pari a v(t, s) v(t, T) v(t, T, s).

Codizioe di o arbitraggio: osservazioi Osservazioe I geerale, come implicitamete appea visto, el mercato ideale deve valere la seguete relazioe, di facile verifica v( t + p, t + s) = v( t + p, t + q) v( t + p, t + q, t + s) (p q s) (6) v( t + p, t + q, t + s) = v( t + p, t + s) v( t + p, t + q) Osservazioe 2 Ricordado che v = + i la relazioe (6), scritta i fuzioe dei tassi di iteresse, diviee i( t + p, t + s) = [ + i( t + p, t + q)][ + i( t + p, t + q, t + s)] (7) + i( t + p, t + s) i( t + p, t + q, t + s) = + i( t + p, t + q) essedo i(t + p, t + s) e i(t + p, t + q) i tassi di iteresse a proti ed i(t + p, t + q, t + s) il tasso di iteresse a termie (etrambi periodali).

Codizioe di o arbitraggio: osservazioi Osservazioe 3 Si cosideri che ella (6) e ella (7) figurao rispettivamete i prezzi ed i tassi effettivi di iteresse periodali. Nella (6) il prezzo v(t + p, t + q) è quello che osserviamo sul mercato per l o.f. di durata q p [= t + p (t + q)], il prezzo v(t + p, t + q, t + s) è quello relativo all o.f. di durata s q [= t + s (t + q)], il prezzo v(t + p, t + s) è relativo all o.f. di durata s p [= t + s (t + p)]. Aalogamete ella (7), i termii di tassi effettivi di iteresse periodali.

Tasso periodale e tasso effettivo di iteresse per periodo uitario Co i(x, y) si è fiora deotato il tasso effettivo di iteresse periodale, cioè relativo al periodo che itercorre tra le epoche x ed y. Così i(t, t+) idica il tasso periodale che caratterizza l operazioe che si sviluppa per periodi uitari a partire dall epoca t. Problema Il tasso periodale o può essere utilizzato per cofrotare la coveieza fiaziaria di operazioi che hao durate diverse. Esempio Si ha la possibilità di ivestire u importo: (A) per tre mesi al tasso periodale i(0, 3) =,85%, oppure (B) per tre mesi e dieci giori al tasso periodale Quale operazioe appare più coveiete? 0 ( 30,46 ) i 0,3 + = 2,03% Si potrebbe pesare che l operazioe (B) sia più redditizia dell operazioe (A), ma il cofroto tra i due tassi o è possibile direttamete, a causa della diversa durata delle operazioi fiaziarie. Se si riferiscoo etrambi i tassi ad ua stessa base, per esempio all ao, si realizza che l operazioe (A) è al tasso effettivo di iteresse auo i A = 7,6% e l operazioe (B) è effettuata al tasso effettivo di iteresse auo i B = 7,5%. A dispetto dell ituizioe, l operazioe (A) risulta più redditizia dell operazioe (B).

Tasso effettivo di iteresse per periodo uitario Problema Occorre stabilire ua relazioe che, dato u tasso effettivo di iteresse periodale, coseta di trasformare il tasso riferedolo ad ua diversa base temporale, per esempio al periodo uitario. Fissata l uità di misura del tempo (p.es. l ao), idichiamo co i (x, y) il tasso effettivo di iteresse riferito al periodo uitario dedotto dalle codizioi vigeti sul mercato tra le epoche x ed y. Adottado questa otazioe, oltre che semplicemete come i(x, y), il tasso effettivo di iteresse periodale potrebbe ache scriversi come i y x (x, y) a sottolieare che il periodo cui il tasso è relativo è quello compreso tra le epoche x ed y. I geere l omissioe del pedice idicherà che il tasso è periodale, a meo che o sia altrimeti precisato. Ci iteressa stabilire quale relazioe deve esistere tra i (x, y) e i y x (x, y); Più i geerale, come si possa trasformare il periodo cui è riferito il tasso effettivo di iteresse (periodale).

Tassi periodale e tasso effettivo di iteresse per periodo uitario Ragioiamo a ritroso. Il prezzo all epoca t dell o.f. di durata pari a periodi uitari è v(t, t+). Data la struttura a proti che vige all epoca t+, il prezzo che i t+ assicura all epoca t+ u importo uitario è v(t+, t+) Data la struttura a proti che vige all epoca t+ 2, il prezzo che i t+ 2 assicura all epoca t+ l importo v(t+, t+) [equivalete fiaziariamete all importo uitario i t+] è v(t+ 2, t+ ) v(t+, t+) Data la struttura a proti che vige all epoca t+ 3, il prezzo che i t+ 3 assicura all epoca t+ 2 l importo v(t+ 2, t+ ) v(t+, t+) [equivalete fiaziariamete all importo uitario i t+] è e così via fio all epoca t. Quidi v(t+ 3, t+ 2) v(t+ 2, t+ ) v(t+, t+)

Tassi periodali e tasso effettivo di iteresse per periodo uitario Fissiamo l uità di misura del tempo (p.es. u ao) e cosideriamo u o.f. che si sviluppa su u orizzote di periodi uitari ( ai). I particolare, cosideriamo il prezzo all epoca t di u importo uitario dispoibile all epoca t +, v(t, t+). Ipotesi L operazioe fiaziaria (uica) tra t e t + può scomporsi i operazioi la cui durata è pari al periodo uitario; le operazioi vegoo effettuate tutte allo stesso tasso di iteresse; coducoo allo stesso risultato fiaziario. Obiettivo Dato il prezzo (e quidi il tasso effettivo di iteresse) periodale, si vuole caratterizzare l operazioe fiaziaria attraverso u tasso effettivo di iteresse per periodo uitario. v(t, t+) v(t, t+) v(t+, t+2) v(t+2, t+3) v(t+, t+) t t+. t+2.. t+ t+

Tassi periodale e tasso effettivo di iteresse per periodo uitario all epoca t, il prezzo che assicura u importo uitario all epoca t+ attraverso ua successioe di operazioi a proti che hao tutte durata pari al periodo uitario (roll-over) è Ovvero, scritto i forma compatta v( t, t + ) v( t +, t + 2)... v( t +, t + ) s= 0 v( t + s, t + s + ) Osservazioe Si oti che tutti i prezzi che figurao ella (8) [(9)] soo riferiti al periodo uitario. Usado la otazioe prima itrodotta, potrebbero ache scriversi come v ( t, t + ) v ( t +, t + 2)... v( t +, t + ) v( t + s, t + s + ) s= 0 Coclusioe L uica operazioe di durata pari a periodi uitari il cui prezzo all epoca t è v(t, t+) ed il roll-over delle operazioi, ciascua di durata pari a u periodo uitario il cui prezzo all epoca t è s= 0 v ( t + s, t + s + ) dao come esito fiale la dispoibilità di u importo uitario all epoca t+. Pertato esse devoo avere lo stesso valore ache all epoca t. (8) (9)

Tassi periodale e tasso effettivo di iteresse per periodo uitario Pertato dalla quale, ricordado che v( t, t + ) = v ( t + s, t + s + ) v = + i s= 0 s= 0, segue [ ] i( t, t + ) = + i ( t + s, t + s + ) (0) () Se el periodo compreso tra le epoche t e t+ tutti i tassi effettivi di iteresse a proti riferiti al periodo uitario fossero uguali, la () si ridurrebbe alla avedo idicato co i (t, t+) il tasso effettivo di iteresse per periodo uitario osservato sull orizzote di periodi uitari a partire dall epoca t. Ricavado dalla (3) i (t, t+) si ottiee [ ] i( t, t + ) = + i ( t, t + ) (3) [ ] i (, ) (, ) t t + = + i t t + (4)

Tasso di iteresse medio per periodo uitario Osservazioe La (4) esprime la relazioe tra il tasso effettivo di iteresse riferito al periodo uitario ed il tasso effettivo di iteresse periodale di u operazioe che si sviluppa su u orizzote di periodi uitari, ell ipotesi che ell itero arco di tempo cosiderato il tasso per periodo uitario rimaga ivariato. La relazioe è tuttavia suscettibile di u altra iterpretazioe: se la successioe dei tassi a proti che figura al secodo membro della () viee rimpiazzata da ua successioe i cui figura u tasso medio per periodo uitario, deotato co ι ( t, t + ), si giuge al medesimo risultato. da cui segue baalmete: [ ] i ( t, t + ) = + i ( t + s, t + s + ) = s= 0 s= 0 [ ι t s t s ] = + ( +, + + ) = [ ι t t ] = + (, + ) [ ] (, ) (, ) ι t t + = + i t t + (5) Beché formalmete la (5) equivalga alla (4), l iterpretazioe fiaziaria è differete: al suo primo membro figura il tasso di iteresse medio per periodo uitario.

Tasso di iteresse medio per periodo uitario Esempio Pago 87,6 oggi che mi assicurao la dispoibilità di 00 tra tre ai. Qual è il tasso medio su base aua (avete cioè per periodo di riferimeto l ao)? 87,6 v (0,3) = = 0,876 00 i(0,3) = 0,4553 v(0,3) = 0,876 = Essedo = 3 ai, si ha [ ] 3 ι (0,3) = + 0,4553 = 0,0458 Il tasso di iteresse medio per periodo uitario (approssimato alla secoda cifra decimale) è pari al 4,5%. Attezioe, si tratta di u tasso medio! Lo stesso risultato (a meo di u errore dell ordie di 6,3 0 6 ) si sarebbe raggiuto utilizzado, per esempio, la seguete successioe di tassi a proti i (0,) = 0,0458 i (,2) = 0,039250 i (2,3) = 0,05000

Tassi equivaleti Osservazioe Ricosideriamo la (3) e la (4) [ ] i( t, t + ) = + i ( t, t + ) che abbiamo dedotto a partire da u operazioe della durata di periodi uitari. [ ] i (, ) (, ) t t + = + i t t + Se aziché u multiplo del periodo uitario, rappresetasse ua frazioe dello stesso, cioè fosse = /m co m>, sostituedo ella (3) e ella (4) si avrebbe, rispettivamete i ( t, t + m) = + i ( t, t + m) m m (6) i t t i t t (, + ) (, ) m = + + m m m (7) elle quali, per evitare ambiguità, il tasso periodale è stato precisato ache attraverso il pedice.

Tassi equivaleti (segue) Nel caso i cui il tasso effettivo di iteresse riferito all m-esima parte del periodo uitario sia sempre lo stesso, è possibile omettere l idicazioe dell itervallo di tempo cui lo stesso è riferito e scrivere semplicemete i ( ) m i = + m ( i ) m = + m i (8) (9) La (6) e (7) [(8) e (9)] defiiscoo le relazioi tra tassi equivaleti. Rappresetado sullo scadezario, si ha i i m i m i m 0 m 2 m m m = m m

Tassi equivaleti (segue) Osservazioi ) Tutte le relazioi di equivaleza tra i tassi fi qui dedotte si basao sul pricipio di asseza di arbitraggio. Come si vedrà i seguito, poiché tale pricipio vale per uo specifico regime fiaziario che chiameremo della capitalizzazioe composta le relazioi di equivaleza tra tassi sopra desute valgoo ell ambito di tale regime. Per gli altri regimi fiaziari si possoo ricavare relazioi di equivaleza aaloghe a quelle viste, seguedo lo stesso schema di ragioameto. 2) La (9) può essere scritta i ua forma più geerale, che cosete di modificare la base temporale di riferimeto del tasso seza ecessariamete riferirla al periodo uitario (p.es. all ao). Ifatti, se questo è frazioato ua volta i m -esimi (p.es. trimestri) ed ua volta i m 2 -esimi (p.es. quadrimestri), vale sempre la (9) ( ) m m i = + i ( ) m2 i = + i dalle quali, uguagliado e risolvedo, si ottiee m 2 i m ) 2 m m m2 ( i = + (20) La (20) cosete di modificare il periodo di riferimeto del tasso di iteresse da ua qualsiasi base ad ua qualsiasi altra base (ivi iclusa, ovviamete, quella riferita al periodo uitario), elle ipotesi sopra richiamate.

Tassi equivaleti (segue) Esempio Il tasso effettivo di iteresse quadrimestrale è pari all,8%. Determiare il tasso trimestrale, il tasso semestrale e quello auale equivaleti al tasso dato. Numero di quadrimestri i u ao: m 2 = 3 Numero di trimestri i u ao: m t = 4 Numero di semestri i u ao: m s = 2 Numero di ai i u ao: m a = Pertato, utilizzado la (20) Tasso equivalete trimestrale Tasso equivalete semestrale Tasso equivalete auale i i i ( i ) ( ) 4 3 3 4 3 4 = + = + 0,08 = 0,0346985 (,35%) ( i ) ( ) 2 3 ( i ) ( ) 3 3 2 3 3 2 = + = + 0,08 = 0,027238 (2,7%) 3 = + = + 0,08 = 0,054977832 (5,50%)

I regimi fiaziari

Capitalizzazioe composta (co struttura piatta) Ricosideriamo la relazioe (5) ella forma ovvero, ricordado la relazioe tra r ed i, come [ ι ] + i( t, t + ) = + ( t, t + ) Se per ogi t e per ogi risulta, cioè il tasso di iteresse è costate o come ache si dice la struttura dei tassi di iteresse è piatta, allora (omettedo per semplicità di otazioe di idicare il pedice ) si ha [ ι ] r( t, t + ) = + ( t, t + ) ι ( t, t + ) = i da cui, sfruttado le relazioi fodametali r( t, t + ) = r( ) = ( + i) = r (2) v( t, t + ) = v( ) = = = = v r( ) r i ( + ) i( t, t + ) = i( ) = r( ) = r = ( + i) (22) (23) d( t, t + ) = d( ) = v( ) = v = ( + i) (24)

Capitalizzazioe composta (co struttura piatta) Le leggi (2) (24) o dipedoo dall epoca t ma dalla sola durata dell operazioe. Se + aziché limitarsi alla durata si cosidera ua durata qualsiasi τ le (2) (24) divetao τ r( τ ) = r = ( + i) τ (25) τ v( τ ) = v = ( + i) τ (26) τ τ ( τ ) = = ( + ) i r i τ d( τ ) = v = ( + i) τ (27) (28) Le relazioi (25) (28) idividuao il regime fiaziario della capitalizzazioe composta i ipotesi di struttura piatta dei tassi di iteresse. Osservazioe Si oti la atura espoeziale della legge (25), ua volta fissato il tasso di iteresse. Dal puto di vista fiaziario, tale caratteristica sigifica assumere che gli iteressi producao a loro volta iteressi (cd. aatocismo).

Capitalizzazioe composta (co struttura piatta) Grafici delle leggi fiaziarie del regime della capitalizzazioe composta al variare del tasso di iteresse (i = 2,5%; 5,0%; 7,5%; 0,0%) 8 Grafico della fuzioe r(τ ) = ( + i) τ Grafico della fuzioe i(τ ) = (+i) τ 7 7 6 6 5 i = 0,0% i = 0,0% 5 r(τ ) 4 i = 7,5% i(τ ) 4 3 i = 7,5% 3 i = 5,0% 2 2 i = 5,0% i = 2,5% 0 0 5 0 5 20 τ 0 0 5 0 5 20 τ i = 2,5%

Capitalizzazioe composta (co struttura piatta) Grafici delle leggi fiaziarie del regime della capitalizzazioe composta al variare del tasso di iteresse (i = 2,5%; 5,0%; 7,5%; 0,0%).2 Grafico della fuzioe v(τ ) = (+i) τ 0.9 0.8 Grafico della fuzioe d(τ ) = (+i) τ i = 0,0% 0.7 i = 7,5% 0.8 0.6 v(τ ) 0.6 i = 2,5% d(τ ) 0.5 i = 5,0% i = 5,0% 0.4 0.4 i = 7,5% 0.3 i = 2,5% 0.2 0.2 i = 0,0% 0. 0 0 5 0 5 20 τ 0 0 5 0 5 20 τ

Capitalizzazioe composta (Esempio) Esempio I regime di capitalizzazioe composta si iveste u importo di.500 al tasso effettivo auo i = 4,7% per 3 ai e due mesi. Calcolare il motate, il fattore di attualizzazioe, il tasso di iteresse ed il tasso di scoto periodali relativi alla durata dell operazioe. Essedo 3+ r( t) = ( + 0,047) =,565502 2 2 segue M 3+ 2 38 2 2 =.500 ( + 0,047) =.500 ( + 0,047) =.734,825 v( t) = 3 2 = 0,864640368 + 2 ( + 0,047) 3+ 2 2 i( t) = ( + 0,047) = 0,565502 (5,66%) 2 ( 3+ 2 ) d( t) = ( + 0,047) = 0,35359632 (3,54%) Tassi periodali

Capitalizzazioe semplice Abbiamo visto che el regime della capitalizzazioe composta i ipotesi di struttura piatta del tasso di iteresse (e quidi co leggi fiaziarie dipedeti dalla sola durata dell o.f.) il fattore di capitalizzazioe di u operazioe di durata pari a t periodi uitari è t r( t) = r = ( + i) t Sviluppado i serie di poteze di i, co i<, si ottiee t t( t ) t( t )( t 2) i t i i i 2! 3! 2 3 ( + ) = + + + +... Per t< (cioè per operazioi aveti durata iferiore al periodo uitario), la serie risulta a termii di sego altero e decresceti t( t ) t( t )( t 2) t i i i 2! 3! 2 3 > > > Pertato, arrestado lo sviluppo ai primi due addedi, si ha t ( + i) + i t... e si commette u errore per eccesso iferiore a i t( t ) 2 2!

Capitalizzazioe semplice Il regime fiaziario defiito dalle leggi r( t) = + i t i( t) = i t v( t) = + i t i t d ( t ) = + i t (29) (30) (3) (32) prede il ome di capitalizzazioe (o iteresse) semplice. Osservazioe La relazioe (29) è stata derivata dal regime della capitalizzazioe composta i maiera esclusivamete aalitica, sviluppadoe i serie il fattore di capitalizzazioe. E opportuo defiire il regime della capitalizzazioe semplice ache a partire da ipotesi fiaziarie.

Capitalizzazioe semplice Co riferimeto allo scadezario r(t, t) r(t, t+) r(t, t+2) r(t, t+k) r(t, t+k+) r(t, t+) t t+ t+2... t+k t+k+... t+ il regime della capitalizzazioe semplice può dedursi i via fiaziaria assumedo che l iteresse prodotto tra t + k e t + k +, I t+k, t+k+, sia proporzioale: al capitale ivestito all epoca t; alla durata (su base uitaria) dell operazioe; al tasso di iteresse del periodo (t + k, t + k + ) cioè da cui It+ k, t+ k + : = r( t, t + k + ) r( t, t + k) = r( t, t) i( t + k, t + k + ) r( t, t + k + ) = r( t, t + k) + r( t, t) i( t + k, t + k + ) ovvero, essedo r(t, t) =, (qui si cosidera u importo iiziale uitario) r( t, t + k + ) = r( t, t + k) + i( t + k, t + k + ), k = 0,..., (33)

Capitalizzazioe semplice Dalla (33), procededo iterativamete r( t, t + ) = r( t, t) + i( t, t + ) = + i( t, t + ) r( t, t + 2) = r( t, t + ) + i( t +, t + 2) = + i( t, t + ) + i( t +, t + 2) M r( t, t + k) = r( t, t + k ) + i( t + k, t + k) = + i( t, t + ) + i( t +, t + 2) +... + i( t + k, t + k) M r ( t, t + ) = r ( t, t + ) + i ( t +, t + ) = = + i( t, t + ) + i( t +, t + 2) +... + i( t +, t + ) = = + i( t + k, t + k + ) k = 0 (34) Osservazioe Si oti che la (34), che esprime il fattore di capitalizzazioe el regime della capitalizzazioe semplice attraverso la successioe dei tassi a proti, è ua relazioe lieare. Dalla (34), assumedo ua struttura piatta dei tassi, si ricavao baalmete le (29) (32).

Capitalizzazioe semplice Grafici delle leggi fiaziarie del regime della capitalizzazioe semplice al variare del tasso di iteresse (i = 2,5%; 5,0%; 7,5%; 0,0%) 3.5 Grafico della fuzioe r(τ ) = +i τ 2.5 Grafico della fuzioe i(τ ) = i τ 3 i = 0,0% 2 i = 0,0% 2.5 i = 7,5% 2 i = 5,0%.5 i = 7,5% r(τ ).5 i = 2,5% i(τ ) i = 5,0% 0.5 i = 2,5% 0.5 0 0 5 0 5 20 τ 0 0 5 0 5 20 τ

Capitalizzazioe semplice Grafici delle leggi fiaziarie del regime della capitalizzazioe semplice al variare del tasso di iteresse (i = 2,5%; 5,0%; 7,5%; 0,0%).2 Grafico della fuzioe v(τ ) = (+i τ ) Grafico della fuzioe d(τ ) = i τ /(+ i τ ) 0.8 0.7 i = 0,0% 0.6 0.8 i = 2,5% 0.5 i = 7,5% v(τ ) 0.6 0.4 i = 5,0% i = 7,5% d(τ ) 0.4 0.3 i = 5,0% i = 2,5% i = 0,0% 0.2 0.2 0. 0 0 5 0 5 20 τ 0 0 5 0 5 20 τ

Capitalizzazioe semplice Osservazioi. E immediato verificare che per la liearità della legge del tasso di iteresse (i(t)=i t) del regime fiaziario della capitalizzazioe semplice, il tasso effettivo di iteresse riferito all m-esima parte del periodo uitario i ipotesi di struttura piatta [v. la (8)], diveta i m = i = m Questa osservazioe sarà utile i seguito, quado tratteremo il tasso covertibile. 2. Il regime fiaziario della capitalizzazioe semplice può applicarsi ad operazioi di durata qualsiasi, ma viee per lo più utilizzato i operazioi fiaziarie di durata o superiore all ao. E comodo esprimere il tempo i giori, distiguedo tra ao commerciale (360 giori) ed ao solare (365 giori). Così, l iteresse prodotto dal capitale P impiegato per g giori al tasso i, utilizzado l ao commerciale, è i m Il rapporto 360 = D i g P g It, t+ g = P i = 360 360 i è detto geeralmete divisore fisso. (35)

Capitalizzazioe semplice (esempi) Esempio I Buoi Ordiari del Tesoro (BOT) costituiscoo u esempio di titoli obbligazioari a cedola ulla co redimeto calcolato secodo il regime della capitalizzazioe semplice. Più precisamete il redimeto è pari alla differeza tra il valore di rimborso ed il prezzo di acquisto (o, el caso il titolo sia acquistato all emissioe, il prezzo di sottoscrizioe). Il tasso di iteresse etto (periodale, a partire dalla data di acquisto fio a scadeza) dei BOT è dato dalla: essedo: ( M p)( a) c 360 i = p( a) + am + c g i il tasso di iteresse M il valore omiale p il prezzo di acquisto a l aliquota fiscale (attualmete 2,5% applicato alla sottoscrizioe) c la commissioe applicata dall itermediario fiaziario g i giori a scadeza (36) Come si ricava la (36)?

Capitalizzazioe semplice (esempi, segue) I regime di capitalizzazioe semplice il motate M è dato dalla M = p( + i t) (37) Si deoti co a l aliquota fiscale applicata al reddito geerato dal titolo obbligazioario e co c la commissioe applicata dall itermediario fiaziario. Il prezzo di acquisto compresivo dell imposta e della commissioe è allora p ac = p + a(m p) + c (38) Combiado la (37) e la (38) si ha M = p ac ( + i t) dalla quale segue M pac M p i = = t t pac Sostituedo la (38) ella (39) M [ p + a( M p) + c] M p am + ap c i = = = [ p + a( M p) + c] t ( p + am ap + c) t ac (39) M ( a) p( a) c ( M p)( a) c = = [ p( a) + am + c] t [ p( a) + am + c] t

Capitalizzazioe semplice (esempi, segue) Esprimedo il tempo i frazioe d ao, cioè come t = g/360 essedo g il umero dei giori, si ha ifie la (36): ( M p)( a) c 360 i = p( a) + am + c g Esempio Si acquista i asta u BOT co scadeza tra 80 giori al prezzo di 98,20 e si paga ua commissioe pari allo 0,2%. Calcolare il redimeto etto. Calcoliamo la riteuta fiscale: 2,5% (00 98,20) = 0,225 Calcoliamo il prezzo etto di aggiudicazioe (prezzo di acquisto+commissioi+riteuta fiscale): 98,20 + 0,2 + 0,225 = 98,625 Calcoliamo l iteresse etto: 00 98,625 =,375 Calcoliamo il redimeto semplice: I 360,375 360 i = 0,027883 p g = 98,625 80 = Allo stesso risultato si perviee applicado la (36) co M=00, p=98,20, g=80, a=0,25 e c=0,2.

Scoto commerciale Ricordiamo che el regime della capitalizzazioe composta i ipotesi di struttura piatta del tasso di iteresse (e quidi co leggi fiaziarie dipedeti dalla sola durata dell o.f.) il fattore di attualizzazioe di u operazioe di durata pari a t periodi uitari è v( t) = v = ( + i) = ( d) t t t Sviluppado i serie di poteze di d, co d<, si ottiee t t( t ) t( t )( t 2) d t d d d 2! 3! 2 3 ( ) = + ( ) + ( ) + ( ) +... Per t< (cioè per operazioi aveti durata iferiore al periodo uitario), la serie risulta a termii di sego egativo e decresceti t( t ) t( t )( t 2) t d d d 2! 3! 2 3 0 > ( ) > ( ) > ( ) >... Pertato, arrestado lo sviluppo ai primi due addedi, si ha (co u errore per eccesso) t ( d) d t

Scoto commerciale Il regime fiaziario defiito dalle leggi v( t) = d t d( t) = d t r( t) = d t d t i ( t ) = d t (40) (4) (42) (43) prede il ome di scoto (o capitalizzazioe) commerciale Osservazioe La relazioe (40) è stata derivata dal regime della capitalizzazioe composta i maiera esclusivamete aalitica, sviluppadoe i serie il fattore di attualizzazioe. E opportuo defiire il regime dello scoto commerciale ache a partire da ipotesi fiaziarie.

Scoto commerciale Il regime dello scoto commerciale (impiegato per lo più i operazioi di aticipazioe bacaria di breve durata) è defiito richiededo che lo scoto relativo all aticipazioe di u capitale dispoibile i u epoca futura risulti proporzioale: al capitale da scotare; al tasso di scoto; alla durata dell aticipazioe. I altri termii D = M d(t) = M d t (4 ) essedo (co otazioe solita) M il capitale da aticipare, d il tasso di scoto e t la durata dell operazioe di aticipazioe. Il capitale scotato è quidi P = M D = M M d t = M( d t) = M v(t) (40 ) Dalle (40 ) e (4 ) è immediato ricavare le relazioi (40) (43).

Scoto commerciale Osservazioi. E immediato verificare che per la liearità della legge del tasso di scoto (d(t) = d t) del regime fiaziario dello scoto commerciale, il tasso effettivo di scoto riferito all m-esima parte del periodo uitario, i ipotesi di struttura piatta [v. la (8)], diveta = = d d m m m Questa osservazioe sarà utile i seguito, quado tratteremo il tasso covertibile d 2. Si oti che per coservare sigificato fiaziario, ella (40) [o (40 )] deve essere + i d t > 0 t < = d i La (44) costituisce pertato u vicolo logico elle relazioi che defiiscoo il regime dello scoto commerciale. (44)

Scoto commerciale Grafici delle leggi fiaziarie del regime dello scoto commerciale al variare del tasso di iteresse (i = 2,5%; 5,0%; 7,5%; 0,0%) Grafico della fuzioe r(τ ) = ( d τ ) 200 80 60 40 i = 0,0% d = 0,0909 i = 7,5% d = 0,0697 Grafico della fuzioe i(τ ) = d τ /( d τ ) 00 90 80 70 i = 0,0% d = 0,0909 i = 7,5% d = 0,0697 i = 5,0% d = 0.0476 20 60 r(τ ) 00 80 i = 5,0% d = 0.0476 i(τ ) 50 40 i = 2,5% d = 0,0244 60 30 40 i = 2,5% d = 0,0244 20 20 0 0 0 5 0 5 20 25 30 35 40 45 τ τ < / 0,0909= τ < / 0,0476=2 τ </ 0,0697 4,3 τ < / 0,0244=4 0 0 5 0 5 20 25 30 35 40 45 τ

Scoto commerciale Grafici delle leggi fiaziarie del regime dello scoto commerciale al variare del tasso di iteresse (i = 2,5%; 5,0%; 7,5%; 0,0%).2 Grafico della fuzioe v(τ ) = d τ.2 Grafico della fuzioe d(τ ) = d τ i = 0,0% d = 0,0909 i = 7,5% d = 0,0697 v(τ ) 0.8 0.6 i = 7,5% d = 0,0697 d(τ ) 0.8 0.6 i = 5,0% d = 0.0476 i = 2,5% d = 0,0244 0.4 0.4 0.2 i = 0,0% d = 0,0909 i = 5,0% d = 0.0476 0 0 5 0 5 20 25 30 35 40 45 τ i = 2,5% d = 0,0244 τ < / 0,0909= τ </ 0,0476=2 τ </ 0,0697 4,3 τ </ 0,0244=4 0.2 0 0 5 0 5 20 25 30 35 40 45 τ

Cofroto tra regimi fiaziari Grafico del fattore di capitalizzazioe dei tre regimi fiaziari aalizzati r( (t) + i t < A chi iveste coviee il regime della capitalizzazioe semplice A chi si fiazia coviee il regime dello scoto commerciale Scoto commerciale Capitalizzazioe composta Capitalizzazioe semplice t > A chi iveste coviee il regime dello scoto commerciale A chi si fiazia coviee il regime della capitalizzazioe semplice 0 0.2 0.4 0.6 0.8.2.4.6.8 2 t

Cofroto tra regimi fiaziari Grafico del fattore di attualizzazioe dei tre regimi fiaziari aalizzati + i Capitalizzazioe semplice v(t) Scoto commerciale Capitalizzazioe composta 0 0.2 0.4 0.6 0.8.2.4.6.8 2 t

Tasso covertibile ed itesità istataea di iteresse

Tasso covertibile Ricosideriamo il tasso effettivo di iteresse riferito all m-esima parte del periodo uitario i ipotesi di struttura piatta, defiito dalla (8). i ( ) m i = + m Ricordiamo che la relazioe (8) è stata dedotta da cosiderazioi basate sul pricipio di asseza di arbitraggio che, come si vedrà più avati, valgoo per il regime fiaziario della capitalizzazioe composta. Defiiamo il prodotto tasso omiale (per periodo uitario) riovabile (o covertibile) m volte el periodo uitario j ( m ) = m i m (45)

Tasso covertibile Osservazioi. Il tasso covertibile j(m) esprime u itesità. Ifatti, dimesioalmete i (umero puro) m j( m) = m i = (tempo ) m m 2. Aalogamete a quato fatto per il tasso di iteresse, è possibile defiire il tasso omiale di scoto per periodo uitario riovabile m volte el periodo uitario semplicemete sostituedo ella (45) d /m a i /m, cioè ρ ( m) = m d m (46) essedo, ell ambito del regime della capitalizzazioe composta, il tasso di scoto relativo all m-esima parte del periodo uitario d = ( d) m m

Tasso covertibile Il tasso omiale j(m) coverte il tasso effettivo di iteresse relativo all m-esima parte del periodo uitario, i /m, riferedolo al periodo uitario stesso. Beché il tasso covertibile sia spesso impiegato ella pratica (è il tasso tipicamete usato per le obbligazioi), la coversioe o è fiaziariamete corretta perché equivale a sommare m volte il tasso i /m relativo a sottoperiodi diversi del periodo uitario. Si cosideri l esempio seguete: m volte P = t m i i i i m m m m 2 m m t + t + t + t + = t + m I regime di capitalizzazioe composta su base pari ad u m-esimo di periodo uitario, la coversioe sigifica che ad ogi scadeza l ivestitore di u capitale uitario (P=) riscuote come iteresse l ammotare i /m, cosicché ell itero periodo uitario viee riscosso complessivamete l iteresse m i /m. La scorrettezza fiaziaria asce dal fatto che ogi importo i /m matura i u epoca differete del periodo uitario e quidi o potrebbe essere sommato ai rimaeti, se o dopo essere stato riferito ad ua stessa epoca.\ m m

Tasso covertibile j( m) = m i Il tasso covertibile è defiito come. L espressioe si particolarizza i rapporto al regime fiaziario: m m i = ( + i). Nel regime della capitalizzazioe composta, ricordado che è, si ha m j( m) = m ( + i) 2. Nel regime della capitalizzazioe semplice, ricordado che, si ha m (47) i i = m m i j ( m ) = m = i (48) m 3. Nel regime dello scoto commerciale, ricordado che, si ha d ρ ( m) = m = d m d m = d m (49) Per cogliere il sigificato fiaziario del tasso covertibile aalizzeremo el dettaglio la (47). Assumeremo cioè i primo luogo che il regime fiaziario sia quello della capitalizzazioe composta. Solo successivamete geeralizzeremo i risultati.

