PRROBABILITÀ SCHEDA N. 4 LA LEGGE EMPIRICA DEL CASO, LA LEGGE DEI GRANDI NUMERI E IL TEOREMA CENTRALE DEL LIMITE Ovvero: ci si può fidare dell esperieza per stimare probabilità? La legge empirica del caso Suppoi di essere ivitato a giocare a testa o croce co ua moeta da ua persoa. Suppoiamo che tu scelga di putare su testa ; se esce testa l altro giocatore ti paga ua somma ; se esce croce tu gli paghi ua somma s. s1 Quado il gioco è equo? Quado il valore atteso della vicita (o della perdita) è ullo. Se la moeta è equilibrata il valore atteso della vicita è: 1 1 s s 1 Il gioco è equo se 1 1 s1 s = 0, ossia se s1 = s. I geerale, se idichiamo co p la probabilità che esca testa, la variabile aleatoria che idica quato si itasca, ha la distribuzioe idicata ella seguete tabella: somma itascata probabilità esce testa s 1 p esce croce - s 1-p Quidi il suo valore atteso è: sp s (1 p) 1 Se la persoa che ti ha ivitato a giocare propoe di pagarti 3s el caso i cui esca testa e che tu paghi 5 s el caso i cui esca croce, allora, affiché il gioco sia equo, la probabilità di otteere testa o può essere uguale a quella di otteere croce. Quato dovrebbe essere? Semplice, basta impostare l equazioe 3sp 5 s(1 p) = 0 Eseguedo i calcoli si ottiee: 8ps 5s = 0 5 da cui: p = 8 I questo caso, affiché il gioco sia equo, la probabilità dell eveto esce testa dovrebbe essere 5 8, metre la probabilità dell eveto esce croce dovrebbe essere 3 8. Per decidere se accettare o o accettare l ivito a giocare bisogerebbe avere ua buoa valutazioe della probabilità di uscita di testa e accettare di giocare se tale valutazioe è 5 (i tal caso il gioco sarebbe equo) oppure maggiore (i tal caso il gioco sarebbe 8 vataggioso per te). Nella scheda successiva vedremo co più precisioe che cosa vuol dire dare ua valutazioe, ovvero stimare ua probabilità.
L abbiamo fatta tato luga, ma se l ivito ti fosse realmete stato proposto e se avessi avuto voglia di giocare, probabilmete avresti chiesto la possibilità di provare la moeta, ossia di effettuare qualche lacio. Laciarla u cogruo umero di volte e teere coto della frequeza degli esiti è u buo modo di valutare la probabilità di otteere testa. Lo sappiamo dall esperieza; ce lo suggeriscoo cosiderazioi sesate e ituitive. I sostaza costatiamo, o semplicemete ci fidiamo del fatto che, ripetedo più volte u esperimeto, elle stesse codizioi, la frequeza relativa di u eveto che riguarda quell esperimeto è ua sesata valutazioe della probabilità dell eveto stesso. La valutazioe è tato più affidabile quato maggiore è il umero di prove e tede alla probabilità per il umero di prove che tede all ifiito (purché tali prove siao fra loro idipedeti). A questa "legge", la cui validità è rilevabile sperimetalmete, si è attribuito il ome di "legge empirica del caso". Nel lacio di ua moeta a due facce o truccata, la frequeza relativa, all aumetare del umero di laci tede a 0,5 (ricorda che o è assolutamete detto che il umero t delle teste teda a essere uguale al umero c delle croci! Perché? È la frequeza relativa dell eveto esce testa che tede a essere uguale alla frequeza relativa dell eveto esce croce ). La legge dei gradi umeri Si legge i alcui testi che la "legge empirica del caso" è ache ota col ome di "legge dei gradi umeri". Questa