CAPITOLO 1 IL MODELLO CIRCUITALE

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1 2 CAPITOLO 1 IL MODELLO CIRCUITALE 1.1 Introduzone L nterazone elettromagnetca è una delle quattro nterazon fondamental della natura attualmente conoscute. Essa s manfesta n sarat mod tra carche elettrche ferme e/o n moto, su dstanze che anno da quelle atomche fno a quelle ntergalattche. La struttura atomca, legam chmc, la struttura della matera, la trasmssone degl mpuls neros, fulmn, pezz d carta attratt da un astucco d plastca dopo che è stato strofnato, chod d ferro attratt da una calamta, la luce emessa da una lampadna, da un laser, dal sole o da una stella sono solo alcune delle tante manfestazon d questa nterazone. L elettrctà (e l magnetsmo) è l nseme d tutt que fenomen fsc macroscopc che conolgono carche elettrche, ferme e n moto, le loro nterazon, nonché gl effett delle loro nterazon. Partendo dalla conoscenza delle legg dell nterazone elettromagnetca, l ngegno umano, attraerso complesse e sofstcate apparecchature, è ruscto a mbrglare l elettrctà (e l magnetsmo). Cò ha consentto la realzzazone d sstem, che s fondano sull nterazone elettromagnetca, ad esempo per: l trasporto e la dstrbuzone dell energa; la trasmssone, l elaborazone e la memorzzazone dell nformazone; l montoraggo e controllo d process. Quest sstem hanno determnato lo sluppo socale ed economco del mondo occdentale, e non solo, a partre dalla seconda metà del XIX secolo. Qu d seguto parleremo breemente d ess. Attraerso le corrent elettrche è possble trasportare energa, sotto forma d energa elettrca, con estrema semplctà, grande effcenza e mpatto ambentale del tutto controllable. Nelle central d produzone dell energa elettrca, l energa che s sluppa dalla caduta lbera d acqua (nelle central droelettrche), dalla combustone (del petrolo, gas metano, carbone nelle central termoelettrche) o dalla reazone d fssone nucleare (dell urano o del plutono nelle central nuclear) ene conertta n energa elettrca da apposte macchne che prendono l nome d alternator. Anche l energa trasportata dalla luce del sole (pure essa d natura elettromagnetca), può essere trasformata drettamente n energa elettrca attraerso l effetto foto oltaco (celle solar) 1. L energa elettrca, così prodotta, ene trasportata e dstrbuta attraerso una ftta e complessa rete d conduttor n tutt luogh n cu essa necessta (ret ferroare, metropoltane, ndustre, uffc, stazon per le telecomuncazon, laborator, ospedal, scuole, unerstà, abtazon,...), doe ene mpegata per fare funzonare apparat d sarata natura (la motrce d un treno, la stazone trasmttente d un canale teleso, l computer che abbamo sulla scrana, l telefono portatle che abbamo n tasca, la stufa elettrca, l frgorfero, l mpanto stereofonco, l telesore,... ). Tpcamente una centrale per la produzone d energa elettrca è n grado d produrre, almeno come ordne d grandezza, l equalente del fabbsogno energetco medo d mlon d abtazon ad uso cle. Proate a mmagnare quanto sarebbe lo spreco d energa e quale sarebbe l mpatto ambentale se non fosse possble trasportare energa sotto forma d energa elettrca, e qund cascuno utente fosse costretto a produrla n propro n prossmtà della propra abtazone. Anche nelle auto, na, aere c sono macchne che conertono parte dell energa prodotta da motor (a scoppo, desel, a reazone,...) n energa elettrca, e ret d conduttor pù o meno complesse che trasportano l energa elettrca ne post doe sere. Attraerso l elettrctà e l magnetsmo è possble rappresentare suon e mmagn con un eleato grado d accuratezza. I suon e le mmagn così rappresentat possono essere: 1 Le celle solar, che usano l effetto fotooltaco per produrre energa elettrca, non fanno altro che trasformare, attraerso un processo fsco estremamente complesso, parte dell energa trasportata dal campo elettromagnetco assocato alla luce del sole, che osclla quas snusodalmente con frequenze che anno da qualche terahertz (nfrarosso) a derse centnaa d terahertz (sble e ultraoletto), n laoro d un campo elettrco stazonaro.

2 3 4 elaborat attraerso apparat elettronc; regstrat su support magnetc, ottc, ferro elettrc, a semconduttore; dffus n ambent d qualsas tpo e dmensone; trasmess su dstanze, orama, nterplanetare. S pens, ad esempo, ad un sstema costtuto da un lettore d compact dsk, amplfcatore e casse acustche, o al sstema d dffusone delle trasmsson rado e telese, o a una rete per la telefona (sa fssa che moble), o a un sstema d trasmssone d mmagn e suon a satellte. In generale, attraerso l elettrctà e l magnetsmo è possble rappresentare, elaborare e trasmettere nformazon d qualsas tpo: bast pensare alle nformazon che sono elaborate dal mcroprocessore d un calcolatore elettronco, o che aggano n nternet. Orama attraerso un qualsas calcolatore è possble elaborare anche suon e mmagn!!! Utlzzando l elettrctà e l magnetsmo è possble anche controllare process d sarato tpo. Attraerso de sensor le grandezze d nteresse del processo da controllare engono msurate. I sensor trasducono le grandezze da controllare (ad esempo, poszon relate, eloctà, presson, temperature,...) n segnal elettrc. Quest segnal engono trasmess attraerso ca e/o antenne (anche a satellte) ad uno o pù calcolator che l elaborano e adottano tutte le decson necessare perché sano rspettate le specfche del processo. Le decson adottate, che sono anche esse rappresentate da segnal elettrc, sono nate attraerso ca e/o antenne (anche a satellte) agl attuator. Gl attuator (elettro alole, motor, lampade d segnalazone, nterruttor,...) sono apparat n grado d realzzare le operazon rcheste sul processo perché le specfche sano rspettate. Queste operazon possono essere pù o meno complesse e l loro solgmento può rchedere anche del laoro (meccanco o d altra natura). In tutte queste applcazon l elettrctà e l magnetsmo sono goernat da sstem molto partcolar e estremamente compless che prendono l nome d crcut elettrc. 1.2 I crcut elettrc I crcut sono nterconnesson d dspost elettrc ed elettronc. I dspost sono matton pù semplc de crcut. Ess sono oggett fsc, d sarata composzone, struttura e forma, da qual fuorescono due o pù conduttor d elettrctà, dett termnal (o morsett) del dsposto. Nella maggor parte de cas termnal sono conduttor flform (le dmenson trasersal sono molto pù pccole delle loro lunghezze). I dspost d un crcuto nteragscono tra loro, elettrcamente, quando sono collegat attraerso termnal. I termnal (d component ders) sono collegat (elettrcamente) tra loro tramte opportune gunzon che prendono l nome d nod del crcuto 2. Cascun dsposto è delmtato da una superfce chusa, detta superfce lmte del dsposto, all nterno della quale non è possble accedere e dalla quale fuorescono termnal. La superfce lmte del dsposto è quas sempre fatta d materale solante elettrco 3. Fg. 1.1 Esempo d crcuto. Esemp d dspost sono resstor, gl nduttor, condensator, dod, transstor, gl amplfcator operazonal, generator d tensone e generator d corrente (battere, dnamo, alternator,...), trasformator, motor elettrc. Le ret per la trasmssone e la dstrbuzone dell energa elettrca, gl amplfcator, gl almentator, fltr, gl oscllator, modulator, demodulator, gl strument d msura (oltmetr, amperometr, osclloscop, 2 Nella realzzazone d un crcuto, spesso, è necessaro utlzzare ulteror conduttor flform (conduttor d collegamento) per potere connettere component così come l progetto rchede. 3 Spesso le superfc lmte de component elettronc d potenza sono fatte d materale conduttore con eleata conducbltà elettrca e termca, allo scopo d trasmettere pù effcacemente l calore n ess prodotto erso l ambente; n quest component la superfce lmte funge anche da termnale.

