CAPITOLO 5 TEORIA DELLA SIMILITUDINE 5.. Itroduzioe La Teoria della Similitudie ha pricipalmete due utilizzi: Estedere i risultati otteuti testado ua sigola macchia ad altre codizioi operative o a ua famiglia itera di macchie che, i etrambi i casi, soddisfio be precisi criteri Idividuare, per ogi applicazioe, la geometria della macchia che permetta di otteere il massimo redimeto. La Teoria della Similitudie asserisce che macchie che soddisfao la similitudie fluidodiamica hao uguale redimeto. Affiché due macchie siao i similitudie devoo essere soddisfatte le segueti codizioi:. Similitudie geometrica: tutte le dimesioi devoo essere i scala, i particolare diametri, altezze di pala, agoli, spessori.. Similitudie ciematica: stessi rapporti di velocità e quidi stessi triagoli di velocità. 3. Similitudie diamica: stessi rapporti tra le forze, e quidi stesso umero di Reyolds. 4. Stesso umero di Mach (effetto della comprimibilità). Se le quattro codizioi soo cotemporaeamete verificate, allora le macchie si dicoo Simili e hao uguale redimeto. Si ricorda che il umero di Reyolds è defiito come: ρvl VL forze d'ierzia Re = = = (5.) µ ν forze viscose dove L è ua lughezza caratteristica, V è la velocità del fluido, µ e ν soo rispettivamete la viscosità diamica e ciematica. Va osservato che la similitudie geometrica deve essere verificata su ogi scala. uesto comporta alcue limitazioi. I particolare, el passaggio da macchie gradi a macchie piccole o sempre è possibile riprodurre i perfetta scala gli spessori (per limiti imposti dalle lavorazioi e dalla resisteza meccaica), i giochi (per i limiti imposti dalle dilatazioi) e la rugosità superficiale (per limiti imposti dalle lavorazioi). Coseguetemete, macchie piccole avrao u redimeto peggiore. Altri limiti derivao dal fatto che, perché siao verificate cotemporaeamete la similitudie ciematica e quella diamica, i fluidi devoo avere lo stesso comportameto termodiamico e volumetrico, e l iflueza del umero di Reyolds Re deve essere trascurabile. Il primo effetto risulta iifluete se il fluido di lavoro è icomprimibile, metre il secodo aspetto è verificato se il umero di Reyolds è maggiore di 5 0 5, cioè per moto turboleto completamete sviluppato. 5.
5.. Teorema P o di Buckigham Vediamo più el dettaglio la derivazioe matematica di questa teoria, e gli strumeti che essa mette a disposizioe per la risoluzioe pratica di problemi di progettazioe. La Teoria della Similitudie si basa sul Teorema Π. Esso dice che, scelta ua fuzioe obiettivo y, descritta da variabili: y = f( x, x, x3,......, x ) (5.) il feomeo così rappresetato può essere studiato tramite ua fuzioe f * espressa i termii a- dimesioali: Π y = * f ( π, π, π 3,......, π m ) (5.3) dove il umero di parametri a-dimesioali m è pari a q, essedo q il umero di uità fodametali (lughezza L, tempo T, massa M e temperatura θ). Il Teorema Π permette quidi di ridurre il umero di variabili da cotrollare. uesto idipedetemete dalla forma matematica assuta dalle fuzioi f e f *. Per cooscere tali fuzioi sarà poi ecessario ricorrere alla sperimetazioe. 5... Aalisi dimesioale: Pompa Applichiamo il Teorema Π al caso di ua pompa (ρ = costate). Co riferimeto alla figura 5., cosideriamo la macchia come ua scatola chiusa e adiamo a cotrollare igresso (sezioe ) e uscita (sezioe ). I queste sezioi misuriamo pressioe, velocità e desità, i modo tale da poter calcolare la portata volumetrica, la prevaleza gh e il redimeto η. Suppoiamo ioltre di ripetere le misure a diverse velocità di rotazioe della macchia. Iazitutto, bisoga idividuare le fuzioi obiettivo. Nel caso della pompa, abbiamo visto come il suo fuzioameto sia oto se si cooscoo la prevaleza gh, il redimeto η e la poteza assorbita P. Bisoga quidi idetificare le gradezze da cui queste tre variabili dipedoo: si distigue tra: variabili geometriche: { L i }D,, dove la prima è composta da ua serie di parametri geometrici che permettoo di eseguire la macchia i officia, metre il secodo è il diametro estero della girate. variabili del fluido: ρ, µ (viscosità); defiiscoo uivocamete il fluido. variabili di cotrollo: e ; al loro variare defiiscoo uivocamete tutti i parametri della macchia. Il fuzioameto della macchia è quidi descritto dalle segueti relazioi: M P gh ρ = cost P η Figura 5.. 5.