Tasso covertibile (esempio) Esempio Co riferimeto al regime fiaziario della capitalizzazioe composta, si calcoli il tasso omiale auo j(m) per u frazioameto: semestrale (m = 2) quadrimestrale (m = 3) trimestrale (m = 4) mesile (m = 2) equivalete al tasso effettivo auo di iteresse del 5%. 2 j(2) = 2 ( + 0,05) = 0,0493905 (4,939%) 3 j(3) = 3 ( + 0,05) = 0,0498907 (4,99%) 4 j(4) = 4 ( + 0,05) = 0,04908894 (4,909%) 2 j(2) = 2 ( + 0,05) = 0,04888949 (4,889%)

Tasso covertibile Tassi effettivi aui,0000% 2,0000% 3,0000% 4,0000% 5,0000% m Tasso omiale auo Auale,0000% 2,0000% 3,0000% 4,0000% 5,0000% Semestrale 2 0,9975%,990% 2,9778% 3,9608% 4,9390% Quadrimestrale 3 0,9967%,9868% 2,9705% 3,9478% 4,989% Trimestrale 4 0,9963%,9852% 2,9668% 3,944% 4,9089% Mesile 2 0,9954%,989% 2,9595% 3,9285% 4,8889% Settimaale 52 0,995%,9806% 2,9567% 3,9236% 4,883% Gioraliero 365 0,9950%,9803% 2,9560% 3,9223% 4,8793% Cotiuo 0,9950%,9803% 2,9559% 3,922% 4,8790% tra gior. e cotiuo 0,000000 0,0000005 0,000002 0,000002 0,0000033 Osservazioe Al crescere del frazioameto m il tasso covertibile decresce e tede ma stabilizzarsi ad u valore che dipede dal tasso effettivo auo. Per dedurre la relazioe aalitica che esiste, el regime della capitalizzazioe composta, tra i e j(m) quado m cresce idefiitamete è ecessario studiare la fuzioe j(m).

Tasso covertibile ed itesità istataea di iteresse Studio della fuzioe j(m) Isieme di defiizioe: m : m 0 (fiaziariamete ha seso m > 0) ( + i) m Limiti: lim j( m) = lim m ( + i) = lim = log( + i) ( l. otevole) m ± m ± m ± m lim j( m) = lim m ( + i) = 0 ( immediato) m 0 m 0 m lim j( m) = lim m ( + i) = + ( de L' Hospital) + + 0 m 0 m 0 0 Sego: j( m) > 0 m I. D. m m d j( m) m m Derivata prima: = ( + i) ( + i) log( + i) dm m d j( m) d j( m) d j( m) d j( m) lim 0, lim 0, lim, lim m dm = m dm = m 0 dm = + + m 0 dm = d j( m) Sego della derivata prima: 0 m I. D. ( j( m) decrescete per m I. D.) dm <

Tasso covertibile ed itesità istataea di iteresse Studio della fuzioe j(m) (segue) 2 d j( m) m 2 Derivata secoda: = ( + i) log ( + i) 2 3 dm m 2 d j ( m) Sego della derivata secoda: > 0 per m > 0 ( j( m) covessa per m > 0) 2 dm 2 d j ( m) < 0 per m < 0 ( j( m) cocava per m < 0) 2 dm Grafico della fuzioe: j(m) log(+i) m

Itesità istataea di iteresse Cosideriamo il lim j( m) = log( + i) m ± Per defiizioe poiamo δ = log(+ i) e chiamiamo δ o, più siteticamete Tasso omiale di iteresse per periodo uitario riovabile istate per istate Itesità istataea di iteresse L itesità istataea di iteresse δ esprime co quale itesità la legge di capitalizzazioe accresce l iteresse, ell ipotesi che il regime fiaziario sia quello della capitalizzazioe composta (istataea poiché m ).

Tasso di scoto covertibile ed itesità istataea Oltre al tasso di iteresse covertibile, è stato defiito ache il tasso di scoto covertibile come [cfr. (46)] Ricordado che el regime della capitalizzazioe composta è segue che, i tale regime, ρ ( m) = m d m m m = = ( ) = ( ) m m m v v d d d d m ρ ρ ( m ) = m ( d ) m Per rappresetare graficamete la fuzioe ρ(m) è sufficiete osservare che ( ) ( ) m m ρ( m) = m ( d) = m v = m m = m ( + i) = m ( + i) = j( m) Questo è il motivo per cui si è studiata la fuzioe j(m) sull itero asse reale (co m 0) aziché solo per valori positivi di m.

Tasso di scoto covertibile ed itesità istataea Pertato, il grafico della fuzioe è: ρ(m)= j( m) log( d) m Osserviamo i particolare che m m ( d) ( d) lim ρ( m) = lim = lim = log( d) (limite otevole) 0 m m m m ± m ± e poiamo per defiizioe ρ = log( d) ρ è detto tasso omiale di scoto per periodo uitario riovabile istate per istate o, più siteticamete, itesità istataea di scoto.

Sigificato fiaziario Osservazioe Cofrotiamo le due espressioi δ = log( + i) (50) ρ = log( d) i d = + i i ρ = log( d) = log = log = [ log log( + i) ] = log( + i) = δ + i + i Ricordado che è, segue, sostituedo ella (5) cioè δ = ρ L itesità istataea di iteresse è uguale all itesità istataea di scoto. Ifatti, dato il sigificato fiaziario di itesità istataea di iteresse e di scoto, o ha seso distiguere l iizio e la fie di u itervallo di tempo di ampiezza ifiitesima. (5)

Geeralizzazioe Osservazioe Lo studio dei tassi di iteresse e di scoto covertibili ha riguardato fiora il caso particolare del regime fiaziario della capitalizzazioe composta, per il quale le defiizioi di j(m) e ρ(m) si particolarizzao come ampiamete visto elle: m m j( m) = m ( + i) e ρ( m) = m ( d) Il comportameto al limite dei tassi di iteresse e di scoto covertibili ha codotto a defiire l itesità istataea (di iteresse e di scoto), sempre ell ambito del regime della capitalizzazioe composta. L obiettivo diviee quidi la geeralizzazioe di tale risultato, vale a dire la defiizioe di u itesità istataea a prescidere dallo specifico regime fiaziario. L importaza di tale estesioe risiede el fatto che come si vedrà l espressioe che dedurremo i geerale, scritta per ciascuo specifico regime fiaziario, permetterà di stabilire se il regime stesso cosete o meo opportuità di arbitraggio.

Geeralizzazioe (il caso di leggi dipedeti dalla sola durata) Cosideriamo il fattore di capitalizzazioe come dipedete dalla sola durata dell operazioe fiaziaria e valutiamo l iteresse prodotto tra le epoche t 0 e t 0 + t da u importo uitario ivestito all epoca 0. r(t 0 + t) I t0, t0 + t r(t 0 ) 0 t 0 t 0 + t Moltiplicado e dividedo per r(t 0 ), l iteresse i modo equivalete come I = t, t t r( t + 0 t) + r( t0) 0 0 può essere scritto I t, t + t 0 0 0 r( t0 + t) r( t0) = r( t ) r( t ) 0 (52)

Geeralizzazioe (il caso di leggi dipedeti dalla sola durata) Poiché per ipotesi la fuzioe r(t) è cotiua e derivabile, l icremeto r(t 0 + t) r(t 0 ) può essere approssimato dal differeziale r (t 0 ) t, quado t 0. r(t 0 + t) r(t 0 + t) r(t 0 ) r(t 0 ) r (t 0 ) t y = r(t 0 ) + r (t 0 ) t 0 t 0 t 0 + t Sostituedo ella (52) si ha r( t + t) r( t ) r '( t ) t r '( t ) I = r( t ) r( t ) = r( t ) t ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 t0, t0 + t 0 0 0 r t0 r t0 r t0 ( t 0)

Forza di iteresse (per leggi dipedeti dalla sola durata) Ovvero, per t qualsiasi Cocludedo, u capitale uitario ivestito all epoca 0 determia tra t e t+ t u iteresse proporzioale: al capitale r(t) dispoibile i t ; r '( t) I t, t t r( t) + t ( t 0) r( t) all itervallo di tempo t ; alla fuzioe Ricordado che r '( t ) r( t) Dlog r( t) = r '( t) r( t), poiamo per defiizioe r '( t) δ ( t) = Dlog r( t) = (53) r( t) La fuzioe δ(t) prede il ome di forza di iteresse o Itesità istataea di iteresse.

Forza di iteresse (per leggi dipedeti dalla sola durata) Itegrado etrambi i membri della (53), si ha cioè ifie t t t 0 0 0 0 0 t [ ] 0 δ ( s) ds = Dlog r( s) ds ; δ ( s) ds = log r( s) ; t log r( t) log r(0) = δ ( s) ds ; log r( t) = δ ( s) ds r ( t ) = e t δ ( s) ds 0 t = (54) Data la forza di iteresse, la (54) cosete di ricavare il fattore di capitalizzazioe. Sfruttado le relazioi fodametali, segue v( t) = = t = r( t) δ ( s) ds 0 e e t δ ( s) ds 0 (55) Data la forza di iteresse, la (55) cosete di ricavare il fattore di attualizzazioe.

Forza di iteresse (per leggi dipedeti dalla sola durata) Osservazioe Ricosideriamo la relazioe r( t) = Sostituedo il risultato ella (53) si ha, dalla quale segue v( t) v'( t) r '( t) = 2 v ( t) r '( t) v'( t) v'( t) v'( t) δ ( t) = = = v( t) = = Dlog v( t) 2 2 r( t) v ( t) r( t) v ( t) v( t) (56) Nella forma espressa dalla (56), la fuzioe δ(t) prede il ome di forza di scoto o itesità istataea di scoto. Si osservi che, itegrado etrambi i membri della (56), si perviee sempre alla (55). t t t 0 0 0 0 0 t [ ] 0 δ ( s) ds = Dlog v( s) ds ; δ ( s) ds = log v( s) ; t log v( t) + log v(0) = δ ( s) ds ; log v( t) = δ ( s) ds v( t) = e t δ ( s) ds 0 da cui ifie, cioè la (55). t

Forza di iteresse (per leggi dipedeti dalla sola durata) Esempio Sia data la forza di iteresse δ(t) = + t 2. Calcolare il fattore di capitalizzazioe corrispodete. r( t) t δ ( s) ds 0 = e = t t ( + s ) ds s+ t 3 t+ 0 3 3 2 s 3 = = = 0 e e e Osserviamo che soo verificate le codizioi perché r(t) sia u fattore di capitalizzazioe: r( t) > 0, t r(0) = t 3 3 2 t + '( ) ( ) 0, r t = + t e > t ( r( t) è crescete) 0 9 8 7 6 5 4 3 2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8.2.4

Forza di iteresse (per leggi dipedeti dalla sola durata). Nel regime della capitalizzazioe composta è r(t) = ( + i) t, per cui Si osservi che, i questo regime, la forza di iteresse o dipede dal tempo. Si osservi ioltre che la (53) geeralizza la (50), el seso che recupera il valore di δ già calcolato come limite del tasso di iteresse covertibile al tedere di m ad ifiito. Si cosideri t r '( t) ( + i) log( + i) δ ( t) = = = log( + i) = δ t r( t) ( + i) δ δ δ = log( + i ) e = + i e t = ( + i ) Pertato, el regime della capitalizzazioe composta, il fattore di capitalizzazioe può scriversi come Dalla (57), attraverso le relazioi fodametali, seguoo le r( t) = e δ t (57) v( t) = = = e δ t r( t) e δ t i( t) = r( t) = e δ t t (58) (59) d( t) = v( t) = e δ t (60)

Forza di iteresse (per leggi dipedeti dalla sola durata) 2. Nel regime della capitalizzazioe semplice è r(t) = + i t, per cui δ r '( t) i ( t) = r( t) = + i t Si osservi che, i questo regime, la forza di iteresse dipede dal tempo. 3. Nel regime dello scoto commerciale è d 2 r( t) = d t r '( t) ( d t ) d d δ ( t) = = = ( d t) = 2 r( t) ( d t) d t d t Si oti che, i questo regime, la forza di iteresse dipede dal tempo.

Forza di iteresse (per leggi dipedeti da epoca iiziale e fiale) Per defiire la forza di iteresse ache i relazioe a leggi dipedeti dall epoca iiziale e fiale dell operazioe fiaziaria, cosideriamo il fattore di capitalizzazioe r(x, y). Si avrà che l iteresse prodotto tra le epoche y ed (y + y) da u importo uitario ivestito all epoca x è dato da I = y, y y r( x, y + y) + r( x, y) Tale differeza, fatte le opportue ipotesi sulla fuzioe r, potrà approssimarsi mediate il differeziale, calcolato derivado parzialmete rispetto alla variabile y. La fuzioe r ( x, y ) y r( x, y) r ( x, y ) I y, y+ y y = r( x, y) y ( y 0) y δ ( x, y) = log r( x, y) = y r( x, y) y r( x, y) defiisce la forza di iteresse per operazioi fiaziarie dipedeti dall epoca iiziale e fiale. E immediato verificare che la (6) può scriversi ache i termii di fattore di attualizzazioe come v( x, y) y v( x, y) (6) δ ( x, y) = (62)

Forza di iteresse (per leggi dipedeti da epoca iiziale e fiale) Aalogamete a quato fatto per la forza di iteresse el caso di leggi dipedeti dalla sola durata, itegrado ambo di membri della (6) rispetto alla variabile y e sviluppado, si ha y y y y δ ( x, s) ds = log r( x, s) ds δ ( x, s) ds = [ log r( x, s) ] x s x x x y x δ ( x, s) ds = log r( x, y) log r( x, x) δ ( x, s) ds = log r( x, y) y x da cui ifie x r( x, y) = e Co la (63), ota la forza di iteresse, ricaviamo la legge di capitalizzazioe. Al solito, ricordado la relazioe r( x, y) = y δ ( x, s) ds v( x, y) v( x, y) = y = e δ ( x, s) ds x e si ha ache δ ( x, s) ds Co la (64), ota la forza di iteresse, ricaviamo la legge di attualizzazioe. y x (63) (64)

Forza di iteresse (per leggi dipedeti da epoca iiziale e fiale) Osservazioe La defiizioe della forza di iteresse ache per leggi di due variabili cosete di sottolieare come i u mercato ideale il prezzo del cotratto a termie dipede dalla forma che la forza di iteresse ha all epoca u di stipula del cotratto stesso. Ifatti el mercato ideale si ha Sostituedo la (64) segue v( u, x, y) = v( u, y) v( u, x) y δ ( u, s) ds u x δ ( u, s) ds u y x x y x δ ( u, s) ds+ δ ( u, s) ds δ ( u, s) ds δ ( u, s) ds+ δ ( u, s) ds u u u x u e v( u, x, y) = v( u, x, y) = e v( u, x, y) = e e da cui ifie v( u, x, y) = e y δ ( u, s) ds x La forma della forza di iteresse viee defiita all epoca u

Forza di iteresse (per leggi dipedeti da epoca iiziale e fiale) L osservazioe precedete può essere formulata i termii di forza di iteresse. Dalla v( u, y) = v( u, x) v( u, x, y) passado ai logaritmi, si ha Derivado rispetto a y ambo i membri segue log v( u, y) = log v( u, x) + log v( u, x, y) da cui log v( u, y) = log v( u, x) + log v( u, x, y) y y y δ ( u, y) = δ ( u, x, y) All epoca u si fissa la forma della forza di iteresse, quale che sia l epoca x ella quale viee regolato il prezzo.

Scidibilità (per leggi di due variabili) Ricordiamo che i u mercato ideale, per u x y, vale la (5), ovvero la r(u, y) = r(u, x) r(u, x, y) [ v(u, y) = v(u, x) v(u, x, y) ] ella quale r(u, x, y), fattore di capitalizzazioe a termie, sottoliea la atura prospettiva della relazioe (si guarda cioè ai prezzi che le codizioi di mercato all epoca u implicao per il futuro). I termii retrospettivi, cioè dall epoca x i poi quado è oto il prezzo a proti futuro r(x,y) la relazioe può scriversi come: r(u, y) = r(u, x) r(x, y) (65) [ v(u, y) = v(u, x) v(x, y) ] La (65) stabilisce che u capitale uitario ivestito all epoca u produce all epoca y u motate uguale a quello che si otterrebbe ivestedo all epoca u u capitale uitario, disivestedo lo stesso ad ua qualsiasi epoca itermedia x e proseguedo l ivestimeto dell importo otteuto fio all epoca y. Ua legge fiaziaria che verifica la (65) si dice scidibile. I altri termii, la codizioe di scidibilità implica che il motate geerato da u ivestimeto o sia alterato da ua capitalizzazioe itermedia degli iteressi

Scidibilità (per leggi di due variabili) Osservazioe Come si è visto, i u mercato ideale i codizioi di certezza vale sia la r(u, y) = r(u, x) r(u, x, y) [v(u, y) = v(u, x) v(u, x, y)] che la e pertato deve essere r(u, y) = r(u, x) r(x, y) [v(u, y) = v(u, x) v(x, y)] r(x, y) = r(u, x, y) (66) [v(x, y) = v(u, x, y)] Il futuro fattore di capitalizzazioe [ prezzo ] a proti deve essere uguale al fattore di capitalizzazioe [ prezzo ] a termie. La relazioe (66), che costituisce ua defiizioe alterativa di scidibilità, è ua codizioe molto più forte dell asseza di arbitraggio (cioè della (5)) e raramete è verificata elle situazioi di mercato reali.

Scidibilità (per leggi di due variabili) Due teoremi fodametali sulla scidibilità

Scidibilità (per leggi di due variabili) Teorema La legge fiaziaria i due variabili r(u, y) è scidibile se e solo se esiste ua legge di ua variabile f tale che Dim. r( u, y ) = f ( y) f ( u) r( u, y ) = f ( y) f ( u) a) La codizioe è sufficiete. Ifatti, posto che valga la segue f ( x) f ( y) f ( y) = f ( u) f ( x) f ( u) r ( u, x ) r ( x, y ) = = r ( u, y ) b) La codizioe è ecessaria. Dalla codizioe di scidibilità r( u, y) = r( u, x) r( x, y) o dipededo il primo membro da x, poiamo x = x 0 e scriviamo i fattori al secodo membro come fuzioi di ua variabile, cioè r(u, x 0 ) = g(u) e r(x 0, y) = f(y). Segue Se y = u, r(u, u) = e la (68) diviee r( u, y) = g( u) f ( y) g( u) f ( u) = da cui g( u) = r( u, y ) = f ( y) f ( u) f ( u) Sostituedo ella (68) segue, cioè la (67). (c.v.d.) (67) (68)

Scidibilità (per leggi di due variabili) Sigificato fiaziario Il teorema appea dimostrato è suscettibile della seguete iterpretazioe fiaziaria: ua legge i due variabili (dipedete dall epoca iiziale e fiale dell operazioe fiaziaria) è scidibile se e solo se, ell arco di tempo cosiderato (u, y), essa può essere rappresetata come motate di proseguimeto di u importo uitario ivestito all epoca u. Per chiarire il seso di quato sopra si cosideri lo schema f ( u) ( ) f ( u) f y 0 u r(u,y) y dal quale risulta evidete il sigificato fiaziario della fuzioe f, fattore di capitalizzazioe dipedete dalla sola durata dell operazioe fiaziaria.

Scidibilità (per leggi di due variabili) Teorema (di Catelli) La legge fiaziaria i due variabili r(u, y) è scidibile se e solo se la corrispodete forza di iteresse dipede al più dall epoca di disivestimeto. Dim. a) La codizioe è ecessaria [ r(u, y) = r(u, x) r(x, y) δ(u, y) = δ(y) ] Dalla scidibilità passado ai logaritmi, si ha Derivado rispetto a y r( u, y) = r( u, x) r( x, y) log r( u, y) = log r( u, x) + log r( x, y) da cui ovvero log r( u, y) = log r( u, x) + log r( x, y) y y y log r( u, y) = log r( x, y) y y δ ( u, y) = δ ( x, y) ( = δ ( y) )

Scidibilità (per leggi di due variabili) b) La codizioe è sufficiete [ δ(u, y) = δ(y) r(u, y) = r(u, x) r(x, y) ] Dalla δ ( u, y) = δ ( y) itegrado la forza di iteresse, per l additività dell operatore itegrale si ha y x δ ( s) ds = δ ( s) ds + δ ( s) ds u u x Per defiizioe, ua primitiva della fuzioe δ è log r(u, s), per cui segue [ log r( u, s) ] = [ log r( u, s) ] + [ log r( x, s) ] y x y u u x y da cui ovvero ed ifie r( u, y) r( u, x) r( x, y) log = log + log r( u, u) r( u, u) r( x, x) ( ) log r( u, y) = log r( u, x) r( x, y) r( u, y) = r( u, x) r( x, y) (c.v.d.)

Scidibilità (per leggi di due variabili) Sigificato fiaziario Il teorema di Catelli appea dimostrato è iterpretabile fiaziariamete el seso che segue: ua legge i due variabili (dipedete dall epoca iiziale e fiale dell operazioe fiaziaria) è scidibile ell itervallo (u, y) se e solo se la redditività dell operazioe all epoca y o dipede dall epoca ella quale l operazioe stessa ha avuto iizio. La redditività dell o.f. dipede al più dall epoca ella quale viee calcolata. È come se il mercato stesso fosse regolato da u uico cotratto, descritto, i ogi istate È come se il mercato stesso fosse regolato da u uico cotratto, descritto, i ogi istate u, dalla forza d iteresse δ(y)

Scidibilità (per leggi di due variabili) Esempi ) Le leggi fiaziarie del regime della capitalizzazioe composta soo scidibili. Per verificarlo si può procedere direttamete dalla codizioe (65) x u y x x u+ y x y u r( u, x) r( x, y)=( + i) ( + i) =( + i) =( + i) = r( u, y) I alterativa si può verificare la codizioe di Catelli, calcolado la forza di iteresse δ(u, y) y u ( + i) log( + i) δ ( u, y) = log r( u, y) = log( + i) = =log( + i) y y ( i ) y + u y u Essedo la forza di iteresse costate, la codizioe è verificata. 2) Le leggi fiaziarie del regime della capitalizzazioe semplice o soo scidibili. Ifatti, dalla codizioe (65) [ ] [ ] [ ] r( u, x) r( x, y)= + i ( x u) + i ( y x) + i ( y u) = r( u, y) I alterativa si può verificare la codizioe di Catelli i δ ( u, y) = log r( u, y) = log[ + i ( y u) ] = y y + i ( y u) La forza di iteresse dipede da y e da u, pertato la codizioe o è verificata.

Scidibilità (per leggi di due variabili) 3) Le leggi fiaziarie del regime dello scoto commerciale o soo scidibili. Per verificarlo si può procedere direttamete dalla codizioe (65) r( u, x) r( x, y)= = r( u, y) d ( x u) d ( y x) d ( y u) Come i precedeza, si può i alterativa verificare la codizioe di Catelli, calcolado la forza di iteresse d δ ( u, y ) = log r ( u, y ) = log = y y d ( y u ) d ( y u ) [ ] La forza di iteresse dipede da y e da u, pertato la codizioe o è verificata.

Scidibilità (per leggi di ua variabile) E stata aalizzata la forza di iteresse el caso di leggi fiaziarie di due variabili. Iteressa ora stabilire come è possibile riformulare il teorema di Catelli el caso di leggi dipedeti dalla sola durata. Per far ciò premettiamo la seguete Defiizioe di uiformità (o traslabilità) La legge fiaziaria r(x, y) [ v(x,y) ] è detta uiforme se r( x, y) = r( y x) [ v( x, y) = v( y x) ] (ua legge è duque uiforme se dipede dalla sola durata dell operazioe fiaziaria). Esempio Le leggi fiaziarie del regime della capitalizzazioe composta i ipotesi di struttura piatta dei tassi di iteresse soo uiformi. Ifatti: (, ) ( ) ( ) y r x y = r y x = + i x Allo stesso modo si può verificare che tali soo ache le leggi del regime della capitalizzazioe semplice e dello scoto commerciale (sempre i ipotesi di struttura piatta).

Scidibilità (per leggi di ua variabile) La codizioe scidibilità per leggi di due variabili è espressa dalla (66) r(u, y) = r(u, x) r(x, y) Se la legge r è uiforme, poedo t t = x u s = y x s u x y segue r(u, x) = r(x u) = r(t) r(x, y) = r(y x) = r(s) r(u, y) = r(y u) = r(y x+x u) = r(s+t) = r(t+s) Co le posizioi fatte, la codizioe di scidibilità (66) diviee r(t + s) = r(t) r(s) (69)

Scidibilità (per leggi di ua variabile) Co riferimeto alla (69), il teorema di Catelli può essere riformulato come segue Teorema di Catelli (per leggi di ua sola variabile) La legge r(t) è scidibile se e solo se la corrispodete forza di iteresse è costate. Dim. a) La codizioe è ecessaria ( r(t + s) = r(t) r(s) δ(t + s) = δ(s) = δ ) Ifatti, dalla passado ai logaritmi e derivado da cui r ( t + s ) = r ( t ) r ( s ) log r( t + s) = log r( t) + log r( s) d d d log r( t + s) = log r( t) + log r( s) ds ds ds δ ( t + s) = δ ( s) ( = δ )

Scidibilità (per leggi di ua variabile) b) La codizioe è sufficiete (δ(s) = δ r(t + s) = r(t) r(s) ) Ifatti, itegrado ambo i membri della δ(s) = δ, si ha d δ ( s) ds = δ ds log r( s) ds = δt ds t t t 0 0 0 [ ] t log r( s) = δt log r( t) = δt 0 δ t r ( t ) = e co δ (70) Pertato, la costaza della forza di iteresse implica il fattore di capitalizzazioe (70). E immediato osservare che la fuzioe (70) verifica le segueti codizioi: i. é cotiua e derivabile ii. r (0) = iii. Si oti che la (iii) altro o è che la forza di iteresse δ. L aalisi fuzioale elemetare dimostra che se esiste ua fuzioe che gode delle (i)- (iii), essa è uica ed è tale da verificare la (69). Ifatti: r '( t) = δ r( t) r '( t) δ ( t) = Dlog r( t) = r( t)

Scidibilità (per leggi di ua variabile) Uicità Suppoiamo esista ua fuzioe g(t) che soddisfa le (i)-(iii). Allora d g g ' r gr ' δ gr gδ r = 0 2 = 2 = dt r r r cioè, la derivata prima della fuzioe rapporto g(t)/r(t) è ulla e pertato la fuzioe g(t)/r(t) è costate. Poiché g(0)/r(0) =, segue che g(t)/r(t) =, cioè che g(t) = r(t). r(t + s) = r(t) r(s) t, s Sia s u arbitrario umero reale. Cosideriamo la fuzioe h( t) = r( t + s) La derivata prima è ulla, pertato la fuzioe h(t) è costate. Ma h(0) = r(s), per cui h(t) = r(s). Segue quidi che r( t + s) r( s) = r( t + s) = r( t) r( s) r( t) r( t) e osserviamo che h(0) = r(s). Calcoliamo la derivata di h: r '( t + s) r( t) r( t + s) r '( t) δ r( t + s) r( t) r( t + s) δ r( t) h'( t) = = = 0 2 2 r( t) r( t) c.v.d.

