5 PROPRIETÀ MAGNETICHE DEI MATERIALI

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1 5 PROPRIETÀ AGNETICHE DEI ATERIALI A seguito della scopeta di Østed dell azione agnetica podotta da un filo conduttoe pecoso da coente l ipotesi più natuale che olti fisici avanzaono pe spiegae questo effetto fu che in tale cicostanza il filo conduttoe diventa un agnete. Nel 8 Apèe popose un intepetazione altenativa che al contaio ipotizzava che il agnete si dovesse itenee costituito da un insiee di coenti. In paticolae Apèe iaginò che ad esepio all inteno di un agnete cilindico si situasse un coplesso di coenti cicolai equivese disposte pependicolaente all asse del agnete. In tale odello un filo conduttoe fisso pecoso da coente situato paallelaente all asse del Andè aie Apèe agnete deteina una foza su questo facendolo deviae. Tale ipotesi è alla base dell intepetazione odena dei fenoeni agnetici. L attuale conoscenza della stuttua icoscopica della ateia ci pota a icondue in una descizione classica degli atoi le coenti apeiane ai oti degli elettoni negli atoi. In un tale odello pe l atoo di idogeno ad esepio l elettone uota attono al nucleo con velocità v costante lungo un pecoso cicolae. Se è il aggio dell obita il tepo T necessaio a descivee tale obita è: T v e la coente I associata a questo oto è: I e ev T (5.) dove e appesenta la caica dell elettone. Dal teoea di equivalenza di Apee se S indica la supeficie dell obita il oento agnetico associato a questo oto ha odulo pai a: ev IS ev. Siccoe il odulo del oento angolae L dell elettone ispetto all asse di otazione vale ev dove e indica la assa dell elettone il oento agnetico si scive: e e L dove il segno eno segue dal fatto che la caica dell elettone è negativa.

2 5- Popietà agnetiche dei ateiali Una descizione copleta dei fenoeni atoici ichiede l ipiego della eccanica quantistica nondieno in tale abito è possibile povae che la elazione pecedente continua a estae valida sebbene il oento angolae possa assuee solo valoi popozionali ad una quantità pai a 34 h in cui h detta costante di Planck vale 6.6 J s cica; in paticolae isulta: e petanto: L l l l e l l l. e Il oento agnetico coispondente alla ivoluzione dell elettone attono al nucleo pende il noe di oento agnetico obitale. Siccoe nella aggio pate delle sostanze il oento obitale di un elettone si copensa con quello di veso contaio di un alto elettone obitante nella diezione opposta l effetto agnetico podotto dal oto obitale degli elettoni è nullo o olto piccolo. Un ulteioe contibuto al oento agnetico dell atoo è costituito da una caatteistica dell elettone che pende il noe di spin e appesenta un oento angolae intinseco di questa paticella. Il odulo dello spin S è pai a ed a tale oento angolae è associato un oento agnetico detto oento agnetico di spin che in questo caso assue il valoe: e e S. petanto: e. e Negli atoi o olecole gli elettoni sono accoppiati ta loo con gli spin in diezioni opposte con la conseguente copensazione dei elativi oenti agnetici; tuttavia gli atoi con un nueo dispai di elettoni o quelli in cui l accoppiaento con gli spin contapposti non è favoito enegeticaente possono avee uno o più elettoni spaiati e di conseguenza un oento agnetico non nullo. In geneale il oento agnetico di un atoo è la soa vettoiale calcolata secondo le egole della eccanica quantistica dei oenti agnetici obitali e di spin. Anche i costituenti del nucleo atoico il potone ed il neutone possiedono un oento angolae di spin S di odulo pai a e di conseguenza deteinano un oento agnetico. Pe il potone isulta: dove p e.79 S p è la assa del potone; pe il neutone si ha: p e n.9 S n

3 Popietà agnetiche dei ateiali agnetizzazione Consideiao un ateiale oogeneo in cui gli atoi o le olecole costituenti siano dotati di un oento agnetico eleentae; supponiao di ealizzae un cilindo acoscopico olto lungo ispetto alla sua sezione. Supponiao infine che tutti questi oenti agnetici siano allineati paallelaente all asse del cilindo; in tale cicostanza si osseva che le coenti eleentai intene al cilindo tendono ad elidesi utuaente lasciando il solo contibuto delle coenti situate in coispondenza della supeficie. Petanto dal punto di vista acoscopico il cilindo agnetizzato equivale ad una distibuzione supeficiale di coente; tale coente pende il noe di coente di agnetizzazione. La coente di agnetizzazione può essee descitta in aniea quantitativa intoducendo il vettoe di agnetizzazione in aniea analoga a quanto già fatto col vettoe di polaizzazione pe i ateiali dielettici; sia: li V i V i in cui i appesenta la soa vettoiale di tutti i oenti agnetici contenuti nel volue V i Diensionalente tale vettoe si espie in A. Il liite espesso nella foa pecedente può essee scitto coe:. d dv pe cui in un punto del ateiale agnetizzato contenuto nel volue dv il oento di dipolo agnetico vale dv. Dalla (4.4) il potenziale vettoe podotto da un oento agnetico infinitesio d vale: d ˆ ˆ d da dv utilizzando l identità ˆ in cui si intende che le opeazioni di deivazione sono eseguite ispetto alle coodinate dell eleento di volue che contiene il dipolo la elazione pecedente diventa: da dv 4 dove è la assa del neutone. Poiché la assa del potone e quella del neutone sono cica volte più gandi di n quella dell elettone il odulo del oento agnetico associato allo spin dei coponenti del nucleo atoico isulta di te odini di gandezza cica infeioe ispetto a quello dell elettone e petanto il loo contibuto viene solitaente tascuato nel coputo del oento agnetico coplessivo dell atoo.

4 5-4 Popietà agnetiche dei ateiali e integando su tutto il volue del ateiale si ha: A dv 4 ; facendo uso dell identità vettoiale: T T T in cui a coisponde ed a T coisponde l espessione del potenziale vettoe diventa: 4 4. A dv dv Il secondo integale di questa soa può essee espesso in una foa diffeente adopeando l identità : wdv w ds w nds ˆ dove appesenta la supeficie di contono al volue petanto si ha: A dv ds 4 4 ˆ n. (5.) Pe diostae tale identità posto w un geneico capo vettoiale e u un capo vettoiale unifoe isulta: wu u w wu u w essendo u unifoe. Pe il teoea della divegenza e pe l unifoità di u l integale su un volue cicoscitto dalla supeficie del teine al pio ebo di questa identità vale: wudv wuds u ds w u ds w. L integale del teine al secondo ebo pe l unifoità di u è:. u w dv u w dv Petanto uguagliando le due espessioni si ha: u w dv u ds w siccoe u è un abitaio vettoe unifoe isulta: w dv ds w w ds w nˆ ds.