3 5 6 schede d acquszone,...), generator d segnal, le memore, mcroprocessor,... sono, nece, esemp d crcut. In Fgura 1.1 è mostrato un crcuto costtuto da sette element: cnque dspost - l transstore, l condensatore, l resstore, la pla, l trasformatore e da due apparat molto compless, l generatore d segnal e lo strumento d msura. Il resstore, la pla, l condensatore, l generatore d segnal e lo strumento d msura hanno due sol termnal. Il transstore ha, nece, tre termnal. Il trasformatore ha quattro termnal, raggruppat a coppe. Esstono dspost che hanno un numero pù eleato d termnal, s pens, ad esempo, a un qualsas crcuto ntegrato. solgono un ruolo fondamentale n tutte le applcazon dell elettrctà e del magnetsmo. t t t (a) (b) (c) Osserazone Fg. 1.2 Andament temporal tpc d tenson e corrent. Nell esempo d Fgura 1.1, sa l generatore d segnal che lo strumento d msura, pur essendo, ess stess, crcut estremamente compless, costtut da tant dspost, nteragscono con dspost del crcuto - l transstore, l condensatore, l resstore, la pla e l trasformatore - prealentemente attraerso due coppe d termnal. Per questa ragone ess possono essere consderat come se fossero due component crcutal con due termnal, estremamente compless nella loro costtuzone fsca, ma altrettanto semplc nelle funzon da ess espletate. Da ora n po useremo l espressone componente per ndcare sa un sngolo dsposto fsco, sa un apparato (elettrco, elettronco) che nteragsce con le altre part del crcuto prncpalmente attraerso de termnal e che ha, n condzon nomnal, caratterstche d funzonamento molto semplc. Un crcuto è come un edfco, esso è costtuto da tant matton. Così come utlzzando gl stess matton possamo realzzare edfc molto ders tra d loro a seconda della loro dsposzone, così utlzzando gl stess component crcutal possamo realzzare ders crcut a secondo del modo n cu sono collegat. Le grandezze d nteresse d un crcuto sono, nella maggor parte de cas, le corrent che attraersano conduttor termnal e le tenson tra conduttor termnal de sngol component che lo costtuscono. Queste grandezze L energa elettrca è trasportata dalle corrent elettrche che attraersano conduttor delle ret d dstrbuzone. In esse le ntenstà d corrente e le tenson arano nel tempo, n condzon d funzonamento nomnal, con legge snusodale, Fgura 1.2a (nelle auto la dstrbuzone dell energa elettrca ene realzzata tramte corrent costant nel tempo). I segnal audo e deo engono rappresentat da tenson (o corrent) elettrche e la loro elaborazone analogca aene manpolando queste grandezze attraerso opportun crcut. In quest cas, le forme d onda delle tenson (o delle ntenstà d corrente) sono molto rregolar (Fgura 1.2b). In un qualsas sstema dgtale per l elaborazone, la trasmssone e la conserazone dell nformazone, l nformazone è rappresentata da segnal d tensone a pù lell del tpo llustrat n Fgura 1.2c. Nelle memore magnetche l nformazone ene rappresentata attraerso gl stat d magnetzzazone d materal ferromagnetc. Durante l funzonamento d un crcuto elettrco, lo spazo, sa nterno che esterno a cascun componente e a cascun conduttore, è sede d camp elettrc e magnetc, d corrent elettrche, nonché d dstrbuzon d carche. La dnamca d queste grandezze è descrtta dal modello costtuto dalle equazon d Maxwell e dalle relazon costtute de mezz materal con cu sono realzzat sngol component e conduttor. Le corrent elettrche ne conduttor e ne sngol component e le carche elettrche che s addensano sulle superfc de conduttor e che s localzzano all nterno de sngol component sono ncognte, così come sono ncognte le dstrbuzon del campo elettrco e del campo magnetco: tutte queste grandezze dpendono, n manera complcata,

4 7 8 dalla natura fsca de sngol component, dal modo n cu ess sono collegat tra d loro e dalle sorgent d elettrctà present nel crcuto. Ch sono le sorgent d elettrctà? Nell esempo d crcuto rportato n Fgura 1.1, le sorgent d elettrctà sono la pla e l generatore d segnale. In generale, con l espressone sorgent d elettrctà ntendamo tutt que component n grado d produrre dstrbuzon d carche e d corrent n un sstema pù o meno complesso n cu sono present materal conduttor, delettrc e magnetc. Quest component engono chamat generator. Cò che no possamo controllare drettamente n un crcuto sono le tenson e/o le ntenstà d corrente de generator. Sebbene, una descrzone esatta del funzonamento d un crcuto rcheda, almeno n prncpo, la soluzone delle equazon del campo elettromagnetco e delle equazon costtute, l cosddetto modello d campo, per determnare le ntenstà d corrente e le tenson de sngol component crcutal, n condzon d funzonamento lentamente arabl, può essere suffcente studare un modello approssmato, noteolmente semplfcato e al contempo suffcentemente adeguato. Esso è l modello crcutale e s fonda su due condzon d funzonamento che ora llustreremo. I crcut sono progettat e realzzat n modo tale da erfcare con eccellente approssmazone (n condzon d funzonamento nomnal ) le seguent condzon: (a) (b) Il funzonamento d cascun componente è descrtto adeguatamente dalle ntenstà delle corrent elettrche che attraersano suo termnal e dalle tenson elettrche tra suo termnal. Queste grandezze sono legate fra loro da specfche relazon, dette relazon caratterstche del componente. Esse dpendono, prealentemente, dalla costtuzone fsca. del componente e sono ndpendent dal partcolare crcuto n cu l componente è nserto. Le nterazon tra ders component d un crcuto aengono prealentemente tramte loro termnal, coè attraerso le ntenstà delle corrent che l attraersano e le tenson tra d ess. Le legg che descrono queste nterazon sono le legg d Krchhoff. Esse dpendono prealentemente dal modo n cu component sono collegat e non dalla loro specfca natura fsca. In sntes, l funzonamento d cascun componente d un crcuto dpende prealentemente dalla sua costtuzone fsca e non dalla natura degl altr component present nel crcuto; l nterazone tra ders component del crcuto aene prealentemente attraerso loro termnal. Osserazone Queste due propretà sono d fondamentale mportanza e sono alla base del modello crcutale. La propretà (a) asscura che l funzonamento de sngol component d un dato crcuto, n condzon nomnal, dpende prealentemente dalla loro costtuzone fsca e non dal partcolare crcuto n cu sono nsert. Cò ne consente la costruzone ndpendentemente dall uso che po se ne farà e dal crcuto n cu saranno nsert. S pro a mmagnare come sarebbe complcato costrure un crcuto se le legg che goernano l funzonamento de sngol component dpendessero sensblmente dal partcolare crcuto n cu ess sono nsert. La propretà (b) asscura che l funzonamento del crcuto dpende solo dal modo n cu component sono collegat e non dalla loro effetta poszone nello spazo. Questo è un prerequsto fondamentale per la robustezza d un crcuto. Proate a mmagnare cosa accadrebbe se l funzonamento d un crcuto fosse molto sensble alle effette poszon relate de suo component. Le potes che sono alla base del modello crcutale, come edremo, sono erfcate esattamente solo quando le tenson e le corrent del crcuto sono costant nel tempo, coè solo per crcut n regme stazonaro. Quando le tenson e le corrent arano nel tempo, l nterazone tra le ders part del crcuto può dpendere sensblmente dalle effette confgurazon d campo elettromagnetco prodotte dalle carche e corrent che sono present. Tuttaa, se le tenson e le corrent arano lentamente nel tempo gl effett dell nterazone che dpende dalle corrent e dalle tenson termnal sono prealent su quell che dpendono dall effetta confgurazone d campo elettromagnetco presente nella struttura. Pù aant saremo n grado d precsare meglo cosa ntendamo per lentamente arable.

