SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI DI PELL (ABOUT THE SOLUTION OF PELL S EQUATIONS)

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1 Crstao Teodoro SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI DI PELL (ABOUT THE SOLUTION OF PELL S EQUATIONS) D y ± Sommaro: questa ota e dedcata al calcolo de valor umerc ter d a d y soddsfacet le due equazo D y ±. Queste equazo retrao el vasto ed teressate campo delle equazo deomate dofatee od ache equazo determate, che soo equazo da rsolvers ter (o umer razoal). Cercheremo d llustrare come s possoo rsolvere queste due equazo ache se valor ter pù pccol per e y che le soddsfao soo umer addrttura d dverse mglaa d cfre. Daremo prelmarmete delle formazo essezal sulla Frazo Cotue; cotueremo qud co alcue prcpal osservazo sullo svluppo d u rrazoale quadratco, llustrado l metodo per l calcolo de quozet parzal a e per quello de umerator p e de deomator q delle rdotte della frazoe cotua, svluppo dell rrazoale D, essedo D u o quadrato perfetto. Passeremo qud a cosderare l equazoe D y +, ota sotto l ome d equazoe d Pell, dado l algortmo per l calcolo de pù pccol valor ter per e y che soddsfao l equazoe. Prederemo cosderazoe ache l equazoe D y - che preseta per la sua rsoluzoe lo stesso tpo d algortmo, ma che a dffereza della prma equazoe o rsulta sempre rsolvble. Per questa equazoe daremo ache alcu tp d valor d D per qual o s hao soluzo. Per otteere de rsultat cocret per le due equazo vee rportato questa ota l breve lstato lguaggo Qbasc d u uco programma lmtato alla loro rsoluzoe per valor d e d y costtut da o pù d cfre; soluzo che s possoo rcavare o adado oltre l mplcazoe dell artmetca a doppa precsoe. I allegato daremo vece l lstato d u programma pù complesso, suddvso due prcpal part, la prma per soluzo dell equazoe avet valor per e y mor d 0, la secoda, mplcate ua artmetca a 7 precsoe multpla Base 0, per soluzo co valor d e y ache molto grad (avet cetaa o addrttura mglaa d cfre) e dpedet modo o prevedble dal valore d D. Rporteremo allegato ache alcu esemp d rsultat ottebl co l suddetto programma, mettedo evdeza valor umerc d e d y, qual valor ter mm soddsfacet due tp d equazoe ed relatv temp d calcolo. Abstract: the am of ths paper s to llustrate the tegers ad y, wch satsfactory values of the two Equatos D y ±. These equatos belog to the set of dophate or determate equatos. I ths paper we epla ther solutos eve f ther satsfactory ad y values are large umbers. Frst we gve some basc formatos cocerg the Cotued Fractos, the we cotue wth some ma remarks pertet the developmet of quadratc rratoal umber D by eplag the method of hs partal quotets computato ad also the computato of umerators ad deomators of hs covergets. The we cosder the Pell equato D y ad we gve the algorthm for the computato of the least ad y solutos. We also cosder the equato D y, wch has the same algorthm, but that ca t always have ay solutos. For ths equato we gve also some kds of the D values that have o soluto. I ths paper we show oe algorthm for both equatos, lmted to solutos of ad y values cosstg of umbers smaller tha 0, fullflled by oe short program Qbasc laguage. Ths restrcto s due oly at the use of double precso arthmetc. At the ed we eclose also the lst pertet a more comple program, stll Qbasc laguage, dvded to two ma parts, the frst regardg solutos of equatos wch have satsfactory ad y values smaller tha 0, the 7 secod usg a orgal Rad 0 multple-precso arthmetc for equatos wth large ad y solutos, amely satsfactory values wth several tes of dgts or some hudreds ad eve thousads of dgts. We report alsos eclosures, some results by usg ths program, hghlgthg the least ad y values, such as solutos of the tested equatosd ther computato tme.

