Logo di Stefao Visciglia CON IL PATROCINIO DEL COMUNE DI TORINO GARA PER IL PUBBLICO 8 Gallery Veerdì 8 marzo 013 OLIMPIADI DI MATEMATICA Problema 1 Gioco di carte 0 puti Reato prede u mazzo di carte, estrae i 4 assi e i 4 re formado co essi quattro mucchietti di due carte ciascuo. Davati ad ogi pila di carte scrive su di u cartellio il umero di assi preseti ella pila; poiché è dispettoso, il umero che ha scritto è falso. Sappiamo che vi soo più re ell'ultimo mazzetto a destra che ell'ultimo mazzetto a siistra. 0 1 1 Dite quati assi ha messo i ogi mazzetto. Scrivere u umero di quattro cifre, ogua delle quali rappreseta la quatità di assi i ogi sigolo mazzetto a partire da siistra. Soluzioe: Poiché le scritte sui cartellii soo false e i re ell ultimo mazzetto a destra (il quarto) soo più degli assi el primo a siistra (il primo), si evice che el quarto mazzetto ci soo re: ifatti el primo ce è almeo uo. Restao da piazzare due re: adrao uo el primo mazzetto (da siistra) ed uo el secodo e o el terzo, altrimeti i esso ci sarebbe u asso come scritto sul cartellio. Automaticamete avremo u asso el primo mazzetto, u asso el secodo, due el terzo (essu re) e zero el quarto. Risposta 1 1
Problema Ua gita al mare! 5 puti I ua calda mattia di luglio, u gruppo di amici si scambia qualche sms per decidere se adare o o al mare el pomeriggio. Ecco i messaggi: 1. Giulia è iamorata di Adrea quidi, se Adrea va al mare, ci va ache Giulia. Giulia o Federico vao al mare, ma dopo la discussioe dell altra sera, se va uo o va l altro 3. Erica ha detto che oggi sta co Federico 4. Qualcuo al mare ci sarà sez altro, Erica o Sara ci vao 5. Se Sara va al mare, ci vao ache Adrea e Federico... Isomma! Chi va al mare e chi o? Per dare la risposta regolarsi come segue: associare ad ogi ome i segueti umeri: Adrea 300, Giulia 400, Federico 500, Erica 000, Sara 00. La risposta deve essere la somma dei umeri corrispodeti ai omi di coloro che adrao al mare. Soluzioe: Costruiamo la seguete tabella di verità (itededo co V (vero): va al mare e co F (falso): o va al mare ): A G F E S V V F F V F V F F V F F V V F F F V V V Il quito messaggio ci dice che se S è vera devoo esserlo ache A ed F. Poiché A ed F o soo mai vere cotemporaeamete S deve essere falsa. L uica opzioe compatibile è quella i cui Federico ed Erica vao al mare. Risposta 500 Problema 3 - Recipieti di casa 5 puti Come mostra la figura, u bicchiere pesa quato ua bottiglia più ua tazzia, metre tre bottiglie pesao quato due bicchieri. Quate tazzie pesao quato ua bottiglia?
Soluzioe 1: tazzie pesao quato ua bottiglia. Ifatti aggiugedo sulla bilacia di siistra u bicchiere su etrambi i piatti otteiamo: bicchieri tazzia + bottiglia + bicchiere. Ma (vedi bilacia destra) bicchieri 3 bottiglie, quidi: 3 bottiglie tazzia + bottiglia + bicchiere. Ora togliamo ua bottiglia su etrambi i piatti bottiglie tazzia + bicchiere Se ora al posto del bicchiere a destra mettiamo (vedi figura di siistra) ua tazzia + ua bottiglia, otteiamo: bottiglie tazzia + tazzia + bottiglia. Ne segue: Ua bottiglia tazzie. Oppure, detto b il bicchiere, B la bottiglia e t la tazzia, si ha: b t + B b t + B b 3t da cui, 3B b 3B ( t + B) B t Soluzioe (sitetica): Dalla secoda parte della figura (e dal testo!) è evidete che u bicchiere pesa quato ua bottiglia e mezza. Dalla prima parte si evice quidi che ua tazzia vale ua mezza bottiglia. Quidi ci voglioo due tazzie per pareggiare il peso di ua bottiglia. Risposta 000 Problema 4 - Moete i pila 35 puti Fracesco ha appea rotto il suo salvadaaio e vuole mettere i ordie le sue moete. Forma allora delle pile di ove moete e ota co stupore che il umero delle moete rimaeti è uguale al umero delle pile formate. Decide poi di suddividere le sue moete i pile di udici moete: scopre di uovo che il umero delle moete che gli restao è uguale al umero di pile formate. Qual è il umero miimo di moete che aveva Fracesco el suo salvadaaio? Soluzioe: Idicado co N il umero delle moete e co x il umero di pile formato co ove moete ed il umero di moete rimaeti si ottiee l equazioe 9x + x N cioè x N, da cui si deduce che N deve essere u multiplo di dieci. Aalogamete idicado co y il umero di pile formate co udici moete si ottiee 11 y + y N da cui 1 y N, da cui si deduce che N deve essere u multiplo di dodici. Tra i multipli di dieci e dodici il miimo che risolve il problema è il m.c.m. (,1) 60. Altro ragioameto che o fa iterveire le equazioi. Poiché il umero delle moete che avazao è proprio uguale al umero delle pile, si può aggiugere ua moeta ad ogi pila ed otteere pile da moete e da 1 i modo che o avazi alcua moeta i etrambi i casi, quidi N dovrà essere u umero divisibile per e 1. Per tetativi poi si possoo cercare i multipli di dieci e dodici che soddisfao le richieste del problema. Risposta 0060 3