5 9 10 Anche se l modello crcutale descre solo approssmatamente l comportamento d un crcuto, esso, reste un ruolo fondamentale nell ngegnera perché consente d studare un nseme estremamente aro e ampo d sstem elettromagnetc. Sa l funzonamento d un semplce crcuto elettrco costtuto da una battera, una lampadna e fl conduttor, sa l funzonamento d un rcetore rado, costtuto da centnaa d component, anche molto compless, è descrtto adeguatamente dalle legg d Krchhoff e dalle relazon caratterstche de component. Comunque, come abbamo gà sottolneato, ogn crcuto ene progettato e realzzato n modo tale che, se utlzzato correttamente, l suo funzonamento effetto sa molto cno a quello che garantsce la aldtà dello stesso modello crcutale. Osserazone La pù forte lmtazone del modello crcutale è che non è n grado d descrere l fenomeno della propagazone del campo elettromagnetco e, qund, gl effett del rtardo dout alla eloctà fnta d propagazone. Infatt, come edremo, l modello crcutale è basato sull potes che la confgurazone del campo elettromagnetco presente nel crcuto sa prealentemente d tpo quas-stazonaro. Cò s erfca quando le grandezze elettrche arano così lentamente nel tempo che gl effett de rtard sono trascurabl (è come se segnal elettrc s propagassero stantaneamente nel crcuto ). Per questa ragone, crcut fsc descrbl attraerso l modello crcutale prendono l nome d crcut a parametr concentrat. L aggetto concentrato sta a ndcare che le dmenson fsche del crcuto sono abbastanza pccole da poter rtenere che nelle condzon d funzonamento nomnal l campo elettromagnetco s propagh attraerso d esso n modo pratcamente stantaneo. Nella stuazone n cu l approssmazone basata sul modello a parametr concentrat non è alda, ad esempo, perché le grandezze elettrche del crcuto fsco arano troppo elocemente nel tempo, deono essere tenute n conto le dmenson fsche del crcuto. Per dstnguere tal crcut da crcut a parametr concentrat, ess sono denomnat crcut a parametr dstrbut. Esemp tpc sono crcut costtut da lnee d trasmssone e da gude d onda. S dorà rcorrere alle equazon d Maxwell complete per predre l comportamento d quest sstem. In queste lezon tratteremo solo crcut a parametr concentrat. Sebbene le equazon del modello crcutale, coè le legg d Krchhoff e le relazon caratterstche de sngol component, possano essere dedotte dalle legg d Maxwell e dalle relazon costtute de materal con cu sono realzzat component (assumendo che le grandezze elettromagnetche arno lentamente nel tempo), n questo corso formuleremo drettamente le equazon del modello crcutale. La ragone è molto semplce. L obetto prncpale del corso è ntrodurre l modello crcutale, studarne le propretà fondamental e nsegnare a rsolere crcut, d qualsas tpo, attraerso l uso d quegl strument dell algebra lneare e dell anals matematca che engono nsegnat nel prmo anno d un corso d laurea d prmo lello d una Facoltà d Ingegnera. Tuttaa cercheremo d mettere n edenza lmt d applcabltà del modello crcutale e le ragon d quest lmt. S presume che lo studente che segue questo corso abba gà acquste e maturate le conoscenze d base d fsca, e n partcolare, d elettromagnetsmo che engono nsegnate durante l prmo anno d un corso d laurea n Ingegnera d prmo lello della Classe dell Informazone e della Classe Industrale. Comunque, ne prossm tre paragraf engono rst, partendo da un punto d sta derso da quello che generalmente s adotta n un corso d Fsca ntrodutto all elettromagnetsmo, concett e legg che sono alla base del funzonamento d un crcuto elettrco e, qund, del modello crcutale. Dare allo studente anche la possbltà d acnars ad un argomento partendo da dfferent punt d sta è fondamentale per la sua formazone. 1.3 La carca elettrca La carca e la corrente elettrca sono le grandezze fsche fondamental che determnano l nterazone elettromagnetca 4. Le forze che caratterzzano questa nterazone engono descrtte attraerso l campo elettrco e l campo magnetco. La legge d Lorentz esprme la forza che agsce sulla carca elementare che s muoe n un campo elettromagnetco. Le equazon d 4 Cascuna partcella elementare (elettrone, protone, neutrone,...) s comporta come se fosse un magnete elementare. D conseguenza gl elettron e proton oltre ad aere una carca elettrca hanno anche un momento magnetco propro, detto momento magnetco ntrnseco. Il ruolo del momento magnetco ntrnseco degl elettron è fondamentale n tutt materal ferromagnetc.

