Appunti di Analisi Matematica. Dr. Luca Granieri

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1 Appunti di Anlisi Mtemtic Dr. Luc Grnieri 008

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3 Indice Introduzione i Continuità per le funzioni di un vribile rele. Continuità Successioni Integrzione 7. Definizione di integrle secondo Riemnn Cenni ll misur e ll integrle di Lebesgue Il Teorem fondmentle del clcolo integrle Alcuni metodi di integrzione Integrzione per prti Integrzione per sostituzione Integrzione di funzioni rzionli Integrli generlizzti Esercizi reltivi l cpitolo Clcolo differenzile per funzioni di più vribili 7 3. Cenni di topologi di R N Richimi di lgebr linere Mtrici e ppliczioni lineri Sistemi lineri Il metodo di eliminzione di Guss Derivte przili e differenzibilità Derivte przili Derivte successive e Teorem di Schwrz Differenzile di funzioni di più vribili i

4 Cpitolo Continuità per le funzioni di un vribile rele Ricordimo le proprità principli degli estremi superiori e inferiori che lscimo come utile esercizio. Esercizio. Si A R e si y un mggiornte per A. Le seguenti ffermzioni sono equivlenti:. y = sup A,. z < y x A t.c. z < x, 3. ε > 0 x A t.c. y < x + ε. Per l estremo inferiore vle un risultto nlogo: Esercizio. Si A, B R e si y un minornte per A. Le seguenti ffermzioni sono equivlenti:. y = inf A,. y < z x A t.c. x < z, 3. ε > 0 x A t.c. x < y + ε. Srà utile nche il seguente Esercizio 3. Se A, B R llor si verificno:. sup(a + B) sup A + sup B,. inf A + inf B inf(a + B), 3. A B inf B inf A, 4. A B sup A sup B, 5. se λ > 0, llor sup(λa) = λ sup A, inf(λa) = λ inf A, 6. se λ < 0, llor sup(λa) = λ inf A, inf(λa) = λ sup A.

5 CAPITOLO. CONTINUITÀ PER LE FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE. Continuità Definizione 4 (Continuità). Un funzione f : A R si dice continu in un punto x 0 A se ε > 0 δ > 0 tle che x A : x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε. f si dice continu in A se lo è in tutti i punti di A. Esempio 5. f(x) = x è continu in R. Fissti x 0 R ed ε > 0 vlutimo che Allor si h f(x) f(x 0 ) = x x 0 = x x 0 x + x 0 x x 0 ( x x 0 + x 0 ). x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < δ + δ x 0. Quindi bst prendere δ soluzione positiv dell equzione δ +δ x 0 ε per verificre l definizione di continuità. Osservimo che nell esempio precedente l scelt di δ dipende nche dl punto x 0 considerto oltre che d ε. Le funzioni per cui tle scelt può essere ftt indipendentemente dll scelt del punto x 0 si dice uniformemente continu. Definizione 6 (Continuità uniforme). Un funzione f : A R si dice uniformemente continu in A se ε > 0 δ > 0 tle che x, y A : x y < δ f(x) f(y) < ε. Certmente le funzioni uniformemente continue sono continue. In generle il vicevers non è vero. Esempio 7. L funzione f(x) = x non è uniformemente continu. Inftti, supponimo per ssurdo che ci sino ε, δ che verifichino l definizione di uniforme continuità. Per x > 0 prendimo y = x + δ/, per cui x y = δ/ < δ. Tuttvi si h y x = x x δ /4 xδ = xδ + δ /4 > xδ. Allor se si prende x > ε/δ si ottiene x y > ε. Lemm 8 (Permnenz del segno). Si f : A R un funzione continu, x 0 A. Se f(x 0 ) > l (risp. f(x 0 ) < l) llor esiste r > 0 tle che f(x) > l (risp. f(x) < l) per ogni x [x 0 r, x 0 +r] A. Dimostrzione. Prendimo ε > 0 tle che f(x 0 ) > l + ε. Per continuità in x 0, in corrispondenz di tle ε > 0 possimo trovre δ > 0 tle che per ogni x A risulti x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε. Se dunque x [x 0 δ, x 0 + δ] A risult x x 0 < δ e quindi f(x 0 ) f(x) < ε. f(x) > f(x 0 ) ε > l + ε ε = l. L ltro cso si dimostr in mnier del tutto nlog. Pertnto Teorem 9 (degli zeri). Si I R un intervllo e f : I R un funzione continu. Se esistono due punti, b I tli che f() < 0 < f(b), llor esiste un punto x 0 I tle che f(x 0 ) = 0. Dimostrzione. Definimo l insieme A := {x [, b] : f(x) < 0 }. Ossevimo che A. Essendo A limitto possimo considerre x 0 = sup A. Voglimo or provre che f(x 0 ) = 0. Inftti, se fosse f(x 0 ) < 0 vremmo x 0 < b. Per l permnenz del segno troveremmo r > 0 tle che f(x 0 + r) < 0. M questo contrddice il ftto che x 0 è estremo superiore di A. Se invece fosse f(x 0 ) > 0, per l permnenz del segno troveremmo un r > 0 per cui f è strettmente positiv in [x 0 r, x 0 ]. Per le proprietà dell estremo superiore possimo trovre un x A tle che x 0 r < x x 0. M llor si vrebbe 0 < f(x) < 0.

6 .. SUCCESSIONI 3 Corollrio 0 (Teorem dei vlori intermedi). Si I R un intervllo e f : I R un funzione continu. Dti due punti, b I, l funzione f ssume tutti i vlori compresi tr f() e f(b). Dimostrzione. Si f() < k < f(b). Dobbimo quindi mostrre che esiste un punto x 0 I tle cge f(x 0 ) = k. Considerimo l funzione continu g(x) = f(x) k. Allor g() = f() k < 0, g(b) = f(b) k > 0. Per il Teorem degli zeri possimo concludere che g(x 0 ) = 0 per un opportuno x 0 I. M llor f(x 0 ) = k. Esempio. L funzione P (x) = 3x 5 4x x+ è continu? Vedremo in seguito che l rispost è ffermtiv. Osservto llor che P (0) =, P () =, per il Teorem degli zeri possimo concludere che il polinomio P (x) mmette lmeno un rdice.. Successioni Definizione. Si dice successione ogni funzione : N R. Indicti con 0 = (0),..., n = (n), si indicherà l successione semplicemente elencdone in mnier comptt i vlori e scriveremo ( n ) n 0. Definizione 3. Si dice che un successione è monoton crescente (risp. decrescente) se n n+ (risp. n+ n ) per ogni n 0. Proposizione 4. Ogni successione monoton mmette limite. Dimostrzione. Supponimo d esempio che l successione si crescente. Si l = sup n. Provimo che n l per n +. Inftti, fissto ε > 0, per le proprietà dell estremo superiore possimo trovre un indice ν tle che l ε < ν. Allor, per n ν si ottiene n l = l n l ν < ε. Esempio 5. lim n + n = 0. Fissimo ε > 0. Poichè i numeri nturli non sono limitti in R possimo trovre ν N tle che ν > ε. Allor n ν : n ν < ε. L successione (( ) n ) n 0 non è convergente. Esempio 6. lim n + n = +. Osservimo che se due successioni verificno definitivmente n b n llor se l successione ( n ) n 0 è divergente positivmente, nche l (b n ) n 0 lo è. Così d esempio si h lim n! = +, lim n + n + nn = +. Esercizio Esempio 7. lim n + n +n n +. n + n n + lim n. n + = + /n /n + /n.

