Lezione 8 LA SPINTA ESERCITATA DA UN FLUIDO SU UNA SUPERFICIE PIANA

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1 Appunti dei corsi di Idrulic e Idrodinic Lezione 8 LA PINTA EERITATA DA UN LUIDO U UNA UPERIIE PIANA In prio luogo ostrio (coe ssunto precedenteente nell LEZIONE 7) che l spint su un supericie pin prodott d un distriuzione di pressione costnte p è un orz ortogonle ll supericie stess dirett verso l supericie e di odulo pri l vlore dell pressione per l re dell supericie. Per qunto esposto nell LEZIONE e nell LEZIONE si h pn d Nell situzione in ese p p e n sono costnti. egue dunque p n d np L orz è quindi dirett coe n, h verso opposto e il suo odulo è pri p. onsiderio or il prole illustrto in igur dove sinistr del pino (, ) è presente un liquido di peso speciico γ. Al di sopr del liquido e destr dell supericie è presente ri suppost pressione costnte pri ll pressione toseric p t. Nel disegno è nche rigurto il pino (, ) riltto sul oglio in odo tle d visulizzre l supericie in esso contenut

2 L spint esercitt d un luido su un supericie pin (Novere 7) essendo l proondità η del generico punto del pino ( ) i vogli deterinre l orz esercitt dl liquido sull supericie. Nell igur ccnto è rppresentto l ndento dell pressione sul pino (, ). D qunto esposto nell LEZIONE 4 e nell LEZIONE 5 eerge che p pt γ senθ, rispetto l pelo liero pri senθ. Volendo deterinre l orz esercitt dl liquido sull supericie, è necessrio deterinre ( p γsen ) nd pn d θ t Tenendo conto che n è costnte, l orz può essere scopost cilente in due prti n p t n γ sen θ d L orz np t è esttente ilncit d un orz ugule e contrri esercitt dll ri sull supericie. Per questo otivo il prole di deterinre viene trsorto nell deterinzione di ( p p ) nd t L pressione p diinuit dll pressione toseric è dett pressione reltiv p r. onsiderndo che l uso dell pressione reltiv è più diuso di quello dell pressione ssolut, nell rinente prte di quest lezione e nelle lezioni seguenti indichereo con p l pressione reltiv e con l orz d ess indott

3 L spint esercitt d un luido su un supericie pin (Novere 7) Dll relzione n γ sen θd eerge chirente che l orz è ortogonle ll supericie (l direzione di coincide con quell di n ) è dirett dl liquido verso l supericie e h intensità pri γ sen θd γ sen θ d γ sen θ γη p (NOTA ) ove con il pedice si sono indicte quntità rierite l ricentro dell supericie. D qunto ricvto eerge inoltre che l intensità dell orz esercitt dl liquido sull supericie può essere ricvt oltiplicndo l re dell supericie per il vlore dell pressione (reltiv) nel ricentro dell supericie stess. Nel seguito ricvio le coordinte, del ricentro di lcune seplici superici pine ) Rettngolo d h h h d d h h h h d d d h h NOTA d è detto oento sttico dell supericie rispetto ll sse. i h quindi d essendo l coordint del ricentro dell supericie. - -

4 L spint esercitt d un luido su un supericie pin (Novere 7) ) Tringolo h, h h h ( ) d h h ( h ) h d d ( h h) h h h h h h h h h d / h h h h h / h L coordint non dipende dl vlore di! Ripetendo il clcolo ruotndo il tringolo è cilente veriicile che il ricentro dist dll se sepre un terzo dell ltezz qulunque lto si scelto coe se. ) eicerchio R R R R R 4 ( R ) R d dd R d πr πr πr π R R - -