5 Popietà agnetiche dei ateiali 5-5 Analogaente a quanto fatto nel caso dei dielettici dalle espessioni del potenziale vettoe deteinato da densità di coenti voluetiche e supeficiali 3 la elazione (5.) osta che l effetto della agnetizzazione può essee icondotto alla cobinazione di una coente distibuita sulla supeficie estena del ateiale con densità lineae nˆ in cui ˆn è al solito il vesoe noale uscente dalla supeficie del ateiale e una coente intena al ateiale di densità : J nˆ (5.3) S J (5.4) in cui J S si isua in A e J in A. Le coenti associate alle densità J S e J devono intendesi legate peché il coispondente oto delle caiche è confinato all inteno degli atoi a diffeenza delle coenti libee in cui le caiche possono spostasi in odo elativaente libeo intenaente ai conduttoi. Le (5.3) e (5.4) stabiliscono nel caso più geneale le elazioni ta il vettoe agnetizzazione intodotto pe caatteizzae il oento agnetico acquisito dal ezzo ateiale e le coenti di agnetizzazione che costituiscono l aspetto acoscopico delle coenti atoiche. Questa descizione isulta foalente analoga a quella di un dielettico polaizzato in cui l effetto del ezzo si calcola a patie da una distibuzione supeficiale di caica di polaizzazione e da una distibuzione di volue di densità (.4): Pn ˆ P P. P Petanto adopeando tali definizioni la (5.) si espie coe: P legate al vettoe polaizzazione P dalle elazioni (.3) e P J 4 4 J. (5.5) S A dv ds Esepio: In un cilindo unifoeente agnetizzato ad esepio nella diezione del suo asse dalla (5.4) segue che la densità di coente di agnetizzazione J è nulla pe cui la agnetizzazione è dovuta alla sola densità di coente lineae J. Dalla (5.3) si deduce che tale vettoe è tangente al cilindo e oientato ispetto al vettoe agnetizzazione S secondo la egola della ano desta (si veda la figua). Pe icavae l intensità della coente lineae di agnetizzazione I occoe calcolae: S 3 Rispettivaente J dv A 4 pe una coente che attavesa un volue e A 4 JS ds pe una coente distibuita su una supeficie.

6 5-6 Popietà agnetiche dei ateiali I J dl nˆ S (5.6) dove l integazione è estesa alla lunghezza della supeficie sulla quale è distibuito il vettoe J S. Nel caso del cilindo descitto pecedenteente se il vettoe dl è tangente alla sua supeficie lateale e paallelo all asse la lunghezza attavesata dalla coente di densità J è l quindi se S J è unifoe lungo l si ha: S I J l. S Ciò in analogia alla densità di coente intodotta nella elazione (3.3) detta densità voluetica di coente J che se V distibuita unifoeente su una sezione S deteina una coente di intensità pai al podotto JS. V Esepio: Consideiao un disco foato con un ateiale oogeneo agnetizzato di aggio R e spessoe d. Supponendo che il vettoe di agnetizzazione sia dietto paallelaente all asse del disco stabiliao il vettoe capo agnetico al cento del disco. Il disco unifoeente agnetizzato coisponde ad un dipolo agnetico pai a: V dove V è il volue del disco pai a Sd dove S è la supeficie delle basi. Dal teoea di equivalenza di Apee segue che tale configuazione è equivalente ad una spia pecosa da una coente I che genea nel suo cento lo stesso capo agnetico. Pe deteinae questa coente è possibile pocedee in due aniee. Identifichiao con il oento di dipolo della spia equivalente espiendolo coe: I S nˆ dove ˆn è il vesoe noale passante pe l asse del disco; uguagliando questa espessione con la elazione pecedente si tova: da cui segue: V I S nˆ I V Sd d. S S Altenativaente dalla elazione (5.3) è possibile dedue la densità lineae di coente di agnetizzazione vettoe è diveso da zeo solo in coispondenza del bodo del disco ed ha intensità: JS ; infine dalla (5.6) integando lungo lo spessoe del bodo segue: I J dl nˆ J dl J d d. S S S J S ; tale Nota I è possibile icavae attaveso l espessione del capo agnetico al cento di una spia cicolae pecosa da coente: I d ˆ ˆ. R R n n

7 Popietà agnetiche dei ateiali Il vettoe H A patie dalle densità di coente J S e J la elazione (5.5) peette di dedue il potenziale vettoe e il coispondente capo agnetico podotto dal ateiale agnetizzato coe se le elative coenti fosseo oiginate da cicuiti posti nel vuoto. Cioè gli effetti podotti dal ateiale agnetizzato sono copletaente descivibili dalla elazione (5.5) attaveso le densità di coente espesse dalle (5.3) e (5.4). Petanto noto il vettoe si può calcolae il contibuto al capo agnetico nello spazio dovuto al fenoeno della agnetizzazione; tuttavia non è agevolente deteinabile in aniea analitica pe cui tale appoccio alla deteinazione del capo agnetico in tutto lo spazio non è genealente peseguibile. In pesenza di ateiale agnetizzato le sogenti del capo agnetico non sono soltanto ascivibili alle coenti libee di densità J a occoe consideae anche le coenti dovute al fenoeno della agnetizzazione petanto in tale cicostanza la legge di Apèe si espie coe: J J. dividendo abo i ebi pe e adopeando la elazione (5.4) si ottiene: J essendo una costante; da tale elazione segue infine: J. (5.7) Il vettoe ta le paentesi ha la popietà di avee quali sogenti le coenti libee (analogaente al vettoe spostaento nel caso elettico con le caiche libee). Definendo un capo vettoiale coe: H (5.8) la elazione (5.7) diventa: H J. (5.9) In questa aniea è possibile estendee la validità della legge di Apée ai ezzi agnetizzabili; in paticolae qualoa il vettoe isulti nullo coe accade ad esepio nel vuoto i vettoi e H diffeiscono pe la sola costante. Dalla (5.8) segue: H. (5.) Questa elazione fa i te vettoi H e pesenta una analogia con la elazione (.7) D E P che lega ta loo i vettoi D E e P tuttavia ente è concettualente evidente la