affermazioe o è corretta, perché, i realtà, si tratta di due euciati cocettualmete molto diversi. Ifatti, la "legge dei gradi umeri", detta ache "Teorema di Beroulli", è, apputo, u teorema (e come tale, è ua proposizioe dimostrabile i ua teoria). La legge empirica del caso è ivece u affermazioe che sitetizza ua regolarità osservabile sperimetalmete. Per compredere la legge dei gradi umeri occorroo ozioi avazate della teoria delle probabilità. Tra l altro soo ote e usate formulazioi differeti della legge dei gradi umeri, che si collocao a diversi gradi di geeralità. Noi e presetiamo ua e lasciamo a evetuali studi futuri il compito di approfodire la trattazioe. Cosideriamo ua successioe di variabili casuali X 1, X,..., X idipedeti e ideticamete distribuite co media μ. Cosideriamo ora la variabile casuale X che si ottiee facedo X1 + X +... + X la media delle variabili date : X =. Dalle proprietà della media e della variaza si ha che X ha valore atteso μ e variaza σ /. Ifatti, co calcoli aaloghi a quato abbiamo già visto per la variabile aleatoria biomiale, si ha: 1 1 1 1 E ( X ) = E Xi E ( Xi) = = μ = μ = μ i = 1 i = 1 i = 1 1 1 1 1 1 σ Var ( X) = Var Xi Var X Var i ( Xi) = i 1 = = σ = σ = = i = 1 i = 1 i = 1 std ( X ) = σ
Possiamo stadardizzare la variabile aleatoria atteso 0 e variaza 1. Osserviamo che X e otteere la variabile X + + X μ = 1 Y σ Y X μ σ / = co valore Per capire di che cosa stiamo parlado, prima di euciare la legge dei gradi umeri, facciamo due esempi. Esempio 1. Cosideriamo l esperimeto del lacio di dadi idetici a sei facce. La fuzioe che associa, a ogi faccia dell i-esimo dado (1 i ) u umero dell isieme {1,,3,4,5,6} è ua variabile casuale che chiamiamo X i (1 i ) e idica il puteggio otteuto el lacio. Ioltre cosideriamo la variabile casuale S che corrispode alla somma dei puteggi otteuti egli laci e che, quidi, assume valori ell isieme umeri aturali compresi tra S e 6. La variabile X è e idica la media dei puteggi otteuti egli laci. Esempio. Suppoiamo di cosiderare, sempre el lacio di u dado, l eveto esce la faccia cotrassegata co 6. I sei possibili esiti a ogi lacio del dado soo descritti da ua variabile casuale X che assume valore 1 se si verifica l eveto esce la faccia cotrassegata co 6 e assume il valore 0 altrimeti. La variabile X ha quidi distribuzioe di Beroulli. Se eseguo laci ho variabili casuali idipedeti e ideticamete distribuite (assumoo sempre il valore 0 o 1 a secoda che o si verifichi o si verifichi l eveto esce il 6 ), X 1, X,..., X co stessa media (visto che soo variabili uguali!). I tal caso X1 + X +... + X X = idica la frequeza relativa dell eveto esce la faccia cotrassegata co 6. La legge dei gradi umeri dice che: Se la umerosità delle prove tede all ifiito la probabilità che X assuma valori al di fuori dell itervallo ( μ - δ, μ + δ) tede a 0, qualuque sia la semiampiezza δ dell itervallo. I formula ( ) lim P X μ > δ = 0. + Il che equivale a dire che se tede a ifiito la probabilità che la media campioaria coverga alla media comue delle X i è uguale a 1, ossia che per ogi δ >0, lim P( X μ < δ) = 1 + _ Iterpretiamo la legge dei gradi umeri el caso del primo esempio. All aumetare del umero dei dadi, cresce la probabilità che la media dei puteggi otteuti laciado gli dadi, sia ua buoa valutazioe del valore atteso μ di ciascua variabile X i (ota che, se i dadi o soo truccati, si ha μ = 3,5). La legge dei gradi umeri specifica che se il umero di dadi cosiderati tede a ifiito, allora è uguale a 1 la probabilità che lo scarto assoluto tra la variabile aleatoria media campioaria e il valore atteso μ sia miore di u qualuque umero reale δ, piccolo a piacere (il che equivale a
