Corso di Matematica I Facoltà di Ecoomia Dipartimeto di Matematica Applicata Uiversità Ca Foscari di Veezia Fuari Stefaia, fuari@uive.it Apputi su redite e ammortameti 1. Redite Per redita si itede u isieme di capitali {R 0, R 1,,R } da riscuotere (o da pagare) a scadeze determiate {t 0, t 1,,t }, come visualizzato el seguete diagramma importiepoche: R 0 R 1 R 2 R t 0 t 1 t 2 t I capitali R 0, R 1, R 2,., R soo chiamati rate della redita. L itervallo di tempo fra due rate cosecutive è detto periodo e geeralmete esso è costate (si veda il paragrafo Tipi di redite). Ua redita ha ua durata che è uguale all itervallo di tempo fra l iizio del primo periodo e la fie dell ultimo periodo. 1. 1 Tipi di redite Si possoo distiguere le redite i varie categorie, a secoda delle caratteristiche dei tempi di scadeza e delle rate della redita. i) Redite periodiche e redite o periodiche La distizioe fra redite periodiche e o periodiche fa riferimeto al tempo che itercorre fra due rate cosecutive. Nelle redite periodiche l itervallo di tempo che itercorre fra due rate cosecutive è uguale durate tutto l orizzote temporale della redita ed è chiamato periodo della redita; si parla i questo caso di redite auali se il periodo è l ao, di redite mesili se il periodo è il mese, di redite semestrali se il periodo è il semestre e così via. ii) Redite immediate e redite differite La prima rata della redita può essere riscossa (o pagata), el primo periodo della redita, i questo caso la redita si dice immediata, oppure i u periodo successivo k e i questo caso la redita si dice differita di k periodi.
Apputi su redite e ammortameti, pag. 2 iii) Redite posticipate e redite aticipate Assume rilievo il tempo di scadeza delle rate; si parla di redite posticipate qualora la scadeza di ciascua rata sia riferita all istate fiale di ogi periodo: R k t k-1 t k k-mo periodo Si parla di redite aticipate qualora la scadeza di ciascua rata sia riferita all istate iiziale di ogi periodo: R k t k-1 t k k-mo periodo iv) Redite costati e redite variabili Per quato riguarda gli importi delle rate si distigue fra le redite costati, i cui gli importi delle rate soo tutti uguali fra di loro e le redite co importi variabili; i quest ultimo caso è ache possibile che le rate si modifichio i base ad ua certa legge, ad esempio i progressioe aritmetica o i progressioe geometrica. v) Redite temporaee e redite perpetue Co riferimeto al umero delle rate, si distigue fra le redite temporaee, i cui il umero delle rate è fiito e le redite perpetue i cui il umero delle rate è ifiito. 1.2 Il problema della valutazioe di ua redita Quado si parla di redite si poe il problema di determiare l importo moetario che, co riferimeto ad u istate fissato, può essere cosiderato fiaziariamete equivalete alla redita. Questo importo, chiamato valore della redita, varia i relazioe alla scelta del regime fiaziario utilizzato (solitamete el calcolare il valore di redite si usa il regime della capitalizzazioe composta), alla scelta del tasso di iteresse impiegato el calcolo e alla scelta dell istate di valutazioe. I particolare, il valore della redita è chiamato valore attuale della redita qualora l istate di valutazioe coicida co l istate i cui avviee la prima riscossioe (pagameto) o co u istate precedete; è chiamato motate della redita qualora l istate di valutazioe coicida co l istate i cui avviee l ultima riscossioe (pagameto) o co u istate successivo.
