3. Progetto di reti di comuicazioe
66 ROC-00/01 Capitolo 3 3. 1 Alberi di costo miimo e alberi di costo miimo co capacità Come acceato el paragrafo 2.1.2, i questo corso affroteremo solo due aspetti del progetto di reti: la localizzazioe dei odi e il progetto dei caali di comuicazioe. Questo secodo aspetto è molto vasto: i geerale si vuole idividuare quali caali di comuicazioe progettare affiché i caali siao correttamete dimesioati (i portata, capacità, affidabilità e velocità di trasmissioe), permettao il reistradameto dei messaggi i caso di malfuzioameto e il cui costo di istallazioe sia coteuto. Ioltre vegoo teuti i coto ache gli aspetti legati all'autocotrollo sul fuzioameto, alla flessibilità di aggiorameto della rete attraverso l'itroduzioe di tecologie future, al costo di gestioe della rete stessa. Noi affrotiamo il problema più semplice: itercoettere i odi della rete attraverso u albero di copertura, cioè itroducedo il mimio umero di caali di comuicazioe che garatiscao la coettività della rete stessa. La progettazioe fiale della rete avverrà sull'albero di copertura determiato (a guisa di scheletro della rete fiale) aggiugedo ulteriori caali al fie di garatire il fuzioameto a diversi livelli di utilizzo della rete stessa o i caso di guasti o malfuzioameti. Durate il corso di Programmazioe Matematica e el paragrafo 1.4 è stato descritto il problema di determiare u albero di copertura di costo miimo di u grafo o orietato G = (N, A) e soo stati foriti due diversi algoritmi per risolvere tale problema, oltre a elemeti per ua loro implemetazioe efficiete. Foriamo ora diverse formulazioi di Programmazioe Lieare a variabili Itere (i seguito, PLI) del problema dell'albero di copertura di costo miimo. Durate il corso di Programmazioe Matematica abbiamo mostrato ua formulazioe basata sui tagli (qui usiamo la variabile decisioale y ij per selezioare gli archi che formerao l'albero T = (N, A T )): (P) Mi w ij y ij (3.1.1) y ij = -1 y ij 1 (N', N") (N',N") y ij {0,1} (i,j) A. Ache se ridodate el caso w ij > 0, (i,j) A, abbiamo aggiuto il vicolo: y ij = -1. Il problema (3.1.1) è descritto mediate u umero espoeziale di vicoli. Alterativamete si possoo itrodurre ella formulazioe le variabili di flusso x ij, (i,j) A, e i relativi vicoli di flusso tipici del problema dell'albero dei cammii miimi, si veda il paragrafo 1.2.1; si sceglie ua radice r e si itroduce il vettore b = [b i ]: -(-1), se i = r, b i = 1, altrimeti; i vicoli di coservazioe di flusso, Ex = b, garatiscoo che il grafo parziale formato dagli archi aveti flusso positivo è coesso. Si oti che per utilizzare i flussi sul grafo o orietato, lo si dovrà trasformare i u grafo orietato utilizzado due archi co orietameto opposto,
67 ROC-00/01 Capitolo 3 (i,j) e (j,i), per ciascu arco o orietato (i,j); sia le variabili decisioali che quelle di flusso soo defiite sugli archi orietati. Per formulare il problema si deve imporre che il flusso possa essere positivo solo sugli -1 archi selezioati mediate le variabili decisioali y; a tal fie è sufficiete porre per ciascu arco (i,j) le segueti limitazioi: (3.1.2) 0 x ij (-1)y ij ; ifatti, se y ij = 0, il flusso x ij è vicolato al valore 0, metre esso può assumere qualuque valore (che sicuramete o eccede -1) se y ij = 1. La formulazioe è pertato: (P) Mi w ij y ij (3.1.3) y ij = -1 x ji - x ij = b i i N j S(i) 0 x ij (-1)y ij (i,j) A y ij {0,1} (i,j) A. Nel progetto di reti, l'albero ottimo che si vuole idividuare deve rispettare ulteriori vicoli aggiutivi, legati alla tecologia per la costruzioe della rete e alle previsioi di traffico su di essa. A titolo esemplificativo, suppoiamo