Problema 5 Quati sottoisiemi?? 35 puti Si cosideri l isieme A 1,,3...013 { }. Quati soo i suoi sottoisiemi i cui elemeti, umerici, hao somma 07085? Soluzioe: ( ) La somma degli elemeti di A si può trovare usado la somma dei primi umeri S + 1 che, el caso di 013, è 07091 pertato la richiesta è equivalete a cotare quati soo i sottoisiemi che hao come somma 6 ed essi soo esattamete 4: { 1,,3} ; { 1,5 } {,4} 6 {}. Risposta 0004 Problema 6 Giallo matematico 40 puti Il commissario di polizia Javert assume u matematico per aiutarlo a risolvere u delitto. Sulla scea del crimie soo preseti tra i 0 e i 00 bicchieri di vio ed esattamete i u bicchiere è stato versato del veleo. Il laboratorio di polizia potrebbe testare sigolarmete il coteuto di tutti i bicchieri, oppure di u gruppo di bicchieri mescolado u campioe per ogi bicchiere. Il commissario vuole ridurre al miimo il umero di test ecessari per determiare i quale bicchiere c è veleo. Il matematico suggerisce al detective di scegliere u bicchiere a caso e di testarlo; el caso il risultato sia egativo di cotiuare i test mescolado tra loro i modo opportuo i campioi degli altri bicchieri, predicedo la risoluzioe dell eigma effettuado al massimo 8 test. Quati bicchieri soo preseti sulla scea del crimie? Soluzioe: Il modo più rapido per trovare il bicchiere avveleato sarebbe quello di dividere di volta i volta i bicchieri i due gruppi, mescolare u campioe di tutti i bicchieri di ogi gruppo, determiado quale dei due gruppi cotega il campioe avveleato. Ripetere quidi il procedimeto dividedo a sua volta il gruppo co il bicchiere avveleato i due gruppi sio a quado o si ottegao due gruppi da u bicchiere sigolo e di cosegueza il bicchiere avveleato. L uica possibilità di avere u umero esatto di test sarebbe se il umero di bicchieri fosse esattamete ua poteza di due; i tutti gli altri casi si arriverebbe per forza ad avere gruppi coteeti u umero dispari di bicchieri che darebbero quidi origie a sottogruppi disomogeei, uo pari ed uo dispari (e quidi ad u umero di test variabile a secoda che il bicchiere avveleato appartega al gruppo pari o al gruppo dispari). Poiché la poteza di due compresa tra 0 e 00 è 18 7, i passaggi ecessari per arrivare a due bicchieri sigoli soo 7, quidi 7 test; sommado il test iiziale si arriva esattamete a 8 test. I bicchieri soo quidi 19. Risposta 019 4
Problema 7 Pagie e pagie 40 puti U tipografo sa che per umerare le pagie di u eciclopedia, la cifra 1 è stata utilizzata 013 volte. Il direttore della casa editrice gli chiede se è i grado di dire quate soo complessivamete le pagie umerate coteute ell eciclopedia? Riuscite ad aiutarlo ell impresa? Soluzioe: Per umerare le pagie dell eciclopedia fio alla ovataovesima occorroo 0 cifre 1, che soo coteute all itero della scrittura dei umeri 1,, 11, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1, 31, 41, 51, 61, 71, 81 e 91. Per umerare le pagie dalla cetesima alla cetoovataovesima occorroo ivece cifre 1 i quato ogi umero cotiee u 1 come cifra delle cetiaia. Riassumedo: Numeri compresi fra Numero di cifre 1 ecessarie 0 e 99 0 0 e 199 00 e 99 0 300 e 399 0 400 e 499 0 500 e 599 0 600 e 699 0 700 e 799 0 800 e 899 0 900 e 999 0 Pertato per scrivere i umeri da 0 a 999 occorre u totale di 300 cifre 1. Per umerare le pagie dalla millesima alla milleovecetoovataovesima occorroo ivece 1300 cifre 1 i quato ogi umero cotiee u 1 come cifra delle uità di migliaia. Riassumedo: Numeri compresi fra Numero di cifre 1 ecessarie 0 e 999 300 0 e 1999 1600 0 e 999 1900 0 e 3999 00 Quidi il umero di pagie dell eciclopedia sarà compreso fra 3000 e 3999, i particolare: Numeri compresi fra Numero di cifre 1 ecessarie 0 e 3099 190 0 e 3199 040 Aalizzado acora più el dettaglio le ultime decie di umeri: Numeri compresi fra Numero di cifre 1 ecessarie 30 e 39 11 31 e 3119 1 3 e 319 11 3130 e 3139 11 3140 e 3149 11 3150 e 3159 11 3160 e 3169 11 5