Apputi su redite e ammortameti, pag. 3 1.2.1 Calcolo del valore attuale di ua redita Si cosideri il caso di ua redita che coseta di riscuotere alla fie di ogi ao u importo R, per ai. Usado la termiologia del paragrafo precedete, si tratta di ua redita temporaea, aua, costate di rata R, posticipata. R R R 0 1 2 Si vuole calcolare il valore attuale della redita all istate t = 0. Per fare questo, basta riportare ciascua rata al tempo 0 mediate operazioi di attualizzazioe; si calcola quidi la somma dei valori attuali delle sigole rate, utilizzado il regime di capitalizzazioe composta ad u tasso auo di iteresse i, supposto per semplicità costate per tutta la durata dell operazioe. V R R R 0 1 2 V = R( 1 + + R( 1+ +... + R( 1+ (1) Cosiderato il fattore di attualizzazioe v = ( 1+ si può scrivere V = Rv + Rv 2 +... + Rv (2) da cui V = R( v + v 2 +... + v (3) ) Poichè i termii etro paretesi costituiscoo ua progressioe geometrica di ragioe v, si può scrivere il valore attuale come 1 : v v V = Rv = R (4) v i Ad esempio il valore attuale al tempo 0 di ua redita di rata 30 esigibile alla fie di ogi ao per 5 ai, calcolato ad u tasso auo di iteresse del 10%, è uguale a: 5 (1 + 0,1) V = 30 = 113,72 (5) 0,1 1 v La quatità si idica ormalmete co il simbolo a i ( a figurato al tasso i ) ed idica il i valore attuale di ua redita aua, posticipata, di rate uitarie.
Apputi su redite e ammortameti, pag. 4 Nel caso ivece i cui la riscossioe della rata avvega i via aticipata all iizio di ogi ao, come rappresetato dal diagramma seguete R R R R 0 1 2-1 il valore attuale al tempo 0 si calcola come segue: ( ) V at = R + R(1 + i) +... + R(1 + i) Cosiderato il fattore di attualizzazioe v = (1 + i), si può scrivere (6) 2 V at = R + Rv + Rv +... + Rv da cui 2 v Vat = R(1 + v + v +... + v ) = R (8) v Nell esempio precedete di ua redita co R = 30, = 5, ed i = 10%, qualora le rate siao riscosse i via aticipata, si ottiee u valore attuale uguale a 5 (1 + 0,1) V at = 30 = 125,10 (9) (1 + 0,1) Alterativamete, se si coosce già il valore attuale della redita posticipata, si può semplicemete utilizzare la seguete relazioe che lega i due valori attuali: V at = ( 1+ i) V (10) Nell esempio, V at = ( 1 + 01, ) 113, 72 = 125, 10. 1.2.2 Calcolo del motate di ua redita Si cosideri ua redita posticipata, di rata costate R e durata ai. Questa volta iteressa cooscere l importo M che, co riferimeto all istate i cui avviee l ultima riscossioe, può essere cosiderato fiaziariamete equivalete a riscuotere R alla fie di ogi ao, per ai. (7) R R R M 0 1 2 Tale importo è chiamato valore fiale, o motate della redita, e viee calcolato capitalizzado ogi sigola rata all epoca e poi sommado M = R( + + R( + (11) 1 1 +... + R( 1+ + R Cosiderato il fattore di capitalizzazioe u = ( 1 + si può scrivere
Apputi su redite e ammortameti, pag. 5 M = Ru + Ru (12) +... + Ru + R da cui M R( u u (13) = + +... + u + 1) Cosiderato che i termii etro paretesi costituiscoo ua progressioe geometrica di ragioe u, si può scrivere il motate come 2 : u u u M = R = R = R (14) u ( 1+ i Nell esempio di ua redita di rata 30 esigibile alla fie di ogi ao per 5 ai, il motate all epoca, calcolato ad u tasso auo di iteresse del 10%, è uguale a ( 1+ 01, ) 5 M = 30 = 18315, (15) 01, E iteressate osservare che i virtù della proprietà di scidibilità della capitalizzazioe composta è equivalete capitalizzare ogi rata all epoca e poi sommare oppure calcolare la somma dei valori attuali delle rate all epoca 0 (valore attuale della redita) e poi capitalizzare il risultato così otteuto per ai; vale quidi la relazioe M = V( 1 + (16) Qualora l operazioe fiaziaria abbia breve durata, per calcolare il motate di ua redita si potrebbe adottare il regime della capitalizzazioe semplice. Ad esempio, si cosideri la situazioe di ua redita che cosete di riscuotere u importo uguale a 120 all iizio di ogi trimestre. Si vuole calcolare il motate di tale redita alla fie dell ao i corso, i regime di capitalizzazioe semplice, utilizzado u tasso di iteresse auo i = 0, 03. 9 6 3 M = 120 ( 1+ + 120( 1+ i ) + 120( 1+ i ) + 120( 1+ i ) = 489 12 12 12 1.2.3 Osservazioe: uso di tassi di iteresse equivaleti Potrebbe capitare che il tasso di iteresse i sia riferito ad u periodo diverso da quello della redita. Ad esempio si potrebbe cosiderare la situazioe di ua redita che cosete di riscuotere u certo importo R alla fie di ogi mese, per mesi e si coosca il tasso auo di iteresse i. I questo caso prima di impiegare le formule per il calcolo del valore attuale e del motate, occorre calcolare il tasso di iteresse i m, riferito ad 1/m-simo di ao, equivalete al tasso auo i: 1 / m i m = ( 1+ (17) Ad esempio il valore attuale di ua redita che preveda la riscossioe mesile, i via posticipata di 258 per 48 mesi, al tasso di iteresse auo i del 10%, si calcola come 48 ( 1+ V = 258 12 = 10255, 97 i12 2 u La quatità si idica ormalmete co il simbolo s i ed idica il motate di ua redita aua, i posticipata, di rate uitarie.