di dover progettare ua rete locale ad albero di persoal computer da coettere ad u uico server (o cocetratore) che sarà la radice dell'albero; ua specifica progettuale è che ogi caale (i,j) sia utilizzato da o più di u ij persoal per comuicare col server. Abbiamo pertato u limite superiore al valore del flusso lugo l'arco (i,j); ifatti il valore di x ij forisce proprio il umero di persoal che utilizzerao l'arco (i,j) per comuicare co il server. Per adattare la formulazioe (3.1.3) a tale problema, è sufficiete modificare i vicoli di capacità (3.1.2) el seguete modo: 0 x ij u ij y ij. Aalogo è il caso i cui si coosca la quatità media di comuicazioe, ell'uità di tempo, tra il server e ciascu pc e si abbiao delle limitazioi sui caali di trasmissioe sulla quatità globale di comuicazioe ell'uità di tempo. Più formalmete, sia data per ogi odo i r la quatità b i di comuicazioe tra i e r; sia data ioltre per ogi arco (i,j) A la massima quatità di comuicazioe u ij. L'offerta globale del odo sorgete r è data da: b r = b i. i N\{r} I flussi relativi alle offerte e alle domade rappresetao ora le quatità di iformazioe lugo gli archi del grafo. La formulazioe di tale problema è: (P) Mi c ij y ij (3.1.4) y ij = -1 x ji - x ij = b i i N j S(i) 0 x ij u ij y ij (i,j) A y ij {0,1} (i,j) A.
3. 2 Ricerca locale per l'albero di costo miimo co capacità Studiamo ora u problema particolare di capacità; per ogi arco del grafo è defiita ua capacità costate u ij = u che rappreseta il massimo umero di pc che possoo essere collegati a valle di ciascu arco. Ciò serve per costruire ua rete a stella attoro al server r, i cui ciascu caale di comuicazioe icidete i r serva o più di u persoal computer, vedi figura 3.1. r Figura 3.1 - Ua rete locale co capacità Il cocetratore r è collegato mediate dei caali a due livelli gerarchici di switch (pallii eri) e al terzo livello soo collegati i pc. La limitazioe, ad esempio u = 10, può essere posta solo per i caali di primo livello (quelli icideti i r) i quato, se essi soo rispettati, a maggior ragioe soo rispettati per i caali dei livelli successivi. Si oti che il caale di destra viola tale limitazioe i quato ad esso soo collegati 4+5+3 = 12 pc. Il problema quidi diviee ua riorgaizzazioe di collegameti sul grafo dei collegameti possibili, al fie di rispettare i vicoli di capacità. Ad esempio, si veda la figura 3.2. r Figura 3.2 - La rete dei possibili collegameti 68
La rete poteziale è orgaizzata a più livelli, gli switch di primo livello soo collegati al server e agli switch di secodo livello; questi ultimi soo collegati ai persoal computer. I possibili collegameti di questi ultimi agli switch di secodo livello rispettao determiati vicoli fisici legati alla forma dell'edificio i cui deve essere stesa la rete locale (che fisicamete sarà ua cocateazioe di aelli, o rig, ai diversi livelli). Nel progetto della rete o è ecessario utilizzare tutti gli switch di primo e secodo livello; azi, coviee risparmiare semplificado al massimo la rete (u albero) pur di rispettare le capacità relative agli archi icideti i r. I particolare, gli evetuali costi di istallazioe degli switch soo addebitati agli archi icideti i essi (proveieti da r o dagli switch di primo livello) Siao P l'isieme dei pc co P = p e S l'isieme degli switch co S = s, si ha che = p + s + 1. Per formulare il problema, ridefiiamo il bilacio dei odi: b r = -p; b i = 1 per ogi i P e b i = 0 per ogi i S. Idichiamo co A S1 l'isieme degli archi tra r e gli switch di primo livello, co A S2 l'isieme degli archi tra gli switch di primo e secodo livello (A S = A S1 A S2 ); co A P idichiamo l'isieme degli archi