dire che, per che tede a ifiito, è uguale a 1 la probabilità che la media campioaria sia uguale al valore atteso μ ). Iterpretiamo la legge dei gradi umeri el caso del secodo esempio. I questo caso abbiamo u eveto ( esce il sei el lacio di u dado) che immagiiamo abbia probabilità scoosciuta p (scoosciuta perché il dado potrebbe essere truccato, o semplicemete difettoso: o possiamo saperlo i aticipo). Eseguedo laci cosecutivi otteiamo ua valutazioe della probabilità di fare sei co quel dado, data da X1 + X +... + X X = dove le X i della somma soo le variabili casuali che descrivoo l'esito dei laci e valgoo 1 se i quel lacio è uscito il sei, metre valgoo 0 se è uscito u altro umero. La legge dei gradi umeri afferma che, tate più prove usiamo per calcolare la valutazioe, tato più questa sarà vicia, probabilmete, alla probabilità reale dell'eveto p. Se la valutazioe che calcoleremo sarà molto vicia a 1/6, che è la probabilità teorica che esca il sei per u dado perfettamete equilibrato, potremo essere ragioevolmete certi che il dado i questioe o è polarizzato per il sei (per essere ragioevolmete sicuri che il dado o sia truccato i essu modo dovremmo ripetere il test ache per gli altri cique umeri). Che cosa sigifichi ragioevolmete sicuri dipede da quato vogliamo essere precisi el ostro test: co dieci prove avremmo ua valutazioe grossolaa, co ceto e otterremmo ua molto più precisa, co mille acora di più e così via: il valore di che siamo disposti ad accettare come sufficiete sarà oggetto di future trattazioi. Attezioe, però: laciado u dado vero molte volte, questo può deformarsi e o mateere costate la probabilità di uscita di ua faccia. Questo è successo realmete quado u matematico ha voluto effettivamete verificare quello che succedeva co u umero molto alto di laci!!! Come è possibile otare, la legge dei gradi umeri ha u euciato più complesso e meo vago di quello della legge empirica del caso; soprattutto, è u teorema, ossia può essere dimostrato i ua teoria (quella del calcolo delle probabilità). La sua portata cooscitiva è quidi molto maggiore di quella della legge empirica del caso e ci si può aspettare che coduca a sviluppi più sigificativi rispetto alle applicazioi cosetite dalla legge empirica del caso. Il fatto di accotetarsi della legge empirica del caso o, ivece, di apprezzare la prospettiva che dà la legge dei gradi umeri è u iteressate idice della ostra miore o maggiore propesioe a ua visioe matematica della realtà. Matematizzare vuol dire descrivere feomei e situazioi utilizzado u liguaggio particolare, fatto di simboli e formule, che hao sicuramete qualche referete cocreto, ma che spesso cosetoo di vedere il cocreto co uovi occhi, da diverse prospettive e che per questo, spesso, offroo iterpretazioi iattese e aproo uove strade alla coosceza. Si pesi, per esempio, al liguaggio delle variabili casuali.