Apputi su redite e ammortameti, pag. 6 1 / 12 dove i12 = ( 1+ 01, ) = 0, 00797414 rappreseta il tasso di iteresse mesile, equivalete al tasso di iteresse auo i. 1.3 Problemi relativi alle redite Si ripreda la formula (4) che permette di calcolare il valore attuale di ua redita co rata costate, posticipata, uguale ad R: V ( 1+ = R i (18) Compaioo quattro gradezze: il valore attuale V, la rata R, la durata ed il tasso di iteresse i. Se si cooscoo i valori di tre di queste gradezze, si può determiare il valore della quarta. La relazioe precedete, apputo, determia V oti R,, i. 1.3.1 Calcolo della rata Per calcolare l importo della rata che cosete di otteere u certo valore attuale, basta ricavare R dalla relazioe precedete: Vi R = ( 1+ (19) 1.3.2 Calcolo del umero delle rate Noto il valore attuale della redita, la rata ed il tasso di iteresse, è possibile determiare, cioè determiare il umero delle rate che occorre versare per otteere u certo valore attuale V. La relazioe (18) può essere scritta come V ( 1+ = (20) R i da cui Vi ( (21) 1 = 1+ R risolvedo mediate i logaritmi, si ha Vi log( ) R (22) = log( 1+ R co la codizioe V <. i 1.3.3.Calcolo del tasso di iteresse A volte si preseta il problema di determiare il tasso di iteresse associato ad ua redita, qualora si coosca il valore attuale, il umero e l importo delle rate. Si ripreda la formula (1) per il calcolo del valore attuale che può essere scritta come R ( 1 + + R( 1+ +... + R( 1+ V = 0 g( = 0 L obiettivo è quello di cercare il valore della variabile i che risolve l equazioe g ( = 0. La soluzioe può essere ricercata utilizzado alcui metodi approssimati, fra i quali ricordiamo u metodo iterativo per la ricerca degli zeri di ua fuzioe. Il metodo (23)
Apputi su redite e ammortameti, pag. 7 si basa sul fatto che se ua fuzioe cotiua i u itervallo assume i due puti a e b dell itervallo valori di sego diversi, allora essa si aulla almeo ua volta i (a,b). Solo per dare u idea, l applicazioe del metodo iterativo per la ricerca del tasso di iteresse parte da u valore iiziale del tasso di iteresse i 0 e procede co il calcolo di g(i 0 ) i base alla (23); se si trova che g(i 0 )=0 allora i 0 è il tasso di iteresse cercato; altrimeti, se ad esempio g(i 0 )>0 si cercherà di dimiuire il primo membro dell equazioe aumetado il tasso di iteresse e quidi cosiderado i 1 >i 0 ; si calcola uovamete g(i 1 ) e se si trova che g(i 1 )<0, allora si può restrigere la ricerca ell itervallo (i 0, i 1 ), ripetedo il procedimeto. Si osservi che la regola per la variazioe del tasso sfrutta la proprietà che il valore attuale di ua redita è ua fuzioe decrescete del tasso di iteresse. 2. Il problema del rimborso di u prestito U problema molto comue i sede ecoomica è quello dell ammortameto di u debito. L operazioe di ammortameto si cofigura el modo seguete. Al mometo t = 0 u soggetto (detto mutuatario o debitore) riceve a prestito da u altro soggetto (detto mutuate o creditore) ua somma S (detta mutuo o prestito) e deve restituirla etro u certo periodo di tempo ricosegado o solo il capitale ricevuto ma ache gli iteressi. Il rimborso del prestito può avveire i vari modi, che soo discipliati ache dalle orme di legge sui cotratti di mutuo. Se e ricordao due i particolare. i) Rimborso globale I questo caso il rimborso del capitale avuto i prestito avviee i u uica soluzioe, alla scadeza del cotratto di mutuo, isieme agli iteressi maturati. Dal puto di vista del debitore, l ammortameto è visto come ua operazioe fiaziaria i cui all epoca t = 0 si riceve la somma S e all epoca t = si restituisce al creditore la somma i fiaziariamete equivalete all importo S. Alla scadeza, quidi, il debitore verserà S ( 1+ i), cioè il motate i dell importo S, calcolato impiegado il regime della capitalizzazioe composta co u tasso di iteresse i: S -S(1+i) 0 Dal puto di vista del creditore l ammortameto è visto come u operazioe fiaziaria opposta, i cui all epoca 0 si eroga l importo S e all epoca si riceve il rimborso del capitale uitamete agli iteressi maturati: -S S(1+i) 0