Per giugere così ad u totale di 007 cifre 1 impiegate per scrivere i umeri fio a 3169 compreso. Le successive cifre 1 servirao per eumerare le pagie 3170, 3171 (doppio 1 ), 317, 3173 e 3174. Risposta 3174 Problema 8 Questo è il mio posto! 40 puti U gruppo di amici decide di festeggiare la ricorreza dell 8 Marzo: si ritrovao quidi tutti a cea i uo spazioso locale. Ogi ivitato prede posto i u uica grade tavolata e tutti i posti a disposizioe soo occupati da u commesale. La disposizioe degli ivitati è la seguete: esattamete 7 sigore hao u altra sigora alla loro destra; esattamete1 sigore hao u uomo alla loro destra; esattamete il 75% degli uomii preseti ha ua sigora alla sua destra. Quati soo gli ivitati? Soluzioe: Ogi persoa ha alla propria destra o u uomo o ua doa, quidi le doe sarao i tutto 7 + 1 19. Gli uomii che hao ua doa a destra soo tati quate le doe che hao u uomo a destra, ifatti i qualsiasi distribuzioe circolare di sessi, co almeo tre persoe, se viee aggiuto ad es. u uomo, questo può avveire i 4 modi: 1) Fra due doe: DUD. Si ottiee solo il fatto di aver aggiuto ua D che ha u U a dx (e tolto ua D che ua D a dx) e u U che ha ua D a dx. ) Fra ua doa (a sx) e u uomo (a dx): DUU. No cambia la situazioe. 3) Fra u uomo (a sx) e ua doa (a dx): UUD. No cambia il umero di U che hao D a dx, é cambia la situazioe delle D; 4) Fra due uomii: UUU. No cambia la situazioe che stiamo studiado. 4 Quidi TOTALE UOMINI 1 16. Quidi le persoe sedute al tavolo soo 3 complessivamete 19 + 16 35. Risposta 0035 Problema 9 - Rettagolo atimagico 45 puti 1 1 1 1 4 Riempite tutte le caselle vuote di questo rettagolo atimagico. Le somme dei umeri di ogi liea o coloa soo sempre diverse fra loro e sempre miori o uguali a 9. Ioltre il rettagolo cotiee soltato i umeri 1, e 4. Come risposta scrivere i sequeza i umeri dell ultima riga. 6
Soluzioe: Dobbiamo otteere 7 somme di cui la massima è 9 e la miima sarà 3 (perché abbiamo almeo 3 caselle). Dovedo essere tutte diverse, sarao ecessariamete 3-4 - 5-6 - 7-8 - 9. Avedo ella prima coloa già due 1 il terzo sarà acora u 1 perché solo i quella coloa è possibile otteere la somma 3. La somma 4 si potrebbe otteere o ell'ultima riga (1,1,1,1) o ella secoda coloa (1,,1) o ella quarta coloa (,1,1). L ultima riga, però, o può essere formata da tutti 1, altrimeti si otterrebbe u'altra somma 4 ella secoda coloa. La quarta coloa o può essere (,,1), perché si avrebbe u altra somma 5 come ella prima riga. Proviamo a produrre 4 ella quarta coloa: la secoda riga dà somma 7. Potremo avere somma 8 solo ella terza riga, ma la secoda e terza coloa possoo dare 7 e 7 oppure 5 e 9. Quidi la secoda coloa sarà (1,,1). Notiamo che possiamo otteere 9 solo ella secoda riga o ella terza coloa. Proviamo co la terza coloa, che diveta (1,4,4). Il 6, a questo puto lo si può avere solo sulla quarta coloa, che diveta (,,), ma ciò o va bee perché si otterrebbero due 9 ella secoda riga e ella terza coloa. Quidi la secoda riga diveta (1,,4,). La quarta coloa dovrà essere (,,4), da cui forzatamete (soluzioe uica) la terza coloa sarà (1,4,1) e l ultima riga sarà (1,1,1,4). Risposta 1114 Problema Cammio di Satiago 45 puti U gruppo di appassioati escursioisti si sta alleado per il Cammio di Satiago di Compostela, formado ua luga fila di 50 metri. La strada è rettiliea ma dopo pochi chilometri icotrerao u bivio i cui occorre svoltare a siistra; l escursioista i fodo al gruppo o è sicuro che l amico che sta i testa alla fila si ricordi della svolta. Decide quidi di raggiugerlo, gli ricorda di svoltare a siistra e ritora i coda. Sapedo che i questo adata e ritoro la velocità dell escursioista premuroso è rimasta costate e che la coloa ha percorso 50 m, qual è la distaza (i m) percorsa dall escursioista premuroso? Soluzioe: Detto x lo spazio percorso dal capofila quado viee raggiuta dalla compago premuroso, v1 la x 50 + sua velocità, v la velocità del premuroso, abbiamo x il tempo impiegato dai due v1 v escursioisti per icotrarsi e 50 + x 50 v v1 il tempo totale dell adata e ritoro. Risolvedo il sistema x + 50 x vx v1 v1 v 50 + x co x > 0, v1> 0, v > v1, otteiamo 50 + x 50 + x ( + ). 