I fodo quado eseguiamo 3 laci di ua moeta o truccata, potremmo accotetarci di cosiderare solamete gli esiti, ossia ua lista di tre umeri corrispodeti agli esiti. Ivece, i matematici pesao, a ogi lacio, a ua variabile casuale, ossia a ua fuzioe che associa, per esempio, all uscita di testa il umero 1 e all uscita di croce il umero 0; pesao a quella lista di 3 umeri come a ua realizzazioe fra le 3 possibili realizzazioi, ossia come a u elemeto del prodotto cartesiao {0,1}x{0,1}x{0,1} (qui a fiaco visualizzato). Tutto ciò sigifica solo redere iutilmete complicate cose semplici? Vuol dire igegarsi a oscurare i sigificati? Oppure vuol dire offrire uovi occhi per osservare i feomei, per poteziare la ostra capacità di osservare gli oggetti di studio? La risposta può costituire u idice sigificativo per valutare la ostra evetuale viciaza o lotaaza dalla matematica e dal modo co cui, attraverso essa, possiamo vedere i feomei. Il teorema cetrale del limite o il teorema del limite cetrale Co questo ome vegoo presetati diversi euciati che riguardao la covergeza di somme di variabili aleatorie idipedeti alla distribuzioe ormale. Metre la legge dei gradi umeri precisa che la media campioaria dà iformazioi su come valutare la media di ua popolazioe, il teorema del limite cetrale dà iformazioi sulla forma della distribuzioe di somme di variabili aleatorie idipedeti. Questo teorema fu euciato per la prima volta da Laplace el 181, ma solo itoro agli ai treta del Noveceto fu defiitivamete sistemato da Berstei e poi da Feller. Il teorema, elle diverse formulazioi e geeralizzazioi ha u ruolo importate, sia dal puto di vista teorico, sia, acora di più, elle applicazioi. Molti dei pricipali metodi utilizzati ell ifereza statistica si basao su questo teorema (che è detto cetrale proprio per tale motivo). Il teorema afferma che se si hao variabili aleatorie idipedeti X 1, X,..., X, co stessa media μ e stessa variaza σ, allora la successioe di variabili aleatorie X μ _ 1 Z =, co X = σ X i, tede ad avere ua distribuzioe ormale di media 0 e i = 1 variaza 1 ( tede sigifica che, all aumetare di, la distribuzioe di Z tede ad assomigliare sempre più a ua gaussiaa stadard). Ua formulazioe più precisa del teorema è la seguete. La fuzioe di distribuzioe cumulata di Z, calcolata i ogi puto t, cioè F () t, quado tede all ifiito, tede alla fuzioe di distribuzioe cumulata di Z calcolata i t, cioè FZ () t, co Z variabile aleatoria ormale stadardizzata. I formula: t, lim F ( t) = F ( t ) ( Z ) Z Z
Il teorema cetrale, come già detto, è u risultato teorico e cotiee, el suo euciato u limite per che tede a ifiito; ha però u risvolto operativo che si può sitetizzare i questo modo. Qualuque sia la distribuzioe di ua variabile aletoria X, la fuzioe di distribuzioe cumulata di X si può approssimare co quella di ua variabile aleatoria di distribuzioe ormale (co stessa media e variaza di X ) e tale approssimazioe è tato migliore quato più grade è. Vediamo due esempi allo scopo di chiarire quato è stato detto. Esempio 4. Cosideriamo i soliti dadi o truccati. I possibili esiti di ciascuo di essi soo modellizzati da ua variabile aleatoria X che assume valori sull isieme {1,,3,4,5,6} e che ha ua distribuzioe uiforme (P(1)=P()=P/3)=P(4)=P(5)=P(6) = 1/6), quidi be lotaa da quella ormale. Ritoriamo al sigificato del teorema del limite cetrale: esso assicura che la forma della distribuzioe di X, X, X 4,..., X tede ad assumere sempre più la forma di ua gaussiaa ma mao che si procede ei termii della successioe (ossia ma mao che aumeta ) basta che le variabili X i siao idipedeti, co stessa variaza e media, ache se ciascua di essa (come el caso dei laci di u dado) ha ua distribuzioe molto diversa dalla curva ormale. Ebbee, sappiamo che c è ua dimostrazioe di tale teorema, ma che o è per ulla semplice e al di fuori della portata di studeti di ua scuola secodaria. Possiamo però dare ua visualizzazioe del teorema i u cotesto i cui siamo i grado di fare direttamete i coti. Cosideriamo il lacio di 1,, 3, 4,, dadi, possiamo calcolare (co molta pazieza) la distribuzioe teorica delle variabili aleatorie X 1, X, X 3,..., X co X1 = X 1, X X + X, X3 = 1 X + X + X 3., = 1 1 X = Xi. i = 1 Osserviamo che la distribuzioe di X 1 è uiforme, la fuzioe di desità di probabilità è piatta ; la desità di probabilità della media di due uiformi idipedeti ha forma triagolare ;, all aumetare di, la media di variabili aleatorie uiformi assume sempre più ua forma a campaa, tipica della distribuzioe ormale. Riportiamo di seguito i grafici delle desità della somma di dei puteggi otteuti el lacio di dadi, per alcui valori di.