gh = f η = f (,, ρ, µ,{ Li }, D) (,, ρ, µ,{ Li }, D) (,, ρ, µ,{ L }, D) P = f3 i che, i forma compatta, divetao: gh η = f,, 3(,, ρ, µ,{ Li }, D) (5.5) P Si hao quidi 7 variabili (di volta i volta 6 idipedeti e obiettivo) e 3 uità fodametali, avedo cosiderato u caso icomprimibile. Da u puto di vista grafico, il legame espresso dalla relazioe (5.5) o è altro che la famiglia di curve di fuzioameto della pompa, già ricavate el Capitolo 4, che soo richiamate i figura 5.. (5.4) Figura 5.. Curve caratteristiche di ua pompa. Il Teorema Π dice che è possibile otteere tre uove relazioi fuzioali dipedeti da 4 parametri a-dimesioali. Al posto di utilizzare L, T, M scelgo ua tera di gradezze idipedeti più appropriata: D (ha le dimesioi di ua lughezza [L]) al posto di L (ha le dimesioi di [T - ]) al posto di T 5.3
ρ (ha le dimesioi di [ML -3 ]) al posto di M L a-dimesioalizzazioe dei vari termii porta ad itrodurre i segueti parametri: da gh [J/kg = m /s gh ] Ψ = (5.6) D da [m 3 /s = m 3 /s] Φ = (5.7) 3 D da P [W = kg m /s 3 P ] Pˆ = (5.8) ρ 5 3 D µ da µ [kg/(ms)] = (5.9) Re ρd da { L i } { L } [m] Lˆ i i = (5.0) D dove va espresso, a secoda della defiizioe prescelta, i cicli/sec o i rad/s. L aalisi dimesioale porta quidi alla seguete relazioe: Ψ * η = f (,Re, Lˆ,, 3 Φ i ) (5.) Pˆ Per due macchie simili (cioè che soddisfao le quattro codizioi richieste dalla similitudie), oppure per la sigola macchia (per due suoi puti di fuzioameto i similitudie tra loro e che quidi presetao lo stesso redimeto), la relazioe (5.) diveta: Ψ * η = f,, 3( Φ) (5.) ˆ P Se si applica quato appea visto alla sigola macchia, si vede che la famiglia di curve portata prevaleza al variare del umero di giri, se trasformate i forma a-dimesioale tramite le relazioi (5.6) e (5.7), corrispodoo ad u uica curva i termii dei parametri φ e ψ (equazioe (5.)), così come esplicitato i figura 5.3. Tali parametri si chiamao rispettivamete coefficiete di portata e di prevaleza. Ogi puto apparteete a detta curva avrà u be preciso redimeto, che quidi cambia lugo la curva. Sarà ifie possibile idividuare il puto di massimo redimeto. H Ψ φ Figura 5.3. Curva caratteristica a-dimesioale di ua pompa. Nella realtà le variabili obiettivo soo solo due (gh e η), essedo possibile ricavare la poteza i fuzioe delle altre due. Per ua pompa, la poteza reale assorbita all albero della macchia vale: 5.4
ρgh P = (5.3) η Sostituedo la (5.3) ell espressioe della Pˆ si ricava, dopo alcui passaggi: * ˆ gh gh f ( Φ) P = = = ΦΨ = Φ (5.4) 5 3 3 * ηd η D D η f ( Φ) Si ricorda che due macchie simili devoo realizzare gli stessi triagoli di velocità, cioè gli stessi scambi eergetici co il fluido. Ciò ioltre vuol dire avere uguale redimeto e quidi stessi valori di Φ e Ψ. Si sottoliea ioltre che detta Teoria o dice ulla su come queste fuzioi siao fatte. La loro forma potrà essere ricavata attraverso la sperimetazioe o la simulazioe umerica. 