Scidibilità (per leggi di ua variabile) Osservazioi. La (70) è fiaziariamete cosistete se δ > 0. I questo caso ifatti r(t) > per t > 0 (si ricordi che δ idica qui la forza d iteresse). Si osservi ache che la (70) è già stata dedotta dalla relazioe che lega il fattore di capitalizzazioe all itesità istataea di iteresse el regime della capitalizzazioe composta [cfr. la (57)]. 2. (Equità fiaziaria) Cosideriamo l operazioe fiaziaria elemetare cosistete ella cosega da parte di u cotraete di u capitale P all epoca x, i cambio della cosega dalla cotroparte di u capitale M all epoca successiva y. L operazioe si dice equa rispetto ad u assegata legge fiaziaria (valida i u periodo di tempo coteete le due epoche x ed y) se M risulta uguale al motate di P (o, equivaletemete, se P risulta uguale al valore attuale di M). Se la legge fiaziaria è scidibile, allora la codizioe di equità può essere ache euciata el seguete modo: u operazioe è equa se riportado fiaziariamete ad ua qualsiasi epoca u gli importi dovuti dai cotraeti si ottegoo valori uguali. Ne cosegue che u operazioe fiaziaria costituita da u umero fiito di operazioi fiaziarie elemetari eque è equa. Tale proprietà o vale per ua legge o scidibile.

Operazioe fiaziaria composta Fiora abbiamo aalizzato il caso di operazioi fiaziarie elemetari. Se la prestazioe ha ad oggetto l importo P all epoca x e la cotroprestazioe l importo M all epoca y, l operazioe è defiita dal cofroto di due coppie del tipo Se ivece, F = { (P, x), (M, y) } a frote di ua prestazioe, hao luogo più cotroprestazioi F = { (P, x), (M, y ), (M 2, y 2 ),, (M, y ) } oppure, più prestazioi dao luogo ad ua cotroprestazioe F = { (P, x ), (P 2, x 2 ),, (P, x ), (M, y) } oppure, più prestazioi dao luogo a più cotroprestazioi F = { (P, x ), (P 2, x 2 ),, (P, x ), (M, y ), (M 2, y 2 ),, (M r, y r ) } allora si hao operazioi fiaziarie composte, per aalizzare le quali occorre costruire adeguati schemi di valutazioe che cosetao di riferire ad ua stessa epoca (epoca di valutazioe) gli importi distribuiti sullo scadezario. Cocettualmete la valutazioe o è dissimile da quella delle operazioi elemetari; la difficoltà risiede el fatto che occorre valutare più importi.

Redita fiaziaria Cosideriamo l operazioe fiaziaria composta che si sviluppa come segue R 0 R R 2 R k R k R k+ R t 0 t t 2 t k t k t k+ t I corrispodeza di ciascua delle + epoche (scadeze) t 0,t,...,t maturao gli + importi R 0, R,..., R. Defiiamo: { } redita la successioe di importi {R k } k = 0,..., rata (della redita) il sigolo importo R k (k = 0,, ) cash flow (dell operazioe) la successioe (R 0, t 0 ), (R, t ),, (R, t ) valore capitale (della redita) all epoca T la somma delle rate fiaziariamete riferite all epoca di valutazioe T Assumiamo che sia: R k > 0 se la rata è dovuta al soggetto che valuta l operazioe fiaziaria R k < 0 se la rata è dovuta dal soggetto che valuta l operazioe fiaziaria R k = 0 altrimeti (il seso di questa assuzioe sarà chiaro tra breve)

Classificazioe delle redite I rapporto all itervallo di tempo tra le rate Redita periodica se t k t k = u (k =,, ) u è il periodo Redita o periodica I rapporto al periodo uitario Redita itera Se la rata è riferita al periodo uitario Es. u = ao Redita auale u = semestre Redita semestrale u = mese Redita mesile Redita frazioata Se la rata è riferita a frazioi (/m) del periodo uitario Es. u = ao, rata riferita a ½ u (m = 2) Redita frazioata semestrale Se m la redita è detta cotiua

Classificazioe delle redite (segue) I rapporto alle rate Redita costate Se tale è la rata Redita variabile Se la rata o è costate I rapporto al umero delle rate Redita temporaea Se il umero delle rate è fiito Redita perpetua Se il umero delle rate è ua ifiità umerabile I rapporto all istate di pagameto della rata (fissato il periodo uitario) Redita aticipata Se la rata viee corrisposta all iizio del periodo cui è relativa Redita posticipata Se la rata viee corrisposta alla fie del periodo cui è relativa R R 2 R 3 R t 0 t t 2 t t t 0 t t 2 t t R R 2 R R

Classificazioe delle redite (segue) I rapporto all orizzote temporale Redita immediata Se la prima rata è riferita al primo periodo dell orizzote temporale Esempio di redita immediata (posticipata) Redita differita Se la prima rata è differita rispetto al primo periodo dell orizzote temporale Esempio di redita differita di t periodi uitari (aticipata) R R 2 R R R R 2 R 0 t t t 0 t t 2 t t t t

Valore capitale della redita fiaziaria Data la redita R 0 R R 2 R k R k R k+ R t 0 t t 2 t k t k t k+ t l obiettivo primario è valutare il valore capitale alla geerica epoca T. Evidetemete se T t 0, si dovrao attualizzare tutti gli importi ed il valore capitale A T sarà A R v( T, t ) R v( T, t )... R v( T, t )... R v( T, t ) R v( T, t ) (7) = + + + + + = T 0 0 k k k k k =00 se T t, si dovrao capitalizzare tutti gli importi ed il valore capitale S T sarà S R r( t, T ) R r( t, T )... R r( t, T )... R r( t, T ) R r( t, T ) = + + + + + = T 0 0 k k k k k = 0 se è u epoca itermedia, p.es. t k T t k, si dovrao capitalizzare tutti gli importi che precedoo T ed attualizzare tutti gli importi che seguoo T. I questo caso, il valore capitale V T sarà V = R r( t, T ) + R r( t, T ) +... + R r( t, T ) + R v( T, t ) +... + R v( T, t ) = T 0 0 k k k k k = R r( t, T ) + R v( T, t ) j j j j j = 0 j= k (72) (73)

Valore capitale della redita fiaziaria. Redite periodiche Osservazioi. E evidete che cocretamete il calcolo del valore capitale di ua redita dipede dal regime fiaziario attraverso il quale si esplicitao i fattori di attualizzazioe e capitalizzazioe delle (7)-(73). Così, per esempio, ipotizzado ua struttura piatta dei tassi di iteresse, la (7) si particolarizza come segue (si ricordi che T t 0 ) T ( + ) tk Rk i (el regime della capitalizzazioe composta) k = 0 Rk v ( T, tk ) = Rk [ + i ( tk T ) ] (el regime della capitalizzazioe semplice) k k = 0 = 0 k = 0 [ ] R d ( t T ) (el regime dello scoto commerciale) k Aaloghe cosiderazioi valgoo per la (72) e la (73). k 2. Dato lo scadezario t 0 < t <... < t k <... < t (t k ) è sempre possibile determiare u uità di misura tale che risulti tk tk = ( k =,..., ) cioè è sempre possibile equitervallare le scadeze, evetualmete iseredo rate ulle.

Redite periodiche Esempio t 0 t t 2 t3 R 0 R R 2 R 3 t 0 t t 2 t3 R 0 R R 2 Deomiiamo R R 3 ; R 2 R 5 ; R 3 R 7 t t 3 ; t 2 t 5 ; t 3 t 7 Itroduciamo R = 0 ; R 2 = 0 ; R 4 = 0 ; R 6 = 0 t ; t 2 ; t 4 ; t 6 R 3 t 0 t t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t7 R 0 R R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 R 7 Poiché ogi redita può essere resa periodica, le relazioi che svilupperemo riguarderao solo il caso di redite periodiche di periodo uitario. Ci riferiremo quidi i geerale a scadezari del tipo t t+ t+2 t+k t+ R 0 R R 2 R k il che cosetirà di semplificare le formule per la valutazioe delle redite. R

Valori attuali e Motati

Valore attuale di ua redita Esplicitiamo A T (cioè la (7)) ed S T (cioè la (73)) quado ecessario e/o possibile specificado le assuzioi circa: a) Il regime fiaziario, che assumeremo essere quello della capitalizzazioe composta; b) Il tipo di fattore di attualizzazioe: Periodale A proti per periodo uitario A termie Medio Co struttura piatta del tasso. c) L epoca cui è riferita la valutazioe, che sarà T = t per il valore attuale e T = t + per il motate a) Il tipo di rata (variabile o costate) Si osservi che la c) cosete di separare, el calcolo del valore attuale, la rata R 0 che, maturado all epoca T, o ecessita di essere attualizzata. Nel caso i cui sia R 0 0 sarà sufficiete sommare R 0 al valore capitale della redita defiita a partire dalla rata R. Ove opportuo, elle formule che seguoo si utilizzerà questa possibilità.

Valore attuale di ua redita (tasso periodale) Prezzo (tasso) a proti periodale A rata variabile A rata costate T k k k = 0 k = 0 [ ] A = R v( T, t + k) = R + i( T, t + k) k = 0 k = 0 [ ] A = R v( T, t + k) = R + i( T, t + k) T (74) (75) Schema R 2 v(t, t+2) R k v(t, t+k) R v(t, t+) R v(t, t+) T=t t+ t+2 t+k t+ R 0 R R 2 R k R

Motate di ua redita (tasso periodale) Fattore di capitalizzazioe (tasso) a proti periodale A rata variabile A rata costate T k k k = 0 k = 0 [ ] W = R r( t + k, T ) = R + i( t + k, T ) k = 0 k = 0 [ ] W = R r( t + k, T ) = R + i( t + k, T ) T (74.) (75.) Schema R 0 r(t, T) R k r(t+, T) R 2 r(t+ 2, T) R t(t+, T) t t+ t+ 2 t+ t+=t R 0 R R 2 R R

Valore attuale di ua redita (tasso a proti) Prezzo (tasso) a proti per periodo uitario A rata variabile k T 0 k 0 k k = s= k = s= [ ] A = R + R v( t + s, t + s) = R + R + i( t + s, t + s) A rata costate k k A (, ) (, ) T = R + R v t + s t + s = R + + i t + s t + s k = s= k = s= k [ ] (76) (77) Schema R v(t, t+)v(t+, t+2) v(t+, t+) R k v(t, t+)v(t+, t+2) v(t+k, t+k) R 2 v(t, t+)v(t+, t+2) R v(t, t+) T=t t+ t+2 t+k t+ R 0 R R 2 R k R

Motate di ua redita (tasso a proti) Fattore di capitalizzazioe (tasso) a proti per periodo uitario A rata variabile [ ] S = R r( t + s, t + s + ) + R = R + i( t + s, t + s) + R T k k k = 0 s= k k = 0 s= k A rata costate ST = R + r( t + s, t + s + ) = R + Rk [ + i( t + s, t + s) ] k = 0 s= k k = 0 s= k (76.) (77.) Schema R 0 r(t, t+)r(t+, t+2) r(t+, t+) R r(t+, t+2)r(t+2, t+3) r(t+, t+) R k r(t+k, t+k+) r(t+, t+) R r(t+, t+) R 0 R R k R t t+ t+k t+ R t+=t

Valore attuale di ua redita (tasso a termie) Osservazioe I u mercato ideale il prezzo (tasso) a termie è uguale al futuro prezzo (tasso) a proti. Pertato la (76) [(77)] può essere riscritta utilizzado il prezzo (tasso) a termie. A rata variabile k T 0 k 0 k k = s= k = s= [ ] A = R + R v( t, t + s, t + s) = R + R + i( t, t + s, t + s) k (78) A rata costate k k A T = R + R v( t, t + s, t + s) = R + [ + i( t, t + s, t + s) ] (79) k = s= k = s= Schema R 2 v(t, t+)v(t, t+, t+2) R v(t, t+)v(t, t+, t+2) v(t, t+, t+) R k v(t, t+)v(t, t+, t+2) v(t, t+k, t+k) R v(t, t+) T=t t+ t+2 t+k t+ R 0 R R 2 R k R

Motate di ua redita (tasso a termie) A rata variabile [ ] S = R r( t, t + s, t + s + ) + R = R + i( t, t + s, t + s) + R T k k k = 0 s= k k = 0 s= k A rata costate ST = R + r( t, t + s, t + s + ) = R + Rk [ + i( t, t + s, t + s) ] k = 0 s= k k = 0 s= k (78.) (79.) Schema R 0 r(t, t+)r(t,t+, t+2) r(t,t+, t+) R r(t,t+, t+2)r(t,t+2, t+3) r(t,t+, t+) R k r(t,t+k, t+k+) r(t,t+, t+) R r(t,t+, t+) R 0 R R k R t t+ t+k t+ R t+=t

Valore attuale di ua redita (tasso medio) Trattado il regime della capitalizzazioe composta, abbiamo deotato (cfr. la (5)) co ī (t, t+k) quel tasso di iteresse medio riferito al periodo uitario che applicato alle operazioi che iiziao i t e termiao i t+k produce lo stesso risultato fiaziario che si cosegue attraverso la successioe dei tassi a proti operati tra le epoche t e t+k. Si è visto che cioè, equivaletemete [ ] ι ( t, t + k) = + i( t, t + k) k [ ι ] v ( t, t + k) = + ( t, t + k) Ne cosegue che i questo caso il valore attuale della redita è Prezzo (tasso) medio per periodo uitario k A rata variabile A rata costate k T k k k = 0 k = 0 [ ι ] A = R v ( t, t + k) = R + ( t, t + k) k k = 0 k = 0 [ ι ] A = R v ( t, t + k) = R + ( t, t + k) T k k (80) (8)

Motate di ua redita (tasso medio) metre il motate della redita è Fattore di capitalizzazioe (tasso) medio per periodo uitario A rata variabile k T k k k = 0 k = 0 [ ι ] S = R r ( t + k, t + ) = R + ( t + k, t + ) k (80.) A rata costate k k = 0 k = 0 [ ι ] S = R r ( t + k, t + ) = R + ( t + k, t + ) T k (8.)

Valore attuale di ua redita a tasso e rata costati Le (74)-(8) cosetoo di calcolare il valore capitale (attuale) all epoca T = t di ua redita periodica temporaea. I motati possoo otteersi capitalizzado per periodi i valori attuali determiati. Ciò sarà fatto ove possibile ei casi che sarao esamiati di seguito. Iteressa ora stabilire come si semplificao le relazioi appea dedotte se: a) Il tasso di iteresse per periodo uitario è costate (struttura piatta); b) la rata è costate. E evidete che il caso a) può formalmete scriversi come la (80), sostituedo al tasso medioī (t, t+k) il tasso costate i ed otteedo semplicemete k T k k k = 0 k = 0 ( ) k A = R v = R + i (82) Altrettato immediato è scrivere il valore attuale della redita se ache la rata è costate. Sostituedo R i luogo delle R k ella (82) segue semplicemete k = 0 k = 0 ( ) k k A = R v = R + i (83) T

Valore attuale di ua redita a tasso e rata costati (segue) La (83) può scriversi i forma compatta osservado che gli addedi della sommatoria soo i progressioe geometrica di ragioe v. Pertato Moltiplicado per v k = 0 k = 0 k v = + v + v +... + v 2 2 3 + k v v = v + v + v +... + v e sottraedo membro a membro la (85) dalla (84) (84) (85) da cui ifie k = 0 k = 0 k = 0 + 2 2 3 + k k v v v = + v + v +... + v v v v... v k ( v) v = v k = 0 v k v = v + (86)

Redita itera frazioata temporaea perpetua aticipata posticipata immediata differita Osservazioe La (86) è stata otteuta attualizzado le + rate della redita (R 0, R,, R ), la prima delle quali maturado all epoca T = t cui è riferita la valutazioe è stata moltiplicata per v 0 =. Pertato, per valutare il valore attuale della redita el caso i cui, aziché dall epoca t, rate decorrao dall epoca t+ (R, R 2,, R ), ella (86) occorrerà sottrarre. ovvero k = 0 k = + + k k v v + v v v = v = = = v v v v k = v k v v v = = = r i v La (87) rappreseta il valore attuale di ua redita itera, temporaea, posticipata, immediata, di rata uitaria, valutata al tasso di iteresse costate i. L importaza della (87) è tale che ad essa viee riservata la otazioe a figurato al tasso i, cioè per defiizioe è a i v = i a i (87), che si legge (88)

Redita itera frazioata temporaea perpetua aticipata posticipata immediata differita Avedo dedotto la (88), possiamo scrivere il valore attuale di ua redita itera, temporaea, posticipata, immediata, di rata pari a R, valutata al tasso di iteresse i: A T = R a i (89) Il motate della redita può essere calcolato semplicemete capitalizzado la (88) v ( + i ) a ( + i) = ( + i) = i i i La (90) rappreseta il motate di ua redita posticipata uitaria di durata pari a periodi uitari valutata al tasso di iteresse costate i. Alla (90) è riservata la otazioe defiizioe s i s i, che si legge s figurato al tasso i. E per r ( + i) = = i i (90) (9)

Redita itera frazioata temporaea perpetua aticipata posticipata immediata differita La (88) [(89)] può essere rappresetata sullo scadezario come (*) R R 2 R k t t+ t+2 t+k t+ R Se, aziché posticipata, la redita fosse aticipata, lo scadezario sarebbe R R 2 R 3 R k+ t t+ t+2 t+k t+ R t+ cioè tutte le rate risultrebbero traslate idietro di u periodo. Come si traduce aaliticamete la traslazioe ella (89) (ovvero ella (84))? (*) Beché le rate siao assute come costati, ello scadezario le distiguiamo co il pedice per redere più esplicita la traslazioe delle stesse tra posticipata ed aticipata.

Redita itera frazioata temporaea perpetua aticipata posticipata immediata differita Aaliticamete, la traslazioe equivale a scrivere la (84) fio al peultimo addedo, cioè k = 0 2 k v = + v + v +... + v Come prima, moltiplicado per v e sottraedo membro a membro 2 3 k v v = v + v + v +... + v k = 0 k k k 2 2 3 v v v = + v + v +... + v v v v... v ; ( v) v = v k = 0 k = 0 k = 0 cioè k = 0 v k v v = = v d (92) La (92) rappreseta il valore attuale di ua redita itera, temporaea, aticipata, immediata, di rata uitaria, valutata al tasso di iteresse i. L importaza della (92) è tale che ad essa viee riservata la otazioe a aticipato figurato al tasso i, cioè per defiizioe è a&& i, che si legge a&& i v = d (93)

Redita itera frazioata temporaea perpetua aticipata posticipata immediata differita Avedo dedotto la (93), possiamo scrivere il valore attuale di ua redita itera, temporaea, aticipata, immediata, di rata pari a R, valutata al tasso di iteresse i. A&& Si osservi che la (93), dedotta aaliticamete dalla (84), può ache scriversi come v v v a&& = = = ( + i) = ( + i) a i d i i +i+ i T = R a&& cioè i fuzioe del valore attuale della corrispodete posticipata. La relazioe appea dedotta può iterpretarsi fiaziariamete, osservado che ello schema posticipato R è attualizzata di u periodo, R 2 di due e così via fio a R, che è attualizzata di periodi. Nello schema aticipato, R o è attualizzata, R 2 è attualizzata di u periodo e così via, fio ad R che è attualizzata di periodi uitari. Quidi i i (94) ovvero && i a = ( + i) a (95) i A&& T = R ( + i) a = ( + i) A T (96) i

Redita itera frazioata temporaea perpetua aticipata posticipata immediata differita Osserviamo ache che Ifatti a&& i && = + i i a a (97) ( ) A&& T = R + a i v v v v r v = = = = = d i v i i i + v v = = + = + a i i Ua redita aticipata immediata su rate può cosiderarsi formata da ua prima rata immediata, più ua redita posticipata immediata su rate. i Il sigificato fiaziario della (97) è evidete: co riferimeto allo scadezario, il primo addedo rappreseta la prima rata uitaria, alla quale è sommato il valore attuale di ua redita itera, immediata, posticipata, di rata uitaria, di durata pari a periodi uitari al tasso i. t t+ t+2 t+ t+ + a i

Redita itera frazioata temporaea perpetua aticipata posticipata immediata differita Capitalizzado la (93) per periodi, otteiamo il motate di ua redita itera, temporaea, aticipata, immediata, di rata uitaria, valutata al tasso di iteresse i. && s i v ( + i) = ( + i) = d d (98) dalla quale il motate di ua redita itera, temporaea, aticipata, immediata, di rata pari a R, valutata al tasso di iteresse i. S&& T = R && s i (99) Osservazioe Si sarebbe potuto derivare il motate ache a partire dai valori attuali (95) o (97) perveedo a relazioi equivaleti alla (98). && s i = ( + i) s i i i && s = s +

Redita itera frazioata temporaea perpetua aticipata posticipata immediata differita Fiora soo stati calcolati i valori attuali ed i motati relativi a redite periodiche itere, temporaee, immediate. E facile calcolare i valori attuali (ed i motati) delle corrispodeti redite differite. Ifatti, se la redita è differita di t periodi uitari, ua volta calcolato il valore attuale della corrispodete redita immediata sarà sufficiete attualizzare tale valore di t periodi. v t a 0 i a i t t+ t+2 t+ t+ Il simbolo riservato al differimeto è a. Per defiizioe è: t t a i i = t v a i (00) Avedo dedotto la (00), possiamo scrivere il valore attuale di ua redita itera, temporaea, posticipata, differita di rata pari a R, valutata al tasso di iteresse i. t A = R a t i (0)

Redita itera frazioata temporaea perpetua aticipata posticipata immediata differita Aalogamete, il valore attuale di ua redita uitaria itera, temporaea, aticipata e differita di t periodi uitari è otteibile dalla corrispodete redita immediata, il cui valore attuale va attualizzato di t periodi. a&& i v t && a i 0 t t+ t+2 t+ Il simbolo è i questo caso. Per defiizioe è: t a && i t a&& i t = v a&& i t+ (02) Avedo dedotto la (02), possiamo scrivere il valore attuale di ua redita itera, temporaea, aticipata, differita, di rata pari a R, valutata al tasso di iteresse i. Osservazioe La (02) può ache scriversi come t t A&& = R a&& t i t t t = && = ( + ) = i i i i a&& v a v i a v a (03) (04)

Redita itera frazioata temporaea perpetua aticipata posticipata immediata differita Il valore attuale delle redite perpetue è otteuto mediate il passaggio al limite, per tedete ad ifiito, del valore attuale della corrispodete redita tempoaea. Così, il valore attuale di ua redita itera, perpetua, posticipata, immediata, di rata uitaria, valutata al tasso di iteresse i risulta a v ( + i) = lim a = lim = lim = i i i i i (05) da cui, co otazioe ormai ota, il valore attuale di ua redita itera, perpetua, posticipata, immediata, di rata R, valutata al tasso di iteresse i risulta A = R a = i R i (06)

Redita itera frazioata temporaea perpetua aticipata posticipata immediata differita Procededo come el caso appea aalizzato, il valore attuale di ua redita itera, perpetua, aticipata, immediata, di rata uitaria, valutata al tasso di iteresse i risulta v ( + i) a&& = lim a&& = lim = lim = = ( + i) = + i i d d d i i da cui, co otazioe ormai ota, il valore attuale di ua redita itera, perpetua, aticipata, immediata, di rata R, valutata al tasso di iteresse i risulta (07) A&& = R a&& = R + i i (08) Osservazioe La (07) avrebbe potuto equivaletemete essere dedotta ricordado che (cfr. la (97)), da cui segue: ( ) a&& = lim + a = + lim a = + i i i i a && = + a i i

Redita itera frazioata temporaea perpetua aticipata posticipata immediata differita Procededo i modo aalogo, il valore attuale di ua redita itera, perpetua, posticipata, differita di t periodi uitari, di rata uitaria, valutata al tasso di iteresse i può essere calcolato come t a = lim a = lim v t a = v t lim a = v t i (09) i t i i i da cui, co otazioe ormai ota, il valore attuale di ua redita itera, perpetua, posticipata, differita di t periodi uitari, di rata R, valutata al tasso di iteresse i può R A = R a = v i t t i t (0)

Redita itera frazioata temporaea perpetua aticipata posticipata immediata differita Procededo i modo aalogo, il valore attuale di ua redita itera, perpetua, aticipata, differita di t periodi uitari, di rata uitaria, valutata al tasso di iteresse i può essere calcolato come t a && a && v a && v a && v i i v t t t t = lim = lim = lim = + = i t i i i () da cui, co otazioe ormai ota, il valore attuale di ua redita itera, perpetua, aticipata, differita di t periodi uitari, di rata R, valutata al tasso di iteresse i risulta && R A = R a&& = v i t t i t (2)

Redita itera frazioata temporaea perpetua aticipata posticipata immediata differita Per determiare il valore attuale delle redite frazioate iquadriamo il problema sullo scadezario. R R 2 R R 2 t+ m t+ m m t+ + m t+ + m m t+ + m t+ + m m t t+ m t + II t + m m 2 t+ + m t t + 2 II + + m m... t+ II t+ 2+ m m 2 t+ + m t+ II t+ + m m Ogi periodo uitario viee suddiviso i m parti di uguale ampiezza; ad ogi scadeza così determiata viee associata ua rata pari all m-esima parte della rata riferita al periodo uitario, che per semplicità suppoiamo iizialmete uitaria. Ne risulta ua redita composta da m rate, ciascua pari a /m. / m / m / m / m / m / m / m / m / m / m / m / m 2 t+ m t+ m m t+ + m t+ + m m t+ + m t+ + m m t t+ m t + II t + m m 2 t+ + m t... t+ II II t + 2 + + m m t+ 2+ m m 2 t+ + m t+ II t+ + m m

Redita itera frazioata temporaea perpetua aticipata posticipata immediata differita Poiché ciascu periodo uitario è stato suddiviso i m parti, il tasso di iteresse da utilizzare per il calcolo del valore attuale è quello equivalete relativo all m-esima parte di periodo uitario, cioè ( ) m i i = + m Dispoiamo di tutti gli elemeti (umero di rate, rata, tasso) per calcolare il valore attuale di ua redita uitaria, frazioata m, temporaea, posticipata, immediata, valutata ( m) al tasso di iteresse i. Tale valore è deotato co il simbolo, che si legge a figurato al tasso i frazioato m, è dato dalla a i a ( m) i ( ) m ( ) m m + + v i i m ( + i m ) v m = = = = = m i j( m) j( m) j( m) j( m) m essedo j(m) il tasso omiale di iteresse covertibile m volte el periodo uitario. (3) Data la (3) è immediato calcolare Il valore attuale di ua redita frazioata m, temporaea, posticipata, immediata, di rata R, valutata al tasso di iteresse i ( m) ( m) A R a (4) = i

Redita itera frazioata temporaea perpetua aticipata posticipata immediata differita Osservazioi ) Si cosideri la Pertato, la ( m) v i v i v i a = = = = a i j( m) i j( m) j( m) i j( m) a ( m) i i = a j( m) i (5) cosete di ricavare il valore attuale della redita frazioata a partire dal valore attuale della corrispodete redita itera (e viceversa). 2) La (3) è il valore attuale el caso i cui la rata corrisposta ad ogi scadeza di m- esimo di periodo uitario sia pari all m-esima parte della rata uitaria. Ciò sigifica che se ad ogi scadeza viee corrisposto l importo R m, la (4) è correttamete calcolata co R = m R m. I alterativa, se ella (4) si vuole impiegare l importo R m, la formula da utilizzare è i m ( m) ( m) v A = R m a = R m i m (6) i

Redita itera frazioata temporaea perpetua aticipata posticipata immediata differita Data la (5), il motate di ua redita uitaria, frazioata m, temporaea, posticipata, immediata, valutata al tasso di iteresse i è ( m) ( m) v ( + i) i s = a ( + i) = ( + i) = = s j( m) j( m) j( m) i i i Dalla quale segue, come di cosueto, che il motate di ua redita frazioata m, temporaea, posticipata, immediata, di rata R, valutata al tasso di iteresse i è (7) S = R s (8) ( m ) ( m ) i Osservazioe Si oti che vale ache per la (8) l osservazioe 2) precedete. Se ad ogi scadeza viee corrisposto l importo R m, la (8) è correttamete calcolata co R = m R m. Diversamete, se ella (8) si vuole impiegare l importo R m, la formula da utilizzare è ( m) ( m) ( + i) S = R m s = R (9) m i m i m

Redita itera frazioata temporaea perpetua aticipata posticipata immediata differita Il valore attuale di ua redita uitaria, frazioata m, temporaea, aticipata, ( ) immediata, valutata al tasso di iteresse i è deotato co il simbolo, che si legge a aticipato figurato al tasso i frazioato m, ed è dato dalla a&& m i a&& ( m) i ( ) m ( ) m m + + v i i m ( + i m ) v m = = = = = m d ρ( m) ρ( m) ρ( m) ρ( m) m essedo ρ(m) il tasso omiale di scoto covertibile m volte el periodo uitario. (20) Data la (20) è immediato calcolare Il valore attuale di ua redita frazioata m, temporaea, aticipata, immediata, di rata R, valutata al tasso di iteresse i && = && ( m) ( m) A R a (2) ella quale R = m R m se R m è la rata corrisposta i corrispodeza della frazioe m-esima di periodo uitario. i

