= = stimatori degli indici statistici di variabilità. Definizione della varianza campionaria. Definizione dello scarto quadratico medio.

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1 regressoe- M. Maravalle dell'aqula - A.A. 3-'4 Uverstà scarto stadard devazoe stadard stmator degl dc statstc d varabltà varaza σ scarto quadratco medo rage {ma-m} σ Defzoe della varaza campoara,..., σ - Defzoe dello scarto quadratco medo σ,..., ( ) -

2 regressoe- M. Maravalle dell'aqula - A.A. 3-'4 Uverstà pccola ota per l calcolo veloce della varaza (o. dello scarto quadratco medo!) σ,..., Forma d ua dstrbuzoe d frequeza* asmmetra (skewess) curtos (apputmeto) * rspetto alla forma della ormale ASIMMETRIA (per dstrbuzo umodal) coda verso destra Asmmetra postva Asmmetra egatva Moda<Medaa<Meda Meda<Medaa<Moda coda verso sstra 6

3 regressoe- M. Maravalle dell'aqula - A.A. 3-'4 Uverstà Idce d Fsher l dce d asmmetra γ ( ) 3 σ 3 Idce d Fsher corretto ( ) γ 3 ( )( ) σ 3 quello usato pratca, ache e software statstc Idce d Fsher γ l dce d curtos 4 3 σ ( + ) γ ( )( )( 3) 4 ( ) 3 σ ( )( 3) Idce d Fsher corretto quello usato pratca, ache e software statstc 8 Dstrbuzo statstche doppe Rcerca d relazo tpo causa-effetto, per terpretare, prevedere, smulare e cotrollare feome real basados sul cotemporaeo presetars d modaltà sulla specfca utà statstca.

4 regressoe- M. Maravalle dell'aqula - A.A. 3-'4 Uverstà LA CORRELAZIONE L dce d correlazoe leare d Pearso - ( µ )( µ ) X Y ρ XY σxσy covaraza σxy σ σ X Y pccola ota per l calcolo veloce d ρ XY ρ XY,..., ( ( ) σ ) X σ Y L dce d correlazoe leare d Pearso ρxy ρyx e ρxy + ρ XY ± Y ± X se X ed Y soo dpedet allora ρ XY ma o è vero l vceversa; e coè se ρ XY X ed Y o soo ecessaramete dpedet!

5 regressoe- M. Maravalle dell'aqula - A.A. 3-'4 Uverstà La correlazoe spura!!! Il prezzo de cavol d Bruelles vedut a Lodra e la corrspodete altezza del Tamg msurate successoe orara evdeza ua fortssma correlazoe.? Il cosumo d tabacco dal 88 al 97 e la vta meda alla ascta della popolazoe talaa rferta agl 8 cesmet, mostrao ua correlazoe d.87! Come dre l cosumo d tabacco ha favorto l allugameto della vta meda.(sc!) Legam.spur!!! Ua veccha dage (a 5!) svolta egl USA su u campoe d doe evdezò u forte legame postvo tra l portare le calze d seta ed avere ua cacro a polmo! Poché certamete o erao le calze d seta a durre l cacro la realtà era che queste erao abbate ad u comportameto socale che vedeva ache la sgaretta come elemeto dsttvo. Ecco duque l legame cacro a polmo-sgarette è medato da u fattore, le calze d seta, estraeo alla relazoe d casualtà. atcpazoe! quado è sgfcatvo l coeffcete d correlazoe? 5

6 regressoe- M. Maravalle dell'aqula - A.A. 3-'4 Uverstà sgfcatvtà d ρ ache per l ρ bsoga verfcare la sua sgfcatvtà attraverso u test (che per ora e damo solo tutvamete l seso) che dce se l valore calcolato è sgfcatvamete dverso da zero se : t ρ ( ) ( ρ ) t > geerale va bee, ma per essere veramete precs s vedrà pù avat ella parte de test!!! 6 sulla regressoe semplce e multpla 7 costo/km Cet d ( 3 a e 45 km) gudzo 4-ruote rs molto sopra la meda sopra la meda ella meda del segm eto sotto la meda 3 prezzo 8

