Numerabilità dei razionali, non numerabilità dei reali e cardinalità del continuo

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1 Numerabilità dei razioali, o umerabilità dei reali e cardialità del cotiuo Claudia Pizari Numerabilità Defiizioe Abbiamo defiito u isieme E fiito se può essere posto i corrispodeza biuivoca co qualche {,..., }, e ifiito altrimeti. Chiaramete ciascu {,..., } è fiito. Vi ho euciato, seza dimostrazioe, il seguete teorema, che potete trovare, co diversa formulazioe e defiizioi iiziali, ella sottosezioe.9 del libro di Berberia... Teorema Le segueti proprietà soo equivaleti, a) E è ifiito, a) esiste ua fuzioe f : E E iiettiva o suriettiva, c) esiste ua fuzioe g : N E iiettiva. Per esempio N è ifiito poiché la fuzioe verifica b). Abiamo visto che questo teorema facilmete implica che se E è fiito e i corrispodeza biuivoca sia co {,..., } che co {,..., m} allora = m, ovvero è uico. Ifatti i questo caso avremmo ua corrispodeza biuivoca tra {,..., } e {,..., m}, che, composta co la aturale iclusioe iiettiva di {,..., m} i {,..., } se m darebbe ua fuzioe iiettiva di {,..., } i se, che deve essere suriettiva perché questo isieme è fiito, quidi = m. Defiizioe Se E è fiito e i corrispodeza biuivoca co {,..., }, si chiama la cardialità di E. Nell aalisi ha molto iteresse l ifiito. L ordie di ifiito miimo è quello della umerabilità ifiita. Defiizioe Abbiamo defiito u isieme E umerabile se è vuoto, oppure se è fiito (può essere posto i corispodeza biuivoca co {,..., }) oppure co N, i quest ultimo caso diremo che E è umerabile ifiito. I altri termii, dire che E è umerabile ifiito vuol dire che i suoi elemeti si possoo scrivere i ua lista ifiita (successioe) seza ripetizioi:

2 NON NUMERABILITÀ DI R, CARDINALITÀ DEL CONTINUO E = {e, e,..., }, e e m, se m. Per esempio, così si vede che Z è umerabile ifiito, e si vede ache che E F è umerabile ifiito se E ed F lo soo. Ifatti possiamo umerare E F così, se abbiamo ache F = {f, f,..., }, (Coviee fare il disego) E F = {(e, f ), (e, f ), (e, f ), (e, f 3 ), (e, f ), (e 3, f ),... } Abbiamo poi dimostrato i segueti teoremi, le cui dimostrazioi qui o ripeto perché si trovao el libro di Berberia... Teorema (B. Lemma.0.3) Ogi sottisieme ifiito di N è umerabile ifiito..3. Teorema (B. Theorem.0.4) E è umerabile se e solo se esiste ua fuzioe suriettiva f : N E oppure è vuoto..4. Corollario Q è umerabile (ifiito). Dim. la fuzioe (p, q) Z N p/q Q è suriettiva e Z N è umerabile. Voledo sitetizzare sulla umerabilità: tra gli iteri e i aturali è facile costruire ua corrispodeza biuivoca. Ma abbiamo dimostrato che esiste ua corrispodeza biuivoca ache tra i aturali e i razioali. Questo fatto è più sorpredete perché sappiamo che i razioali soo desi ei reali. No umerabilità di R, cardialità del cotiuo Abbiamo poi visto il seguete teorema, dimostrato da Cator el 874. Co esso di fatto Cator dimostrò la o umerabilità dei umeri irrazioali. Ne forì successivamete ua secoda dimostrazioe. Si può vedere l iteressate articolo su Wikipaedia: Cator s first ucoutability proof. No posso fare a meo di ripetere la dimostrazioe... Teorema L itervallo [0, ] è o umerabile, quidi R è o umerabile. Dim. Dobbiamo dimostrare che l isieme degli elemeti di [0, ] o si può scrivere i successioe x, x,.... I altri termii, dobbiamo mostrare che per ogi successioe x [0, ] esiste u reale x [0, ] tale che x x per ogi. A questo fie, dividiamo l itervallo [0, ] i tre sottoitervalli della stessa ampiezza, [0, /3], [/3, /3] e [/3, ] e e scegliamo uo, chiamato I, tale che x / I. Ora applichiamo la stessa procedura co I al posto di [0, ] e x al posto di x. Così facedo troviamo ua successioe di itervalli icapsulati, I I...