icideti ei pc; associamo la capacità u ad ogi arco (i,j) A S1. Sia A = A S1 A S2 A P l'isieme di tutti i possibili collegameti. Co c ij idichiamo il costo di istallazioe della coessioe relativa all'arco (i,j) A. Itroduciamo delle uove variabili z ij associate agli archi (i,j) A S ; z ij = 1 se a valle di essi soo collegati dei pc e z ij = 0 altrimeti. Affiché tali variabili assumao il valore corretto è sufficiete imporre i segueti vicoli: z ij x ij uz ij (i,j) A S ; ifatti, x ij = 0 impoe z ij = 0, metre x ij 1 impoe z ij = 1. La formulazioe completa è pertato: (P) Mi c ij z ij + c ij y ij S P (3.1.5) y ij = -1 x ji - x ij = b i i N j S(i) 0 x ij uy ij (i,j) A z ij x ij pz ij (i,j) A S y ij {0,1} (i,j) A z ij {0,1} (i,j) A S. La tecica di risoluzioe si basa iizialmete sulla determiazioe dell'albero di copertura di costo miimo (utilizzado uo dei due algoritmi descritti el paragrafo 2.2). Si oti che sull'albero di copertura vi possoo essere switch a cui o soo collegati pc. Tali rami, se restao iutilizzati ache ella soluzioe fiale, possoo essere rimossi otteedo ua semplificazioe della rete e ua relativa dimiuzioe di costo. Nella risoluzioe dell'albero di copertura di costo miimo o si tiee coto, oltre agli switch che o servoo alcu pc, ache della capacità u lugo gli archi icideti i r. Pertato la soluzioe potrebbe essere o ammissibile. Sia T r l'albero di copertura così otteuto. Su esso è facile ricostruire il flusso x sugli archi dovuti alle domade da r ai odi i P. 69
Vi soo due tipi di iterveto per modificare l'albero spostado le coessioi dei pc da uo switch di secodo livello all'altro: per soddisfare i vicoli di capacità e per elimiare coessioi a switch che i seguito possoo essere rimossi. Si vuole pertato costruire u algoritmo di ricerca locale che permetta di modificare la soluzioe correte. Nell'itoro di u albero di copertura vi soo gli alberi di copertura otteuti dal precedete mediate la sostituzioe di al più u arco co u altro. Più formalmete: - sia S(i) l'isieme degli switch di secodo livello collegati allo switch i S 1 ; - sia P(i) l'isieme dei pc collegati allo switch i S, co p(i) = P(i) ; vale la seguete relazioe: P(i) = j S(i) P(j), i S 1 ; - sia T l'isieme degli alberi di copertura e T u l'isieme degli alberi di copertura che rispettao i vicoli di capacità: T u = {T T: p(i) u, i S 1 }; - l'itoro di u albero T T è: I(T) = {T' T: T' è otteuto da T per la sostituzioe di al più u arco}. metre l'itoro di u albero T T u è: I u (T) = {T' T u : T' è otteuto da T per la sostituzioe di al più u arco}. Sia T = (N, A T ) l'albero correte; se T T u (cioè è u albero di copertura o ammissibile i quato soo violati i vicoli di capacità) si applicherà ua procedura di ricerca locale sull'itoro I(T) sio ad otteere u albero T T u. Aalizziamo la fuzioe di trasformazioe σ(t); dovedo dimiuire la o ammissibilità dell'albero, defiiamo come misura w(t) il umero globale di pc eccedeti le capacità. Più formalmete, idichiamo co U = {i S 1 : p(i) > u}; allora w(t) è dato da: w(t) = (p(i) - u) = p(i) - U u. i U i U La fuzioe di trasformazioe T' = σ(t) forisce u albero T' tale che w(t') < w(t). Per realizzare σ(t) si opera iizialmete sugli archi (i,j) A S2, per cambiare la coessioe di uo switch di secodo livello secodo lo schema algoritmico i figura 3.3 he descrive σ1. Il processo ha termie se si ottiee u albero T T u oppure se, applicado σ1, si soo aalizzati tutti i possibili cambi di archi seza modificare l'albero. I tal caso si può effettuare ua politica di cambio aaloga a quella descritta i figura 3.3 sugli archi (i,j) A P (cioè si sposta u pc alla volta tra due switch di secodo livello). Esercizio 3.1 Descrivere la procedura σ2 per l'aalisi degli archi (i,j) A P. Appea otteuto u albero T T u si applica la secoda defiizioe di itoro, σ2, al fie di trasformare T i u albero che richiede meo switch. L'obiettivo i tal caso è di modificare l'assegazioe dei pc agli switch (e degli switch di secodo livello a quelli di primo livello) fio ad otteere uo switch i (possibilmete di primo livello) per cui p(i) = 0. Ache questa secoda fase può essere effettuata mediate ua procedura σ3 di spostameto di switch di secodo 70