5.3. Numero di giri specifico Cosideriamo acora il caso della pompa. Si defiisce Numero di Giri Specifico s il seguete parametro o-dimesioale: s x x y ( Φ) D = y x 3x y ( Ψ) D ( gh) y = (5.5) Gli espoeti x ed y vegoo scelti i maiera tale da elimiare la dipedeza esplicita dalla geometria, cioè da D. Co alcui passaggi si ricava: s = (5.6) 3 4 (gh) Nelle relazioi precedeti tutti i termii vao espressi i uità di misura del sistema iterazioale. uidi va espresso i [cicli/sec], i [m 3 /sec], gh i [J/kg] e D i [m], essedo quest ultimo il diametro estero della girate, rappresetativo dell igombro della macchia. I letteratura esistoo diverse formulazioi del umero di giri specifico. U altra possibile defiizioe coivolge, al posto del umero di giri, la velocità agolare ω: ω s = ω (5.7) 3 4 (gh) Il processo di scelta della macchia ottima per ua certa applicazioe passa attraverso u procedimeto di ottimizzazioe i cui soo ote da u lato le caratteristiche dell impiato i cui la macchia va istallata, e cioè portata e prevaleza, ed è ecessario dall altro scegliere il regime di rotazioe, e cioè e i parametri adimesioali (h/d, D /D, α, β essedo h l altezza di pala, D e D i diametri all igresso e all uscita della macchia, α e β gli agoli d uscita delle palette dello statore e del rotore rispettivamete), per defiire la macchia. Scegliere l s lega impiato e macchia perché, associato ad ogi valore di s, si ha ua famiglia di macchie a geometria ottimizzata (fissa i parametri geometrici i termii di rapporti adimesioali e gli agoli) cioè che, per quella applicazioe, forisce il massimo redimeto. Grazie alla Teoria della Similitudie, tutte le macchie (di diversa geometria e poteza) che avrao lo stesso s avrao ache lo stesso redimeto, che sarà il massimo possibile per quell applicazioe. Sarao poi ache altri tipi di cosiderazioi (ecoomiche, di igombri ecc.) che iciderao sulla scelta defiitiva. Operativamete parlado, il processo di scelta della macchia ottima può i pratica essere codotto i due modi distiti. Ua prima possibilità cosiste ell utilizzare la Teoria della Similitudie iserita i u processo di ottimizzazioe; ote le caratteristiche dell impiato, essa ifatti forisce u modello matematico che, attraverso algoritmi di ottimizzazioe, permette di otteere la geometria ottima, cioè quella combiazioe dei parametri adimesioali (h/d, D /D, α, β) e del umero di giri per cui il redimeto è massimo. Ua secoda strada si basa sull impiego di iformazioi derivati da altre macchie già costruite e testate. Nel passato ifatti soo stati raccolti dati di origie sperimetale sul fuzioameto di 5.5
umerose macchie. A partire da questi dati soo state costruite delle curve che foriscoo i valori del redimeto ottimo i fuzioe del umero di giri specifico per le diverse tipologie di macchie. La Figura 5.4 riporta tali curve, relativamete al caso delle pompe. I questo grafico si distiguoo tre zoe: per bassi valori di ω s si hao le macchie lete cioè che elaborao basse portate ma foriscoo alte prevaleze (pompe cetrifughe). Per valori cresceti di ω s si icotrao dapprima le macchie a flusso misto e quidi quelle assiali, che elaborao bassi salti ma gradi portate. Dalla figura si vede ioltre come, al variare del umero di giri specifico vari la geometria della macchia. Grafici aaloghi esistoo ache per le turbie idrauliche e per i compressori. Figura 5.4 Redimeto i fuzioe di w s per geometrie ottimizzate. Il umero di giri specifico può essere usato, oltre che per la scelta della geometria ottima per ua be precisa applicazioe, ache per determiare u legame tra puti di fuzioameto diversi della sigola macchia, ma tra loro simili. E ifatti possibile tracciare, ad esempio el piao caratteristico della pompa, le curve a s costate, così come mostrato i figura 5.5. Dette curve soo delle parabole passati per l origie. Tutti i puti di fuzioameto di ua macchia, per quato caratterizzati da diversi regimi di rotazioe, che itersecao la curva a s costate, soo tra loro simili, e quidi presetao uguale redimeto. E allora possibile, ota la curva caratteristica ad u defiito regime di rotazioe, determiare la curva caratteristica per u qualuque altro regime. La curva di fuzioameto della pompa, così come ricavata el Capitolo precedete, ha la forma seguete: gh = A (5.8) B 5.6
