IL METODO DEI MINIMI QUADRATI

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1 IL METODO DEI MIIMI QADRATI Vedamo come s resenterebbe un grafco delle msure avendo tratteggato la retta: della uale er l momento ancora non conoscamo valor d e. Poché unt su uesto grafco raresentano delle msure (und affette da ncertezze) la retta (funzone analtca) non asserà er tutt unt sermental anche se la nostra schematzzazone della legge fsca fosse corretta. Per charre meglo l ruolo delle ncertezze ogn unto è stato raresentato con un segmento la cu semlarghezza è ar all'ncertezza della msura. Il nostro scoo è uello d determnare la retta che meglo arossma tutt dat sermental. Come esemo esamnamo n dettaglo l unto A e calcolamo la dstanza del valore msurato drettamente (cercho eno) da uello stmato a artre dalla conoscenza d (cercho vuoto). Essa otrebbe autarc er stmare arametr e (oché le fluttuano ntorno a valor, ù è ccola la dstanza e mglore sarà stata la nostra stma de arametr). Dovendo dare una valutazone comlessva della dstanza d tutt unt dalla retta otremmo sommare tutte le dstanze delle dalle : - ( ). Per evtare comensazon d dfferenze ostve e negatve è meglo utlzzare l modulo della dfferenza o meglo ancora la somma de uadrat delle dstanze : [ ( ) ], Tuttava se esamnamo unt B e C notamo che mentre la dstanza dalla retta del unto B è suerore a uella del unto C, l'ncertezza della msura del unto B è molto ù elevata e und uest'ultma deve nfluenzare la nostra stma meno d uanto non debba fare l unto C che è meglo determnato. Per uesto motvo, ualora le dverse determnazon d abbano ncertezze dverse, vene defnta la varable: u ( ) In realtà la scelta della forma della funzone s basa su argomentazon ben ù solde d ueste. La loro dscussone, tuttava è oltre gl sco d uesto corso. Pag.

2 dove u raresenta ancora la dstanza d da ma, essendo dvsa er la devazone standard, vene attrbuto un maggor eso alle msure con ncertezza mnore; s comorta coè come una varable rdotta (standardzzata). Il metodo de mnm uadrat consste nella mnmzzazone d al varare de arametr e : uanto ù è ccolo, tanto ù la retta stmata assa nelle vcnanze delle coe d unt sermental. I valor de arametr che mnmzzano costtuscono la nostra stma. S ottengono monendo che le dervate arzal d rsetto a arametr e sano nulle: onendo 0 s ottene: S S e da 0 s ottene: S S dove S e S raresentano le stme rsettvamente d e. S è così ottenuto un sstema d due euazon nelle due ncognte S e S dalla cu rsoluzone s ottengono: s s A) I valor d S e S sono affett da un'ncertezza statstca dovuta alle ncertezze delle sngole msure d ma, oché S e S sono funzon lnear delle varabl aleatore () è ossble, alcando la formula d roagazone delle ncertezze n modo esatto, stmare "faclmente" la loro varanza ottenendo: Pag. le non sono v.a. erché abbamo suosto trascurable la loro varanza ( segment esrment l'ncertezza sono solo nella drezone vertcale); anche le non sono v.a. nella msura n cu le rtenamo note anzché stmate da dat

3 ( S ) ( S ) ella ratca non semre sarà ossble effettuare un così elevato numero d msure er ogn valore da oter stmare con suffcente arossmazone le varanze delle (anz all'nterno d uesto corso non ne avremo uas ma la ossbltà). Tuttava sesso sarà ossble, se er tutte le msure s è usato lo stesso metodo e gl stess strument, rtenere che le varanze delle sano tutte ugual fra loro. In uesto caso, consderando che, la funzone da mnmzzare è: u ) ( e con och assagg s ottengono (è un eserczo che s raccomanda caldamente) le euazon: s s B) che s sarebbero otute rcavare dalle A onendo le. Anche n uesto caso la formula d roagazone delle ncertezze c consente d calcolare le ncertezze da assocare alle stme de arametr: ( s ) ( S ) S Analogamente s uò rcavare: S Ora non resta che stmare da dat a dsoszone la varanza delle che abbamo suosto essere ndendente da e ar a. Per uesto scoo consderamo la uanttà ; essa raresenta la meda artmetca del uadrato degl scart delle da valor attes n base alle ; n altre arole se tendesse ad nfnto sarebbe la solta defnzone d varanza. Poché non conoscamo e ma solo le loro stme S e S una stma non dstorta d è: Pag. 3