Redita itera frazioata temporaea perpetua aticipata posticipata immediata differita Il motate di ua redita uitaria, frazioata m, temporaea, aticipata, ( m) immediata, valutata al tasso di iteresse i è deotato co il simbolo, che si legge s aticipato figurato al tasso i frazioato m, ed è dato dalla s&& i ( m) ( m) ( + i) && s = a&& ( + i) = i i ρ( m) (22) Data la (22) è immediato calcolare Il motate di ua redita uitaria, frazioata m, temporaea, aticipata, immediata, di rata R, valutata al tasso di iteresse i && ( m) && ( m) (23) S = R s ella quale, come già precisato i precedeza, R = m R m se R m è la rata corrisposta i corrispodeza della frazioe m-esima di periodo uitario. i

Redita itera frazioata temporaea perpetua aticipata posticipata immediata differita Il valore attuale di ua redita uitaria, frazioata m, temporaea, posticipata, differita t, valutata al tasso di iteresse i è dato dall attualizzazioe per t periodi del valore attuale della corrispodete redita immediata. E cioè: t t v t a = v = v a i j ( m ) ( m ) ( m ) i (24) essedo j(m) il tasso omiale di iteresse covertibile m volte el periodo uitario. Data la (24) è immediato calcolare Il valore attuale di ua redita frazioata m, temporaea, posticipata, differita t, di rata R, valutata al tasso di iteresse i ( m ) ( m ) A R a (25) = t t i

Redita itera frazioata temporaea perpetua aticipata posticipata immediata differita Il valore attuale di ua redita uitaria, frazioata m, temporaea, aticipata, differita t, valutata al tasso di iteresse i può facilmete dedursi attualizzado per t periodi quello della corrispodete redita immediata. E cioè t t v t a&& = v = v a&& i ρ( m) ( m) ( m) i (26) essedo ρ(m) il tasso omiale di scoto covertibile m volte el periodo uitario. Data la (26) è immediato calcolare Il valore attuale di ua redita frazioata m, temporaea, aticipata, differita t, di rata R, valutata al tasso di iteresse i A&& = R a&& ( m) ( m) t t i (27)

Redita itera frazioata temporaea perpetua aticipata posticipata immediata differita Il valore attuale di ua redita uitaria, frazioata m, perpetua, posticipata, immediata, valutata al tasso di iteresse i può facilmete dedursi come limite di quello della corrispodete redita temporaea. E cioè ( m) ( m) i a = lim a = lim a = i i j ( m ) i j ( m ) (28) essedo j(m) il tasso omiale di iteresse covertibile m volte el periodo uitario. Data la (28) è immediato calcolare Il valore attuale di ua redita frazioata m, perpetua, posticipata, immediata, di rata R, valutata al tasso di iteresse i A ( m) ( m) = R a = i R j( m) (29)

Redita itera frazioata temporaea perpetua aticipata posticipata immediata differita Il valore attuale di ua redita uitaria, frazioata m, perpetua, aticipata, immediata, valutata al tasso di iteresse i è calcolata come limite per tedete ad ifiito della corrispodete redita temporaea. E cioè ( m) ( m) v a&& = lim a&& = lim = i i ρ( m ) ρ( m ) essedo ρ(m) il tasso omiale di scoto covertibile m volte el periodo uitario. (30) Osservazioe Ua diversa formulazioe della (30) può otteersi cosiderado che il valore attuale ricercato è pari alla somma dell m-esima parte di ua rata uitaria e del valore attuale della corrispodete redita posticipata. a&& m = + a = + m i m j( m) ( ) ( m ) Si osservi che la (3) è equivalete alla (30). Ifatti i i d m d m i + m = ( + ) = = ( d ) da cui ( d ) m m d ρ( m) m j( m) = m i = m = m = = m ( ) d d d d m m m m m ( ) ( ) ( ) (3)

Redita itera frazioata temporaea perpetua aticipata posticipata immediata differita Sostituedo ella (3) a&& ( m) cioè la (30). i m ( d ) d + ( d ) ( d ) + ( d ) m m m m = + = = = m ρ( m) ρ( m) ρ( m) ρ( m) Data la (30) [(3)] è immediato calcolare Il valore attuale di ua redita frazioata m, perpetua, aticipata, immediata, di rata R, valutata al tasso di iteresse i A&& = R a && (32) ( m) ( m) i

Redita itera frazioata temporaea perpetua aticipata posticipata immediata differita Il valore attuale di ua redita uitaria, frazioata m, perpetua, posticipata, differita t, valutata al tasso di iteresse i può facilmete dedursi attualizzado per t periodi quello della corrispodete redita immediata. E cioè t a = v a = v ( m) ( m) i t i t j( m) essedo j(m) il tasso omiale di iteresse covertibile m volte el periodo uitario. (33) Data la (33) è immediato calcolare Il valore attuale di ua redita frazioata m, perpetua, posticipata, differita t, di rata R, valutata al tasso di iteresse i t ( m) ( m) t = = t A R a R v i j( m) (34)

Redita itera frazioata temporaea perpetua aticipata posticipata immediata differita Il valore attuale di ua redita uitaria, frazioata m, perpetua, aticipata, differita t, valutata al tasso di iteresse i può facilmete dedursi attualizzado per t periodi quello della corrispodete redita immediata. E cioè t t a && = v a && = v i i ρ( m) ( m) ( m) essedo ρ(m) il tasso omiale di scoto covertibile m volte el periodo uitario. t (35) I alterativa, come già osservato (cfr. la (3)), il valore attuale può ache scriversi come t a ( m) ( ) && = v t a m && = v t + i i m j( m) (36) Data la (35) [la (36)] è immediato calcolare Il valore attuale di ua redita frazioata m, perpetua, aticipata, differita t, di rata R, valutata al tasso di iteresse i t && ( m) ( m) t t A = R a&& = R v = R v + t i ρ( m) m j( m) (37)

Redita itera frazioata cotiua Come si è visto, ua redita si dice cotiua se il umero dei frazioameti di ciascua rata tede ad ifiito. Pertato, il valore attuale di ua redita cotiua è otteibile come risultato del limite per m del valore attuale della corrispodete redita frazioata. Per esempio, il valore attuale di ua redita uitaria cotiua, temporaea, posticipata, immediata (valore che idichiamo co la otazioe a ) è dato dalla: ( m ) ( m ) v v a = lim a = lim a && = lim = i m i m i m j ( m ) δ Ricordado che i capitalizzazioe composta a i v e = δ = δ i (38) e δ, la (38) può ache scriversi come = (39)

Redita itera frazioata cotiua Osservazioi lim = lim a&& ( m) ( m) ) Si oti ella (38) l uguagliaza che ha ua semplice spiegazioe: m a i m per m l ampiezza dell itervallo di frazioameto tede a zero e o ha più seso distiguere tra rata aticipata e posticipata. 2) La (39) è stata otteuta mediate u passaggio al limite ma il medesimo risultato può essere coseguito i maiera alterativa attraverso l operatore itegrale. Ifatti, data ua redita uitaria frazioata, temporaea, v t dt dt i... 0 t t + dt t + t + a) Nell itervallo ifiitesimo (t, t + dt) la frazioe di rata uitaria corrisposta è pari a dt (la rata è ifatti uitaria tra t e t + ); b) Il valore attuale all epoca 0 dell importo dt è v t dt, ma i capitalizzazioe composta è v t = e δt. Pertato il valore attuale all epoca 0 della frazioe di rata è e δt dt; c) Poiché l itervallo (t, t + dt) è ifiitesimo, la somma di tutte le frazioi di rata attualizzate coicide co l itegrale, tra 0 ed, di e δt dt. Cioè δ t δ t e e a = e dt = = i δ δ 0 0 δ ovvero la (39).

Tasso itero di redimeto (Iteral rate of retur)

Tasso itero di redimeto Ricosideriamo la (7) T = k k k = 0 A R v( T, t ) che, come oto, restituisce il valore attuale ache detto Valore Attuale Netto (VAN) o Net Preset Value (NPV) della redita composta dalle + rate R 0, R,, R. Nel regime della capitalizzazioe composta a tasso costate la (7) si particolarizza ella A = R ( + i) T k = 0 k Defiiamo tasso itero di redimeto (T.I.R.) il tasso della legge di scoto espoeziale che aulla il valore attuale dell operazioe, cioè il tasso i* (co i*> ) che risolve la k = 0 R k T tk T tk ( + i) = 0 (40) Osservazioe La defiizioe di tasso itero di redimeto o è i realtà del tutto be posta i quato l esisteza, l uicità e la sigificatività fiaziaria della soluzioe o è garatita quale che sia l operazioe fiaziaria.

Tasso itero di redimeto Esempio Si cosideri l operazioe fiaziaria descritta dal seguete scadezario 385 +423 +00 t t+ t+2 Risolvedo la si ha da cui i v,2 =,2 v = 5 = 385 + 423 v + 00 v = 0 2 423 ± 423 + 4 00 385 2 v = 5 = 200 = v = 2 0,77 i 2 = 0, 2987 v = 0.77 = Come si vede, le soluzioi soo due: tuttavia la prima (i =,2) è priva di sigificato fiaziario; la secoda è accettabile. Il tasso itero di redimeto dell operazioe è duque pari i questo caso al 29,87%. 2

Tasso itero di redimeto Esempio 2 Si cosideri ora l operazioe fiaziaria descritta dal seguete scadezario 73,5 72 +00 t t+ t+2 Risolvedo la si ha da cui i v,2 73,5 72 v + 00 v = 0 v 2 = 0,77 = 72 ± 72 4 00 73,5 200 = v = 2 0,95 = 0, 2987 v = 0,77 = i 2 2 = 0,0526 v = 0,95 = Come si vede, le soluzioi i questo caso soo due, 5,26% e 29,87%, ed etrambe fiaziariamete accettabili. 2

Tasso itero di redimeto Gli esempi suggeriscoo che: a) apparetemete ulla garatisce l esisteza e l uicità della soluzioe fiaziariamete accettabile (*). Può ifatti accadere che la (40) abbia più soluzioi fiaziariamete accettabili, el qual caso l utilizzo del tasso itero di redimeto al fie di valutare l operazioe diviee problematico; b) quasi mai il calcolo del tasso itero di redimeto è agevole come egli esempi visti. Per operazioi che si sviluppao su 4 periodi uitari o possoo applicarsi formule risolutive ma bisoga procedere attraverso procedimeti umerici, come meglio si vedrà più avati. (*) I realtà esistoo delle codizioi che assicurao, limitatamete al caso i > 0, l uicità del tasso i base all alteraza di sego delle rate (codizioe di Levi) o alla sequeza temporale dei saldi dell operazioe (codizioe di Norstrøm).

Problemi sulle redite

Problemi sulle redite: rata Ricosideriamo il valore attuale ed il motate di ua redita (periodica) itera, immediata, temporaea, posticipata, di rata R, valutata al tasso di iteresse i (ella quale, per semplicità, omettiamo il pedice T) v A = R a = R i i r S = R s = R i i Itediamo esplicitare ciascua delle variabili, ote tutte le rimaeti. Dati ( A, i, ) ricaviamo R A A i R = = a v i (4) ( S, i, ) ricaviamo R S S i R = = s r i (42)

Problemi sulle redite: aualità (Dati) ( A, i, R ) ricaviamo A i l A i A i R = v ; v = ; = R R l v cioè i ultimo A i l R = l( + i ) (43) Osservazioe Perché la (43) risulti defiita occorre che sia A i > 0 A < R = R a R i Il cui sigificato fiaziario è evidete: il valore attuale della redita deve essere iferiore a quello di ua redita perpetua. Vista diversamete, e cioè come R > A i, la relazioe suggerisce che la rata deve essere superiore al solo iteresse (dato dal valore attuale moltiplicato il tasso di iteresse). i

Problemi sulle redite: aualità (Dati) ( S, i, R ) ricaviamo S i R = r ; r = + S i R cioè i ultimo = S i l + R l( + i ) (44)

Esempio Determiare quati ai occorroo per estiguere u debito di 7.000 al tasso effettivo di iteresse auo del 6.5% pagado ua rata auale posticipata di 600. Azitutto verifichiamo che sia R > A i 600 > 7.000 0.065 = 455 Quidi calcoliamo la (43) 7.000 0.065 l A i l R 600 = = = l( + i) l( + 0.065) 22,558329 Covertiamo il risultato i ai, mesi e giori: 22,558329 [22,558329] = 0,558329 [ 22 ai ] 0,558329 2 = 6,62759506 6,62759506 [6,62759506] = 0,62759506 [ 6 mesi ] 0,62759506 30,4666 (*) = 8,98565 [ 8 giori quasi 9! ] (*) 30,4666 è il valore del mese medio, otteuto dividedo 365 per 2 (solitamete i cotratti discipliao le modalità di calcolo del tempo).

Problemi sulle redite: ricerca del tasso (Dati) ( A,, R ) come calcoliamo i (il TIR)? A differeza dei casi precedeti il calcolo del tasso di iteresse o è immediato e comporta i problemi già i parte segalati quado si è trattato del tasso itero di redimeto. Il problema risiede el fatto che la (89) o è ivertibile rispetto al tasso di iteresse. Dalla A ( + i) = R i poedo A/R = a e sviluppado, abbiamo r a = r = r r r a r ( r ) = r + a r a r r + = 0 + a r ( a + ) r + = 0 (45) La (45) è u equazioe triomia di grado + ella icogita r che, per 4, o può essere risolta co metodi elemetari. Per determiare il fattore di capitalizzazioe r che la verifica si ricorre a metodi umerici che foriscoo soluzioi approssimate.

Problemi sulle redite: ricerca del tasso Sarao esamiati i particolari tre metodi umerici: ) Metodo iterativo 2) Metodo per iterpolazioe lieare 3) Metodo delle approssimazioi successive I tre metodi possoo essere combiati per migliorare l approssimazioe del tasso di iteresse.

Ricerca del tasso. Metodi iterativo Avedo posto A/R = a, dalla (89) isolado i si ha ( + i) i = a Cosideriamo i due membri dell uguagliaza come due fuzioi e rappresetiamole graficamete. Cioè: ( + i) f ( i) = i e f ( i) = 2 a La f (i) è la fuzioe idetica (bisettrice del primo e terzo quadrate) e pertato o ecessita di ulteriori cosiderazioi Studiamo sommariamete la f 2 (i). f 2 (0) = 0 ( + i) = = i 2 i a a ( + ) ( + i) f ( i) = > 0 i 2 a 2 (0) = > a ( + 2) ( + )( + i) f ( i) = < 0 i 2 a lim f ( i) lim ' ' f ''

Ricerca del tasso. Metodi iterativo Rappresetiamo graficamete le due fuzioi, idicado sull asse delle ascisse la soluzioe i* ricercata. f (i) f 2 (i) i* i Il metodo iterativo opera attraverso co i segueti passi: ) Si fissa il tasso i = i 0 2) Si calcola il valore f 2 (i) 3) Si assume f 2 (i), come uovo tasso di calcolo i 4) Si poe i = i e si itera il passo 2)

Ricerca del tasso. Metodi iterativo Rappresetiamo graficamete le due fuzioi, idicado sull asse delle ascisse la soluzioe i* ricercata. f (i) f 2 (i) i 0 i i 2 i 3 i 4 i* i 56 i La successioe {i k } coverge verso il valore ricercato i*.

Ricerca del tasso. Metodi iterativo Esempio Si acquista u bee al prezzo di 00.000 e lo si paga i 20 rate auali da 8.000. Determiare il TIR auale co il metodo iterativo. E A/R = a = 00.000/8.000 = 2,5 ) Calcoliamo f 2 20 ( + 0.039) (0,039) = = 0,0427798 2,5 2) ed assumiamo f 2 (0.039) come uovo tasso 3) iterado il passo ). Risultati delle iterazioi 0.039 0.04278 0.049584 0.049609 2 0.04278 0.045387 2 0.049609 0.049623 3 0.045387 0.047073 3 0.049623 0.049632 4 0.047073 0.0488 4 0.049632 0.049637 5 0.0488 0.048747 5 0.049637 0.049639 6 0.048747 0.04920 6 0.049639 0.04964 7 0.04920 0.049339 7 0.04964 0.049642 8 0.049339 0.049467 8 0.049642 0.049642 9 0.049467 0.04954 9 0.049642 0.049643 0 0.04954 0.049584 30 0.049643 0.049643

Ricerca del tasso. Metodi iterativo Osservazioe Il metodo iterativo o è applicabile sempre. Per esempio o coverge el caso della fuzioe derivata dal motate ( + i) f ( i) = 2 s essedo, i aalogia a quato sopra, s = S/R. Ua codizioe sufficiete per l applicabilità del metodo iterativo all equazioe x = f(x) co f: x [a,b] f(x), f C [a,b] è la seguete: Se esiste u x* tale che x* = f(x*) i (a,b) è f (x*) < allora x* è l uica soluzioe i (a,b) dell equazioe x = f(x) e la successioe {x } coverge quale che sia x 0 (a,b) Se esiste u x* tale che x*=f(x*) i (a,b) è f (x*) > allora x* è l uica soluzioe i (a,b) dell equazioe x=f(x) ma la successioe {x } o coverge a x* a meo che sia x 0 =x*.

Ricerca del tasso. Iterpolazioe lieare Ricosideriamo il valore attuale (89), che riscriviamo sottolieado la dipedeza dal tasso di iteresse ( + i) a( i) = i Dati due valori del tasso di iteresse, siao i 0 e i, possiamo calcolare attraverso la (46) i valori a 0 =a(i 0 ) e a =a(i ). (46) Calcoliamo l equazioe della retta tagete passate per i puti (i 0, a 0 ) e (i, a ) a a i i 0 0 = a a i i cioè ma ache 0 0 a a a = a + ( i i ) 0 0 0 i i 0 i i i = i + ( a a ) 0 0 0 a a 0 (47) (48) Se a < a(i) < a 0 allora la rappresetazioe è la seguete

Ricerca del tasso. Iterpolazioe lieare a a a = a + ( i i ) 0 0 0 i i 0 a 0 a a( i) ( + i) = i a i 0 i * ˆι i ˆι stima i*

Ricerca del tasso. Iterpolazioe lieare Esempio Si determii, per iterpolazioe lieare, il TIR auo per u debito di 20658.28 che viee rimborsato i 0 rate posticipate di 2582.28 ciascua. E da cui: = a 20.658, 28 2582, 28 0 i 20.658, 28 a = = 8 0 i 2582, 28 Cosideriamo i due tassi i 0 =0,03 e i =0,06 e calcoliamo a(i 0 ) e a(i ). Si ha Quidi a 0 0,03 = = 8,530203 0,03 a < a < a e pertato possiamo calcolare il tasso approssimato mediate la (48), cioè come a 0 i 0 0,06 = = 7,360087 0,06 0,06 0,03 ˆ ι = 0,03 + (8 8,530203) = 0,043594 7,360087 8,530203

Ricerca del tasso. Iterpolazioe lieare Osservazioi ) E evidete che l approssimazioe può migliorarsi scegliedo coveietemete i due tassi i 0 ed i, i modo cioè che i valori a 0 ed a siao quato più prossimi possibile al valore a(i) calcolato dai dati del problema. Così, scegliedo per esempio i 0 = 0,04 ed i = 0,043 si avrebbe a 0 = 8,0895779 e a = 7,990739 da cui segue 0,043 0,04 ˆ ι = 0,04 + (8 8,0895779) = 0,042774 7,990739 8,0895779 2) I alterativa, per migliorare l approssimazioe, si può procedere iterativamete ua volta stimato il tasso attraverso il metodo per iterpolazioe. I questo caso si ha Iterazioi Tasso Iterazioi Tasso 0 0,043594 0,04348 2 0,04278 2 0,04328 22 0,042779 3 0,04372 23 0,042778 4 0,043088 24 0,042778 5 0,04302 25 0,042777 6 0,042969 26 0,042777 7 0,042928 27 0,042776 8 0,042895 28 0,042776 9 0,04287 29 0,042776 0 0,04285 30 0,042776 0,042834 3 0,042775

Ricerca del tasso. Approssimazioi successive Ricosideriamo il valore attuale di ua redita (periodica) itera, immediata, temporaea, posticipata, di rata R, valutata al tasso di iteresse i ella forma A = R ( v + v +... + v ) che può equivaletemete scriversi come 2 A v + v +... + v = R 2 Osserviamo che per v 0 (fiaziariamete privo di sigificato sarebbe cosiderare il caso v < 0) la fuzioe f(v) = v + v 2 + + v è: cotiua positiva per v > 0 mootòa crescete divergete positivamete per v +

Ricerca del tasso. Approssimazioi successive Grafico della fuzioe f(v, ) Per il teorema di Darboux (*) e la sua mootoìa, la f(v) assume ua sola volta ogi valore positivo... (*) Se la fuzioe f: X R R è cotiua ell isieme X, essa assume ogi valore compreso tra il suo estremo iferiore ed il suo estremo superiore.

Ricerca del tasso. Approssimazioi successive dal che segue che assume ua sola volta ache il valore (positivo). Cosegueza: l equazioe f ( v) = A R A R (49) ha ua sola radice reale positiva (e duque fiaziariamete sigificativa). Per calcolare la radice reale positiva applichiamo il procedimeto del teorema di esisteza degli zeri alla fuzioe A 2 A ϕ ( v ) = f ( v ) = v + v +... + v R R Richiamo Teorema di esisteza degli zeri: Sia f: X R R cotiua ell isieme X. Se per a, b X si ha f(a) f(b) < 0 allora esiste almeo u puto c (a, b) i cui risulta f(c) = 0. (50) Osservazioe Sappiamo che per la mootoìa della fuzioe ϕ(v) il puto c di cui alla tesi del teorema di esisteza degli zeri è uico.

Ricerca del tasso. Approssimazioi successive: algoritmo Si fissao due valori di v 0, siao a e b, tali che ϕ(a) < 0 e ϕ(b) > 0 (o potrebbe essere il cotrario i quato ϕ come f è strettamete crescete) Si calcola il puto medio tra a e b a + b c = 2 Determiato lo zero della fuzioe ϕ SI ϕ(c) = 0? Poiché ϕ(b) > 0 la radice ricercata è ell itervallo (c, b): ( a c ) Poiché ϕ(a) < 0 la radice ricercata è ell itervallo (a, c): ( b c ) SI NO ϕ(c) < 0? NO Ad ogi passo l ampiezza dell itervallo si dimezza e la successioe formata dai puti medi coverge verso la radice ricercata. Determiata la radice, cioè il valore di v che verifica la (49), calcoliamo il relativo tasso usado la ota relazioe i = v.

Ricerca del tasso. Approssimazioi successive Esempio Determiare il TIR auo co il metodo delle approssimazioi successive relativamete alla redita di cui soo oti i segueti dati: aualità 0, rata 77,47, valore attuale 57.48. A 57, 48 6,67992 R = 77,47 = Calcolato, ) Poiamo a = 0,90 e b = 0,93. Si ha ϕ(0.90) = 0.8802696 ϕ(0.93) = 0.75742633 Quidi ϕ(0.90) ϕ(0.93) < 0 2) Calcoliamo c 0 = (0,90 + 0,93)/2 = 0.95 ϕ(0.95) = 0.3432763 < 0 per cui la radice è ell itervallo (0.95, 0.93) 3) Calcoliamo c = (0,95 + 0,93)/2 = 0.9225 ϕ(0.9225) = 0.08955579 < 0 per cui la radice è ell itervallo (0.9225, 0.93) 4) Calcoliamo c 2 = (0,9225 + 0,93)/2 = 0.92625 ϕ(0.92625) = 0.046868 > 0 per cui la radice è ell itervallo (0.9225, 0.92625) 5) Calcoliamo c 3 = (0,9225 + 0,92625)/2 = 0.924375 ϕ(0.924375) = 0.024338082 < 0 per cui la radice è ell itervallo (0.924375, 0.92625) 6) Calcoliamo c 4 = (0.924375 + 0.92625)/2 = 0.925325 ϕ(0.925325) = 0.008544833 > 0 per cui la radice è ell itervallo (0.924375, 0.925325). Per v 0.925325 otteiamo u tasso i 0.08075974

Idici temporali e di variabilità

Idici temporali e di variabilità Obiettivo Ci prefiggiamo di riassumere i idici sitetici le caratteristiche fodametali, i particolare la struttura delle scadeze e degli importi, delle operazioi fiaziarie composte i modo da cosetire di cofrotare tra loro operazioi differeti. Tali idici risultao geeralmete utili ella valutazioe delle operazioi fiaziarie se, oltre a sitetizzare durata ed importi, riescoo a forire iformazioi circa la distribuzioe degli importi el tempo. Come ormai cosueto, ci riferiremo allo scadezario R 0 R - R R R 2 R k t t+ t+2 t+k t+ t+ L itervallo [t, t + ] prede il ome di orizzote temporale del cotratto metre, fissata l epoca itermedia t + k, la differeza (t + ) (t + k) = k prede il ome di vita a scadeza o vita residua del cotratto. L epoca di scadeza t + è detta maturity.

Idici temporali e di variabilità: scadeza media fiaziaria Il primo idice che aalizziamo è la scadeza media fiaziaria, defiito come z = La (5) è dedotta dall uguagliaza log R log R ( + i) k k = k = log( + i) k k (5) z ( + i ) R = R ( + i ) k k k (52) k = k = che cosete di iterpretare fiaziariamete l idicatore: z è l epoca ella quale, i ipotesi di capitalizzazioe composta co struttura piatta del tasso, devoo essere cocetrati tutti gli importi scambiati ell operazioe affiché il valore attuale i t sia uguale a quello geerato dal flusso degli importi, ciascuo opportuamete attualizzato. z ( + i) R k k = R 2 (+i) 2 R k (+i) k R (+i) R (+i) R ( ) R k k k = k + i R R 2 R k k = t t+ t+2 t+k z t+ R

Idici temporali e di variabilità: scadeza media fiaziaria Problemi La scadeza media fiaziaria preseta due svataggi: ) può essere calcolata solo i ipotesi di struttura piatta dei tassi 2) è u idice fiaziariamete scorretto: cotiee la somma degli importi R,...,R che maturao i epoche diverse e che o vegoo riportati fiaziariamete alla stessa epoca prima di essere sommati.

Idici temporali e di variabilità: scadeza media aritmetica Il secodo idice che aalizziamo è la scadeza media aritmetica (average term to maturity). Tale idice è defiito come la media aritmetica, poderata co le rate R k, delle epoche i cui hao luogo i pagameti, cioè: t [( + ) ] t k t R kr k k R k = k = k = = = k k = R R R k k k k = k = k = (53) Osservazioe Si può dimostrare che, se le rate R k o soo tutte uguali tra loro, si ha. t > z Ache la scadeza media aritmetica, come la scadeza media fiaziaria, è scorretto da ua prospettiva fiaziaria i quato somma importi che maturao i epoche diverse.

Idici temporali e di variabilità Esempio Calcoliamo la scadeza media fiaziaria e la scadeza media aritmetica per le segueti obbligazioi, di valore omiale pari a 00. Obbligazioe A) Durata 5 ai, cedola auale al tasso effettivo di iteresse del 4% e rimborso del valore omiale a scadeza 00 4 4 4 4 t t+ t+2 t+3 t+4 04 t+5 Obbligazioe B) Durata 5 ai, cedola auale al tasso effettivo di iteresse pari al 4% e rimborso di ua frazioe del valore omiale ad ogi scadeza, come da schema 00 24 23,2 22,4 2,6 t t+ t+2 t+3 t+4 20,8 t+5 24 = 20 + 00 0,04 23,2 = 20 + 80 0,04 22,4 = 20 + 60 0,04 2,6 = 20 + 40 0,04 20,8 = 20 + 20 0,04

Idici temporali e di variabilità Piao dei calcoli Obbligazioe A t R k R k (+i ) -k kr k 4 3.84654 4 2 4 3.698225 8 3 4 3.555985 2 4 4 3.4927 6 5 04 85.48042 520 20 00 560 Obbligazioe B t R k R k (+i ) -k kr k 24 23.07692 24 2 23.2 2.4497 46.4 3 22.4 9.9352 67.2 4 2.6 8.46377 86.4 5 20.8 7.09608 04 2 00 328 z A k log Rk log Rk ( + i) k = k = log20 log00 = = = 4,649 log( + i) log(,04) t A Rk 560 = = = 20 R k k = k = k 4,667 z B k log Rk log Rk ( + i) k = k = log2 log00 = = = 2,889 log( + i) log(,04) t B Rk 328 = k = = k = 2 R k = k 2,928

Idici temporali e di variabilità: la duratio Il terzo idice è la durata media fiaziaria (duratio), itrodotta to sigify the essece of the time elemet i a loa F. Macaulay, 938 (Hicks, 939) Come la scadeza media aritmetica, la duratio è ua media aritmetica delle epoche di pagameto degli importi poderata co le rate R k attualizzate i base ai fattori v(t, t+k) dedotti dalla struttura a proti per scadeza vigete all epoca t. Quidi: D t = k = k R v ( t, t + k ) k = k R v( t, t + k) k (54) Osservazioe La (54) tiee coto dei valori degli importi attualizzati ed esprime u epoca media, cioè ua combiazioe covessa delle scadeze k. Pertato, per R k 0 (k=,2,...,), sarà ovviamete D t.

Idici temporali e di variabilità: la duratio I rapporto all esplicitazioe del fattore di attualizzazioe la (54) si particolarizza come segue Tasso periodale Tassi a proti per periodo uitario D D t t = = k = k R [ + i ( t, t + k)] k = R [ + i ( t, t + k)] k k R [ + i( t + s, t + s)] k k = s= k k k k k k R [ + i ( t + s, t + s )] k = s= (55) (56) Tassi a termie per periodo uitario D t = k R [ + i( t, t + s, t + s)] k k = s= k R [ + i( t, t + s, t + s)] k k = s= k (57) Evidetemete, la formula si semplifica se la struttura per scadeza a proti è piatta, cioè se ī(t, t + k) = i (k =,,).