Apputi su redite e ammortameti, pag. 8 ii) Rimborso rateale (ammortameto progressivo) I questo caso si verifica la restituzioe graduale del capitale che avviee i più scadeze successive ed il pagameto degli iteressi i ciascua scadeza. La durata del prestito viee quidi suddivisa i varie scadeze t 0, t 1,..., t k,..., t. R k C k I k t 0 t 1 t k t Ad ogi scadeza k-esima il debitore paga u importo (C k ) a titolo di rimborso del capitale (quota capitale) ed u importo (I k ) a titolo di iteresse (quota iteresse). Quidi ad ogi scadeza il debitore paga sia la quota capitale che la quota iteresse. Idicata co R k la rata di ammortameto, la somma che complessivamete il debitore paga alla scadeza k, si ha che R k = C k + I k. Dal puto di vista del debitore l ammortameto si cofigura come u operazioe fiaziaria i cui si riceve S all epoca t 0 e si pagao le rate di ammortameto R 1, R 2,.., R, alle varie epoche t 1,...,tk,..., t. All opposto il creditore eroga S all epoca 0 e riceve gli importi R 1, R 2,.., R, alle varie scadeze. 2.1 Il piao di ammortameto Nel caso del rimborso rateale del prestito si tratta di determiare gli importi che i ciascua scadeza il debitore dovrà restituire al creditore. Si tratta quidi di determiare le quote parziali di rimborso del capitale e l ammotare degli iteressi da pagare i ciascua scadeza, che sarao commisurati di volta i volta al capitale che a tale scadeza risulta o acora restituito. Si cosideri iizialmete la situazioe i cui le epoche di rimborso parziale soo equidistati ua dall altra (scadeze 0, 1,, k,, ) e i pagameti avvegoo i via posticipata alla fie di ogi scadeza pattuita. E possibile orgaizzare le specifiche relative ai tempi di rimborso e al pagameto delle quote i u prospetto che prede il ome di piao di ammortameto. Ad ogi scadeza è importate cooscere ache l ammotare del debito residuo e l ammotare del debito estito; ammortizzare u mutuo sigifica versare alle varie scadeze le rate previste i modo che il debito residuo fiale si azzeri e, allo stesso modo, che il debito estito raggiuga l importo del prestito che è stato cocesso. Si idichi co: S l ammotare del prestito; C k la quota che il debitore paga alla scadeza k, a titolo di rimborso del capitale (quota capitale); I k la quota che il debitore paga alla scadeza k, a titolo di iteresse (quota iteresse); R k l importo totale versato dal debitore alla scadeza k (rata di ammortameto), dove
Apputi su redite e ammortameti, pag. 9 R k = Ck + Ik 2.1.1 Codizioe di chiusura sulle quote capitale Poiché il prestito S viee suddiviso i parti da rimborsare alle diverse scadeze, deve essere rispettato il vicolo: C1 + C2 +... + Ck +... + C = S (24) il che sigifica che la somma di tutte le quote di capitale versate coicide co l ammotare del prestito. 