2 Co l ome d equazoe d Pell (o pù appropratamete d Pell - Fermat ) è ota l equazoe D y. Prederemo cosderazoe ache l equazoe D y -, che per la sua rsoluzoe preseta lo stesso tpo d algortmo., Su loro svlupp storc e geerale per loro otze s rmada a [Be], [Dav], [Old]. Queste equazo retrao el vasto ed teressate campo delle equazo deomate dofatee o determate, che soo equazo da rsolvers ter (o umer razoal). V è subto qu da specfcare che metre l equazoe col terme oto postvo rsulta sempre rsoluble, l altra equazoe col terme oto - o sempre lo è. I effett è facle dmostrare ( ) che o esstoo valor ter d e d y soddsfacet la suddetta equazoe per seguet tp d valor d D ( ) : D 0 (mod 4) vale a dre per D 4 k D (mod 4) vale a dre per D 4 k + D 6 (mod 8) vale a dre per D 8 k + 6 Dove k,,, 4,. Iversamete, s dmostra [Nag] che l equazoe D y rsulta sempre rsolvble se D è u umero prmo (mod 4); cò rsulta sez altro utle se gà è oto che D è effettvamete prmo. C s propoe qu d esporre e svluppare alcu argomet dedcat alla loro rsoluzoe, e qud calcolare valor ter mm per e y che le soddsfao, co l mpego dello svluppo dell rrazoale D frazoe cotua. Ne rguard delle frazo cotue, per le otazo ed smbol matematc delle vare gradezze goco e per le gustfcazo teorche relatve alle formule matematche che vegoo mpegate qu d seguto, s rmada a [Old] e [Dav]. La frazoe cotua svluppo d u geerco rrazoale D vee dcata come segue [Old]: D [ a, a, a, a, a, a, a.. ] (a) co a D e dove ugual smbol per gl altr a dcao uo stesso valore umerco. s defsce l tero pù grade ferore a. Co l smbolo geerco Tutt var a a partre da a predoo l ome d quozet parzal dello svluppo d D. I quozet parzal a, a, a che s rpetoo deftamete, formao l perodo dello svluppo. E cosuetude dcare l suddetto svluppo come segue: D [ a, a4,... a ], dove l seme de smbol sopraleat formao l perodo. Il perodo può compredere u umero par o dspar d valor e può essere formato da poch quozet parzal come da molt, dpededo l loro umero modo o prevedble dal valore stesso d D. () per D 4 k s ha 4 k y - ; è evdete che e qud ache devoo rsultare d valore dspar; poché po l quadrato d u umero dspar può sempre pors sotto la forma 8 m + s ha 8 m + 4 k y da cu 8 m 4 k y e fe 4 m k y, uguaglaza palesemete mpossble. Aaloghe cosderazo s possoo fare per gl altr tp d valor d D. () Cosderado tre tp d valor d D elecat, l equazoe D y o rsulta rsoluble per almeo l 6,5 % de valor d D.

3 Damo qualche esempo. Per D 8 l perodo è formato da 4 quozet parzal: s ha 8 [ 5,,,,0 ] come sarà mostrato pù avat ; per D 7 l perodo è formato da u solo quozete parzale: s ha 7 [a,a] [ 6, ] per D 09 l perodo è formato da 6 quozet parzal per D 408 l perodo è formato da u quozete parzale per D 409 l perodo è formato da quozet parzal per D 40 l perodo è formato da u quozete parzale per D 000 l perodo è formato da 84 quozet parzal; per D 4568 l perodo è formato addrttura da 0006 quozet parzal. Poché la coosceza del valore umerco d tutt quozet parzal format l perodo è dspesable per la rsoluzoe dell equazoe d Pell, occorre trovare u algortmo effcete e veloce per l loro calcolo esatto. U semplce metodo d calcolo dervato da quato acceato [Chr], [Dav], [Old] può dcare la strada per svluppare u algortmo d tpo teratvo llustrato pù sotto. Prma però vedamo d esporre quato segue. Sa da svluppare l rrazoale D frazoe cotua; Il smbolo geerco come gà detto dca l tero pù grade ferore a. S poga D + co a Rsolvedo l equazoe s ottee a s poga ora + co a : s ottee a proseguedo: + co a : s ottee 4 4 a co a : s ottee a + co a. +. C s ferma el procedmeto quado s ottee u valore d per cu a a quato s dmostra [Old] che ello svluppo d u rrazoale del tpo suddetto gl ulteror quozet parzal s rpetoo come mostrato (a).