Esempio 5. Cosideriamo ua variabile aleatoria X co fuzioe di desità di probabilità e fuzioe di distribuzioe cumulata rappresetate ei grafici a fiaco, molto lotae dalla forma delle corrispodeti fuzioi di ua variabile aleatoria co distribuzioe ormale (i questo caso o vi soo emmeo simmetrie, come ivece si avevao el caso dell esempio precedete). La variabile aleatoria che abbiamo cosiderato si chiama variabile aleatoria espoeziale di parametro 1 e i matematici sao calcolare le formule delle fuzioi di desità di probabilità e di di distribuzioe cumulata per X. Si possoo quidi cofrotare tali fuzioi esatte co quelle di ua ormale co stessa media e stessa variaza. I grafici a liea cotiua si riferiscoo alla distribuzioe della variabile aleatoria espoeziale e quelli a liea tratteggiata alla distribuzioe ormale corrispodete. La tedeza alla ormalità di X, si ha già per valori di relativamete piccoli.
Il teorema cetrale giustifica i parte la popolarità del modello gaussiao ella descrizioe di molti feomei. U esempio tipico è quello legato agli errori di misura i fisica, dovuti a varie cause, fra cui l imprecisioe dello strumeto utilizzato e la possibilità che l idividuo commetta errori. L errore complessivo che si osserva è la somma di molte variabili casuali o direttamete (o difficilmete) cotrollabili. Se, però, gli errori soo casuali e idipedeti gli ui dagli altri, allora si può applicare ache i questo caso (ache el caso i cui, cioè le variabili casuali abbiao diversa distribuzioe) il teorema del limite cetrale e affermare che la somma campioaria ha ua distribuzioe gaussiaa, co tutte le possibili utilizzazioi delle coosceze che abbiamo relativamete a tale distribuzioe. Quello che si rileva è che, ache partedo da distribuzioi molto lotae dalla gaussiaa (come abbiamo visto egli esempi precedeti) e ache i codizioi meo restrittive di quelle da oi euciate el teorema del limite cetrale, la covergeza di Z alla ormale stadard è abbastaza rapida. I geere co > 30 si può essere abbastaza traquilli ell approssimare la distribuzioe di ua somma o ua media di variabili aleatorie co quella di ua variabile aleatoria gaussiaa. ESEMPIO 6: Si deve verificare il buo fuzioameto di ua macchia che produce tubi di acciaio. I codizioi di regolarità della produzioe il diametro è 30 mm e la deviazioe stadard è 4 mm.
Per verificare se la macchia o si sia sregolata si esamia u campioe di 100 pezzi e se la media dei diametri del lotto è maggiore di 31 mm si attua ua mautezioe straordiaria della macchia. È ragioevole questa scelta? Per rispodere dobbiamo sapere qual è la probabilità di otteere ua media dei diametri maggiore di 31 mm, el caso i cui la macchia fuzioi i modo regolare. Modelliamo la misura del diametro del tubo co ua variabile aleatoria X di valore atteso 30 e di deviazioe stadard 4 e cosideriamo la variabile aleatoria media campioaria X 100. Dobbiamo valutare se P ( X 100 > 31) è alta o bassa. Ache se o coosciamo la distribuzioe di X, essedo la umerosità campioaria alta, possiamo applicare il teorema del limite cetrale e quidi approssimare la distribuzioe di X 100 co quella di ua ormale di media 30 e deviazioe stadard 0.4. Abbiamo: std( X ) 4 E ( X 100 ) = E( X) =30 std( X 100 ) = =. 10 Possiamo quidi dire che: X 100 30 31 30 P ( X 100 > 31) = P > P ( Z >.5) = 0.006 co Z N ( 0,1). 