8 5-8 Popietà agnetiche dei ateiali siilitudine fenoenologica ta i vettoi P e non è altettanto anifesta l analogia ta i vettoi D o E e i vettoi o H. Sebbene si possa tovae una analogia ta D e H questa è solo foale poiché ente nel caso dei dielettici isulta quasi sepe ipossibile scindee la caiche totali in caiche libee e caiche di polaizzazione e quindi D iveste un uolo concettualente ipotante a tascuabile nella patica nel caso dei pocessi di agnetizzazione è genealente seplice scindee le coenti totali in coenti libee e coenti di agnetizzazione così il uolo del capo H è decisaente più ipotante di quanto non lo sia quello del capo D nel caso elettico. Dalla definizione del vettoe H segue che diensionalente tale gandezza si espie in A. Integando abo i ebi della (5.9) su una supeficie apeta attavesata dal vettoe J si ottiene: H ds J ds applicando il teoea del otoe all integale al pio ebo indicando con I la coente si ottiene: J ds H dl I (5.) in cui è il contono della supeficie. La (5.) appesenta la foa integale della elazione (5.9). Nel caso dei ateiali dielettici la elazione di popozionalità ta il capo elettico applicato e la polaizzazione che ne consegue è stata appesentata attaveso la (.8) con l intoduzione di una quantità detta suscettività dielettica. Pe analogia in pincipio la suscettività agnetica dovebbe essee definita coe il appoto ta l intensità del vettoe di agnetizzazione ed il odulo del capo agnetico vista l affinità dei uoli ivestiti da questi due vettoi. Tuttavia pe agioni di caattee stoico questa quantità si definisce attaveso la elazione seguente: H così dalla (5.) il capo agnetico pe una sostanza agnetizzata può essee scitto coe: H H ; la quantità pende il noe di peeabilità agnetica elativa del ezzo consideato e si indica: ; petanto sostituendo si ha: H H (5.)

9 Popietà agnetiche dei ateiali 5-9 dove pende il noe di peeabilità agnetica (assoluta) del ezzo. Occoe infine fae pesente che tale tattazione non può essee applicata alle sostanze feoagnetiche. Esepio: Consideiao un filo conduttoe indefinito di aggio tascuabile pecoso da una coente stazionaia I posto sull asse di un tubo cilindico di ateiale agnetizzabile di aggi R e R. Stabiliao l andaento dei vettoi H ed in tutto lo spazio. La sietia del poblea suggeisce che i capi dipendano dalla sola distanza dall asse. Consideiao una ciconfeenza di aggio R concentica all asse del tubo e disposta pependicolaente a tale asse. Applicando la elazione (5.) a tale ciconfeenza si ha: H dl H I cioè: I H. (5.3) Pe R si è nel vuoto petanto è possibile icavae il capo agnetico dalla elazione (5.) pe così: I H. (5.4) Pe R R siccoe la cicuitazione del vettoe H dipende dalle sole coenti di conduzione continua a valee l espessione (5.3) e analogaente pe R. Dalla (5.) segue che nel passaggio dalla egione intena al tubo dove R a quella in cui R R il capo agnetico subisce una discontinuità cioè: I H (5.5) e infine pe R continua a valee la (5.4). Il vettoe agnetizzazione saà diveso da zeo solo pe R R ; dalla elazione (5.) utilizzando la (5.3) e la (5.5) il suo odulo vale: I I I H. Petanto il vettoe H vale: I H ; il capo agnetico vale: I I I R R R R ;

10 5- Popietà agnetiche dei ateiali e il vettoe agnetizzazione vale: R I R R R. Vettoialente H ed sono tangenti alle ciconfeenze concentiche al filo col veso dipendente da quello della coente I secondo la egola della ano desta; le densità lineai di coente di agnetizzazione sulla supeficie intena J ed estena S J del S tubo sono date dalla elazione (5.3) e petanto hanno i vesi indicati in figua e i oduli: J J I R I. R S S Pe stabilie le intensità delle coenti di agnetizzazione dividiao la coente che pecoe le supefici del tubo in tante stisce paallele all asse e di spessoe infinitesio dl ciascuna equipaabile ad un filo ettilineo pecoso dalla coente di pai a JS dl alloa: R I S S R I J dl J R R I R I R J R J dl I. R S S Cioè alle divese densità di coente J e S J coispondono eguali coenti che S scoono paallelaente a I I in senso concode e I in senso discode. Esepio: (Capo agnetico di una bobina avvolta su un suppoto agnetizzabile) Consideiao un solenoide indefinito pecoso da una coente I e avvolto attono ad un cilindo agnetizzabile coe nel pecedente paagafo. Pe quanto visto la cicuitazione del vettoe H lungo il pecoso di figua vale: H dl HL nli cioè: H ni. Applicando la elazione (5.) segue: H ni.

11 Popietà agnetiche dei ateiali Sogenti del capo H La caatteistica del capo elettostatico di pesentae dei poli nel senso che le sue linee di foza sono apete oiginando dalle caiche o teinando su queste viene appesentata ateaticaente dalla legge di Gauss che puntualente si espie coe E. L assenza di poli agnetici è sintetizzata dalla elazione. D alta pate applicando l opeatoe divegenza ad abo i ebi dell equazione (5.) siccoe la divegenza del vettoe è nulla si ha: H. Consideiao un agnete peanente ossia tale da non ichiedee delle coenti libee pe sostenee la agnetizzazione; Supponiao che il agnete abbia foa cilindica e sia unifoeente agnetizzato lungo il suo asse al quale associao un ascissa x; così il vettoe saà dietto lungo x e si avà: d. dx Intoducendo quindi una densità di poli agnetici definita coe: isulteà: d dx H. Dall analisi dell andaento di con x si evince che il capo H aette dei poli situati in coispondenza delle esteità del cilindo consideato e in geneale dove isulta non nulla la divegenza di. Quindi in assenza di coenti libee J e il vettoe H soddisfa le elazioni: H H ; ciò ette in luce l analogia con il copotaento del capo elettostatico che soddisfa le elazioni E E. Cioè entabi i capi sono consevativi e sono geneati da poli che possono essee positivi (da essi si dipatono le linee di flusso) o negativi (in essi convegono tali linee). Questo concilia inolte l uso

12 5- Popietà agnetiche dei ateiali del teine polo agnetico con il fatto che il capo è a divegenza nulla: i poli agnetici a cui ci si ifeisce alludendo alle esteità di un agnete peanente sono in effetti sogenti del capo H e non del capo. L analogia ta i due sistei di equazioni consente di icavae la configuazione di linee di foza di H. Con ifeiento alla figua siccoe pesenta una discontinuità in coispondenza delle intefacce appesentate dalle esteità del cilindo agnetizzato queste costituianno un polo negativo detto polo sud (a sinista) e un polo positivo detto polo nod (a desta). Queste linee di flusso isultano siili a quelle del capo elettico E geneate da due distibuzioni di caica di segno opposto sepaate da una ceta distanza cioè a quelle di un dipolo elettico. Il capo H podotto dalla agnetizzazione del ateiale punta nel veso opposto a quello del vettoe all inteno del ateiale e pe questo otivo il capo H inteno al agnete è detto capo deagnetizzante. All esteno del ateiale è nullo ed i capi e H sono legati ta loo da una elazione di popozionalità dietta attaveso il coefficiente petanto le linee di flusso di questi due capi all esteno Linee di foza geneate da un agnete (adattato da Patical Physics 94) del ateiale sono identiche. Così le diffeenze ta e H si anifestano al solo inteno del ateiale dove è popozionale sepe attaveso il coefficiente alla soa H. 5.4 Classificazione dei ateiali agnetici Dispositivo adopeato da Faaday pe lo studio del diaagnetiso (Royal Institution London) Nel 845 Faaday ossevò che un pezzo di veto posto in possiità di una gossa elettocalaita veniva debolente espinto da questa; analoghi effetti epulsivi eano stati notati in pecedenza a tali ossevazioni eano estate isolate. Faaday tovò olteplici sostanze che godevano di questa caatteistica e le chiaò diaagnetiche. Le sostanze che invece isultano attatte dai poli agnetici fuono denoinate paaagnetiche. Alla fine di un lungo studio speientale Faaday concluse che non esistono copi neuti nei confonti del fenoeno agnetico a tutti i copi sono o paaagnetici o diaagnetici. Le sostanze agnetiche possono essee distinte attaveso i valoi della coispondente suscettività agnetica (o della peeabilità agnetica elativa pai a ) elativaente al valoe nullo che assue nel vuoto. Vale la seguente classificazione: Sostanze diaagnetiche ( Sostanze paaagnetiche ( Sostanze feoagnetiche ( 5 ) 5 ) 3 5 )

