Problemi affrontabili agli elementi finiti

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1 1) ANALISI STATICHE Problem affrotabl agl elemet ft Medate la schematzzazoe a elemet ft s costrusce la matrce d rgdezza complessva e po l problema s rduce a f = K x x = K Le aals lear s attuao el problem struttural quado carch soo suffcetemete bass da o geerare grad spostamet e plastctà del materale 1 f Le aals o lear s verfcao a causa d dvers possbl feome: Sollectazo del materale al d sopra della sogla del comportameto elastco Spostamet de put odal tal da causare apprezzabl modfche della matrce d rgdezza (sstem o al I orde) Preseza d codzo al cotoro o blatere (cotatto tra bord elemet o cotatto co corp rgd) Computo delle deformazo o arrestato al I orde (grad deformazo - effetto delle rotazo el modello costtutvo) Modellazoe del cedmeto sotto carco (creep) medate modell vscos Codzo d stress-stffeg ovvero quado le teso tere fluezao la rgdezza della struttura

2 Qualuque e sa la causa, le o leartà s rsolvoo effettuado l calcolo modo cremetale; qud cascu cremeto s rsolve teratvamete R ( u) = K u = P P = P S può supporre, dapprma, d far crescere l carco applcato per pass successv: P = P P Ad og cremeto del carco corrspode u cremeto ella deformazoe u = u u 1 = u + u + Al geerco step, s può valutare l resduo ( term d rsultate delle forze); ovvero le forze tere R(u ) devoo rsultare equlbro co quelle estere P Res ( u ) = R( u ) P 0 = All tero d og step s rchede d redere l resduo suffcetemete pccolo per mezzo d successve terazo, calcolado l cremeto d spostameto assocato 1 u last u 1 u 1 u u 3 u 3 u u + 1 last u u dove = u 1 last 1 u + = u + u 1

3 S esprme l espressoe del resduo medate l estrapolazoe d Taylor arrestata al I orde Re s Re s + 1 u u + u = 0 u ( ) Re s ( ) S può osservare che la precedete dervata a destra dell uguale dpede solo da R ( ) Re s R u = = K u u TAN ( ) Re s u = K u TAN 1 ( ) Re s ( ) u = K u TAN Aggorado ad og terazoe l resduo o squlbro e rcalcolado la matrce d rgdezza tagete, s resce a completare lo step: last u = u = 1 last last = 1 + = 1 u u u La veloctà d covergeza dpede aturalmete da come vara la matrce d rgdezza tagete K TAN

4 Metodo Newto-Raphso completo Metodo Newto-Raphso modfcato

5 ) ANALISI DINAMICHE S utlzzao aals d tpo damco allorché le forze d erza rsultao paragoabl a quelle elastche-plastche Ache le aals damche possoo essere lear e o lear, allo stesso modo d quelle statche L aals modale è sostazalmete l aals damca fodametale quato foredo frequeze propre e mod propr d vbrare dà ua stes completa del comportameto vbratoro d u sstema leare I sstem meccac soo sempre pù o meo smorzat, tuttava spesso lo smorzameto è pccolo o s può rappresetare come ulterore parametro modale Smorzameto trascurable o modale (matrce C assete): M & x + K x = 0 S cercao soluzo armoche: x = u seω t 0 ( ω ) M + K u0 = 0 Se esstoo soluzo o baal ω = u 0 autovalor = autovettor S può, a posteror dell aals modale, rcercare u coeffcete admesoale d smorzameto par al valore smorzameto / l suo valore crtco

6 Se vece s è detfcata ua matrce C s può acora effettuare u aals modale, ma questa volta el campo de umer compless M && x + C x& + K x = 0 Per rsolvere, s raddoppa la dmesoe () del problema co l metodo d Duca y = x& M x& M y = 0 M y& + C y + K x = 0 0 M M y& M + C x & 0 0 y = 0 K x S cercao soluzo armoche smorzate: = 1 y0 w = t = 0 e λ 0 w w x0 M λm λm y K + λ C x 0 0 = 0 Se esstoo soluzo o baal λ = autovalor x 0 = autovettor spost. = autovettor vel. y 0 Le autofuzo rsultat soo complesse cougate λ = δω ± ω 1- δ

7 La frequeza propra è Im( λ ) Il coeffcete d Re( λ ) δ = smorzameto è Mod( λ ) Nel caso vece partcolare cu la C sa ua matrce proporzoale a massa e rgdezza Gl autovalor soo compless ma gl autovettor soo real C = α M + β K L aals stazoara è la rsposta damca d u sstema leare sollectato da u campo d forze a varazoe susodale el tempo I pratca è la rsposta forzata del sstema d equazo dfferezal M && x ( C x& ) + K x = f seωt + 0 Rcordado che u sstema leare rspode esclusvamete alla frequeza d ecctazoe x = x 0 seωt ( ω + ω C + K) x 0 se ωt = f se ωt 0 K ω x 0 = f M d( ) 0 S costrusce ua matrce d rgdezza damca (varable co la frequeza) e s rsolve l problema come se fosse statco, el domo della frequeza