livello alterata co ua procedura σ4 di spostameto di pc. Si oti che i ciascua delle quattro procedure suggerite si può mateere ache il cotrollo sull'aumeto di costo che la soluzioe comporta; basta ifatti idividuare uo scambio di archi che migliori la soluzioe (dimiuedo la o ammissibilità per σ1 e σ2 e riducedo l'utilizzo di switch che si itede rimuovere per σ3 e σ4) ma che comporti il miimo aggravio di costi. Procedure σ1(t, w(t), U, P, p, u): begi for each i U do {cotrollo switch o ammissibili} for each (i,j) A S2 A T such that p(j) > 0 do {switch j di secodo livello} begi value := u; ode := il; for each (k,j) A S2 do {ricerca dello switch ode di primo if p(k) < value the livello più scarico} begi value := p(k); ode := k ed; if ode il ad p(ode) + p(j) < p(i) the {cotrollo di migliorameto della begi della soluzioe} cambia i T (i,j) co (ode,j); P(i) := P(i) \ P(j); P(ode) := P(ode) P(j); {aggiorameto della soluzioe} p(i) := p(i) - p(j); p(ode) := p(ode) + p(j); if p(i) < u the U := U \ {i}; if p(ode) > u the U := U {ode}; ricalcola w(t), retur T ed ed ed. Esercizio 3.2 Descrivere le procedure σ3 e σ4. Figura 3.3 - La procedura σ1 3. 3 Localizzazioe dei odi della rete Studiamo ora il problema di determiare la dislocazioe di odi itermedi di ua rete. Proseguiamo sull'esempio di ua rete locale formata da u server, u uico livello di switch e m diversi persoal computer da collegare al server tramite gli switch. U'aalisi delle caratteristiche fisiche della località i cui si deve progettare la rete ha permesso l'idividuazioe di diversi siti i cui si possoo collocare gli switch. Lo switch i = 1,,, ha u costo fisso di istallazioe c i ed è i grado di servire M i pc; l'isieme di pc che possoo essere collegati allo switch i (se viee istallato) è idicato co P(i); aalogamete, idichiamo co S(j) l'isieme degli switch a cui può essere collegato il pc j, j = 1,, m. Il costo di gestioe dipede dai pc assegati e dalla loro distaza dallo switch: se il pc j è assegato allo switch i il costo di gestioe è d ij. Si vuole stabilire quali (e quati) switch istallare i modo che tutti i pc siao collegati e che il costo complessivo di istallazioe e di gestioe sia miimo. Idichiamo co: y i = 1, se lo switch i è istallato, i = 1,, ; 0, altrimeti; 1, se il pc j è collegato allo switch i, x ij = 0, altrimeti. i = 1,,, j P(i); 71
Il problema (P) può essere formulato come segue: Mi i=1 c i y i + i=1 d ij x ij a) i S(j) b) -M i y i + y i {0,1}, x ij {0,1}, x ij = 1, x ij 0, j = 1,,m, i = 1,,, i = 1,,, i = 1,,, j P(i). I vicoli di semiassegameto a) stabiliscoo che u pc sia collegato ad uo ed u solo switch; pertato essi implicao ache che tutti i pc siao collegati. I vicoli b) stabiliscoo che se viee istallato lo switch i (y i = 1) allora ad esso possoo essere collegati al più M i pc, metre se o viee istallato (y i = 0) allora ad esso o può essere collegato alcu pc. Al problema si possoo aggiugere altri vicoli per particolari problemi. Ad esempio, se si vuole istallare o più di s switch (s < ) è sufficiete aggiugere il seguete vicolo: y i s. i=1 Se si vuole imporre che lo switch i viee istallato