essedo le costati A e B fuzioe della geometria della macchia e del regime di rotazioe. La relazioe precedete può facilmete essere riscritta i termii dei parametri a-dimesioali di portata Φ e prevaleza Ψ, utilizzado i valori oti al regime di rotazioe : gh A 4 = ( BD ) (5.9) 6 D D D che, esplicitado i coefficieti di portata e prevaleza diveta: A 4 Ψ = ( BD ) Φ (5.0) D E allora possibile ricavare la curva di fuzioameto della macchia per il geerico regime di rotazioe, semplicemete ricordado che, per puti tra loro simili, i parametri a-dimesioali restao costati: gh gh = (5.) = (5.) che, sostituite ella (5.9), foriscoo: gh = A B (5.3) Allo stesso risultato si poteva giugere cosiderado, al posto dei coefficieti di portata e prevaleza, il umero di giri specifico. H s =cost Figura 5.5 Curve a s costate el piao H- di ua pompa. 5.4. Limiti di validità Si è detto come, ella realtà, la Teoria della Similitudie sia valida solo sotto be determiate ipotesi, spesso difficilmete realizzabili. Per le macchie idrauliche, la similitudie cessa di essere valida alle alte velocità (Φ>0.06) perché l isorgere della cavitazioe fa si che la similitudie geometrica e diamica o siao più verificate. Viceversa, a bassa velocità (Φ<0.0), l iflueza del umero di Reyolds può o essere trascurabile, e quidi la similitudie diamica o è più verificata. Per quato ivece riguarda i limiti di validità riguardati la similitudie geometrica e, per le macchie termiche, l iflueza del umero di Mach (comprimibilità) e del umero di Reyolds, è possibile estedere il campo di validità dei risultati otteuti i precedeza a patto di itrodurre dei fattori correttivi. 5.7
Gli effetti di taglia vegoo teuti i cosiderazioe itroducedo il parametro di Taglia VHC (ha le dimesioi di ua lughezza) così defiito: VHC = (5.4) ( gh) 4 Per teere coto degli effetti della comprimibilità, che si traduce da u lato i ua variazioe della desità del fluido e dall altro i ua variazioe delle perdite coseguete alla variazioe del umero di Mach, si itroduce u uovo parametro dato dal rapporto tra le portate volumetriche i uscita e igresso alla macchia. Gli effetti di Re vegoo ivece comuque trascurati. Ne risulta quidi ua Teoria della Similitudie corretta, che tiee coto del fatto che la similitudie geometrica o sempre è verificata e che la comprimibilità del fluido può giocare u ruolo o trascurabile. Allora, perché due macchie possao essere cosiderate simili, dovrao avere lo stesso valore dei segueti parametri: s ; ; VHC co Re>5 0 5 Si ricorda che la prevaleza gh o è altro che il lavoro ideale scambiato tra fluido e macchia. Nel caso di macchia termica, cioè operate co fluido comprimibile, i tutte le espressioi precedeti al posto della prevaleza va sostituito il salto etalpico isetropico a cavallo della macchia: s VHC = (5.5) 3 4 h ) ( is = (5.6) ( h ) 4 is Nel calcolo del umero di giri caratteristico tramite la (5.5) ifie, la portata volumetrica va calcolata i igresso alla macchia, se questa è operatrice (compressore), e i uscita se ivece è ua macchia motrice (turbia). 5.8