3 NON NUMERABILITÀ DI R, CARDINALITÀ DEL CONTINUO 3 tale che x / I per ogi. Ciascu I ha ampiezza /3, quidi per il teorema degli itervalli icapsulati esiste u uico x =I. Poiché ivece x / I per ogi, vediamo che essu x può essere x. Aticipiamo il seguete teorema, che o abbiamo dimostrato, ma useremo i seguito... Teorema (Schroder-Berstei) Siao E e F due isiemi. Se esistoo fuzioi iiettive f : E F e g : F E allora esiste ache ua fuzioe biuivoca h : E F. Ho aticipato il seguete teorema, su cui probabilmete ritoreremo, e la cui dimostrazioe o è difficile se si usa il teorema precedete..3. Teorema [0, ] può essere posto i corrispodeza biuivoca co R. Ci siamo poi chiesti se possiamo trovare altri esempi di isiemi o umerabili che possoo essere posti i corrispodeza biuivoca co [0,]. Abbiamo quidi itrodotto l isieme {0, } N delle successioi x() a due valori, ell isieme {0, }. (Attezioe alla otazioe)..4. Teorema {0, } N è o umerabile. Dim. Dobbiamo mostrare che per ogi successioe x di successioi, ovverox {0, } N per ogi, si può trovare x {0, } N tale che x x per ogi. Basta defiire x() := x (). x() è la complemetare della successioe diagoale ifiita quado scriviamo i temii di ciascua x, x, come righe ifiite. Osserviamo che x differisce da tutte le x perche per ogi, x() x (). Questo si chama l argometo diagoale di Cator ed è abbastaza ubiquito. Lo scopo delle pagie successive è dimostrare il seguete teorema..5. Teorema {0, } N può essere posto i corrispodeza biuivoca co [0, ]. La prima domada è come collegare i umeri reali co le successioi a due valori. Ua risposta la coosciamo, usiamo l espasioe biaria di u umero reale. Vedremo che ci soo dei problemi perché l espasioe biaria o è uica, e per risolverli faremo così. No costruiremo esplicitamete ua corrispodeza biuivoca tra {0, } N e [0, ]. Costruiremo ivece due fuzioi iiettive f : {0, } N [0, ] g : [0, ] {0, } N e useremo il teorema di Schroder-Berstei. Ora scrivo quello che abbiamo visto a lezioe sulle espasioi biarie, poiché il libro di Berberia è avazato, questi argometi o li spiega, ma li sottitede, e soo ecessari a mio avviso per motivare, chiarire e capire meglio quello che sta succededo.

4 NON NUMERABILITÀ DI R, CARDINALITÀ DEL CONTINUO 4 Abbiamo visto che l esisteza della espasioe i base di u reale x [0, ] può essere spiegata co il metodo delle bisezioi dell itervallo [0, ]. Ifatti, dividedo [0, ] via via i sottoitervalli di ampiezza /, /4, /8... e scegliedo per ogi uo dei sottoitervalli [a, b ] che cotiee x, che ha ampiezza, si ha ua successioe di itervalli icapsulati [a, b ] [a, b ].... La successioe degli estremi siistri coverge a x, perché x [a, b ] per ogi, e quidi x = lim a, x a b a = 0. (Chiaramete ache la successioe degli estremi destri coverge a x e quello che diciamo può equivaletemete essere fatto partedo da b, ma questo o è importate). D altra parte a + si può descrivere a partire da a. Ifatti, [a +, b + ] è ua delle due metà di [a, b ], quidi a + o coicide co a oppure vale a +. + Quidi si ha a + = a + s + +, s + {0, }, e questo forisce x = lim a = lim k= s k k = s k k. L espasioe biaria di x può essere defiita come la successioe trovata s, s,... a valori i {0, }. Però o è uica, perché può succedere che ad u certo passo, diciamo, del procedimeto di bisezioe, x sia u estremo di u sottoitervallo. (Tra paretesi, questa evetualità è piuttosto frequete, i u certo seso, perché capita esattamete quado x è, quello che si dice, u razioale diadico, ovvero u umero della forma x = k, co k itero. Due razioali diadici successivi co lo k stesso deomiatore, e k+, distao e questo fatto ci dice che soo desi ella retta. Quidi quelli coteuti ell itervallo [0, ] soo desi i quell itervallo...) Se questo succede, x appartiee a due sottoitervalli, e duque i quel mometo ella scelta dell itervallo del passo + che cotiee x ho due possibilità distite, il sottoitervallo [a +, b + ] della metà siistra di [a, b ] oppure quello della metà destra. Per esempio per x = possiamo scegliere come sottoitervalli bisecati il primo a destra e tutti i successivi ecessariamete a siistra, ovvero [/, ] [/, / + /4] [/, / + /8]..., e così via, la formula precedete forisce (verificate) s =, s = 0, s 3 = 0,..., e corrispode alla scrittura baale =.