7 regressoe- M. Maravalle dell'aqula - A.A. 3-'4 Uverstà 7 costo/km Cet d ( 3 a e 45 km) gudzo 4-ruote rs molto sopra la meda sopra la meda ella meda del segm eto sotto la meda lea d adattameto 3 prezzo accelerazoe (-km/h) sec gudzo 4-ruote rs molto sopra la meda sopra la meda ella meda del segm eto sotto la meda lea d adattameto 4 cldrata matrce (smmetrca) delle correlazo prezzo costo/km Cet d cldrata poteza ma KW Correlazo costo/km Cet d ( accelerazoe 3 a e poteza gr al m (-km/h) cosumo 45 km) cldratama KWpoteza ma sec. msto prezzo gr al m poteza ma accelerazoe (-km/h) cosumo msto sec

8 regressoe- M. Maravalle dell'aqula - A.A. 3-'4 Uverstà Il modello d regressoe leare semplce solo alcue mportat cosderazo!!!! la correlazoe è l prmo passo verso la costruzoe d u modello statstco altre parole s costrusce u modello se.e vale la pea! coè se la correlazoe è abbastaza grade ( valore assoluto), coè se è sgfcatvamete dversa da! l pù semplce modello statstco fra due varabl è quello leare varable dpedete + Coeffcet costat varable dpedete

9 regressoe- M. Maravalle dell'aqula - A.A. 3-'4 Uverstà come s chama questo modello? è dcato geerale come l modello d: regressoe leare semplce attezoe!! l ruolo d varable dpedete ed dpedete o è smmetrco! oltre, fermo restado che l aggettvo dpedete ulla ha a che fare co l cocetto d dpedeza statstca, alla vee attrbuto l ruolo d varable da stmare, prevedere ecc., rcooscedo alla l ruolo d varable pù facle da trovare oppure quella d cu s cooscoo valor metre della o! come s...costrusce u modello d regressoe leare semplce? s parte da u campoe d osservazo: ( ; );,, s stmao coeffcet e medate dat osservat s valuta po globalmete la botà del modello term d capactà esplcatva 7

10 regressoe- M. Maravalle dell'aqula - A.A. 3-'4 Uverstà quale tecca s adotta per stmare parametr del modello d regressoe? la tecca è quella che va sotto l ome de mm quadrat (LS Least Squares) (dovuta al solto K. F. Gauss!) mm quadrat tecca o parametrca: o s fa alcua potes sulla atura probablstca delle varabl casual X e/o Y attezoe!! a partre da dat ed al problema attrburemo l ruolo d varable dpedete al prezzo e quello d varable dpedete al costoakm! fare l vceversa è sbaglato cocettualmete e porta a rsultat umercamete dvers!!

11 regressoe- M. Maravalle dell'aqula - A.A. 3-'4 Uverstà 7 costo/km Cet d ( 3 a e 45 km) prezzo 3 fra le fte rette del pao quale s scegle? s prede quella che mmzza la somma del quadrato degl scart (o error )! trae cas lmte questa retta è uca! costo/km Cet d ( 3 a e 45 km) ε ˆ scart o error ˆ + ε ε,..., 3 m. prezzo 33

12 regressoe- M. Maravalle Uverstà dell'aqula - A.A. 3-'4 l calcolo de coeffcet avvee tramte le relazo seguet: ( ) ( ),...,,...,,..., m ˆ m m Q ε relazoe cu soo cogt solo e l calcolo de coeffcet avvee tramte le relazo seguet: ) ( ) (,...,,..., Q Q l valore mmo s ottee aullao le due dervate che forscoo così u sstema d due equazo due cogte! sstema la cu soluzoe forsce seguet valor calcolabl a partre da dat zal ( )( ) ( ),...,,..., meda delle meda delle la retta d regressoe passa per l barcetro!

13 regressoe- M. Maravalle dell'aqula - A.A. 3-'4 Uverstà costoakm prezzo costo/km Cet d ( 3 a e 45 km) la retta d regressoe passa per l barcetro! prezzo ε ε prezzo -prezzo (stmato) prezzo 3 prezzo costoakm costo/km Cet d ( 3 a e 45 km) 38 le due rette d regressoe possbl! costo al Km cet regressoe stadard regressoe versa prezzo 39

