1. Stato dell arte: meccanica della frattura e leggi di attrito 1.1. I processi sismogenetici

Transcript

1 1. Stato ell arte: meccaica ella frattra e leggi i attrito 1.1. I processi sismogeetici Il processo i emissioe i oe elastiche che costitisce l esseza fisica i eeto sismico è casato alla propagazioe i a frattra i a parte ella crosta terrestre che o è i grao i sopportare lo sforzo tettoico accmlato. Nella parte elastico fragile ella Terra tale sforzo etermia leto scorrimeto elle regioi a maggiore profoità e qesta cotia eformazioe proce elle zoe più sperficiali ella strttra sismogeetica accmlo i sforzo. Qao iee sperata la soglia i attrito o pto i rottra caratteristica ei materiali che compogoo la strttra sismogeetica stessa l eergia accmlata sotto forma i eformazioe elastica iee rilasciata istataeamete proceo così a frattra che si propaga al pto i maggiore ebolezza ipocetro el terremoto e prooca lo scorrimeto feomeo ella islocazioe ei e blocchi ella faglia. a islocazioe è

2 Capitolo primo pertato efiita come la iscotiità el campo egli spostameti 1.. attraerso la sperficie i faglia. eergia rilasciata rate tale processo i parte è issipata sotto forma i calore oto all attrito che si ha tra i e blocchi che scorroo i parte iee emessa sotto forma i oe elastiche e i parte spesa per creare la frattra stessa. Il primo moello che escrie il processo i accmlo i sforzo e i ciclo i carico risale a H. F. Rei. Nello stio el terremoto ella Califoria el 196 Rei 191 presetò la teoria ell elastic rebo secoo la qale eeto sismico è il risltato i improiso rilassameto o rimbalzo ella zoa sollecitata a o sforzo accmlato el passato più o meo remoto. e cosierazioi i Rei si basao essezialmete slla teoria classica ella resisteza ei materiali e sll ipotesi i sistemi lieari. Egli ifie propose moello i preisioe ei terremoti basato s misre geoetiche toccao i qesto moo a problematica crciale e i eiete impatto sociale ella sismologia. a grae maggioraza ei terremoti aiee ella crosta terrestre i a regioe che si spige al più fio a alce ecie i chilometri i profoità oero elle zoe i sbzioe le qali tttaia o soo strettamete parlao faglie el seso i blocchi i materiale che scorroo improisamete. Nmerosi sti olti alla localizzazioe egli ipocetri ei terremoti hao cosetito i ietificare o strato lo strato sismogeetico Sibso 1984 che si estee fio a circa chilometri i profoità e i ci possoo erificarsi feomei i frattrazioe. I fig. 1.1 è raffigrato moello geeralizzato i litosfera elastica accoppiata co la asteosfera iscosa così come proposto per la prima olta a Elsasser a litosfera elastica i spessore H rompe cosismicamete oero co emissioe i oe elastiche fio a a profoità z metre la parte rimaete scorre i maiera asismica cioè i moo stabile seza che sia registrabile attiità sismica. Qest ltima regioe è i geerale costitita a seimeti ebolmete cosoliati e lo scorrimeto stabile che i essa ha logo f scoperto per la prima olta ella faglia i S. Areas ella Califoria cetrale. Nella zoa acora più profoa si ha l asteosfera iscosa i spessore h. Ua schematizzazioe i qesto tipo costitisce esempio i strttra sismogeetica. I realtà come si ossererà

3 Stato ell arte: meccaica ella frattra e leggi i attrito i segito 1..4 le faglie presetao a maggiore complessità per qato cocere la forma geometrica oché le caratteristiche reologiche qali a esempio esità rigiità e compressibilità elle rocce. piao i faglia litosfera H z h asteosfera Fig Moello geeralizzato i fagliazioe. a litosfera elastica i ci si hao feomei i islocazioe è accoppiata co l asteosfera iscosa che scorre i moo cotio tratta a Scholz 199. I termii i eformazioi crostali il processo i accmlo e i rilascio i sforzo iee siiso i qattro perioi: presismico cosismico postsismico e itersismico metre il feomeo i frattrazioe è caratterizzato a tre fasi: cleazioe o iiziazioe i ci si iesca il processo islocatio propagazioe i ci la frattra si estee i moo più o meo complesso slla sperficie i faglia e arresto i ci il frote i rottra cessa i aazare. Da qato è stato etto i preceeza scatrisce a ragioeole efiizioe i sorgete sismica: essa è semplicemete la iscotiità ello spostameto i materiali ella Terra ota a processi i eformazioe tettoica pregressi. Il materiale che circoa la sperficie i frattra rimae liearmete elastico. Qesta efiizioe è i sostaziale accoro co qella ata a Arews s.. secoo il qale a rottra è processo 3

4 Capitolo primo itrisecamete aelastico che ha logo i solio cotio che è i boa approssimazioe lieare e elastico al i fori ella rottra stessa. a sorgete i campo elastico a iffereza i altre sorgeti i campi co ci è stata cofrotata è pertato la eiazioe el mezzo i ci si troa al comportameto lieare elastico che lo caratterizza oero i termii aalitici la eiazioe alla legge costittia i Hooke per mezzo elastico omogeeo e isotropo Eshelby ; Backs & Mlcahy 1976a 1976b. Il campo egli spostameti che si ha i segito a crack è stato classificato i tre moi rappresetati i fig. 1.a. a 3 1 b Fig. 1.. a Moi i propagazioe i a frattra tratta a Scholz 199. b Caso particolare i a frattra i taglio. a liea cotia iica il frote e le frecce la irezioe i propagazioe ella rottra. e frecce più lghe rappresetao il ettore spostameto: qao esso è sl piao i faglia e è ormale al frote el crack si hao frattre i plae o moe II qao iece esso è sl piao i faglia e parallelo al frote si hao frattre ati plae o moe III tratta a Aki & Richars