2.1.2 Codizioe di equità sulle rate L ammortameto si cofigura come u operazioe fiaziaria i cui si riceve S (o si paga S se si cosidera il puto di vista del creditore) all epoca 0 e si pagao (rispettivamete si ricevoo se si cosidera il puto di vista del creditore) le rate di ammortameto R 1, R 2,.., R, alla fie di ciascu periodo 1, 2,..,, ell ipotesi di pagameti posticipati. R 1 R 2 R 0 1 2 Deve essere quidi verificata ua codizioe di equivaleza fiaziaria fra la prestazioe S all epoca 0 e la successioe degli importi (rate) R 1, R 2,.., R, alle diverse epoche. Ciò sigifica che il mutuo S deve coicidere co il valore attuale, calcolato al tempo iiziale 0, della redita descritta dalle rate R 1, R 2,.., R S = R1 (1 + i) + R2 (1 + i) +... + R (1 + i) (25) dove i rappreseta il tasso uiperiodale di iteresse, cosiderato il regime di capitalizzazioe composta. 2.1.3 Debito residuo Risulta iteressate determiare ad ogi scadeza k-esima l ammotare di dearo che il debitore deve acora restituire, a titolo di capitale, per estiguere il debito. Tale gradezza viee deomiata debito residuo all epoca k e viee idicata co D k. Si può esprimere il debito residuo cosiderado le quote capitale che hao scadeza successiva a k D k = Ck + 1 + Ck + 2 +... + C (26) Da tale relazioe si ricava che il debito residuo iiziale coicide co l importo del mutuo, metre il debito residuo fiale si aulla D0 = C1 + C2 +... + C = S D = 0 (27) (28)
Apputi su redite e ammortameti, pag. 10 L ultima relazioe, quella di azzerameto del debito residuo, può essere vista come ua codizioe di equità o codizioe di chiusura dell operazioe di ammortameto. E ache possibile esprimere il debito residuo ad ua certa scadeza aggiorado il debito residuo otteuto alla scadeza precedete, el modo seguete Dk = Dk Ck (29) 2.1.4 Debito estito Si defiisce debito estito all epoca k, e si idica co E k, l ammotare di dearo che il debitore ha già versato a titolo di rimborso del capitale. Si può esprimere il debito estito cosiderado le quote capitale già versate fio alla scadeza k-esima E k = C1 + C2 +... + C k (30) Da tale relazioe si ricava che il debito estito iiziale è ullo, metre il debito estito alla scadeza coicide co l ammotare del prestito S E 0 = 0 (31) E = C1 + C2 +... + C = S (32) Cooscedo il debito estito ad ua certa scadeza si può otteere il debito estito alla scadeza successiva mediate la regola di aggiorameto E k = Ek + Ck (33) 2.1.5 Quota iteresse Sia i il tasso di iteresse riferito all uità temporale presa i cosiderazioe; se ad esempio le epoche di rimborso parziale soo misurate i ai, il tasso i corrispode al tasso auo di iteresse. Alla scadeza di ogi rata k-esima si possoo calcolare gli iteressi commisurati al capitale che a tale scadeza risulta o acora restituito, cioè gli iteressi geerati dal debito residuo, el modo seguete: I k = i Dk (34) Si osservi che qualora le epoche di rimborso siao scadeze geeriche t 1,...,tk,..., t, o ecessariamete equidistati ua dall altra, si dovrao calcolare gli iteressi maturati dal debito residuo i ciascu geerico itervallo ( tk 1, tk ) : t = [(1 ) 1 + k t I k k Dk i ] (35) La relazioe (34) è u caso particolare della (35) posto t k t k = 1 (epoche equidistati). 2.1.6 Redazioe del piao di ammortameto Le gradezze fodametali che compaioo ell operazioe di ammortameto, l importo del mutuo (S), le scadeze del rimborso k ( k = 0, 1,..., ), la successioe delle rate di ammortameto (R k ), delle quote capitale (C k ), delle quote iteresse (I k ), del debito residuo (D k ), e del debito estito (E k ), soo orgaizzate solitamete i u prospetto deomiato piao di ammortameto i cui ogi coloa del piao viee itestata ad ua di tali successioi. Ua volta redatto il piao di ammortameto si possoo verificare le relazioi esisteti fra i vari elemeti del piao, le codizioi di chiusura e di equivaleza fiaziaria dell operazioe di ammortameto di u debito.