0.4 0.4 La probabilità di otteere u valore medio maggiore di 31 mm i codizioi di fuzioameto regolare è molto bassa e quidi si può supporre che la macchia bisogo di ua mautezioe straordiaria, i quato vi soo buoe ragioi per riteere che o stia più fuzioado regolarmete. ESEMPIO 7. Riprediamo l Esempio 1 della scheda 3., che riportiamo qui itegralmete per tua comodità: Il rapporto dei sessi ella specie umaa alla ascita è di 105 femmie su 100 maschi. Qual è la probabilità che i 6 ascite sigole almeo la metà dei eoati siao di sesso femmiile? Come varierebbe la probabilità se si cosiderassero 60 ascite sigole? Sarebbe maggiore o miore della precedete? Cocetriamoci sulla risposta all ultima domada. Idichiamo co S 60 il umero di eoati di sesso femmiile elle 60 prese i esame. Vogliamo calcolare la probabilità che su 60 ascite almeo la metà siao di sesso femmiile, quidi P(S 60 >30). Se utilizzassimo il fatto che S 60 è ua biomiale B(60, 0.51), dovremmo svolgere P(S 60 >30) = P(S 60 =31) + P(S 60 =3) + P(S 60 =60), Questo calcolo richiede o solo u addizioe di 30 addedi, ma, quel che è peggio, il calcolo del valore di ciascuo degli addedi è piuttosto complesso. Abbiamo però a disposizioe il Teorema del limite cetrale, il quale afferma che S 60 (che si può scrivere come somma di 60 variabili aleatorie idipedeti di media 0.51 e variaza 60*0.51*0.49 = 15) si può approssimare co ua ormale. Abbiamo quidi S60 60x0.51 30 60x 0.51 P(S 60 >30)= P > P ( Z > 0.15) = 1-0.44 = 0.56 15 15 Facedo i calcoli direttamete avremmo otteuto 0.51.
Alcue riflessioi sul fidarsi dell esperieza Negli esempi 4 e 5 abbiamo utilizzato le coosceze sulle fuzioi di distribuzioe e di ripartizioe (teoriche) delle variabili casuali cosiderate per verificare l euciato (e ache la sua efficacia, vista la velocità di covergeza alla ormale) del teorema cetrale. I questo caso l esempio cocreto (i casi cosiderati egli esempi 4 e 5) ci è servito per compredere meglio, i u certo seso visualizzadolo, l euciato di u teorema. Naturalmete o abbiamo dimostrato u bel iete: la dimostrazioe del teorema cetrale del limite, come abbiamo già detto è al di fuori della portata di uo studete di scuola secodaria. I qualche modo, però, sappiamo che esiste e, quidi, possiamo cotare sulla correttezza e adeguatezza di questo risultato per applicarlo, seza remore, ella risoluzioe di problemi applicativi. Ma che cosa accade quado il risultato teorico è iaccessibile o per problemi di complessità di calcolo oppure perché o è proprio oto? I questo caso è possibile fidarsi della simulazioe per risolvere u problema, per esempio per risolvere il problema di stimare ua probabilità? Come vedi, la risposta sta, i fodo, ella fiducia che abbiamo ella legge empirica del caso, che o è u risultato della teoria: è irriducibile, ella forma i cui viee espressa, alla teoria e tutto sembra ritorare daccapo. I realtà, se sei riuscito a seguire quato abbiamo cercato di dirti i questa scheda, la legge dei gradi umeri e il teorema cetrale del limite (due risultati teorici) pogoo codizioi be precise ai limiti dell applicazioe della legge empirica del caso. Diciamo che cosetoo di essere più cosapevoli dei limiti e potezialità di tale legge. Riferimeti bibliografici: Rossi, C. (1999), La matematica dell icertezza, Zaichelli, Bologa Sitografia Wikipedia, http://it.wikipedia.org/wiki/legge_dei_gradi_umeri e http://it.wikipedia.org/wiki/teorema_del_limite_cetrale http://www.eco.uisubria.it/vl/vl_it/sample/sample5.html http://xoomer.alice.it/vdepetr/t1/text1.htm