Svolgimento puntuale degli esercizi proposti alla prova intermedia di Fisica Tecnica per Ingegneri Civili

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1 Svolgmento puntuale degl esercz propost alla prova ntermeda d Fsca Tecnca per Ingegner Cvl Calcolare l lusso d radazone emesso nell untà d tempo da un lamento d tungsteno d 0.mm d dametro e 70 cm d lunghezza alla temperatura d 750 C assumendo un valore d emssvtà par a 0.9; calcolare l valore della lunghezza d onda per cu s ha l massmo della potere emssvo monocromatco e l valore che assume n corrspondenza del massmo, supponendo che l lamento sa un corpo grgo. Il lamento emette radazone lumnosa? L eserczo chede d calcolare la quanttà d radazone termca che s lbera da un corpo n vrtù della sua temperatura. Sapendo che questo lusso concde con l potere emssvo emserco d un corpo grgo moltplcato per l area della sua superce allora: lamento lamento *E corpo grgo (T lamento lamento * lamento *E nero (T lamento ; dalla legge d Stean Boltzamann lamento (π*d*l lamento *σ*t 58W. (T lamento è espressa n K La lunghezza d onda a cu corrsponde l massmo d emssone del potere emssvo monocromatco del lamento, essendo un corpo grgo, è la stessa d quella relatva ad un corpo nero avente la medesma temperatura del lamento. Questa lunghezza d onda può essere ottenuta dalla legge d Wen. max T lamento 898μmK, da cu s ra con T lamento ( K0.5 K max 0.96μm Il valore che assume l potere emssvo monocromatco n corrspondenza d max lo possamo determnare dalla legge d Plank che c ornsce l espressone analtca dell andamento del potere emssvo monocromatco, n unzone della lunghezza d onda e della temperatura del corpo nero. Pur essendo l lamento un corpo grgo e qund non nero l valore del massmo sarà poszonato alla stessa lunghezza d onda e sarà par a quello del corpo nero rdotto dell emssvtà del lamento. E lamento (,T lamento lamento * E nero (,T lamento lamento *(* π*h*c /[( 5 lamento*(e (h*c/(k**t ]; E *0 6 [W/m lamento (,T lamento 0.9*.5*0 6 [W/m *μm].7 *μm] dove s rcorda h 6.6*0 [J*s] è la costante d Plank K.8*0 [J/K] è la costante d Boltzman c *0 8 [m/s] celertà della luce; possamo porre: C * π*h*c.7*0 6 [W*m ] C (h*c/k.9*0 [m*k]. Scuramente l lamento presenta uno spettro con componente nel vsble basta valutare l ntegrale del potere emssvo monocromatco tra [ ] μm.

2 S consder un materale solante la cu acca calda non può superare 00 C. La parete è costtuta da materale rerattaro con 0.8 kcal/hmk e spessore cm. Quale dovrà essere lo spessore d solante anché la acca calda dell solante a contatto con l materale rerattaro non super 00 C con 0. kcal/hmk e la acca redda dell solante sa a 0 C? Traccare n un dagramma l andamento delle temperatura lungo lo spessore della copertura mettendo n ordnata la temperatura e n ascssa lo spessore della parete. In condzon d regme stazonaro possamo aermare che l lusso specco d calore attraverso l materale rerattaro sarà uguale al lusso specco attraverso l materale solante. Pertanto. rerattaro q& rerattar o x x S S rerattaro solante ( T T ( T T q& n regme stazonaro solante solante La prma equazone c permette allora d determnare l lusso che s nstaura n regme stazonaro e undmensonale quando la temperatura T x nel punto d contatto tra solante e rerattaro è par a 00 C. Così acendo c ponamo nella condzone lmte. q& 0.8 kcal x 0. hm ( T T ( rerattaro rerattaro Srerattaro Questo stesso lusso deve attraversare le due superc del materale solante che s trovano ra 00 C e 0 C kcal solante. q x hm & S ( T T S ( [ m] solante solante 08 solante. 0. Temperatura parete del rerattaro T00 C Temperatura Lmte Dell solante Tx<00 C Rerattaro rerattaro rerattaro Srerattaro q& ( T T x Isolante q& solante S solante solante? ( T T x Temperatura parete dell solante T0 C 00 T(s C 00 0 S [cm]

3 Qualora decdessmo d sceglere uno spessore maggore dell solante, allora l lusso d calore attraverso due materal rerattaro e solante sarebbe scuramente nerore a quello corrspondente a 8,cm. Pertanto questo nuovo lusso quando attraversa lo spessore d materale rerattaro produrrà una caduta d temperatura tra le due paret estreme del rerattaro, a partre da 00 C, nerore rspetto al caso precedente che era par a (00 00 C. Pertanto la parte calda del materale solante che è a contatto con la parte pù redda del materale rerattaro s troverà ad una temperatura superore a 00 C. ( T T q& S rerattar o S ( T T q& S rerattaro x S < rerattaro rerattaro < rerattaro rerattaro > 0.08 solante solante. solante> 0.08 rerattaro solante> 0.08 ( 00 T < ( T > 00 C x S rerattaro x Una abtazone avente tutt lat ugual par a m è rscaldata mantenendo l mento a 0 C medante un mento a pannell radant, mentre le altre paret lateral ed l sotto s trovano alla temperatura d 0 C. ssumendo che tutte le superc abbano emssvtà 0.8, determnare l lusso termco radatvo scambato con l mento. Supponendo che la temperatura dell ara esterna sa par a 5 C e quella nterna sa C e che la trasmttanza delle paret sa rspettvamente par a: paret lateral U paret 5 W/m K tetto U tetto 0 W/m K Calcolare la potenza complessva dell mpanto a pannell radant per garantre l regme stazonaro. Il combustble che almenta la caldaa dell mpanto a pannell radant è un GPL caratterzzato da un potere calorco nerore (P.C.I. par a 000 kcal/kg, e da un costo d 0.80 euro/kg. La caldaa vene tenuta accesa 0 ore al gorno, 5 gorn al mese per mes all anno. Calcolare l costo d eserczo dell mpanto. Occorre calcolare l lusso netto d radazone che la superce del mento scamba con le superc delle paret lateral e del sotto. Possamo osservare che le paret lateral nseme con quella del sotto vengono date alla medesma temperatura d 0 C. Questo c permette d consderare l nseme delle 5 superc come un'unca tà a 0 C. In base a queste consderazon l blanco d radazone del mento può essere cos svluppato. a a ( E J ( J J F, equazone mento tà n a a ( E J ( J J F, equazone tà mento n J radostà delle superc supposte tutte opache E n potere emssvo del corpo nero alla temperatura delle superc F j attore d vsta della superce j rspetto alla superce Le equazon d blanco permettono d ndvduare l crcuto termco radatvo equvalente, dello scenaro d scambo d radazone. La prma equazone permette d traccare l tratto d crcuto che ega l potere emssvo d quel corpo nero avente la stessa temperatura del mento con la sua radostà (R, la seconda equazone