Apputi su redite e ammortameti, pag. 11 epoca rata quota capitale quota iteresse debito residuo debito estito 0 - - - D 0 = S E 0 = 0 1 R 1 C 1 I 1 D 1 E 1 2 R 2 C 2 I 2 D 2 E 2 k R k = Ck + I k C k I k Dk = Dk Ck E k = Ek + Ck R C I D = 0 E = S 2.1.7 Esempio Si cotrae u prestito di 18.000 co durata 5 ai e si cocordado le segueti quote di capitale: 4.500 alla fie del primo e del terzo ao, 2.000 alla fie del secodo e del quito ao. Si sa che il tasso di iteresse auo è del 12% i regime di capitalizzazioe composta. Si vuole redigere il piao di ammortameto del mutuo. Si cosiderio i dati del problema: S = 18.000 ; = 5; i = 0,12; C 1 = C 3 = 4.500 ; C 2 = C 5 = 2.000. Il piao di ammortameto del prestito si preseta come segue: k R k C k I k D k E k 0 - - - 18.000 0 1 6.660 4.500 2.160 13.500 4.500 2 3.620 2.000 1.620 11.500 6.500 3 5.880 4.500 1.380 7.000 11.000 4 5.840 5.000 840 2.000 16.000 5 2.240 2.000 240 0 18.000 Per compilarlo si può partire scrivedo elle celle corrispodeti alcui dati del problema (C 1 = 4.500, C 2 = 2.000, C 3 =4.500, C 5 =2.000 ). Ioltre si cooscoo il debito residuo e il debito estito iiziali (D 0 = S = 18.000, E 0 = 0). Dalla codizioe di chiusura sulle quote capitale si può ricavare l ammotare della quarta quota capitale, ote le altre e oto l importo del mutuo: C 4 = S ( C1 + C2 + C3 + C5 ) = 5.000 Ua volta che si cooscoo le cique quote capitale si può trovare la successioe dei debiti residui, impiegado la regola di aggiorameto (29) e la successioe dei debiti estiti, impiegado la regola di aggiorameto (33). Noti i debiti residui i ciascua scadeza k, si possoo poi trovare le quote iteresse I k (k = 0,1,..,5), tramite la relazioe (34). Ifie, ota la coloa delle quote capitale e delle quote iteresse, si può trovare la successioe delle rate. 2.2 Nuda proprietà e usufrutto Durate u operazioe di ammortameto vi può essere la ecessità di valutare gli impegi futuri, cosiderato u certo istate di valutazioe ed u particolare tasso di
Apputi su redite e ammortameti, pag. 12 valutazioe. A volte ifatti si stipula u cotratto di ammortameto, ma poi decorso u certo periodo di tempo si può avere la ecessità di rivedere le codizioi del cotratto, oppure di saldare aticipatamete il mutuo, oppure di allugare la durata. I tutti questi casi è utile valutare l impego fiaziario futuro; solitamete la valutazioe viee fatta impiegado u tasso di valutazioe diverso dal tasso di remuerazioe del prestito. Idicata co k ua certa epoca, si defiisce valore del prestito all epoca k (chiamato ache corso dell operazioe fiaziaria) il valore attuale i k delle rate acora da corrispodere, calcolato i base ad u geerico tasso di valutazioe x: ( k) Wk ( x) = Rk + 1 (1 + x) + Rk + 2(1 + x) +... + R (1 + x) (36) Si defiisce uda proprietà del prestito all epoca k il valore attuale i k delle quote capitale acora da corrispodere, calcolato i base al tasso di valutazioe x ( k) Pk ( x) = Ck + 1 (1 + x) + Ck + 2(1 + x) +... + C (1 + x) (37) Ifie, si defiisce usufrutto del prestito all epoca k il valore attuale i k delle quote iteresse acora da corrispodere, calcolato i base al tasso di valutazioe x ( k) U k ( x) = Ik + 1 (1 + x) + I k + 2 (1 + x) +... + I (1 + x) (38) Dalle defiizioi date e utilizzado la proprietà di decomposizioe della rata di ammortameto elle sue compoeti (quota capitale e quota iteresse), segue che il valore del prestito ad ua certa epoca k, valutato i base ad u dato tasso di