4 [ ( )] S S (- erché uesta volta c sono due relazon che legano fra loro le v.a. ). Generalzzamo uanto esamnato fnora al caso d una funzone d ordne ù elevato: schematzzamo l nostro fenomeno con una grandezza che dende dalla grandezza e da un certo numero d arametr non msurat o non msurabl,,... m : f(;,,..., m ) Per ognuna delle msure della grandezza suonamo d aver effettuato una sere d msure del corrsondente valore assunto dalla grandezza e d averne determnata l'ncertezza: Analogamente al caso artcolare recedente s mnmzza la uanttà ( ;,, L, ) f m dervandola rsetto agl m arametr ; dal sstema d m euazon n m ncognte s rcavano le stme de arametr. In ratca è raro che l metodo de mnm uadrat venga utlzzato er funzon ù comlesse della arabola erché s referscono n uel caso altr metod d stma de arametr. n caso artcolare d alcazone de mnm uadrat è raresentato dalla stma del coeffcente angolare d una retta assante er l'orgne: on è ossble utlzzare rsultat gà ottenut onendo semlcemente S 0 ma occorre rcavare nuovamente la stma S d erché nel caso n cu la retta non sa forzata a assare er l'orgne l coeffcente angolare otrebbe essere dverso. La uanttà da mnmzzare è. Ponendo 0 s ottene. S da cu: S In uesto caso è facle verfcare che S sa effettvamente un mnmo n uanto d o ù arametr la verfca è meno banale). > 0 (nel caso Pag. 4

5 Alcando la formula d roagazone delle ncertezze n modo esatto è al solto ossble stmare la varanza della stma d che rsulta essere una combnazone lneare delle v.a. : (s),,,, Anche n uesto caso, ualora le varanze delle non sano note ma sa ossble rtenerle tutte ugual fra loro, col rocedmento gà vsto s otrà ottenere la stma del arametro : Dalla relazone s onendo s ottene s e da (s) s ottene (s). Da dat a dsoszone stmamo und la varanza delle che abbamo suosto essere ndendente da e ar a S (- erché uesta volta c'è una sola relazone che lega fra loro le v.a. ). n caso notevole: la meda esata. Può catare che una grandezza fsca venga msurata ù volte con metod o strument dvers. In uesto caso occorrerà stmare l valor vero della msura a artre da una sere d stme d mede e varanze. Vedamo come l metodo de mnm uadrat ossa ermetterc d rcavare la formula della meda esata. In uesto caso, er usare la notazone recedente, la funzone da studare è mentre dat a nostra dsoszone sono stme d e. Al solto consderamo la funzone u ; - ; Pag. 5

6 onendo 0 s ottene s. La nostra mglore stma è dunue una meda esata dove es sono l'nverso de uadrat delle ncertezze corrsondent. Va notato che alla stma del valor vero contrbuscono maggormente le msure con varanze ù ccole coè ù grande (s attrbusce un sgnfcato maggore alle msure meglo determnate). (s) Calcolamo la varanza della meda esata col solto metodo: s Coè la varanza della meda esata è data dall'nverso della somma degl nvers delle sngole varanze (e und è nferore alla ù ccola d esse). Bsogna restare attenzone al valore delle msure rma d utlzzare la meda esata: la teora s basa sul fatto che le dverse msure s rferscono alla stessa grandezza fsca e sano esent da effett sstematc. Pertanto, ualora le msure non sano comatbl fra d loro (coè la loro dfferenza sa sgnfcatvamente ù grande della somma uadratca delle loro ncertezze), non è lecto calcolare la meda esata. Esemo Vene msurato l erodo d oscllazone d un endolo vertcale n funzone della massa alcata all'estremtà della molla che lo costtusce. Esste una relazone lneare fra l uadrato del erodo d oscllazone e la massa; valutare col metodo de mnm uadrat la costante d roorzonaltà fra T e M: T M. Sono state ottenute le seguent 6 coe d msure: M [kg] T [s] 6 0,400 0,388 Σ 3,6 kg 0,480 0,460 Σ 3,378 s 3 0,560 0,53 Σ,3 kg s 4 0,640 0,600 Σ,7 kg 5 0,70 0,664 Σ,985 s4 6 0,800 0,735 denomnatore d s e s 0,67 kg A artre dalle msure s calcolano (è ndsensable una calcolatrce, meglo se rogrammable o gà rogrammata er stmare la retta d regressone) le uanttà: s (0,8639 ± 0,0069) s/kg s (0,0453 ± 0,004) s. Pag. 6

7 Se grafcaste 6 unt e traccaste la mglor retta "a occho" trovereste che la endenza e l'ntercetta rcavate col solto modo sono sostanzalmente ugual a arametr ottenut col metodo de mnm uadrat. A cosa corrsonderebbe? ALTRO ESEMPIO (7,4 ±,) µm Calcolare la meda esata delle tre msure: (9, ±,3) µm (3, ±,5) µm 7,4 9, 3,,,3,5 88,47 4,405 0,99 ± ± 0,979 ±,043,,3,5,,3,5 ( 8,9 0,98) µ m 7,4 3, 3,8 er le msure ù dstant t,37 t < 3,,5,77 e und è lecta l'alcazone della formula er la meda esata Se non fosse lecta sgnfcherebbe che una o ù ncertezze sono state valutate n dfetto e und non è ossble utlzzarle come eso: s deve usare la meda artmetca In uesto esemo la meda artmetca fornrebbe 7,4 9, 3,,380 ± 9,33 ±,099 ± 3 3 ( 9,, ) µ m Pag. 7