5 NON NUMERABILITÀ DI R, CARDINALITÀ DEL CONTINUO 5 Ma possiamo ache scegliere per x = / la prima bisezioe a siistra, e tutte le successive a destra, ovvero [0, /] [/4, /] [/8, /]... e questo forisce s = 0, s =, s 3 =,..., ovvero = Quidi per ogi umero reale x [0, ] siamo i grado di costruire ua successioe s a valori i {0, }, legata ad x dalla relazioe x = s e questo è cofortate. Ma abbiamo il problema che questa successioe o è uica per molti umeri, i razioali diadici. Comuque abbiamo chiaramete otteuto, guardado l aspetto positivo, il seguete risultato, che o ho espressamete formulato a lezioe, ma vorrei scrivere per chiarezza..6. Teorema Ogi reale x [0, ] che o sia u razioale diadico si scrive i modo uico ella forma s x = co s {0, }. La corrispodeza x (s ) è biuivoca tra l isieme di tali x e l isieme delle successioi a valori i {0, } che o siao defiitivamete ulle o defiitivamete. I particolare, l isieme di tali umeri reali x i [0, ] è o umerabile. Dim. Se u reale x [0, ] o è diadico, ad ogi passo della bisezioe la scelta del sottoitervallo che lo cotiee el processo di bisezioe è uica. Si ha s = 0 se e solo se x appartiee alla metà siistra di [a, b ] e s = se e solo se appartiee alla metà destra. Osserviamo che s o può essere defiitivamete ulla, altrimeti la serie che la lega ad x mostrerebbe che x è u razioale diadico. Per lo stesso motivo, s o può essere defiitivamete perché la stessa serie i questo caso avrebbe u resto del tipo =N quidi teedo coto che = N x = =0 N = N / = N, s + N s, x sarebbe u razioale diadico. Quidi la mappa f : x (s ) che ad x associa questa successioe è be defiita. Se f(x) = f(y), le successioi associate coicidoo, quidi le due successioi di itervalli icapsulati corrispodeti a x e y coicidoo, e segue x = y per il