13 Popietà agnetiche dei ateiali 5-3 Siccoe pe le sostanze diaagnetiche e paaagnetiche è olto piccolo il podotto pe tali sostanze è paticaente uguale a. Inolte coe già anticipato la elazione di seplice popozionalità ta i vettoi e H indicata nella (5.) non ha valoe pe i ateiali feoagnetici; pe tali sostanze infatti il valoe di dipende sia dallo stato pecedente che dal tattaento subito dalla sostanza Sostanze diaagnetiche Il diaagnetiso può essee consideato un fenoeno di tipo geneale nel senso che è coune a tutte le sostanze; i ateiali paaagnetici e feoagnetici sono tali pe la pesenza di alti effetti più significativi che si sovappongono al diaagnetiso pue pesente. Nel caso dei ateiali popiaente diaagnetici l assenza di un oento di dipolo peanente da pate degli atoi costituenti esalta questo effetto. L applicazione di un capo agnetico esteno ad una sostanza diaagnetica deteina l induzione nel ateiale di un debole oento agnetico di veso opposto a quello del capo tale oento si annulla alla iozione del capo esteno. 6 Esepio: L atoo del neon ha elettoni disposti secondo la configuazione s s p ; poiché tutte le coppie di elettoni pe livello sono appaiate con oenti agnetici di spin contapposti l atoo di questo eleento non pesenta un oento di dipolo agnetico peanente coe ostato dal diagaa obitale di figua. Sono diaagnetici olti eleenti ta cui il ae l agento il ecuio l oo il bisuto e il cabonio negli stati di diaante o della gafite. Il bisuto e il diaante sono i ateiali col diaagnetiso più intenso (ispettivaente con pai a e. 5 ). I ateiali supeconduttoi affeddati al di sotto della tepeatua citica in pesenza di un capo agnetico esteno annullano il capo agnetico all inteno diventando dei ateiali diaagnetici pefetti con o (effetto eissne). Questo fenoeno scopeto nel 933 da Walthe eissne e Robet Ochsenfeld è dovuto alla geneazione di coenti elettiche supeficiali in questi ateiali al di sotto della tepeatua citica tali da endee nullo il capo agnetico totale all inteno del ateiale. La teoia pe la descizione del diaagnetiso fu poposta nel 95 da Paul Langevin. L azione di un capo agnetico sugli elettoni obitanti attono al nucleo atoico deteina un oto di pecessione antioaio del vettoe oento angolae degli elettoni attono alla diezione del capo agnetico (pecessione di Lao). Coe il oto obitale degli elettoni poduce la coente (5.) al oto di pecessione coisponde una coente che cicola in senso antioaio attono alla diezione del capo agnetico e che dal teoea di equivalenza di Apee genea di conseguenza un oento agnetico dietto in veso opposto ispetto al capo Sostanze paaagnetiche Nel odello di Langevin il paaagnetiso è una popietà dovuta alla pesenza di atoi dotati di un oento di dipolo agnetico peanente di oigine obitale o di spin. In assenza di un capo agnetico esteno i dipoli sono allineati casualente deteinando una agnetizzazione netta nulla. L oigine della agnetizzazione nel ateiale è una copetizione ta l effetto odinante del capo agnetico esteno e l effetto disodinante dell agitazione teica; si tova infatti che se i oenti di dipolo agnetico non inteagiscono ta loo la suscettività del ateiale segue la legge di Cuie: Paul Langevin

14 5-4 Popietà agnetiche dei ateiali C T in cui è la densità del ateiale T la tepeatua assoluta e C un fattoe di popozionalità detto costante di Cuie. Tale legge appesenta un caso paticolae della legge di Weiss-Cuie che estende il odello anche al caso in cui i dipoli agnetici inteagiscono ta loo: C. T T C In tale espessione T C può essee positiva negativa o nulla; un valoe positivo di T C indica la tepeatua di tansizione (tepeatua di Cuie) al di sotto della quale il ateiale pesenta popietà feoagnetiche un valoe negativo di T C caatteizza i ateiali che sono antifeoagnetici al di sotto di una ceta tepeatua di citica. 6 Esepio: L atoo di alluinio ha 3 elettoni disposti secondo la configuazione s s p 3s 3p ; lo spin dell elettone spaiato sul livello 3p deteina un oento agnetico coplessivo non nullo. Il piccolo valoe della suscettività agnetica pe questa classe di ateiali elativaente a quella dei ateiali feoagnetici li pota ad essee consideati genealente coe ateiali non agnetici. Esepi di ateiali paaagnetici olte all alluinio sono il tungsteno il cesio il litio e il sodio Sostanze feoagnetiche ente nei ateiali paaagnetici la agnetizzazione dipende dalla pesenza di un capo agnetico esteno pe cui all annullasi del capo tale agnetizzazione viene eno nei ateiali feoagnetici è possibile ossevae una agnetizzazione anche in assenza di un capo agnetico esteno (agnetizzazione spontanea). In tali ateiali a dispetto dell agitazione teica è pesente un agente odinante dovuto alla fote inteazione fa dipoli eleentai vicini che deteina l oientazione dei coispondenti oenti tutti nella edesia diezione. Sebbene a basse tepeatue la agnetizzazione spontanea isulti sostanzialente indipendente dalla tepeatua all auentae della tepeatua la agnetizzazione diinuisce pe effetto dell azione disodinante dell agitazione teica sui dipoli agnetici eleentai. Il fenoeno secondo cui una calaita pede le popietà agnetiche sopa una ceta tepeatua fu ipotato da Gilbet nel De agnete e studiato successivaente da olti fisici copeso Faaday fino a Piee Cuie che nel 895 ne foulò la descizione. Piee Weiss Piee Cuie La agnetizzazione spontanea si annulla in coispondenza della tepeatua di Cuie T C ciò copota che pe ottenee una agnetizzazione nel ateiale consideato pe tepeatue supeioi a T C occoe applicae un capo agnetico esteno. Una teoia dei ateiali feoagnetici fu poposta nel 96 dal fisico fancese Piee Weiss. E possibile veificae speientalente che la diezione del vettoe agnetizzazione in un ateiale feoagnetico non è abitaia a dipende dalla diezione degli assi cistallogafici. Consideiao idealente un paallelepipedo di ateiale feoagnetico tagliato in aniea tale che un asse isulti coincidente con una diezione pefeenziale di agnetizzazione. A causa