5 L spint esercitt d un luido su un supericie pin (Novere 7) Not l direzione, il verso e il odulo dell orz, per risolvere copletente il prole è necessrio deterinre l rett di ppliczione di. L orz deve essere intti equivlente ll so delle orze ininitesie npd esercitte dl luido sulle superici ininitesie d che copongono. srà equivlente se vrà l stess risultnte e lo stesso oento rispetto d un qulsisi polo. Indicndo con il punto di incontro dell rett di ppliczione di con l supericie si deve vere pd pd essendo (, ) le coordinte del punto detto centro di spint. Le orule precedenti, insiee ll relzione pd precedenteente ricvt, evidenzino un iportnte risultto: le coordinte, coincidono con le coordinte del ricentro del cosidetto solido delle pressioni, cioè di un solido, nello spzio (, p),, individuto dll intersezione delle superici p e p γ senθ con un cilindro genertrici prllele ll sse p e con un Bricentro del solido delle pressioni olido delle pressioni direttrice coincidente con il contorno di (vedi igur). E iportnte nche notre che il vlore di coincide con il volue del solido delle pressioni. - -

6 L spint esercitt d un luido su un supericie pin (Novere 7) I risultti illustrti precedenteente suggeriscono un procedur seplice e rpid per il clcolo dell orz e dell su rett di ppliczione ) Nello spzio (,, p), con il pino ( ) ortogonle, trccire l ndento di ( ) ) Individure il solido delle pressioni., contenente l supericie e l sse p esso p,. ) coporre il solido delle pressioni in prti di cui si seplice vlutre il volue e l posizione del ricentro. 4) Vlutre il volue V i ( i,,..., N ) delle N prti così individute. 5) Vlutre le coordinte ( ci, ci ) dei ricentri degli N volui. 6) lcolre l orz 7) lcolre le coordinte ( c, c ) N i ( V n i ) del centro di spint N ( V ) ( V ) i ci i i ; N N i V i N i i V i ci - -

7 L spint esercitt d un luido su un supericie pin (Novere 7) onsiderio le relzioni già ottenute e discusse pd pd Discende γ sen θd pd pd d pd γ sen θd d d L quntità d è il oento d inerzi dell supericie rispetto ll sse e viene indicto con J. E inoltre noto che J J, essendo J il oento d inerzi rispetto d un sse prllelo ll sse e pssnte per il ricentro. egue J J J Tle risultto ostr in prticolre che il centro di spint è sepre un proondità ggiore o l più ugule l ricentro. In odo nlogo si ostr che pd pd γ sen θd γ sen θd d d J J essendo J e J i oenti centriughi dell supericie rispetto gli ssi, e d ssi essi prlleli pssnti per il ricentro di. Rest d sottolinere che le orule precedenteente ricvte sono vlide per un distriuzione continu di p e con rieriento d un siste di ssi coordinti tli che l pressione si nnulli nell origine e lungo tutto l sse

8 L spint esercitt d un luido su un supericie pin (Novere 7) EERIZI ULLA DETERMINAZIONE DELLA PINTA U UNA UPERIIE PIANA ) i consideri il sertoio in igur riepito di un liquido di densità ρ e si deterini il oento M necessrio ntenere in equilirio l prtoi ABD incerniert (e quindi in grdo di ruotre non trslre) lungo il lto AD. Dti:.5,.7, c. ρ Kg/ (cqu) oluzione: i introduc il siste di rieriento in igur. i h p ρ g Quindi il solido delle pressioni è quello riportto nell igur seguente insiee un su seplice scoposizione

9 L spint esercitt d un luido su un supericie pin (Novere 7) Eerge quindi che c γ γc Il risultto ottenuto coincide con l relzione p Intti l pressione nel ricentro dell supericie è pri p γ entre c egue che coincide con l relzione già trovt. γ c γ c - 6 -