8 L aals armoca è la rsposta damca d u sstema leare sollectato da u campo d forze perodco. I pratca è la rsposta forzata del sstema d equazo dfferezal S possoo utlzzare metod per rcavare soluzoe 1) S trova la soluzoe stazoara per cascua frequeza medate la versoe della relatva rgdezza damca (cocde co l aals stazoara) ) S utlzzao dat dell aals modale medate l prcpo d sovrapposzoe degl effett I questo caso, dopo aver effettuato l aals modale e ormalzzato mod modo tale che sa u T 0 M u 0 = m S può rcavare la rsposta sollectado j sommado tutt cotrbut fort da cascu modo medate sommatora ( ) mod No smorzat (k) (k) ( u u j ) ( ω ω ) ( ω) j ( ) x ω = F j k= 1 m k co ω = πν Frequeza crcolare Smorzat (k) (k) ( w w j ) mod k= 1 w ω = F ( ω λ ) Questa aals vee spesso utlzzata spazzolado le frequeze su u rage d teresse modo da caratterzzare la rsposta del sstema k ( ω)

9 Rsposta armoca sperm. e rcostruta Rsposta modo sgolo

10 L aals spettrale è sostazalmete ua aals che cosete la determazoe della rsposta ad ecctazo tpo terremot, azo del veto, o comuque a spettr d carco compless, ache o determstc L aals d Fourer c forsce coeffcet della sere de term susodal a frequeza crcolare crescete che approssmao la fuzoe perodca Qud le forzat, se perodche, possoo essere vste ella forma ( ωt + ϕ ) + f se( ωt + ϕ ) + L se( ω + ) f ( t) ϕ = f0 + f1 se 1 f t Il metodo qud prede avvo dalla coosceza dello spettro della forzate (sa esso spostameto mposto o forze estere) È comuque u aals che fa uso de dat modal, per cu rchede la prevetva esecuzoe d u aals modale Nel caso d ecctazoe radomca, s utlzzao le destà spettral d poteza che forscoo uscta le probabltà che l sstema rspoda co u certo coteuto frequeza I og caso, s perde l formazoe relatva alla fase d tutt cotrbut della rsposta. Ossa o s sa se tutte le rsposte forscao l massmo el medesmo state o o. Se s poe questa codzoe sta all utlzzatore compredere la portata d tale potes Esstoo pertato dfferet opzo per la combazoe de mod quado s usa la sovrapposzoe modale sa ell aals spettrale che quella armoca

11 L aals trastora è sostazalmete ua aals d tegrazoe al passo che può essere applcata sa a sstem lear che o lear Og step temporale tee coto sa delle codzo zal (spostameto e veloctà) al passo precedete, sa della forzate applcata per otteere l equlbro d D Alambert & x + ( C x& ) + K x ( t) x( t + t) = x( t) + x( t) M = f 0 Co tale aals s può ache studare ua rsposta a forzate perodca, ma dato che la soluzoe è fortemete fluezata dalle codzo zal, essa coverge alla soluzoe forzata solo dopo u tempo molto grade (scosglata per rsposte perodche) 3) ANALISI DI COLLASSO Bucklg come bforcazoe è ua aals che cosete d determare put d bforcazoe ella rsposta sotto carco. I pratca s determa l carco d collasso d ua struttura elastca. Il Bucklg s può verfcare ad esempo ua struttura paa sottle, quado l effetto delle teso assal ha u cdeza sulla rgdezza flessoale Aals autovalor

12 L effetto rrgdete o affloscate delle teso vee coteggato costruedo ua matrce d rgdezza geometrca, che s affaca a quella solta strutturale Affché sa possble l calcolo della rgdezza geometrca, occorre che sao preset gl effett legat agl spostamet ed alle deformazo al II orde La procedura s compoe d due pass successv Nel prmo s carca statcamete la struttura, coteggado ache gl effett del II orde. Il rsultato è quello d rcavare lo stato tesoale complessvo, e qud (a rtroso) la matrce d rgdezza geometrca K tot = K elast + K geom * ( P) = K + λ K ( P ) elast geom * co P = λ P Nel secodo passo, s rscrve la P = K x evdezado l cotrbuto delle due rgdezze P = * * [ K + λ K ( P )] x = λ P elast S cerca la codzoe, se esste, per cu gl spostamet dvegoo ft geom x = * -1 * [ K + λ K ] λ P elast geom * * 1 K + λ = 0 ; K K + λ I = 0 elast K geom Come s vede, la soluzoe cosste u problema agl autovalor dove, fssato u carco esploratvo P *, λ 1 P * rappreseta l valore del carco crtco, e x 1 la deformazoe ad esso assocata geom elast

13 Bucklg medate tegrazoe al passo S può pesare d realzzare l Bucklg determado l valore massmo del carco raggugble dalla struttura prma che l carco comc a scedere Post Bucklg Può avere teresse determare cosa succede alla struttura dopo che l carco sopportable comca a scedere. Questo è possble se vece d cremetare l carco s cremeta lo spostameto Esste fe ua sere d ulteror aals che soo d solto possbl co codc Mult-Purpose ma che qu o sarao ulterormete rchamate: 4) PROBLEMI TERMICI COMPRENSIVI DI PASSAGGI DI STATO 5) PROBLEMI FLUIDODINAMICI CON TRASPORTO MATERIA 6) SOLUZIONI DI CAMPI ACUSTICI 7) SOLUZIONI DI CAMPI ELETTRICI 8) SOLUZIONI DI CAMPI ELETTROMAGNETICI Ed fe ua sere d problem accoppat come Studo del comportameto termo - meccaco (ad esempo la lamazoe a caldo) Iterazoe fludo - struttura come el caso del flutter o delle vbrazo strutture ecctate acustcamete