4 nterpreta l tratto successvo n sere, che ega la radostà del mento con la radostà della tà (R. La terza equazone consente d traccare l tratto successvo d crcuto n sere al precedente che ega la radostà della tà con l potere emssvo d quel corpo nero avente la stessa temperatura della tà (R. La quarta equazone è equvalente alla seconda. E n (T F F E n (T J J R R R In base all analoga con la legge d Ohm è possble nterpretare l crcuto n gura secondo le opportune corrspondenze (derenza d potenzale derenza de poter emssv d corpo nero o d radostà, ntenstà d corrente lusso specco d radazone scambato tra le superc de corp oppure anche n base alle stesse equazon d blanco possamo gungere a esprmere l lusso netto d radazone perduto dal mento nel seguente modo: mento tà mento tà 55 [ W ] ( E E ( E E n F n n ( n ( T T σ ( ( ( 0.8 Il calcolo precedentemente eettuato rguarda solo lo scambo netto d radazone che avvene tra mento e resto delle paret che costtuscono la tà. Questa potenza radante è una potenza postva qund è una potenza che l mento perde. Se voglamo che questo corpo pur perdendo radazone rmanga a 0 C occorre che questa potenza venga a sua volta ornta al corpo mento. Questo è mportante per la comprensone del prmo prncpo esteso anche alla radazone termca. Questa potenza termca deve essere ornta evdentemente dall mpanto che n qualche modo sommnstra 55W al mento (l n qualche modo sarà oggetto del corso d mpant termotecnc. desso bsogna are attenzone perché questa potenza è solo una parte d quella che deve essere sommnstrata al mento tramte l mpanto. Inatt contemporaneamente al meccansmo d scambo termco per rraggamento che è una potenza termca dspersa, s sta svolgendo anche uno scambo termco calorco rassunto nel suo complesso dall assegnazone della trasmttanza termca delle paret permetral e del sotto tra ara nterna e superc nterne delle paret, che prosegue n seno alle paret e po contnua tra superc esterne delle paret e ara esterna. desso l eserczo è suscettble d due nterpretazon entrambe valde. Nella prma nterpretazone le trasmttanze assegnate convolgono un coecente d adduzone supercale non ncludente lo scambo d radazone e qund è solo un coecente puramente convettvo, per cu l valore delle trasmttanze assegnate dovrà essere pensato come l rsultato della seguente espressone. U h conv. nt. h rad. nt n s s h conv.. h rad. Mentre nella seconda nterpretazone le trasmttanze assegnate convolgono un coecente d adduzone supercale completo, ncludente anche lo scambo d radazone. Il valore delle trasmttanze assegnate dovrà essere pensato come l rsultato della seguente espressone

5 U h conv. nt. h rad. nt n s h conv.. h rad. Quel coecente radatvo h rad. è quello che sta mettendo n conto lo scambo termco per rraggamento tra la parete d cu ora stamo calcolando la trasmttanza e l resto della tà. No seguremo la prma nterpretazone per questo motvo consderamo che n parallelo (contemporaneamente allo scambo termco per rraggamento s sta svolgendo uno scambo d potenza calorca tra nterno ed esterno dell edco. Q& Q& ( U ( T T [ W ] paret lateral paret lateral ara nt. ara. 60 ( U ( T T [ W ] paret lateral sotto ara nt. ara. 50 La potenza termca dell mpanto dovrà essere par alla somma d tutte e tre le potenze termche calcolate: P& Q& Q& & ( [ W ] mpanto paret lateral sotto S abba un vaso Dewar (termos d orma clndrca (dametro d 8 cm; altezza h 7 cm n cu vene ntrodotta dell'acqua (massa m 50 g alla temperatura t 0 C e alla pressone atmoserca. L'acqua è nzalmente tutta n ase solda. Se la temperatura dell'nvolucro esterno è te 0 C, calcolare dopo quanto tempo tutto l ghacco s è scolto per eetto degl scamb termc con l'ambente. Supporre null gl scamb termc per convezone e per conduzone; supporre noltre che le superc aaccate de due nvolucr sano grge con α 0,5; pressone costantemente uguale a quella atmoserca. (S tenga presente che per ondere un kg d ghacco occorrono crca 80kcal ltezza h7 cm Dametro d 8 cm L acqua presente all nterno del Thermos allo stato soldo, mporrà la sua temperatura alla parete nterna d contenmento, coè mporrà 0 C. Questa parete è aaccata alla seconda parete pù esterna del thermos, parete pù calda alla temperatura d 0 C. causa dello scambo d radazone netta tra parete nterna ed esterna, la parete nterna, essendo a temperatura nerore, perde radazone; s svolgerà lo scoglmento del ghacco. Tutto l processo sarà caratterzzato dall essere a temperatura costante, vsto che l processo d usone del ghacco s svolge lungo la sotermo barca a 0 C. Qund durante l processo d usone la parete nterna s manterrà costantemente a temperatura d 0 C, mentre la parete esterna sarà mantenuta a 0 C dall ambente esterno. Samo allora pront per scrvere l blanco netto d radazone tra le due superc. parete parete nt parete nt parete nt nt nt ( E ( T J ( J J F n nt nt ( E ( T J ( J J F n nt nt nt nt nt l ne d poter eettvamente trascurare la convezone tra l ara resdua presente nell ntercapedne e le due superc aaccate n essa, bsogna che lo spessore dell ntercapedne sa sucentemente pccolo. Questa precsazone c permette d poter approssmare l area della superce nterna con quella esterna.