50 50 50 x v v v vx 1 Da qui si ota che v è semplificabile (quidi il risultato del problema o dipede dalle velocità specifiche delle due formiche); ricaviamo quidi i sequeza 50x + x 500 + 50x, x 500, x 150, x 150 5. Lo spazio percorso, i cm, dall escursioista premuroso sarà quidi S 50 + x 50 + 50. Cioè S 50 ( 1+ ),76781. Risposta 0 7
Problema 11 Il gioiello 45 puti U gioielliere ha ua perla sferica di raggio 1 cm. Poiché desidera fare u regalo speciale alla moglie i occasioe della Festa della Doa, pesa di utilizzarla come parte cetrale di ua spilla che abbia u aspetto floreale: u ucleo cetrale co 8 sferette - i oro - tageti (alla perla cetrale ed alle sferette adiaceti, come i figura). Qual è il raggio (i cm) delle sferette? Dare la risposta scrivedo le prime 4 cifre decimali del risultato. Soluzioe 1: Si oti che i cetri delle sferette soo i vertici di u ottagoo regolare il cui lato è lugo quato la somma dei raggi di due di loro e quidi uguale al loro diametro. I figura si ha MN NP AM PB r (raggio sferette). ON biseca l agolo AO ˆ B che è cogruo a MO ˆ P. C è il puto medio di AB. Abbiamo la similitudie dei triagoli rettagoli OPN e OBC. Ci serve cooscere la lughezza di CB, metà di AB. Ora, il segmeto AB è uguale al lato dell ottagoo regolare iscritto ella circofereza di cetro O (perla sferica). Sapedo che l agolo AO ˆ 360 B vale 45 180 45, abbiamo O PN ˆ OBˆ C 67 30' (agoli alla base di 8 8
CB 1. OP : NP OB : CB cioè (1 + r ) : r 1:, da cui triagoli isosceli). Utilizzado la trigoometria si trova OB cos( 67 30) ' Possiamo impostare la proporzioe r 0,619914. Soluzioe : Cosideriamo il triagolo OMP estratto dalla precedete figura. Si ha MP r, e l agolo i O uguale a 45 0. Tracciamo l altezza MH relativa a OP. OM OP 1+ r, 1+ Il triagolo OMH è rettagolo isoscele, quidi MH r OH. Ioltre ( + ) 1 HP OP OH 1 r 1. 1+ r Applicado il teorema di Pitagora al triagolo MHP segue ( 1 r) 1 ( r) Da qui otteiamo + r ) ( ) 4, quidi 1 r) r ( 1 r + ( + e, risolvedo, si ha r 0,619914. Risposta 6199 + 1. Problema 1 La cassaforte 50 puti Giuseppe e Dario soo due soci di ua piccola agezia di viaggi. Dario è u appassioato di giochi matematici. Giuseppe decide di mettere alla prova le abilità di Dario e, a sua isaputa, cambia la combiazioe di 5 cifre della cassaforte dell ufficio; scrive quidi combiazioi diverse su u foglio, tutte sbagliate ma i ogua di esse ua ed ua sola cifra è collocata el posto giusto. I umeri soo : 07344 14098 7356 3649 45374 507 638 70558 8537 97665. Iutile dire che Dario riesce ad idividuare la combiazioe giusta dopo pochi miuti. Dare come risposta il umero formato dalle prime 4 cifre, da siistra, relative alla combiazioe giusta. Soluzioe: Costruiamo ua tabella dove ella prima coloa idichiamo le 5 posizioi delle cifre e ella secoda coloa le cifre che appaioo i quella posizioe: 9
Posizioe Cifre 1 013456789 034556777 3 03334568 4 03455679 5 445677889 Abbiamo evideziato i rosso le cifre che appaioo i due combiazioi i quella posizioe e i azzurro quelle che appaioo i tre combiazioi. Cosideriamo le cifre al posto giusto che soo i tutto. I prima posizioe ce è ua sola (perché i prima posizioe ci soo ua volta tutte le cifre da 0 a 9). Allora ci sarà almeo ua cifra che compare tre volte ella stessa posizioe. Possoo essere il 7 i secoda posizioe o il 3 i terza posizioe. Ua soluzioe -73-- (co u trattio idichiamo cifre acora icogite) o è possibile, altrimeti ella terza combiazioe ci sarebbero due cifre corrette. Poiché ua sola cifra appare tre volte ella stessa posizioe, delle altre sette al posto giusto e apparirà ua sola i prima posizioe e le altre due volte elle restati tre posizioi rimaeti. Se abbiamo 3 i terza posizioe, allora i secoda posizioe ci sarà il 5 (l uica che appare due volte i tale posizioe), ma ua soluzioe -53-- o è possibile a causa della quita combiazioe. Allora avremo 7 i secoda posizioe e i terza posizioe ( è l uica cifra che appare due volte i terza posizioe), quidi -7--. I quarta posizioe o può esserci 5 a causa della terza combiazioe, quidi avremo -7-. I ultima posizioe o possoo esserci 4 (per la prima combiazioe) oppure 7 (per la sesta combiazioe), quidi avremo -78. A questo puto provado le combiazioi solo la quita risulta compatibile, quidi la combiazioe fiale sarà 478. Risposta 47 Problema 13 I umeri di Sophie Germai 50 puti Sophie Germai (1776-1831) fu ua doa che si iamorò della matematica dopo aver letto le opere di Archimede. Utilizzò per diversi ai uo pseudoimo maschile perché ai suoi tempi le doe erao escluse dagli ambieti accademici. U umero primo p si dice di Sophie Germai se ache p+1 è primo (ad esempio, 3, 5, 11). Sia S la somma dei primi 013 umeri primi (perdoate il gioco di parole!) di Sophie Germai. Quato vale il resto della divisioe di S per 6? Soluzioe: Ogi umero primo p > 3 è cogruo a 1 oppure a 5 modulo 6, quidi è della forma 6k + 1 oppure 6k + 5. U primo di Germai maggiore di 3 è però ecessariamete cogruo a 5 modulo 6. Ifatti, se p fosse primo e p 6k + 1, allora p + 1 1k + 3 sarebbe divisibile per 3 e duque o sarebbe primo (qui k > 0), o rispettado la defiizioe di primo di Germai. Quidi, a parte e 3, tutti i successivi primi di Germai sarao cogrui a 5 modulo 6. Allora S + 3 + 011*5 + 3 + 1*5 4 (mod 6). Risposta: 0004 Osservazioe: o è oto se i umeri di Sophie Germai siao fiiti od ifiiti (è ua cogettura); tuttavia si sa che essi soo più di 013.
Problema 14 Ua coppia modera 55 puti I ua coppia modera Aa va a lavorare tutti i giori i treo metre Marco rimae a casa a badare alle faccede domestiche. Aa arriva alla stazioe tutte le sere alle ore 18:00. Marco parte i auto da casa per adare a prederla alla stazioe tutti i giori alla stessa ora i modo da arrivare i stazioe al mometo esatto dell arrivo di Aa, dopodiché torao i auto a casa. Oggi Aa ha termiato prima di lavorare ed è riuscita a predere il treo precedete. Arrivata i stazioe si dirige a piedi verso casa metre Marco igaro di tutto parte alla solita ora i auto. Si icotrao lugo la strada e ritorao a casa i auto arrivado 8 miuti prima del solito. Suppoedo che l auto viaggi sempre alla stessa velocità, che Aa cammii a velocità costate pari ad 1/ della velocità dell auto e che quado si icotrao ripartao immediatamete i auto, a che ora è arrivato oggi il treo su cui viaggiava Aa? Forire la risposta idicado le ore e i miuti, ad esempio se il treo arrivasse alle 17:48 il risultato da riportare sarebbe 1748. Soluzioe: Sia v P la velocità a piedi, v A la velocità dell auto, x l aticipo del treo e y lo spazio percorso a piedi. Il tempo impiegato da Aa per percorrere a piedi il tratto y è x y/v A (l aticipo del treo meo il tempo che maca all auto per giugere alla stazioe quado si icotrao), da cui v y x y. v P xvp Risolvedo rispetto ad y si ottiee y. L aticipo co cui arrivao a casa è y/v A (il tempo + vp 1 va che l auto avrebbe impiegato per adare dal puto d icotro fra Aa e Marco alla stazioe e uovamete dalla stazioe al puto d icotro). Sostituedo l espressioe per y trovata i precedeza e ricordado che il rapporto fra le velocità è pari a 1/ si ottiee che l aticipo co cui arrivao è: vp x 1 x y va x x. v A vp + 1 5 11 11 1 + 1 v A Misurado il tempo i miuti si ottiee allora x/11 8 da cui x 44. Il treo arriva allora 44 miuti prima delle 18:00, ossia alle ore 17:16. Risposta: 1716 A Problema 15 Spidercam 55 puti U campo da teis di dimesioi 4 m µ 11 m è ripreso da ua telecamera appesa a 4 fili tesi che vao dalla telecamera alla cima di 4 pali alti m e posti ai 4 agoli del campo. U operatore può spostare la telecamera i u puto qualsiasi del campo e ad ua altezza qualsiasi (compresa tra 0 m e m) agedo su u joystick che cotrolla la lughezza dei fili. Qual è la massima somma delle lughezze dei 4 fili i metri (qui itediamo per lughezza di u filo il tratto di filo dalla telecamera alla cima del palo)? 11