solo se ad esso soo collegati almeo L i pc (0 < L i < M i ) è sufficiete aggiugere per ciascuo switch i, i = 1,,, il seguete vicolo: x ij L i y i ; ifatti, se y i = 1 il umero di pc collegati ad esso deve essere o iferiore a L i, metre il vicolo diviee ridodate quado y i = 0. Toriamo al problema origiario (P) seza l'aggiuta di vicoli ulteriori. Studiamo il suo rilassameto cotiuo (P C ), cioè il problema che si ottiee permettedo che le variabili y i, i = 1,,, e x ij, i = 1,,, j P(i), possao assumere qualsiasi valore ell'itervallo [0,1]. Il valore della soluzioe ottima di (P C ), che idicheremo co z C, è u'approssimazioe per difetto (lower boud) del valore z della soluzioe ottima di (P). Operiamo u cambiameto di variabile: si poe y i ' = M i y i e c i ' = c i / M i, i =1,,. Si ottiee il seguete problema rilassato (P C ): Mi i=1 c i 'y i '+ i=1 - y i ' d ij x ij x ij = 1, j = 1,, m, i S(j) x ij 0, i = 1,,, 0 y i ' M i, i = 1,,, 0 x ij 1, i = 1,,, j P(i). È facile osservare che (P C ) è u problema di flusso di costo miimo (si veda la figura 3.4). I pc, gli switch e il server soo i odi e i possibili collegameti tra pc e switch e i collegameti tra switch e server soo gli archi. La variabile x ij rappreseta il flusso sull'arco 72
dallo switch i al pc j metre la variabile y i ' rappreseta il flusso dal server allo switch i. Il geerico arco (r,i) tra il server r e lo switch i ha come capacità u ij = M i, cioè il massimo umero di pc che può essere collegato a i, e ha come costo uitario il costo c i ', cioè il costo di istallazioe dello switch i diviso il massimo umero di pc collegabili ad esso (costo uitario per pc collegabile); il geerico arco (i,j) dallo switch i al pc j ha capacità u ij = 1 e costo d ij, cioè il costo di gestioe del pc j se collegato allo switch i. I primi due isiemi di vicoli rappresetao i vicoli di coservazioe di flusso; il primo isieme è relativo ai odi che rappresetao i pc, cosiderati come odi pozzo di u'uità di flusso, metre il secodo isieme è relativo ai odi che rappresetao gli switch, cosiderati come odi di puro trasferimeto. Il vicolo relativo al server r, cosiderato come sorgete di m uità di flusso è omesso i quato liearmete dipedete dagli altri. pc switch 1 1 1 1 j (, 1) dij i ( c' i, Mi) r -m 1 m Fig. 3.4 Il grafo risultate G = (N, A) ha N = + m +1 e A = + Σ i P(i) (m+1). Utilizzado uo degli algoritmi del simplesso su reti, descritti el paragrafo 1.1.6, si ottiee la soluzioe ottima ( x _, y _ '). Essedo le domade e le capacità itere, tale soluzioe è itera; i particolare x _ ij potrà assumere solo i valori 0 o 1 foredo l'assegazioe dei pc agli switch. Il valore itero della variabile y _ i' rappreseta il umero di pc collegati allo switch i. Se y _ i' = 0, allora o si istallerà l'i-esimo switch; se y _ i' = M i, esso verrà istallato e sarà utilizzato al massimo della propria capacità. Ogi altro valore itero di y _ i' (0 < y _ i' < M i ) forisce ua valutazioe del tasso di utilizzo dello switch i-esimo (ifatti y _ i = y _ i' / M i forisce il valore del tasso di utilizzo) che permette di decidere se istallarlo o meo (i effetti è spesso utile istallare uo switch o utilizzato al massimo della propria capacità di utilizzo per far frote a futuri sviluppi della rete). Dopo aver deciso di o istallare uo o più switch, si rimuovoo dal problema i dati relativi ad essi per ua successiva ottimizzazioe (o riottimizzazioe) al fie di idividuare la uova assegazioe dei pc agli switch. I ogi caso il valore ottimo z C del problema rilassato (P C ) forisce ua valutazioe per difetto di z. Ciò permette di valutare la botà di soluzioi prodotte co algoritmi approssimati. Ifatti, suppoiamo di avere già il progetto della rete, o di avere prodotto uo mediate u'euristica; idichiamo co z A il valore della fuzioe obiettivo per tale soluzioe. Essedo z C z, si ha che lerrore relativo della soluzioe attuale (o euristica) è dato da: 73