4 Ma come s deve procedere per trovare ella maera pù opportua var e qud corrspodet a? Vedamo co u esempo umerco cocreto d charre l procedmeto. Sao da calcolare quozet parzal della frazoe cotua relatva a 8. Posto 8 s cosdera dove a 8 5 è l pù grade tero ferore a, coè alla radce quadrata d 8. Rsolvedo la suddetta equazoe s ottee: a 8 5 Rsulta opportuo (ved Nota) o calcolare subto l valore umerco d e da questo rcavare a, ma razoalzzare l suo deomatore otteedo così da cu s 8 5 trae: a. Rpetedo per lo stesso tpo d procedmeto fatto sopra s poe S ha allora : + da cu Razoalzzado d uovo l deomatore s ottee dopo qualche passaggo: da cu s trae per successv s ottee: a. Cotuado questo tpo d procedmeto da cu s rcava a 4 4 Proseguedo s trova da cu falmete Avedo otteuto per a 5 u valore uguale a a c s ferma quato gl ulteror a s rpetoo come rsulta da (a). S dcherà pertato 8 [ 5,,,,0 ]. a I effett la teora c asscura che per u rrazoale D el calcolo de var a s arrva sempre ad u valore par a N, che valor umerc de quozet parzal soo tutt umer ter e che ess s rpetoo, escludedo a, og perodo. Da quato mostrato co l esempo relatvo a 8 s può po osservare che per l geerco valore D + c D + c d vale la seguete formula: da cu a b b Nota : l vataggo d razoalzzare og volta l deomatore comporta la possbltà d realzzare per l calcolo de quozet parzal l algortmo llustrato, che preseta ua maggore precsoe d calcolo. Cò rsulta evdete soprattutto quado l perodo è formato da molt quozet parzal. Predamo u esempo tpco: per l rrazoale 09 che ha u perodo costtuto da 6 quozet parzal, voledo calcolarl drettamete, seza l processo d razoalzzazoe del deomatore d og, e qud seza l coseguete uso dell algortmo teratvo d seguto llustrato, tal quozet, gà dal 9 po rsulterebbero errat ache co l uso della doppa precsoe. I corrspodeza po del 7 quozete parzale, vece d trovare u valore , come deve essere, s otterrebbe u valore a 7 5 e qud decsamete errato. a 4

5 No è dffcle po vedere, sempre osservado passo per passo lo svluppo d D c d c e d b soo legat a precedet valor c, b e a b relazo: c b c a ; b D c b c + dalle qual s può rcavare E evdete che per calcolare l valore d b occorrerà calcolare prma quello d a 8, che valor dalle seguet D + c b c. Sfruttado queste relazo s può realzzare allora u algortmo d tpo teratvo per l calcolo de quozet parzal a mostrato qu d seguto: ALGORITMO PER IL CALCOLO DEI QUOZIENTI PARZIALI a d D S cosdero le seguet gradezze: a, b, c co valor zal a vale l seguete algortmo teratvo: D ; b ; c 0 c b b a co,, 4.. a c () D c c b () D + c b () Come s vede charamete valor de parametr c e b dell terazoe possoo essere calcolat co valor degl stess parametr trovat ella terazoe precedete. Può essere po calcolato co la () l valore del quozete parzale a. S fa osservare che og cclo le tre suddette relazo devoo essere