6 11 12 Maxwell esprmono le legg che legano l campo elettromagnetco alle sorgent elementar del campo, che sono le carche e le corrent elettrche. Le carche elettrche possono essere poste o negate. Il segno della carca è dstnguble graze alla forza d Coulomb, per cu carche (ferme) dello stesso segno s respngono e carche d segno opposto s attraggono. Il protone, ad esempo, è una partcella dotata d carca posta, mentre l elettrone è una partcella dotata d carca negata (oamente è del tutto conenzonale aer scelto come segno della carca del protone quello posto e come segno della carca dell elettrone quello negato). La carca dell elettrone è la carca negata elementare e quella del protone è la carca posta elementare. In alore assoluto, la carca del protone e la carca dell elettrone sono ugual. In queste note adotteremo le untà d msura del Sstema Internazonale (SI). Nel sstema SI l untà d msura della carca elettrca è denomnata, come sappamo, coulomb (smbolo C), [ Q] = C. (1) (In questo note con l smbolo [ F] ndchamo l untà d msura della generca grandezza fsca F.) Un coulomb è un alore d carca estremamente grande se lo confrontamo con la carca d un sngolo elettrone o d un sngolo protone. Infatt, s ha che 1C e, (2) doe e ndca la carca, n alore assoluto, dell elettrone. La carca elettrca contenuta n una data regone d spazo è la somma delle carche poste e negate contenute n essa: cascuna carca dee essere sommata con l propro segno. S ha coè: Q t = Q Q (3) doe Q e Q ndcano, rspettamente, la carca posta e la carca negata contenute nella regone d spazo n consderazone. La relazone (3) può essere rscrtta come Q t = Q Q. (4) Se Q t = 0 s dce che la regone n esame è globalmente neutra. Esempo Consderamo un cm 3 d flo d rame. In esso c sono crca atom, che formano l retcolo crstallno. Cascun atomo contene 29 proton (carche poste del nucleo) e 29 elettron (carche negate attorno al nucleo). Per ogn atomo è, medamente, all ncrca un elettrone lbero d muoers nel retcolo crstallno; proton e gl altr elettron s possono consderare come se fossero pratcamente mmobl. Pertanto nella regone n un cm 3 c sono crca elettron che possono mgrare. In assenza d camp elettrc estern, gl elettron lber s muoono n manera completamente dsordnata a causa dell agtazone termca (con eloctà modeste, dell ordne d 100 km /s a temperature ordnare). In conseguenza d cò, l numero d proton e l numero d elettron (eleatssmo) che s troano, medamente, n un cm 3 sono ugual, la carca totale è zero e l campo elettrco macroscopco, coè, l alor medo del campo elettrco su dmenson macroscopche, rsulta essere pratcamente zero. Qund, n assenza d un campo elettrco macroscopco esterno, gl elettron lber mgrano solo a causa dell agtazone termca n un ambente che resta medamente neutro Legge della conserazone della carca per sstem elettrcamente chus In generale, Q e Q, e qund Q t, arano nel tempo. Cò è douto al fatto che le carche s muoono sotto l azone d camp elettromagnetc, e qund, mgrano, da una regone all altra dello spazo. In una trattazone macroscopca, come quella che sere per descrere l modello crcutale, possamo consderare la carca come una funzone contnua del tempo perché gl effett dout alla granulartà delle carche elementar sono trascurabl (le regon macroscopche, per defnzone, contengono un numero eleatssmo d partcelle). Dcamo che un sstema è elettrcamente chuso se attraerso la superfce che lo delmta non passano partcelle carche.

7 13 14 Legge della conserazone della carca elettrca In un sstema elettrcamente chuso la carca elettrca totale non ara nel tempo. Questa è una delle legg baslar dell elettromagnetsmo. Se s esclude la possbltà che ugual quanttà d carca posta e negata possano essere smultaneamente create o dstrutte (cò, n realtà, può accadere negl accelerator d partcelle doe le partcelle elementar engono accelerate fno a eloctà prossme a quelle della luce nel uoto), come mmedata conseguenza della legge della conserazone della carca abbamo che sa l numero d carche elementar poste, sa l numero d carche elementar negate contenute n un sstema elettrcamente chuso non arano nel tempo. S 0 S 1 regone d spazo delmtata da S 0. Inoltre, ndchamo con Q 1 ( t) la carca totale contenuta n Ω 1 e con Q 2 ( t) la carca totale contenuta n Ω 2 ad un generco stante d tempo t. Allora, per la legge della conserazone della carca s ha che Q 1 ( t) Q 2 ( t) = Q 0 = costan te, (5) doe Q 0 è la carca totale contenuta nel sstema chuso. In conseguenza d cò, se la carca Q 1 dmnusce (aumenta) nel tempo, la carca Q 2 aumenta (dmnusce). La carca Q 1 dmnusce (aumenta) nel tempo, n senso relato, se carche poste (negate) s spostano dalla regone Ω 1 alla regone Ω 2 e/o carche negate (poste) s spostano dalla regone Ω 2 alla regone Ω 1, attraersando la superfce S 1. In conclusone, la carca Q 1, e d conseguenza la carca Q 2, arano quando c è un flusso d carca elettrca attraerso la superfce S 1, coè, quando c è una corrente elettrca attraerso S 1. Può anche accadere che, pur essendo partcelle carche che attraersano la superfce S 1, le carche Q 1 e Q 2 non arano nel tempo. Il lettore cerch d descrere una stuazone n cu cò potrebbe erfcars. Il concetto d ntenstà d corrente elettrca, che è un concetto base del modello crcutale, sarà ampamente sluppato nel seguto. Ω L ntenstà della corrente elettrca Fg. 1.3 Ω 2 Sstema elettromagnetco chuso: attraerso la superfce S 0 non c è passaggo d carche elettrche. Consderamo un sstema elettromagnetco chuso che occupa la regone d spazo delmtata dalla superfce S 0 (Fgura 1.3). Consderamo ora una parte d questo sstema, ndchamo con Ω 1 la regone d spazo che essa occupa e con S 1 la superfce che delmta Ω 1 ; ndchamo con Ω 2 la restante parte della S ha corrente elettrca macroscopca quando le carche s muoono n moto ordnato su scala macroscopca, ad esempo, n un flo conduttore d elettrctà (un flo d rame) sotto l azone d un campo elettrco esterno prodotto da sorgent macroscopche, come, ad esempo, una pla. Quando c è una corrente elettrca macroscopca al moto dsordnato degl elettron lber, douto all agtazone termca, s sorappone un moto d nseme con eloctà meda dersa da zero n una certa drezone. Ora c soffermeremo solo sull anals de concett e delle grandezze che s ntroducono per descrere le stuazon n cu s ha una corrente elettrca macroscopca; cò può essere fatto prescndendo dalle modaltà con cu s essa ene prodotta. Una delle grandezze fondamental che caratterzza una corrente elettrca è quello d ntenstà d corrente elettrca. Consderamo, anztutto, nella regone n cu c sono carche elettrche n moto una superfce generca S (aperta o