5 Stato ell arte: meccaica ella frattra e leggi i attrito Il moe I o tesile è i apertra el seso che lo spostameto è perpeicolare alla sperficie i rottra. Vi soo poi e sitazioi i cracks i taglio fig. 1.b : il moe II o i plae etto ache islocazioe i boro ege islocatio i ci lo spostameto è el piao i frattra e ormale al so frote; il moe III o ati plae etto ache islocazioe elicoiale o a ite screw islocatio i ci lo spostameto è sempre el piao i crack ma è parallelo al frote. a ispoibilità i iformazioi relatie a paleoterremoti costitisce o strmeto i foametale importaza per compreere le caratteristiche elle strttre sismogeetiche iste come sistemi isolati oero come elemeti i sistema più complesso segmeti e frammeti i faglia. Per terremoti receti soo ispoibili misre i liellazioe geoetica che foriscoo i alori el campo egli spostameti geerato a islocazioi cosismiche che soo assai importati per lo stio ella sorgete e ella elocità i rottra. aalisi ell altro osserabile fisico le oe sismiche offre e possibilità i iagie: a a parte la coosceza elle caratteristiche geometriche e iamiche el moto alla sorgete e all altra lo stio ella propagazioe elle oe stesse alla sorgete alla stazioe i registrazioe meiate il qale si ricaao iformazioi cocereti la strttra itera ella Terra. Il primo passo ell aalisi ei sismogrammi è la localizzazioe ello spazio ipocetro e el tempo ell eeto; alle forme oa iece è possibile etermiare le graezze che caratterizzao la sorgete sismica imesioi el piao i faglia mometo sismico magito. 1.. Foameti i meccaica ella frattra Criteri i frattra Nell ambito ella meccaica ella frattra le coizioi sotto le qali si 5

6 Capitolo primo erifica la frattrazioe soo stabilite a relazioi fisiche chiamate criteri i frattra. Essi stabiliscoo se etermiato pto ella sperficie i faglia abbia raggito o meo le coizioi critiche i rottra. Il criterio i Griffith si basa s a coizioe i bilaciameto eergetico espresso i termii i flsso i eergia. asszioe i base è che qao iee formato oo crack è ecessaria a crescita ell eergia libera i sperficie la qale ee essere forita al mezzo circostate affiché la frattra cotii a esteersi. I termii più qatitatii se la frattra presete el mezzo iee ampliata i a qatità A errà spesa a qatità i eergia i frattrazioe Γ esprimibile meiate la relazioe: Γ G A 1..1 oe G rappreseta il flsso i eergia sl frote i rottra per ità i area. Griffith stabilisce l esisteza i alore critico G c i tale flsso e la coizioe ecessaria affiché il crack si propaghi è che il flsso i eergia G sl frote raggiga e speri qesto alore critico: G G c 1.. Ua trattazioe aalitica ettagliata basata sl bilaciameto eergetico che errà escritto al paragrafo. è stata compita a Scholz 199 il qale ricaa altresì l espressioe per la tesioe estera i eqilibrio stress critico. Irwi 1958 iece assega le coizioi sotto le qali si erifica il feomeo i frattrazioe i termii i cocetrazioe i sforzo itroceo il cocetto i stress itesity factor Egli propoe espressioe per lo sforzo i taglio el tipo: K f θ r 1..3 oe K è appto il fattore i itesità ello sforzo fθ è a fzioe che 6

7 Stato ell arte: meccaica ella frattra e leggi i attrito ipee alla posizioe e r è la istaza che separa pto al frote i rottra. a coizioe per ci a frattra si propaghi è che K speri alore critico K c tipico el materiale cioè che el pto cosierato sia erificata la relazioe segete: K K c 1..4 Secoo Hamao 1975 pto ella sperficie i faglia rompe qao lo sforzo tettoico i taglio spera il alore limite pper yiel stregth efiito come lo sforzo massimo che il mezzo i esame è i grao i sopportare. I segito al feomeo i rottra si maifesta rilascio i sforzo che porta a alore fiale f il qale corrispoe a attrito cietico. Iicato co il alore ello stress i taglio iiziale Hamao caratterizza il so criterio i frattra meiate le relazioi: f > 1..5a 1..5b a prima è più forte ella secoa: se lo sforzo iiziale fosse gale al alore massimo il materiale arebbe già frattrato; è altra parte possibile che i 1..5b si abbia l gagliaza ache se Pacor et al hao mostrato che i qesta coizioe la frattra o pò arrestarsi. Il parametro i stregth. a resisteza i mezzo alla frattra che come si è isto rappreseta parametro i estrema importaza ella escrizioe i a rottra iee solitamete escritta meiate a graezza aimesioale S efiita stregth espressa come sege Das & Aki 1977a 1977b : S f f 1..6 i ci a meratore si ha l ameto i sforzo ecessario per iiziare lo 7

8 Capitolo primo scorrimeto e a eomiatore la cata iamica i sforzo. Per 1..5a e 1..5b S rislta sempre positio. Ua zoa ella sperficie i faglia co basso alore ello stregth arà maggiore probabilità i rompere rispetto a a zoa co alto S. I geerale ifatti S rislta a proprietà locale ella faglia S S esseo ttti gli sforzi ipeeti alla posizioe e effetti ella ariazioe i S soo importati per esempio ella etermiazioe ella elocità i rottra Harris & Day Rappresetazioe iamica ella sorgete sismica A iffereza ella meccaica ei corpi rigii meccaica classica il ci campo i iagie cosiste ello stio el moto i corpo come ttto la meccaica ei cotii si occpa ei cambiameti i forma che i mezzi sbiscoo rate etermiato processo fisico. Così iece i preere i cosierazioe la posizioe istataea tytzt i geerico pto P el mezzo si farà so el campo egli spostameti t i geerale o stazioario efiito come la iffereza tra la posizioe el pto spostato e la sa posizioe prima ello spostameto: -. a secoa eqazioe ella iamica i teoria ell elasticità assme la forma ρ && i f i ij j 1..7 oe ρ è la esità cbica o olmetrica i massa el mezzo a ci il pto P appartiee f i la i esima compoete ella forza i olme applicata oero ella risltate i sistema i forze i olme e ij il tesore egli sforzi. a coezioe i Eistei sgli iici ripetti è assta. ' eqazioe 1..7 permette i are a rappresetazioe aalitica el campo egli spostameti sbiti al mezzo a casa elle forze applicate e ella ariazioe el tesore egli sforzi. 8