6 nt Le equazon d blanco permettono d ndvduare l crcuto termco radatvo equvalente dello scenaro d scambo d radazone. La prma equazone permette d traccare l tratto d crcuto che ega l potere emssvo d quel corpo nero avente la stessa temperatura della parete esterna con la sua radostà (R, la seconda equazone nterpreta l tratto successvo n sere, che ega la radostà della parete esterna con la radostà della parete nterna (R. La terza equazone è consente d traccare l tratto successvo d crcuto n sere al precedente che ega la radostà della tà con l potere emssvo d quel corpo nero avente la stessa temperatura della tà (R. La quarta equazone è equvalente alla seconda. E n (T F nt F nt nt nt E n (T nt J J nt R R R In base all analoga con la legge d Ohm è possble nterpretare l crcuto n gura secondo le opportune corrspondenze (derenza d potenzale derenza de poter emssv d corpo nero o d radostà, ntenstà d corrente lusso specco d radazone scambato tra le superc de corp oppure anche n base alle stesse equazon d blanco,,, possamo gungere a esprmere l lusso netto d radazone perduto dalla superce nterna del thermos nel seguente modo: parete nt parete ( En ( Tnt En ( T ( En ( Tnt En ( T ( nt nt F nt nt π d h σ kcal kcal.59 0 [ W ] ; h h parete nt parete 0 nt ( T nt T ( ( ( 0.5 Possamo osservare che la potenza radante perduta dalla superce è negatva; sgnca che la parete nterna anzché perdere nettamente radazone rceve radazone, come d altronde era acle prevedere. Il rsultato appena ottenuto sta ad ndcare che ogn secondo la parete nterna rceve dalla parete esterna.*0 J. Poché l thermos contene 50*0 kg d ghacco e per ar ondere kg d ghacco occorrono 80kcal, allora per ar ondere tutto l ghacco presente nel thermos occorrono Q kcal kg 80 kg tot mghacco H O Qlatente usone H O kcal 0.5 desso samo n grado d determnare l tempo necessaro per scoglere completamente que 50*0 kg d ghacco. Inatt è sucente determnare quanto tempo è necessaro anché la parete nterna rceva 0kcal, dal momento che ogn ora rceve.*0 kcal. kcal h τ. 0 τ 0[ kcal] τ 89. [h]. parete parete nt 67 S rcord che per la legge d Krchho l emssvtà monocromatca è numercamente uguale alla assorbtvtà monocromatca, α. L uguaglanza per valor monocromatc s estende anche per valor total, α, qualora s tratt d corp grg

7 5 Un ettore solare pano dsposto orzzontalmente d orma quadrata (lato m s trova all'ara aperta n un sto soggetto a vento (veloctà 6m/s e temperatura dell'ara T C. La volta celeste verso la quale la pastra rragga può essere pensata, durante la notte, come un corpo alla temperatura d 55K se vgono condzon d celo sereno. Per questa stuazone semplcata, s rchede d determnare la temperatura raggunta dalla superce superore della pastra (corpo grgo d emssvtà 0.85 n seguto agl scamb termc convettv e radant. S assuma che la superce nerore della pastra sa adabatca. S adott la correlazone, Nu0.66 Re 0.5 Pr 0. vercando la condzone d regme d moto lamnare. Il ettore solare s porterà ad una temperatura n corrspondenza della quale la potenza termca scambata per convezone orzata con l ara eguaglerà la potenza termca radante scambata con la volta celeste. Questa è la temperatura che l problema rchede d determnare. Prma ancora d mpostare l equazone d blanco per l regme stazonaro del ettore, possamo certamente escludere che la temperatura d equlbro sa superore a quella dell ara (T ettore > C. Inatt se così osse l ettore ne conront dell ambente crcostante perderebbe esclusvamente potenza termca, sa ne conront dell ara per convezone, sa ne conront della volta celeste per rraggamento, senza rcevere alcuna altra potenza termca d blancamento. Questa condzone non sarebbe compatble con la realzzazone del regme stazonaro e qund con la temperatura d equlbro rchesta dal problema. In questa condzone qualsas temperatura del ettore superore a quella dell ara è condannata a dmnure al trascorrere del tempo, n presenza d un ambente crcostante costtuto da ara n movmento a C e della volta celeste a 8.6 C (55K. Stesso dscorso s può condurre per una temperatura del ettore nerore a quella della volta celeste, coè < d 55K ( 8.5 C. Qualsas temperatura del ettore nerore a 8.5 C è condannata ad aumentare al trascorrere del tempo, n presenza d un ambente crcostante costtuto da ara n movmento a C e della volta celeste a 8.5 C Sulla base d queste consderazon d contorno, possamo essere cert che la temperatura del ettore all equlbro avrà un valore ntermedo compreso tra quello della volta celeste e quello dell ara [ 8.5 ] C. La condzone d regme stazonaro che s nstaura quando la potenza termca netta entrante nel ettore è uguale a quella netta uscente, vene espressa dalla seguente equazone. entrante uscente ( T T ( T T Q& Q& h σ.( ara volta celeste Le consderazon d premessa svluppate n precedenza autano a capre l perché nell equazone s sa dentcata la potenza entrante con la potenza convettva e quella uscente con quella radatva. Il blanco d radazone tra l ettore e la volta celeste deve essere scrtto come compare n (. Inatt possamo potzzare l ettore come un corpo mmerso n una grande tà, la volta celeste, la cu superce è molto maggore della superce del ettore. Collettore Solare Nell equazone convene esprmere tutte le temperature n Kelvn, n modo tale da non avere per la temperatura del ettore due varabl, una n Celsus e l altra n Kelvn.