8 15 16 chusa) orentata arbtraramente e contamo le carche (supposte puntform), d spece n generale derse, che la attraersano. In Fgura 1.4 le due possbl orentazon d una superfce aperta S sono ndcate attraerso due possbl ers della normale: n Fgura 1.4a la superfce è orentata con la normale che a dal basso erso l alto, nece n Fgura 1.4b la stessa superfce è orentata con la normale che a dall alto erso l basso. Sa T la durata dell nterallo temporale durante l quale contamo le carche e t l stante n cu nzamo a contarle. Inoltre, etchettamo cascuna partcella con un numero ntero, d modo ché q sa la carca elettrca della esma partcella che ha attraersato la superfce S a un stante t mprecsato con t t 1 e = 1,2,.... partcelle carche che attraersano S partcelle carche che attraersano S defnsce l ntenstà meda della corrente elettrca che attraersa la superfce orentata S nell nterallo ( t, t T). In generale, l ntenstà meda della corrente I S dpende sa dall stante t n cu nza l processo d conteggo sa dalla lunghezza T dell nterallo d osserazone. Tuttaa, quas sempre le cose stanno n modo tale che I S tende a un alore ben defnto, che n generale dpende solo da t, se la lunghezza dell nterallo d osserazone T ene fatto tender a un alore fscamente nfntesmo T. Con l espressone fscamente nfntesmo oglamo ntendere un alore molto pccolo rspetto alla scala de temp su qual le grandezze elettrche macroscopche arano apprezzablmente, e tuttaa abbastanza grande d modo che S sa attraersata da un numero eleatssmo d partcelle. S partcelle carche che attraersano S (a) S partcelle carche che attraersano S (b) Defnzone: ntenstà della corrente elettrca In tal condzon è possble defnre l ntenstà d corrente elettrca che attraersa la superfce orentata S nel generco stante t come S ( t) = lm T T I S ( t;t) = q ( S t; T ) ; (8) T Fg. 1.4 Due possbl mod d orentare la superfce S. Defnamo la carca elettrca netta che attraersa la superfce orentata S nell nterallo t, t T ( ) come la somma, q S ( t;t) = ( ± )q, (6) d tutte le carche che attraersano S n quell nterallo, facendo nterenre l segno per le carche che l attraersano concordemente con l erso prescelto per orentarla e l segno per le carche che l attraersano nel erso opposto. Cascuna carca q ene contata con l propro segno. Per defnzone è q S ( t;t = 0) = 0. Il rapporto q S ( t; T) è la carca netta che attraersa S nell nterallo fscamente nfntesmo T a partre dall stante t. Introducamo la funzone Q S ( t) defnta come la carca elettrca netta che attraersa la superfce orentata S nell nterallo d tempo ( 0,t). È edente, allora, che la carca q S ( t; T) che attraersa la superfce orentata S nell nterallo T è esprmble come q S ( t; T) = Q S ( t T) Q S ( t) = Q S, (9) I S ( t;t) = q ( t; T) S T (7) coè è data dalla carca netta che ha attraersato S nell nterallo d tempo ( 0,t T) meno la carca netta che ha attraersato la stessa superfce S

9 17 18 nell nterallo d tempo ( 0,t). La arazone d carca Q S può essere determnata attraerso la relazone Q S dq S dt T, (10) doe dq S / dt è la derata prma della funzone Q S ( t) alutata all stante t. Il segno, a rgore, può essere sosttuto con quello d eguaglanza solo nel lmte T 0. Comunque, se la funzone Q S ( t) ara lentamente su ogn nterallo temporale d ampezza T (e cò è certamente ero per come è stata defnto l nterallo fscamente nfntesmo T ), possamo, senza sbaglare d molto, sostture nella (10) l segno con l segno =. Utlzzando le relazon (9) e (10) (con l segno = al posto del segno ) la relazone (8) denta S ( t) = dq S. (11) dt In conclusone, l ntenstà della corrente elettrca che attraersa la superfce orentata S al generco stante t è uguale alla derata prma rspetto al tempo della carca elettrca netta che ha attraersato la superfce S nell nterallo ( 0,t). E edente allora che la carca netta che attraersa la superfce S nell nterallo d tempo nfntesmo ( t, t t), Q S, può essere espressa come Q s = S ( t) t. La carca netta Q S ( t 1,t 2 ) che attraersa la superfce orentata S n un generco nterallo ( t 1,t 2 ) (con t 2 > t 1 ) è data dall ntegrale defnto sull nterallo ( t 1,t 2 ) dell ntenstà della corrente elettrca S ( t), t ( ) 2 = S t Q S t 1,t 2 ( )dt. (12) t 1 Questa relazone è una dretta conseguenza della defnzone d ntenstà d corrente data sopra. S ottene mmedatamente a partre dalla relazone (11). Eserczo Il lettore erfch che s ottene la relazone (10) se, nece d consderare la carca che ha attraersato la superfce S nell nterallo ( 0,t), s consdera la carca che ha attraersato la stessa superfce nell nterallo t 0,t ( ) (con t 0 < t ). L ntenstà della corrente elettrca attraerso una superfce orentata è una grandezza scalare l cu segno, posto o negato, dpende solo dalla scelta dell orentamento della superfce. Se S è l ntenstà della corrente attraerso la superfce S orentata come rportato n Fgura 1.4a e S è l ntenstà della corrente attraerso la stessa superfce orentata n erso opposto, come ndcato n Fgura 1.4b, s ha ( t) = S ( t). (13) S L ntenstà della corrente elettrca ha l ruolo d grandezza elettrca fondamentale del Sstema Internazonale delle untà d msura. Nel sstema SI l untà d msura dell ntenstà d corrente elettrca è denomnata ampere (smbolo A), [ ] = A. (14) L untà d carca, coè l coulomb, è pertanto un untà derata e corrsponde al prodotto d un ampere per un secondo: C = A s. (15) Un coulomb è la carca netta che attraersa una generca superfce S nell nterallo d un secondo quando l ntenstà della corrente elettrca attraerso S è uguale a un ampere. Dal corso d Fsca sapete che l ntenstà della corrente elettrca attraerso una generca superfce orentata S può essere espressa n funzone delle grandezze che descrono l moto macroscopco delle sngole carche. Il caso pù semplce s ha quando le carche sono tutte della stessa spece, ad esempo, gl elettron