14 regressoe- M. Maravalle dell'aqula - A.A. 3-'4 Uverstà I legam tra regressoe e l dce d correlazoe ρ R ρ da cu R Idce d botà d adattameto, dcato ache come Rsq σ ρ σ 4 I legam tra regressoe e l dce d botà d adattameto Dev( ) Dev( ˆ) Dev( eˆ),...,,...,,..., ( ) ( ˆ ) Devaza totale Devaza spegata ( ˆ ) Devaza resdua Dev()Dev()+Dev(e) 4 I legam tra regressoe e l dce d botà d adattameto devaza spegata R Dev( ˆ) Dev( ),...,,..., ( ˆ ( ) ) devaza totale 4

15 regressoe- M. Maravalle dell'aqula - A.A. 3-'4 Uverstà I legam tra regressoe e l dce d botà d adattameto devaza resdua R Dev( eˆ) Dev( ),...,,..., ( ( eˆ ) ) devaza totale 43 A cosa serve u modello statstco? permette d descrvere permette d terpretare permette d fare prevso permette d smulare permette d rcostrure dat macat 44 Come s usa u modello d regressoe semplce prevsoe? Nel caso d prezzo-costoakm se ho u auto l cu prezzo è 6678 e posso stmare l costo al Km usado coeffcet del modello : costoakm prezzo che m forrao l valore d 43.8 cetesm

16 regressoe- M. Maravalle dell'aqula - A.A. 3-'4 Uverstà modello poteza(kw) acc (sec) (dat 4) 47 TS JTD 5p T.S. P JTD P A Top A TDI Top A3 Attract Yars 5p Yars D-4D Lupo T-Ar Lupo SDI Polo Comfo Polo TDI Grafco cartesao d poteza ma accelerazoe poteza acc ρ XY R.673 poteza ma KW 6 4 almetazoe gasolo beza Total Populato accelerazoe (-km/h) sec. Grafco cartesao d poteza ma accelerazoe poteza acc acc R compoete quadratca poteza ma KW 6 4 almetazoe gasolo beza Total Populato accelerazoe (-km/h) sec.

17 regressoe- M. Maravalle dell'aqula - A.A. 3-'4 Uverstà Come s usa u modello d regressoe La varable costo al km ha u dato macate, s tratta probablmete d u auto recete. Come s può stmare questo dato medate le altre formazo ote? La rsposta sta propro el modello d regressoe! Come s usa u modello d regressoe Il modo pù semplce è quello d utlzzare la varable pù correlata per costrure u modello d regressoe leare semplce. costo al km prezzo 5 7 costo al km prezzo costo/km Cet d ( 3 a e 45 km) almetazoe gasolo beza Total Populato 3 prezzo 5

18 regressoe- M. Maravalle dell'aqula - A.A. 3-'4 Uverstà Come s usa u modello d regressoe E possble mglorare questo rsultato utlzzado le altre formazo per stmare questo dato? La rsposta è acora sì e sta propro el modello d regressoe multpla che è.u po pù complesso! Modello d regressoe multpla prma varable secoda varable coeffcet costat Come s usa u modello d regressoe multpla? Qu etrao goco moder software che offroo u ampa gamma d programm pratcamete tutt ugual per fortua! Il ostro ha stmato l seguete modello: costo/km prezzo cos. msto +.3 cldrata 54

19 regressoe- M. Maravalle dell'aqula - A.A. 3-'4 Uverstà le caratterstche d u modello d regressoe multpla sgfcatvtà de coeffcet botà del modello Rsq l coeffcete Rsq ed l Rsq corretto l prcpo d parsmoa 55 Rsq corretto Rsq Allo scopo d far dmure l valore dell dce Rsq d ua quattà che dvet trascurable se l rapporto tra umero d varabl esplcatve (p) ed l umero d osservazo () è pccolo, Thel trodusse, el 96, la seguete correzoe: Rsq Rsq p( Rsq) p 56 modello d regressoe solo per auto a beza 7 costo/km Cet d ( 3 a e 45 km) costoakm *prezzo ρ.983 R prezzo 57

20 regressoe- M. Maravalle dell'aqula - A.A. 3-'4 Uverstà modello d regressoe solo per auto a gasolo 7 costo/km Cet d ( 3 a e 45 km) costoakm prezzo ρ.968 R prezzo 58 7 costo/km Cet d ( 3 a e 45 km) almetazoe gasolo beza 3 prezzo 59 Modello d regressoe co varabl dumm (bara) varable dpedete varable dumm + + δ coeffcet costat