8 Il blanco d radazone tra l ettore e la volta celeste s può qund scrvere nel seguente modo: volta cel ( En ( T En ( Tvolta cel ( En ( T En ( Tvolta cel σ ( ( T Tvolta cel ( F volta cel volta cel volta cel volta cel S gunge alla orma nale della se s tene presente che l attore d vsta del ettore rspetto alla volta celeste è par a e che l emssvtà della volta celeste è essendo approssmable ad un corpo nero alla temperatura d 55K. ll espressone nale della ( s può gungere anche per una va pù dretta. Il ettore solare n vrtù della sua temperatura emette, perdendo, una quanttà d radazone par a: σt Questa quanttà d radazone vene persa dal corpo e sarà quella che causerà una dmnuzone dell energa nterna del ettore. llo stesso tempo l ettore rceve dalla volta celeste una quanttà d radazone par: σt F. volta cel volta cel volta cel volta cel D questa quanttà che resce a raggungere l ettore, solo la razone α vene assorbta, per cu la porzone totale d radazone che vene assorbta dal ettore è par a volta cel ( σt F α α. volta cel volta cel volta cel Questa quanttà è quella che è n grado d ar aumentare l energa nterna del ettore. Il blanco netto d radazone n uscta dal ettore, coè la quanttà d radazone che lascando l corpo ne provocherebbe una dmnuzone d energa nterna, sottratta della radazone che entrando nel corpo ne arebbe aumentare l energa nterna, s può qund esprmere : volta cel σt α F σt volta cel volta cel volta cel σt volta cel Il rsultato nale della ( concde con l rsultato nale della (. volta cel volta cel F σt voltacel volta cel σ ( T T ( L equazone ( permette d stablre l valore della temperatura del ettore n corrspondenza della quale s raggunge l equlbro. Per poter rsolvere la ( rspetto alla T occorre però conoscere l valore del coecente dello scambo termco convettvo h. Il suo valore può essere rato dall espressone del numero d Nusselt ornta dal testo dell eserczo: volta cel hl Nu ara 0.66Re 0.5 Pr 0. (; con ρ Re ara lw μ ara vento lw ν ara vento numero d Re ynolds e c pμ Pr numero d Pr andtl ρ μ aralwvento lw c vento p Re ; Pr μ ν ara ara La relazone ornta è coerente con l enomeno dello scambo termco n regme d convezone orzata d una lastra pana lambta parallelamente da un ludo. Nel nostro caso l ludo è l ara e la orzante è l vento. Verchamo la presenza del regme lamnare. Le propretà dell ara (vscostà dnamca μ, cnematca ν, denstà ρ, calore specco a pressone costante c p e conducbltà termca che denscono numer admensonal che compaono nella ( bsogna determnarle n corrspondenza della temperatura meda d convezone tra l ara e l ettore, all equlbro. S rcord l teorema d recproctà n base al quale possamo scrvere che volta cel F volta cel F volta cel. S rcord noltre che per la legge d Krchho l emssvtà monocromatca è numercamente uguale alla assorbtvtà monocromatca, α. L uguaglanza per valor monocromatc s estende anche per valor total, α, qualora s tratt d corp grg

9 T T T ( T meda, c p ara c p ara ( T meda ara ara ( T meda ara meda ; (5 ν, ν Il problema che s pone è che la temperatura del ettore all equlbro, (T, che compare nella temperatura meda (T meda espressa dalla (5 è propro quella che dobbamo determnare e qund rmane anche ndetermnata la temperatura meda che c permetterebbe d determnare l coecente d convezone. Qund l problema è questo: l equazone che c permette d determnare la temperatura del ettore all equlbro, l equazone ( h ( T T σ ( T T ( ara volta celeste In realtà dovremmo scrverla nel seguente modo, espresso dalla (6 : Nu l ara ( T T σ ( T T ara volta celeste ( Tara T ( ( T T σ T T ara, 0.66 Re Pr ara volta celeste W 0.66 ν ara l vento ( T, T ara l 0.5 c ( Tara, T ( T, T p ara ara 0. ara ( Tara, T ( ( T T σ T T (6 l ara volta celeste Così scrtta (6, l equazone ( mostra che l ncognta da determnare compare non solo nel delta T del enomeno convettvo, (T ara T, e radatvo (T T volta celeste, ma compare anche nella dpendenza spermentale delle propretà termotecnche del ludo (vscostà dnamca μ, cnematca ν, denstà ρ, calore specco a pressone costante c p e conducbltà termca dalla temperatura meda ara ettore, (T meda. Sebbene l equazone (6 abba come unca ncognta la T, essa non è analtcamente rsolvble. In quest cas s percorre un procedmento numerco teratvo d rsoluzone. Nell equazone (6 s consdera un valore d prmo tentatvo della temperatura del ettore, (T I, che però vene assegnato solo alla T che compare nelle propretà dell ara, al ne d toglerne l ndetermnatezza, e alla T che compare alla quarta potenza nell espressone (T T volta celeste della (6, mentre s lasca come ncognta la T che compare nella derenza d temperatura (T ara T. questo punto l equazone (6 è esplctable rspetto alla T. L esplctazone porta ad un valore d T (T x che potrà essere uguale o dverso a quello potzzato nel prmo tentatvo (T I. Se valor corrspondono, (T x (T I, allora sgnca che l valore d prmo tentatvo, ortunatamente, è la soluzone, se nvece non corrspondono allora s consdera un valore d T d secondo tentatvo par al valore ottenuto dalla prma esplctazone (T II (T x. questo punto l processo s rpete tale e quale n modo teratvo, no alla concdenza de due valor. Operatvamente s procede nel seguente modo. Con l valore della temperatura del ettore dell esmo tentatvo, (T s può determnare, tramte l equazone (5, la temperatura meda relatva all esmo tentatvo, (T meda, del enomeno della convezone; n tal modo è possble, tramte la consultazone della tabella delle propretà termotecnche dell ara, determnare numer admensonal d Reynolds e d Prandtl, entrando n tabella con l valore della temperatura meda (T meda ; Tabelle dsponbl nell ppendce III del manuale Kreth