Idici temporali e di variabilità: la duratio Si ha i questo caso D t = k = k R ( + i) k = ( + i) essedo i il tasso effettivo di iteresse (costate) riferito al periodo uitario. R k k k k (58) La (58) è detta flat yield curve duratio. Osservazioe Beché dia luogo a risultati diversi da quelli che si ottegoo utilizzado la successioe dei tassi a proti (a termie), è molto frequete il calcolo della duratio i modo approssimato attraverso la (58), ella quale il tasso di valutazioe i è assimilato se esiste uico al T.I.R. del cash-flow dell operazioe fiaziaria.

Idici temporali e di variabilità: la duratio Esempio Si calcoli i t = 0 la durata media fiaziaria (duratio) di u obbligazioe emessa alla pari alla stessa epoca, di valore omiale uguale a 00 che paga cedole auali i base ai tassi di iteresse di mercato i(0,) = 3% i(,2) = 4% i(2,3) = 4,5% i(3,4) = 4,8% i(4,5) = 5% e che viee estita al suo valore omiale. 00 3 4 4,50 4,8 t t+ t+2 t+3 t+4 5+00 t+5 0 i -00 v k R k v k kr k v k 0.030 3.00 0.970874 2.926 2.926 2 0.040 4.00 0.933532 3.734 7.4683 3 0.045 4.50 0.893333 4.0200 2.0600 4 0.048 4.80 0.85247 4.0960 6.3664 5 0.050 05.00 0.8825 85.2465 426.2083 (0,) (0,2) + 0,03 v (0,5) (0,4) (0,3) = ( + 0,03)( + 0,04)( + 0,045)( + 0,048)( + 0.05) Totale 00 465.055 4.65055 Ai 4 Mesi 7 Giori 24

Idici temporali e di variabilità: la duratio Si calcoli ora i t = 0 la durata media fiaziaria (duratio) della stessa obbligazioe ma attualizzado gli importi al tasso medio dedotto dalla struttura a proti data. Calcoliamo il tasso medio [ ] 5 ι = ( + 0,03)( + 0,04)( + 0,045)( + 0,048)( + 0,05) 0,042575 0 Tasso -00 v k R k v k kr k v k 0.03 3 0.95963 2.87749 2.8775 2 0.04 4 0.99994 3.67998 7.3600 3 0.045 4.5 0.882424 3.9709.927 4 0.048 4.8 0.846389 4.06267 6.2507 5 0.05 05 0.8825 85.2465 426.2083 tasso medio = 0.042575 99.8327 464.609 4,653877 Ai 4 Mesi 7 Giori 25 Osservazioe Si oti che D t i questo caso è 4,653877, valore più grade di 4,65055.

Idici temporali e di variabilità: la duratio Si calcoli ora i t = 0 la durata media fiaziaria (duratio) della stessa obbligazioe ma cosiderado che ad ogi scadeza oltre alla cedola (calcolata ai tassi di mercato) viee rimborsato u quito del valore omiale. 0 Tasso -00 v k R k v k kr k v k 0.03 23.00 0.970874 22.3300 22.3300 2 0.04 23.20 0.933532 2.65795 43.359 3 0.045 22.70 0.893333 20.27865 60.83594 4 0.048 2.92 0.85247 8.68497 74.73988 5 0.05 2.00 0.8825 7.04833 85.2465 00 286.4635 2.864635 Ai 2 Mesi 0 Giori Osservazioe Si oti che D t i questo caso è 2,864635, valore molto più coteuto dei precedeti. Ciò avviee perché le masse fiaziarie soo distribuite lugo tutto lo scadezario aziché essere cocetrate ell ultima scadeza, come ell esempio precedete.

Idici temporali e di variabilità: la duratio Proprietà. D t = se e solo se il rimborso avviee i u uica soluzioe e o ci soo cedole (zero coupo bod). Ifatti i questo caso è krkv( t, t + k) k = 0 v( t, t + ) +... + ( ) 0 v( t, t + ) + R v( t, t + ) Dt = = = 0 v( t, t + ) +... + 0 v( t, t + ) + R (, ) (, ) v t t + R v t t + k k = k 2. Sia D t = τ. La duratio decresce al crescere di ciascuo degli importi R k co k < τ (atecedeti l epoca τ ) e cresce al crescere di ciascuo degli importi R k co k > τ (segueti l epoca τ ), tededo alla maturity al crescere di R (titoli a bassa cedola, cd. deep discout bods) 3. La duratio decresce al crescere del tasso di calcolo. Ifatti, cosiderado la flat yield curve duratio ed assumedo la derivabilità rispetto al tasso i, si ha: 2 2 k k k R v kr v D k k i= i= = v i k k R v R v k k i= i=

Idici temporali e di variabilità: la duratio Proprietà (segue) Osserviamo che la quatità tra paretesi quadre è del tipo M(X 2 ) M 2 (X) (formalmete ha l espressioe della variaza σ 2 ) e pertato è D 2 = vσ < 0 i Dalla egatività della derivata prima segue la decresceza della duratio rispetto al tasso di calcolo. 4. La duratio misura la sesitività del valore attuale del cotratto rispetto alle variazioi del tasso i. Per dimostrarlo, cosideriamo i ipotesi di struttura piatta dei tassi il valore attuale del flusso degli importi R k (che è ache il prezzo di o arbitraggio dell operazioe) (*) 2 V ( i) = R ( + i) + R ( + i) +... + R ( + i) 2 Rappresetiamo la fuzioe V(i), limitadoci ad osservare quato segue: a) V(i) > 0 per i > 0 b) V (0) = k = R k (*) Scrivedo V(i) si è iteso sottolieare la dipedeza del valore attuale dal tasso i. Più rigorosamete, si sarebbe dovuto scrivere V(i, R k ) (k =,, )

Idici temporali e di variabilità: la duratio c) d) dv ( k + ) = krk ( + i) < 0 di = 2 d V k 2 di k = ( k + 2) = k( k + ) R ( + i) > 0 k Graficamete V(i) R k Il prezzo del cotratto decresce al crescere del tasso di iteresse i

Idici temporali e di variabilità: la duratio Aalizziamo la derivata prima del prezzo del cotratto dv ( k + ) k = kr ( + i) = ( + i) kr ( + i) k di k = k = Dalla defiizioe di flat yield curve duratio abbiamo k k k = k = kr ( + i) = D R ( + i) Sostituedo il secodo membro della (60) ella (59) segue ovvero i ultima aalisi Il rapporto dv D = Rk ( + i) di + i k = dv D = V ( i ) di + i D ( m) D = ( + i) k k k k (59) (60) (6) (62) prede il ome di duratio modificata o volatilità (del prezzo).

Idici temporali e di variabilità: la duratio Osserviamo che la (6), per icremeti o ifiitesimi, può scriversi come V D = V ( i ) + o ( i ) i + i ( m) = D V ( i) + o( i) essedo o( i) u ifiitesimo di ordie superiore a i. (63) Trascurado la quatità o( i), dalla (63) segue V ( m) D i cioè, ricordado che V = V(i + i) V(i) V ( i ) ( m) ( ) V ( i + i) V ( i) D i (64) La (64), che forisce u approssimazioe del prezzo (valore attuale) V(i+ i) del cotratto coseguete la variazioe i del tasso di iteresse, mostra come il valore della duratio modificata iflueza il prezzo del cotratto, el seso che: - tato più D (m) è coteuta tato più modesta è la variazioe del prezzo - tato più D (m) è grade tato maggiore è la variazioe del prezzo.

Idici temporali e di variabilità: la duratio La (64) forisce: a) ua stima del prezzo del cotratto coseguete ua variazioe del tasso di iteresse Si vedrà come la stima forita dalla (64) può essere migliorata aggiugedo u termie di secodo grado che tiee coto della covessità della fuzioe valore attuale. b) ua idicazioe ella scelta delle obbligazioi da preferire i rapporto alle aspettative sul futuro adameto dei tassi Si vedrà come la duratio rappreseta l epoca alla quale il cash-flow risulta immuizzato rispetto alle cosegueze sul prezzo del cotratto che derivao da ua variazioe del tasso di iteresse.

Idici temporali e di variabilità: la duratio a) Stima del prezzo del cotratto coseguete ua variazioe del tasso di iteresse V(i) R k V i i V i D i ( ) ( + ) ( )( m ) V(i) V(i+ i) V i D i ( m) ( )( ) i i+ i Osservazioe La stima V(i)( D (m) i) del prezzo del cotratto otteuta attraverso la duratio modificata è per difetto. Ciò cosegue dal fatto che V(i) è ua fuzioe decrescete e covessa. i

Idici temporali e di variabilità: la duratio Esempio Si abbia l operazioe fiaziaria descritta dal seguete cash-flow. Il tasso iiziale i = 8%. 00 200 300 400 t t+ t+2 t+3 t+4 La duratio e la duratio modificata soo, rispettivamete D = 4,56892754 (4 ai, mese, 27 giori) 500 t+5 600 t+6 D (m) = 3,848974772 Il valore attuale del cotratto (equivaletemete, il prezzo di o arbitraggio) è V(0,08) =.54,65345 Si suppoga che il tasso subisca u icremeto di u puto percetuale (passi cioè dall 8% al 9%). Qual è il uovo valore attuale (prezzo di o arbitraggio) del cotratto? Per rispodere, possiamo: ) Calcolare V(0,09) ed otteere V(0,09) =.457,8303 2) Calcolare V(0,08+0,0) V(0,08) ( D (m) 0,0) =.54,65345 ( 3,848974772 0,0) =.456,382 valore molto prossimo al valore esatto.457,8303.

Idici temporali e di variabilità: la duratio La tabella mostra l approssimazioe che si cosegue calcolado attraverso la (64) il prezzo del cotratto coseguete ua variazioe di tasso di iteresse TASSO i Prezzo effettivo V(i) Prezzo approssimato V(0,08) ( D (m) i) (eff. appr.) [V(i+ i) -V(i)]/ V(i) % (*) 0.0550 670.563 660.358 0.20444 0.30% 0.0575 654.003 645.784 8.292 9.20% 0.0600 637.668 63.20 6.457902 8.2% 0.0625 62.552 66.635 4.9686 7.06% 0.0650 605.653 602.06 3.592335 6.0% 0.0675 589.968 587.487 2.480909 4.98% 0.0700 574.492 572.93.579054 3.95% 0.0725 559.222 558.338 0.883356 2.95% 0.0750 544.54 543.764 0.390462.95% 0.0775 529.287 529.90 0.097086 0.97% 0.0800 54.65 54.65 0 ---- 0.0825 500.37 500.04 0.09604 0.96% 0.0850 485.849 485.467 0.38202.90% 0.0875 47.748 470.892 0.85536 2.83% 0.0900 457.830 456.38.5253 3.75% 0.0925 444.094 44.744 2.35029 4.66% 0.0950 430.536 427.70 3.366452 5.55% 0.0975 47.53 42.595 4.558027 6.43% 0.000 403.943 398.02 5.92269 7.3% 0.025 390.903 383.447 7.45655 8.7% 0.050 378.030 368.872 9.5732 9.02% (*) Variazioe percetuale misurata sul prezzo effettivo

Idici temporali e di variabilità: la duratio Osservazioe Si oti ella tabella precedete che i valori assoluti la variazioe percetuale del prezzo dell obbligazioe è asimmetrica rispetto alle variazioi (positive o egative) del tasso. I altri termii al decrescere del tasso il prezzo aumeta percetualmete più di quato o dimiuisca al crescere del tasso, rispetto al valore cetrale dell 8%. Tale effetto o è specifico dell esempio aalizzato, ma è cosegueza della covessità della fuzioe valore attuale rispetto al tasso di iteresse; esso suggerisce che l approssimazioe del prezzo dell obbligazioe attraverso la (64) ( m) ( ) V ( i + i) V ( i) D i può essere migliorata cosiderado termii aggiutivi di grado superiore al primo. V(i) R k V i i V i D i ( ) ( + ) ( )( m ) i

Idici temporali e di variabilità: la covexity Richiamo (approssimazioe di ua fuzioe mediate il poliomio di Taylor) Data la fuzioe f(x), derivabile volte el puto x 0 ed volte i u itoro di x 0, per x prossimo a x 0 sussiste la ( ) f ''( x0) 2 f ( x0) f ( x) f ( x0) + f '( x0)( x x0) + ( x x0 ) +... + ( x x0) 2!! f ( x ) P x x x ( k ) 0 k ( ) = ( 0) k = 0 k! essedo P (x) il poliomio di Taylor di grado cetrato el puto x 0. Arrestado l approssimazioe al termie di secodo grado si può scrivere f ''( x0) f ( x) f ( x0) f '( x0 )( x x0) + ( x x0) 2! Utilizziamo questo risultato per migliorare l approssimazioe che si commette attraverso la (64) el calcolare il prezzo del cotratto coseguete ua variazioe del tasso di iteresse. Baalmete la fuzioe f sarà la fuzioe valore attuale (prezzo) del cotratto e la variabile x sarà il tasso di iteresse. 2

Idici temporali e di variabilità: la covexity Già sappiamo che dv = krk ( + i) di k = ( k + ) che può ache scriversi come dv di = D ( m) V ( i) e che la derivata secoda della fuzioe valore attuale è positiva e data dalla 2 d V = k( k + ) R ( + i) 2 di k = Pertato l approssimazioe come avedo posto k ( k + 2) f ''( x0) f ( x ) f ( x 0 ) f '( x 0 )( x x 0 ) + ( x x 0 ) 2! ( m) V D V i + C V i 2 C = k k + R + i ( k + 2) ( ) k ( ) V = k 2 2 può scriversi (65) (66) La quatità C, rapporto tra la derivata secoda del valore attuale ed il valore attuale stesso, prede il ome di covexity (del prezzo) e misura la covessità della fuzioe valore attuale per uità di capitale.

Idici temporali e di variabilità: la covexity La covexity può essere impiegata per stimare i modo più accurato la variazioe del prezzo del cotratto. Per verificarlo, riprediamo l esempio precedete, el quale l operazioe {(00,t+),(200,t+2),(300,t+3),(400,t+4),(500,t+5),(600,t+6)} era valutata al tasso i=8%. Abbiamo già calcolato la duratio e la duratio modificata, rispettivamete pari a D = 4,56892754 (4 ai, mese, 27 giori) D (m) = 3,848974772 Dalla tabella dei coti calcoliamo C = 20,40082. k R k v k R k v k k(k+)r k (+0.08) (k+2) 00 0.92593 92.59259 58.766 2 200 0.85734 7.4678 882.036 3 300 0.79383 238.497 2450.00 4 400 0.73503 294.09 504.357 5 500 0.68058 340.296 8752.356 6 600 0.6307 378.08 364.780 Somma 54.65 30899.390 A frote di ua variazioe positiva di u puto percetuale del tasso, la stima del uovo prezzo è ( m) 2 V ( i + i) V ( i) D i + C i 2 2 V (0,08 + 0,0).54,65 3,84897 0,0 + 20, 40082 0,0 =.457,863 2

Idici temporali e di variabilità: la covexity La Tabella mostra coloe (5) e (6) il migliorameto della stima del prezzo usado la covexity () Tasso i (2) Prezzo effettivo (3) Approx ordie (4) Approx 2 ordie (5) (2)-(3) (6) (2)-(4) 0.055 670.563 660.358 670.04 0.205 0.549 0.058 654.003 645.783 653.605 8.220 0.398 0.060 637.668 63.209 637.389 6.459 0.279 0.063 62.552 66.635 62.366 4.97 0.86 0.065 605.653 602.06 605.537 3.592 0.6 0.068 589.968 587.486 589.900 2.482 0.068 0.070 574.492 572.92 574.457.580 0.035 0.073 559.222 558.338 559.207 0.884 0.05 0.075 544.54 543.764 544.50 0.390 0.004 0.078 529.287 529.89 529.286 0.098 0.00 0.080 54.65 54.65 54.65 0.000 0.000 0.083 500.37 500.04 500.37 0.096 0.000 0.085 485.849 485.466 485.853 0.383-0.004 0.088 47.748 470.892 47.76 0.856-0.03 0.090 457.830 456.38 457.863.52-0.033 0.093 444.094 44.744 444.58 2.350-0.064 0.095 430.536 427.69 430.646 3.367-0.0 0.098 47.53 42.595 47.327 4.558-0.74 0.00 403.943 398.02 404.20 5.922-0.258 0.03 390.903 383.447 39.268 7.456-0.365 0.05 378.030 368.872 378.528 9.58-0.498

Idici temporali e di variabilità: la covexity Coclusioe Come la duratio, ache la covexity idica come il prezzo del cotratto si modifica rispetto alle variazioi del tasso di iteresse: se il tasso si riduce il prezzo aumeta percetualmete più di quato o si riduca se il tasso aumeta. Tale effetto, desiderabile per l ivestitore, è tato maggiore quato maggiore è la covexity del titolo. Pertato, l ivestitore preferirà i titoli che presetao covexity più elevata.

Idici temporali e di variabilità: la duratio b) Idicazioe ella scelta delle obbligazioi da preferire i rapporto alle aspettative sul futuro adameto dei tassi Dalla (64) si deduce che: u operatore co aspettative ribassiste circa il futuro adameto dei tassi di iteresse preferisce operazioi di ivestimeto co duratio più elevata u operatore co aspettative rialziste circa il futuro adameto dei tassi di iteresse preferisce operazioi di ivestimeto co duratio miore. Scelte opposte itervegoo se l operazioe è di fiaziameto. Ifatti, se l operatore iveste ha coveieza che la variazioe di tasso i accresca (o o eroda troppo) il prezzo del cotratto. Pertato, state la ( m) ( ) V ( i + i) V ( i) D i i < 0 (ribasso del tasso) V > 0 e la differeza è tato maggiore quato maggiore è la D (m), cioè la duratio i > 0 (rialzo del tasso) V < 0 e la differeza è tato miore quato miore è la D (m), cioè la duratio.

Idici temporali e di variabilità: la duratio Pertato, la duratio forisce idicazioi strategiche: Nelle operazioi di ivestimeto se si hao aspettative di riduzioe dei tassi di iteresse si preferirao titoli obbligazioari co duratio più elevata (al ridursi dei tassi di iteresse cresce il prezzo dell'obbligazioe e i guadagi soo maggiori sui titoli più sesibili alle oscillazioi dei tassi); se si hao aspettative di aumeto dei tassi di iteresse si preferirao titoli obbligazioari co duratio più bassa (all'aumeto dei tassi di iteresse dimiuisce il prezzo di u'obbligazioe e le perdite soo miori sui titoli meo sesibili alle oscillazioi dei tassi). Nelle operazioi di fiaziameto le posizioi soo speculari.

Idici temporali e di variabilità: duratio e immuizzazioe Abbiamo aalizzato le variazioi del prezzo del titolo al variare del tasso di iteresse, osservado che esiste u legame iverso tra le due gradezze. Il fatto che il tasso di iteresse vari el tempo espoe gli operatori fiaziari ad u rischio, il cd. rischio di tasso, cosistete ell evetualità di o coseguire i risultati che i asseza di variazioi del tasso l operazioe fiaziaria avrebbe garatito. Ci propoiamo pertato di: ) aalizzare i dettaglio il rischio di tasso, scompoedolo i: a) rischio di reimpiego (o di reivestimeto) b) rischio di prezzo (o di realizzo) 2) compredere i che modo la duratio svolga u ruolo protettivo (immuizzate) rispetto alle variazioi del tasso.

Idici temporali e di variabilità: duratio e immuizzazioe ) Il rischio di tasso Per compredere la atura di tale rischio, cosideriamo l operazioe fiaziaria descritta dal seguete schema 00 0 0 t t+ t+2 Ipotizzado che il tasso sia i = 0%, la duratio è 0 t+3 2 3 0,0 + 2 0,0 + 3 0,0 D = 2,7355 (2 ai, 8 mesi, 25 giori) 00 3 0,0 82,64 0,0 9,09 2 0,0 8,26 D = 2,7355 00 0 0 t t+ t+2 0 t+3

Idici temporali e di variabilità: duratio e immuizzazioe Dopo aver riscosso la secoda cedola dell obbligazioe, l ivestitore decide di termiare aticipatamete l operazioe. Quato vale l ivestimeto all epoca t+2? k R k Valore all epoca del disivestimeto t+ 0 0,0 = t+2 0 0 t+3 0 0,0 = 00 2 Valore del cash-flow all epoca t+2 se il tasso sul mercato si è mateuto al 0% Problema Cosa accade se all epoca t+2 il tasso vigete o è più il 0%?

Idici temporali e di variabilità: duratio e immuizzazioe Rischio di reimpiego (o di reivestimeto): il tasso passa dal 0% all 8% k R k Valore all epoca del disivestimeto t+ 0 0,08 = 0,80 t+2 0 0 t+3 0 0,08 = 0,85 22,65 Rischio di prezzo: 0,85 > 00 Rischio di reimpiego: 0,80 < Rischio di prezzo (o di realizzo): il tasso passa dal 0% al 2% k R k Valore all epoca del disivestimeto t+ 0 0,2 =,20 t+2 0 0 t+3 0 0,2 = 98,2 9,4 Rischio di prezzo: 98,2 < 00 Rischio di reimpiego:,20 >

Idici temporali e di variabilità: duratio e immuizzazioe Osservazioe La variazioe del tasso (0% 8%, el primo esempio) (0 2%, el secodo esempio) ha prodotto effetti opposti: positivi el primo caso (22,65>2) e egativi el secodo caso (9,4<2). I rischi di rempiego e di prezzo o si cumulao, ma almeo parzialmete si compesao. Ciò iduce la domada: E possibile proteggersi ( immuizzarsi ) dal rischio di tasso mediate la compesazioe delle due compoeti? I altri termii, esiste u epoca disivestedo alla quale si è immuizzati dal rischio di tasso? Suppoiamo che ell esempio appea visto l ivestitore decida di iterrompere l operazioe all epoca coicidete co la duratio (D = 2,7355). Qual è il valore del cashflow a tale epoca?

Idici temporali e di variabilità: duratio e immuizzazioe Il tasso rimae il 0% Il tasso passa dal 0% all 8% Il tasso passa dal 0% al 2% k R k Valore all epoca del disivestimeto t+ 0 0,0 D =,7988 t+2 0 0,0 D 2 = 0,7262 t+3 0 0,0 D 3 = 07,2620 29,7870 k R k Valore all epoca del disivestimeto t+ 0 0,08 D =,4290 t+2 0 0,08 D 2 = 0,5824 t+3 0 0,08 D 3 = 07,7838 29,7952 k R k Valore all epoca del disivestimeto t+ 0 0,2 D = 2,736 t+2 0 0,2 D 2 = 0,8693 t+3 0 0,2 D 3 = 06,752 29,7950

Idici temporali e di variabilità: duratio e immuizzazioe Pertato, l esempio mostra che la duratio immuizza dalle variazioi del tasso di iteresse Formalizziamo il risultato, cosiderado l operazioe fiaziaria descritta dal seguete scadezario R R 2 t R R t 0 t t 2 d t E oto che il valore del cotratto all epoca d valore che deotiamo co V(i 0, d) per sottolieare la dipedeza sia dal tasso i 0 che dall epoca di valutazioe d è dato dalla 0 k 0 k 0 t d t > d k = 0 d tk ( tk d ) V ( i, d) = R ( + i ) + R ( + i ) = k = R ( + i ) k d tk Il problema di immuizzazioe cosiste ello stabilire se, dati i due tassi i 0 e i, esiste u epoca d tale che tale cioè che il valore del cotratto i d, calcolato al tasso i, risulti o iferiore al valore del cotratto i d, calcolato sulla base del tasso i 0. k V ( i, d) V ( i, d) i, i (67) 0 0

Idici temporali e di variabilità: duratio e immuizzazioe La (65) richiede che la fuzioe V abbia u miimo i i 0. Se tale fuzioe è derivabile rispetto al tasso di iteresse (e oi assumiamo che lo sia), codizioe ecessaria perché abbia u miimo i i 0 è che sia V ( i0, d) = 0 i Calcoliamo duque la derivata prima della fuzioe V rispetto al tasso i da cui V ( i, d) = ( d tk ) Rk ( + i) i k = Cioè, sviluppado opportuamete 0 k k 0 i k = d tk d t V ( i, d) ( d t ) R ( i ) k = + = 0 V d t ( i, d ) ( d t ) R ( i ) k = + = 0 i 0 k k 0 k = k = d 0 0 0 k k 0 k = d = ( d t ) R ( + i ) ( + i ) = 0 k k tk tk = ( + i ) ( d t ) R ( + i ) = 0

Idici temporali e di variabilità: duratio e immuizzazioe V i d i d d t R i i (, ) = ( + ) ( ) ( + ) = 0 0 0 k k 0 k = se e solo se k = k = ( d t ) R ( + i ) = 0 k k 0 tk t ( 0 ) k t drk + i tk Rk ( + i0 ) k = 0 t k t k tk dr ( + i ) t R ( + i ) = 0 k 0 k k 0 k = k = tk d R ( + i ) = t R ( + i ) k 0 k k 0 k = k = tk dalla quale ifie segue d = k = k = t R k R k k ( + i ) 0 0 ( + i ) t t k k (68)

Idici temporali e di variabilità: duratio e immuizzazioe La (68) altro o è che la defiizioe di duratio, per cui si ha la seguete Coclusioe La durata d per la quale la fuzioe V ha u miimo rispetto al tasso di iteresse coicide co la duratio. Osservazioe Posto che la fuzioe V sia derivabile, la codizioe V ( i0, d) = 0 i è solo ecessaria. Per idividuare il puto di miimo occorre ache calcolare la derivata secoda della 2 fuzioe V e verificare che risulti V ( i. 2 0, d) > 0 i Si ha ifatti. V i d d t 2 R i 2 2 0 k k 0 i k = d tk 2 (, ) = ( ) ( + ) > 0 come si verifica immediatamete essedo positivi tutti i fattori. (69)

Idici temporali e di variabilità: duratio e immuizzazioe Esempio Si acquista i t=0 ua obbligazioe alla pari co le segueti caratteristiche: - Valore omiale: 00 - Durata: 8 ai - Cedola auale al tasso i = 6%; - Rimborso del valore omiale: 50 al 4 ed 50 all 8 ao La valutazioe avviee al tasso del 6%. La duratio del titolo è calcolata attraverso il seguete piao dei coti k R k R k v k kr k v k 0-00 6 5.660377 5.660377 2 6 5.339979 0.67996 3 6 5.03776 5.35 4 56 44.35725 77.429 5 3 2.24775.20887 6 3 2.4882 2.68929 7 3.9957 3.9662 8 53 33.25286 266.0228 00 52.7697 Duratio 5.27697

Idici temporali e di variabilità: duratio e immuizzazioe Calcoliamo il valore dell obbligazioe all epoca coicidete co la duratio (d=5.27697) al variare del tasso di iteresse. 8 = k + 5.27697 k = k = V ( i, 5.27697) R ( i) 4.27697 3.27697 2.27697.27697 = + + + + + + + + 6 ( i) 6 ( i) 6 ( i) 56 ( i) 0.27697 0.8723.8723 + 3 ( + i) + 3 ( + i) + 3 ( + i) + 53 ( + i) 2.8723 Il puto di miimo coicide co il tasso di valutazioe iiziale

Idici temporali e di variabilità: duratio e immuizzazioe Si è fiora esplorato il ruolo protettivo svolto dalla duratio i relazioe ad u titolo obbligazioario. Poiché: a) la duratio idica l epoca alla quale l ivestimeto risulta immuizzato; b) l epoca i corrispodeza della quale si desidera che l ivestimeto sia immuizzato è geeralmete determiata dagli impegi e/o dagli obiettivi dell ivestitore; c) o è detto che il mercato offra titoli co duratio esattamete uguale a quella desiderata da ciascu ivestitore che vuole immuizzarsi, è rilevate chiedersi se sia possibile immuizzarsi per u epoca qualsiasi e o soltato per quelle corrispodeti alle duratio dei titoli offerti sul mercato. La risposta è affermativa sotto ua codizioe molto debole: è possibile immuizzarsi per l epoca D qualsiasi se il mercato offre titoli co duratio D e D 2 tali che (*) D < D < D2 (*) Si soo cosiderate disuguagliaze forti perche, i caso di uguagliaza, il problema sarebbe risolto acquistado il titolo tra i due la cui duratio coicide co D.

Idici temporali e di variabilità: duratio e immuizzazioe Dimostriamo il risultato Cosideriamo i due titoli T () e T (2), caratterizzati come segue: {(, ),( 2, 2 ),...,(, )} T = R t R t R t () () () () () () () R () R () 2 R () 3 () R t() t() () () 2 t 3 t {(, ),( 2, 2 ),...,(, )} 2 2 T = R t R t R t (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) R (2) R (2) 2 R (2) 3 (2) R 2 t(2) t(2) (2) (2) 2 t 3 t 2 Idicado co V () e V (2) i valori attuali dei due titoli, le relative duratio soo D D = () k = = 2 (2) k = t R v( t, t ) () () () k k k V () t R v( t, t ) (2) (2) (2) k k k V Cosideriamo ora u portafoglio composto dai due titoli. Gli importi e le epoche del portafoglio soo date dall uioe degli importi e delle epoche che caratterizzao ciascuo dei due titoli, cioè deotado co Π il portafoglio si ha (2)

Idici temporali e di variabilità: duratio e immuizzazioe () (2) {(, ),( 2, 2 ),...,(, )} ( ) ( ) ( ) Π = T T = R t R t R t = () () () () () () (2) (2) (2) (2) (2) (2) { R, t, R2, t2,..., R, t } {( ) ( ) ( )} R, t, R2, t2,..., R, t 2 2 = Cioè, sullo scadezario R () R () 2 R () 3 () R t() t() () () 2 t 3 t (2) (2) (2) (2) R R 2 R 3 R 2 t(2) t(2) (2) (2) 2 t 3 t 2 R R 2 R 3 R 4 R 5 R essedo t t 2 t 3 t 4 t 5 t R = R + R ; R = R ; R = R ; R = R ; R = R ;... ; R = R + R () (2) (2) () () (2) () (2) 2 2 3 2 4 3 5 3 t = t = t ; t = t ; t = t ; t = t ; t = t ;... ; t = t = t () (2) (2) () () (2) () (2) 2 2 3 2 4 3 5 3 2 2

Idici temporali e di variabilità: duratio e immuizzazioe La duratio del portafoglio è pertato ovvero, essedo k = D 2 () () () (2) (2) (2) tk Rk v( t, tk ) tk Rk v( t, tk ) + tk Rk v( t, tk ) Π k = k = k = = = () (2) () (2) t R v( t, t ) = D V () () () () () k k k V + V V + V e 2 k = t R v( t, t ) = D V (2) (2) (2) (2) (2) k k k segue D D V D V () () (2) (2) Π + = V + V () (2) Se deotiamo co V l importo che l operatore iveste complessivamete ell acquisto dei due titoli, il problema si traduce el seguete sistema i due equazioi lieari e due icogite, V () e V (2) : () (2) V + V = V D V + D V () (2) V + V () () (2) (2) = D (vicolo di bilacio) (vicolo di duratio)

Idici temporali e di variabilità: duratio e immuizzazioe la cui soluzioe è immediata = D D (2) () V = V D (2) D () D D () (2) V V D (2) D () Quidi, affiché il portafoglio risulti immuizzato per l epoca D, occorre acquistare la quota V () del primo titolo e la quota V (2) del secodo titolo.