esegute rgorosamete ella successoe dcata, vale a dre deve essere eseguta prma la (), qud la () e fe la (). Co l prmo cclo o terazoe dell algortmo suddetto, vale a dre per, s troverà l valore del quozete parzale a, per l valore d a e così va. Il umero d ccl o terazo avrà terme quado s troverà per l quozete parzale a u valore uguale a a D. Toramo ora a cosderare l equazoe d Pell. Ad og quozete parzale a trovato deve segure l calcolo relatvo a due parametr p e q legat al quozete parzale a dalle seguet relazo [Old], [Dav] ach esse d tpo teratvo: p p + p ( 4) q q + q (5) co,, 4,.. e co valor zal: p o ; p D ; 5 q o 0; q

6 Pertato og cclo teratvo sarà costtuto dalle cque relazo (), (), (), (4), (5) Prma del terme d og terazoe sarà ecessaro aturalmete aggorare sa valor d p che d p, sa quell d q che d q, per utlzzarl qud correttamete ella successva terazoe, effettuado orde le seguet sosttuzo: p p ; p p q q ; q q Procededo ora ad esegure le vare terazo, ogua costtuta dalle 5 suddette relazo co l agguta delle quattro dcate sosttuzo, s arrverà og caso ad u valore a a Sa l valore assuto da ella terazoe mmedatamete precedete a quella cu s è otteuto l valore a Teedo ora coto d quato dmostrato ed llustrato sempre [Old] o [Dav], vale la seguete uguaglaza: p D q ( ) dove p e q soo valor rcavat dalle formule (4) e (5) ella terazoe mmedatamete precedete a quella per cu s è otteuto l quozete parzale a. Da otare che l valore umerco dell espoete rsulta uguale al umero d quozet parzal precedet l quozete parzale a ed è uguale ache al valore umerco del perodo. Per u par s ottee qud p D q Cofrotado questa formula co l equazoe d Pell s ota mmedatamete che valor trovat p e per q soo le soluzo della suddetta equazoe. I valor p e y q soo ache valor pù pccol che soddsfao l equazoe [Old]. Ioltre per essa esstoo altre fte soluzo co valor per ed y pù grad [Old]. Per trovarle s può fare uso delle seguet formule rcorsve [Sha] : k + 0 k + D y0 yk (6) y k + y0 k + 0 yk (7) co k 0,,,.. dove 0 p e y 0 q Se vece dovesse rsultare dspar s procederà ad ulteror terazo so ad arrvare a quella per cu s ottee u secodo quozete parzale d valore par a a. L terazoe mmedatamete precedete sarà (umero d quozet parzal precedet l secodo quozete parzale a, ved formula (a)) che è evdetemete d valore par. Rfacedos sempre a rfermeto ctat s otterrà questo caso la seguete uguaglaza: p D q ( ) da cu s rcava mmedatamete p D q e qud le soluzo dell equazoe d Pell sarao questo caso p e y q. Passamo ora a cosderare l equazoe D y Per questa equazoe s sfrutta lo stesso tpo d algortmo utlzzato per l altra equazoe. S è gà fatto osservare che essa però o è sempre rsoluble. Prededo cosderazoe sempre la formula p D q ( ), per dspar essa dveta: p D q dove è l valore assuto da ella terazoe mmedatamete precedete a quella cu s è otteuto l valore a. Cofrotado questa formula co l equazoe D y s vede mmedatamete che le soluzo d questa equazoe soo valor trovat p e per q, che ache qu soo le soluzo mme. 6