valutazioe, o è altro che la somma della uda proprietà e dell usufrutto del prestito Wk ( x) = Pk ( x) + U k ( x) (39) Si osservi che il calcolo del valore del prestito, della uda proprietà e dell usufrutto può ache essere effettuato adottado u regime diverso da quello solitamete impiegato della capitalizzazioe composta; ioltre, tali gradezze possoo essere riferite ad u geerico istate s che o coicide co alcua delle scadeze di rimborso del piao. I questi casi si dovrao riformulare le relazioi (36)-(37)-(38) i modo che siao i grado di rappresetare il caso cosiderato. 2.2.1 Esempio Si cosideri l esempio del paragrafo precedete dell ammortameto di u mutuo di 18.000 da ammortizzarsi i cique ai. Si vuole calcolare la valutazioe del prestito, la uda proprietà e l usufrutto, dopo aver corrisposto le prime due rate, impiegado u tasso di valutazioe del 15%. Posto k = 2, x = 0,15, si può calcolare dapprima la uda proprietà P 2 (0,15) e l usufrutto U 2 (0,15) impiegado la (37) e la (38): 3 P 2 (0,15) = 4.500(1 + 0,15) + 5.000(1 + 0,15) + 2.000(1 + 0,15) = 9.008,79 3 U 2 (0,15) = 1.380(1 + 0,15) + 840(1 + 0,15) + 240(1 + 0,15) = 1.992,97 Poi, tramite la (39), si calcola la valutazioe del prestito W 2 ( 0,15) = P2 (0,15) + U2(0,15) = 11.001,76 2.3 Ammortameto co quote di capitale costate U particolare metodo di ammortameto prevede il pagameto, da parte del debitore, di quote capitale tutte uguali ad u comue importo C.
Apputi su redite e ammortameti, pag. 13 C1 = C2 =... = C = C (40) Tale tipo di ammortameto è ache chiamato metodo italiao o metodo uiforme. Se si coosce l ammotare del prestito S si può ricavare immediatamete l ammotare della quota capitale costate da versare alla fie di ciascua scadeza pattuita; ciò si ottiee utilizzado la codizioe di chiusura sulle quote capitale: S (41) C1 + C2 +... + C = S C = S C = Si può mostrare come i tale tipo di ammortameto le quote di debito residuo, le quote iteresse e le rate di ammortameto siao decresceti i progressioe aritmetica. 2.3.1 Debito residuo Dalla codizioe (29) di aggiorameto del debito residuo, essedo la quota capitale costate i ciascua scadeza k-esima ( C k = C k), si ottiee la relazioe Dk Dk 1 = C k =1,2,..., (42) ciò sigifica che la differeza fra il debito residuo ad ua certa scadeza e il debito residuo alla scadeza precedete è costate ed è uguale a C, che rappreseta la ragioe della progressioe aritmetica. 2.3.2 Quota iteresse Si cosideri la quota iteresse all epoca k+1, calcolata sulla base del debito residuo alla scadeza precedete Ik +1 = i D k (43) dalla relazioe (42) si può scrivere il debito residuo alla scadeza k come: Dk = Dk C (44) per cui sostituedo i (43) si ottiee Ik + 1 = i( Dk C) = idk ic (45) ed essedo id k = Ik, si ottiee Ik + 1 = Ik ic Ik + 1 Ik = ic (46) il che sigifica che le quote iteresse si presetao i progressioe aritmetica decrescete, co ragioe ic. 2.3.3 Rata di ammortameto I modo aalogo si può dimostrare che ache le rate di ammortameto si presetao i progressioe aritmetica decrescete, co ragioe ic, cioè Rk +1 Rk = ic (47) Ifatti si può far vedere che la differeza fra le rate di ammortameto i due scadeze successive coicide co la differeza fra le quote iteresse i due scadeze successive, la quale a sua volta è uguale a ic, per la (46). Ifatti si possoo esprimere le rate di ammortameto alle scadeze k e k+1, come somma delle quote capitale (costati) e delle quote iteresse: R k = C + I k e R k + 1 = C + Ik + 1 da cui Rk + 1 Rk = C + Ik + 1 C Ik = Ik + 1 Ik