10 19 20 lber d un conduttore soldo. In questo caso l ntenstà della corrente elettrca attraerso la superfce orentata S è data doe la grandezza ettorale S ( t) = J( P,t) n ( P )ds, (16) S J( P,t) = ρ( P,t)( P,t), (17) alutable punto per punto e stante per stante nel conduttore, è l campo d denstà d corrente elettrca; ρ è la denstà olumetrca 5 della carca assocata agl elettron lber, coè la carca per untà d olume, e è la loro eloctà meda (Appendce A1). L ntegrale d superfce (16) rappresenta l flusso del campo d denstà d corrente attraerso la superfce orentata S ; n è l ersore normale alla superfce S orentato concordemente con l erso scelto per S. Nel sstema SI l untà d msura della denstà d corrente elettrca è [ J] = A/m 2. (18) Se l campo d denstà d corrente nella regone d nteresse è unforme e la superfce S è pana abbamo S = J 0 Acosα, (19) doe J 0 è l modulo del campo d denstà d corrente, A è l area della superfce S, α è l angolo che la drezone del ettore del campo d denstà d corrente forma con la normale alla superfce orentata S. L ntenstà della corrente elettrca è posta quando 0 α π /2 ed è negata quando π / 2 < α < π. Se l campo d denstà d corrente non è unforme e/o la superfce S non è pana, bsogna calcolare l ntegrale d superfce (16). 5 S consder una dstrbuzone olumetrca d carca elettrca. La denstà d carca ρ = ρ( P,t) è defnta n modo tale che ρ( P,t) Ω P rappresenta la carca elettrca netta contenuta all stante t nel olume elementare Ω P, fscamente nfntesmo, centrato nel punto P. Nel SI la denstà d carca olumetrca s msura n coulomb / m 3. Esempo S consder un conduttore d rame flforme con sezone S = 1 cm 2. S supponga che sa attraersato da una corrente elettrca d ntenstà I = 1 A (dretta parallelamente all asse del flo). Quale è la eloctà meda (macroscopca) degl elettron lber? Il modulo della denstà d corrente è J = I / S = 10 ka/m 2. Il numero d elettron lber per cm 3 è n Allora la denstà d carca elettrca è ρ = ne C/m 3. D conseguenza la eloctà meda degl elettron lber è = J /ρ 0.5 mm/s. Rcordamo che l moto dsordnato assocato all agtazone termca è caratterzzato da eloctà dell ordne d 100 km/s a temperature ordnare. Nel caso n cu s ha a che fare con due spece d portator d carche, l una posta con denstà olumetrca ρ e eloctà meda, e l altra negata con denstà olumetrca ρ e eloctà meda (come, ad esempo, nelle soluzon elettroltche o ne semconduttor), l espressone del campo d denstà d corrente elettrca è J( P,t) = ρ ( P,t) ( P,t) ρ ( P,t) ( P,t). (20) Legge della conserazone della carca per sstem elettrcamente apert Nel 1.3 abbamo enuncato la legge della conserazone della carca elettrca per sstem elettrcamente chus. La carca contenuta entro una regone Ω racchusa da una superfce Σ non attraersata da corrente elettrca è costante nel tempo. Quando, nece, la superfce chusa Σ è attraersata da corrente elettrca, la carca elettrca all nterno d Ω, n generale, ara nel tempo (Fgura 1.5). Indchamo con Σ ( t) l ntenstà della corrente elettrca che all stante t attraersa la superfce chusa Σ orentata concordemente con l erso uscente da Ω. Inoltre, ndchamo con Q Ω ( t) la carca elettrca totale che all stante t è contenuta nella regone Ω.

11 21 22 La carca elettrca netta q Σ ( t, T ) che nell nterallo d tempo nfntesmo ( t,t T ) attraersa la superfce orentata Σ è data da q Σ ( t, T ) Σ ( t) T. (21) La carca q Σ ( t, T ) è la somma algebrca delle carche che nell nterallo d tempo ( t,t T ) attraersano Σ, facendo nterenre l segno per le carche che attraersano Σ uscendo da Ω e l segno per le carche che attraersano Σ entrando n Ω (n accordo con l fatto che abbamo orentato la superfce chusa Σ concordemente con l erso uscente da Ω). D conseguenza q Σ ( t, T ) è uguale alla carca elettrca netta che nell nterallo d tempo ( t, t T ) effettamente esce dalla regone Ω meno la carca elettrca netta che nello stesso nterallo d tempo effettamente entra nella regone Ω. ˆn Q Ω ( t) Q Ω ( t t) = q Σ ( t, T). (22) Utlzzando la (22) dalla relazone (21) s ottene Σ ( t) Q Ω ( t T) Q Ω ( t). (23) T Nel lmte n cu T è suffcentemente pccolo possamo confondere l rapporto ncrementale a secondo membro della (23) con la derata prma e screre Σ ( t) = dq Ω. (24) dt Questa è la legge della conserazone della carca per sstem elettrcamente apert. Legge della conserazone della carca per sstem elettrcamente apert Fg. 1.5 Ω Σ La carca totale contenuta nella regone Ω ara nel tempo n presenza d una corrente elettrca attraerso la superfce chusa Σ. Per la conserazone della carca elettrca abbamo che: () le carche che nell nterallo d tempo ( t,t T ) effettamente escono da Ω, attraersando Σ, all stante t s troano tutte dentro la regone Ω; () anche le carche elettrche che nello stesso nterallo d tempo effettamente entrano n Ω, attraersando Σ, all stante t T s troano tutte dentro la regone Ω. D conseguenza, la arazone d carca Q Ω ( t) Q Ω ( t T) è uguale alla carca elettrca netta che nell nterallo d tempo ( t, t T ) effettamente esce dalla regone Ω meno la carca elettrca netta che nello stesso nterallo d tempo effettamente entra dalla regone Ω e, qund, Data una qualsas superfce chusa Σ che delmta la regone d spazo Ω, orentata concordemente con l erso uscente da Ω, l ntenstà della corrente elettrca attraerso Σ è uguale alla derata prma, rspetto al tempo, della carca elettrca totale contenuta nel olume Ω cambata d segno. Il segno esprme l fatto che, nel caso d carche poste effettamente uscent da Σ (prmo membro posto) s rscontra una dmnuzone d Q Ω e coè s ha dq Ω dt < 0. Dal corso d Fsca sapete che l equazone (24) può essere espressa come (se sono assent dstrbuzon superfcal d carche e corrent) J nds = d ρd Σ dt, (25) Ω

12 23 24 doe ρ è la denstà d carca elettrca lbera presente all nterno della regone Ω, ottenuta sommando le denstà d carca elettrca d tutte le spece d portator d carca present. Questa è la forma pù nota della legge della conserazone della carca elettrca (Appendce A1). Il smbolo ( ) ds rcorda che l ntegrale d superfce è esteso ad una superfce chusa. Osserazone Quando le grandezze elettrche sono costant nel tempo (regme stazonaro) s ha che l ntenstà della corrente elettrca attraerso qualsas superfce chusa è sempre uguale a zero, Σ = 0, oero, J nds = 0. (26) Σ In questa stuazone la quanttà d carca che globalmente attraersa la superfce chusa Σ, n un generco nterallo d tempo, è nulla: tanta carca entra n Σ quanta, nello stesso tempo nterallo d tempo ne esce. Per tale ragone s dce che n regme stazonaro l campo del ettore denstà d corrente è conserato rspetto al flusso. Fg. 1.6 S A S uoto uoto S l J conduttore In condzon stazonare l ntenstà della corrente elettrca attraerso una generca sezone d un conduttore flforme non dpende dalla partcolare sezone scelta. Una conseguenza mportante dell equazone (26) è che n regme stazonaro l ntenstà della corrente elettrca che attraersa un flo conduttore ha lo stesso alore attraerso tutte le sue sezon. Faccamo rfermento a un conduttore che S B ha una forma del tpo llustrato n Fgura 1.6. S assuma che l conduttore sa connesso a un apparato elettrco attraerso le due superfc estreme S A e S B e che sa attraersato da una corrente. La superfce laterale S l separa l conduttore dal uoto o da un materale che assumamo essere un solante elettrco perfetto, coè un materale n cu non esstono carche lbere e qund non è possble aere corrent. Se ndchamo con A e B le ntenstà delle corrent elettrche attraerso le due superfc estreme S A e S B, rspettamente, e con l ntenstà della corrente elettrca attraerso una generca sezone S del conduttore (ntermeda tra S A e S B ), s ha A = = B. (27) Le superfc S A, S e S B sono orentate concordemente (da snstra erso destra). L equazone (27) è una dretta conseguenza d due fatt: attraerso la superfce laterale S l non può esserc corrente elettrca perché l mezzo crcostante è un solante perfetto; sulla superfce laterale S l non possono accumulars carche perché abbamo supposto d essere n condzon stazonare (su S l può esserc al pù una carca costante nel tempo). Se sulla superfce S l fosse una carca arable nel tempo, sotto forma d dstrbuzone superfcale, essa darebbe luogo a un campo elettrco e a un campo magnetco arabl nel tempo, contraenendo così all potes d regme d funzonamento stazonaro. 1.5 La tensone elettrca Come gà abbamo rcordato, le grandezze elettrche fondamental d un crcuto elettrco sono l ntenstà della corrente elettrca e la tensone elettrca. Nel precedente paragrafo abbamo resamnato l concetto d ntenstà della corrente elettrca, n questo paragrafo resamneremo quello d tensone elettrca. La tensone elettrca è una grandezza ntegrale del campo elettrco. Attraerso d essa è possble descrere alcune delle propretà fondamental d questo campo. Consderamo un campo elettrco prodotto da un sstema d carche e d corrent. Sa γ una cura aperta d estrem A e B, e la s orent sceglendo arbtraramente un erso d percorrenza, ad esempo, quello che a dall estremo A all estremo B, Fgura 1.7.