7 Per trovare le successve soluzo pù grad valgoo sempre le formule teratve (6) e (7) dove 0 p e y 0 q, ma co l avverteza che le effettve soluzo soo solo quelle per cu k e y k hao dce k par. S osserv che a dffereza dell equazoe col terme oto postvo, se ello svluppo dell algortmo l terazoe mmedatamete precedete a quella cu s ottee l quozete parzale a è par, ( e qud per par ), s può stablre subto che l equazoe o è rsolvble, seza effettuare ulteror terazo, quato ell uguaglaza p D q ( ) l terme ( ) è evdetemete par a + come lo sarà per ( ) e per tutt gl altr sml term. Poché per alcu tp d valor d D questa equazoe o ha soluzo, se ell algortmo d rsoluzoe s utlzzao le codzo d o rsolvbltà sopra esposte ( ved ota ( ) ) s potrà pertato rcooscere seza rcorrere allo svluppo dell rrazoale D che l equazoe o ammette soluzo. Vee rportato qu d seguto u lstato lguaggo QBasc d u programma rguardate la rsoluzoe delle due equazo che presetao qual soluzo valor d e d y mor d 0. Questa lmtazoe derva dal fatto che pur utlzzado e calcol artmetc la doppa precsoe s ottegoo rsultat esatt solo se feror a 0. REM PELLSE ' PROGRAMMA CHE SEGUE LE FORMULE DELL'ARTICOLO ' DEDICATO al calcolo de valor ter pù pccol d e d y, soluzo ' delle due equazo dofatee ^ - D*y^ + e ^ - D*y^ - ' quado tal valor o superao l valore d 0^ CLS : DEFDBL A-Z INPUT "D"; d INPUT "quale terme oto vuo + o -)"; $ IF $ "" GOTO 0 REM dk*v oppure d4*v+ u d / 4: v INT(u): w d - 4 * v IF w 0 OR w THEN PRINT "+++ essua soluzoe ": END u d / 8: v INT(u): w d - 8 * v IF w 6 THEN PRINT "???? essua soluzoe ": END REM ' codzo zal : r SQR(d): a INT(r): b : c 0: a * a p0 : p INT(r): q0 0: q : ' PRINT "a "; a, "a"; a ' DO: IF a THEN y y + IF a AND / <> INT( / ) AND $ "-" GOTO meo IF a AND / INT( / ) AND $ "-" GOTO soluz IF a AND / <> INT( / ) AND $ "" GOTO soluz + c * b - c: b (d - c * c) / b: a INT((r + c) / b) p * p + p0: q * q + q0 PRINT ; a; b; c, p, q IF p0 > 0 ^ THEN PRINT "valor rsolutv d e y > 0^": END p0 p: p p: q0 q: q q ' DO: y$ INKEY$: LOOP WHILE y$ "" LOOP UNTIL a AND / INT( / ) AND y soluz: p0: y q0: PRINT : PRINT " ";, "y "; y * : IF > 0 ^ THEN END PRINT " PROVA " REM -- s effettua solo se l valore d ^ rsulta more d 0^6 --- y y * y: k d * y PRINT "^ "; : PRINT "D*Y^ "; k PRINT "^ - D*y^ "; - k PRINT "D "; d, ""; ; "a"; a END meo: PRINT "*** essua soluzoe ": END 7