Soluzioe: Il problema si può modellizzare così: data ua piramide a base rettagolare di dimesioi 4 µ ed ua altezza h, suppoedo che la proiezioe del vertice sul piao di base o sia estero al rettagolo di base, trovare la massima somma della lughezza degli spigoli. E iazitutto chiaro che h deve essere uguale a ; ifatti se h < prededo la piramide avete h ed avete il vertice co la stessa proiezioe sulla base otterrei 4 spigoli ciascuo maggiore dello spigolo corrispodete. Voglio mostrare che il massimo si ottiee quado il vertice della piramide si trova sulla verticale di uo dei vertici del rettagolo. Per questo usiamo u piccolo lemma: dato u rettagolo ABCD (vedi figura) co u puto E su CD, allora AE + BE è massimo quado E coicide co D (o co C). Cosideriamo ifatti il caso i cui E o coicida co C é co D e che sia ad es. DE EC. Rappresetiamo il simmetrico del rettagolo rispetto a CD. Allora si ha che AE + EB A E + EB < A D + BD AD + BD. Questa disuguagliaza si può dimostrare cosiderado il quadrilatero A EBD: l agolo A' ÊB è maggiore o uguale ad u agolo piatto (vedi figura) e la sua bisettrice icotri BD i F. Allora A E + EB < A F + FB < A D + DF + FB A D + BD perché i u triagolo ad agolo maggiore si oppoe lato maggiore e per la disuguagliaza triagolare. Aalogamete se DE > EC. Cosideriamo ora il parallelepipedo rettagolo avete la stessa base della piramide e la stessa altezza. Applicado ua prima volta il lemma al rettagolo avete u lato coicidete co u lato di base del parallelepipedo e il lato parallelo passate per il vertice della piramide, segue che il massimo si ottiee quado il vertice appartiee al perimetro della base superiore del parallelepipedo. Applicado acora ua volta il lemma co u rettagolo avete u lato coicidete co u lato di base del parallelepipedo e il lato parallelo sullo spigolo opposto della base superiore del parallelepipedo segue che il vertice della piramide deve coicidere co u vertice della base superiore del parallelepipedo. Premesso questo possiamo sommare i 4 spigoli della piramide otteedo + 4 + + 11 + + 4 + 11 + 36 + 1 + 797 79,097... Risposta: 0079 1
Problema 16 Numero astroomico 55 puti Quali soo rispettivamete la prima, la duemilaquattordicesima, la duemilavetesima e la seimilatretesima cifra a partire da destra del umero: Naturalmete i scrittura decimale. Soluzioe: 013 ( ) 3? Sfruttado lo sviluppo del cubo di biomio si ottiee: 3 6039 406 013 6039 013 ( ) ( ) ( ) 013 + + + 406 6 1 8 1 6 A livello di scrittura decimale si ha: pertato e quidi, i defiitiva, 6039 00...000 1443, 6039 cifre 406 6 6000...000 1443, 406 cifre 013 1 00...000 1443, 013 cifre 6039 013 + 1 00...00000...000 1443 1443 404 cifre 013 406 6 + 8 6000...0008 1443, 6039 013 406 ( 1 ) ( 6 + 8) 999...9994000...00011999...999 + 14431443 1443. 405 01 cifre cifre 011 Perciò la prima cifra da destra è u, la 014 a è u 1, la 00 a è uo 0 e la 6030 a è u 9. Risposta 9 cifre cifre 01 cifre 8. Problema 17 L ascesore 55 puti L ascesore di u palazzo ferma ad 11 piai (il piao terra più i piai da 1 a ). Al piao terra salgoo persoe, ogua delle quali va, idipedetemete dalle altre, ad u piao compreso tra 1 e co ugual probabilità. Se o vi soo passeggeri che attedoo l ascesore ai piai superiori, quale è il umero medio di fermate dell ascesore? Detto F questo valore, forire come risposta la parte itera di 00 F. 13
Soluzioe 1: Per i { 1,,..., } sia X i 1 se l ascesore ferma al piao i e zero altrimeti. Il valore E[X i] è uguale alla probabilità che l ascesore fermi al piao i, quidi E[X i] 1 (9/) i, ossia 1 meo la probabilità che essuo sceda al piao i. Il umero di fermate dell ascesore è i 1 E[ [ ( ) ] X ] 1 9 / 6,51315599. i Soluzioe : Numeriamo i passeggeri da 1 a. Per { } 1,,..., i sia Xi uguale a 0 se il passeggero i va ad u piao uguale a quello di u passeggero j < i, ed uguale ad 1 altrimeti. Ovviamete X 11. Il umero di piai a cui ferma l ascesore è allora 1 + X + X3 + + X. Pertato il umero medio di fermate sarà E[1 + X + X 3 + + X ] 1 + E[X ] + + E[X ]. Ma E[X i] è uguale alla probabilità che il passeggero i o vada ad u piao uguale a quello dei precedeti i - 1 passeggeri, quidi uguale a (9/) i - 1. Perciò il umero medio di fermate è 1+ 9 + 9 +... + 9 9 9 1 9 1 1 9 6,51315599. Risposta: 6513 Problema 18 Calcolo eigmatico 60 puti + : A sego uguale corrispode cifra uguale (e a sego diverso cifra diversa). Quale umero corrispode alla striga? Soluzioe: Sostituiamo lettere ai simboli i questo modo: 14