13 25 26 Fg. 1.7 A Cammno lungo cu ene defnta la tensone elettrca. Defnzone: tensone elettrca La tensone del campo elettrco lungo la cura orentata γ, che ndcheremo con γ, è l laoro che l campo elettrco compe su una carca, rferto alla carca stessa, per muoerla lungo γ concordemente con l erso prescelto. Nel sstema SI l untà d msura della tensone elettrca è denomnata olt (smbolo V), γ B [ ] = V. (28) La defnzone d tensone elettrca può applcars anche al caso d lnea chusa. In questo caso gl estrem A e B concdono. La tensone elettrca lungo una lnea chusa Γ, che ndcheremo con l smbolo E Γ, prende l nome d crcutazone del campo elettrco. Per questa grandezza, spesso, ene anche usato l termne forza elettromotrce (f.e.m.). 6 Dal corso d Fsca sapete che la tensone γ può essere espressa come ntegrale d lnea del campo elettrco E lungo la cura orentata γ (Appendce A1), γ = E tdl. (29) γ 6 Tale termne, ntrodotto nelle prme applcazon elettrche e tuttora d uso corrente, non rappresenta edentemente una forza bensì un laoro su d una carca rferto alla carca stessa. In generale, l campo elettrco è una funzone (ettorale) del punto dello spazo e del tempo. D conseguenza la tensone elettrca ara al arare del tempo ed è, qund, una funzone del tempo. Per la crcutazone del campo elettrco lungo la lnea chusa Γ s ha E Γ = E tdl. (30) Γ Il smbolo ( )dl rcorda che l ntegrale d lnea è esteso a una lnea chusa. Γ Se l campo elettrco nella regone d nteresse è unforme e la lnea γ è un segmento d lunghezza L abbamo γ = E 0 L cosβ, (31) doe E 0 è l modulo del campo elettrco e β è l angolo che la drezone del ettore del campo elettrco forma con l segmento orentato γ. La tensone è posta quando 0 β π / 2 ed è negata quando π / 2 < β < π. Se l campo elettrco non è unforme e/o la cura γ non è un segmento, allora bsogna calcolare l ntegrale d lnea (29). Legge dell nduzone elettromagnetca (legge d Faraday-Neumann) La legge dell nduzone elettromagnetca, nota anche come legge d Faraday- Neumann, dce che (stamo consderando lnee chuse ferme) E Γ = dφ Γ dt, (32) doe Φ Γ è l flusso del campo d nduzone magnetca concatenato con la lnea chusa Γ, defnto concordemente con l erso d percorrenza scelto per Γ (Appendce A1). Nel sstema SI l untà d msura del flusso del campo magnetco è denomnata weber (smbolo Wb ),

14 27 28 Fg. 1.8 La lnea chusa Γ è l orlo della superfce aperta S Γ. [ Φ] = Wb. (33) Γ L untà d flusso del campo d nduzone magnetca, coè l weber, corrsponde al prodotto d un olt per un secondo: S Γ ˆn W b = V s. (34) La legge d Faraday-Neumann esprme l fatto che la crcutazone del campo elettrco è par (a meno del segno) alla derata rspetto al tempo del flusso del campo d nduzone magnetca concatenato con la lnea stessa. Il fenomeno prende l nome d nduzone elettromagnetca. Esso è uno de fenomen pù mportant dell elettromagnetsmo: ognqualolta nello spazo esste un campo magnetco arable nel tempo, ad esso s assoca un campo elettrco con crcutazone dersa da zero. Dal corso d Fsca sapete che l flusso del campo d nduzone magnetca B concatenato con una lnea chusa Γ può essere espresso come (Appendce A1) Φ Γ = B nds, S Γ (35) doe S Γ è una qualsas superfce aperta che ha come orlo la lnea chusa Γ e ˆn è l ersore normale al generco punto della superfce S Γ orentato n manera tale che l erso d Γ e quello d ˆn sano tra loro legat, rspettamente, come l senso d rotazone e quello d aanzamento d una te destrogra, Fgura 1.8. Nel SI l untà d msura del campo d nduzone magnetca è l tesla (smbolo, T). È edente che W b = T m 2. La possbltà d assocare l flusso del campo d nduzone magnetca alla lnea chusa Γ s basa sul fatto che B è conserato rspetto al flusso, coè per qualsas superfce chusa Σ s ha B nds = 0. (36) Σ Questa è la propretà fondamentale del campo d nduzone magnetca. Essa mplca che l flusso del campo d nduzone magnetca attraerso una superfce aperta dpende solo dall orlo della superfce: l flusso del campo B attraerso due superfc aperte (orentate concordemente) che hanno lo stesso orlo sono ugual. Allora, la legge d Faraday-Neumann può essere espressa nella forma (Appendce A1) Fg. 1.9 Osserazone E tdl = d B nds Γ dt. (37) S Γ B γ 1 γ 2 Due cure derse che hanno gl stess estrem. Quando le grandezze elettrche e magnetche sono costant nel tempo (regme stazonaro) dalla (37) (o dalla (32)) abbamo che la crcutazone del campo elettrco lungo una qualsas lnea chusa è sempre uguale a zero (s dce, anche, che l campo elettrco è conserato rspetto alla crcutazone), A E Γ = 0 oero E tdl = 0. (38) Γ