10 con valor de numer admensonal determnat, s può allora calcolare, tramte l uso della (, l valore del numero d Nusselt, (Nu. dal numero d Nusselt s determna l valore del coecente convettvo del ettore (h ; 5 l valore appena trovato del coecente d convezone termca ara ettore, (h, lo dobbamo nserre nell equazone ( del blanco d energa. questo punto l equazone ( è esplctable rspetto alla T, avendo per tempo assegnato alla T contenuta nell espressone (T T volta celeste l valore d esmo tentatvo, (T. Il valore che s ottene dalla esplctazone della ( lo ndchamo con (T. σ σ ( ( T ( (7 (( (( T dove h Tmeda h T T ara T Tara Tvolta celeste h (( Tmeda h ( Tmeda 6 Il valore ornto dalla (7, (T, deve essere conrontato con quello dell esmo tentatvo (T. Qualora (T (T allora samo gunt alla soluzone. Se nvece (T (T allora dobbamo reterare calcol, da no a 6, per svolgere l tentatvo numero, utlzzando al punto l valore nale (T trovato al punto 6 della precedente esma terazone, L terazone s rpete no a quando l valore della t, ottenuto all terazone (, (T, rsulta concdente con l valore della temperatura relatvo all terazone (. Consderamo un valore nzale d prmo tentatvo per la temperatura del ettore (t par al valore medo della temperatura dell ara e della volta celeste. ( t t t C ( 8 C ara volta celeste 7.58; Con questa scelta tramte l equazone (5 possamo determnare l valore della temperatura meda d convezone tra l ara e l ettore. ( t ( C t tara C. 9 meda C Consultando le tabelle dell ara n corrspondenza d.9 C è possble determnare valor della vscostà dnamca e cnematca, della denstà, della conducbltà termca e del calore specco. Nel Kreth sono ornt valor d μ, d ν, d ρ, d c p e d n corrspondenza d 8 C e d 0 C. Mentre valor n corrspondenza d.9 C possono essere rat per nterpolazone. Le rette nterpolatrc hanno le seguent equazon: μ ν ρ c ara ara ara p ara ( t μ ( t μ ( t 9 5 ( t t.7 ara ara 8 t μ meda meda ara 0 meda t t 0 8 ( t ν 0 0 ( t ν ( t ( t t 0.5 ara ara 8 t ν meda meda ara 0 meda ( t meda ( t meda ρ c ara 0 t t 0 ( t ρ ( t p ara ( t. 0 t ara 8 t ρ meda ara 0 meda t t 0 8 ( t c ( t 0 t t 0 p ara 8 8 t meda c p ara ( t t meda

11 ara ( t meda ara ( t ( t ( t t ara 8 t meda ara 0 meda t t 0 8 In corrspondenza d (t meda.9 C le rette ornscono seguent valor d μ, d ν, d ρ, d c p e d : μ c Ns m m s.88 C kcal kcal 0., ara.88 C kg C hm C 5 5 (.88 C.7 0 ν (.88 C. 0, ρ(.88 C.06, p ara ( ( 6 Re l μ W c vento 5 p ; Pr 0.7 μ ara ρ ara ( ( 0.7 h l kcal W Nu 0.66 Re Pr h hm C m C ara Il valore appena trovato del coecente d convezone termca ara ettore lo dobbamo nserre nell equazone (7 del blanco d energa, per determnare l valore d (T. Il termne (T vene sosttuto con l valore ( kg m σ σ ( ( T ( 7 ( T dove h Tmeda ( h (( T T T (( ( ( Tara Tvolta celeste ara h Tmeda h Tmeda T ( ( T 70.86K.9 C (7 8 8 ( 7.5 K ( 55 ( Il valore ornto dalla (7, (t.6 C, deve essere conrontato con quello d prmo tentatvo (t C. Possamo rlevare che due valor derscono, qund l valore nzale d prmo tentatvo non è la soluzone. Dobbamo allora reterare calcol, utlzzando come secondo valore tentatvo d partenza l valore nale della prma terazone, (T Così acendo, dopo 7 terazon, l valore d uscta della (7 s stablzza n corrspondenza del seguente rsultato: T ( T 69K.5 C : ( T ( T 9; n 8 8 n Questo valore d temperatura del ettore è la soluzone del problema che stamo arontando. Inatt permette d soddsare l equazone del blanco d energa una volta che s calcola l coecente d convezone n corrspondenza della temperatura meda tra la temperatura del ettore e quella dell ara: ( t ( t t.5 C ( C 8 ara W 0.57 C h ( m K meda e s nsersce l valore d (T 8 69K nell espressone della equazone ( al posto d T : Q& entrante Q& uscente W 8 W [ m ] 6.79 ( [ K ] [ m ] ( [ ] K m K m K [ W ] 9.6[ ]; Q & entrante Q & uscente 9.6 W desso rmane da vercare la presenza del regme lamnare n corrspondenza delle condzon termodnamche relatve alla soluzone, al ne d gustcare la relazone che nel testo è stata assegnata per l calcolo del numero d Nusselt:

12 h l Nu 0.66Re ara 0.5 Pr 0. ( In corrspondenza della soluzone la temperatura meda d convezone vale t meda 0.57 C. Il calcolo del numero d Reynolds porge: Re μ l W 6 c 5 pμ ; Pr vento μ ara ρ ara Ns 5 5 (.88 C.7 0 ν (.88 C. 0, ρ(.88 C.06, m 6 Re l μ W c vento 5 p ; Pr 0.7 μ ara ρ ara m s kg m 6 S consder l recpente clndrco contenente 5 dm d acqua rappresentato n gura. Il motore elettrco d potenza0.5 kw azona l elca mmersa nel ludo varandone lo stato termodnamco. Consderando l recpente perettamente solato, qund trasormazone adabatca, calcolare quanto tempo deve unzonare l motore per generare una varazone d temperatura ΔT dell acqua par a 8 K. S consder per l acqua un calore specco a pressone costante par a c p [kcal/(kg K] SIST M otore elettrco S Dobbamo calcolare l tempo necessaro d unzonamento del motore anché l ludo, contenuto nel recpente adabatco, subsca l processo termodnamco, caratterzzato dall avere: a Gl stat nzale e nale ( ed ( sono stat d equlbro termodnamco; b volume specco nale ( v uguale a quello nzale ( v ; c temperatura nale ( t maggore d quella nzale( t d 8 C (t t 8 C. Per rsolvere l eserczo, dobbamo nnanztutto conoscere quanto lavoro d elca è necessaro per portare l sstema dallo stato nzale a quello nale. Calcolato questo lavoro, allora possamo calcolare quanto second deve unzonare l motore elettrco per erogare quel lavoro, sapendo che ogn secondo l motore ornsce 0.5 [kj]. Il prmo prncpo della termodnamca, medante la unzone d stato varazone d Energa Interna ΔU, c permette d quantcare le quanttà delle enttà d scambo (lavoro, calore, radazone, portata massca che devono entrare o abbandonare un sstema anché compa un determnato processo desderato. L nquadramento termodnamco del sstema c permette d dentcare qual sono le grandezze che prendono parte al processo e qual nvece possono essere escluse o trascurate. Partendo dalla condzone pù generale n cu l sstema è potenzalmente n grado d scambare quanttà orare d massa, d calore, d radazone e d lavoro per varazone d volume e d elca, con rspettv serbato d energa termca e d energa meccanca, Fgura, successvamente, tramte l applcazone delle speccazon presentate nel testo del problema, Fgura, s partcolarzza lo scenaro termodnamco e s gunge alla reale condzone n cu l sstema è adabatco al calore e alla radazone, è chuso allo scambo d massa, e può solo scambare lavoro d elca ne conront dell ambente crcostante, Fgura.