Idici temporali e di variabilità: duratio e immuizzazioe Esempio All epoca t = 0, si vuole immuizzare l importo di 5.000 per l epoca t = 2,2 (2 ai, 2 mesi e 2 giori). Sul mercato o soo trattati titoli aveti duratio D = 2,2 ma tra le altre soo scambiate le due segueti obbligazioi, etrambe di valore omiale pari a 00 e valutate al tasso di iteresse effettivo auo i = 6,75%: Titolo Prezzo 92,96. Rimborso del valore omiale: 75 alla fie del primo ao, 25 alla fie del secodo ao. Titolo 2 Prezzo 82,05. Rimborso del valore omiale: 0 alla fie del primo ao, 5 alla fie del secodo ao, 35 alla fie del terzo ao, 40 alla fie del quarto ao Titolo Titolo 2 k R k R k v k kr k v k 0-92.96 75 70.2576 70.2576 2 25 2.93836 43.87673 92.9598 4.343 Duratio.237954 k R k R k v k kr k v k 0-82.05 0 9.36768 9.36768 2 5 3.6302 26.32604 3 35 28.7763 86.3488 4 40 30.80268 23.207 82.05 245.293 Duratio 2.986655

Idici temporali e di variabilità: duratio e immuizzazioe Essedo () (2), 237954 = D < D = 2, 2 < D = 2,986655 è possibile costruire, co le due obbligazioi date, u portafoglio immuizzato per la scadeza D. I primo luogo occorre determiare quale somma impiegata all epoca t = 0 potrà garatire allo smobilizzo i t = 2,2 la somma di 5.000. Di tale somma si dovrao ivestire el titolo e V (2) () V V D (2) D () 2,2 5.000 ( 0.0675) 4.330,72553 = + = D D 2,986655 2, 2 = = 4.330,72553 =.948,8080 2,986655, 237954 () (2) D D 2, 2, 237954 V = V = 4.330,72553 = 2.382,544729 D (2) D () 2,986655, 237954 el titolo 2. Teedo coto del prezzo delle due obbligazioi, si dovrao acquistare rispettivamete ().948,8080 = = 2,3087 92,96 2 cotratti del titolo e 29 cotratti del titolo 2. (2) 2.382,544729 = = 29,0827 82,05

Ammortameti e prestiti

Ammortameti e prestiti: geeralità Cosideriamo u operazioe fiaziaria coforme allo schema seguete: all epoca t 0 u soggetto (mutuate o creditore) cede ad u secodo soggetto (mutuatario o debitore) u importo S (importo del mutuo o prestito), che viee suddiviso egli importi o egativi C, C 2,, C (quote capitale), co o corrisposti alle scadeze t 0 < t < t 2 < < t. Attraverso le quote capitale si defiisce il debito residuo D k all epoca t k. i= C i = S, che vego- Evidetemete sarà D 0 = S D = D C ( k =,..., ) k k k (73) Combiado le (73) si ottiee D S C k k = che costituisce la relazioe retrospettiva del debito residuo. i= i (74)

Ammortameti e prestiti: geeralità Dalla (74), ricordado il sigificato di S, si ha k k (75) D = S C = C C = C k i i i i i= i= i= i= k + La (75) costituisce la relazioe prospettiva del debito residuo. Dato il debito residuo D k all epoca t k, la quatità k E = S D = C C = C k k i i i i = i = k + i = (76) ha il sigificato di debito estito all epoca t k. Per il debito estito E k è immediato osservare che valgoo le relazioi: E 0 = 0 E = E + C ( k =,..., ) E k k k = S (77)

Ammortameti e prestiti: geeralità Ad ogi epoca t k il mutuatario deve oorare due obbligazioi, versado al mutuate ) la k-esima quota capitale C k 2) la k-esima quota iteressi I k, che riguarda gli iteressi maturati sul debito residuo Dk = C i= k i tra le epoche t k e t k Pertato, all epoca t k il debitore corrispode u importo R k (rata di ammortameto) pari alla somma delle due compoeti, cioè R = C + I (78) k k k Premesse le gradezze fiaziarie sopra defiite, il problema cosiste ell esplicitare i metodi di ammortameto del mutuo, cioè le procedure che cosetoo al debitore di corrispodere alle varie scadeze gli importi R k i modo che il debito residuo risulti azzerato all epoca t (equivaletemete, i modo che il debito estito sia pari a S i t ). I altri termii il metodo di ammortameto garatisce l equità (cioè il rispetto della codizioe di chiusura) dell operazioe fiaziaria attraverso la quale il mutuo è rimborsato

Ammortameti e prestiti: geeralità Le modalità di rimborso del mutuo e le gradezze fodametali {t k } successioe delle scadeze {R k }» delle rate {C k }» delle quote capitali {I k }» delle quote iteresse {D k }» del debito residuo {E k }» del debito estito che lo caratterizzao vegoo ordiatamete riportate el piao di ammortameto, cioè i ua tabella, ogi coloa della quale è itestata ad ua delle gradezze fodametali Piao di ammortameto t R k C k I k D k E k t 0 R 0 = 0 C 0 = 0 I 0 = 0 D 0 = S E 0 = 0 t R C I D E t R C I D =0 E = S

Ammortameti e prestiti: geeralità Per iquadrare le problematiche relative ai piai di ammortameto assumiamo di operare i regime di capitalizzazioe composta co tasso costate su uo scadezario del tipo Si hao le segueti relazioi { t 0 = 0, t =,..., t k = k,..., t =, t = } S ( + i) = R ( + i) Codizioe di equivaleza retrospettiva (79) j= j j= j = j j j S = R ( + i) = R v Codizioe di equivaleza prospettiva (80) Quota iteressi Equazioe ricorrete del debito residuo i fuzioe delle rate I k = i Dk D = D ( + i) R k k k j j D = D ( + i) ( C + i D ) k k k k (8) (82) Equazioe esplicita retrospettiva del debito residuo i fuzioe delle rate D = S ( + i) R ( + i) k k k j j j = (83) Equazioe esplicita prospettiva del debito residuo i fuzioe delle rate ( j k) j k ( ) (84) D = R + i = R v k j j j = k + j= k +

Ammortameti e prestiti: geeralità Schemi tipici di ammortameto di u prestito soo: a) rimborso uico di capitale ed iteressi L ammortameto si riduce i questo caso ad u operazioe fiaziaria semplice i cui, cotro l importo S prestato all epoca t 0, viee corrisposto l importo S (+i) t t 0 all epoca t. b) Pagameto periodico degli iteressi e rimborso uico del capitale c) Rimborso graduale I) metodo progressivo (ache detto fracese) II) metodo uiforme (ache detto italiao) III) metodo a due tassi (ache detto americao) IV) metodo degli iteressi aticipati (ache detto tedesco)

Piai di ammortameto: pagameto periodico degli iteressi e rimborso uico del capitale E esaustivamete descritto dal seguete piao di ammortameto t R k C k I k D k E k 0 R 0 = 0 C 0 = 0 I 0 = 0 D 0 = S E 0 = 0 R = I C = 0 I D = S E = 0 R = I C = 0 I D = S E = 0 R = S + I C = S I D = 0 E = S Ik = S ( + i) = S ( + i) = Si tk tk k ( k ) essedo evidetemete

Piai di ammortameto: metodo progressivo (fracese) Tale metodo, probabilmete il più usato ella pratica fiaziaria, prevede che le rate siao costati, cioè R k = R. Deotato co i il tasso di iteresse per periodo uitario, la codizioe di equivaleza prospettiva i fuzioe delle rate (cfr. la (80)) può scriversi come ovvero, esplicitado rispetto ad R Poiché per il debito residuo si ha j S = R ( + i) = R v j j = j = ( + i) v S = R a = R = R i i i i R = S = S a v i j k 2 k k = j = ( + +... + ) = k i j = k + D R v R v v v R a j j (85) (86) sostituedo la (85) ella (86) segue\ i v v Dk = R a = S a = S = S k i k i a v i v che forisce il valore del debito residuo all epoca k. i k k (87)

Piai di ammortameto: metodo progressivo (fracese) La quota iteressi è data dalla I = i D = i R a = R v k k k + i metre la quota capitale è data dalla k k k k ( ) ( k + ) + k + C = R I = R R v = R v (88) (89) Osservazioe Si oti che C C k k k + R v k + + k 2 = = v = v = ( + i) k + 2 R v (90) Le quote capitale soo pertato i progressioe geometrica di ragioe v = (+i) (da qui la progressività del metodo di ammortameto i questioe). Soo state defiite tutte le gradezze che cosetoo di redigere il piao di ammortameto seguedo il metodo progressivo

Piai di ammortameto: metodo progressivo (fracese) Piao di ammortameto k R k C k I k D k E k 0 - - - D 0 = S E 0 = 0 i R = S C = Rv I = R( v ) D E = Rv = Ra v i R C = Rv 2 I = R( v 2 ) D Ra E = Rv s = i i R C = Rv I = R( v) D = 0 E = S

Piai di ammortameto: metodo progressivo (fracese) Esempio Ammortameto, co metodo progressivo (fracese) di u mutuo di 50.000 al tasso effettivo auo del 6% attraverso il pagameto di 0 rate auali posticipate. k R k C k I k D k E k 0 50000,00 0 20380.9 380.9 9000.000 3869.80 380.9373 2 20380.9 2063.0 837.88 26556.80 23443.9909 3 20380.9 2786.79 7593.408 3770.00 36229.98477 4 20380.9 3553.99 6826.20 0026.00 49783.97759 5 20380.9 4367.23 602.96 85848.79 645.20998 6 20380.9 5229.27 550.927 7069.52 79380.4763 7 20380.9 643.02 4237.7 54476.50 95523.49862 8 20380.9 7.60 3268.590 37364.90 2635.023 9 20380.9 838.30 224.894 9226.60 30773.402 0 20380.9 9226.60 53.596 0 50000.0000

Piai di ammortameto: metodo progressivo (fracese) Osservazioe Si è fiora esamiato il caso i cui le rate hao la stessa periodicità del tasso di iteresse (p.es. tasso di iteresse auo 6%, ammortameto dell importo S=50.000 i 0 rate co cadeza auale). E rilevate aalizzare come deve scriversi il piao di ammortameto se le rate hao periodicità diversa da quella cui viee riferito il tasso di iteresse. I questa evetualità, dati: a) il tasso auale determiato sulla base del cotratto di mutuo (i); b) Il umero di ai () i cui si richiede vega rimborsato il capitale; c) il umero di rate da corrispodere ell ao (m), si calcolao: i) il tasso di iteresse equivalete riferito alla periodicità delle rate del mutuo ii) il umero di aualità, pari a m i m La rata viee determiata sulla base della relazioe R = S m ( + i ) Esempio Ammortameto, co metodo progressivo (fracese) di u mutuo di 50.000 al tasso effettivo auo del 6% attraverso il pagameto di 20 rate semestrali posticipate. S = 50.000 i = 0,06 i ½ = (+0,06) ½ = 0.0295630 m = 2 0 = 20 m m i = ( + i) m

Piai di ammortameto: metodo progressivo (fracese) k R k C k I k D k E k 0 50000.0000 0.000000 004.67 5607.238 4434.4525 44392.7862 5607.23796 2 004.67 5772.97994 4268.685974 3869.8063 380.9373 3 004.67 5943.64662 4098.09287 32676.596 7323.84036 4 004.67 69.35873 3922.30778 26556.8009 23443.9909 5 004.67 6300.26542 374.40049 20256.5355 29743.4645 6 004.67 6486.52026 3555.45654 3770.052 36229.98477 7 004.67 6678.2835 3363.384564 0709.7339 42908.2662 8 004.67 6875.747 365.954439 0026.0224 49783.97759 9 004.67 7078.97823 2962.687683 9337.0448 56862.95582 0 004.67 7288.2546 2753.475 85848.79002 645.20998 004.67 7503.7692 2537.94899 78345.073 7654.9269 2 004.67 7725.5494 236.650 7069.52369 79380.4763 3 004.67 7953.93994 2087.725975 62665.58376 87334.4624 4 004.67 889.08238 852.583536 54476.5038 95523.49862 5 004.67 843.7633 60.489578 46045.32505 03954.675 6 004.67 8680.42732 36.238594 37364.89773 2635.023 7 004.67 8937.0469 04.68998 28427.85082 2572.492 8 004.67 920.25296 840.429545 9226.59786 30773.402 9 004.67 9473.26973 568.396836 9753.32834 40246.679 20 004.67 9753.3283 288.337777 0 50000.0000

Piai di ammortameto: metodo uiforme (italiao) I questo schema di ammortameto si assume che la quota capitale sia costate, cioè C k = C. Poiché, per la codizioe di equità, è ecessario che sia segue immediatamete I via altrettato immediata si deduce che e pertato che S C = j = C j = S (9) S Dk = ( k) = ( k) C (92) S Ek = S Dk = S ( k) C = C C + kc = kc = k (93) Utilizzado la relazioe I k = i D k, la quota iteresse può scriversi come k + Ik = i Dk = i ( k + ) C = S i e quidi, essedo R k = C k + I k (R k = C + I k ), scriviamo la rata come S S S Rk = C + Ik = + i ( k + ) = [ + i ( k + )] (94) (95)

Piai di ammortameto: metodo uiforme (italiao) Osservazioe Nel metodo uiforme (italiao) le successioi {D k }, {E k }, {I k }, {R k } soo i progressioe aritmetica. Esempio Ammortameto, co metodo uiforme (italiao) di u mutuo di 72.000 al tasso di iteresse auo del 7% i 8 rate. k R k C k I k D k E k 0 72000 0 4040 9000 5040 63000 9000 2 340 9000 440 54000 8000 3 2780 9000 3780 45000 27000 4 250 9000 350 36000 36000 5 520 9000 2520 27000 45000 6 0890 9000 890 8000 54000 7 0260 9000 260 9000 63000 8 9630 9000 630 0 72000

Piai di ammortameto: metodo a due tassi (americao) Il metodo prevede ) il pagameto periodico alle scadeze t k della quota iteresse I k, che viee calcolata al tasso i (tasso di remuerazioe) 2) la costituzioe del capitale prestato S attraverso il versameto periodico, a scadeze che possoo coicidere o meo co quelle di versameto delle quote iteresse (supporremo che coicidao), degli importi C k che, capitalizzati al tasso j (tasso di accumulazioe), garatiscoo la dispoibilità dell importo S all epoca t. Se gli importi C k soo costati (C k =C) allora è immediato calcolare il valore della quota capitale come C j = S ( + j) ed altrettato immediato è scrivere la rata (costate): (96) j j R = C + I = C + i S = S + i S = S i + ( + j) ( + j) (97)

Piai di ammortameto: metodo a due tassi (americao) Siamo i grado di redigere il piao di ammortameto R k C k I k D k E k t 0 S 0 t C + i S C i S S 0 t 2 C + i S C i S S 0 t k C + i S C i S S 0 t C + i S C i S 0 S co riferimeto al quale soo ecessarie le segueti precisazioi:. oostate il mutuatario versi la quota capitale al termie di ciascua scadeza, il debito residuo rimae S per tutte le scadeze itermedie perché l ipotesi è che la quota capitale o sia direttamete versata al mutuate ma girata a quest ultimo solo all epoca fiale del periodo di ammortameto. Ciò spiega ache perché la quota iteresse rimae costatemete uguale a i S per l itero periodo e perché il debito estito sia sempre pari a 0 fio all epoca precedete la fie del piao di ammortameto. 2. E altresì chiaro che il piao di ammortameto sopra redatto costituisce u caso particolare, el seso che si assume che le quote capitale e iteresse vegao corrisposta alle stesse scadeze, ciò che o è affatto ecessario.

Piai di ammortameto: metodo a due tassi (americao) Osservazioi. Sempre ell ipotesi di rata costate, co quota capitale e quota iteresse corrisposte alla stessa scadeza, se fosse ache i = j la rata dell ammortameto americao coiciderebbe co quella dell ammortameto progressivo (o fracese). Ifatti sarebbe i i + i( + i) i R = C + I = S + i S = S = ( + i) ( + i) i( + i) i = S = S = S ( + i) ( + i) a 2. Poiché viceversa el metodo a due tassi di orma risulta i > j, il mutuatario è i (98) esposto a codizioi peggiori rispetto al caso del metodo progressivo, essedo costretto ad icremetare rispetto a questo la quota capitale ecessaria a ricostituire l importo S (è ifatti per i > j). s < s j i Per compredere a quale tasso x si idebita il mutuatario che cotragga u prestito che preveda u ammortameto a due tassi è sufficiete risolvere l equazioe di equità prospettiva delle rate x x j S = R j v = R v = R a S = S + i S a j= j= ( + j) cioè, equivaletemete x x j + i 0 a = x ( + j) (99)

Piai di ammortameto: metodo a due tassi (americao) E facile verificare che il tasso x di idebitameto è maggiore del tasso i. Ifatti la fuzioe j f ( x) = + i a x ( + j). per x > 0 è cotiua; 2. è strettamete decrescete, tale essedo (ricordiamo che i, j e soo costati) 3. è tale che j ( + x) a) lim + i = x 0 + ( + j) x j = + i 0 > ( + j) a x f(x) j ( + x) b) lim + i = x + ( + j) x pertato la (99) ha u uica radice. x* x

Piai di ammortameto: metodo a due tassi (americao) Ua volta stabilito che la f(x) ha u uico zero x*, mostriamo che x* è maggiore di i. Calcoliamo f(i) Osservado che s j f ( i) = + i a i s j è ua fuzioe decrescete di j e ricordado che è i > j, segue i ( ) ( + i f i = + i a > i a i ) i + = + = i s s ( + i) i j i ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) = + ( + i) = ( + i) = ( + i) = ( + i) ( + i) ( + i) = ( + i) = 0 ( + i) Pertato, essedo f(i) > 0 e f(x*) = 0 ed essedo la fuzioe f(x) decrescete co x, segue che x* > i, cioè il tasso di idebitameto del metodo americao è maggiore del maggiore tra il tasso di remuerazioe ed il tasso di accumulazioe.

Piai di ammortameto: metodo ad iteressi aticipati (tedesco) Il metodo prevede che ) la prima rata di ammortameto vega corrisposta cotestualmete alla erogazioe del mutuo di importo S; 2) gli iteressi siao corrisposti i via aticipata, applicado il tasso di scoto al debito residuo correte. I termii di debito residuo, dalla ) cosegue la codizioe iiziale D0 = S C0 Poiché la legge di aggiorameto del debito residuo è sempre combiado la (200) e la (20) si ha Dk = Dk Ck ( k =..., ) k k 0 i 0 i i= i= D = S C C = D C ( k =,..., ) k (200) (20) (202) Evidetemete, essedo per defiizioe S = C 0 + C + + C, la codizioe di chiusura è D = S C C = S C = 0 0 i i i= i= 0 (203)

Piai di ammortameto: metodo ad iteressi aticipati (tedesco) Dalla 2) cosegue che la quota iteresse è essedo d il tasso di scoto riferito al periodo uitario. La prima quota iteresse è pertato metre l ultima quota iteresse è I = d D ( k = 0,..., ) (204) k I 0 = d D 0 = d(s C 0 ) I = d D = d 0 = 0 Stati la ) e la 2), il mutuatario all atto dell erogazioe icassa l importo k S C I = S C d( S C ) = ( d)( S C ) metre corrispode ad ogi scadeza la rata 0 0 0 0 0 k Rk = Ck + Ik = Ck + d S Ci ( k =..., ) i= 0 (205) (206) Dalla (205) e dalla (206) cosegue che il tasso di iteresse al quale il mutuatario si idebita è dato dalla soluzioe dell equazioe k Rk ( + i) = ( d)( S C0) (207) k =

Piai di ammortameto: metodo ad iteressi aticipati (tedesco) Si dimostra che la soluzioe (uica) della (207) è d i = d (208) I altri termii, il metodo ad iteressi aticipati può iterpretarsi come l ammortameto di u mutuo pari a S C 0 al tasso di iteresse per periodo uitario (auo) i, dato dalla (208).

F I N E

Redite vitalizie Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Massimo Agrisai a.a. 202/203

Cos è ua redita vitalizia 2 U idividuo di età x si assicura, a partire da tale età, il pagameto di u importo (rata) uitario alla fie di ciascu ao fiché rimae i vita. L assicuratore richiede u compeso, detto premio. Struttura tradizioale: soo fissate le somme assicurate. Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

Cos è ua redita 3 Suppoiamo che all epoca 0 l assicurato di età x (itera, esatta) paghi u premio uico U. Se co certezza, a partire da tale epoca, l assicurato percepisce le prime rate uitarie alla fie di ciascu ao, si deve teer coto solo dell aspetto fiaziario di tale operazioe. Sia i il tasso auo effettivo di iteresse cosiderato i regime di capitalizzazioe composta. Il valore attuale della prima rata uitaria di redita calcolato all iizio del primo ao (epoca 0) è v = + i v è il fattore di scoto. Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

Redita fiaziaria 4 U 0 2 3 v v 2 v 3... v Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

Redita fiaziaria 5 I tale caso h U = v = v v h= h= 0 h Somma di - termii i progressioe geometrica v v U = v = v i Operazioe fiaziaria certa. U (valore attuale) dipede da e da i (tasso di attualizzazioe). Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

Esempio 6 Valore attuale redita certa posticipata i 0% % 2% 3% 4% 5% 0,990099 0,980584 0,9743 0,96266 0,9542 2 2,970395,94237,95636,890237,86602 3 3 2,940985 2,88574 2,833873 2,785045 2,738965 4 4 3,90966 3,8382 3,727328 3,649039 3,575876 5 5 4,85343 4,79745 4,5972 4,484057 4,379376 6 6 5,795476 5,632 5,444274 5,29787 5,5827 7 7 6,72895 6,486579 6,269799 6,073782 5,89536 8 8 7,65678 7,345977 7,07467 6,8348 6,6909 9 9 8,56608 8,89954 7,859607 7,566204 7,303227 0 0 9,47305 9,08936 8,625595 8,27984 7,970909 5 5 3,86505 2,95283 2,9645,55504,0069 20 20 8,04555 6,56802 5,3934 4,4288 3,6582 25 25 22,0236 9,90398 8,28066 6,9844 5,90967 30 30 25,8077 22,99432 20,90827 9,27543 7,95045 40 40 32,83469 28,54899 25,53485 23,25686 2,45457

La base fiaziaria 7 Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

BASE DEMOGRAFICA - OSSERVAZIONI

Notazioi attuariali () 9 x variabile età geeralmete si cosiderao solo le età itere co età estrema t qx ω Probabilità di decesso ω etro t ai all età x x = 0,, 2,... ω p = q Probabilità di sopravviveza per t ai all età x t x t x q = p q + t/ u x t x u x t Probabilità di decesso tra le età x+t e x+t+u valutata all età x ; risulta pari al prodotto della probabilità di sopravviveza per t ai per la probabilità di decesso etro u ai all età x +t Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

Probabilità di decesso e di sopravviveza (2) 0 I particolare, se t = Probabilità di decesso etro u ao all età x q x ( tasso auo di decesso ) px = qx Probabilità di sopravviveza per u ao all età x ( tasso auo di sopravviveza ) Risulta ache q = q t/ x t/ x Probabilità differita di decesso tra l età x+t e x+t+ ; probabilità che la durata (residua trocata) di vita all età x sia uguale a t, co x e t valori iteri Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

Probabilità di decesso e di sopravviveza (3) I particolare, se x =0 q Probabilità differita di decesso etro u ao all età t (valutata alla ascita), co t/ 0 ω t= 0 q t/ 0 = Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

Curva dei decessi 2 0,045000 t/q 0 popolazioe italiaa maschi 2006 (fote HMD) 0,040000 0,035000 0,030000 0,025000 0,020000 0,05000 0,00000 0,005000 0,000000 0 20 40 60 80 00 20 Age Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

Probabilità aua di decesso 3 q x popolazioe italiaa maschi 2006 (fote HMD) 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0 0 20 40 60 80 00 20 Age Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

Valori sitetici della durata di vita 4 Vita attesa icompleta e + = x h x h= p Vita attesa completa o e x = e + x 2 Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

Tavola di sopravviveza (da HMD) 5 Life table - Italy 2006 - Males (period x). Last modified: 06-Feb-2009, MPv5 (May07) Age lx dx qx Age lx dx qx 0 00000 386 0,00386 60 927 757 0,0083 9964 27 0,00027 6 9054 87 0,00903 2 99587 3 0,0003 62 89697 903 0,0007 3 99574 3 0,0003 63 88794 989 0,03 4 9956 3 0,0003 64 87805 030 0,073 5 99547 0 0,000 65 86775 43 0,038 50 95895 28 0,00293 70 8000 685 0,0203 5 9565 36 0,0033 7 7845 85 0,0235 52 95298 353 0,0037 72 76600 2097 0,02738 53 94945 383 0,00403 73 74503 272 0,0295 54 94562 49 0,00443 74 7233 233 0,0398 55 9443 477 0,00507 75 7007 2578 0,03683 57 9350 560 0,0060 08 0 5 0,5049 58 92590 634 0,00685 09 5 3 0,5926 59 9956 684 0,00744 0+ 2 2,000 Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

Tavola di sopravviveza (mortalità) 6 E ua rappresetazioe tabulare della mortalità. La determiazioe delle probabilità di morte esprimeti il rischio che ua persoa di età x muoia prima del compimeto del compleao x+, cosete la determiazioe delle ulteriori fuzioi biometriche coteute ella tavola di mortalità. l 0 degli idividui i vita all età 0 (geeralmete l 0 =00000) radice della tavola Numero (atteso) degli idividui i vita all età x : l x+ =l x *(-q x ) Numero (atteso) dei decessi tra l età x e x+: d x =l x *q x =l x -l x+ Numero (atteso) dei decessi tra l età x e x+: d x =l x -l x+ Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

7 l x popolazioe italiaa maschi 2006 (fote HMD) 00000 90000 80000 70000 Size of populatio 60000 50000 40000 30000 20000 0000 0 0 20 40 60 80 00 20 Age Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

8 5000 d x popolazioe italiaa maschi 2006 (fote HMD) 4000 3000 Size of populatio 2000 000 0 0 0 20 30 40 50 60 70 80 90 00 0-000 Age Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

Mortalità maschile e femmiile 9 5000 d x popolazioe italiaa 2006 (fote HMD) 4000 Size of populatio 3000 2000 maschi femmie 000 0 0 0 20 30 40 50 60 70 80 90 00 0-000 Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203 Age

Probabilità di decesso e di sopravviveza 20 q x l l d = = l l x x+ x x x Probabilità di decesso etro ai all età x p lx+ = = l q x x x q x = d l x x Probabilità di sopravviveza per ai all età x Probabilità di decesso etro u ao all età x ( tasso auo di decesso ) p x = = l x+ qx lx Probabilità di sopravviveza per u ao all età x ( tasso auo di sopravviveza ) Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

Esempi 2 q 50 d l l 50 50 5 = = = = l l 50 50 28 95895 0,002930288 q 9/ 50 d 59 = = = l 50 684 95895 0,0073280 p 5 50 l 65 = = = l 50 86775 95895 0,90489598 o e = 78,62 e = 7,82 0 65 Tavola di mortalità di riferimeto: Life table HMD - Italy 2006 - Males Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203 o

Evoluzioe el tempo 22 00000 l x popolazioe italiaa maschi (fote HMD) 80000 Size of populatio 60000 40000 20000 2006 996 986 966 946 926 906 0 0 0 20 30 40 50 60 70 80 90 00 0 20-20000 Age Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

Evoluzioe el tempo 23 5000 d x popolazioe italiaa maschi (fote HMD) 4000 86; 4267 Size of populatio 3000 2000 72; 258 2006 996 986 966 946 926 000 906 0 0 0 20 30 40 50 60 70 80 90 00 0-000 Age Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

Evoluzioe el tempo 24 85 80 75 70 65 60 55 aspettativa di vita popolazioe italiaa maschi (fote HMD) Age 50 45 40 35 30 25 20 5 0 906 926 946 Year 966 986 2006 Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203 età 0 età 60

Mortalità diamica 25 tempo t- t t+ età 0 q 0 (t-) q 0 (t) q 0 (t+) q (t-) q (t-) q (t-)....... x q x (t-) q x (t-) q x (t-) x+ q x+ (t-) q x+ (t-) q x+ (t-)...... Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