9 Stato ell arte: meccaica ella frattra e leggi i attrito Qesto laoro si propoe i are solzioe all eqazioe foametale ell elastoiamica 1..7 secoo approccio iamico che errà ora illstrato. Cosieriamo a frattra che si propaga sl piao 3 i sistema i riferimeto cartesiao ortogoale O 1 3 e i particolare siao St la porzioe i tale piao ella qale lo spostameto è ierso a zero e S t il so complemeto i 3. St è a qatità che eole el tempo e i geerale è etermiata come parte ella solzioe. a geometria el problema è riportata i fig St 1 S t Fig Geometria el problema i a frattra i taglio piaa. a liea cotia iica il frote i o shear crack i forma geerica che si estee sl piao 1. St è la regioe già frattrata metre S t qella acora itegra oero il complemeto i St i 3 tratta a Kosto & Das Sotto opporte ipotesi al teorema i Betti i forma itegrata si gige a espressioe che lega le compoeti ello spostameto slla sperficie i frattra i geerico pto i osserazioe ietificato alle cooriate t alla iscotiità ello spostameto stesso i pto sorgete. Si ricora che il teorema i Betti i forma itegrata iscee al teorema i reciprocità co le ipotesi oqe el olme V cosierato per t < t. Sceglieo la forza i olme competete alla secoa solzioe i 1..7 gt δ 9

10 Capitolo primo Essa ha la forma: t S t C ijpq G i p q t; j S f f S C ijpq G i p q t ; j S ; I tale relazioe ota i letteratra come teorema i rappresetazioe per a sperficie itera C ijpq è il tesore elle costati elastiche i ci si è messa i eieza la eetale ariazioe ello spazio D la iscotiità ello spostameto attraerso S G p è il tesore i Gree il qale rappreseta lo spostameto i irezioe casato a a forza itaria ptiforme e implsia applicata i e il ersore ormale a St. Si oti che le eriate i G p soo esegite rispetto alle ariabili { ξ q }. q 1 3 Nel caso particolare i mezzo elastico che sia ioltre omogeeo e isotropo C ijpq λδ ij δ pq µ δ ip δ jq δ iq δ ip co λ e µ costati i amé e che sia soggetto a a frattra i taglio shear crack 1..8 esplicitao la coolzioe iiee: t K S 3 1 3; 1 t; a S ; 1..9 oe gli itegrai soo rispettiamete: δt ersore si ha il teorema i rappresetazioe el caso geerale. Cosierato poi corpo elastico oppiamete coesso co sperficie estera S est t e sperficie itera S it t slla qale aiee la islocazioe e ipotizzao: i forze i olme f i oqe lle; ii coizioi al cotoro s S est t lle T i i s S est t ; iii cotiità elle trazioi T i attraerso S it t cioè ij j ij j ; i cotiità i C ijpq G p t; /ξ q G p t; attraerso S it t si ha

11 Stato ell arte: meccaica ella frattra e leggi i attrito co z iteeo la cooriata ormale alla sperficie el ostro caso piaa i frattra cfr. Kostro & Das 1988 eqazioi 5.1. co correzioe e Il mio scopo è tttaia qello i esprimere legame tra la iscotiità ello spostameto che è stata iifferetemete iicata co D e a e la pertrbazioe al tesore egli sforzi p ij o iceersa; per qesto iffereziao 1..9 rispetto a teeo coto che ale: e preeo il limite 3 si ottiee: oe e soo ora ettori a e compoeti sl piao i faglia 3 e il tesore T β ometteo per semplicità i otazioe la ipeeza fzioale a t e rislta: 1..1 A casa elle sigolarità el cleo i eformazioe G ij cfr. a esempio Aki & ; ; ; ; ; µ ξ ξ µ t G t G t G t G t K lim lim t t t t t a z z ; t G t G ij ij 1 ; 3 β β β S p S a t T t β β β β β µ G G G G T

12 Capitolo primo Richars 198 ol. I eqazioe 4.3; Appeice A ache il tesore T β è sigolare e per qesto è ecessario cosierare il alore pricipale i Cachy ell itegrale Qesto è oto come problema i Nabarro e è stato formlato essezialmete a Biasky & Rice E ioltre possibile are a rappresetazioe alteratia al problema sfrttaoe le simmetrie iscsse a Das 1976 e a Das & Aki 1977a. I tali laori è mostrato che sia per frattre i plae che ati plae la solzioe è atisimmetrica rispetto al piao i frattra e è pertato sfficiete risolere il problema i o ei e semispazi i ci R 3 è iiso a 3. Così faceo o iee più itrootta l' ipotesi i cotiità elle trazioi come è stato fatto per otteere 1..8 poiché si è impostato problema co sperficie libera slla qale cioè per efiizioe gli sforzi 31 3 e 33 soo lli. Tralasciao per breità il resto ella trattazioe aalitica per la qale si rimaa a Kostro & Das 1988 si ha: t G S 1 3; 1 t p 3 S ; Cosierao ora il limite 3 si ottiee che la iscotiità ello spostameto tra le e facce el piao i faglia è il oppio i : a t G β 1 S β t p β 3 S ; oe acora y ξ1ξ. Nelle e preceeti relazioi G ij rappreseta la solzioe per a forza itaria ptiforme e implsia per semispazio 3 co sperficie libera problema i amb risolto a Richars Acora G ij rislta sigolare Richars 1979; Kostro & Das 1988; Appeice A e è pertato ecessario preere il alore pricipale ell itegrazioe come i

13 Stato ell arte: meccaica ella frattra e leggi i attrito A errà ato ampio risalto el segito i qesta tesi. Dal cofroto i 1..9 e si eieziao alce importati iffereze tra le e escrizioi ella sorgete sismica e el processo i islocazioe che e cosege: la prima effettata segeo approccio ciematico la secoa compita meiate approccio iamico. Da pto i ista meramete aalitico i 1..9 compaioo le eriate spaziali el tesore i Gree G p relatio a a forza i olme i ttto lo spazio metre i appare il tesore i Gree o eriato e relatio a semispazio co sperficie libera come già osserato i preceeza ; ioltre ell approccio ciematico compare la iscotiità ello spostameto i ell itegrazioe metre i qello iamico appare la pertrbazioe allo sforzo p oto alla propagazioe el crack. ij Da pto i pto i ista fisico è proprio qest ltima la istizioe caratterizzate: si stia a ariazioe ella iscotiità ello spostameto a a parte e la ariazioe iamica i sforzo all altra. Occorre ifie osserare che etrambe le relazioi e possoo essere scritte seza perere i geeralità restrigeo il omiio ell itegrazioe temporale a iterallo limitato a casa ella preseza i i fzioi θ i Heaisie aeti per argometo il tempo cfr. a esempio Aki & Richars 198 ol. I eqazioe 4.3 e per le caratteristiche stesse i G β i cfr. Richars 1979; Kostro & Das 1988; Appeice A a legge ello slip weakeig Al fie i rimoere la sigolarità el tesore egli sforzi i corrispoeza el frote i rottra come errà più iffsamete iscsso el paragrafo.3 Arews 1976a 1976b ha proposto a legge costittia a accoppiare all' eqazioe lo slip weakeig. I tale moello a ogi 13