13 S.E.M. L Lavoro d elca S.E.M. L Lavoro d elca m portata massca SISTEM S.E.M. L Lavoro d varazone d volume m portata massca SISTEM S.E.M. L Lavoro d varazone d volume S.E.T. t m portata massca S.E.T. t m portata massca S.E.T. t radazone S.E.T. t radazone Fgura S.E.M. L Lavoro elca Fgura SISTEM DIBTICO Fgura Il prmo prncpo della termodnamca applcato al sstema nelle condzon pù general, no alla partcolarzzazone della gura, porge: ( U U ΔU Q LVolume Lelca dove ΔU ΔU sstema masse uscent masse entrant ( Δ ( U masse uscent U masse entrant Q LVolume Lelca U sstema ( sstema Δ U L ( elca Il sstema è costtuto da una massa d acqua costante che s mantene lquda per tutta la durata del processo. Il sstema è qund del tpo p,v,t, pertanto, n ragone del postulato d stato, l unco modo che ha d scambare lavoro quas statco, è quello che avvene per varazone d volume. Il lavoro che vene sommnstrato al sstema è un lavoro d elca, come ecacemente mostra la gura rportata nel testo dell eserczo. Esso non può qund essere un lavoro quas statco. C trovamo qund mpossbltat ad esprmere l lavoro d elca n unzone delle coordnate termodnamche nterne del sstema, come ad esempo è nvece possble per l lavoro d varazone d volume quas statco. L m p dv ; elca sst Questa mpossbltà veta d esprmere, e qund d quantcare, l lavoro necessaro alla realzzazone del processo desderato, a partre dalla evoluzone delle coordnate termodnamche del sstema. Potremmo allora segure la va del prmo prncpo, determnando la varazone d energa nterna del sstema ΔU sstema, relatva allo stato nzale e nale d equlbro termodnamco:

14 sstema ( t 8 C, v U ( t v Lelca Δ U U, Occorre allora conoscere la quanttà a prmo membro per sapere quanto lavoro d elca è necessaro sommnstrare al sstema. Potremmo conoscere l valore d tale varazone consultando le tabelle delle propretà dell acqua. In realtà però, a ben vedere, del sstema conoscamo solo che è n ase lquda e che deve esegure a volume specco costante un cambamento d temperatura par a 8 C. Quest dat non sono sucent per consultare le tabelle dell acqua. È necessaro conoscere gl stat assolut, nzale e nale, del sstema. Il testo dell eserczo non c ornsce dat necessar alla loro determnazone. Non potendo consultare le tabelle allora bsogna vercare l opportuntà d are rcorso a qualche espressone analtca approssmante le varazon dell energa nterna per l acqua n ase lquda. L acqua lquda non è un gas deale, per cu non possamo usare l espressone dell energa nterna d un g.. per calcolarc quella dell acqua lquda. In sostanza rsulta che: ( t C, v U ( t, v m c Δt ΔU sstema U 8 H O v. Il smbolo d cancellazone, n corrspondenza dell ultmo uguale, è dovuto al atto che l energa nterna dell acqua n ase lquda, così come dell entalpa, non dpende esclusvamente dalla Temperatura, come rsulta per l gas deale, ma dpende anche dalla pressone. La varazone d energa nterna n unzone delle coordnate termodnamche la dovremmo scrvere n una delle due seguent orme alternatve: U U du dθ dp ( θ p p U U du dθ dv; ( θ v v θ θ Per l acqua n ase lquda non samo autorzzat a porre uguale a zero second addend del secondo membro delle ( e (. Nella seconda parte del corso potremo constatare che l energa nterna dell acqua che s trova n un generco stato d equlbro nella ase lquda, alla temperatura θ, può essere approssmata all energa nterna relatva allo stato d equlbro n condzon d saturazone alla stessa temperatura θ. Pertanto la varazone d energa nterna corrspondente a due qualsas stat d equlbro nella ase lquda dell acqua, stat e, è approssmatvamente uguale alla varazone che avvene tra que due stat d equlbro post sulla curva d saturazone lquda, avent le medesme temperature de due stat n consderazone, stat termodnamc e, gura. In base a questo possamo scrvere: ( tnz 8 C, v U ( t, v U ( tnz 8 C U ( t sat. nz sat. Δ U sstema ΔU sstema U (5

15 Δ U ΔU Fgura. Dagramma d stato dell acqua nel pano pv

16 Se adesso consderamo un processo quas statco che c conduca dallo stato d saturazone no al n modo quas statco possamo scrvere: ΔU sstema U ( t (. lmn (. lmn 8 C U t Q L m c dt m p dv V c dt p dv nz nz H O sat H O ρ H O sat ρh O sat. sat. La varazone d volume specco lungo la curva d saturazone (curva lmte nerore è d enttà tale da rendere trascurable l termne relatvo al lavoro quas statco, rspetto al termne relatvo allo scambo d calore. ( t C U ( t Q V ΔU sstema U 8 ρ c dt nz sat. nz sat. H O sat. lm n Spermentalmente è possble vercare che l calore specco lungo la curva lmte nerore è d poco superore al calore specco a volume costante, mentre è leggermente nerore a quello a pressone costante. c ( p t c ( p, t c ( p t v, sat. lm. n p, (6; In prma approssmazone è allora possble sostture l calore specco calcolato lungo la curva lmte nerore, c sat. lm. n, con l calore specco a pressone costante c p ΔU ( t C U ( t Q V sstema U nz. nz ρ sat sat. H O 8 c dt p Per pccole varazon d temperatura lungo la curva d saturazone e lontano dalla temperatura crtca l c p non è ma nerore a.8 [kj/kg C] e ma superore a.6 [kj/kg C] (no a 0 [ C] e 0 [bar]. Per un calcolo d prma approssmazone possamo allora consderare costante l valore del calore specco. ttolo d esempo consderamo un valore par a.k[j/kg C]. Stesso ragonamento gustcato, n orza de dat spermental, lo possamo condurre per la denstà dell acqua, ρ ho. Non avendo specche ndcazon, consderamo un valore standard per la denstà dell acqua nella ase lquda par a 000kg/m. kg kj ΔUsstema U tnz 8 sat nz sat H O p H O p 58.. m kg C ( C U( t Q V ρ c dt V ρ c dt 0.05[ m ] [ C] [ kj] seguto d queste consderazon possamo concludere che la varazone d energa nterna, così come quella dell entalpa, n prma approssmazone può essere espressa medante una unzone analtca delle coordnate termodnamche: ΔU sstema V ρ c dt H O p laddove voglamo tenere conto della varabltà della denstà e del calore specco n unzone della temperatura; ΔU sstema H O p V ρ c Δt laddove possamo rtenere trascurabl le varazon della denstà e del calore specco lungo l ntervallo d temperature abbraccato da Δt. Rconsderando l equazone ( d prmo prncpo sstema Δ U L ( elca possamo allora conoscere la quanttà d lavoro, necessara al sstema, per la realzzazone del processo termodnamco. [ kj ] Δ U sstema L 00 ; elca La conoscenza d questa dose d kj d lavoro c permetterà d valutare quanto tempo τ dovrà unzonare l motore elettrco per poter sommnstrare al sstema 58 [kj]. Inatt vsto che la potenza del motore elettrco è d