8 Rmae aperto tuttava l problema d trovare le soluzo delle suddette equazo allorché l valore d D è tale per cu le soluzo mme soo valor umerc che eccedoo l valore d0. Questo può accadere ache per valor d D pccol. Ad esempo valor d e d y pù pccol che soddsfao l equazoe 77 y soo costtut rspettvamete da e 9 cfre; per u valore D 06 valor mm d e d y che soddsfao l equazoe superao le 00 cfre e precsamete è composto da 05 cfre e y da 0 cfre. Basta po predere cosderazoe de valor d D u po pù grad, compost ache da sole 5 cfre, per trovare dvers che dao luogo a soluzo mme che possoo superare ache le 500 cfre. Ma c è d pù. Se quest valor d e d y possoo sembrare grad rsolvedo l equazoe 4568 y valor pù pccol d e d y che la soddsfao soo compost cascuo da u umero d cfre be pù cosstete. A prma vsta potrebbe sembrare mpossble poter mapolare umer così alt su d u computer forto al massmo d ua artmetca a doppa precsoe. E allora come s possoo otteere quest valor umerc così grad? La rsposta è quella d rcorrere alla realzzazoe d ua artmetca a precsoe multpla adatta ad effettuare co esattezza tutt calcol ecessar. S è realzzato pertato u programma sempre lguaggo Qbasc che cotempla ua 7 artmetca a precsoe multpla Base 0 creata specfcatamete allo scopo. S precsa che purché D o super l valore d 0 c s può lmtare ad esegure calcol artmetca a precsoe multpla e rguard solo delle le relazo (4) e (5) quato per le relazo (), (), () è suffcete la doppa precsoe.. Cò quato s dmostra [Dav],[Sha] che valgoo seguet lmt: 0 < a < D ; 0 < b < D ; 0 < c < D I ALLEGATO s rporta pertato u uco programma co l quale s è grado d effettuare tutt calcol modo esatto. I calcol da esegure artmetca a precsoe multpla rguardao solo le relazo (4) e (5) sopra rportate quato s predoo cosderazoe solo valor umerc d D (o quadrato perfetto) ferore a 0. Il programma rguarda la rsoluzoe dell equazoe co terme oto sa + che ed è suddvso due part prcpal. La prma parte è dedcata a valor rsolutv per e y mor d 0 e rspeccha modo pressoché totale l programma del rquadro sopra rportato. La secoda parte vee presa cosderazoe se ello svolgers dell algortmo teratvo applcato s ottegoo de rsultat d calcolo maggor 0. Ed è qu che allora subetra l terveto delle struzo rguardat la precsoe multpla e qud la rsoluzoe d valor d e d y ache molto grad. Co tale programma ad esempo s possoo trovare mm valor esatt d e d y soddsfacet l equazoe gà mezoata: 4568 y co u tempo d calcolo d 58 secod. Questo tempo può forse apparre relatvamete lugo, ma s tega presete che l valore d che soddsfa l equazoe è composto da be 09 cfre e quello d y da 087 e le terazo ecessare rsultao essere 0006 (par al perodo ello svluppo dell rrazoale 4568 ). Nel programma v soo oltre struzo che rguardao la o rsolvbltà dell equazoe co l terme oto e cas gà sopra dcat. Eseguedo l programma sa per l uo che per l altro tpo d equazoe è mplcto che vegoo calcolate tutte quate le cfre d e d y ache se la loro tera vsualzzazoe sul motor o rsulta possble dato l eccessvo umero d cfre goco. S può costatare che geerale pù valor d D soo grad, pù è alta la probabltà d trovare umer elevat qual valor rsolutv d e d y. E opportuo pertato fare presete che ache co l suddetto programma o sempre s è grado d trovare le soluzo dell equazoe: questa mpossbltà o è dovuta all algortmo mpegato, ma alle lmtazo mplcte el software utlzzato; cò può captare effett 8