14 Capitolo primo pto el piao i faglia è assegato alore ella trazioe massima T fzioe ello slip che si ha i qel pto. Qao o si è acora erificato esso scorrimeto lo sforzo i taglio è limitato metre rate lo scorrimeto esso è proporzioale alla trazioe: T sig t T se se t t Si assme che l aameto ella trazioe massima sia el tipo: T f f < oe rappreseta il più alto alore ella trazioe che il materiale i esame è i grao i sopportare; f è il alore ell attrito cietico sl piao i faglia e è a lghezza caratteristica i corrispoeza ella qale la cata i sforzo è termiata e la trazioe si matiee costate e gale al alore fiale f. Iizialmete la trazioe è e è iferiore a f così come preisto al criterio i Hamao elemeto caratterizzate i qesto moello è che la cata i sforzo o aiee istataeamete ma si compie s a lghezza caratteristica. Appare immeiato osserare che lo slip weakeig è a estesioe el cocetto i forza i coesioe itrootta a Bareblatt 1959a 1959b e ripresa a Ia 197. Secoo Bareblatt l eqilibrio elle frattre statiche è i stretta correlazioe co le caratteristiche ella forza coesia la qale è come la trazioe massima T i Arews fzioe ella iscotiità ello spostameto slla sperficie el crack. Ia poi moellò mericamete il processo iamico i frattrazioe cosierao ierse ipeeze fzioali ella forza i coesioe a e il so secoo moello moel sostazialmete è alla base ello slip weakeig. 14

15 Stato ell arte: meccaica ella frattra e leggi i attrito Ua rappresetazioe el criterio ora esposto è proposta i fig sforzo i taglio f scorrimeto Fig Moello slip weakeig. a cra tracciata rappreseta l aameto ella trazioe massima che agisce sl piao i faglia i fzioe ella islocazioe; è il alore critico oltre il qale la trazioe rimae costate tratta a Arews 1976a. Arews ha ache mostrato l esisteza i a lghezza i soglia c al i sotto ella qale sia frattre i taglio i plae o moe II 1976b che ati plae o moe III 1976a o possoo cleare. I alori i tale lghezza soo ati rispettiamete alle relazioi: II c 8 µ π λ µ λ µ G f 1..17a III c 4 µ π G f 1..17b oe G eota l eergia spesa rate il processo i rottra espressa come: 1 G 4 f pari alla metà ell area ella regioe eieziata i fig. 1.4 eergia che i tale moello è assta essere costate e iipeete alla solzioe el problema iamico. a relazioe cosete i esprimere legame tra e c. 15

16 Capitolo primo 16 Per gigere a 1..17a e 1..17b Arews procee i maiera el ttto aaloga; cosieriamo allora per breità solamete la sitazioe i frattre ati plae. eergia ispoibile che pò bilaciare l eergia i sperficie per esteere il crack è esprimibile come: F U e W oe U e rappreseta l eergia i eformazioe e W il laoro compito cotro l attrito cfr.. per maggiori ettagli. Teeo coto che lo spostameto lgo la frattra che si estee a z a z è Kopoff 1958 e che la iscotiità ello spostameto ale si hao: Qao la semilghezza el crack iee icremetata i a qatità ifiitesima la ariazioe ell eergia ispoibile rislta: I corrispoeza ella semilghezza critica c tale icremeto eergetico bilacia l eergia ecessaria per allgare la frattra pari a 1.. Cofrotao co 1.. si ha 1..17b. Ohaka & Yamashita 1989 e Ohaka 199 hao stiato a legge z f µ z W z U f f f f f f e µ π µ π W U F f e µ π G U s 4

17 Stato ell arte: meccaica ella frattra e leggi i attrito i slip weakeig a loro chiamato iamico per istigerlo a qello qasi statico itrootto a Arews caratterizzato a a trazioe massima T i classe C iece che C 1. Il moello i Ohaka preee a iiziale crescita i T co ipeeza logaritmica a ; a olta che T ha raggito il alore massimo la trazioe si attea fio a arriare a f. Il primo aameto rappreseta effetto i slip stregtheig metre il secoo effetto propriamete i tipo slip weakeig: q [ 1 l 1 β ] e f f Qi β e q soo costati iipeeti allo scorrimeto e è esprimibile come ma oe ma è la solzioe ell' eqazioe trasceete: β 1 q q l 1 β ma 1 β ma Il moello slip weakeig è comqe iealizzazioe i qato o rappreseta compitamete terremoto: ifatti i realtà l eergia i frattra o è a costate el materiale e ioltre se essa fosse costate crack o potrebbe cleare i ato pto ma partirebbe a a rottra preesistete come osserato a Arews Barriere e asperità a complessità elle forme oa registrate i segito al erificarsi i terremoti i grae etità sggerisce che il moto cosismico slla faglia sia irregolare e che ciò sia casato alla preseza slla sperficie i faglia stessa i irregolarità per qato cocere le proprietà fisiche oero meccaiche. e eterogeeità i a faglia soo state illstrate i letteratra secoo moelli che come si erà possoo cosierarsi i qalche moo 17

18 Capitolo primo complemetari. itrozioe el cocetto i barriera è ota a Aki 1979 e a Das & Aki 1977a 1977b i qali hao stiato le irregolarità ella propagazioe i a rottra. Tali irregolarità soo spiegate el moello proposto tramite l asszioe che slla faglia i siao regioi a alta resisteza alla frattra ossia aree elle qali si ha eleato alore ello stregth S Ua barriera pò essere caratterizzata meiate la misra ella sa estesioe e el so stregth: se la sa area è eleata Hsseii et al hao mostrato che la propagazioe el crack pò essere arrestata se iece essa è piccola rispetto alle imesioi el frote i rottra ell istate i ci icotra la barriera l iterazioe rislta i geerale più complessa e possoo erificarsi iersi feomei a secoa el alore ello sforzo tettoico: 1 se è relatiamete alto la barriera è rotta e il crack tip passa; se è sfficietemete basso il frote procee attraerso la barriera lasciaola immtata; 3 se è itermeio la barriera o iee rotta al passaggio iiziale ella rottra ma pò rompersi i segito a casa ella crescita ello stress iamico. Faceo riferimeto alla efiizioe i S el moello i Das & Aki 1977a 1977b iee itrootto il fattore i itesità ello sforzo o stress itesity factor kc efiito meiate la relazioe: c k c 1 S f f f 1..1 ella qale rappreseta la lghezza ella griglia lgo il piao i faglia e c è a costate circa gale a a eccezioe el caso i ci rislti S. I qesto moo le barriere soo escritte a alti alori ella qatità 1 S i alci pti el grigliato metre è S ella parte rimaete ella griglia. Occorre cosierare che l affermazioe eleato alore i S cotiee itriseca e ielimiabile ambigità: eleato alore ello stregth ifatti si pò aere tato per alto qato per basso. Il primo caso pò cosierarsi come a proprietà permaete ella faglia cotrariamete al secoo. a preseza i a barriera come si è isto pò assmere rolo 18