21 regressoe- M. Maravalle dell'aqula - A.A. 3-'4 Uverstà Come s usa u modello d regressoe dumm? Il ostro software ha stmato l seguete modello: costo/km prezzo -5.9 δ (varable dumm - almetazoe) 6 atcpazoe! quado soo sgfcatv coeffcet della regressoe? 6 test t (d Studet) d sgfcatvtà de parametr col metodo de LS s stmao sempre valor d e d! ma soo sgfcatv? coè soo sgfcatvamete dvers da zero? ella teora de test - che s farà ella II parte del corso - s vedrà che soo buo quado l rapporto t è, modulo,!!! σ 63

22 regressoe- M. Maravalle dell'aqula - A.A. 3-'4 Uverstà test t (d Studet) d sgfcatvtà de parametr l calcolo de σ de parametr è defto dalle seguet relazo (corrette): σ σ ρ Y X, Y σ X [ ] s R σy ρ X, Y ( )( ρ ) σ ( ) X, Y σ + σ Y s R è chamato errore stadard d regressoe 64 I parametr co l corrspodete t < s tederà ad elmarl...ache per l prcpo d parsmoa! ma attezoe, quello o elmato bsogerà calcolarlo d uovo!!!!!

23 regressoe- M. Maravalle dell'aqula - A.A. 3-'4 Uverstà r - calcolo d ell' potes d,...,,..., 67 R calcolato tramte software Attezoe a software statstc el calcolo dell R quado s elma l tercetta! (terme oto ). I quest cas l R calcolato o è equparable o cofrotable a valor precedet cu c era l terme oto è, geerale, quas prvo d sgfcato! 68 R calcolato tramte software u esempo prededo dat dell esame del -7-6 reddto spesa

24 regressoe- M. Maravalle dell'aqula - A.A. 3-'4 Uverstà R calcolato tramte software u esempo s rcava la seguete statstca per l modello d regressoe leare semplce: R.63 co co t t ~ R m R eˆ,..., eˆ,..., dove: R è l dce relatvo al modello co l tercetta,..., eˆ eˆ,..., è la devaza resdua del modello co l' tercetta è la devaza resdua el modello seza tercetta 7 u dce d botà cofrotable el modello seza tercetta ( ) ~ R dp,..., ( eˆ ) ( ),..., 7

25 regressoe- M. Maravalle dell'aqula - A.A. 3-'4 Uverstà R calcolato va software u esempo escludedo l terme oto, le uove stme forscoo seguet valor:. 6 co t R ~ R dp mm valore pù realstco cosderado che quello zale valeva eserctazoe dat seguet valor d peso ed altezza d u campoe rappresetatvo d ua certa popolazoe quale sarà, presumblmete, l altezza d ua persoa che pesa Kg.? alcu dat del problema per semplfcare calcol: σ peso 8.73 σ altezza 7.6 ρ peso,altezza PESO ALTEZZA

26 regressoe- M. Maravalle dell'aqula - A.A. 3-'4 Uverstà ALTEZZA PESO 76 le due rette d regressoe possbl! 9 dvers valor co le due regresso! 8 7 regressoe sbaglata! ormale regressoe versa corretta 77 PESO ALTEZZA Vald (lstwse) Statstche descrttve Devazoe N Meda std stma corretta!!!! ˆ Modello Coeffcet a (Costate) PESO Coeffce t o stadard B a. Varable dpedete: ALTEZZA Modello Replogo del modello b R-quadrato R R-quadrato corretto.735 a a. Stmator: (Costate), PESO b. Varable dpedete: ALTEZZA 78

27 regressoe- M. Maravalle dell'aqula - A.A. 3-'4 Uverstà stma o corretta!!!! Modello Coeffcet a (Costate) ALTEZZA Coeffce t o stadard B Replogo del modello b a. Varable dpedete: PESO ˆ.89 Modello R-quadrato R R-quadrato corretto.735 a a. Stmator: (Costate), PESO b. Varable dpedete: ALTEZZA 79 vertedo l ruolo d varable dpedete co quello della varable dpedete l errore umerco sarà tato maggore quato pù basso è l valore della correlazoe! al lmte, se la correlazoe fosse, o s commetterebbe u errore dal puto d vsta umerco ma resterebbe solo quello d mpostazoe del problema (certamete l pù grave!) THE END