R A = z A - z z z A - z C z z A - z C z C. Pertato (z A - z C )/z C forisce ua approssimazioe superiore dell'errore relativo che si commette adottado la rete correte (o quella otteuta co l'euristica) rispetto alla rete ottima pur o cooscedo é la rete ottima é il suo valore ottimo z. Cocludiamo questa parte torado al problema della rete locale a due livelli. Il modello appea descritto può essere esteso al problema a due livelli; oppure si può studiare la rete separatamete per sottoreti i cui ciascuo switch di primo livello svolge il ruolo di server e, dopo aver stabilito ciascua sottorete, si può studiare la rete formata dal server, dagli switch di primo livello e dai pc come se questi fossero collegati direttamete agli switch di primo livello (si elimiao gli switch di secodo livello). Si lasciao come esercizi la formulazioe di tali problemi e l'idividuazioe delle teciche di soluzioe più adatte. 3. 4 Il problema delle reti multicommodity Nel paragrafo 1.5 abbiamo affrotato il problema della determiazioe dei flussi di costo miimo multicommodity. Ache el progetto di reti, spesso, si deve teere coto che ella rete stessa viaggiao commodities diverse. Si pesi alla rete itegrata, che si sta otteedo i questo periodo, tra rete telefoica per sistemi mobili, rete telefoica per sistemi fissi, rete di commutazioe di dati, reti televisive sia a terra che su satelliti, reti locali i fibra ottica, ecc. Su tali reti ifatti viaggiao iformazioi molto accurate ma di miima dimesioe (trasmissioe della voce), iformazioi meo importati (messaggii), pacchetti di dati, dati di immagii i movimeto, che richiedoo ua garazia di trasmissioe, ecc. Il problema del progetto della rete si complica perché ella decisioe della costruzioe di u arco etrao i gioco fattori tecologici che foriscoo sia capacità per le sigole commodities, sia capacità globali. Ioltre spesso il traffico o è del tutto additivo (messagi come la posta elettroica e i messaggii vegoo trasmesso ei piccoli iterstizi di o trasmissioe che si creao aturalmete tra i grossi pacchetti di dati. La fase di progetto, spesso, riguarda o solo la decisioe se costruire l'arco (i,j) e quale tecologia verrà utilizzata per realizzarlo (e che forirà la capacità globale dell'arco), ma ache la decisioe di quale porzioe della capacità viee assegata (e, alle volte, riservata) a specifiche commodities (si pesi alle comuicazioi co priorità, a quelle di cui si deve garatire ua grade affidabilità, ecc.). I modelli risultati o si discostao di molto dal problema (3.1.3), i cui le variabili di flusso soo però di tipo multicommodity e le capacità di commodity soo itrodotte i parte come dati i parte come variabili. Co questo si coclude la parte relativa alle reti di comuicazioe. Come descritto el paragrafo 2.1, i problemi reali soo sigificativamete più complessi; co questo corso abbiamo voluto forire solo alcui degli strumeti che possoo essere utilizzati per modellizzare problemi di reti di comuicazioe e trovare delle soluzioi. Nella realtà be difficilmete il problema, globalmete iteso, viee studiato e risolto; molto spesso esso viee suddiviso i sottoproblemi e ciascuo (separatamete dagli altri, ache se esistoo delle itercoessioi) viee studiato e risolto. I modelli studiati i questi due ultimi capitoli soo i effetti molto vicii ai modelli che vegoo realmete affrotati per risolvere i sigoli sottoproblemi. 74