Apputi su redite e ammortameti, pag. 14 2.3.4 Esempio Si vuole ammortizzare, co il metodo italiao, 1.000 al tasso di iteresse del 10% auo, i 5 ai. Il piao di ammortameto si preseta come segue k R k C k I k D k E k 0 - - - 1.000 0 1 300 200 100 800 200 2 280 200 80 600 400 3 260 200 60 400 600 4 240 200 40 200 800 5 220 200 20 0 1.000 I primo luogo si può calcolare l ammotare della quota capitale da pagare alla fie di ciascu ao 1.000 5 C = 1.000 C = = 200 5 ciò cosete di riempire immediatamete la coloa itestata alla quota capitale. Successivamete, sfruttado la relazioe di aggiorameto del debito residuo ( Dk = Dk C, co D 0 = S =1. 000 ) si può riempire la coloa itestata al debito residuo; si ota apputo come le quote D k siao i progressioe aritmetica decrescete di ragioe 200. Ua volta oto il debito residuo i ciascua scadeza, si possoo calcolare le quote iteresse, che sarao decresceti i progressioe aritmetica di ragioe ic = -20 e le rate di ammortameto come somma delle quote capitale e delle quote iteresse. 2.4 Ammortameto a rate costati U altro particolare metodo per ammortizzare u prestito prevede rate di ammortameto tutte uguali ad u comue importo R, i ciascua scadeza cosiderata R1 = R2 =... = R = R (48) Tale tipo di ammortameto è ache chiamato metodo fracese o metodo progressivo i seso stretto. I questo caso la codizioe di equivaleza fiaziaria impoe che l importo del prestito S deve coicidere co il valore attuale calcolato al tempo iiziale 0 della redita a rata costate R, cioè, ricordado la formula (4) del capitolo dedicato alle redite v S = R 1 (49) i Se si coosce l ammotare del prestito S, il umero delle rate ed il tasso di iteresse i, si può ricavare immediatamete l ammotare della rata di ammortameto da versare alla fie di ciascua scadeza pattuita i R = S (50) 1 v Ua caratteristica di tale metodo di ammortameto è che le quote capitale C k soo cresceti i progressioe geometrica (da cui il termie metodo d ammortameto progressivo). Ifatti a partire dalle relazioi: R = Rk = Ik + Ck = i Dk + Ck
Apputi su redite e ammortameti, pag. 15 R = Rk + 1 = Ik + 1 + Ck + 1 = i Dk + Ck + 1 = i( Dk Ck ) + Ck + 1 essedo il primo membro uguale ad R per etrambe le equazioi, si possoo uguagliare i secodi membri e si ottiee: i Dk 1 + Ck = i Dk i Ck + Ck + 1 Ck + 1 = (1 + i) Ck il che sigifica che il rapporto fra la quota capitale ad ua certa scadeza e quella alla scadeza precedete è costate ed è uguale ad (1+i), che rappreseta la ragioe della progressioe. 2.4.1 Esempio Si vuole costruire il piao di ammortameto di u prestito di 20.000 da restituire i quattro rate costati auali al tasso di iteresse auo i = 0,06. Il piao di ammortameto completo del debito si preseta come segue: k R k C k I k D k E k 0 - - - 20.000 0 1 5.771,83 4.571,83 1.200 15.428,17 4.571,83 2 5.771,83 4.846,15 925,68 10.582,02 9.417,98 3 5.771,83 5.136,90 634,92 5.445,12 14.554,88 4 5.771,83 5.445,12 326,71 0 20.000 I primo luogo si può calcolare l ammotare della rata di ammortameto, i base alla relazioe (50): 20.000 (0,06) R = 5.771,83 4 (1 + 0,06) = Calcolata R e riempita l itera coloa itestata alla rata, si possoo calcolare le altre gradezze del piao, calcolado per ciascua scadeza k-esima (k = 1,,4) la quota iteresse I k = i Dk, la quota capitale Ck = Rk Ik e il debito residuo Dk = Dk Ck. Si osservi che le quote capitale crescoo i progressioe geometrica di ragioe 1,06.