17 0.5 [kw], allora sgnca che, per ogn secondo d unzonamento, l motore è n grado d esegure 0.5kJ. l sstema termodnamco gl occorrono 58 [kj], allora l tempo τ d unzonamento s ra dalla seguente ormula: P [ kj ] Lelca 58 τ Lelca τ 086[] s [] h ; P kj mot. elettr. 0.5 s mot. elettr. llo stesso rsultato c saremmo potut arrvare seguendo una seconda va, molto pù breve. Partamo dalla equazone ( d prmo prncpo. sstema Δ U L ( elca Questa equazone è la ormulazone matematca del prmo prncpo, applcato al partcolare caso proposto nell eserczo. La varazone d energa nterna del processo termodnamco s vuole che sa causata da una sommnstrazone d lavoro d elca, gura 5. La unzone varazone d energa nterna è una unzone d stato, l suo valore non dpende dal partcolare percorso che vene ntrapreso per portare l sstema dallo stato nzale no allo stato nale. Nulla veta d potzzare un processo termodnamco, alternatvo a quello proposto dall eserczo, che a partre dal medesmo stato nzale, conduca l sstema allo stesso stato nale, causando la medesma varazone d energa nterna. llora l processo alternatvo che può convenentemente essere mmagnato è quello che avvene ornendo calore n modo quas statco, a volume specco costante, puttosto che l lavoro d elca, no a raggungere una varazone d temperatura par a 8 C, gura 6. La varazone d energa nterna del processo alternatvo potzzato ha l medesmo valore numerco della varazone d energa nterna del processo orgnale ndcato nell eserczo. Questa sosttuzone del processo eseguto con l calore e non con l lavoro è legttmata dal atto che l prmo prncpo oltre a stture la unzone energa nterna ha stablto anche l equvalenza del calore n lavoro per l tramte dell energa nterna. Qund anche l calore come l lavoro, quando entra ne corp determna nel corpo una nuova potenzaltà d essere convertto n lavoro coè determna una varazone dell energa nterna del corpo. S.E.M. L Lavoro elca SISTEM DIBTICO (tranne l ondo SISTEM DIBTICO S.E.T. t Fgura 5 Fgura 6 La scelta d un percorso potetco quas statco alternatvo è legata al atto che l processo orgnale non quas statco non permette d esprmere e qund d calcolare la quanttà d lavoro sommnstrata al sstema a partre dalla dnamca d evoluzone assunta dalle coordnate termodnamche, durante la sommnstrazone del lavoro. In altr termn non è possble scrvere la seguente eguaglanza:

18 ( p, v t L elca F dl Fnt, dl dove F è la orza che l ambente crcostante esercta su punt materal del sstema e F nt è la orza che l resto del sstema esercta su que punt del sstema n corrspondenza de qual nsstono anche le orze dell ambente crcostante, gura 7. Fgura 7 L mpossbltà è dovuta al atto che, durante l processo non quas statco, l sstema evolve passando per stat che non sono d quas equlbro termodnamco, e qund non s resce a descrvere l sstema medante le sue coordnate termodnamche p,v,θ, durante l suo tragtto termodnamco. Per questo motvo s scegle un percorso alternatvo, ntrappolato tra medesm stat nzale e nale, che sa quas statco. La quas statctà c permette d calcolare le enttà d scambo (calore lavoro, ecc, tra ambente crcostante locale e sstema, a partre dal percorso traccato dalle coordnate termodnamche nterne del sstema. Il percorso alternatvo quas statco è quello con solo scambo d calore a volume specco costante no a raggungere una varazone d temperatura d 8 C. Il processo per essere quas statco operatvamente deve e può essere realzzato solo medante una battera d serbato d calore che sono n grado d sommnstrare calore con contnutà a temperatura sempre pù crescente no a realzzare un aumento d 8 C, gura (8. Inatt se nvece dsponessmo d un solo serbatoo avente drettamente una temperatura maggore d 8 C d quella posseduta dal sstema nelle condzon nzal, non saremmo n grado d realzzare un processo quas statco, n quanto l calore verrebbe scambato n condzon d uno squlbro termco nto. SISTEM DIBTICO (tranne l ondo (t SISTEM DIBTICO (tranne l ondo (t dt SISTEM DIBTICO (tranne l ondo (t dt SISTEM DIBTICO (tranne l ondo (t dt SISTEM DIBTICO (tranne l ondo (t 8 C dt S.E.T. t dt S.E.T. (t dt S.E.T. (t dt S.E.T. (t dt S.E.T. (t 8 C