Tavola di sopravviveza RG48 26 Maschi Femmie Maschi Femmie x lx lx x lx lx 50 96406,3620 97475,6339 80 66765,4 8509,65 5 9627,8875 97375,334 8 63386,56 8357,95 52 9609,0052 97272,6005 82 59729,47 80888,9 53 95807,8594 9767,57 83 55802,2 7823,7 54 95582,0402 97058,524 84 5623,0 7532,3 55 95338,8795 96946,586 85 4722,22 7542,2 56 95072,32 96830,4736 86 42633,68 67427,6 57 94778,583 9670,33 87 379,65 62773,74 58 94455,0595 96584,4869 88 3339,79 57596,29 59 9403,8756 96452,5524 89 28427,98 5947,0 60 93728,6835 9633,7572 90 23902,95 45924,38 6 93320,6825 9664,5672 9 9702,56 39747,73 62 92873,0232 96003,5877 92 5853,72 33492,36 63 92380,4247 95828,862 93 244,02 27444,98 64 9836,26 95637,8743 94 950,935 2844,88 65 9233,766 95427,6622 95 7075,24 6867,75 66 90565,7524 9594,942 96 55,683 268,5 67 89824,089 94935,6984 97 3590,324 93,328 68 88998,5362 94647,4736 98 2442,598 6382,45 69 88077,343 94325,7669 99 608,4 430,485 70 87046,3676 93964,262 00 023,499 2790,37 7 8589,2623 93554,3443 0 628,2848 738,339 72 84595,335 93085,5435 02 373,4399 042,57 73 8339,8722 92545,6473 03 24,6906 600,98 74 8504,594 999,6686 04 9,2435 332,3684 75 79668,326 989,6426 05 63,90734 76,0858 76 77603,779 90334,2837 06 33,00559 89,8427 77 75290,055 89327,508 07 6,4032 43,0934 78 7275,0969 8839,9882 08 7,832488 9,8607 79 69873,0274 86739,620 09 3,587436 8,650746 0,573234 3,57486

Age shiftig 27 MASCHI FEMMINE Ao di ascita Correzioe dell età Ao di ascita Correzioe dell età Fio al 94 + Fio al 943 + Dal 942 al 95 0 Dal 944 al 950 0 Dal 952 al 965 - Dal 95 al 964 - Oltre il 966-2 Oltre il 965-2 Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

l x popolazioe italiaa maschi (fote HMD e RG48) 28 00000 90000 80000 Size of populatio 70000 60000 50000 40000 30000 20000 0000 0 40 50 60 70 80 90 00 0 Age 2006 986 966 RG48 Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

RENDITE VITALIZIE

30 Cos è ua redita vitalizia defiizioe del cocetto di valore attuariale Le rate uitarie soo percepite dall assicurato fiché questo è i vita (icertezza). P se i vita v altrimeti 0 se i vita altrimeti 0 se i vita altrimeti 0... 2 v 3 v se i vita v altrimeti 0 x x+ x+2 x+3 x+ Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

3 Cos è ua redita vitalizia defiizioe del cocetto di valore attuariale Si tratta di u operazioe fiaziaria aleatoria di cui soo ote le determiazioi possibili degli importi. No è ota la durata di vita all età x dell assicurato, l importo da erogare a ciascua epoca è dipedete dall eveto essere i vita a tale epoca. Problema: quatificare l icertezza assegare la probabilità alle determiazioi possibili dei diversi importi Esempio: co quale probabilità l assicurato di età 65 percepirà euro di redita all età 75? Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

32 Cos è ua redita vitalizia defiizioe del cocetto di valore attuariale Cosideriamo ogi sigola rata a partire dalla prima. U se i vita v altrimeti 0 x x+ x+2 x+3 x+ Il valore attuale Y di u euro di redita percepibile dopo u ao è aleatorio e risulta pari a Y v se l'assicurato è i vita all'età x+ = 0 altrimeti Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

33 Cos è ua redita vitalizia defiizioe del cocetto di valore attuariale Sia p la probabilità che l assicurato di età x sia i vita all età x+. Il valore atteso di Y (valore attuariale o valore attuale atteso) è E( Y) = vp+ 0 ( p) = vp Il valore attuariale dipede dal tasso di attualizzazioe i e dalla probabilità p. (i,p) base della valutazioe Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

Fattore di scoto demografico fiaziario 34 Il valore attuariale di u euro di redita percepibile dopo ao da u idividuo di età x se i vita si idica co px E = v p x x Probabilità di sopravviveza per u ao per u idividuo di età x Il valore attuariale di u euro di redita percepibile dopo ai da u idividuo di età x se i vita si idica co px E = v p x x Probabilità di sopravviveza per ai per u idividuo di età x Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

35 Cos è ua redita vitalizia defiizioe del cocetto di valore attuariale Cosideriamo tutte le ulteriori possibili rate U v px v 2 p 2 x x x+ x+2 x+3 x+h v 3 3 x v h... p h p x + + h x = h x = h x h= h= a E v p Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

Esempi umerici 36 0 i 3% v 0,7440939 Tavola Italia Maschi 2006 HMD età E x 30 0,737782 40 0,73090 50 0,70824 60 0,65302 70 0,5300 80 0,243945 Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

Esempi umerici 37 Redita vitalizia posticipata Tavola IT maschi 992 i = 3% età a x età a x età a x età a x età a x 0 28,865 30 45,22 50 7,424 60 3,295 70 9,206 29,000 3 44,292 5 7,028 6 2,877 7 8,8 2 28,884 32 43,366 52 6,6200 62 2,462 72 8,408 3 28,76 33 42,433 53 6,227 63 2,047 73 8,049 4 28,63 34 4,504 54 5,8026 64,629 74 7,635 5 28,496 35 40,57 55 5,398 65,22 75 7,256 Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

38 Cos è ua redita vitalizia defiizioe del cocetto di valore attuariale Per la valutazioe attuariale di ua redita vitalizia due cocetti fodametali. Attualizzazioe delle somme future aspetto puramete fiaziario 2. Quatificazioe dell icertezza - aspetto probabilistico Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

Il pricipio per il calcolo del premio 39 Sia Y il valore attuale aleatorio delle prestazioi forite dall assicuratore ed U il premio uico (certo) richiesto dall assicuratore. Per l assicuratore la perdita è aleatoria pari a L=Y-U. Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

Il pricipio per il calcolo del premio 40 Pricipio di equità E( L) = E( Y U) = 0 Valore atteso della perdita dell assicuratore e quidi U = ( ) E Y Premio equo (uico puro) Valore attuariale delle prestazioi Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

Calcolo del premio 4 U v px x x+ Pertato il premio uico per u euro di capitale. percepibile. dopo u ao da u idividuo di età x. se i vita è pari a U = E = v p x x Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

Calcolo del premio 42 U v px x x+ x+2 x+3 x+ v 2 p 2 x v 3 3 x v... p p x Il premio uico per la redita vitalizia uitaria immediata posticipata per u idividuo di età x è pari a U = a x Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

43 Osservazioi sulla probabilità di sopravviveza e sul tasso tecico U v p x x x+ Il premio relativo alla geerica -sima rata uitaria. di redita è. pari a. U = E = v p x x Per tale valutazioe soo stati fissati il tasso di iteresse i e la probabilità di sopravviveza p x Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

44 Osservazioi sulla probabilità di sopravviveza e sul tasso tecico Siao Risulta i e p * * x tali che i > i e p < p * * x x ( * *) ( *,, ) (, ) x < x < x U i p U i p U i p Il premio risulta fuzioe decrescete del tasso di iteresse e fuzioe crescete della probabilità di sopravviveza. Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

Esempi umerici 45 Sia * * i i > i tale che. Si cosidera la tavola di sopravviveza Italia Maschi 992. 0 tasso 3% 5% età x 0 E x 0 E x 40 0,723384 0,596827 50 0,68955 0,56893 60 0,600773 0,495667 70 0,439933 0,362966 Il premio calcolato co la base (3%,992) è più favorevole all assicuratore rispetto a quello calcolato co la base (5%,992). Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

Esempi umerici 46 0 i 3% v 0,7440939 Tavole Italia maschi HMD 992 995 2000 2002 2006 età E x E x E x E x E x 30 0,732086 0,7348 0,735474 0,73645 0,737782 40 0,723384 0,724987 0,727557 0,727977 0,73090 50 0,68955 0,694283 0,700603 0,703295 0,70824 60 0,600773 0,60678 0,632324 0,639885 0,65302 70 0,439933 0,44964 0,473437 0,483657 0,5300 80 0,83008 0,9969 0,23057 0,222448 0,243945 Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

Esempi umerici 47 Siao * * * * i e p tali che i > i e p < p (i*, p*)=(5%, IT maschi 992) (i, p)=(3%, IT maschi 2006) 0 tasso 5% 3% 3% tavola 992 992 2006 età 0E x 0 E x 0 E x 40 0,596827 0,723384 0,73090 50 0,56893 0,68955 0,70824 60 0,495667 0,600773 0,65302 70 0,362966 0,439933 0,5300 Il premio calcolato co la base (3%,2006) è più favorevole all assicuratore rispetto a quello calcolato co la base (5%,992) Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

Redite vitalizie 48 Sapedo che per u idividuo di età x ua redita uitaria immediata e posticipata (a rate di importo uitario) al tasso tecico i ha u costo (premio uico) pari a + h x h x h= U = a = v p quato costa ua redita di rata R? Si ha + + h h R = h x = h x = x h= h= U v p R R v p Ra Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

Redite vitalizie 49 U idividuo di età x ha dispoibile u capitale (motate) M. Qual è la rata della redita vitalizia immediata che può comprare co tale somma (premio uico)? La risposta si ottiee risolvedo l equazioe che uguaglia la dispoibilità ecoomica M al costo della redita di rata R, cioè da si ottiee M = Ra x R= M ax Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

Coefficiete di coversioe 50 c x = a x Si defiisce coefficiete di coversioe e forisce l importo della rata di redita vitalizia uitaria immediata posticipata che si acquisisce co u motate uitario, come risulta dalla relazioe poedo M=. R= M ax Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria a.a. 202/203

Teoria delle collettività Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Massimo Agrisai a.a. 202/203

I) TEORIA DELLA COLLETTIVITA Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 Cosideriamo le segueti fuzioi della variabile temporale t apparteete all itervallo [ 0,T] co T + relative ad ua assegata popolazioe o collettività: P (t) = umero di idividui della popolazioe al tempo t ; M (t) = umero di idividui della popolazioe morti tra 0 e t (co M(0)=0); I (t) = umero di idividui della popolazioe diveuti ivalidi tra 0 e t (co I(0)=0); W (t) = umero di idividui elimiati dalla popolazioe per altre cause tra 0 e t (co W(0)=0); N (t) = umero di idividui etrati ella popolazioe tra 0 e t (co N(0)=0). Defiiamo ioltre le itesità di variazioe: P (t) = p(t) M (t) = m(t) I (t) = i(t) W (t) = w(t) N (t) = (t) e defiiamo i segueti tassi istataei: m(t) = α(t) tasso istataeo di mortalità, P(t) i(t) = β(t) tasso istataeo di ivalidità; P(t) w(t) = γ(t) tasso istataeo di uscita della popolazioe per altre cause; P(t) (t) = ν (t) tasso istataeo di igresso ella popolazioe. P(t)

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 I.I) POPOLAZIONE SOGGETTA ALLA SOLA CAUSA DI ELIMINAZIONE PER MORTE Cosideriamo ua popolazioe soggetta alla sola causa di elimiazioe per morte. L equazioe di evoluzioe della popolazioe chiusa (o soggetta ad igressi) è la seguete: P (r) = P(0) M (r) (0) 0. M =, 0 r T Supposte derivabili le fuzioi P(r) e M(r), el geerico istate r, risulta: P (r) = M (r); da cui: P (r) P(r) M (r) = P(r) = α(r). Cosiderata quidi assegata la fuzioe α(r), 0 r T, che forisce il tasso istataeo di mortalità, fuzioe che suppoiamo cotiua, possiamo cosiderare l equazioe differeziale lieare omogeea del primo ordie: P (r) P(r) = α(r), 0 r T, () ovvero cercare ua fuzioe P(r), il cui tasso istataeo di variazioe i ogi istate r, cioè P (r), P(r) sia pari (a meo del sego) a quello di mortalità. 2

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 Tale equazioe differeziale, assegata la codizioe iiziale P (0), ammette come soluzioe la seguete fuzioe della variabile temporale (che idichiamo co t): t α(r)dr 0 P(t) = P(0) e. ( 2) L equazioe differeziale lieare omogeea del primo ordie: P (r) P(r) = α(r) co assegata la codizioe iiziale P (0), si risolve facilmete per itegrazioe: t 0 P (r) dr P(r) = t 0 α(r)dr [ logp(r) ] t 0 = t 0 α(r)dr log P(t) P(0) = t 0 α(r)dr P(t) = P(0) e t α(r)dr 0. Osservazioe importate Se la fuzioe α(r) defiita ell itervallo 0 r T è ivi cotiua a tratti, cioè preseta al più u umero fiito di discotiuità di prima specie (salti) i ogi itervallo fiito, allora la fuzioe α(t) risulta comuque itegrabile i ogi itervallo limitato e l itegrale t 0 α(r)dr è ua fuzioe cotiua dell estremo superiore di itegrazioe t. 3

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 La fuzioe defiita dalla (2) è derivabile egli itervalli di cotiuità della α(t) ed è acora soluzioe della equazioe differeziale () i tali itervalli metre ei puti di discotiuità della fuzioe α(r) la fuzioe espressa dalla (2) è cotiua ma o derivabile. Sebbee suppoiamo, per semplicità di trattazioe, che i tassi istataei siao fuzioi defiite e cotiue ell itervallo 0 r T, i effetti tutte le coclusioi che traiamo permagoo valide ache ella ipotesi che tali tassi siao foriti da fuzioi defiite e cotiue solo a tratti i tale itervallo. I quest ultimo caso le fuzioi espresse mediate tali tassi risultao derivabili ei puti i cui le relative fuzioi che foriscoo i tassi istataei soo cotiue, metre ei rimaeti puti risultao fuzioi solo cotiue. Dalla ( 2) si ha, per il rapporto P(t), la seguete espressioe: P(0) P(t) P(0) = e t α(r)dr 0. Duque tale rapporto rappreseta la quota della popolazioe iiziale P (0) che sopravvive al tempo t. Possiamo pertato iterpretare tale rapporto come la probabilità che u idividuo presete ella popolazioe iiziale al tempo 0 sopravviva al tempo t, cioè esplicitamete possiamo defiire la probabilità: t α(r)dr 0 P(t) p m (0, t) = = e. ( 3) P(0) 4

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 Evidetemete a tale defiizioe di probabilità è implicitamete associata l ipotesi che tutti gli idividui preseti ella popolazioe al tempo 0, siao esposti ella stessa misura al rischio di elimiazioe per morte. Dati due istati u e v co u v dalla ( 2) segue: P(v) P(u) = e v α(r)dr u. Pertato ragioado per gli istati u e v i modo aalogo a quato già fatto per gli istati 0 e t, possiamo defiire: v α(r)dr u p (u, v) = e (4) m e cosiderare p m (u, v) come la probabilità che u geerico idividuo presete ella popolazioe all istate u sopravviva all istate v. Cosiderati gli istati u, z, v co 0 u z v risulta: p m (u, v) = e v α(r)dr u = e z v α(r)dr α(r)dr u z = e z α(r)dr u e v α(r)dr z da cui la proprietà moltiplicativa per la probabilità di sopravviveza rispetto alla decomposizioe temporale: p m (u, v) = p (u,z) p (z, v). (5) m m 5

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 Esempio. Cosideriamo ua popolazioe esposta al tasso istataeo auo di elimiazioe costate del 2%. La probabilità che u idividuo presete al tempo iiziale 0 sopravviva dopo 3 ai è pari a: p m (0,3) = e 3 0,02dr 0 = e 0,02 3 = e 0,06 = 0,942. Si osservi che tale probabilità è superiore al 94%. La probabilità che u idividuo presete ella popolazioe dopo 5 ai, sopravviva al decimo ao è: 0 0,02dr 5 0, pm (5,0) = e = e = 0,905. 6

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 Esempio. 2 Sia P (0) = 00. 000 idividui. Suppoiamo che dopo 2 ai P (2) = 94. 000 e suppoiamo che gli idividui siao usciti dalla popolazioe per la sola causa di elimiazioe per morte e che tale causa abbia agito co u tasso istataeo auo costate. Si vuole calcolare tale tasso. P(2) = P(0) e 2 αdr 0 da cui: P(2) = P(0) e 2α 94.000 00.000 = e 2α 2α = 94 log 00 α = 94 log 2 00 = 0,0309 3,09%. 7

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 Si suppoga ora che il tasso sia stato costate el primo ao e che el secodo ao tale tasso sia stato altresì costate ma superiore del 0% rispetto a quello dell'ao precedete. Si vogliao calcolare tali tassi. P(r) = P(0) e 2 αdr+,αdr 0 P(r) = P(0) e α e,α P(r) = P(0) e 2,α P(r) P(0) = e 2,α 2,αlog 94 00 α 0 94 = log 2 00 = 0,0295 2,95%. Il tasso el primo ao è stato del 2,95% e el secodo del 3,24%. 8

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 Esempio. 3 Co P (t) idichiamo la umerosità di ua popolazioe al variare del tempo t. Sia P (0) = 00.000 idividui e dopo 0 ai P (0) = 62. 000. Suppoiamo che abbia agito u tasso istataeo di elimiazioe per morte α(r), costate i ciascu ao e che tale tasso risulti crescete del 0 % ogi ao. Si vuole calcolare tale tasso: α 0 r< γ α r<2 α(t) =.... γ 9 α 9 r 0 dove γ =, è il fattore di crescita auale del tasso istataeo di elimiazioe. Si ha: P(t) = P(0) e t α(r)dr 0 e quidi: 9

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 P(0) = P(0) e 2 0 αdr+ γ αdr+... + γ 9 αdr 0 9 da cui: P(0) = P(0) e α+ α γ+ α γ 2 +... + α γ 9 P(0) = P(0) e α ( + γ+ γ 2 +... + γ 9 ) P(0) γ 0 α γ = P(0) e. Pertato: P(0) P(0) = e γ 0 α γ P(0) log P(0) 0 γ = α γ P(0) log P(0) = γ γ α 0 0

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 α 0,4780 = 3%. 5,9374 Da cui si ricava immediatamete il valore della fuzioe α(r) per 0 r 0. Dalla ( 2), idicata co s la variabile idipedete al posto di t e derivado si ottiee l espressioe: P (s) = P(0) e s α(r)dr 0 ( α( s) ). Itegrado tra 0 e t si ottiee: P(t) P(0) = t 0 P (s)ds = P(0) t 0 e s α(r)dr 0 α(s)ds. (6)

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 Quidi dalla equazioe di evoluzioe della popolazioe, cioè P(t) = P(0) M(t), co M(0)=0, ell itervallo 0 t T, segue per il umero M (t) di idividui elimiati dalla popolazioe ell itervallo [, t] 0, la seguete espressioe: M(t) t = P(0) e 0 s α(r)dr 0 α(s)ds. (7) Cosiderado acora l equazioe di evoluzioe della popolazioe, e dalla (2) si ha altresì che: = 0α(r)dr t M(t) P(0) e. ( 7 ) Co riferimeto all osservazioe a pag. 4, si ha che ell ipotesi che la fuzioe α(r) sia defiita e cotiua solo a tratti ell itervallo [0, T], la fuzioe M(t), defiita dalla (7), risulta cotiua ell itervallo [0,T] e derivabile ei puti i cui la α(r) è cotiua. Si osservi ioltre che l itegrale (7) può essere approssimato dalla sommatoria otteuta dividedo l itervallo [0,t] i sottoitervalli uguali di ampiezza t s =, 0, s = 0 s = s, s2 = 2 s,, s s = t, = cioè s i α(r)dr 0 i i i i+ i+ i i= 0 i= 0 i= 0 i= 0 [ ] P(0) e α(s )Δs = P(s ) α(s )Δs ΔM(s ) = M(s ) M(s ) = M(t) M(0) = M(t). 2

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 Si osservi che, i base alla ( 2), il prodotto e s α(r)dr 0 P(0) all itero dell itegrale ella (7) rappreseta la umerosità della popolazioe sopravvissuta all istate s a cui si applica il tasso istataeo di mortalità α(s). Dalla (2), derivado sempre rispetto al tempo ed itegrado tra due istati u e v, 0 u v, otteiamo: P(u) P(v) = P(u) v u e s u α(r)dr α(s)ds (8) relazioe che utilizziamo per defiire la probabilità di elimiazioe per morte tra gli istati u e v: q m P(u) P(v) = P(u) u ( u, v) = e α(r)dr α(s)ds v u s. (9) Risulta ovviamete, i base alle defiizioi: q m (u, v) P(u) P(v) P(v) = = p P(u) P(u) (u, v) = m. Dalla (4) e dalla (9) si ha duque la relazioe tra gli itegrali, che può essere altresì verificata direttamete: v u e s α(r)dr u α(s)ds = e v u α(r)dr. ( 0) 3

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 Si osservi che cosiderati gli istati 0 u z v risulta: q m (u, v) = v u e s u α(r)dr α(s)ds = z u e s u α(r)dr α(s)ds + v z e s u α(r)dr α(s)ds = = q m (u,z) + v z e z s u α(r)dr z α(r)dr α(s)ds = q m (u,z) + v z p m (u,z) e s z α(r)dr α(s)ds = = q m (u,z) + p m (u,z) q m (z, v). Cioè la decomposizioe temporale della probabilità di morte: q m (u, v) q m (u, z) + p m (u, z) q m (z, v) =. () 4

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 Esempio. 4 Sia data ua popolazioe su cui agisce la sola causa di elimiazioe per morte co tasso istataeo auo costate α. Si calcoli la probabilità di elimiazioe ell itervallo temporale [u, v]. q m v s ( s u ) α u αdr v ( s u ) α e ( v u )α (u, v) = e αds = e αds = α = e. α u u v u P.e. se: u = ao, v = ao 6, α = 0,0 5 0,0 0,05 q m (,6) = e = e = 0,0487. Si osservi che, i base alla (), posto z = ao 4, risulta: q m (,6) = q (,4) + p (,4) q (4,6), m m m ovvero: e = e + e ( e 0,05 0,03 0,03 0,02. ) 5

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 I.II) POPOLAZIONE SOGGETTA A DUE CAUSE DI ELIMINAZIONE: MORTE ED INVALIDITA L equazioe di evoluzioe della popolazioe ell ipotesi che agiscao due cause idipedeti di elimiazioe, morte ed ivalidità, è la seguete: [ M(r) I(r) ] P (r) = P(0) + co M(0)=I(0)=0. Da cui, se le fuzioi P(r), M(r) e I(r) soo derivabili, la relazioe el geerico istate r tra le derivate: [ M (r) + I (r)]. P (r) = E quidi la relazioe tra la fuzioe P(r) ed i tassi istataei di mortalità ed ivalidità: P (r) P(r) = [ M (r) + I (r)] P(r) = [ α(r) + β(r) ]. ( 2) 6

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 Assegate le fuzioi α(r) e β(r) che suppoiamo defiite e cotiue per 0 r T, la (2) è ua equazioe differeziale dello stesso tipo della (), cioè lieare ed omogeea del primo ordie, la cui soluzioe è: t + 0 [ α(r) β(r) ] P(t) = P(0) e. ( 3) dr Abbiamo quidi, al variare del tempo t, la umerosità della popolazioe esposta alle due cause di elimiazioe, morte ed ivalidità, i fuzioe dei corrispodeti tassi istataei. Se le fuzioi α(r) e β(r) soo defiite i [0, T] e ivi cotiue solo a tratti valgoo le cosiderazioi già svolte per il caso di ua sola causa di elimiazioe. Aalogamete al caso i cui si abbia ua sola causa di elimiazioe possiamo defiire la probabilità di sopravviveza alle due cause di elimiazioe morte ed ivalidità tra l istate 0 e l istate t: [ α(r) + β(r) ] dr 0 p (0, t) =, m, i e t cioè la probabilità che u idividuo presete ella popolazioe all istate 0, sopravvivedo alle due cause di elimiazioe, sia acora presete ella popolazioe all istate t. 7

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 Più i geerale, dati due istati u e v, co 0 u v, dalla (3) segue: P(v) = P(0) e v + 0 u v + [ α(r) β(r) ] dr ( α(r) + β(r) ) dr+ ( α(r) β(r) ) dr 0 u = P(0) e cioè: v ( α(r) + β(r) ) dr u P(v) = P(u) e. (4) Possiamo quidi defiire la probabilità: v [ α(r) + β(r) ] dr u p (u, v) = (5) m, i e che u idividuo presete ella popolazioe all istate u, sopravvivedo alle due cause di elimiazioe morte ed ivalidità, sia acora presete ella popolazioe all istate v. 8

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 Per la probabilità di o elimiazioe (u, v), dalla (5) segue, per le ote proprietà p m, i dell itegrale e della fuzioe espoeziale, che: p v v v [ α(r) + β(r) ] dr u u u (u, v) e e α(r)dr e β(r)dr m, i = = = p m (u, v) p i (u, v) co p m (u, v) = e v u α(r)dr p i (u, v) = e v u β(r)dr dove p m (u, v) rappreseta la probabilità assoluta di o elimiazioe dalla collettività per morte ell itervallo [ u, v], cioè la probabilità di o elimiazioe per la causa morte i preseza di questa sola causa di elimiazioe ella collettività e p i (u, v) rappreseta la probabilità assoluta di o elimiazioe dalla collettività per la causa ivalidità ell itervallo [, v] La relazioe u. p m,i (u, v) = p m (u, v) p (u, v) i è ota come secodo teorema di Karup. 9

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 Dalla ( 3), idicata co s al posto di t la variabile temporale e derivado, si ottiee la relazioe: P (s) = P(0) e s + 0 ( α(r) β(r) ) dr [ α(s) + β(s) ]. Itegrado quest ultima relazioe tra u e v, co 0 u v, si ottiee: v u P (s)ds = v u P(0) e s + 0 ( α(r) β(r) ) dr [ α(s) + β(s) ]ds e quidi: P(u) P(v) = v u P(0) e u s + 0 u [ α(r) + β(r) ] dr [ α(r) β(r) ] dr [ α(s) + β(s) ]ds, da cui: P(u) P(v) = v u P(u) e s + u [ α(r) β(r) ] dr [ α(s) + β(s) ]ds. (6) 20

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 La (6) forisce duque il umero di idividui che soo stati elimiati dalla popolazioe per morte o per ivalidità ell itervallo [, v] u. Dalla (6) si ottiee: P(u) P(v) P(u) = v u e s + u [ α(r) β(r) ] dr [ α(s) + β(s) ]ds (7) espressioe che forisce il rapporto tra il umero di idividui che soo stati elimiati ell itervallo [, v] u per ua delle due cause, morte o ivalidità, e la popolazioe al tempo u. Espressioe che possiamo iterpretare come la probabilità che u idividuo presete ella popolazioe al tempo u e sia stato elimiato, per ua delle due predette cause, etro il tempo v. Possiamo cioè defiire: v [ α(r) β(r) ] + dr u q m, i (u, v) = e [ α(s) + β(s) ]ds u s. (8) 2

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 Teedo presete che per l equazioe di evoluzioe della popolazioe risulta: P(u) [ M(v) M(u) ] + [ I(v) I(u) ] P(v) =, dalla relazioe (6) segue, per la proprietà di liearità dell itegrale: P(u) P(v) = = v u P(u) e s + u [ M(v) M(u) ] + [ I(v) I(u) ] [ α(r) β(r) ] dr v [ α(r) + β(r) ] α(s)ds + u P(u) e s u = dr β(s)ds; e quidi possiamo distiguere gli elimiati dalla popolazioe i base alla causa di elimiazioe, morte o ivalidità. Si ha ifatti: M(v) M(u) = v u P(u) e s + u [ α(r) β(r) ] dr α(s)ds (9a) I(v) I(u) = v u P(u) e s + u [ α(r) β(r) ] dr β(s)ds, (9b) da cui ricaviamo sia la quota di popolazioe rispetto a quella presete all istate u, che è stata elimiata etro l istate v per morte, sia la quota di popolazioe rispetto a quella presete all istate u, che è stata elimiata etro l istate v per ivalidità, cioè: M(v) M(u) P(u) = v u e s + u [ α(r) β(r) ] dr α(s)ds (20a) I(v) I(u) P(u) = v u e s + u [ α(r) β(r) ] dr β(s)ds. (20b) 22

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 La (20a) ci forisce la quota della popolazioe presete al tempo u che è stata elimiata per morte, i preseza ache dell azioe dell altra causa di elimiazioe, l ivalidità, ell itervallo temporale [ u, v]. Si osservi che ella (9a), dalla quale deduciamo la (20a), il prodotto: P(u) e s + u [ α(r) β(r) ] dr rappreseta, per la (4), la popolazioe residua rispetto a quella presete all istate u ovvero o elimiata per alcua delle due cause dall istate u sio all istate s, popolazioe sulla quale agisce il tasso istataeo di elimiazioe per morte α(s). Possiamo quidi cosiderare l espressioe forita dalla (20a) come la probabilità che u idividuo presete ella popolazioe al tempo u sia elimiato per morte etro il tempo v i preseza ache dell altra causa di elimiazioe: l ivalidità. Poiamo quidi: q i m (u, v) v = e u s + u [ α(r) β(r) ] dr α(s)ds (2) e defiiamo q i m (u, v) come la probabilità relativa (dipedete o parziale) di elimiazioe per morte ell itervallo [, v] u i quato ella sua determiazioe si è teuto ache coto della preseza dell altra causa di elimiazioe: l ivalidità. 23

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 Aalogamete possiamo defiire dalla (20b): q m i (u, v) v = e u s + u [ α(r) β(r) ] dr β(s)ds (22) come la probabilità relativa di elimiazioe per ivalidità ell itervallo [, v] u i quato ella sua determiazioe si tiee coto che sulla popolazioe agisce ache la causa di elimiazioe per morte. Dalla (8), (2) e (22) segue, per la proprietà di liearità dell itegrale, la relazioe: i q m,i (u, v) = q m (u, v) + q m i (u, v) che idica la proprietà additiva delle probabilità relative di elimiazioe, ota come primo teorema di Karup. 24