15 29 30 In questa stuazone la tensone elettrca lungo una lnea aperta dpende solo da punt estrem della lnea e non dalla partcolare percorso defnto dalla stessa (Fgura 1.9), γ1 = γ2 AB. (39) 1.6 Crcut d bpol Fg Esempo d crcuto costtuto da component con due termnal. In un crcuto l funzonamento d ogn sngolo componente è, n ogn stante, determnato dalla nterazone tra l componente stesso e l resto del crcuto. In altre parole, s può dre che esso è l frutto dell nterazone tra due derse esgenze: che l componente s comport n modo compatble con la sua specfca natura e che tale comportamento sa a sua olta compatble con quello d tutt gl altr component present nel crcuto. Le relazon caratterstche descrono l funzonamento de sngol component e le legg d Krchhoff ne regolano l nterazone. Le equazon che ne derano sono le equazon crcutal. Nella parte restante d questo Captolo ntrodurremo e descreremo le equazon crcutal. Ne lmt delle approssmazon del modello crcutale, che llustreremo breemente nel 1.13, le condzon d funzonamento de sngol component del crcuto e, qund, dell ntero crcuto, sono ndduate dalle tenson tra termnal de component e dalle ntenstà d corrente che attraersano termnal de component: queste sono le arabl elettrche del crcuto e, qund, le ncognte delle equazon crcutal. La relazone caratterstca del componente, che ne descre l funzonamento complesso, è espressone solo della sua natura fsca. Essa esprme le relazon tra le ntenstà delle corrent e le tensone del componente mposte dalla sua natura fsca. Le legg d Krchhoff esprmono le relazon tra le arabl crcutal mposte dal modo n cu component del crcuto sono collegat tra loro. La legge d Krchhoff per le corrent mette n relazone le ntenstà delle corrent che attraersano termnal d component ders collegat a uno stesso nodo. La legge d Krchhoff per le tenson mette n relazone le tenson tra le coppe d termnal che formano un percorso chuso. Per semplctà, faremo rfermento a crcut d sol component con due termnal. Un esempo d crcuto d questo tpo è llustrato n Fgura (In questo paragrafo e ne success faremo spesso rfermento al crcuto d Fgura 1.10 per esemplfcare concett e le legg che man mano ntrodurremo.) Con 1, 2, 3, 4, 5 e 6 abbamo ndcato ders component del crcuto; con 1, 2, 3, 4 e 5 abbamo ndcato nod del crcuto, coè le gunzon tra termnal d component crcutal ders. L estensone alla stuazone pù generale n cu sano present anche component con pù d due termnal non comporta alcuna dffcoltà concettuale e errà sluppata nel Captolo 4. Nel modello crcutale un generco componente con due termnal è rappresentato attraerso l bpolo, concetto che slupperemo e approfondremo n questo paragrafo. In questo paragrafo, n partcolare, defnremo con precsone l ntenstà della corrente e la tensone per un generco componente con due termnal. Nel paragrafo successo formuleremo e dscuteremo le legg d Krchhoff per un crcuto d bpol. Nel 1.8 presenteremo e dscuteremo concett d potenza ed energa elettrca assorbte da un bpolo. Nel 1.9 presenteremo e dscuteremo le relazon caratterstche de bpol fondamental. Infne, nel 1.10 c soffermeremo su lmt d aldtà del concetto d bpolo e delle stesse legg d Krchhoff L ntenstà della corrente elettrca d un componente con due termnal In ogn crcuto c sono carche elettrche n momento sa ne conduttor d collegamento che ne component. Le carche e le corrent elettrche producono camp elettrc e magnetc che permeano l ntero crcuto.

16 31 32 Consderamo un generco componente con due termnal, ad esempo, un componente del crcuto rportato n Fgura Esso può essere l resstore, l nduttore o l dodo; la sua specfca natura non ha per ora alcuna mportanza. Un generco componente con due termnal può essere rappresentato schematcamente come ndcato n Fgura 1.11a, doe engono mess n edenza la superfce lmte del componente e due conduttor termnal flform che da essa fuorescono. Abbamo marcato un termnale con l smbolo a e l altro termnale con l smbolo b. I conduttor con cu sono realzzat termnal, n condzon d funzonamento nomnal (coè nelle condzon d funzonamento per le qual component sono stat realzzat e l crcuto progettato) possono essere rtenut conduttor perfett. Il fenomeno della conduzone elettrca ne cosddett conduttor d tpo ohmco (rame, argento,...) è descrtto dalla relazone costtuta (legge d Ohm alle grandezze specfche) E = ηj, doe l parametro η è la ressttà elettrca del materale. L untà d msura della ressttà elettrca nel SI è ohm m ( Ω m); ohm è l untà d msura della resstenza elettrca. La ressttà de buon conduttor d elettrctà (argento, rame, allumno) è dell ordne d 0, 01 µω m. Un conduttore perfetto è un conduttore (deale) con ressttà elettrca uguale a zero. Qund l campo elettrco all nterno d esso è nullo anche quando è attraersato da una corrente elettrca. D conseguenza, all nterno d un conduttore perfetto non c è carca elettrca 7. L eentuale carca elettrca presente n un conduttore perfetto è addensata n corrspondenza della superfce e s manfesta come se fosse una dstrbuzone superfcale d carca. 7 In generale, la carca elettrca lbera Q Σ contenuta all nterno della superfce chusa Σ è legata al campo d spostamento elettrcod attraerso la legge d Gauss (Appendce A1), D ˆndS = Q Σ Σ. In un conduttore ohmco s ha quas sempre D = ε 0 E, doe ε 0 è la costante delettrca del uoto. D conseguenza, se l campo elettrco all nterno del conduttore è nullo, non c è carca al suo nterno. Fg superfce lmte a b a termnal b (a) (b) (c) S l a S superfce lmte Schematzzazone d un generco componente con due termnal: (a), (c) possbl scelte per ers d rferment per le ntenstà d corrente; (b) ngrandmento del termnale a. Consderamo una generca sezone trasersale del termnale a, ndchamo la corrspondente superfce con S a e orentamola come ndcato n Fgura 1.11b, coè con la normale che punta erso la superfce lmte. Istante per stante c è una carca elettrca netta che attraersa questa superfce. Sa Sa l ntenstà della corrente elettrca che attraersa la superfce orentata S a defnta concordemente con la (8). (Attenzone: per defnre l ntenstà della corrente elettrca che attraersa una data superfce bsogna sempre orentare la superfce.) L'ntenstà della corrente elettrca Sa è, n generale, una funzone del tempo, Sa = Sa ( t), che dpende sa dalla natura del componente n consderazone che dal resto del crcuto n cu è nserto. E possble assocare un unca ntenstà d corrente al termnale a? La funzone Sa = Sa ( t) dpende, n generale, dalla partcolare superfce S a che s consdera. Abbamo gà osserato nel 1.4 che, n regme stazonaro l ntenstà della corrente elettrca che attraersa una generca sezone trasersale d un flo conduttore non dpende dalla partcolare sezone scelta. Questa propretà non ale quando le grandezze elettrche arano nel tempo a causa S a a b b a