15 Popietà agnetiche dei ateiali 5-5 della agnetizzazione spontanea la egione di spazio situata in possiità del solido saà sede di un capo agnetico. E possibile povae che dal punto di vista enegetico tale configuazione non è la più favoevole. L enegia associata al capo agnetico in tutto lo spazio è data dall integale 4 : U H dv V dove il vettoe H è legato al capo agnetico dalla elazione (5.) che pe seplicità assuiao valida anche pe questi ateiali con ; nell espessione pecedente V indica il volue ento cui il podotto H è diveso da zeo. Nel caso in questione tale integale può essee diviso in due teini uno calcolato nel volue del ateiale e l alto nello spazio estante: U dv dv esteno ateiale dove essendo il secondo addendo è tascuabile ispetto al pio così: U esteno dv Questa enegia saà tanto aggioe quanto più è esteso il volue ento il quale il capo agnetico assue valoi divesi da zeo. Configuando il volue in due egioni sepaate con agnetizzazioni contapposte dette doini è possibile idue il valoe dell enegia poiché in questa aniea diinuisce il volue ento cui è significativo il capo agnetico in quanto le linee di foza si chiudeanno stettaente dal polo nod di un doinio a quello sud dell alto. Siccoe a tale configuazione copete un enegia agnetica infeioe a quella della configuazione pecedente ne segue che tale configuazione isulta favoita. E possibile natualente estendee questo pocediento a aggioi faentazioni dei doini pe conseguie stati enegeticaente sepe più favoevoli. Questo copotaento suggeisce che un ateiale feoagnetico ha la tendenza pe otivi enegetici ad oganizzasi in egioni in ciascuna delle quali la agnetizzazione è oogenea a diffeente da quella pesente nelle egioni cicostanti. Si pova inolte che tale divisione non pocede sino al copleto disallineaento di tutti i dipoli eleentai che costituiscono il ateiale poiché all auentae del nueo di doini auentano alte foe di enegia intena sino a endee sfavoevole l ulteioe faentazione dei doini; si aggiunge così una condizione di equilibio coispondente ad un nueo di doini agnetici infeioe al nueo di dipoli eleentai. In assenza di un capo agnetico esteno il ateiale non anifesta in geneale popietà agnetiche peché sebbene in un doinio sia pesente una ceta agnetizzazione spontanea l effetto è globalente annullato dalle agnetizzazioni divese dei doini contigui. L effetto di un capo agnetico esteno coisponde quindi all alteazione della stuttua a doini in isua tale da deteinae l oientazione dei vettoi agnetizzazione locale nella diezione del capo esteno. Cioè a seguito dell applicazione del capo esteno auenteà il 4 Questa elazione veà icavata nel pa. 6.6

16 5-6 Popietà agnetiche dei ateiali nueo di egioni in cui la agnetizzazione è oientata nella diezione del capo a scapito di quelle in cui è oientata divesaente. In patica tale effetto saà deteinato o da uno spostaento delle paeti (paeti di loch) che deliitano i doini di agnetizzazione concode al capo veso i doini di diffeente agnetizzazione oppue da una specifica oientazione dei dipoli eleentai costituenti i doini nella diezione del capo esteno. L esistenza dei doini agnetici fu confeata speientalente nel 93 da Fancis itte attaveso ossevazioni al icoscopio. Nel 93 Louis-Eugène Néel ostò che in alcune sostanze pe tepeatue infeioi ad una ceta tepeatua citica (tepeatua di Néel) età dei oenti agnetici è oientata in una ceta diezione e l alta età è allineata nella diezione opposta pe cui la agnetizzazione isultante è nulla. Tali sostanze sono dette antifeoagnetiche. 5.5 Isteesi agnetica Consideiao un ateiale feoagnetico a tepeatue infeioi a quella di Cuie e supponiao che gli effetti dei doini agnetici siano utuaente copensati in odo che la agnetizzazione netta del ateiale isulti nulla. All applicazione di un capo H col cescee del odulo di questo l intensità del vettoe agnetizzazione nel ateiale auenteà sino a aggiungee un valoe di satuazione s coispondente alla situazione in cui tutti i doini sono oientati nella diezione del capo esteno. Al idusi del odulo di H l intensità della agnetizzazione non diinuià passando attaveso i valoi assunti pecedenteente a a causa della non lineaità del fenoeno della agnetizzazione seguià un alto andaento. Quando il capo esteno si annulla la agnetizzazione antiene un valoe non nullo detto agnetizzazione esidua. Pe annullae questa agnetizzazione si ende necessaio quindi invetie il veso del capo applicato sino a aggiungee un valoe Hc detto capo coecitivo. Auentando ulteioente l intensità del capo sepe in tale diezione si aggiunge una nuova condizione di satuazione coispondente in questo caso allo stato in cui tutti i doini sono oientati nella nuova diezione del capo H. Diinuendo l intensità del capo sino ad annullala la agnetizzazione antiene un valoe non nullo. Pe annullae tale agnetizzazione occoe nuovaente Doini agnetici in un fil di nickel spesso 8 n. La diezione del vettoe agnetizzazione è oientata pependicolaente al piano del foglio il veso è entante nelle egioni più scue e uscente in quelle più chiae. (R. Hoffann et al. Univ. di asel Svizzea) invetie la diezione del capo e potalo ad un valoe pai a H c. Infine auentando ulteioente il capo H si iottiene la condizione di satuazione coispondente alla agnetizzazione s. Da questo punto in poi iducendo il capo e poi auentandolo nuovaente si ipecoe la stessa cuva che pende il noe di cuva di isteesi. Attaveso la conoscenza dei valoi delle intensità della agnetizzazione esidua e del capo coecitivo H c è possibile classificae i ateiali dal punto di vista della isposta all applicazione di un capo agnetico esteno. Un ateiale feoagnetico con un basso valoe di H e con possio al valoe di satuazione s è caatteizzato dal ichiedee capi poco intensi pe aggiungee la satuazione. Siccoe la suscettività c