10 L spint esercitt d un luido su un supericie pin (Novere 7) pendo che il ricentro di un tringolo si trov un distnz dll se pri d un terzo dell ltezz e che il ricentro di un rettngolo si trov un distnz dll se pri età dell ltezz è cile veriicre che ( ) / 6 c c c c γ γ γ γ / I l vlore di ppen deterinto coincide con quello ricvile dll relzione spendo che il oento d inerzi di un rettngolo rispetto d un sse ricentrle è pri un dodicesio del prodotto dell se con il cuo dell ltezz. egue inine che l orz è ortogonle ll supericie (quindi prllel ll sse z ),dirett verso l supericie e di intensità pri ( ) N N Il oento d pplicre per ntenere in equilirio l prtoi srà un vettore diretto lungo l sse, nel verso positivo, di odulo pri ( ) / / / M E cile veriicre che l quntità precedente coincide con 6 c c c M γ γ γ egue quindi N N M

11 L spint esercitt d un luido su un supericie pin (Novere 7) ) Assuendo il prole pino e di lrghezz unitri, clcolre l orz esercitt di luidi sull supericie AB. ino γ e γ il peso speciico del luido sovrstnte e sottostnte rispettivente. Kg Kg Dti: γ 8 ; γ.5,., θ π 4 oluzione: on rieriento gli ssi in igur, l distriuzione di pressione risult descritt d: p γ senθ per sinθ p γ γ senθ per senθ senθ E conveniente scoporre il solido delle pressioni coe indicto in igur. Risulterà dunque γ γ γ senθ sinθ senθ ostituendo i vlori nuerici Kg 75Kg π sen π sen

12 L spint esercitt d un luido su un supericie pin (Novere 7) Per deterinre l rett di zione dell orz, è necessrio clcolre l coordint c del centro di spint. i clcol quindi dppri il oento, per unità di lrghezz, dell distriuzione di orze rispetto ll sse. cendo rieriento ll scoposizione del solido delle pressioni illustrt pri, si h: M γ γ γ sinϑ sinϑ sinϑ sinϑ sinϑ sinϑ sinϑ sinϑ (.5)..5. (.) sin 4 sin 4 sin 4 sin 4 sin 4 π π π π π sinπ 4 47 Kg 56Kg 6Kg 66Kg. Kg sinπ 4 e quindi si ipone che M si ugule l oento dell orz risultnte c M ciò porge: M 66 Kg c Kg - 9 -

13 L spint esercitt d un luido su un supericie pin (Novere 7) ) Assuendo il prole pino e di lrghezz unitri, deterinre il oento M necessrio ntenere in equilirio l prtoi AB incerniert in. i trscuri il peso speciico del gs (si ssu quindi costnte l su pressione). L pressione del gs viene isurt ttrverso il tuo noetrico contenente il liquido di peso speciico γ rilevndo il dislivello. i γ il peso Kg Kg speciico del liquido ll interno del sertoio Dti: γ, γ 5 c, 5c, 5c oluzione: Il oento M è un vettore ortogonle l pino del disegno ( M (,, M z )) coponente M z negtiv. oclizzio or l ttenzione sul clcolo del odulo di M. e con un on rieriento ll igur l pressione p nel gs è pri ll pressione nel punto P che su volt è ugule ll pressione nel punto P. i h dunque p γ ull supericie AB l distriuzione di pressione srà dunque quell qui rppresentt - 4 -

14 L spint esercitt d un luido su un supericie pin (Novere 7) p A p γ ull supericie B l distriuzione di pressione srà p B p γ ( ) L orz esercitt dl liquido sull supericie AB srà dunque orizzontle dirett d destr verso sinistr e pri ll so di due contriuti p A ( p γ ) ( pb p A ) γ Il prio contriuto ( ) è pplicto d un distnz d B pri /, il secondo ( ) un distnz d B pri /. è pplicto d - 4 -

15 L spint esercitt d un luido su un supericie pin (Novere 7) ull supericie B l distriuzione di pressione è costnte e quindi il liquido eserciterà un orz dirett verticlente verso il sso di intensità tle che [ p ( ) ] pb γ Inoltre è pplict d un distnz d pri. Il odulo di M risulterà quindi M p 6 p p ( γ ) γ γ ( ) γ γ.5 (.5).5 (.5) (.5) Kg 9Kg - 4 -