7 4 CAPITOLO. CONTINUITÀ PER LE FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE Esempio 8. lim n + cos n n = 0. Esercizi. lim n + n++cos n 3 n,. lim n + n! n n, 3. lim n + n n, Definizione 9. Dt un successione ( n ) e un successione crescente di interi k n k n+, l successione ( kn ) si dice successione estrtt o sottosuccessione. Proposizione 0. Se n l llor ogni succesione estrtt converge llo stesso limite. Dimostrzione. Fissto ε > 0, definitivmente si h n l < ε. Poichè k n n, definitivmente si h pure che kn l < ε. Definizione (Insiemi comptti). Un insieme K R si dice comptto (per successioni) se ogni successione di elementi di K mmette un estrtt che converge d un elemento di K. Teorem. Ogni intervllo [, b] R è comptto. Dimostrzione. Si (x n ) un successione di [, b]. Considerimo l insieme A = {x [, b] : x n < x per un numero finito di indici n}. Chirmente A. Poichè A è limitto possimo considerre c = sup A. Nturlmente c b. Fccimo vedere che lmeno un successione estrtt converge c. Inftti, se così non fosse, in un piccolo intorno di c si troverebbero soltnto un numero finito di elementi dell successione. Ovvero esisterebbe δ > 0 tle che x n [c δ, c + δ] solo per un numero finito di indici n. M llor c + δ A e questo contrddice il ftto che c = sup A. Teorem 3 (Bolzno-Weierstrss). Ogni successione limitt mmette un estrtt convergente. Dimostrzione. Dll limittezz segue che x n [ M, M] per ogni indice n. Poichè l intervllo [ M, M] è comptto segue che l successione deve mmettere un estrtt convergente. Definizione 4. Un punto x 0 si dice di ccumulzione per un insieme A se esiste un successione x n A \ {x 0 } tle che x n x 0. Osservimo che i punti di ccumulzione possono nche non pprtenere ll insieme dto. Ad esempio, gli estremi inferiore e superiore di un insieme sono punti di ccumulzione. Inftti se x 0 = sup A, x 0 / A, per ε = /n > 0, utilizzndo le proprietà dell estremo superiore possimo trovre x n A tle che x 0 /n < x n x 0 x n < /n. Dunque x n x 0. I punti che non sono di ccumulzione vengono detti punti isolti. Teorem 5 (di Weierstrss). f : [, b] R continu. Allor f è dott di punti di mssimo e di punti di minimo. Dimostrzione. Si m = inf f. Allor esiste un successione y n di f([, b]) tle che y n m. Rest così individut un successione x n [, b] tle che y n = f(x n ). Utilizzndo l compttezz possimo considerre un estrtt tle che x kn x [, b]. Poichè l funzione f è continu si ottiene f(x) = lim f(x k n + n ) = lim y k n + n = lim y n = m. n + Quindi f è dott di minimo. In modo nlogo si dimostr l esistenz di un punto di mssimo. Teorem 6 (Heine-Cntor). f : K R continu. uniformemente continu. Se K è comptto llor l funzione f è

8 .. SUCCESSIONI 5 Dimostrzione. Supponimo per ssurdo che f non si uniformemente continu. Allor esisterebbe ε > 0 tle che per ogni δ > 0 si possono trovre punti x, y K tli che x y < δ e f(x) f(y) ε. In corrispondenz di δ = /n > 0 possimo trovre due successioni x n, y n K tli che x n y n < /n e f(x n ) f(y n ) ε. Dll compttezz di K trovimo un estrtt x kn x 0 K. Allor y kn x 0 y kn x kn + x kn x 0 < /k n + x kn x 0. Pertnto è pure y kn x 0. Essendo f continu le successioni f(x kn ) e f(y kn ) convergono entrmbe f(x 0 ). M llor l condizione f(x kn ) f(y kn ) ε non può essere soddisftt.

9 6 CAPITOLO. CONTINUITÀ PER LE FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE

10 Cpitolo Integrzione Due problemi fondmentli dell nlisi sono l determinzione dell tngente d un curv ssegnt e l determinzione dell re sottes dll stess. Il primo di questi problemi conduce llo studio delle proprietà di differenzibilità delle funzioni mentre il secondo conduce ll teori dell integrzione. In questo cpitolo ci concentreremo sul problem delle ree. L ide principle è quell di pprossimre l re medinte delle ree elementri e quindi con un procedimento di pssggio l limite.. Definizione di integrle secondo Riemnn Considerimo dunque un funzione limitt f : [, b] R. Un primo psso d compiere è quello di introdurre l nozione di prtizione di un intervllo. Definizione 7 (Prtizioni). Si dice prtizione di [, b] ogni insieme finito π = {x 0, x,..., x n } tle che = x 0 < x <... < x n = b. Indicheremo con P(, b) l insieme di tutte le prtizioni dell intervllo [, b]. A questo punto possimo conderre le ree dei rettngolini ssociti d un prtizione medinte l seguente Definizione 8 (Somme inferiori e superiori). Si π P(, b). Posti m i = inf{f(x) : x [x i, x i ]}, M i = sup{f(x) : x [x i, x i ]}, definimo le somme inferiori e superiori reltive ll prtizione π rispettivmente medinte: s(f, π) = n m i (x i x i ), S(f, π) = i= n M i (x i x i ). Supponimo or che l funzione limitt f : [, b] R si nche positiv e definimo il sottogrfico di f come l insieme i= Γ(f) := {(x, y) R : x [, b], 0 y f(x)}. Il problem delle ree d cui simo prtiti consiste dunque nell ssegnre un qulche significto ll prol re per Γ(f) ed in prticolre per figure pine qulsisi. Qule che si il significto di quest re, certmente vorremo che vlg l proprietà E F Are(E) Are(F ). 7

11 8 CAPITOLO. INTEGRAZIONE In prticolre, poichè le somme inferiori sono contenute nel sottogrfico mentre quelle superiori contengono quest ultimo, vremo s(f, π) Are(Γ(f)) S(f, π) π P(, b). (.) L migliore pprossimzione in (.) si ottiene considerndo l estremo superiore delle somme inferiori e l estremo inferiore di quelle superiori. Questo conduce ll seguente Definizione 9 (Integrle secondo Riemnn). Dt f : [, b] R limitt si definiscono l integrle inferiore e superiore dell f in [, b] rispettivmente medinte s(f) = sup{s(f, π) : π P(, b)}, S(f) = inf{s(f, π) : π P(, b)}. L funzione f si dice integrbile (secondo Riemnn) in [, b] se s(f) = S(f) e tle vlore comune si indic con il simbolo f(x)dx. L Definizione 9 h un importnte significto geometrico. Considerndo inftti gli estremi superiori e inferiori nell disuguglinz (.) si ottiene Se dunque f è integrbile si h che s(f) Are(Γ(f)) S(f). Are(Γ(f)) = f(x)dx. Pertnto, se f è integrbile, srà nturle definire l re del sottogrfico di f medinte il suo integrle. Esempio 30. Prendendo l funzione costnte f(x) = c su [, b], dll definizione di integrle si ricv subito che f(x) = c(b ). Inftti, per ogni prtizione π = {x 0, x,..., x n }, bbimo che m i = c = M i. Pertnto s(f, π) = n c(x i x i ) = c(b ). i= Allo stesso modo si ottiene S(f, π) = c(b ). Non tutte le funzioni limitte sono integrbili, come è mostrto dl seguente Esempio 3. si f : [, b] R l funzione di Dirichelet definit d { se x Q, f(x) = 0 ltrimenti. Se π = {x 0, x,..., x n } è un qulsisi prtizione, dto che i numeri rzionli e irrzionli sono densi in R, in qulsisi intervllino [α, β] ci srnno si numeri rzionli che irrzionli. Segue llor che m i = 0, mentre M i =. Pertnto si ottiene n s(f, π) = 0, S(f, π) = (x i x i ) = (b ). Dunque per cui f non è integrbile (secondo Riemnn). i= s(f) = 0 < b = S(f),