A, B, C, D, E, F, G, H, L Otteiamo così: ABB C ADE + ADF BG GCH FBC : BBL L Dalla somma (verticale) si deduce D 0 oppure D 9, ma dalla prima sottrazioe(orizzotale) si ricava B > D e quidi D 0. Si ha pure F A e A 4. Dalla prima sottrazioe (orizzotale) si ricava quidi C + E BB 11 (e o altri risultati essedo C + E < 18), cioè B 1. Coseguetemete si ha C F + 1. Dalla divisioe (orizzotale i basso) si ottiee poi L 0, 1, 5, 6 (poiché il quadrato di queste quatità dà u umero che termia co la stessa cifra, s iteda: 1 1 1, 5 5 5, 6 6 36 e lo zero è comuque da escludere), oché F L + 1 8 a causa del riporto geerato da L B, voledo eseguire la prova della divisioe stessa. Poiché F è pari, L è dispari co L 7. Si deduce allora che L vale 3 oppure 7. I etrambi i casi dovrà essere C 9, ifatti (dalla moltiplicazioe e dall ultima sottrazioe i verticale) si ha G < A F/, G 3; il prodotto G C deve dare u umero di due cifre, la prima delle quali tale da essere u riporto adeguato a formare il umero 11, cioè BB, ella somma co C 1 e ciò si ottiee solo poedo apputo C 9 e G 3. Quidi L 7. Di cosegueza si ha: F 8, A 4. Immediatamete, eseguedo la prima sottrazioe (orizzotale i alto) e poi l ultima sottrazioe (verticale a destra, oppure la secoda orizzotale), scopriamo che è E e H 5. Soluzioe uica. La striga richiesta sarà FLCA 8794. Risposta 8794 Problema 19 Il poligoo di Archimede 80 puti Sia l la lughezza del lato di u poligoo regolare di 96 lati iscritto i ua circofereza di raggio 1. Il umero ((( l ) ) ) può essere scritto come la somma di due radicali quadratici a + b co a < b ed etrambi umeri aturali. Forire il risultato come u umero di 4 cifre i cui le prime due soo le cifre di a e le ultime due le cifre di b (ad esempio per 3 + 5 scrivere 0305, per + 41 scrivere 041, per 11 + 13 scrivere 1113). Soluzioe: Siao l ed l le lughezze dei lati del poligoo regolare di e lati iscritti i ua circofereza di raggio 1. Cosiderado la figura seguete (Fig. 1) si può provare che 4 l l. 15
Fig. 1 Ifatti, applicado il teorema del coseo ai due triagoli AOB e AOC, i cui si itede AC l, si ottiee: AB l e l π π 1+ 1 cos cos, π π 1+ 1 cos cos. l π Dalla prima delle due relazioi si può ricavare cos l, da cui, grazie alla formula di bisezioe relativa al coseo (e ricordado che per > il coseo di π/ è positivo), si ottiee il risultato cercato: l π π 1+ cos cos cos l 4 l + π +. U altro modo, acora per via trigoometrica, per arrivare a questa coclusioe è di otare che, π sempre i riferimeto alla figura 1, l l si (come pure si avrebbe l ). π cos Quidi π 1 π cos si π π l l cos 1 si 1 4 l 4. U terzo modo per provare la formuletta seza far ricorso alla trigoometria è il seguete. Dalla figura, applicado il teorema di Pitagora, otteiamo: OD 1 l. 16
Fig. EC CD EC 1 OD l 1 1 4 l. 4 Per il primo teorema di Euclide: ( ) AC Prededo la radice quadrata si ha la tesi. Siccome l 6 1 (il lato dell esagoo regolare è uguale al raggio della circofereza circoscritta), applicado ricorsivamete la formula trovata i precedeza, si ottiee l + + 3. 96 + Il umero richiesto dal problema è allora uguale a + 3 + 6. Risposta: 006 Problema 0 Il gagà 90 puti Per Carlo essere alla moda è idispesabile tato che, per seguire le uove tedeze, si è comprato addirittura tre vestiti. No ha badato a spese e ha pagato complessivamete 1991 Euro. Qual era il prezzo del secodo vestito, sapedo che quello del terzo era il doppio di quello del primo e che per scrivere i tre prezzi i questioe (tutti umeri iteri di Euro) si usao ove cifre diverse tra loro? Poiché il problema ammette più di ua soluzioe, dare come risposta la somma dei prezzi del secodo vestito.. Soluzioe: Siao x, y, z ell ordie i prezzi i Euro dei tre vestiti. Poiché la somma dei prezzi è 1991, si deduce che al massimo u solo prezzo può raggiugere le 4 cifre, ifatti è 1991 < 000. Cosideriamo ora le cifre delle uità (prima cifra a destra) dei tre prezzi. La loro somma deve dare 11 oppure 1, cioè termiare co 1. I casi possibili co cifre tutte diverse fra loro soo idicati elle segueti tere: a) Somma 11: (1,,8), (1,4,6), (1,3,7), (,3,6), (,4,5), (0,,9), (0,3,8), (0,4,7), (0,5,6). Di queste, teedo coto che z x (*), soo papabili solo (1,8,), (3,,6), (6,3,), (,5,4), (7,0,4), (5,6,0), le quali hao l ordie dettato dall ultima cosiderazioe fatta. Testiamole, cosiderado che la somma delle decie (col riporto) deve dare 9 o 19. La prima ci lascia scegliere fra 0,3,4,5,6,7,9 (co ua da escludere). Qui il riporto è 1, quidi serve ua tera che dia somma 8 o 18. L uica possibile, per la somma 8, è (0,3,5). Per le cetiaia restao quidi le cifre 4,6,7,9 (meo ua). No essedoci più riporti, per otteere 19 (ove cetiaia ed u migliaio) o resta che scegliere (4,6,9). Sempre per la (*), le tere avrao quest ordie: 17