19 Fgura (8 battera d SET a temperatura crescente per realzzare uno scambo d calore n condzon d quas equlbro, no a raggungere un ncremento d temperatura par a 8 C. SISTEM DIBTICO (tranne l ondo (t S.E.T. ( Fgura 9. Il sstema raggunge dopo un certo ntervallo d tempo un ncremento d temperatura d 8 C rspetto a quella posseduta all nzo, ma l processo non è quas statco Δ U sstema quas statco Q Essendo un percorso quas statco posso allora esprmere la dose d calore ornta al sstema n questo modo: Q V ρ c dt ; percò: Δ v U sstema V ρ cv dt (7; quas statco nche nel percorso quas statco possamo adottare le medesme approssmazon che abbamo segnalato nel prmo metodo d rsoluzone, per quanto rguarda l calore specco e la denstà dell acqua. nalzzando la equazone (6 possamo sostture nella (7 l c v con l c p e po possamo consderare sa la denstà ρ, sa l calore specco c p, costant durante l processo, e par rspettvamente a 000 [kg/m ] e. [kj/kg C]. [ kj ] ΔU sstema V ρ cp dt 58 ; quas statco La varazone d energa nterna provocata dal processo quas statco concde con quella del processo orgnale che a sua volta è uguale al lavoro d elca d cu voglamo conoscere l valore numerco. [ kj ] ΔU L L [ kj ] sstema sstema elca elca 58 quas statco Δ U 00 ; La conoscenza d questa dose d kj d lavoro c permetterà d valutare quanto tempo τ dovrà unzonare l motore elettrco per poter sommnstrare al sstema 58 [kj]. Inatt vsto che la potenza del motore elettrco è d 0.5 [kw], allora sgnca che, per ogn secondo d unzonamento, l motore è n grado d esegure 0.5kJ. l sstema termodnamco gl occorrono 58 [kj], allora l tempo τ d unzonamento s ra dalla seguente ormula: P [ kj ] Lelca 58 τ Lelca τ 086[] s [] h ; P kj mot. elettr. 0.5 s mot. elettr.

20 6 In un recpente a volume costante ndeormable con volume V0.m è racchusa ara a 0ata e 9 K. L ara con una trasormazone sovolumca passa da 9K a 500K. S determnno: a le condzon nal del sstema; b l calore scambato; c la varazone d energa nterna; la varazon d entalpa. Nel caso n cu la trasormazone non sa pù sovolumca, rpetere calcol per un processo adabatco reversble. Process termodnamc sovolumco e adabatco del gas deale tra le soterme d 9.5K e 500K. L eserczo come prma domanda rchede d determnare le condzon nal del sstema. Il sstema termodnamco è chuso ed è costtuto da una mscela omogenea d gas. È un sstema semplce descrtto dalle coordnate p,v,t. Per conoscere termodnamcamente lo stato del sstema bsogna conoscere l valore delle tre coordnate termodnamche. lla determnazone dello stato nale del sstema manca la conoscenza della pressone nale. Nell potes, perettamente accettable, d poter consderare l ara a comportamento deale, nelle condzon d pressone d 0 ata e 9K, possamo allora determnare la massa d gas, contenuta n quel decmo d metro cubo d volume, medante l equazone d stato de gas deal, a partre dalle condzon nzal. ( N m ( 0.m pnzv pnzv mararpartϑ nz mara. [ kg] ; R ϑ part nz ( 86,65 J kgk ( 9K S rcorda che ata è un atmosera tecnca assoluta e che un atmosera tecnca è par a 98*0 [N/m ]. La costante partcolare dell ara è par a RRpart 86.65J/kgK. La conoscenza della massa d gas c permette d determnare la pressone nale del gas a seguto del rscaldamento sovolumco e l volume specco del sstema. Sempre medante l equazone d stato possamo scrvere:

21 p nale (.kg ( J kgk( 500K mara Rpart ϑ nale V m R p N ara partϑ nale nale V ( 0.m m v nz v nale V m ara 0.m m 0.0.kg kg Per calcolare la varazone d energa nterna che subsce l ara possamo usare l espressone della varazone dell energa nterna d un gas deale pù che peretto. ( ϑ ( ϑ ϑ m c ( ϑ.kg 78 J ( 500K 9K J ΔU mara cv ara v ϑ 80 kgk Pr ocesso Isovolumco S rcord che l calore specco a volume costante s può rare dalla relazone valda per gas deal secondo cu c p c v R part. Rcordando che l calore specco a pressone costante è par a 0.kcal/kgK, cu corrspondono 000J/kgK, e la costante partcolare del gas ara è par a J/kgK, possamo scrvere: c J J p cv R part cv kgk kgk J kgk Questo valore d varazone d energa nterna c ornsce anche l valore del calore scambato, n quanto n base al prmo prncpo per process quas statc possamo scrvere U Q pdv 80J Pr ocesso Isovolumco Δ ma poché l processo è a volume costante ed è quas statco allora è anche a volume specco costante pertanto dv0; pertanto: Δ U Q 80J 866cal Pr ocesso Isovolu La varazone d entalpa la s può valutare a partre dall potes d gas a comportamento deale pù che peretto, propro come è stato atto per l energa nterna: ( ϑ dϑ m c ( ϑ.kg 000 J ( 500K 9K J ΔH mara c p ara p ϑ 0780 kgk Pr ocesso Isovolumco desso supponamo d esegure l processo n modo adabatco quas statco. Lo stato nzale è lo stesso d quello sovolumco. Però lo stato nale è dverso, l sstema deve sempre approdare ad uno stato n cu la temperatura è par a 500K. Per determnare esaurentemente lo stato termodnamco (c mancano pressone e volume specco dobbamo utlzzare l equazone d processo dell adabatca quas statca e de gas deal n corrspondenza dello stato nale. γ pv cost p v p v ; γ γ p v R ara ϑ Sosttuendo nell equazone dell adabatca l espressone della p rata dalla equazone de gas deal, ottenamo: v c p c p v v Raraϑ c p c v N 0.0m m kg J 500K kgk m 0.0 ; kg p Raraθ v J kgk 0.0m kg ( 500K 5 N 0 0 m

22 I valor della varazone dell energa nterna e dell entalpa del processo adabatco sono ugual a quell del processo sovolumco, n quanto anche l processo adabatco è ntrappolato sulle medesme soterme del processo sovolumco e l energa nterna come l entalpa del gas deale dpendono solo dalla temperatura del gas. ( ϑ dϑ m ( ϑ J ΔU Ladabatco mara cv ara ϑ 80 Pr ocesso dabatco ( ϑ ( ϑ ϑ m c ( ϑ J ΔH mara c p ara p ϑ 0780 Pr ocesso dabatco