17 Popietà agnetiche dei ateiali 5-7 agnetica del ateiale è definita coe il appoto H in possiità dei tatti del ciclo in cui la pendenza è elevata isulta alta di conseguenza anche la suscettività e quindi è gande anche la peeabilità del ateiale. I ateiali di questo tipo sono detti dolci nel senso che sono in gado di vaiae apidaente il loo stato agnetico in coispondenza di piccole vaiazioni del capo applicato. Un ateiale feoagnetico in cui H c è elevato sebbene sia possio a s è detto duo peché pesenta un estea difficoltà ad essee agnetizzato nel senso che se pe effetto di un capo esteno viene potato alla condizione di satuazione occoe fonie un capo intenso pe deteinane la sagnetizzazione. Esepio: In un sistea di eoizzazione su suppoto agnetico è pesente una testina agnetica ealizzata in feo dolce pe essee in gado di seguie apidaente le vaiazioni della coente applicata alla bobina eccitatice ed un suppoto pe l iagazzinaento dei dati in feo duo in aniea da ipedie la pedita di infoazioni pe sagnetizzazione. 5.6 Condizioni di accodo all intefaccia ta due ateiali agnetici Le condizioni di accodo pe i capi e H nel passaggio da un ezzo ateiale ad un alto possono essee dedotte in aniea analoga a quanto fatto pe i vettoi D e E nel caso dei ateiali dielettici. In paticolae consideando un cilindo infinitesio che inteseca l intefaccia consideata siccoe il flusso del vettoe attaveso una qualsiasi supeficie chiusa è nullo si ottiene: ; (5.6) n n inolte dalla (5.) segue: H H. n n Consideando un pecoso infinitesio chiuso situato a cavallo dell intefaccia consideata e che non concatena alcuna coente acoscopica poiché in tal caso dalla (5.) segue che la cicuitazione del vettoe H è nulla si ottiene: H H t t e dalla (5.):. (5.7) t t

18 5-8 Popietà agnetiche dei ateiali Petanto le elazioni di accodo all intefaccia ta due ezzi ateiali divesi sono pe il capo agnetico: n n t t e pe il vettoe H : H H Ht Ht n n. Esepio: Dalle condizioni di accodo si evince che le linee di foza del capo agnetico tendono ad addensasi all inteno di un ateiale feoagnetico. Sia la supeficie di sepaazione ta due ezzi ateiale di peeabilità agnetica elativa ispettivaente e. Con ifeiento alla figua isulta: t tan n t tan n pe cui dividendo ebo a ebo dalla (5.6) e dalla (5.7) si ottiene: tan t n t tan n t t espessione nota coe legge della ifazione delle linee di foza del capo agnetico nel passaggio da un ezzo ateiale ad un alto. Se coe accade all intefaccia ta il vuoto in cui vale e un ateiale 4 feoagnetico in cui è dell odine di isulta cioè il vettoe è paticaente paallelo alla supeficie. Questa popietà è alla base del funzionaento degli schei agnetici. Consideiao un tubo di ateiale feoagnetico situato in una egione in cui è pesente un capo agnetico; pe quanto visto le linee di foza tendono ad addensasi nel ateiale dove il capo assue un valoe elevato ente sono quasi assenti all inteno. L azione dello scheo è ipefetta poiché se il capo agnetico incide pependicolaente alla supeficie del tubo e vale alloa dalla elazione pecedente si ha che anche vale e petanto le coispondenti linee di foza del capo agnetico penetano all inteno. Tale dispositivo viene couneente adopeato in tutte le cicostanza in cui si ende necessaio annullae il capo agnetico all inteno di una egione. 5.7 Cicuiti agnetici L esepio pecedente osta coe adopeando un ateiale feoagnetico è possibile confinae in aniea soddisfacente le linee di foza del capo agnetico in una istetta egione dello spazio. Tale popietà dei ateiali feoagnetici costituisce la base pe la costuzione dei cicuiti agnetici. Consideiao N spie di filo conduttoe unifoeente avvolte su un suppoto feoagnetico tooidale di sezione S e pecose da una coente I; tascuando le linee di foza di

19 Popietà agnetiche dei ateiali 5-9 che escono dal suppoto 5 il flusso del capo agnetico assue lo stesso valoe in coispondenza di ciascuna sezione del suppoto. Supponendo inolte che il vettoe sia unifoe su tutti i punti della sezione e dietto pependicolaente ad essa assuendo valida pe questo ateiale la elazione (5.) isulta: S SH. (5.8) Inolte dalla (5.) valutando la cicuitazione del vettoe H lungo la linea ediana del suppoto (di lunghezza l) si ha: H dl Hl NI. (5.9) Confontando le elazioni (5.8) e (5.9) segue: NI l S ; (5.) John Hopkinson questa espessione foulata da John Hopkinson nella seconda età del diciannovesio secolo ette in luce una elazione di popozionalità ta la coente coplessiva NI che attavesa le spie del solenoide ed il flusso del capo agnetico. Tale elazione isulta foalente analoga alla legge di Oh applicata ad un cicuito elettico chiuso in cui un geneatoe di foza elettootice deteina il flusso di una coente attaveso una esistenza. Indicando con: l S e definendo inolte: NI la legge di Hopkinson (5.) si espie coe:. (5.) Le quantità ed ispettivaente analoghe alla foza elettootice ed alla esistenza pendono i noi di foza agnetootice e iluttanza. La foza agnetootice si isua in apespie ( Asp ) e poiché il flusso del capo agnetico si espie in Wb la iluttanza si isua in Asp Wb. 5 Tali linee di foza costituiscono il flusso dispeso del capo agnetico.

20 5- Popietà agnetiche dei ateiali Esepio: Consideiao il dispositivo di figua in cui i vai tonchi del cicuito agnetico posti a contatto ta loo coe ostato sono caatteizzati da divesi valoi della sezione e della peeabilità agnetica elativa; assuendo che sia tascuabile il flusso dispeso il flusso del capo agnetico attaveso le sezioni di ciascun tonco vale: S S S S ; inolte calcolando la cicuitazione del vettoe H lungo la linea ediana del cicuito si ha: H l H l H l H l N I N I N I N I dove l l l e 3 l appesentano le lunghezze di ogni tonco del 4 cicuito e NI NI NI e 3 3 NI le foze agnetootici associate 4 4 a ciascuna bobina. Indicando con: NI NI N3I3 N4I4 la foza agnetootice totale agente sul cicuito agnetico dalla elazione (5.) segue: petanto indicando con N I N I N I N I H l H l H l H l l l l l l l l l S S S S S S 3S3 4S4 l l l3 l4 S S S S l l l l S S 3S 3 4S (5.) 4 la soa delle iluttanze di ciascun tonco del cicuito isulta:. L espessione (5.) è analoga a quella elativa alla seie di esistenze petanto i tonchi del cicuito agnetico consideato e di conseguenza le coispondenti iluttanze sono detti in seie. La elazione (5.) può essee genealizzata in una espessione analoga alla legge di Kichhoff pe le tensioni: l n n l la quale affea che la soa delle foze agnetootici in un cicuito agnetico chiuso uguale alla soa delle cadute di tensione agnetica n il cicuito. l è dei vai tonchi che costituiscono