19 Stato ell arte: meccaica ella frattra e leggi i attrito estremamete importate ella propagazioe i a rottra e qesto si riflette elle caratteristiche i importate osserabile fisico la raiazioe sismica: essa iiee maggiormete isotropica el caso i ci a barriera ega rotta e iee arricchita a molazioi i alta freqeza i ttte le irezioi. Ifie l itrozioe el moello a barriere cosete Das & Aki 1977b i preeere il erificarsi i aftershocks stiao la forma oa ello shock pricipale: le barriere rotte soo aree a eleata cocetrazioe i sforzo e possibili sorgeti i repliche. U estesioe el moello a barriere per faglie D come qello iscsso i preceeza è stata proposta a Mikmo & Miyatake 1978 i qali hao stiato il processo i propagazioe iamica i a rottra i moello triimesioale. Iece i cosierare l eterogeeità ella resisteza Kamamori 1981 e ay & Kamamori 1981 hao efiito asperità a regioe ella sperficie i faglia ella qale lo sforzo è maggiore rispetto allo sforzo meio sll itera faglia. I fig. 1.5 è messa i eieza la istizioe i qesti e moelli osserao la sitazioe i a porzioe rettagolare piaa ella faglia. a b Fig Barriere e asperità. Cofigrazioi schematiche prima e opo il erificarsi i terremoto: el primo caso slla faglia ameta l eterogeeità el secoo ameta l omogeeità tratta a Boschi & Dragoi

20 Capitolo primo Nel primo caso fig. 1.5a opo il terremoto si ha a sitazioe i isomogeeità ello sforzo: la rottra si è propagata irregolarmete area biaca a casa ella preseza ella parte circostate el rettagolo i zoe a alto stregth barriere che soo i grao i arrestarla. Nella secoa sitazioe fig. 1.5b al cotrario prima ella rottra si ha eterogeeità ella cocetrazioe i sforzo area scra che iee rilasciato arriao così a a cofigrazioe i maggiore omogeeità. Da qesto pto i ista i e moelli i qali rappresetao comqe sitazioi limite i qato i geerale s i a faglia sarao preseti istribzioi spaziali eterogeee tato ella resisteza barriere qato ello sforzo asperità appaioo complemetari e leggi i attrito e leggi i attrito ipeeti alla elocità e allo stato Per attrito si itee la resisteza opposta al moto che si maifesta qao corpo è soggetto a o scorrimeto tageziale e la sa sperficie è a cotatto co altro corpo. o stio i tale feomeo ato el tetatio i rirre qato più fosse possibile l attrito presete i moltissimi ispositii meccaici acqisì co eoaro a Vici aspetto i maggiore sistematica e o f più legato a fii pramete igegeristici. Amoto poi alla fie el XVIII secolo formlò le e leggi basilari ella teoria ella frizioe: 1 la forza attrito è iipeete alla imesioe ella sperficie i cotatto; essa è proporzioale al carico ormale. Il cocetto moero i attrito è tttaia oto a Bowe & Tabor i qali hao esegito ampio mero i esperimeti co iffereti materiali ache se il pto cetrale ei loro laori è costitito alla teoria ell aesioe ei metalli.

21 Stato ell arte: meccaica ella frattra e leggi i attrito ipotesi foametale itrootta è che le sperfici reali i mto cotatto abbiao a topografia come illstrato i fig. 1.6 i moo tale che i corpi aeriscao solamete i a serie i aree a loro efiite asperità microscopiche a o cofoersi co le asperità itrootte el paragrafo asperità microscopiche A r A Fig Sistema costitito a e sperfici i cotatto. e sezioi trasersale e logitiale iicao le zoe i effettio cotatto tra le e sperfici efiite a Bowe & Tabor asperità microscopiche. ioe i tali aree i cotatto è la sperficie reale i aesioe i geerale molto miore ell area complessia i ciasca sperficie tratta a Scholz 199. a somma i ttte qeste micro regioi costitisce l area effettia i cotatto A r più piccola ell area geometrica totale A. Solamete A r e o A è resposabile ei feomei i attrito. Il carico tettoico remoto che sollecita la sperficie i faglia possiee a compoete ormale alla sperficie i faglia stessa N p A r e a compoete i taglio F s A r

22 Capitolo primo I tali relazioi p è il grao i peetrazioe elle zoe i cotatto o peetratio haress che à a misra ella rgosità elle e sperfici che aeriscoo e s è la resisteza i taglio tipica el materiale i esame. Combiao le e preceeti eqazioi Bowe & Tabor escrioo l attrito tramite ico parametro il coefficiete i attrito µ efiito come: µ f F N s p Al primo orie µ appare essere iipeete al materiale alla temperatra e alla elocità i scorrimeto poiché p e s sebbee siao etrambi fortemete ipeeti a tali parametri ifferiscoo tra loro solamete per a costate geometrica ota alla iersa orietazioe el carico agete. E stato mostrato però che tale asszioe o è corretta per a asta classe i materiali: cosierao a faglia ella crosta terrestre le ariazioi litologiche e geometriche possoo irre ariazioi spaziali ell attrito. E comemete assto che l attrito sia localmete proporzioale allo sforzo ormale effettio agete slla faglia: µ pporo oe p poro è la pressioe i poro il ci effetto è importate poiché la parte fragile ella terra è permeata i flio. Drate episoi i islocazioe casati al erificarsi i eeto sismico i pti i cotatto tra le e sperfici che aeriscoo egoo cotiamete creati e istrtti e i qesto moo il coefficiete i frizioe µ aria el tempo: µ µ t Qesto eqiale a formlare moello i meccaica elle faglie el qale è cosetito rigaago ella resisteza stregth el tempo ifatti rislta: t µ t 1.3.5