9 quado l valore scelto per D è tale per cu ell esecuzoe de calcol valor umerc raggut soo così elevat da o poter essere pù gestt e memorzzat e var vettor utlzzat. Comuque l programma fuzoerà regolarmete se valor rsolutv d e d y o sarao costtut da o pù d cfre. I ALLEGATO vee mostrato qualche esempo d rsoluzoe otteuto per soluzo sa mor che maggor d 0. I valor umerc grad d e d y trovat vegoo presetat per ua mglore lettura co uo spazo og g 7 cfre dove g è l espoete della Base (Rad) d g umerazoe0 utlzzata. RIFERIMENTI [Be] - A.H. Beler, Recreatos the Theory of umbers, Secod Edto- Dover Publcatos [Chr] - G. Chrystal, Algebra elemetary Tet-Book, Part II, Seveth Edto Ch.XXXII reprted by AMS Chelsea Publshg,999 [Dav] - H. Daveport, Artmetca superore- La cultura matematca Zachell, Bologa [Nag] - T. Nagell, Itroducto to Number Theory, Secod Edto Ch.VI, Chelsea Publshg Compay New York -98 [Old] - C. D. Olds, Frazo cotue- MM / Matematca Modera Zachell, Bologa -968 [Sha] - D. Shaks, Solved ad Usolved Problems Number Theory, Thrd Edto - Ch.III, Chelsea Publshg Compay, New York- 985 SITI WEB ALLEGATO ESEMPIO D? 45 quale terme oto vuo o -)? Soluzo mme d ^ - D*y^ : 900 y PROVA ^ D*Y^ ^ - D*y^ umero d terazo: ESEMPIO D? 508 quale terme oto vuo o -)? - soluzo mme d ^ - D*y^ - : y PROVA ^ D*Y^ ^ - D*y^ - umero d terazo: 8 9

10 ESEMPIO D? 84 quale terme oto vuo o -)? - l'equazoe ^ - 84 * y^ - vee soddsfatta per seguet valor mm d e d y: y è costtuto da : 46 cfre; y è costtuto da 44 cfre D 84 umero d terazo 476 tempo mpegato:.065 secod ESEMPIO D? 84 quale terme oto vuo o -)? l'equazoe ^ - 84 * y^ vee soddsfatta per seguet valor mm d e d y: y è costtuto da : 49 cfre; y è costtuto da 490 cfre D 84 umero d terazo 95 tempo mpegato:.65 secod 0

11 ESEMPIO D? quale terme oto vuo o -)? - l'equazoe ^ * y^ - vee soddsfatta per seguet valor mm d e d y: y è costtuto da : 89 cfre y è costtuto da 85 cfre D umero d terazo 5 tempo mpegato: secod

12 ESEMPIO D? 6599 quale terme oto vuo o -)? l'equazoe ^ * y^ vee soddsfatta per seguet valor mm d e d y: y è costtuto da : 97 cfre y è costtuto da 94 cfre D 6599 umero d terazo 79 tempo mpegato:.7695 secod

13 ALLEGATO REM PELLART ' PROGRAMMA CHE SEGUE LE FORMULE DELL'ARTICOLO ' DEDICATO al calcolo de valor ter p pccol d e d y soluzo ' delle due equazo dofatee ^ - D*y^ e ^ - D*y^ - CLS : DEFDBL A-Z 0 INPUT "D"; D: rd SQR(D): IF INT(SQR(D)) <> SQR(D) GOTO 0 PRINT D; " u quadrato perfetto:trodurre u altro umero": GOTO 0 0 INPUT "quale terme oto vuo o -)"; $ t TIMER g 7: pr 0 ^ g IF $ "" GOTO 0 REM dk*v oppure d4*v+ u D / 4: v INT(u): w D - 4 * v IF w 