21 Popietà agnetiche dei ateiali 5- Consideiao una pozione di cicuito agnetico in cui confluiscono più tonchi in analogia al caso dei cicuiti elettici a tale pozione in cui si uniscono le linee di flusso povenienti dai divesi tonchi diao il noe di nodo. Valutando il flusso del capo agnetico attaveso una supeficie S chiusa che contiene tale nodo ed assuendo che sia tascuabile il flusso dispeso dalla (4.6) isulta: ds S S 3S3 S ovveo:. 3 3 Questa elazione può essee facilente genealizzata al caso di n tonchi attaveso la elazione: n k k k (5.3) dove la soa è calcolata sul nueo di tonchi che confluisco nel nodo. Tale espessione appesenta l analogo della legge di Kichhoff pe le coenti elativa ai cicuiti agnetici. Petanto in geneale pe lo studio dei cicuiti agnetici coplessi è possibile icoee ai etodi isolutivi popi delle eti elettiche facendo uso della foale analogia esistente ta cicuiti elettici e cicuiti agnetici. Esepio: Consideiao il cicuito agnetico di figua costituito da ateiale feoagnetico oogeneo di sezione S costante dove l avvolgiento di N spie è pecoso dalla coente I. Applicando la elazione (4.6) ad una supeficie chiusa contenente il nodo A tascuando il flusso dispeso isulta: ds S S S S 3 ovveo posto: S S 3 S 3 (5.4) si ha:. (5.5) 3 Calcolando la cicuitazione del vettoe H lungo le due aglie e abitaiaente il veso di cicolazione oaio pe entabe dalla (5.) si ha: che costituiscono il cicuito assuendo

22 5- Popietà agnetiche dei ateiali H dl Hl Hl NI H dl H3l3 Hl (5.6) dove l l e l 3 appesentano la lunghezza di ciascun tonco che costituisce il cicuito. Assuendo la validità della elazione (5.) dalle (5.4) si ha: H S H S 3 3 H3 S e sostituendo nelle (5.6) si ottiene: l l NI S S (5.7) 3 l3 l. S S (5.8) Risolvendo il sistea lineae ta le equazioni (5.5) (5.7) e (5.8) è possibile deteinae il flusso del capo agnetico attaveso un qualsiasi tonco del cicuito agnetico e dalle elazioni (5.4) si icavae le intensità dei capi agnetici nei tonchi. In paticolae ad esepio: l l3 l S S NI S S l l3 S (5.9) da cui segue: NI S. l l3 l S S l S l3 S S (5.3) Adopeando l analogia ta cicuiti agnetici e cicuiti elettici è possibile itovae agevolente lo stesso isultato; associando ad ogni tonco del cicuito agnetico la coispondente iluttanza: 3 l S l S l3 S e indicando con la foza agnetootice NI il cicuito agnetico può essee scheatizzato così coe appesentato nella figua. Da tale schea segue che il flusso soddisfa la elazione:

23 Popietà agnetiche dei ateiali che coincide con la (5.9). La legge di Hopkinson può continuae ad essee adopeata anche qualoa nel cicuito agnetico venga aspotata una pozione di un tonco di lunghezza olto inoe della sezione del tonco stesso ceando in aia un tafeo. Dalla condizione di accodo (5.6) segue che la coponente noale del capo agnetico si antiene continua in coispondenza di qualsiasi intefaccia petanto in pia appossiazione è possibile tascuae il flusso dispeso e appesentae il tafeo attaveso la sua coispondente iluttanza. Con la ealizzazione di tafei è possibile quindi endee accessibile un capo agnetico all esteno del cicuito; i cicuiti agnetici dotati di tafeo tovano applicazione della ealizzazione di elettoagneti invece i cicuiti agnetici chiusi si adopeano ad esepio nei tasfoatoi. Esepio: Consideiao un suppoto feoagnetico oogeneo tooidale di sezione S sul quale è ealizzato un avvolgiento di N spie conduttici pecose da una coente I. Il cicuito di lunghezza coplessiva l pesenta un tafeo in aia di lunghezza l. Le iluttanze del cicuito e del tafeo valgono ispettivaente: l l S l S dove appesenta la peeabilità agnetica elativa del ateiale; poiché il tafeo è in aia nel calcolo della coispondente iluttanza si è assunto. Il cicuito consideato può essee scheatizzato coe ostato in figua così applicando la legge di Hopkinson e consideando che le iluttanze e sono disposte in seie si ha: dove la foza agnetootice vale NI. Sostituendo alle iluttanze le coispondenti espessioni è possibile ad esepio deteinae il valoe del capo agnetico nel tafeo. Risulta infatti: NI l l l S S così dalla (5.8) segue: NI. S l l l Esepio: Il cicuito agnetico ostato in figua è ealizzato da due bacci uguali di ateiale feoagnetico di lunghezza edia ls l pai a D c e da una pate centale di lunghezza l C di 36 c sulla quale sono avvolte spie conduttici. La sezione di ogni pate del cicuito è unifoe. Nota la cuva di

24 5-4 Popietà agnetiche dei ateiali agnetizzazione 6 del ateiale che costituisce il cicuito stabiliao l intensità della coente I che deve pecoee l avvolgiento affinché il capo agnetico attaveso i due bacci sia pai a. T. In coispondenza del punto A il flusso del capo agnetico attaveso il tonco centale del cicuito si ipate equaente fa i due bacci poiché questi sono identici; petanto l intensità del capo in tali tonchi S deve essee età di quella nel tonco centale D : C. T. D C Dalla cuva di agnetizzazione si deduce che a queste intensità del capo agnetico coispondono le intensità del vettoe H : H H D C 44 Asp ; 96 Asp. Calcolando la cicuitazione del vettoe H lungo una delle due aglie che costituiscono il cicuito si ha: H dl H l H l NI D D C C da cui segue: HDlD HClC I 4.9 A. N C D S Esepio: Se nel cicuito agnetico dell esepio pecedente viene paticato un taglio di in coispondenza del baccio di desta valutiao la coente necessaia affinché il capo agnetico attaveso tale tafeo abbia un intensità pai a.4 T. Quando viene paticato il taglio nel punto A il flusso del capo agnetico cessa di dividesi equaente ta i due bacci lateali siccoe pe effetto del taglio pesentano una iluttanza diffeente; dalla elazione (5.3) segue: dove C e D appesentano ispettivaente il flusso del capo agnetico attaveso i bacci centale desto e S sinisto C e D. Siccoe la sezione di ciascun tonco del cicuito è unifoe si ha: S C D S. (5.3) Indicando con il capo agnetico nel tafeo il coispondente vettoe i H i 5 i 3. Asp ; H ha intensità: i tascuando il flusso dispeso i capi e D ispettivaente nel i tonco desto del cicuito e nel tafeo possono essee assunti uguali petanto:.4 T D i 6 Si ossevi che la cuva di agnetizzazione pe un ateiale feoagnetico può essee indiffeenteente appesentata sia attaveso la elazione funzionale ta e H coe ostato nel pa. 5.5 che ta e H coe in questo esepio. Le due appesentazioni sono collegate ta loo dalla elazione (5.).