12 .. DEFINIZIONE DI INTEGRALE SECONDO RIEMANN 9 Affinché l nozione di re introdott medinte il processo di integrzione si significtiv occorre trovre un clsse bbstnz mpi di funzioni che sino integrbili. A tl fine srnno utili delle proprietà di monotoni delle somme inferiori e superiori. In effetti le somme inferiori e superiori hnno buone proprietà di monotoni: Lemm 3. si f : [, b] R limitt e π, π P(, b). Allor si hnno:. π π s(f, π ) s(f, π ),. π π S(f, π ) S(f, π ), 3. s(f, π ) S(f, π ). Dimostrzione. Se π π llor π si ottiene d π ggiungendo un numero finito di punti. Supponimo llor che π bbi esttmente un punto in più di π (il cso generle è del tutto nlogo). Detto t tle punto, esso si troverà tr due punti consecutivi x < y di π. Osservimo che prim di x e dopo di y le due prtizioni coincidono. Usndo il punto dell esercizio 3 si ottiene s(f, π ) = s(f, π ) + (y x) inf f (t x) inf f (y t) inf f = [x,y] [x,t] [t,y] = s(f, π ) + (y t) inf f + (t x) inf f (t x) inf f (y t) inf f s(f, π ). [x,y] [x,y] [x,t] [t,y] Il punto si dimostr llo stesso modo. Si fissino or due prtizioni π, π. Poiché π, π π π, di primi due punti bbimo s(f, π ) s(f, π π ) S(f, π π ) s(f, π ). Mettimo in evidenz che dl punto 3 del Lemm 3 segue che s(f) S(f). (.) Esempio 33. Clcolimo xdx. A tl fine dividimo l intervllo in n prti uguli considerndo l prtizione π n = {x 0,..., x n } in cui x i = + i b n. Osservimo che m i = x i mentre M i = x i. Tenendo conto dell formul dell somm dei primi numeri interi, n i=0 i = n(n+), bbimo che = s(f, π n ) = n i= n x i (x i x i ) = i= n i= [ + (i ) b ] b (b ) = (b ) + n n n = (b ) + (b ) [ + (i ) b ] [ + i b n n (i )b ] = n n + n n (i ) = (b ) + i= n + (b ) (b ) + = b. (b ) n(n + ) n = Allo stesso modo si ottiene che lim n + S(f, π n ) = b. Tenuto conto di (.) bbimo b = lim n + s(f, π n) s(f) S(f) lim S(f, π n) = b. n + Pertnto xdx = s(f) = S(f) = b.

13 0 CAPITOLO. INTEGRAZIONE Nturlmente l integrle dell esempio precedente potev essere clcolto direttmente medinte l geometri elementre. Inftti, posto f(x) = x, bbimo Are(Γ(f)) = (b ) + (b ) = b. Questo mostr tr le ltre cose come poss essere difficoltoso clcolre un integrle usndo soltnto le somme superiori ed inferiori nche in csi molto semplici. Avremo pertnto bisogno di strumenti un pò più rffinti. L ftic che fremo srà però ripgt dll possibilità di poter integrre funzioni molto più generli. Enuncimo or un importnte crtterizzzione delle funzioni integrbili secondo Riemnn. Teorem 34. Si f : [, b] R un funzione limitt. Le seguenti condizioni sono equivlenti:. f è integrbile secondo Riemnn,. ε > 0 π P(, b) t.c. S(f, π) s(f, π) < ε. Dimostrzione.. Fissimo ε > 0. Ricordimo che gli integrli inferiore e superiore sono definiti rispettivmente d un estremo superiore e d un estremo inferiore. Allor, usndo le crtterizzzioni dte dll esercizio e dll esercizio, possimo trovre due prtizioni π, π P(, b) tli che s(f) < s(f, π ) + ε, S(f, π ) S(f) + ε. Pres llor un qulsisi prtizione π tle che π, π π, d esempio π = π π, tenuto conto del Lemm 3 e del ftto che s(f) = S(f) si ottiene S(f, π) s(f, π) S(f, π ) s(f, π ) < S(f) + ε s(f) + ε = ε. Provimo desso che. Fissimo ncor ε > 0. Dll condizione trovimo un π P(, b) tle che 0 S(f) s(f) S(f, π) s(f, π) < ε. Dll rbitrrietà di ε > 0 si ottiene che S(f) = s(f). Or simo in grdo di individure lcune clssi di funzioni integrbili; un di queste è costituit dlle funzioni monotone. Proposizione 35. Ogni funzione f : [, b] R monoton è integrbile. Dimostrzione. Prendimo l prtizione π n = {x 0,..., x n } dell esempio 33 in cui x i = + i b n. Supponimo per esempio che l f si crescente. Allor bbimo che Pertnto possimo vlutre n s(f, π n ) = f(x i )(x i x i ) = Dunque i= = b n n i= m i = f(x i ), M i = f(x i ). f(x i ) = b n S(f, π n ) = b n n i= n i= [ f(x i ) + i b ( n + (i ) b )] = n ( ) n f(x i ) = b n f() + f(x i ), n i=0 i= ( ) f(x i ) = b n f(b) + f(x i ). n S(f, π n ) s(f, π n ) = b n + (f(b) f()) 0. n L integrbilità segue llor dl Teorem 34. i=

14 .. DEFINIZIONE DI INTEGRALE SECONDO RIEMANN Un ltr clsse importnte di funzioni integrbili è costituit delle funzioni continue. Ricordimo che se I R un funzione f : I R è continu in I se verific l condizione In termini di (ε, δ) l condizione (.3) è equivlente chiedere che x I, lim y x f(y) = f(x). (.3) x I, ε > 0 δ > 0 t.c. y I, x y < δ f(x) f(y) < ε. (.4) Osservimo che il numero δ > 0 nell condizione (.4) in generle può dipendere non solo dll scelt di ε > 0 m nche dl punto x I. Se si può scegliere un δ > 0 indipendentemente dl punto x I llor si dice che l funzione f è uniformemente continu in I. Dunque f è uniformemente continu se verific: ε > 0 δ > 0 t.c. x, y I, x y < δ f(x) f(y) < ε. (.5) Esercizio 36. Tutte le funzioni Lipschitzine sono uniformemente continue. Le funzioni di clsse C (I) con I chiuso e limitto sono Lipschitzine e quindi uniformemente continue. Il Teorem di Heine-Cntor (vedi per esempio il Teorem 6.4 in [?]) stbilisce che le funzioni continue definite su intervlli chiusi e limitti sono in reltà uniformemente continue. Il teorem seguente identific un ltr clsse importnte di funzioni continue. Teorem 37. Ogni funzione f : [, b] R continu è integrbile. Dimostrzione. L intervllo [, b] è chiuso e limitto e per il Teorem di Weierstrss f risult essere limitt e come ppen ricordto uniformemente continu. Fissto ε > 0 sceglimo un δ > 0 che soddisfi l condizione (.5). Prendimo un prtizione π = {x 0,..., x n } bbstnz fitt di modo che x i x i < δ. Ancor per il Teorem di Weierstrss, in ogni intervllo [x i, x i ] l funzione f mmette minimo m i e mssimo M i e questi vlori sono rggiunti in lcuni punti, dicimo rispettivmente y i e z i. Chirmente y i z i x i x i < δ. Dll (.5) ottenimo Dunque possimo vlutre che S(f, π) s(f, π) = = i= M i m i = f(y i ) f(z i ) < ε. n M i (x i x i ) i= L integrbilità segue llor dl Teorem 34. n m i (x i x i ) = i= n n (M i m i )(x i x i ) < ε (x i x i ) = ε(b ). Un proprietà elementre m importnte delle funzione integrbili è il ftto che l integrzione è un operzione linere. Teorem 38. Sino f, g : [, b] R due funzioni integrbili. Allor si hnno:. f + g è integrbile e. se λ R llor λf è integrbile e (f(x) + g(x))dx = i= λf(x)dx = λ f(x)dx + f(x)dx. g(x)dx,