0 OR w THEN PRINT "+++ essua soluzoe ": END u D / 8: v INT(u): w D - 8 * v IF w 6 THEN PRINT "--- essua soluzoe ": END 0 ' codzo zal : rd SQR(D): a INT(rd): b : c 0: a * a p0 : p INT(rd): q0 0: q : ' PRINT "a"; a, "a"; a ' DO: IF a THEN y y + IF a AND / <> INT( / ) AND $ "-" GOTO meo IF a AND / INT( / ) AND $ "-" GOTO soluz IF a AND / <> INT( / ) AND $ "" GOTO soluz + c * b - c: b (D - c * c) / b: a INT((rd + c) / b) p * p + p0: q * q + q0 ' PRINT ; b; c: ',p, q" IF p0 > 0 ^ GOTO 540 p0 p: p p: q0 q: q q ' DO: y$ INKEY$: LOOP WHILE y$ "" LOOP UNTIL a AND / INT( / ) AND y soluz: PRINT : PRINT "soluzo mme d ^-D*y^ "; $; ":" p0: y q0: PRINT : PRINT " "; : PRINT "y "; y * : IF > 0 ^ 6 THEN END PRINT : PRINT " PROVA " y y * y: k D * y PRINT "^ "; : PRINT "D*y^ "; k PRINT "^ - D*y^ "; - k PRINT "D "; D: PRINT "umero d terazo:"; : '"a"; a END meo: PRINT "*** essua soluzoe ": END REM DIM b(6800), by(6800), bz(6850), c(6800), cy(6800), cz(6800) by() INT(p / pr): by(0) p - by() * pr cy() INT(q / pr): cy(0) q - cy() * pr bz() INT(p / pr): bz(0) p - bz() * pr cz() INT(q / pr): cz(0) q - cz() * pr 'DO: y$ INKEY$: LOOP WHILE y$ ""

14 kb : kc IF by() 0 THEN kb 0 IF cy() 0 THEN kc 0 DO: + : m m + c * b - c: b (D - c * c) / b: a INT((rd + c) / b) 'PRINT ; b; c; a: ', p, q 'DO: y$ INKEY$: LOOP WHILE y$ "" IF a AND / <> INT( / ) AND $ "-" GOTO meo IF a AND / INT( / ) AND $ "-" GOTO tempo: IF a AND / <> INT( / ) AND $ "" GOTO tempo: r 0 FOR k 0 TO kb sb * bz(k) + by(k) + r: r INT(sb / pr): b(k) sb - r * pr NEXT k IF r > 0 THEN kb kb + : b(kb) r r 0 FOR k 0 TO kc sc * cz(k) + cy(k) + r: r INT(sc / pr): c(k) sc - r * pr NEXT k IF r > 0 THEN kc kc + : c(kc) r FOR k 0 TO kb: by(k) bz(k): bz(k) b(k): NEXT k FOR k 0 TO kc: cy(k) cz(k): cz(k) c(k): NEXT k LOOP UNTIL a AND / INT( / ) AND y tempo: t TIMER - t PRINT "l'equazoe ^ -"; D; "* y^ "; $; " vee soddsfatta " PRINT "per seguet valor mm d e d y:": IF m GOTO 999 PRINT : f$ "": ab$ STR$(b(kb)): l LEN(ab$) IF g 7 THEN w$ " " PRINT " " + w$; SPC(g - l); ab$; SPC(); FOR k kb - TO 0 STEP - $ "": c$ STR$(b(k)): la LEN(c$) - : r$ RIGHT$(c$, la) s g - la: IF s 0 THEN b$ $ + r$: GOTO X90 z$ "0": $ STRING$(s, z$): b$ $ + r$ X90: PRINT b$; SPC(); NEXT k PRINT f$ "": ab$ STR$(c(kc)): ly LEN(ab$): ' PRINT l IF g 7 THEN w$ " " PRINT : PRINT " y " + w$; SPC(g - ly); ab$; SPC(); FOR k kc - TO 0 STEP - y$ "": c$ STR$(c(k)): la LEN(c$) - : r$ RIGHT$(c$, la) s g - la: IF s 0 THEN b$ y$ + r$: GOTO y90 z$ "0": y$ STRING$(s, z$): b$ y$ + r$ y90: PRINT b$; SPC(); NEXT k sb$ STR$(b(kb)): lb LEN(sb$): sc$ STR$(c(kc)): lc LEN(sc$) PRINT : PRINT : PRINT " Š costtuto da :"; kb * g + lb - ; "cfre", PRINT "y Š costtuto da"; kc * g + lc - ; "cfre": GOTO PRINT "X"; b: PRINT "Y"; c 000 PRINT "D"; D, " umero d terazo "; fe: t TIMER - t: PRINT "tempo mpegato:"; t; "secod" END 4