6 NON NUMERABILITÀ DI R, CARDINALITÀ DEL CONTINUO 6 teorema degli itervalli icapsulati. Questo mostra che f è iiettiva. D altra parte se iiziamo co ua arbitraria successioe s {0, } N possiamo costruire il reale x somma della serie x := s =. Si verifica facilmete che x [0, ]. La dimostrazioe della suriettività di f è completata co il seguete esercizio, di cui e abbiamo già svolto metà. Vi lascio la metà più iteressate. Esercizio Se x = s co s {0, } allora x è razioale diadico se e solo se s è defiitivamete ulla o defiitivamete. (Osservare che l iformazioe s = 0 oppure s = permette di capire dove possa trovarsi x rispetto al puto /, e che per raggiugere / come limite di ua serie della forma s ci soo solo due possibilità, che soo quelle descritte precedetemete...) Vogliamo adare avati, superare il problema della o uicità dell espasioe biaria per tutti i reali di [0, ] e mostrare che i effetti ache l itervallo [0, ] può essere posto i corrispodeza biuivoca co l isieme delle successioi a due valori. Per questo, grazie al teorema di Schroder-Berstei, ci basta mostrare che esistoo due fuzioi iiettive f : {0, } N [0, ] g : [0, ] {0, } N Mostrare sia l esisteza di f che quella di g solleva questioi iteressati. Per quato riguarda l esisteza di g, possiamo pesare di scegliere per ogi reale x [0, ] ua delle successioi a due valori (s ) tra le varie possibili che realizzao x come x = s. Se possiamo fare questo, otteiamo ua fuzioe g : [0, ] {0, } N, che sarà ecessariamete iiettiva: se due successioi associate a x e y rispettivamete coicidoo, coicidoo pure le serie corrispodeti, e quidi x = y. Foriamo ua spiegazioe dell esisteza di g. La o uicità della scrittura i forma diadica dei reali esiste solo per i razioali diadici, i base al teorema precedete. Potete svolgere il seguete esercizio. Esercizio L isieme { k, k Z, N} dei razioali diadici è umerabile (e deso). Ne segue che il problema della scelta si preseta solo per ua quatità umerabile di umeri, i quato per i rimaeti c è uicità della scrittura diadica. I questa situazioe ua fuzioe di scelta esiste grazie u teorema, che potete trovare el libro di Berberia. È ua cosegueza del pricipio di iduzioe. Teorema (B. Theorem..) Sia E u isieme o vuoto e umerabile. Allora è possibile scegliere u elemeto per ogi sottisieme o vuoto di E. Quidi cosideriamo l isieme E delle successioi a valori i {0, } defiitivamete ulle oppure defiitivamete. Esercizio Mostrare che E è umerabile. È sufficiete cosiderare, per ogi razioale diadico r = k il sottisieme E r di E costituito dalle successioi (s ) E tali che s = r (quate soo?) ed

7 NON NUMERABILITÀ DI R, CARDINALITÀ DEL CONTINUO 7 applicare il teorema precedete. Troviamo ua fuzioe di scelta g : r (s ) defiita su tali razioali, e la estediamo ai reali x di [0, ] o razioali diadici ell uico modo possibile compatibile co la scrittura biaria di x. Veiamo ora alla costruzioe di ua fuzioe iiettiva f : {0, } N [0, ]. Dobbiamo rimuovere il problema della o uicità delle successioi a due valori che corrispodoo ad uo stesso reale. La causa di quel problema erao i puti che appartegoo a due itervalli el processo di bisezioe, i razioali diadici. Potremmo per esempio elimiare i razioali diadici, e restrigere quidi l attezioe al sottisieme, chiamiamolo E, di {0, } N costituito dalle successioi o defiitivamete ulle o o defiitivamete. La costruzioe fatta ci forisce ua mappa iiettiva {0, } N E [0, ]. Ci basterebbe dimostrare che questo sottisieme i realtà può essere posto i corrispodeza biuivoca co tutto {0, } N. Scegliamo però u altra via, che è molto iteressate, ed ha il vataggio di essere raggiugibile dal il circolo di idee esposte fi qui. Ivece di pesare alle bisezioi di [0, ], pesiamo alle trisezioi, ovvero alle sezioi successive di [0, ] ei tre sottoitervalli co la stessa lughezza [0, ] = [0, /3] (/3, /3) [/3, ]. Coviee fare u disego di quello che sta succededo. Dall itervallo [0, ], rimuoviamo la parte cetrale, l itervallo aperto (=seza estremi)(/3, /3), ci restao due itervalli chiusi (=co estremi) disgiuti. Effettuiamo la stessa procedura i ciascuo dei due, ovvero, li dividiamo mediate i puti /9 e /9 per il primo e 7/9, 8/9 per il secodo, e di etrambi rimuoviamo la parte cetrale. Cotiuiamo così all ifiito... L isieme che resta dopo aver rimosso tutte le parti cetrali, si chiama isieme di Cator terario. Ma resta qualcosa ell isieme di Cator? Certamete, poiché rimuoviamo sempre itervalli aperti, i puti 0, /3, /3, restao ell isieme di Cator. Così pure restao i puti /9, /9, 7/9, 8/9 cosiderati al secodo passo. Cotiuado così vediamo che restao almeo ua quatità umerabile di razioali triadici, ovvero del tipo k 3 co k itero. No restao tutti, perché per esempio 4/9 e 5/9 soo stati rimossi. Proviamo a sommare le lughezze degli itervalli rimossi per avere u idea di quato possa essere esteso l isieme di Cator. Togliamo u itervallo di ampiezza /3, due di ampiezza /9, e così via. La somma viee /3 + /9 + 4/7 + = /3 (/3) = /3 /3 =. 0

8 NON NUMERABILITÀ DI R, CARDINALITÀ DEL CONTINUO 8 Ovvero, l isieme che abbiamo rimosso ha lughezza uguale alla lughezza di tutto [0, ]! Potrebbe veire quidi il dubbio che ell isieme di Cator o ci sia molto di più di quello già detto, e che sia quidi u isieme umerabile. I effetti ell isieme di Cator ci soo molti più puti, ce e soo ua quatità o umerabile. Per vedere questo, imitiamo la costruzioe della espasioe biaria fatta precedetemete, usado ora la base teraria. Questo vuol dire che possiamo sempre scrivere ogi x [0, ] come x = lim a dove gli a soo estremi siistri di itervalli icapsulati [a, b ], ora di ampiezza /3, che cotegoo x. Come prima, troviamo dove ora x = t 3 t {0,, }. Per u tale x [0, ] geerico sorgoo come prima problemi di uicità della successioe t legata ad x dalla precedete serie, esattamete i corrispodeza degli razioali triadici. Ma per i rimaeti reali il problema della o uicità o si preseta. Per esempio, il fatto che t valga 0, o ci dice esattamete che x si trova i (0, /3), (/3, /3), (/3, ), rispettivamete. D altra parte, /3 ammette espasioe triadica i due maiere, co t che assume valori i {0, } oppure t che assume valori i {0, }, e aalogamete /3 ammette espasioe triadica co ua successioe a valori i {0, } e u altra a valori i {0, }. Queste osservazioi soo di guida ella risoluzioe dei segueti esercizi. Esercizio Mostrare che i razioali triadici dell isieme di Cator ammettoo ua uica scrittura i serie triadica x = t 3 co t {0, }. Esercizio Mostrare che u umero reale x si può scrivere al più i u uico modo ella forma x = t 3 co t {0, }..7. Teorema I puti dell isieme di Cator soo esattamete quelli che ammettoo ua espasioe triadica della forma x = t 3 co t {0, }. Tale espasioe è uica. I particolare, l isieme di Cator è i corrispodeza biuivoca co {0, } N, e quidi è o umerabile. Dim. Ifatti, il fatto che t o possa mai assumere il valore corrispode al fatto che x o appartega mai all itervallo rimosso ella costruzioe dell isieme di Cator. Dim del Teorema.5 Sappiamo ora come costruire ua mappa iiettiva f : {0, } N [0, ].

9 NON NUMERABILITÀ DI R, CARDINALITÀ DEL CONTINUO 9 È sufficiete associare ad ua successioe s {0, } N l elemeto x := s 3, e siamo sicuri di avere ua mappa che assume valori i [0, ] perché assume valori ell isieme terario di Cator, che è u suo sottisieme. La dimostrazioe dell iiettività di f, e quidi ache del teorema.5 è completata dagli esercizi precedeti. Cocludiamo co la seguete Defiizioe U isieme che può essere posto i corrispodeza biuivoca co R si dice che ha la cardialità del cotiuo. Quidi [0, ] e {0, } N hao la cardialità del cotiuo. E perfio l isieme di Cator, così sottile da sfuggire completamete quado si cerca di misurare l ampiezza, ha cardialità del cotiuo, perché i corrispodeza biuivoca co le successioi a due valori. I coclusioe, i reali cotegoo molti più umeri dei razioali perché co la prima dimostrazioe di Cator, che usa il teorem degli itervalli icapsulati, abbiamo visto che o soo umerabili. Tuttavia o e cotegoo di più dell itervallo [0, ] (che è u suo sottisieme molto più piccolo) co cui possoo ifatti essere messi i corrispodeza biuivoca. Ifie, l itervallo [0, ] può essere messo i corrispodeza biuivoca co l isieme delle successioi a due valori tramite espasioi i base e 3 grazie al teorema di SB. Questo fatto, oltre a forire ua secoda dimostrazioe della o umerabilità dei reali grazie all argometo diagoale di Cator, ci mostra che le successioi a valori i {0, } (i cui o si richiede ulla sul comportameto asitotico per ) soo molte di più di quelle defiitivamete ulle.