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 I.III) POPOLAZIONE SOGGETTA A DUE CAUSE DI ELIMINAZIONE E IN PRESENZA DI TASSI ISTANTANEI COSTANTI Cosideriamo ora il caso di ua popolazioe su cui agiscoo due cause idipedeti di elimiazioe, morte ed ivalidità, co tassi istataei di elimiazioe costati α e β. Calcoliamo, i tale situazioe, le probabilità relative di elimiazioe ell itervallo temporale [ u, v]. Risulta: q i m v ( α β) u (u, v) = e αds = e u s + dr v u ( s u)( α+ β) αds = = α e α + β v ( s u)( α+ β) α ( v u)( α+ β) u = ( e ). α + β Aalogamete risulta: q m i (u, v) = β α + β ( v u )( α+ β) ( e ) Si osservi che: q i m (u, v) m ( v u )( α+ β) + q (u, v) = q (u, v) = e. i m,i 25

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 Dalla (2) e dalla (22), teuto coto della (20a) e della (20b), seguoo le relazioi: α α + β ( v u )( α+ β) ( e ) = M(v) M(u) P(u) β α + β ( v u )( α+ β) I(v) I(u) ( e ) =. P(u) (*) Dalle (*) sommado membro a membro segue la relazioe: e ( α+ β) P(u) P(v) = P(u) (v u) (**) da cui: e (v u)(α+ β) = P(v) P(u) (v u)(α + β) = P(v) log P(u) e quidi: P(v) (α β) = log v u P(u) +. (***) 26

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 Dalla prima delle (*), teuto coto di (**), segue: α (v u)(α + β) ( e α + β ) = α P(u) P(v) α + β P(u) M(v) M(u) = P(u). Dalla secoda uguagliaza, teedo coto di (***), segue, per il tasso istataeo di mortalità, l espressioe: α = M(v) P(u) M(u) (α + β) P(v) M(v) = P(u) M(u) P(v) v u log P(v) P(u) ed aalogamete si ottiee l espressioe per il tasso istataeo di ivalidità β, cioè β I(v) I(u) P(v) log P(u) P(v) v u P(u) =. Queste relazioi, ell ipotesi che sulla popolazioe agiscao le due cause di elimiazioe, morte ed ivalidità, co tassi di elimiazioe costati, esprimoo tali tassi i fuzioe del umero degli idividui che soo morti o divetati ivalidi ell itervallo temporale [u, v] e della umerosità della popolazioe agli estremi di tale itervallo. 27

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 II) RELAZIONE TRA PROBABILITA ASSOLUTE E RELATIVE DI ELIMINAZIONE Cosideriamo ua popolazioe la cui umerosità sia espressa dalla fuzioe P(t). Suppoiamo che su tale popolazioe agisca solo la causa di elimiazioe per morte co tasso istataeo di elimiazioe forito dalla fuzioe α(t). Nell itervallo di tempo [, v] u risulta che il umero degli elimiati per morte si ottiee moltiplicado P(u) per la probabilità assoluta di elimiazioe per morte, ossia P(u) q m (u, v). Se su tale popolazioe suppoiamo che agisca ache la causa di elimiazioe per ivalidità, i tal caso il umero degli elimiati per morte si ottiee moltiplicado P(u) per la probabilità relativa (relativa all altra causa di elimiazioe ivalidità) di elimiazioe per morte e risulta pari a: i P(u) q (u, v). m La relazioe che itercorre tra il umero degli elimiati per morte ei due casi i oggetto è la seguete: ovvero: v i P(u) q m (u, v) = P(u) q m (u, v) + P(s) β(s) q m (s, v)ds (23) u v i q m (u, v) = q m (u, v) + p m,i (u,s) β(s) q m (s, v)ds. (23 ) u 28

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 La (23) risulta iterpretabile el seguete modo: cosideriamo il umero degli elimiati per morte ell ipotesi che agisca solo tale causa di elimiazioe. Tale umero, ell ipotesi che sulla popolazioe agisca ache la causa di elimiazioe per ivalidità, è otteibile dalla somma di due i addedi. Il primo P(u) q (u, v) è dato dal umero degli elimiati per morte i preseza ache m della causa di elimiazioe per ivalidità ed è pari, per quato già visto, al prodotto della umerosità della popolazioe al tempo u, P(u), per la probabilità relativa di elimiazioe per morte. Per capire il seso della (23) è opportuo osservare che l itegrale P(s) β(s) q m (s, v)ds può essere approssimato tato quato si vuole al crescere di ( ), ell ipotesi di cotiuità, ache solo a tratti, della fuzioe itegrada, dalla seguete sommatoria: v u k= 0 P u + k k ( v u) β u + ( v u) q u + ( v u) m k v u, v. Si osservi altresì che è il umero di sottoitervalli di uguale ampiezza v u, idividuati dai puti u k u + ( v u), k=0,,...,, i cui suddividiamo l itervallo [, v] u. 29

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 Ciascu addedo della sommatoria che approssima l itegrale è idividuato da u particolare valore di k ed è il prodotto di quattro fattori, dei quali possiamo raggruppare tre: k k v u P u + ( v u) β u + ( v u) ; questo prodotto forisce ua approssimazioe del pacchetto di idividui che vegoo elimiati dalla popolazioe per ivalidità ell itervallo temporale di ampiezza v u, successivo all istate u k (v u) k u + v u, v +. Moltiplicado tale prodotto per ( ) q m, probabilità assoluta di elimiazioe per morte ell itervallo k u + (v u), v, otteiamo il umero degli idividui di tale pacchetto che sarebbero usciti per morte ell itervallo di tempo cosiderato se o fossero usciti per ivalidità. Deduciamo ora formalmete la (23). Dalla (2), segue: P (s) + P(s) α(s) = P(s) β(s) e quidi moltiplicado per q m (v,s) e sommado e sottraedo P(s) α(s), si ottiee: ( P (s) + P(s) α(s) ) q (v,s) P(s) α(s) + P(s) α(s) = P(s) β(s) q (v, s) m m. 30

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 Si osservi che risulta: d ds ( P (s) + P(s) α(s) ) q (v,s) P(s) α(s) = P(s) q (v, s) m m Ifatti se si tiee presete che: q m (v,s) = e s v α(r)dr e quidi che: d ds q m (v,s) = e s v α(r)dr α(s) = e s v α(r)dr α(s) + α(s) α(s) = α(s) q m (v,s) α(s) si ottiee: d ds ( P(s) q (v,s)) m = P (s) q m (v,s) + P(s) d ds q m (v,s) = = P (s) q m (v,s) + P(s) [ α(s) q (v,s) α(s) ]. m 3

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 Risulta pertato: d ds ( P(s) q (v,s)) + P(s) α(s) = P(s) β(s) q (v, s). m m Se itegriamo tale relazioe rispetto ad s tra gli istati u e v si ottiee: v u d ds ( P(s) q (v,s)) m ds + v u P(s) α(s)ds = v u P(s) β(s) q m (v, s)ds e quidi dalla (2) e dalla (4): P(v) q m (v, v) P(u) q m (u, v) + P(u) q i m (u, v) = v u P(s) β(s) q m (v, s)ds da cui la (23): P(u) q v i m (u, v) = P(u) qm(u, v) + P(s) β(s) qm(v,s)ds (23) u Aaloga relazioe vale, ovviamete, tra la probabilità assoluta e relativa di ivalidità: v m P(u) q (u, v) = P(u) q (u, v) + P(s) α(s) q (v, s)ds. (24) i i u i Relazioe quest ultima che ha valore formale. 32

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 III) PROBABILITA DI ELIMINAZIONE PER COLLETTIVITA APERTE Cosideriamo ua popolazioe soggetta oltre alle due cause di elimiazioe già cosiderate, morte ed ivalidità, ad ua ulteriore causa di elimiazioe che raggruppa tutte le altre possibili cause di elimiazioe differeti da quelle cosiderate. Cosideriamo pertato le tre fuzioi α(r), β(r), γ(r), o egative, che foriscoo i relativi tassi istataei al variare del tempo r, r [0, T]. Suppoiamo ioltre che i tale popolazioe possao etrare uovi idividui. Equipariamo tale possibilità ad ua causa di elimiazioe a tasso istataeo egativo ν (r), ν (r) 0. Si parla i tal caso di collettività aperta. L equazioe di evoluzioe di tale popolazioe è duque: [ M(r) + I(r) + W(r) ] N(r) P (r) = P(0) + 0 r T co M(0)=I(0)=W(0)=N(0)=0 dove W(r) e N(r) rappresetao rispettivamete il umero di idividui elimiati dalla popolazioe per cause diverse da mortalità ed ivalidità e quello degli idividui etrati a far parte della popolazioe tra gli istati 0 ed r. Derivado e dividedo per P(r): P (r) M (r) I (r) W (r) N (r) = + P(r) P(r) P(r) P(r) P(r) cioè: P (r) P(r) = α(r) β(r) γ(r) +ν (r). (25) 33

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 Supposto che le fuzioi α(r), β(r), γ(r) e ν (r) siao defiite e cotiue i [0, T], la precedete relazioe è ua equazioe differeziale lieare omogeea del primo ordie, la cui soluzioe è: t [ α(r) + β(r) + γ(r) ν(r) ] dr 0 P(t) = P(0) e. (26) Possiamo ache scrivere la fuzioe P(t) utilizzado le probabilità assolute di sopravviveza, cioè: P(t) = P(0) p m (0, t) p i (0, t) p w (0, t) e t ν (r)dr 0. Dati due istati u e v, co 0 u v, risulta: P(v) = P(u) e v u [ α(r) + β(r) + γ(r) ν (r)] dr (27) da cui: P(v) = P(u) p m,i, w (u, v) v e u ν (r)dr. p (u, m, i, w v) è la probabilità di sopravviveza alle tre cause di elimiazioe tra gli istati u e v. Si osservi che tale probabilità è pari al prodotto delle probabilità assolute di elimiazioe relative allo stesso itervallo temporale, cioè: p (u, v) = p (u, v) p (u, v) p (u, v). m, i,w m i w 34

Possiamo altresì scrivere: Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 v [ α(s) + β(s) + γ(s) (s)] P(v) = P(u) P(s) ν ds (28) da cui, ricavado P(s) dalla (27), risulta: u P(v) = P(u) P(u) e v u s u [ α(r) + β(r) + γ(r) ν (r)] dr [ α(s) + β(s) + γ(s) ν (s)]ds. (29) Quidi per la liearità dell itegrale e teuto coto dell equazioe di evoluzioe della popolazioe, P(u) P(v) = [ M(v) M(u) ] + [ I(v) I(u) ] + [ W(v) W(u) ] [ N(v) N(u) ], si ottiee: M(v) M(u) = v u P(u) e s u [ α(r) + β(r) + γ(r) ν (r)] dr α(s)ds (29.) I(v) I(u) = v u P(u) e s u [ α(r) + β(r) + γ(r) ν (r)] dr β(s)ds (29.2) W(v) W(u) = v u P(u) e s u [ α(r) + β(r) + γ(r) ν (r)] dr γ(s)ds (29.3) N(v) N(u) = v u P(u) e s u [ α(r) + β(r) + γ(r) ν (r)] dr ν(s)ds. (29.4) Le prime tre relazioi foriscoo il umero di idividui elimiati dalla popolazioe ell itervallo temporale [u, v] per le cause di morte, ivalidità, o di altro tipo e l ultima il umero dei uovi etrati ella popolazioe ello stesso itervallo. 35

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 III.I) PROBABILITA DI ELIMINAZIONE PER COLLETTIVITA APERTE IN PRESENZA DI TASSI ISTANTANEI COSTANTI Suppoiamo costati ell itervallo temporale [, v] α(r) = α, β(r) = β, γ(r) = γ, ν (r) = ν. u le fuzioi che defiiscoo i tassi istataei, Cosideriamo dapprima il caso α + β + γ ν 0 (i cui risulta quidi P(u) P(v)). I tale caso dalle (29.)-(29.4) risulta che: (v u)(α+ β+ γ ν [ e ] M(v) M(u) α ) = P(u) α + β + γ ν I(v) I(u) P(u) = β α + β + γ ν (v u)(α+ β+ γ ν ) [ e ] W(v) W(u) P(u) = γ α + β + γ ν (v u)(α+ β+ γ ν ) [ e ] (30) N(v) N(u) P(u) = ν α + β + γ ν (v u)(α+ β+ γ ν ) [ e ] Sommado le prime tre uguagliaze del sistema (30) membro a membro e sottraedo l ultima si ottiee: P(u) P(v) P(u) = e (v u)(α+ β+ γ ν ). ( ) 36

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 Da cui si ricava per la somma delle itesità istataee l espressioe: P(v) α + β + γ ν = log. ( ) v u P(u) Dalle relazioi (30), utilizzado ( ) e ( ), possiamo ricavare i quattro tassi istataei α, β, γ e ν: α = M(v) P(u) M(u) P(v) P(v) log v u P(u) β = I(v) I(u) P(u) P(v) P(v) log v u P(u) (3) γ = W(v) W(u) P(u) P(v) P(v) log v u P(u) ν = N(v) N(u) P(u) P(v) P(v) log v u P(u) 37

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 Sempre ell ipotesi di tassi istataei costati, el caso i cui però si ha α + β + γ ν = 0 e risulta quidi P(v)=P(u), il valore di tali tassi si ottiee direttamete dalle (29.) - (29.4) ed è pari a: α = M(v) M(u) P(u) v u β = I(v) I(u) P(u) v u (32) γ = W(v) W(u) P(u) v u ν = N(v) N(u) P(u) v u 38

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 Esempio. 5 Cosideriamo ua collettività aperta. Nell itervallo temporale [u, v], co v u= ao, suppoiamo che abbiao agito tre cause di elimiazioe, ed ua di igresso, co i segueti tassi istataei aui costati: α=0,3%; β=0,2%; γ=0,%; ν =0,2%. Suppoiamo ioltre che risulti: P(u)=00.000. I base alle relazioi (30) (si osservi che α + β + γ ν 0 ) il umero degli elimiati per sigola causa e degli igressi ell itervallo temporale [u, v] è pari a: α ( v u )( α+ β+ γ ν ) M(v) M(u) = P(u) [ e ] = 299,40 α + β + γ ν β ( v u )( α+ β+ γ ν ) I(v) I(u) = P(u) [ e ] = 99,60 α + β + γ νν γ ( v u )( α+ β+ γ ν ) W(v) W(u) = P(u) [ e ] = 99,80 α + β + γ ν ν ( v u )( α+ β+ γ ν ) N(v) N(u) = P(u) [ e ] = 99,60 α + β + γ ν ed ioltre al tempo v, cioè dopo u ao a partire dal tempo u, la popolazioe P(v) è pari a: P(v) = P(u) [ M(v) M(u) ] [ I(v) I(u) ] [ W(v) W(u) ] + [ N(v) N(u) ] = 00.000 399,2 99.600,8 39

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 Esempio. 6 Sia data ua collettività aperta di idividui esposta alle cause di elimiazioe per morte, ivalidità e varie. Suppoiamo siao stati rilevati i segueti movimeti ell itervallo temporale [u, v] co v-u=2 ai. P(u) =.000 P(v) = 960 M(v) M(u) = 20 I(v) I(u) = 30 W(v) W(u) = 40 N(v) N(u) = 50. Supposti costati i tassi istataei aui di elimiazioe α, β, γ, ed il tasso istataeo auo di igresso ν, si calcolio tali tassi i base ai dati rilevati. Per la (3) (si osservi che P(u) P(v) ) risulta: 20 960 α= log = 0, 002 40 2.000 30 960 β= log = 0, 053 40 2.000 40 960 γ= log = 0, 0204 40 2.000 50 960 ν = log = 0, 0255. 40 2.000 40

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 Le precedeti formule (3) e (32) cosetoo di stimare, a partire dall aalisi di ua popolazioe storica, i tassi istataei di elimiazioe e il tasso istataeo di etrata ell ipotesi che, ell itervallo temporale i cosiderazioe, tali tassi risultio costati. I tassi così stimati si possoo utilizzare per l aalisi previsioale di ua popolazioe similare. Suppoiamo quidi di avere a disposizioe ua popolazioe storica. Tracciamo i u sistema di riferimeto cartesiao ortogoale moometrico, le storie o traiettorie dei sigoli idividui della popolazioe. I tale sistema di riferimeto riportiamo i ascissa il tempo assoluto o di caledario riferito al Periodo di Osservazioe, P.O., ed i ordiate l età degli idividui (vedi Figura ). La storia di ogi idividuo della popolazioe è rappresetata quidi da u segmeto, icliato di 45, il cui puto iiziale ha coordiate che corrispodoo al tempo (di caledario) di etrata e all età di etrata dell idividuo ella popolazioe storica ed il cui puto termiale ha coordiate che corrispodoo al tempo e all età di uscita dell idividuo dalla popolazioe storica. Si osservi che parliamo di puto iiziale e di puto termiale del segmeto i quato lo cosideriamo orietato secodo il verso di crescita delle coordiate dei puti (tempo di caledario, età dell idividuo). Defiiamo come pareti temporali le rette perpedicolari all asse temporale egli istati T I e istati che delimitao il periodo o fiestra di osservazioe. Cosideriamo come traiettorie etrati el P.O. quelle relative a segmeti che etrao ella fiestra di osservazioe i corrispodeza della parete temporale T I (tagliao cioè la relativa retta perpedicolare ell istate T I ) e come traiettorie usceti dal P.O. quelle relative a segmeti che escoo dalla fiestra di osservazioe i corrispodeza della parete temporale T F (tagliao cioè la relativa retta perpedicolare all asse temporale ell istate T F ). T F, 4

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 Co riferimeto alla Figura il segmeto r corrispode ad u idividuo che etra ella popolazioe storica al tempo T co ua età di poco iferiore a 34 ai e e esce ad u tempo compreso tra T 5 e T 6 co ua età di poco iferiore a 39 ai per ua delle possibili cause di elimiazioe. Il segmeto s corrispode ad u idividuo che etra el P.O. co ua età di poco superiore ai 35 ai, metre il segmeto t corrispode ad u idividuo che esce dal P.O. co ua età compresa tra 36 e 37 ai. Defiiamo come piai temporali le rette orizzotali corrispodeti a valori iteri dell età degli idividui. Applichiamo il pricipio delle pareti e dei piai temporali sottili. Suppoiamo cioè che ua traiettoria o possa avere é puto iiziale é puto fiale i corrispodeza delle pareti temporali o dei piai temporali o attraversameti i corrispodeza delle itersezioi tra pareti e piai. Studiamo la umerosità della popolazioe otteuta dalla popolazioe storica schiacciado l asse temporale: idichiamo cioè co P (u), dove u è l età dell idividuo, il umero di idividui della popolazioe storica che el P.O. hao raggiuto l età u. Da u puto di vista grafico si tratta di cotare tutte le traiettorie che itercettao la quota di età u durate il Periodo di Osservazioe. Possiamo quidi studiare la umerosità P (u) di idividui al variare della variabile temporale età u, che è la variabile i fuzioe della quale verrao valutati i successivi tassi istataei di etrata e di uscita per le varie cause. I effetti è come se avessimo creato ua popolazioe fittizia di idividui coetaei, cotata da P (u), per i quali quidi l evolversi del tempo coicide co l evolversi della età uguale per tutti. 42

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 Si osservi che alle aturali cause di igresso e di uscita (morte, ivalidità, altre) dalla popolazioe storica, per la popolazioe "cotata" da P (u), soo altresì da aggiugere la causa di igresso relativa alle traiettorie etrati el P.O. e la causa di uscita relativa alle traiettorie usceti dal P.O. Studiamo quidi al variare della variabile temporale età la umerosità della popolazioe cotata da P (u) cosiderado i aggiuta alle aturali cause di igresso e di uscita dalla popolazioe queste altre due cause fittizie. 43

Età u 39 38 r 37 s 49 36 35 t P*(35) = 3 34 T T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 T 8 T 9 T = tempo T I T F Figura

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 Idichiamo co, m u i u, u w, u, rispettivamete il umero di elimiati per morte, ivalidità ed altre cause e gli igressi ell'itervallo temporale di età (u, u+), co u età itera. Vale la seguete relazioe (per valori iteri dell'età u): P (u + ) = P (u) (m u + i u + w u ) + u + s u e u, dove co s u ed e u si idicao rispettivamete gli igressi e le uscite dal P.O., cioè gli idividui che rispettivamete all iizio ed alla fie del Periodo di Osservazioe hao età ella classe u, cioè compresa tra u e u+. Per ricorsività si ha ioltre: P (u) = P ( a ) + u x= a u ( + s ) ( m + i + w + e ) x x x= a x x x x essedo a la "soglia" di età assuta come iiziale per gli idividui della popolazioe storica. Se suppoiamo che, ell itervallo di età (u, u+), tutte le cause di igresso e di uscita dalla popolazioe cotata da P (u) agiscoo co itesità costate, comprese le due di igresso e di uscita dal P.O., allora possiamo applicare a tale popolazioe le formule (3) o (32). 50

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 I) Se P (u + ) P (u), si ha per i tassi istataei: α u = P m (u) P u P (u + ) log (u + ) P (u) β u = P i u (u) P P (u + ) log (u + ) P (u) γ u = P w (u) P u P (u + ) log (u + ) P (u) ε u = P e u (u) P P (u + ) log (u + ) P (u) ν u = P u (u) P P (u + ) log (u + ) P (u) σ u = P s u (u) P P (u + ) log (u + ) P (u) dove ε u e Osservazioe. σ u idicao i tassi istataei rispettivamete di igresso e di uscita dal Periodo di 5

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 II) Se P (u + ) = P (u), si ha per i tassi istataei: α u = P m u (u) β u = P i u (u) γ u = P w u (u) ε u = P e u (u) ν u = P u (u) σ u = s u. P (u) 52

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 Esempio Cosideriamo ua popolazioe storica per la quale i u Periodo di Osservazioe siao stati accertati i valori di m u, i u, w u, e u, u ed s u foriti, al variare di u, dalla seguete matrice: u 8 9 20 2 22 23 24 m u 0 2 2...... i u 5 4 3 3...... w u 2 0...... e u 5 6 4 5...... u 2 2 9...... s u 0 9 0...... S(u) - - +2 0...... P (u) 000 999 998 000...... P (u + ) 999 998 000 000...... S(u) = P ( u + ) P (u) 53

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 Supposto che i ciascua classe di età le cause di igresso e di uscita agiscao co itesità costate si hao, per ciascua classe di età, i segueti tassi istataei corrispodeti alle sigole cause di etrata e di uscita dalla popolazioe: 8 9 20 2 22 23 α %,%,2%,2%.... u β 0,5% 0,4% 0,3% 0,3%.... u γ 0,2% 0,% 0,% 0,0%.... u ε 0,5% 0,6% 0,4% 0,5%.... u ν,%,2%,2% 0,9%.... u σ,0% 0,9% %,%.... u 54

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 TAVOLE DI MORTALITA SULLA POPOLAZIONE ITALIANA PRODOTTE DALL ISTAT. Facedo riferimeto a quato precedetemete detto si cosidera u Periodo di Osservazioe di u ao, l ao t. Idichiamo co P * t (u) gli idividui della popolazioe italiaa che hao raggiuto l età u el corso dell ao t (dal geaio al 3 dicembre), co (t) m u gli idividui morti el corso (t) dell ao t e co e u gli idividui che al geaio dell ao t hao età compresa ella classe u. Il tasso grezzo di mortalità è forito dal rapporto: Π (t) u = 2 m (t) ( e + P (u)) u u t Tale tasso si ottiee come rapporto tra il umero di decessi di idividui di classe di età u, cioè età compresa ell itervallo (u,u+), verificatisi ell ao t ed il umero di idividui esposti al rischio di elimiazioe per morte. Vediamo come si determia il deomiatore del rapporto cioè il umero di idividui esposti al rischio di elimiazioe per morte. Si suppoe l equidistribuzioe ell ao t degli igressi ella classe di età u e l equidistribuzioe degli idividui ella classe di età u al geaio dell ao t. I tale caso ciascuo degli idividui esposti al rischio di elimiazioe per morte, sia se etra ella classe di età u el corso dell ao t e quidi viee cotata da P * t (u), sia se appartiee alla classe u all iizio dell ao t, e quidi viee cotata da (t) e u, permae mediamete esposto al rischio di elimiazioe per morte per mezzo ao. Ifatti il tempo medio di esposizioe al rischio di morte di u idividuo apparteete alla prima categoria di idividui e cioè quelli cotati da P * t (u) è forito da: 0 ( τ) dτ = τ 2 τ 2 0 = 2 = 2 dove la fuzioe è la desità costate della distribuzioe di idividui etrati ella classe di età u el corso dell ao t e - τ rappreseta il tempo residuo di permaeza ella classe di età el Periodo di Osservazioe di u idividuo etrato al tempo di caledario t+ τ. 55

Dispese Corso di Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Agrisai Ao Accademico 202/203 k I termii discreti, avedo diviso l ao i itervalli di tempo uguali ( τ =,k = 0,..., ), l itegrale è approssimato dalla seguete sommatoria: k = 2 k = 2 ( ) = = + = + 2 2 2 2 2 2 2 k= 0 k= 0 Pertato ciascu idividuo è esposto al rischio di elimiazioe per morte per 2 ao. Allora aziché cosiderare P t (u) idividui esposti al rischio di elimiazioe ciascuo mediamete per ao, si cosiderao i modo equivalete, P (u ) t idividui esposti al rischio di 2 2 elimiazioe per ao. Aalogamete si ragioa sugli idividui che all iizio dell ao t già appartegoo alla classe di età u, cioè quelli cotati da (t) e u. Per la classe di età 0 si cosidera come tasso grezzo il rapporto (t) m 0 P (0). t A tali tassi grezzi di mortalità si applica ua doppia perequazioe. La prima perequazioe è forita dalla formula: Π ( t) u = 6 ( t 2) ( t ) ( ) ( Π + 2Π + 3Π ) t u u u. Per la secoda perequazioe(per le classi di età tra 5 e 86 ai) si adotta la formula: q u 7 Π + 6 ( Π + Π ) 3 ( 2 ) 2 ( 3 ) + + Π + Π 2 + Π + Π u u u u u u 3 u+ = 2 La prima perequazioe regolarizza il valore del tasso rispetto alla stessa classe di età u per periodi di osservazioe vicii a quello i cosiderazioe t, metre la secoda perequazioe regolarizza il valore del tasso rispetto a classi di età vicie ad u. 56

Sistema pesioistico Matematica fiaziaria secoda parte Prof. Massimo Agrisai a.a. 202/203

Sistema pesioistico Defiizioe U sistema pesioistico percepisce cotributi dall iscritto durate la fase di attività ed eroga pesioi ella fase di quiesceza. Si stabilisce u patto tra l Ete e il sigolo iscritto i relazioe alla cotribuzioe e alla pesioe. Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria secoda parte a.a. 202/203 2

Sistema pesioistico Sistema pesioistico Ciclo vitale dell iscritto Attivo Ao di pesioameto Pesioato Maturazioe della pesioe Pagameto della pesioe t Tutela dei diritti acquisiti No modificabilità delle pesioi Pricipi a tutela dell iscritto Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria secoda parte a.a. 202/203 3

Sistema pesioistico Tasso di sostituzioe Rappreseta il rapporto tra la prima rata aua di pesioe e l ultima retribuzioe (reddito), al mometo della cessazioe dell attività lavorativa. Forisce ua misura del mateimeto del teore di vita raggiuto ell ultima fase della vita lavorativa, el periodo successivo del pesioameto. Più esattamete, ua misura del livello di adeguatezza delle prestazioi: Prima rata aua di pesioe Ultima retribuzioe (reddito) Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria secoda parte a.a. 202/203 4

Sistema pesioistico Classificazioe I sistemi pesioistici si distiguoo, sulla base delle modalità di gestioe fiaziaria, i sistemi a ripartizioe e sistemi a capitalizzazioe, ai quali possoo essere associati criteri diversi di determiazioe delle prestazioi (metodo retributivo e metodo cotributivo). Modalità di gestioe fiaziaria Modalità di calcolo della pesioe Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria secoda parte a.a. 202/203 5

Sistema pesioistico Gestioe fiaziaria Modalità di calcolo della pesioe Cotributiva Retributiva Accumulado risorse Capitalizzazioe 2 Cotributi correti Ripartizioe 3 4 Cotributi Correti + Accumulo risorse: Riserva differeziale Parziale Capitalizzazioe 5 6 Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria secoda parte a.a. 202/203 6

Sistema pesioistico Gestioe fiaziaria a ripartizioe Si tratta di ua modalità di gestioe basata sul pagameto delle prestazioi pesioistiche correti mediate i cotributi correti. Gestioe fiaziaria a capitalizzazioe Si tratta di ua modalità di gestioe basata sul pagameto delle prestazioi pesioistiche correti mediate l accumulo di risorse. Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria secoda parte a.a. 202/203 7

Sistema pesioistico Metodo di calcolo retributivo La pesioe auale è pari a ua fissata percetuale (coefficiete di redimeto, i termii della retribuzioe pesioabile, di u ao di cotribuzioe) della retribuzioe pesioabile moltiplicata per il umero di ai di cotribuzioe. La retribuzioe pesioabile può essere pari a: Ultima retribuzioe: Media delle retribuzioi degli ultimi M ai, rivalutate all iflazioe: iflazioe costate: co: = retribuzioe dell ao L-j ; = tasso d iflazioe; iflazioe o costate: Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria secoda parte a.a. 202/203 = tasso d iflazioe dell ao L-k ; per, la produttoria è sostituita dal valore. 8

Sistema pesioistico Metodo di calcolo cotributivo La pesioe auale è pari al prodotto del motate cotributivo idividuale per il coefficiete di trasformazioe relativo all età di pesioameto: Il motate cotributivo idividuale, data l aliquota cotributiva costate α, si ottiee rivalutado i cotributi versati el regime della capitalizzazioe composta: tasso di rivalutazioe r costate: cotributi computati posticipati tasso di rivalutazioe r k o costate: cotributi computati posticipati, per, la produttoria è sostituita dal valore Prof. Massimo Agrisai Matematica fiaziaria secoda parte a.a. 202/203 9