25 Popietà agnetiche dei ateiali 5-5 e dalla cuva di agnetizzazione segue che: HD 57 Asp. Valutando la cicuitazione del vettoe H lungo la aglia costituita dai due bacci esteni del cicuito ed ossevando che l l isulta: i D H dl H l H l l H l H l H l H l i i D D i S S i i D D S S essendo nulla la foza agnetootice in questa aglia; da tale elazione segue quindi che l intensità del vettoe H nel tonco di sinista vale: H S Hili H DlD 469 Asp ; l a cui coisponde un capo agnetico: S. T. S Nota quindi l intensità del capo agnetico nei due bacci lateali attaveso la elazione (5.3) è possibile stabilie l intensità del capo agnetico nel tonco centale:.5 T C D S a cui coisponde: HC 68 Asp. Infine calcolando la cicuitazione del vettoe H lungo la aglia di desta del cicuito si ha: H dl H l H l H l NI i i D D C C da cui segue: Hili HDlD HClC I 9.3 A. N Esepio: Un elettoagnete è costuito avvolgendo spie conduttici attono ad un nucleo feoagnetico la cui cuva di isteesi è ostata in figua. La lunghezza edia del cicuito agnetico che costituisce l elettoagnete è di 4 c e lo spessoe del tafeo è di c. Stabiliao l intensità I della coente attaveso l avvolgiento S necessaia a potae il ateiale alla satuazione in coispondenza del punto S del ciclo di isteesi. In tale punto i coispondenti valoi dell intensità del vettoe H e del capo agnetico sono: H S 3 43 Asp.4 T ; S

26 5-6 Popietà agnetiche dei ateiali Valutando la cicuitazione del vettoe H lungo il cicuito agnetico consideato nella condizione di satuazione si ha: H dl H l H l l NI S S S dove cioè: H appesenta l intensità del vettoe H nel tafeo alla satuazione S H S S. l l l S IS HS ka N N.7. Sostituendo nella pecedente espessione segue: Esepio: Consideiao il cicuito agnetico dell esepio pecedente supponiao che una volta aggiunta la condizione di satuazione del ateiale feoagnetico la coente attaveso l avvolgiento venga pogessivaente idotta fino al valoe di 5 A. Stabiliao le intensità del vettoe H e del capo agnetico nel tafeo nelle due cicostanze in cui la cuva di isteesi venga pecosa facendo scoee la coente attaveso l avvolgiento in un veso oppue nell alto. Valutando la cicuitazione del vettoe H lungo il cicuito agnetico si ha: H dl H l H l l NI dove H appesenta l intensità del vettoe H nel tafeo ; sostituendo nella pecedente espessione è possibile icavae l intensità del capo agnetico: ll NI H (5.3) l l facendo l intesezione di questa etta di caico con la cuva di isteesi si tovano i due stati: H A A 3 7 Asp 9. T ; H C C 3 3 Asp.3 T. Il pio dei due è ottenuto potando pia l intensità del vettoe H ad un elevato valoe positivo fino a aggiungee la satuazione pe il secondo stato invece tale vettoe è stato potato ad un elevato valoe negativo. Si ossevi che nel pio stato i vettoi H e nel ateiale sono discodi nel secondo invece sono concodi; in paticolae se a patie dallo stato A l intensità di H fosse ulteioente auentata fino a potala al valoe coecitivo H (in questo caso di 3 Asp ) il capo agnetico isulteebbe nullo; ovviaente nel tafeo i vettoi H e sono sepe c

27 Popietà agnetiche dei ateiali 5-7 concodi. Qualoa venga fatta cabiae l intensità della coente attaveso l avvolgiento la etta di caico (5.3) si sposta antenendosi sepe paallela a se stessa poiché il elativo coefficiente angolae dipende solo dalla geoetia del cicuito agnetico. Se viene diinuito lo spessoe del tafeo la etta di caico uota in senso oaio attono all intecetta oizzontale; nel liite in cui lo spessoe del tafeo viene annullato la etta di caico si dispone paallelaente all asse veticale il elativo valoe di del capo agnetico appesenta il assio valoe ottenibile pe la coispondente coente nell avvolgiento natualente in questo caso tale capo non è accessibile all esteno del ateiale. Una paticolae cicostanza si ha qualoa la coente attaveso l avvolgiento si annulla la etta di caico diventa: l l l H e passa pe l oigine. La pesenza del capo agnetico in assenza della coente indica che il ateiale è diventato un agnete peanente in questo caso i vettoi H e nel ateiale si antengono sepe discodi. Se in queste condizioni lo spessoe del tafeo viene annullato si annulleebbe di conseguenza anche il coispondente vettoe H ; quando H è nullo dalla elazione (5.) segue che il capo agnetico vale e il suo odulo dato dall intesezione della cuva di isteesi con l asse veticale è detto capo agnetico esiduo. Esepio: Il agnete di figua è costituito da una sbaa agnetizzata di sezione S pai a 4 c e lunghezza l di 3 c e da due àncoe di feo dolce di sezione S pai a c che deliitano un tafeo di spessoe l pai a 4 c. In figua è ostata la cuva di isteesi del ateiale che costituisce la sbaa agnetizzata. Stabiliao il capo agnetico nel tafeo assuendo tascuabile il flusso dispeso e supponendo olto elevata la peeabilità agnetica elativa del ateiale che costituisce le àncoe. Valutando la cicuitazione del vettoe H lungo il cicuito agnetico che costituisce il agnete si ottiene: H dl H l H l H l a a dove H H e a H indicano ispettivaente le intensità del vettoe H nella sbaa agnetizzata nell àncoa e nel tafeo; l è la a lunghezza delle àncoe. Poiché la peeabilità agnetica elativa del ateiale che costituisce le àncoe è olto elevata il teine H pai a a a in cui è il odulo del capo agnetico a nelle àncoe può essee consideato tascuabile nella soa pecedente. Tascuando inolte il flusso dispeso dalla elazione (5.3) segue: S S (5.33) dove e appesentano ispettivaente le intensità del capo agnetico nella sbaa agnetizzata e nel tafeo; siccoe vale H da tale elazione e dalla pecedente si ha: