Dipartimento di Matematica per le scienze economiche e sociali Università di Bologna

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1 Dpartmento d Matematca per le scenze economche e socal Unverstà d Bologna Modell matematc per la gestone del magazzno Lezone # 1 10 novembre 2008 professor Danele Rtell 1/31?

2 Informazon sul corso 1. Codce corso: Modell matematc per la gestone del magazzno 2/31?

3 Informazon sul corso 1. Codce corso: Modell matematc per la gestone del magazzno 2. rogramma 2/31?

4 Informazon sul corso 1. Codce corso: Modell matematc per la gestone del magazzno 2. rogramma 3. Rcevmento 2/31?

5 Informazon sul corso 1. Codce corso: Modell matematc per la gestone del magazzno 2. rogramma 3. Rcevmento 4. Materale ddattco 2/31?

6 Modaltà d esame rova scrtta: Obblgatora n trentesm 3/31?

7 Modaltà d esame rova scrtta: Obblgatora n trentesm rova orale: Facoltatva ma ndspensable per la lode 3/31?

8 Modaltà d esame rova scrtta: Obblgatora n trentesm rova orale: Facoltatva ma ndspensable per la lode c sarà un preappello a fne corso 3/31?

9 Modaltà d esame rova scrtta: Obblgatora n trentesm rova orale: Facoltatva ma ndspensable per la lode c sarà un preappello a fne corso Assegnazone d tes 3/31?

10 Modaltà d esame rova scrtta: Obblgatora n trentesm rova orale: Facoltatva ma ndspensable per la lode c sarà un preappello a fne corso Assegnazone d tes Non ha senso, per una matera specalstca n un corso specalstco, assegnare brev dssertazon. 3/31?

11 Modello d Wlson Le scorte sono materal che nel processo logstco produttvo aspettano d essere utlzzat (lavorat, assemblat) per essere dstrbut (vendut, adoperat, consumat) 4/31?

12 Modello d Wlson Le scorte sono materal che nel processo logstco produttvo aspettano d essere utlzzat (lavorat, assemblat) per essere dstrbut (vendut, adoperat, consumat) Un grosssta deve gestre la poltca de rfornment d merce al propro magazzno, ndvduando l volume ottmo d ogn approvvgonamento. 4/31?

13 Modello d Wlson Le scorte sono materal che nel processo logstco produttvo aspettano d essere utlzzat (lavorat, assemblat) per essere dstrbut (vendut, adoperat, consumat) Un grosssta deve gestre la poltca de rfornment d merce al propro magazzno, ndvduando l volume ottmo d ogn approvvgonamento. Il suo scopo è mnmzzare cost conseguent alla commercalzzazone de ben trattat n presenza d domanda totale certa, unformemente dstrbuta nel tempo. 4/31?

14 Modello d Wlson Le scorte sono materal che nel processo logstco produttvo aspettano d essere utlzzat (lavorat, assemblat) per essere dstrbut (vendut, adoperat, consumat) Un grosssta deve gestre la poltca de rfornment d merce al propro magazzno, ndvduando l volume ottmo d ogn approvvgonamento. Il suo scopo è mnmzzare cost conseguent alla commercalzzazone de ben trattat n presenza d domanda totale certa, unformemente dstrbuta nel tempo. rme modellzzazon quanttatve dovute a: F.W. Harrs 4/31?

15 1. How Many arts To Make At Once Factory, The Magazne of Management, 10(2), , 152 (1913) 2. Operatons Cost (Factory Management Seres), Chcago: Shaw (1915) 5/31?

16 1. How Many arts To Make At Once Factory, The Magazne of Management, 10(2), , 152 (1913) 2. Operatons Cost (Factory Management Seres), Chcago: Shaw (1915) R.H: Wlson: A Scentfc Routne for Stock Control: Harvard Busness Revew, 13, (1934) 5/31?

17 erché dotars d scorte possbltà d fare econome d scala 6/31?

18 erché dotars d scorte possbltà d fare econome d scala garanza contro ncertezze nelle fornture 6/31?

19 erché dotars d scorte possbltà d fare econome d scala garanza contro ncertezze nelle fornture possbltà d speculare 6/31?

20 Cost conness alle scorte oner fnanzar 7/31?

21 Cost conness alle scorte oner fnanzar cost d mmoblzzo del captale 7/31?

22 Cost conness alle scorte oner fnanzar cost d mmoblzzo del captale oner da rscho: obsolescenza, furto, danneggamento 7/31?

23 Cost conness alle scorte oner fnanzar cost d mmoblzzo del captale oner da rscho: obsolescenza, furto, danneggamento cost asscuratv 7/31?

24 Cost conness alle scorte oner fnanzar cost d mmoblzzo del captale oner da rscho: obsolescenza, furto, danneggamento cost asscuratv cost d mmagazznamento 7/31?

25 Cost conness alle scorte oner fnanzar cost d mmoblzzo del captale oner da rscho: obsolescenza, furto, danneggamento cost asscuratv cost d mmagazznamento cost gestonal 7/31?

26 Modello d Wlson Un soggetto deve gestre la poltca de rfornment d merce al propro magazzno ndvduando l volume ottmo d ogn rapprovvgonamento. 8/31?

27 Modello d Wlson Un soggetto deve gestre la poltca de rfornment d merce al propro magazzno ndvduando l volume ottmo d ogn rapprovvgonamento. Voglamo mnmzzare cost della commercalzzazone de ben trattat se la domanda totale è certa unformemente dstrbuta nel tempo. 8/31?

28 Element essenzal del modello 1. costo fsso per ordnazone 9/31?

29 Element essenzal del modello 1. costo fsso per ordnazone 2. costo gestonale proporzonale al carco del magazzno 9/31?

30 Element essenzal del modello 1. costo fsso per ordnazone 2. costo gestonale proporzonale al carco del magazzno Osservazone 9/31?

31 Element essenzal del modello 1. costo fsso per ordnazone 2. costo gestonale proporzonale al carco del magazzno Osservazone a causa d 1 è convenente fare poche ordnazon 9/31?

32 Element essenzal del modello 1. costo fsso per ordnazone 2. costo gestonale proporzonale al carco del magazzno Osservazone a causa d 1 è convenente fare poche ordnazon a causa d 2 è convenente fare molte ordnazon 9/31?

33 Element essenzal del modello 1. costo fsso per ordnazone 2. costo gestonale proporzonale al carco del magazzno Osservazone a causa d 1 è convenente fare poche ordnazon a causa d 2 è convenente fare molte ordnazon S tratta d blancare queste due opposte esgenze ordnando ogn volta né troppo né troppo poco 9/31?

34 Notazon h = costo mantenmento nell untà d tempo 10/31?

35 Notazon h = costo mantenmento nell untà d tempo A = costo per ordnatvo 10/31?

36 Notazon h = costo mantenmento nell untà d tempo A = costo per ordnatvo δ = domanda per untà d tempo (ntenstà costante) 10/31?

37 Notazon h = costo mantenmento nell untà d tempo A = costo per ordnatvo δ = domanda per untà d tempo (ntenstà costante) Q = volume del lotto 10/31?

38 Notazon h = costo mantenmento nell untà d tempo A = costo per ordnatvo δ = domanda per untà d tempo (ntenstà costante) Q = volume del lotto C = cost complessv per untà d tempo 10/31?

39 h è costtuto da oner fnanzar, asscuratv, d conservazone della merce, dal costo dello spazo fsco destnato al magazzno 11/31?

40 h è costtuto da oner fnanzar, asscuratv, d conservazone della merce, dal costo dello spazo fsco destnato al magazzno A cost ammnstratv, cost d trasporto 11/31?

41 h è costtuto da oner fnanzar, asscuratv, d conservazone della merce, dal costo dello spazo fsco destnato al magazzno A cost ammnstratv, cost d trasporto La merce è dsponble mmedatamente all atto dell ordnazone: qund è nullo l tempo d consegna. 11/31?

42 h è costtuto da oner fnanzar, asscuratv, d conservazone della merce, dal costo dello spazo fsco destnato al magazzno A cost ammnstratv, cost d trasporto La merce è dsponble mmedatamente all atto dell ordnazone: qund è nullo l tempo d consegna. La scorta, dunque decrescerà fno ad annullars n quanto non c è motvo d ordnare prma dell esaurmento della scorta, vsto che cò farebbe aumentare l costo d magazzno senza alcun vantaggo essendo nullo l tempo d consegna. 11/31?

43 S ordna una certa quanttà d merce, dopodché la scorta andrà a dmnure fno ad annullars. 12/31?

44 S ordna una certa quanttà d merce, dopodché la scorta andrà a dmnure fno ad annullars. I var ccl fra una una ordnazone e l altra saranno tutt dentc dal momento che potzzamo che cost d magazzno restno mmutat 12/31?

45 S ordna una certa quanttà d merce, dopodché la scorta andrà a dmnure fno ad annullars. I var ccl fra una una ordnazone e l altra saranno tutt dentc dal momento che potzzamo che cost d magazzno restno mmutat Il costo dpenderà dalla certa quanttà d merce ordnata 12/31?

46 Fgura 1: ordnata: lvello degl stock Q, ascssa: tempo nq/d 13/31?

47 Dalle potes derva che essendo la domanda costante nel tempo la quanttà da acqustare (lotto Q) sarà pure costante. 14/31?

48 Dalle potes derva che essendo la domanda costante nel tempo la quanttà da acqustare (lotto Q) sarà pure costante. Abbamo così a che fare con un fenomeno perodco che ndvdua ccl d approvvgonamento d egual durata, dunque l ntervallo fra due emsson d ordn sarà costante 14/31?

49 Dalle potes derva che essendo la domanda costante nel tempo la quanttà da acqustare (lotto Q) sarà pure costante. Abbamo così a che fare con un fenomeno perodco che ndvdua ccl d approvvgonamento d egual durata, dunque l ntervallo fra due emsson d ordn sarà costante la sua ampezza s ottene con questa consderazone: ndcato con I(t) l lvello delle scorte al tempo t e, ndcato l tasso d varazone costante della domanda con δ > 0, deve valere: 14/31?

50 Dalle potes derva che essendo la domanda costante nel tempo la quanttà da acqustare (lotto Q) sarà pure costante. Abbamo così a che fare con un fenomeno perodco che ndvdua ccl d approvvgonamento d egual durata, dunque l ntervallo fra due emsson d ordn sarà costante la sua ampezza s ottene con questa consderazone: ndcato con I(t) l lvello delle scorte al tempo t e, ndcato l tasso d varazone costante della domanda con δ > 0, deve valere: I (t) = δ, I(0) = Q, 14/31?

51 da cu s trova, ntegrando l equazone dfferenzale I(t) = Q δ t 15/31?

52 da cu s trova, ntegrando l equazone dfferenzale I(t) = Q δ t qund T = Q/δ è l tempo d rordno,.e. l tempo d svuotamento del magazzno. 15/31?

53 da cu s trova, ntegrando l equazone dfferenzale I(t) = Q δ t qund T = Q/δ è l tempo d rordno,.e. l tempo d svuotamento del magazzno. Il recproco ν = 1/T = δ/q esprme l numero d ordn nell untà d tempo. 15/31?

54 I cost per la consegna nell untà d tempo sono dat da: C c = δ Q A. 16/31?

55 I cost per la consegna nell untà d tempo sono dat da: C c = δ Q A. Il costo per l mantenmento del magazzno s ottene moltplcando l costo untaro h per l valor medo del lvello delle scorte nell ntervallo temporale d rfermento. 16/31?

56 I cost per la consegna nell untà d tempo sono dat da: C c = δ Q A. Il costo per l mantenmento del magazzno s ottene moltplcando l costo untaro h per l valor medo del lvello delle scorte nell ntervallo temporale d rfermento. er ottenere questo valor medo potrebbe bastare la consderazone che l lvello medo delle scorte passando queste da Q a zero è µ = Q/2. 16/31?

57 anche se la cosa può dar l mpressone d una complcazone non necessara, posto che nel prmo cclo d rfermento [0, Q/d] l magazzno evolve secondo la legge affne I(t) = Q δ t l valor medo s calcola con la formula della meda ntegrale: 17/31?

58 anche se la cosa può dar l mpressone d una complcazone non necessara, posto che nel prmo cclo d rfermento [0, Q/d] l magazzno evolve secondo la legge affne I(t) = Q δ t l valor medo s calcola con la formula della meda ntegrale: µ = 1 Q/δ Q/δ 0 (Q δt) dt = Q 2 17/31?

59 I cost total, somma de cost d ordnazone e d magazzno n un ntervallo untaro dpendono allora dal volume de lott medante somma de cost d mantenmento e del costo per ordnatvo secondo la legge 18/31?

60 I cost total, somma de cost d ordnazone e d magazzno n un ntervallo untaro dpendono allora dal volume de lott medante somma de cost d mantenmento e del costo per ordnatvo secondo la legge C = C(Q) := Q 2 h + δ Q A 18/31?

61 I cost total, somma de cost d ordnazone e d magazzno n un ntervallo untaro dpendono allora dal volume de lott medante somma de cost d mantenmento e del costo per ordnatvo secondo la legge C = C(Q) := Q 2 h + δ Q A Il problema è così condotto alla mnmzzazone della funzone C(Q) rspetto a Q > 0. 18/31?

62 I cost total, somma de cost d ordnazone e d magazzno n un ntervallo untaro dpendono allora dal volume de lott medante somma de cost d mantenmento e del costo per ordnatvo secondo la legge C = C(Q) := Q 2 h + δ Q A Il problema è così condotto alla mnmzzazone della funzone C(Q) rspetto a Q > 0. S tratta d una questone ben posta matematcamente? 18/31?

63 Abbamo dc dq = h 2 Aδ Q 2 19/31?

64 Abbamo qund: dc dq = h 2 Aδ Q 2 dc 2Aδ dq = 0 Q = ± h 19/31?

65 Abbamo dc dq = h 2 Aδ Q 2 qund: dc 2Aδ dq = 0 Q = ± h Interessa al problema solo la determnazone postva d Q, qund consderamo l punto: Q + = 2Aδ h 19/31?

66 Abbamo dc dq = h 2 Aδ Q 2 qund: dc 2Aδ dq = 0 Q = ± h Interessa al problema solo la determnazone postva d Q, qund consderamo l punto: 2Aδ Q + = h s tratta effettvamente d un mnmo perché per ogn Q è: d 2 C dq 2 = 2Aδ Q 3 > 0 19/31?

67 Q + = 2Aδ h 20/31?

68 2Aδ Q + = h vene chamato Economc Order Quantty o Lotto Economco. 20/31?

69 2Aδ Q + = h vene chamato Economc Order Quantty o Lotto Economco. S cta la formula per l Lotto Economco come Formula d Wlson 20/31?

70 Interessa anche calcolare C(Q + ): 21/31?

71 Interessa anche calcolare C(Q + ): C := C(Q + ) = Aδh 2 + Aδh 2 = 2Aδh. 21/31?

72 Interessa anche calcolare C(Q + ): Aδh Aδh C := C(Q + ) = = 2Aδh. n corrspondenza dell ottmo, cost d stoccaggo uguaglano cost per la consegna della merce 21/31?

73 22/31?

74 Una volta determnato l Lotto Economco 2Aδ Q + = h come servrsene operatvamente? 23/31?

75 Una volta determnato l Lotto Economco 2Aδ Q + = h come servrsene operatvamente? Il costo ottmale è dato dalla formula C = C(Q + ) = 2Aδh 23/31?

76 Una volta determnato l Lotto Economco 2Aδ Q + = h come servrsene operatvamente? Il costo ottmale è dato dalla formula C = C(Q + ) = 2Aδh s consdera la funzone Q C(Q) C C C = Q 2 h + δ Q A 2Aδh 23/31?

77 faccamo cont 24/31?

78 faccamo cont C C = 24/31?

79 faccamo cont C C = Q 2 h + δ Q A 2Aδh 24/31?

80 faccamo cont C C = Q 2 h + δ Q A 2Aδh = Q 2 h 2Aδ + 1 2Aδ 2Q h 24/31?

81 faccamo cont C C = Q 2 h + δ Q A 2Aδh = Q 2 h 2Aδ + 1 2Aδ 2Q h Il comportamento del costo relatvo è una funzone dalla struttura assa semplce del rapporto x = Q Q. 24/31?

82 faccamo cont C C = Q 2 h + δ Q A 2Aδh = Q 2 h 2Aδ + 1 2Aδ 2Q h Il comportamento del costo relatvo è una funzone dalla struttura assa semplce del rapporto x = Q Q. f(x) = 1 ( x + 1 ) 2 x 24/31?

83 faccamo cont C C = Q 2 h + δ Q A 2Aδh = Q 2 h 2Aδ + 1 2Aδ 2Q h Il comportamento del costo relatvo è una funzone dalla struttura assa semplce del rapporto x = Q Q. f(x) = 1 ( x + 1 ) 2 x f (x) = x2 1 2x 2 24/31?

84 faccamo cont C C = Q 2 h + δ Q A 2Aδh = Q 2 h 2Aδ + 1 2Aδ 2Q h Il comportamento del costo relatvo è una funzone dalla struttura assa semplce del rapporto x = Q Q. f(x) = 1 ( x + 1 ) 2 x f (x) = x2 1 2x 2 s ha un mnmo d coordnate (1, 1) 24/31?

85 Fgura 2: grafco d x + 1/x, x > 0 25/31?

86 Devazon anche puttosto sgnfcatve dal lotto economco danno ncrement d costo abbastanza contenut. Ad esempo se x = Q Q = 3 2 C l corrspondente valore d C è: 26/31?

87 Devazon anche puttosto sgnfcatve dal lotto economco danno ncrement d costo abbastanza contenut. Ad esempo se x = Q Q = 3 2 C l corrspondente valore d C è: C C = 1 ( ) = = /31?

88 Devazon anche puttosto sgnfcatve dal lotto economco danno ncrement d costo abbastanza contenut. Ad esempo se x = Q Q = 3 2 C l corrspondente valore d C è: C C = 1 ( ) = = ad esempo un errore del 50% nello sceglere l quanttatvo ottmale produce una crescta de cost dell 8,3% 26/31?

89 roduzone nterna Se la merce vene prodotta, l lotto vene evolve secondo un tasso d produzone p > δ 27/31?

90 roduzone nterna Se la merce vene prodotta, l lotto vene evolve secondo un tasso d produzone p > δ La varazone del magazzno ha l andamento 27/31?

91 roduzone nterna Se la merce vene prodotta, l lotto vene evolve secondo un tasso d produzone p > δ La varazone del magazzno ha l andamento Fgura 3: (Q/p, Q(1 δ/p)) 27/31?

92 Analzzamo l prmo cclo. 28/31?

93 Analzzamo l prmo cclo. Nell ntervallo [0, Q/p] gl stock crescono al tasso p δ fno ad arrvare al massmo lvello ottenuto rsolvendo l sstema 28/31?

94 Analzzamo l prmo cclo. Nell ntervallo [0, Q/p] gl stock crescono al tasso p δ fno ad arrvare al massmo lvello ottenuto rsolvendo l sstema y = Q δt y = (p δ)t 28/31?

95 Analzzamo l prmo cclo. Nell ntervallo [0, Q/p] gl stock crescono al tasso p δ fno ad arrvare al massmo lvello ottenuto rsolvendo l sstema y = Q δt y = (p δ)t rsolvendo: 28/31?

96 Analzzamo l prmo cclo. Nell ntervallo [0, Q/p] gl stock crescono al tasso p δ fno ad arrvare al massmo lvello ottenuto rsolvendo l sstema y = Q δt y = (p δ)t rsolvendo: t = Q p y = Q ( 1 δ ) p 28/31?

97 Analzzamo l prmo cclo. Nell ntervallo [0, Q/p] gl stock crescono al tasso p δ fno ad arrvare al massmo lvello ottenuto rsolvendo l sstema y = Q δt y = (p δ)t rsolvendo: t = Q p y = Q ( 1 δ ) p Nell ntervallo [Q/p, Q/δ] lo stock decresce al tasso δ 28/31?

98 la dfferenza con l modello d Wlson è nel valor medo del lvello d magazzno 29/31?

99 la dfferenza con l modello d Wlson è nel valor medo del lvello d magazzno o s calcola rgorosamente valutando la meda ntegrale 29/31?

100 la dfferenza con l modello d Wlson è nel valor medo del lvello d magazzno o s calcola rgorosamente valutando la meda ntegrale µ = δ Q Q/δ 0 mn {(p δ)t, Q δt} dt 29/31?

101 la dfferenza con l modello d Wlson è nel valor medo del lvello d magazzno o s calcola rgorosamente valutando la meda ntegrale µ = δ Q = δ Q Q/δ 0 mn {(p δ)t, Q δt} dt ( Q/p (p δ)t dt + 0 Q/δ Q/p (Q δt) dt ) 29/31?

102 la dfferenza con l modello d Wlson è nel valor medo del lvello d magazzno o s calcola rgorosamente valutando la meda ntegrale µ = δ Q = δ Q Q/δ 0 mn {(p δ)t, Q δt} dt ( Q/p (p δ)t dt + 0 Q/δ Q/p (Q δt) dt ) = (p δ)q 2p 29/31?

103 la dfferenza con l modello d Wlson è nel valor medo del lvello d magazzno o s calcola rgorosamente valutando la meda ntegrale µ = δ Q = δ Q Q/δ 0 mn {(p δ)t, Q δt} dt ( Q/p (p δ)t dt + 0 Q/δ Q/p (Q δt) dt ) = (p δ)q 2p oppure s ragona geometrcamente sul prmo trangolo della fgura precedente 29/31?

104 n presenza d un attvtà produttva lneare l modello d Wlson è modfcato come segue: 30/31?

105 n presenza d un attvtà produttva lneare l modello d Wlson è modfcato come segue: mnmzzare per Q [0, Q/δ] C 1 (Q) = (p δ)q 2p h + δ Q A. 30/31?

106 n presenza d un attvtà produttva lneare l modello d Wlson è modfcato come segue: mnmzzare per Q [0, Q/δ] C 1 (Q) = (p δ)q 2p h + δ Q A. Qund C 1(Q) = 0 se e solo se Q = Q + := 2Aδp h(p δ). 30/31?

107 S tratta d un mnmo: C 1 (Q) = 2Aδ Q 3 > 0. 31/31?

108 S tratta d un mnmo: Il valore mnmato del costo è: C 1 (Q) = 2Aδ Q 3 > 0. C 1 := C 1 (Q + ) = 2Aδh(p δ). p 31/31?

109 S tratta d un mnmo: C 1 (Q) = 2Aδ Q 3 > 0. Il valore mnmato del costo è: C 1 := C 1 (Q + ) = 2Aδh(p δ). p Il modello modfcato resttusce nel modello orgnale d Wlson quando la retta che rappresenta la produzone y = (p δ)t tende all asse delle y coé quando p. Questo fatto s rscontra analtcamente: 31/31?

110 S tratta d un mnmo: C 1 (Q) = 2Aδ Q 3 > 0. Il valore mnmato del costo è: C 1 := C 1 (Q + ) = 2Aδh(p δ). p Il modello modfcato resttusce nel modello orgnale d Wlson quando la retta che rappresenta la produzone y = (p δ)t tende all asse delle y coé quando p. Questo fatto s rscontra analtcamente: lm p (p δ)q 2p h + δ Q A = Q 2 h + δ Q A. 31/31?