uità: (1,8,), decie (5,3,0), cetiaia (4,6,9). Da cui : x 451, y 638, z 90, umeri che soddisfao la richiesta. Per la somma 18 la ostra tera (1,8,) richiede per le decie (3,9,6) o (5,6,7) oppure (4,5,9), di cui le ultime due o soddisfao la (*), metre (3,9,6) idica per le cetiaia ua scelta di tre fra 0,4,5,7: o è possibile soddisfare la (*). La secoda tera ci lascia scegliere fra 0,1,4,5,7,8,9 (co ua da escludere). Come sopra dobbiamo comporre somma 8. L uica tera è (0,1,7), applicado la quale però o si riesce a soddisfare la solita codizioe (*). Proviamo co somma 18. Otteiamo (4,5,9), che o soddisfa la (*) o (9,1,8), la quale ci fa scegliere, per le cetiaia, fra 0,4,5,7: o si riesce a trovare ua tera cogrua. La terza ci lascia scegliere fra 0,1,4,5,7,8,9 ( ). Ache i questo caso per le decie ci servirebbe (0,1,7), la quale tera qui potrebbe adar bee, scritta (0,7,1). Per le cetiaia restao 4,5,8,9 ( ): scegliamo (4,5,8). Testiamo quidi i tre umeri x 406, y 573, z 81, i quali, pur soddisfacedo la (*), o dao come somma 1991 come richiesto. Oppure (somma 18) per le decie servirebbe (1,9,8) o (4,5,9), di cui la prima o soddisfa la (*) e la secoda richiama 0,1,7,8, da cui o si costruiscoo tere cogrue. La quarta ci fa scegliere fra 0,1,3,6,7,8,9 ( ). Tera coseguete (0,1,7), vedi sopra; oppure (3,7,8), (6,9,3), (9,1,8), di cui la prima fallisce, la secoda ci porta a scegliere fra 0,1,7,8 seza possibilità di soddisfare la (*) e la terza, co scelta fra 0,3,6,7, ci fa trovare la tera (3,6,7). Testiamo quidi i tre umeri x 39, y 615, z 784, i quali, pur soddisfacedo la (*), o dao come somma 1991 come richiesto. La quita ci fa scegliere fra 1,,3,5,6,8,9 ( ). Tera coseguete (1,,5) per somma 8: vedi sopra. Oppure (1,8,9), (6,9,3), di cui la prima o è fruttifera; la secoda fa scegliere fra 1,,5,8 otteedo la tera fiale (,8,5). Testiamo quidi i tre umeri x 67, y 890, z 534, i quali, pur soddisfacedo la (*), o dao come somma 1991 come richiesto. La sesta ci fa scegliere fra 1,,3,4,7,8,9 ( ). Tera coseguete (1,3,4), la quale qui potrebbe adar bee, scritta (1,4,3). Per le cetiaia restao,7,8,9 ( ), coi quali umeri, però, o si può soddisfare la solita relazioe. Oppure, per somma 18, scegliamo (1,8,9), (,7,9), (3,7,8) ma tutte iefficaci per la (*). b) Somma 1: (4,9,8), (5,7,9), (8,7,6), (9,4,8) già co l ordie dettato dalla solita richiesta. La secoda tera però o va bee, restao (4,9,8), (8,7,6) e (9,4,8). Testiamole, cosiderado che la somma delle decie (essedoci u riporto di ) deve dare 7 o 17. La prima ci fa scegliere su 0,1,,3,5,6,7 ( ). Papabili: (0,1,6), (0,,5). Di queste fuzioa bee solo la secoda, ordiata come (5,,0), per il solito discorso. Per le cetiaia restao 1,3,6,7 ( ). Se vogliamo otteere 19 (vedi sopra) dobbiamo predere ecessariamete il 6 ed il 3 per le cetiaia e 1 per il migliaio. Co ovvie cosiderazioi si trova quidi: x 654, y 9, z 1308. La secoda possibilità ci fa scegliere su 0,1,,3,4,5,9 ( ). Papabili (0,,5), (0,3,4), (1,,4), (3,9,5). Di queste fuzioa bee solo la prima, ordiata come (,0,5), per il solito discorso. Per le cetiaia restao 1,3,4,9 ( ). No c è verso di otteere 9 come cetiaia del risultato. La terza possibilità, come la prima, ci fa scegliere su 0,1,,3,5,6,7 ( ) otteedo (0,6,1), (,0,5). Di queste la prima ci lascia,3,5,7, da cui o si reperiscoo cetiaia valide. L altra tera richiama 1,3,6,7, da cui otteiamo (3,7,6). Testiamo quidi i tre umeri x 39, y 704, z 658, i quali, pur soddisfacedo la (*), o totalizzao la somma di 1991 come ivece richiesto. I coclusioe il problema ammette le due soluzioi y1 638, y 9, la cui somma dà 667. Risposta 0667 18