15 CAPITOLO. INTEGRAZIONE Dimostrzione. A scopo illustrtivo provimo il punto. Fissimo un qulsisi prtizione π = {x 0,..., x n } P(, b). Dl punto dell esercizio 3 bbimo che n ( ) s(f, π) + s(g, π) = (x i x i ) inf f + inf g [x i,x i] [x i,x i] i= n ( ) (x i x i ) inf (f + g) = s(f + g, π). (.6) [x i,x i] i= Similmente, usndo il punto dell esercizio 3 si ottiene S(f + g, π) S(f, π) + S(g, π). (.7) Dunque, se π, π sono due qulsisi prtizioni di [, b], grzie ll Proposizione 3 e ll (.6) bbimo s(f, π ) + s(g, π ) s(f, π π ) + s(g, π π ) s(f + g, π π ) s(f + g). Pssndo ll estremo superiore rispetto π e π si ottiene f(x)dx + Anlogmente, usndo l (.7) si ottiene In definitiv bbimo ottenuto che S(f + g) S(f + g) f(x)dx + g(x)dx s(f + g). f(x)dx + g(x)dx. g(x)dx s(f + g), e poichè s(f + g) S(f + g) llor f + g è integrbile e vle l uguglinz (f(x) + g(x))dx = Se λ 0 per il punto 5 dell esercizio 3 bbimo f(x)dx + g(x)dx. s(λf, π) = λs(f, π), S(λf, π) = λs(f, π). Pssndo rispettivmente ll estremo superiore e ll estremo inferiore si ottiene s(λf) = λs(f) = λ f(x)dx, S(λf) = λs(f) = λ f(x)dx, d cui segue l sserto. Se invece λ < 0, usndo il punto 6 dell esercizio 3 ottenimo s(λf, π) = λs(f, π), S(λf, π) = λs(f, π). Allor s(λf) = S(λf) = sup s(λf, π) = π P(,b) inf S(λf, π) = inf π P(,b) sup π P(,b) π P(,b) λs(f, π) = λ λs(f, π) = λ sup inf π P(,b) π P(,b) S(f, π) = λs(f) = λ s(f, π) = λs(f) = λ f(x)dx, f(x)dx.

16 .. CENNI ALLA MISURA E ALL INTEGRALE DI LEBESGUE 3. Cenni ll misur e ll integrle di Lebesgue Nell sezione precedente bbimo definito l re del sottogrfico di un funzione limitt pprosimndo quest ultimo con rettngolini inscritti e circoscritti. Quest operzione può nturlmente essere eseguit per un qulsisi figur pin e produce un misur nel pino, e più precismente l misur di Peno-Jordn in R. Dunque diremo che un insieme limitto A R è misurbile secondo Peno-Jordn se l pprossimzione con i rettngolini inscritti coincide con l pprossimzione medinte i rettngolini circoscritti e tle vlore comune è l misur di A che indicheremo con µ(a). Pertnto il concetto di re introdotto nell sezione precedente si può formulre dicendo che se f : [, b] R è integrbile secondo Riemnn llor f(x)dx = µ(γ(f)). Un misur è in generle un funzione µ : M [0, + ] definit su un fmigli di insiemi misurbili M che verific:. M,. A M A c M, 3. A n M + n=0 A n M. Le principli proprietà di un misur sono:. µ( ) = 0,. (dditività numerbile) µ ( + n=0 3. (monotoni) A B µ(a) µ(b). Poichè µ({}) = 0 (perchè?) deducimo che ) = + n=0 µ(a n), se gli A n sono due due disgiunti, f(x) = µ({}) = 0. L proprietà di dditività delle misure si trduce nell seguente Proposizione 39 (Spezzmento). Si f : [, b] R integrbile. Allor per ogni c [, b] si h f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx. In prticolre l dditività ci dice che il vlore dell integrle non cmbi rispetto d insiemi di misur null e quindi i vlori che l funzione ssume su questi insiemi. In prticolre, possimo d esempio trscurre un qulsisi infinità numerbile di punti dell intervllo [, b]. Pertnto le funzioni che sono continue ftt eccezzione l più per un infinità numerbile di punti sono integrbili. Questo è il cso d esempio delle funzioni monotone (si ved per esempio l Proposizione A6.3 in []). L misur di Peno-Jordn non è l unico modo per misurre le ree. Anzi, d certi punti di vist, pur vendo il pregio dell semplicità, l teori dell integrzione secondo Riemnn non è del tutto soddisfcente. Per diversi motivi, prtire dll fine del dicinnovesimo secolo, i mtemtici comincirono cercre un nozione di integrle più generle che consentisse, tr le ltre cose, di integrre funzioni molto discontinue come d esempio l funzione di Dirichelet. L nozione che ottenne mggior successo e oggi più diffus è quell dovut l mtemtico frncese Henri Lebesgue prtire dll su tesi di dottorto del 90. In effetti, le funzioni integrbili secondo Riemnn sono integrbili secondo Lebesgue e sono prticmente funzioni continue. Sussiste inftti il seguente

17 4 CAPITOLO. INTEGRAZIONE Teorem 40 (Lebesgue-Vitli). Un funzione f : [, b] R è integrbile secondo Riemnn se e soltnto se l insieme dei suoi punti di discontinuità h misur null secondo Lebesgue. Per i nostri scopi srà senz ltro sufficiente l nozione di integrle secondo Riemnn. Dunque d or in poi potremo senz troppi problemi restringerci considerre funzioni continue dove le due nozioni di integrle coincidono. Per mggiori dettgli sull teori dell misur e dell integrzione si può consultre [?]. Terminimo quest sezione fcendo lcune ossevzioni semplici m importnti. Intnto osservimo che l proprietà di monotoni dell misur si trduce nell seguente Proposizione 4. Sino f, g : [, b] R due funzioni integrbili. Allor x [, b], f(x) g(x) f(x)dx g(x)dx. Esercizio 4. Si provi che per ogni funzione continu f : [, b] R si h: f(x)dx Un ltr proprietà importnte è espress dl seguente f(x) dx. Teorem 43 (dell medi integrle). Si f : [, b] R un funzione integrbile. Allor si h inf f [,b] b f(x)dx sup f. [,b] Se inoltre l funzione f è continu, llor esiste z [, b] tle che Dimostrzione. Per ogni x [, b] si h f(z) = b inf [,b] f(x)dx. f f(x) sup f. [,b] Integrndo ottenimo (b ) inf [,b] f f(x)dx (b ) sup f, [,b] d cui si ottiene l tesi dividendo per (b ). Nel cso in cui l funzione f si continu, cus del Teorem dei vlori intermedi, l funzione ssume tutti i vlori compresi tr il suo minimo ed il suo mssimo. Pertnto in prticolre ssumerà il vlore b f(x)dx. Esercizio 44. Si provi che per ogni funzione continu f : [, b] R e per ogni x 0 [, b]si h: x lim f(t)dt = f(x 0 ). x x 0 x x 0 x 0