23 Stato ell arte: meccaica ella frattra e leggi i attrito oe co si itee lo sforzo ormale effettio come i a formlazioe elle leggi i attrito è ota origiariamete a Dieterich 1979a 1981 al fie i riprorre gli aameti otteti i esperimeti i laboratorio. Per o appesatire l' esposizioe i ettagli aalitici errao cosierati i Appeice B metre ora soo itrootti gli elemeti foametali. I ttta geeralità tali leggi assmoo la forma: t stato t F t che mostra la ipeeza ell attrito tramite la fzioe F alla elocità i islocazioe e alla ariabile i stato. Per qesto iee eomiata legge i attrito ipeete alla elocità e allo stato. Nella ariabile i stato che i geerale pò essere espressa tramite ettore i ariabili Y Ψ 1 Ψ N è coteta la istribzioe i temperatra la pressioe i poro il comportameto chimico. Ioltre poiché lo stato ipee esplicitamete al tempo si ha i effetto i memoria el preceete scorrimeto. implicita esclsioe che si è fatta i è che lo stato i pto possa iteragire co altri pti ella sperficie i frattra proprio perché la ariabile Y o ipee esplicitamete alle cooriate spaziali cioè soo esclsi feomei i iffsioe ello stato ella faglia. I qesto seso Ria 198 la legge costittia itrootta sl piao i faglia i termii i attrito per maggiori chiarimeti si ea il paragrafo. rislta a proprietà ptale. Come sarà meglio eieziato i segito e ricaato aaliticamete i Appeice B la ariabile i stato è iersa el moello i Dieterich e i qello i Ria. Poiché tttaia i etrambi i casi l' ica ipeeza esplicita ello stato è qella el tempo Kosloff & i 198 e Ria hao iscsso la ecessità i associare a a eqazioe eoltia per la ariabile i stato. 3

24 Capitolo primo Essa ha la forma: stato t G t t stato t i ci è a lghezza caratteristica co ci il sistema rispoe a ariazioi i elocità. U importate semplificazioe pò essere fatta assmeo che le fzioi F e G risltio etrambe iipeeti a e ioltre che lo stato possa essere escritto a a sola ariabile Ψ. I qesto moo è possibile riscriere e come: t Ψ t t F G t Ψ t t Ψ t 1.3.8a 1.3.8b ' eqazioe eoltia 1.3.8b assme a forma iersa el moello i Dieterich e i qello i Ria come eremo poiché la ariabile i stato ha espressioi iffereti ei e moelli e metre el primo caso ha le imesioi i tempo e rappreseta l' età meia i cotatto ei materiali che scorroo el secoo caso ha le imesioi i o sforzo e o ha alca ietificazioe co qatità fisiche Eieze sperimetali Malgrao la ariabile i stato Ψ o possa essere misrata irettamete esistoo merosi esperimeti i laboratorio che cofermao aameti come qelli stabiliti alle eqazioi I essi soo stati presi i esame iersi campioi i rocce come a esempio graito qarzite e arearia sottoposti a ierse elocità i scorrimeto e iffereti coizioi ambietali temperatra pressioe sforzo ormale rgosità elle sperfici i cotatto e tilizzati i ari apparati meccaici ache i preseza i imprità tra le sperfici i 4

25 Stato ell arte: meccaica ella frattra e leggi i attrito scorrimeto gage. a maiera più semplice per erificare la ipeeza ell attrito alla elocità i scorrimeto è qella i tilizzare ispositio sperimetale costitito a e blocchi i materiale posti a cotatto a carico ormale estero che scorroo co attrito l o rispetto all altro. I fig. 1.7a è riportata la brsca ariazioe a graii ella elocità e i fig. 1.7b la risposta el sistema escritta i termii i. Qesto esperimeto i cambiameto improiso i elocità è stato ampiamete tilizzato: Dieterich & Kilgore 1994 hao stiato gli effetti sl coefficiete i attrito µ metre G et al hao osserato il comportameto i sistema a solo grao i libertà lo sprig slier per chiarire il rolo fisico elle costati che compaioo elle eqazioi i Dieterich e Ria cfr e a ss b ss 1 Fig Effetti i a ariazioe improisa ella elocità i carico. a Aameto ella elocità i scorrimeto imposta all estero i fzioe ello scorrimeto alla qale il sistema ei testo è soggetto. b Comportameto ell attrito ach esso i fzioe ello scorrimeto etermiato alle brsche ariazioi i elocità tra i e lielli e 1 tratta a Ria

26 Capitolo primo E possibile riassmere alce caratteristiche ell aameto i i fig. 1.7b: 1 effetto iretto: a ariazioe i prooca cambiameto istataeo i ello stesso seso; effetto a lgo termie: opo che si è erificato il feomeo preceete si ha a leta ariazioe i i seso opposto; 3 istaza critica: il ecaimeto ell attrito si compie s a lghezza caratteristica lo stesso parametro che compare i 1.3.8b; 4 effetto stazioario: opo l istabilità l attrito raggige liello costate rappresetato ai tratti qasi orizzotali ella cra i fig. 1.7b Il moello i Dieterich Dieterich ha proposto a espressioe per il coefficiete i attrito µ tramite il prootto µ C R oe C è a costate el materiale e è iersamete proporzioale al grao i peetrazioe elle zoe i cotatto p i e R è la resisteza elle asperità microscopiche allo sforzo i taglio per ità i area. Così µ è aimesioale esseo ifatti C 1 e R proporzioali allo sforzo. Dieterich 1981 itrosse a ariabile i stato Φ che el caso stazioario ipee alla lghezza caratteristica e alla elocità i scorrimeto: Φ ss e è pertato efiita come età meia ei pti i cotatto. Per la costate C i al fie i approssimare l aameto i µ osserato egli esperimeti i frizioe egli scrisse: 6

27 Stato ell arte: meccaica ella frattra e leggi i attrito C c 1 c log c 3 Φ i ci i parametri { c i } i 1 3 soo costati e Φ è efiita come i Dimesioalmete c 3 ee essere l ierso i tempo. Per qato rigara il termie R iece si ha: R r 1 r 1 log r oe acora { r i } i 1 3 soo costati e r 3 ee aere le imesioi i a elocità esseo la elocità i scorrimeto. Combiao le e relazioi preceeti si pò scriere come Dieterich 1981 : c µ 1 r 1 c log c r log 3 Φ 1 r Si gige alla legge costittia i Dieterich Dieterich 1979a 1979b fissao el ttto arbitrariamete r 1 a 1 teeo coto che per è µ e trasformao la base el logaritmo: c 1 c 1 r log e l c log e l 3 r3 1 Φ Per semplicità i otazioe è tile itrorre le posizioi: r 3 c A B c 1 r c 3 log e log e I parametri A e B soo costati positie che ipeoo esplicitamete allo 7