18 .3. IL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE 5.3 Il Teorem fondmentle del clcolo integrle In quest sezione ci occuperemo di mettere in relzione l operzione di integrzione con quell di derivzione. Questi due concetti pprentemente slegti sono in reltà intimmente connessi e il legme tr i due è costituito ppunto dl Teorem fondmentle del clcolo integrle. Come già osservto, clcolre un integrle ricorrendo soltnto ll definizione è in genere un vi imprticbile. Il Teorem fondmentle del clcolo è inoltre bsilre perchè introduce degli strumenti teorici che permettono di clcolre molti tipi di integrli. In prticolre ci porremo due domnde principli:. Cos succede se derivimo un integrle?. Cos succede se integrimo un derivt? Tr le ltre cose sremo poi condotti riconoscere che integrzione e derivzione sono due operzioni in un certo senso un invers dell ltr. Per prim cos vremo bisogno di definire l integrzione su intervlli orientti. Definizione 45. Se b < e f è integrbile in [b, ] definimo: f(x)dx = b f(x)dx. Esercizio 46. Si verifichi che il Teorem dell medi, l proprietà di linerità e di spezzmento continuno vlere indipendentemente dll ordine degli estremi di integrzione. Teorem 47 (fondmentle del clcolo integrle). Si I un intervllo e f : I R un funzione continu. Fissto I si consideri l funzione F : I R definit d F (x) = x f(t)dt. Allor l F è di clsse C e per ogni x I si h F (x) = f(x). Dimostrzione. Fissimo un punto x 0 I. Per l proprietà di spezzmento bbimo che F (x) F (x 0 ) = d cui, se x x 0, ottenimo x f(t) x0 f(t) = x f(t) + F (x) F (x 0 ) = x f(t). x x 0 x x 0 x 0 x 0 f(t) = x x 0 f(t), Pssndo l limite per x x 0 (esercizio 44) si h che l F è derivbile e F (x 0 ) = f(x 0 ). Il Teorem fondmentle del clcolo integrle dunque h dto rispost ll nostr prim domnd ffermndo che d x f(t)dt = f(x). dx Esercizio 48. Spreste clcolre d β(x) dx f(t)dt per α, β due qulsisi funzioni derivbili? Qule α(x) esempio si clcoli l derivt dell funzione x dt. e t x Il Teorem fondmentle del clcolo inoltre sserisce che ogni funzione continu è dott di primitiv, secondo l seguente

19 6 CAPITOLO. INTEGRAZIONE Definizione 49 (Primitive). Si dice che un funzione F è un primitiv di f se F è derivbile e F = f. Osservimo che se un funzione mmette un primitiv F llor ne mmette infinite ltre poichè l funzione F + c è ncor un primitiv per ogni costnte c R. Si indic con il simbolo f(x)dx l insieme di tutte le primitive dell f. Tle simbologi, nonchè l utilità dell nozione di primitiv è giustifict dl seguente Teorem 50 (di Torricelli). Si f un funzione continu su di un intervllo I. Allor tutte le primitive di f differiscono per un costnte. Inoltre, se G è un primitiv di f llor per ogni, b I si h f(x)dx = G(b) G(). Dimostrzione. Sino F, G due primitive di f. Allor (F G) = F G = f f = 0. D ltr prte, per ogni x, y I il Teorem di Lgrnge implic che (F (x) G(x)) (F (y) G(y)) = (F G) (ζ)(x y) = 0, per cui F G è costnte. Per dimostre il secondo punto prendimo l funzione F (x) = che sppimo essere un primitiv di f. Allor f(t)dt = c f(t)dt + c x c f(t)dt f(t)dt = c f(t)dt c f(t)dt = = F (b) F () = (G(b) + c) (G() + c) = G(b) G(). Il Teorem di Torricelli risponde ll nostr second domnd poichè si riconosce immeditmente che se f è di clsse C llor f (x)dx = f(b) f(). (.8) L interesse del Teorem di Torricelli è poi evidente gicché riconduce il clcolo degli integrli l problem di determinre un primitiv dell funzione ssegnt. Nel seguito useremo l comod notzione [F (x)] b = F (b) F (). Esempio 5. Clcolimo x xdx. Poichè un primitiv di x è d esempio [ ] x b xdx = = b come vevmo già fticosmente ccertto. 0 π cosh x dx = π 4 0 log x x = cos x π 4 dx = [tn x] 0 = tn π tn 0 =. 4 [ log x ] = log log = log. si h cos x π dx = [log sin x ] sin x = log sin log sin(π ) = log sin. 0 e x dx = + e x 0 e x + (e x ) dx = [rctn ex ] 0 = (rctn e rctn ).

20 .4. ALCUNI METODI DI INTEGRAZIONE 7.4 Alcuni metodi di integrzione Gli esempi precedenti mostrno come poss essere, lmeno in line di principio, clcolti un vst clsse di integrli. Tuttvi non sempre è bnle scrivere l funzione integrnd come derivt di qulcos e spesso occorrono intuizione e rtifici. In effetti, mentre l conoscenz delle derivte elementri consente di derivre funzioni nche complictissime senz sostnzili difficoltà, per l integrzione non esistono tecniche di routine che vdno bene in tutti i csi e pertnto l tecnic dell integrzione richiede esperienz ed intuizione. In quest sezione svilupperemo lcuni risultti utili per il clcolo esplicito di primitive..4. Integrzione per prti Teorem 5 (Formul di integrzione per prti). Sino f, g : I R due funzioni di clsse C. Allor per ogni, b I si h f (x)g(x)dx = [f(x)g(x)] b f(x)g (x)dx. (.9) Dimostrzione. Ponimo h = fg. Per il Teorem di Torricelli bbimo che h (x)dx = [h(x)] b. Per l regol di derivzione del prodotto ottenimo che h (x)dx = f (x)g(x)dx + Combinndo le due uguglinze segue il risultto. f(x)g (x)dx. L formul di integrzione per prti è molto utile in qunto permette di scricre l operzione di derivzione d un funzione ll ltr. Un lrg prte dell nlisi mtemtic modern h che fre con generlizzzioni di quest formul. Vedimo or qulche esempio del suo impiego. 0 xe x dx = 0 Osservimo che vremmo potuto benissimo scrivere 0 D(e x )xdx = [xe x ] 0 e x dx = e [e x ] 0 = e (e ) =. xe x dx = 0 0 D( x )e x dx = [ ] x e x 0 0 x e x dx, m quest volt l operzione di integrzione si è ulteriormente complict rispetto ll situzione di prtenz. Dunque volte può nche essere utile percorrere strde diverse in modo d trovre l strtegi vincente. Nturlmente l reltiv formul per l integrle indefinito è dt d f (x)g(x)dx = f(x)g(x) f(x)g (x)dx + c. Iterndo l esempio precedente si può per esempio clcolre x n e x dx. Esempio 53. Clcolimo log xdx. Poichè D(x) = integrndo per prti ottenimo log xdx = D(x) log xdx = x log x x dx = x log x x + c. x Ripetendo l procedur più volte si può clcolre log n xdx.

21 8 CAPITOLO. INTEGRAZIONE Esempio 54. Ancor integrndo per prti clcolimo x n log xdx = xn+ x n+ n + log x n + x xn+ dx = n + log x n + x n dx = ( = xn+ n + log x (n + ) xn+ dx + c = xn+ log x ) + c. n + n + A volte può risultre utile sviluppre un procedur ciclic in modo d fr ricomprire lo stesso integrle di prtenz con segno opposto, come mostr il seguente Esempio 55. sin xdx = sin x sin xdx = cos x sin x + cos xdx = cos x sin x + ( sin x)dx, d cui ottenimo che sin xdx = cos x sin x + x sin xdx. Portndo l integrle del secondo membro l primo membro dell equzione si ottiene sin xdx = (x cos x sin x) + c. In modo nlogo si possono clcolre sin n xdx e cos n xdx. Esempio 56. rctn xdx = = x rctn x D(x) rctn xdx = x rctn x x + x dx = x + x dx = x rctn x log( + x ) + c. Esempio 57. Clcolimo l re del semicerchio di centro l origine e rggio. Poichè l equzione corrispondente è x + y =, si trtt di clcolre: x dx = [x ] x + x dx = x x + x dx = Pertnto = dx x x dx = [rcsin x x] x dx = (rcsin rcsin( )) = π. x dx..4. Integrzione per sostituzione Teorem 58 (Formul di cmbimento delle vribili). Si f : I R continu. Sino inoltre J un ltro intervllo e ϕ : J I un funzione di clsse C. Allor per ogni, b I si h f(x)dx = ϕ (b) ϕ () f(ϕ(t))ϕ (t)dt.