28 Capitolo primo sforzo ormale e soo esprimibili come: A a B b co a e b ipeeti alle proprietà ei materiali e alla temperatra come mostrato a esperimeti i laboratorio compiti s graito Dieterich 1978; Stesky 1978; Tllis & Weeks 1986; Blapie et al a graezza è alore arbitrario i riferimeto per la elocità e è la trazioe richiesta per aere o scorrimeto a elocità. I qesto moo si ottiee: Φ B l 1 A 1 l a la qale escrie la ariazioe ell attrito i fzioe ei parametri ella strttra sismogeetica stiata e per qesto è a eqazioe costittia goerig eqatio. a legge eoltia a essa associata come mostrato i Appeice B rislta: Φ Φ 1 t b a legge i Dieterich riotta. Come esposto i Appeice B ell' ipotesi che rislti A / l / 1 << 1 è possibile forire i a a formlazioe semplificata che rislta: A l Φ 1 B l a 8

29 Stato ell arte: meccaica ella frattra e leggi i attrito Tale relazioe eomiata appto legge i Dieterich riotta è associata all eqazioe eoltia proposta origiariamete a Dieterich b che qi iee riscritta per completezza: Φ Φ 1 t b e soo state iffsamete tilizzate i letteratra Okbo & Dieterich 1986; Okbo 1989; Dieterich 1981; Perri et al Il moello i Ria Oltre alla semplificazioe fatta co a sempre i Appeice B è illstrato come el caso siao Φ / >> 1 e / >> 1 è possibile gigere a a forma estremamete semplice i a ota come legge i Ria Ria I essa compare a oa ariabile i stato θ i logo ella Φ i Dieterich. Tale legge rislta: θ A l a θ ha qii le imesioi i o sforzo. eolzioe el tempo i θ è escritta all eqazioe iffereziale t θ θ B l b e tre leggi i attrito a a e a o soo efiite i poiché o lo soo le fzioi 1 / ei primi e casi e l ell' ltimo. Metre la Dieterich origiaria forisce el limite la legge i Dieterich i forma riotta e qella i Ria esibiscoo a sigolarità 9

30 Capitolo primo per. Qesta sitazioe critica pò essere tttaia aggirata cosierao che la sperficie i scorrimeto sia sempre i moto cioè sia > ma co a elocità iferiore ai alori miimi misrabili. Il limite per alte elocità proce a sigolarità ella sola legge i Ria poiché elle e leggi i Dieterich compare al eomiatore. Essa iee elimiata come compito a Rice & Tse 1986 e a Weeks 1993 ipotizzao che per elocità speriori a certo alore critico l attrito rislti iipeete a cioè sia cogelato a alore stazioario che corrispoe alla elocità critica stessa Coizioe i stabilità a ipeeza ell attrito alla elocità i scorrimeto preista al moello i Dieterich e a qello i Ria rislta particolarmete importate per qato attiee alla stabilità o alla istabilità el processo i islocazioe. Gli aameti sperimetali hao ifatti eieziato comportameto stabile qao icremeto el carico estero iterpretato come elocità i scorrimeto proce a crescita ell attrito cioè se è soisfatta la relazioe segete: Ψ > Se al cotrario la risposta el sistema sismogeetico i esame i termii ell attrito è cotraria al cambiameto i cioè se rislta Ψ < allora lo scorrimeto è istabile. Si parla i stato stazioario qao si erifica la coizioe segete: Ψ t

31 Stato ell arte: meccaica ella frattra e leggi i attrito cioè qao la ariabile i stato Φ per Dieterich e θ per Ria o è soggetta a eolzioe temporale. I qesta sitazioe l attrito assme alore stazioario ss il qale rislta: D o ss B l A 1 l el caso ella legge i Dieterich origiaria a D r ss B A l per la Dieterich riotta a e ifie R ss B A l el caso i Ria a. A tali risltati si periee opo semplici passaggi algebrici sostiteo elle eqazioi geerali o stazioarie il alore stazioario ella ariabile i stato che rislta: Φ ss ei primi e casi e θ ss B l ell ltimo. 31

32 Capitolo primo I e campi i elocità: elocity weakeig e elocity stregtheig Nel caso particolare i stato stazioario esamiato el preceete paragrafo e efiito aaliticamete all' eqazioe 1.3. le coizioi i stabilità e i istabilità soo rimpiazzate rispettiamete alle iseqazioi ss > e ss < oe la eriata parziale è sostitita a qella totale esseo ifatti ss iipeete alla ariabile i stato cfr. eqazioi e Esplicitao tali eriate si hao: D o ss 1 B A A 1 1 l 1 el caso i Dieterich D r ss B A per la Dieterich riotta e ifie R ss 1 B A el moello i Ria. Come si ee ttte le espressioi preceeti ipeoo 3

33 Stato ell arte: meccaica ella frattra e leggi i attrito al sego ella qatità B A che pertato coizioa la stabilità el moto. I letteratra soo stati efiiti e campi i elocità: il primo il elocity weakeig è associato a istabilità e è cotraistito a B A > ; il secoo etto elocity stregtheig corrispoe iece a o scorrimeto stabile e è caratterizzato alla coizioe B A <. Nel primo caso la sperficie i scorrimeto oero la sperficie i faglia rislta potezialmete sismica cioè sotto opporte coizioi i carico è possibile che si maifesti rilascio i sforzo i moo sismico istataeo i parte ell eergia accmlata; el secoo caso iece lo scorrimeto aiee i maiera asismica 1.1 cioè l' eergia è liberata co a elocità prossima a qella i accmlo. Nell ambito i qesti e regimi i elocità Boatwright & Cocco 1996 hao proposto i moello a solo grao i libertà sprig slier moel la istizioe i qattro tipi i comportameti: strog seismic B A >> i ci si hao oteoli cate i sforzo e ampi scorrimeti sismici; weak seismic B A? elle qali il rilascio i sforzo e gli iteralli i ricorreza ell istabilità soo iferiori a qelli che caratterizzao le faglie strog; iscos B A << e compliat B A? i ci lo scorrimeto è stabile ma ell ltimo caso pò accelerare erso l istabilità i preseza i sollecitazioi iamiche improise ello sforzo i carico. Tale moello eomiato cople asperity i qato tiee coto ella efiizioe i asperità 1..4 ata a Kamamori 1981 e el loro accoppiameto co le aree che le circoao cosete i iterpretare le eterogeeità ella istribzioe i islocazioe osserate rate grai terremoti i termii elle ariazioi laterali ell attrito slla faglia. E possibile forire a escrizioe ei e regimi i elocità elocity weakeig e stregtheig a partire a moello iamico i rottra iece che basaosi slle leggi i attrito. I qesto moo i e campi i elocità soo caratterizzati a a iersa eolzioe ello sforzo iece che a iersi alori ei parametri A e B. 33

34 1 1 Capitolo primo Scholz 199 propoe semplice moello i rottra fig. 1.8 : cosierato pto P ella sperficie i frattra ietificato alla cooriata si esamia l aameto ello stress. Qao il frote i rottra è lotao a P i è applicato o stress iiziale e lo stregth statico è. Qao la frattra si aicia a P i lo stress ameta a casa ella cocetrazioe iamica ello sforzo i prossimità el crack: qao iee raggito il alore al tempo t si ha la rottra oero ha iizio lo scorrimeto e si maifesta a cata iamica i sforzo f. I qesto moello è preisto ioltre che il alore ello sforzo fiale o attrito cietico f rimaga costate rate lo scorrimeto ma che opo il tempo i cicatrizzazioe t h esso scea lteriormete a alore 1 e i tale moo la cata i sforzo totale 1 è maggiore i qella iamica. Qesto comportameto caratterizza il regime i elocity weakeig fig. 1.8a. f f t t h t t t h t a b Fig Aameto ella stress history i geerico pto P ella faglia come preisto al moello iamico i rottra escritto ei testo. a Comportameto elocity weakeig: la cata iamica i sforzo è positia; b Comportameto elocity stregtheig: è egatia tratta a Scholz 199. Se iece fig. 1.8b f rislta maggiore i la cata i sforzo iiee egatia: si ha assorbimeto etto i eergia. Siamo ora el caso elocity stregtheig: i P potrà allora esserci o scorrimeto soltato se elle zoe 34

35 Stato ell arte: meccaica ella frattra e leggi i attrito 35 ella faglia che circoao si hao cate i sforzo positie come qelle i fig. 1.8a. a cra tratteggiata i fig. 1.8b rappreseta il rilassameto postsismico che porta lo stress al alore fiale e leggi i Cochar & Maariaga Per simlare l' attrito a alte elocità i scorrimeto Brrige & Kopoff 1967 tilizzaroo a legge poi ripresa e moificata a Maariaga & Cochar 1994 ella qale lo sforzo i taglio ipee alla elocità i scorrimeto: Tale relazioe i ci è sempre la trazioe massima o attrito statico e è a slip elocity i riferimeto o cotiee é a ariabile i stato é a lghezza caratteristica. Cochar e Maariaga 1995 hao ifie proposto a secoa legge i attrito i tipo slip a rate epeet: 1.3.9a oe è a lghezza caratteristica e Ψ 1 è ata alla relazioe: Nel caso particolare i ci sp 1.3.9a iiee a legge i tipo & & 1 1 e se e se e se 1 1 Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ sp sp sp Ψ Ψ 1

36 Capitolo primo slip weakeig. A 1.3.9a è associata ' eqazioe eoltia per Ψ : Ψ t β c Ψ & 1.3.9b Variazioi ello sforzo ormale Nei preceeti paragrafi è stata fatta l' asszioe che l' attrito e la ariabile i stato Ψ o ipeao allo sforzo ormale alla faglia cfr iker & Dieterich 199 hao stiato i cambiameti i casati a ariazioi ello sforzo ormale oltre che alla elocità i scorrimeto esteeo i qesto moo i preceeti moelli i Dieterich e i Ria. a formlazioe ella oa legge costittia si foa slle segeti ipotesi: i per ariazioi sfficietemete piccole ello sforzo ormale ello stato stazioario la ariabile i stato è iipeete a e pertato rimae alia Ciò implica che ache rislti iipeete allo sforzo ormale; ii i parametri a e b o ipeoo a oero aalogamete / A / B oqe ello spazio ; iii cambiameti i si riflettoo slla ariazioe ella ariabile i stato; i ttti gli effetti oti a cambio i soo esprimibili allo stato; ' improisa moifica ello sforzo ormale porta a ' istataea ariazioe i Ψ che è simmetrica rispetto a a crescita o a calo i. iker & Dieterich efiiscoo il cambiameto ell' attrito che si ha rate processo i scorrimeto che rislta a ' improisa crescita i : b Φ l Φ ss oe Φ è il alore che la ariabile i stato assme immeiatamete opo la crescita i ma prima che si abbia lo scorrimeto e è il alore fiale ello 36

37 Stato ell arte: meccaica ella frattra e leggi i attrito stress ormale opo la crescita. Empiricamete è possibile esprimere come: l oe è lo sforzo ormale iiziale e è fattore i scala maggiore i b e a o cofoersi co la elocità elle oe P. Per cofroto rislta: Φ ss Φ b a ci si ee che a crescita ello stress a a proce a imizioe ella ariabile i stato a Φ ss a Φ. Se ifie si estee postlao che alga ache per a crescita a i ci lo stato iiziale o sia qello stazioario si ottiee: Φ Φ b Ora Φ Φ t t e pertato la oa eqazioe eoltia per la ariabile i stato rislta: Φ Φ t t Φ 1 Φ & b Φ t Tale relazioe è otteta applicao le preceeti ipotesi alla legge i Dieterich i forma riotta a trascrao gli 1 egli argometi ei logaritmi oero cosierao che algao le coizioi: Φ / >> 1 e / >> 1. 37

38 Capitolo primo 38 Se iece si aotta le legge i Ria scritta ella forma oe il secoo aeo a membro estro è θ i a l' eqazioe corrispoete a rislta: e pertato la oa eqazioe i eolzioe a associare a è: I efiitia le e estesioi alle eqazioi i Dieterich i forma riotta e a qelle i Ria soo rispettiamete: a b e a b oe i etrambi i casi è aimesioale. l a b Θ b Θ Θ l b t Θ Θ & l b b t b a Φ Φ Φ Φ & 1 l l b t a b Θ Θ Θ & l l