22 .4. ALCUNI METODI DI INTEGRAZIONE 9 Dimostrzione. Dl Teorem fondmentle del clcolo (vedi esercizio 48) bbimo che u d dt ϕ(t) Allor si ottiene che [ v ϕ(t) f(ϕ(t))ϕ (t)dt = f(x)dx ] v Nel cso in cui ϕ si invertibile bbimo che f(x)dx = f(x)dx = f(ϕ(t))ϕ (t). u ϕ(ϕ (b)) ϕ(ϕ ()) = ϕ(v) f(x)dx = f(x)dx ϕ (b) ϕ () ϕ(u) f(x)dx = f(ϕ(t))ϕ (t)dt. ϕ(v) ϕ(u) f(x)dx. Se ϕ non è invertibile esisternno più punti, dicimo u, v, z, w tli che = ϕ(u) = ϕ(w) e b = ϕ(v) = ϕ(z). Dobbimo quindi dimostrre che l formul ppen dimostrt non dipende dll scelt dei punti u, v J. Inftti [ v ] v ϕ(x) ϕ(v) f(ϕ(t))ϕ (t)dt = f(t)dt = f(t)dt = f(x)dx = u [ ϕ(x) = f(t)dt ] z w = u z w ϕ(u) f(ϕ(t))ϕ (t)dt. L formul precedente è not nche come metodo di sostituzione in qunto ci dice che se sostituimo l vribile x medinte l espressione x = ϕ(t), llor l integrle si trsform medinte il fttore differenzile di cmbimento ϕ (t) e modificndo opportunmente gli estremi di integrzione. Esempio 59. Clcolimo x 0 +x dx. Ponimo x = ϕ(t) = t. Allor ϕ (0) =, mentre ϕ () =. Dll formul di cmbimento di vribili ottenimo 0 x dx = + x t tdt = t [ ] t (t 3 8 )dt = 3 t = ( ). L efficci dell sostituzione nell esempio precedente è consistit nell eliminzione dell rdice dl denomintore dell funzione integrnd. D questo punto di vist è più nturle porre x + = t, che però non è dell form x = ϕ(t). Allor srà conveniente considerre trsformzioni di clsse C del tipo p(x) = q(t), (.0) ptto di considerre funzioni p invertibili con derivt sempre divers d zero. Inftti in tl cso l relzione (.0) è equivlente porre x = p (q(t)) := ϕ(t). Osservimo che in tl cso dll formul di derivzione dell funzione invers il fttore differenzile divent ϕ q (t) (t) = p (p (q(t))) = q (t) p (x). Un utile strtegi per ricordre qunto sopr (m solo in mnier formle!) è di dedurre d (.0) differenzindo p (x)dx = q (t)dt,

23 0 CAPITOLO. INTEGRAZIONE e quindi ricordrsi che il termine dx v sostituito con q (t) p (x) dt. L versione per l integrle indefinito dell formul di cmbimento di vribili è dt d f(x)dx = x=ϕ(t) f(ϕ(t))ϕ (t)dt, in modo d ricordre che ll fine l primitiv v clcolt nei punti x = ϕ(t). Tle notzione è utile nche negli integrli indefiniti specie qundo si fnno più sostituzioni. Esempio 60. Clcolimo e x cos(e x )dx. Ponimo e x = t. Allor e x cos(e x )dx = t cos t e x =t t dt = sin t + c = e x =t sin(ex ) + c. Esempio 6. e π e π 4 sin (log x) cos(log x) dx = x x=e t π π 4 sin t cos tdt = s ds = sin t=s [ s 3 3 ] = Integrzione di funzioni rzionli In quest sezione voglimo sviluppre un strtegi per clcolre integrli in cui l funzione integrnd si il rpporto tr due polinomi. Sino dunque A(x) = 0 x m + x m +... m, B(x) = b 0 x m + b x m +... b m, due polinomi coefficienti reli e considerimo l funzione rzionle f(x) = A(x) B(x). Nturlmente possimo supporre che i polinomi sino primi tr loro e che m < n poiché ltrimenti bsterebbe effetture l divisione. Evidentemente, l difficoltà principle in questi tipi di funzioni integrnde è l presenz del denomintore. L ide principle è quell di scrivere il rpporto A(x) B(x) in un form vntggios. Per fre questo rticolimo un procedur in vri pssi. Psso. Clcolimo le n rdici di B(x). Queste ultime possono essere si reli che complesse e vnno contte con l rispettiv molteplicità. In prticolre se z = α + iβ è un rdice compless di B è noto (e si verific fcilmente) che nche il coniugto z = α iβ è un rdice di B con l stess molteplicità. Inoltre si h che (x z)(x z) = (x (α + iβ))(x (α iβ)) = (x α) + β. Indichimo con x j (j =,... r) le rdici reli di B e con k j le rispettive molteplicità, mentre con z j (j =,... s) e h j indichimo le rdici complesse e l rispettiv molteplicità. Pertnto vremo che k k r + h +... h s = n. Psso. Supponimo che b 0 =, come si può sempre ottenere dividendo numertore e denomintore per b 0, e fttorizzimo il polinomio B nell form B(x) = (x x ) k (x x r ) kr ((x α ) + β ) h... ((x α s ) + β s) hs. L funzione rzionle si può llor decomporre nell form f(x) = A(x) B(x) = x x k (x x ) k r x x r rkr + (.) kr (x x r )

24 .4. ALCUNI METODI DI INTEGRAZIONE + p x + q p h x + q h (x α ) + β ((x α ) + β p sx + q s (x α )h s ) + βs p shs x + q shs ((x α s ) + β s) hs, dove i coefficienti ij, pij, qij sono tutti d determinre. Per determinre questi coefficienti, che in tutto sono n, si moltiplicno mbo i membri di (.) per B(x) ottenendo così un uguglinz tr polinomi. Dl principio di identità dei polinimi si ottiene un sistem linere. Psso 3. Trovti i coefficienti nello sviluppo (.) si può integrre ciscun pezzo medinte le tecniche che bbimo già disposizione. Qunto sopr esposto può pprire complesso m in reltà si trtt di un metodo più difficile spiegrsi che frsi. Qulche esempio concreto dovrebbe chirire l situzione. Esempio 6. Clcolimo x +x+3 x(+x ) dx. Le rdici del denomintore sono x = 0 e x = ±i. Pertnto l funzione rzionle si decompone in x + x + 3 x( + x ) Per determinre i coefficienti giusti deve essere = x + cx + d + x. x + x + 3 = ( + x ) + (cx + d)x x + x + 3 = ( + c)x + dx +. Uguglindo i coefficienti dei termini di stesso grdo si ottiene + c =, d =, = 3, d cui = 3, d =, c =. Dunque x + x + 3 x x( + x ) dx = 3 x + + x dx = 3 log x + rctn x log( + x ) + c. Esempio 63. Clcolimo x 3 (+x ) dx. Le uniche rdici del denomintore sono x = ±i. Allor x 3 ( + x ) = x + b + x + cx + d ( + x ). Imponimo l condizione x 3 = (x + b)( + x ) + (cx + d) = x 3 + bx + ( + c)x + b + d, d cui si ricv che =, b = 0, + c = 0, (b + d) = 0. Dunque x 3 ( + x ) dx = x + x x ( + x ) dx = log( + x ) + ( + x ) + c. Esempio 64. Clcolimo e x e x + dx. Fccimo il cmbimento di vribili ex = t ottenendo e x e x + dx = e x t (e x + )e x ex dx = e x =t (t + )t dt. A questo punto si deve poter scrivere t (t + )t = t + + b t, ptto che t = t + b(t + ) = ( + b)t + b. Quindi deducimo che + b = e b =. Tornndo l nostro integrle bbimo e x e x + dx = t e x =t (t + )t dt = t + dt t dt = log(t+) log t +c = e x =t log(ex +) x+c.

25 CAPITOLO. INTEGRAZIONE Esempio 65. = sin x + sin x cos x dx = sin x ( + cos x)( sin x) dx = cos x=t ( + cos x) sin x dx = ( + t)(t ) dt. A questo punto osservimo che il denomintore h le sole rdici reli e ±. Pertnto si dovrà poter scrivere (t + )(t + )(t ) = t + + b t + + c t, d cui ottenimo = (t )+b(t+)(t )+c(t+)(t+) = (+b+c)t +(b+3c)t+c b. Allor deve essere + b + c = 0, b + 3c = 0, c b =. Pertnto si ricv che = 3, b =, c = 6. Dunque sin x + sin x cos x dx = cos x=t ( + t)(t ) dt = 3 log t + log t + + log t + c = 6.5 Integrli generlizzti ( 3 ) + cos x 6 = log cos x + c. cos x=t + cos x Nelle sezioni precedenti bbimo vuto che fre con funzioni limitte definite su di un intervllo chiuso e limitto. Or voglimo generlizzre l nozione di integrle in modo d contemplre situzioni in cui l funzione d integrre non si necessrimente limitt oppure si definit in un intervllo non limitto. Definizione 66 (Integrle generlizzto). Si f : [, b[ R, con b eventulmente nche +, un funzione loclmente integrbile, ovvero che si integrbile in ogni intervllo [, c] con c < b. Se esiste ed è finito il limite lim c b c f(x)dx (.) diremo che l f è integrbile in senso generlizzto, o improprio, in [, b[ ed il limite (.) srà indicto con l scrittur f(x)dx. Se invece il limite (.) esiste ed è + (risp. ) diremo che l integrle improprio diverge positivmente (risp. negtivmente), e scriveremo f(x)dx = + (risp. ). Infine, se il limite (.) non esiste diremo che l integrle improprio non esiste. Per le funzioni f :], b] R loclmente integrbili si definisce l integrle generlizzto in mnier del tutto nlog ponendo f(x)dx := lim c + c b f(x)dx se il limite esiste ed è finito, ecceter. Osservimo che se f è continu su [, b[ llor ess è utomticmente loclmente integrbile.

26 .5. INTEGRALI GENERALIZZATI 3 Esempio 67. Applicndo l definizione si riconosce che + 0 xdx = +, x dx = π, + 0 senxdx non esiste. Definizione 68. Si f definit su ], b[ e loclmente integrbile, ovvero integrbile in ogni intervllo [α, β] con < α < β < b. Scelto un punto c ], b[, diremo che f è integrbile in senso generlizzto in ], b[ se ess è integrbile in ], c] e in [c, b[, e in tl cso porremo f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx. Se uno solo degli integrli c f(x)dx o f(x)dx diverge positivmente (risp. negtivmente), o c se entrmbi divergono positivmente (risp. negtivmente), diremo che f(x)dx diverge positivmente (risp. negtivmente). In tutti gli ltri csi diremo che f(x)dx non esiste. Osservimo che l definizione precedente è ben post, vle dire che non dipende dll scelt del punto c ], b[. Inftti, se scegliessimo un ulteriore punto c, per l proprietà di spezzmento dell integrle vremmo che per ogni α, β ], b[ c Pssndo l limite ottenimo lim α + α c α β β c β f(x)dx + f(x)dx = f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. c α α c f(x)dx + lim β b β c c β f(x)dx = lim f(x)dx + lim f(x)dx. α + α β b c Proposizione 69. Si f un funzione loclmente integrbile e positiv in [, b[. Allor l integrle f(x)dx esiste e può soltnto essere finito o divergere positivmente. Dimostrzione. Considerimo l funzione F (x) = x f(t)dt, che è definit per x < b. Dunque dobbimo provre che esiste, finito o infinito, il seguente limite lim F (x). x b Fissimo x < y < b. Poiché f 0, dll monotoni dell integrle deducimo Allor F (x) F (x) + y x f(t)dt = y x x f(t)dt 0. f(t)dt + y x f(t)dt = y f(t)dt = F (y). Abbimo dunque provto che l funzione F è un funzione positiv e crescente. L esistenz del limite e l ultim ffermzione dell enuncito seguono llor dlle proprietà delle funzioni monotone. Nturlmente vle un enuncito corrispondente per funzioni negtive o per intervlli ], b], e di conseguenz per intervlli ], b[. Esempio 70 (Esempi fondmentli). Studimo 0 x dx, che per l Proposizione 69 esiste sempre. α Nturlmente se α 0 l funzione è integrbile nel senso di Riemnn. Se invece α > 0, per ogni ε > 0 si h { log ε α =, ε x α dx = ε α α α.

27 4 CAPITOLO. INTEGRAZIONE Pssndo l limite per ε 0 + ottenimo 0 dx < + α <, xα e in tl cso l integrle vle α. Un ltro esempio fondmentle d studire è + x dx. Se α 0 è chiro che l integrle α diverge positivmente. Inftti, per l monotoni dell integrle, si h che per ogni c > Se invece α >, per ogni c > bbimo c c x α dx = Pssndo l limite per c + si ottiene che + dx c. xα { log c α =, c α α α. dx < + α >, xα e in tl cso l integrle vle α. Spesso si può stbilire l convergenz di un integrle generlizzto medinte il confronto con integrli generlizzti convergenti. Teorem 7. Sino f, g : [, b[ R due funzioni tli che. f è loclmente integrbile,. f(x) g(x) per ogni x [, b[, 3. g è integrbile in senso generlizzto in [, b[. Allor nche f risult integrbile in senso generlizzto in [, b[. Dimostrzione. Dividimo l funzione in prte positiv f + e prte negtiv f di modo che f = f + f e f = f + + f. Essendo f + 0, l integrle f + (x)dx esiste. Dll condizione bbimo che f + f g. Dll proprietà di monotoni degli integrli e dll condizione 3 deducimo: f + (x)dx g(x)dx < +. Con lo stesso rgionmento si deduce che nche f è integrbile in [, b[. Allor è integrbile nche f = f + f. Osservimo che per l vlidità del risultto precedente è sufficiente che le condizioni e 3 sino verificte in un intorno sinistro di b. Inftti, se tli condizioni vlgono in un intervllo [α, b[, bst spezzre ogni integrle in uno su [, α] e uno su [α, b[. Nturlmente vle un risultto nlogo su intervlli del tipo ], b] e ], b[. Esempio 7. L funzione f(x) = + sin x x è integrbile in [, ]. Inftti, seprndo nei due intervlli [, 0[ e ]0, ] bbimo che in ciscuno di essi risult f(x), x e che l funzione l secondo membro dell disuguglinz è integrbile cus del primo esempio fondmentle.

28 .5. INTEGRALI GENERALIZZATI 5 Il più delle volte il criterio del confronto si us nell versione seguente. Proposizione 73 (Criterio del confronto sintotico). Sino f, g : [, b[ R due funzioni strettmente positive in un intorno di b e loclmente integrbili. Supponimo che esist Allor si hnno: L = lim x b f(x) g(x).. se L è finito e g è integrbile llor nche f è integrbile.. Se L 0 e g non è integrbile llor nemmeno f è integrbile. 3. Se L è finito e L 0, f è integrbile se e soltnto se g è integrbile. Dimostrzione. Supponimo L finito e diverso d zero. Allor L > 0. Per il Teorem sull permnenz del segno bbimo che esistono α, β tli che in un intorno di b si verific 0 < α f(x) β. (.3) g(x) Dl Teorem 7 segue llor il punto 3. Gli ltri punti seguono ugulmente usndo l disuguglinz (.3). Esempio 74. Per ogni t > 0 l funzione e tx è integrbile in [, + [. Inftti + e tx dx = c lim c + e tx dx = Verifichimo or che per ogni n N si h Osservimo inftti che Allor + 0 ] c lim [ e tx c + t x n e x dx < +. x n lim x + e x = 0. x n e x x n lim x + e = lim x x + e x = lim c + = 0. ( e t e tc ) = e t. t t Quindi l integrbilità segue dl criterio del confronto sintotico e dll prim prte dell esempio. Esempio 75. L funzione e x è integrbile in tutto R. Inftti, dto che è un funzione pri possimo limitrci studirl in [0, + [. Inoltre, dl ftto che (x ) 0 deducimo che x x 4. Pertnto e x e x 4 = e 4 e x. Allor l integrbilità segue dl Teorem 7 e dll esempio precedente.

29 6 CAPITOLO. INTEGRAZIONE.6 Esercizi reltivi l cpitolo Esercizio 76. Si f : [, b] R un funzione continu e positiv. Si dimostri che Esercizio 77. Dimostrre che l equzione f(x)dx = 0 x [, b] : f(x) = 0. x 0 e t dt + x = 0 mmette un unic soluzione in [0, ]. Esercizio 78. Trovre l unic funzione derivbile f : R R tle che f(0) = 0 e Esercizio 79. Clcolre l integrle f (x) = sin(x) + sin x. 6 4 x log x dx. Esercizio 80. Clcolre Esercizio 8. Clcolre Esercizio 8. Clcolre Esercizio 83. Clcolre 0 e x (e x + ) (e x + ) dx. cos x sin x dx. sin x dx. x log x x + dx. Esercizio 84. Si studi l integrbilità dell funzione l vrire del prmetro β > 0. f(x) = x log β x, Esercizio 85. Si studi l integrbilità dell funzione x [e, + [ f(x) = ( + e x ) x 3 (x + ) x ( + x x) + cos x. Esercizio 86. Clcolre + Esercizio 87. Dire se l funzione è integrbile in R. 0 log x (x + ) dx. f(x) = x e x

30 Cpitolo 3 Clcolo differenzile per funzioni di più vribili In questo cpitolo ci proponimo di studire funzioni del tipo f : R N R M. In prticolre dovremo estendere questo tipo di funzioni i concetti di continuità e derivbilità introdotti per le funzioni di un vribile rele. 3. Cenni di topologi di R N Prim di tutto è necessrio discutere brevemente lcune proprietà geometriche dello spzio R n. Ricordimo l definizione di convergenz per un successione di numeri reli (x n ) R: lim x n = x ε > 0 ν t.c. n ν, x n x < ε. n + In ltri termini, l successione converge d un limite se d un certo indice in poi i termini dell successione e il limite sono rbitrrimente vicini. Se poi f : R R ed x 0 R, f è continu in x 0 se ε > 0 δ > 0 t.c. x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε. In soldoni ciò signific che i vlori dell funzione sono rbitrrimente vicini se i rispettivi punti lo sono sufficienz. I concetti di convergenz e continuità si possono definire ogni qulvolt si si in grdo di dre un significto ll prol vicino. Questo è possibile se d esempio si h disposizione un funzione distnz. Nel cso dell rett rele l distnz tr due punti x, y R è dt d x y. Nel cso dello spzio R N srà llor nturle considerre l distnz Euclide indott dl Teorem di Pitgor. Dunque se x = (x,..., x N ) R N indichimo col simbolo di norm l su distnz dll origine: x N := N x i. (3.) Allor l distnz tr due punti x, y R N srà dt d x y N := N (x i y i ). L norm soddisf le proprietà: 7 i= i=

31 8 CAPITOLO 3. CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI. (Omogeneità) λx = λ x.. (Disuguglinz tringolre) x + y x + y. 3. (Positività) x x = 0 x = 0. L nozione di distnz ci permette di introdurre i concetti di convergenz e continuità. Così, se x n, x sono punti di R N diremo che lim x n = x ε > 0 ν t.c. n ν, x n x N < ε. n + Mentre se f : R N R M, diremo che f è continu in un punto x 0 se ε > 0 δ > 0 t.c. x x 0 N < δ f(x) f(x 0 ) M < ε. Spesso ometteremo l indice nel simbolo di norm sottindentendolo. Se x 0 R N e r > 0, l nozione di norm ci permette ncor di introdurre l insieme B(x 0, r) := {x R N : x x 0 < r} che è detto pll pert di centro x 0 e rggio r > 0. Definizione 88 (Interno e insiemi perti). Si A un sottoinsieme non vuoto di R N. Un punto x 0 A si dice interno se esiste un pll pert B(x 0, r) A. L insieme dei punti interni di A è indicto con il simbolo o A. L insieme A si dice perto se A = o A. Per definizione l insieme vuoto si consider perto. Esempio 89. L pll pert B(x 0, r) è un insieme perto. Inftti si consideri un qulsisi y B(x 0, r). Prendimo l pll B(y, λ) e ponimo d = y x 0. Per ogni x B(y, λ), usndo l disuguglinz tringolre ottenimo che x x 0 x y + y x 0 λ + d. Scegliendo 0 < λ < r d otenimo che B(y, λ) B(x 0, r). Pertnto, ogni punto dell pll è interno e quindi l pll è pert. Si può verificre che A = o A è il più grnde insieme perto contenuto in A. Esercizio 90. Si verifichi che., R N sono perti.. L unione qulsisi di insiemi perti è ncor un insieme perto. 3. L intersezione finit di insiemi perti è ncor un insieme perto. Definizione 9 (Insiemi chiusi e chiusur). Un sottoinsieme C di R N si dice chiuso se il suo complementre è perto. Si dice chiusur di A, e si indic con A, il più piccolo insieme chiuso contenente A. E immedito verificre che A è chiuso se e soltnto se A = A. Inoltre segue immeditmente che A B A B. Esercizio 9. Si verifichi che

32 3.. CENNI DI TOPOLOGIA DI R N 9., R N sono chiusi.. L intersezione qulsisi di insiemi chiusi è ncor un insieme chiuso. 3. L unione finit di insiemi chiusi è ncor un insieme chiuso. Le 3 proprietà dell esercizio 90, o 9, definiscono quell che si chim un topologi su R N. I concetti di convergenz e continuità sono essenzilmente dei concetti topologici in qunto si possono crtterizzre in termini di insiemi perti e chiusi. L chiusur di un insieme si può crtterizzre in termini di convergenz Proposizione 93. Le seguenti proprietà sono equivlenti:. x A,. r > 0, A B(x, r), 3. (x n ) A t.c. x n x, per n +. Dimostrzione. Si x A. Se per ssurdo A B(x, r) =, per qulche r > 0, llor vremmo che A B(x, r) c e quindi l contrddizione x A B(x, r) c. Si or ver l ). Allor, per ogni n possimo scegliere x n A B(x, /n). E immedito llor verificre che x n x, per n +. Infine, si ver l 3). Se per ssurdo fosse x A c llor, essendo un insieme perto, srebbe B(x, r) A c per qulche r > 0. Allor si vrebbe B(x, r) A =. Poichè x n x, si può trovre un indice n tle che x n x r d cui si otterrebbe l contrddizione x n A B(x, r). Definizione 94 (Frontier). Si dice frontier, o bordo, di A l insieme F (A) = A \ o A. Esercizio 95. Si verifichi che l frontier è un insieme chiuso. Inoltre si verifichi che B(x 0, r) = {x R N : x x 0 r}, F (B(x 0, r)) = {x R N : x x 0 = r}, e quindi che l pll chius B(x 0, r) = {x R N : x x 0 r} è un insieme chiuso. Definizione 96 (Limittezz e compttezz). Un insieme A si dice limitto se esiste un pll B(0, r) tle che A B(0, r). Dunque se esiste un numero M > 0 tle che x A, x M. Diremo poi che A è comptto se è chiuso e limitto. Anlogmente qunto visto per le funzioni di un vribile vlgono i seguenti risultti. Teorem 97 (di Weierstrss). Si f : A R N R un funzione continu. Se A è comptto llor l f è dott di mssimo e di minimo. Teorem 98 (di Heine-Cntor). Si f : A R N R M un funzione continu. Se A è comptto llor l f è uniformemente continu.