Cubiche e quartiche luoghi geometrici di punti del piano (parte I) Elena Stante

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1 Cubiche e qurtiche luoghi geometrici di punti del pino (prte I) Elen Stnte L strofoide rett In un riferimento crtesino O si A ( h, 0) un punto generico dell sse Dett s l rett condott per il punto A prllel ll sse ed r un rett generic uscente dll origine O, il luogo descritto di punti d intersezione dell circonferenz C di centro Q e rggio QA con l rett r, l vrire di quest, è un strofoide Trccimo l curv in mnier dinmic, utilizzndo il softwre pplictivo Cbri Géomètre : ISTRUZIONI CABRI Mostr gli ssi Trcci un punto A sull sse Trcci l rett s per A perpendicolre ll sse Trcci un rett generic r per l origine O Punto Q intersezione tr le rette r ed s Trcci l circonferenz di centro Q e rggio QA Punti P e P intersezioni dell circonferenz con l rett r Per trccire il luogo descritto d P e P l vrire dell rett r per O : Strumento Trcci : indic i punti P e P e trscin l rett r nel pino ( oppure doper lo strumento Animzione ) EQUAZIONI DELLA CURVA Per determinre l equzione crtesin dell curv, essendo A (h, 0) il punto dell sse, l equzione dell rett s per A prllel ll sse è l seguente : s : h

2 Il punto Q, intersezione dell rett s con un rett generic uscente dll origine O del riferimento, h coordinte soluzioni del sistem Essendo equzione : h,ovvero Q ( h, mh ) m OA mh il rggio dell circonferenz C e Q il suo centro, ess h Q ( h ) ( mh ) m h L eliminzione del prmetro m, coefficiente ngolre dell rett r, dlle due equzioni dell circonferenz e dell rett r stess, port ll equzione crtesin dell strofoide : ( )( h ) h 0 L equzione polre di quest strofoide si determin semplicemente Se l origine O è il polo e l sse l sse polre risult : OP OQ QP OQ QA ed essendo OQ h, QA htg nel tringolo rettngolo OAQ, si h : d cui : h htg Per h = 1 quest equzione divent : ( 1 sin ) h 1 sin Procedendo in mnier nlog per il punto P si h : OP ' OQ QP Dlle relzioni sin, sostituendo t ottenimo le equzioni prmetriche dell strofoide : 1 sin 1 sin e ponendo t t 1 1 t t ( t t 1) (1 t ), essendo tg L cissoide Come l concoide, nche l cissoide, il cui nome signific eder, ebbe popolrità nel 600 Ess si truisce in generle prtendo d due curve qulsisi S ed S e d un punto fisso A Q A Q S S

3 Se Q e Q sono due punti in cui un rett per A tgli S ed S, si trcci sull rett il punto P tle che si AP = QQ Il luogo dei punti P è l cissoide di S ed S rispetto l punto A L cissoide di Diocle E l cissoide che h come curve bse un circonferenz ed un su tngente e come punto fisso l estremo del dimetro dell circonferenz nel punto di tngenz Quest curv si può determinre come luogo geometrico nell mnier seguente Si AB un dimetro di un circonferenz e t l tngente d ess nell estremo B Condott dll estremo A un semirett qulunque e detti M ed N i punti d intersezione rispettivmente con l circonferenz e con l tngente, si AP il segmento su tle semirett di misur ugule d MN Al vrire dell semirett uscente dl punto A, il punto P descrive l cissoide di Diocle Per trccire l curv utilizzimo il Cbri Gèométre ISTRUZIONI CABRI Mostr gli ssi Trcci un punto (A) sull sse Punto medio del segmento OA Trcci l circonferenz di dimetro OA

4 Rett tngente (t ) ll circonferenz nel punto A ( perpendicolre in A ll sse )Semirett uscente d O Punti intersezione tr semirett e circonferenz (M) e tr semirett e rett t ( N ) Strumento Distnz e Lunghezz: misur il segmento MN Strumento Trsporto di misur : indic nell ordine l semirett OM, l misur di MN ed il punto O Individu il punto P ottenuto sull semirett Per disegnre il luogo descritto d P l vrire dell semirett: Strumento Trcci: indic il punto P e trscin l semirett nel pino (oppure muovi l semirett con lo strumento Animzione) EQUAZIONI DELLA CURVA Per determinre l equzione dell cissoide di Diocle in coordinte polri, ssunto il punto O come polo e il dimetro OA = come sse polre, essendo OP = ρ e POA = φ, dll figur notimo che : ρ = OP = MN = ON - OM OM, per- Di tringoli rettngoli OAN ed OMA si h : tnto : OA ON e ON OM sin

5 ovvero sin Essendo r e sin tn si può scrivere : r tn sin (*) che è l equzione dell cissoide di Diocle in coordinte polri Determinimo or l equzione crtesin dell cissoide di Diocle Essendo e tn nonché ll equzione crtesin per sostituzione nell (*) : d qui si h : r ( ) r che è ppunto l equzione crtesin dell curv sin, si può pssre L cubic duplictrice di Longchmps Definimo quest curv come un luogo geometrico Sono dte due rette r ed s ortogonli fr loro, e sull rett r è dto il punto O Si OPA un tringolo rettngolo in A, con A sull rett r, tle che il piede H dell ltezz reltiv ll ipotenus gicci su s L curv descritt dl punto P l vrire del tringolo OPA è l cubic duplictrice di Longchmps Per trccire, in mnier dinmic, il grfico di quest curv utilizzimo Cbri Géomètre, individundo le due rette ortogonli r ed s nell sse ed in un rett generic prllel ll sse rispettivmente ; il punto O coincide con l origine O del riferimento crtesino ISTRUZIONI CABRI Mostr gli ssi Trcci rett per un punto qulunque B dell sse un rett prllel ll sse ( s ) Trcci rett generic (r) uscente d O Punto intersezione delle rette r ed s ( H ) Rett per H perpendicolre d OH (p) Punto intersezione ( A) dell rett p con l sse Rett per A prllel ll sse (q) Punto intersezione ( P ) dell rett q con l rett p Per disegnre il luogo descritto d P l vrire dell rett p

6 Strumento trcci: indic il punto P e muovi l rett vrindo l ngolo AOP tr 90 e 90 EQUAZIONI DELLA CURVA Determinimo l equzione crtesin dell curv, essendo B (, 0 ) e P (, ) Dll similitudine dei tringoli OBH e OAP segue che OB : BH = OA : AP Nel tringolo OHA, per il secondo teorem di Euclide si h : BH OB BA quindi l proporzione si scrive : : : d cui ( ) e, qudrndo : ( ) 0 ottenimo l equzione crtesin dell cubic L equzione polre dell curv possimo ricvrl fissndo il riferimento con il polo in O, OB = tnte, POA = ed OP = Osservto che, nel tringolo OBH risult BH OH tn Mentre nel tringolo AOH è : AH OH tn sin E nel tringolo PAH bbimo : Essendo OP = PH + OH si h : PH AH tn sin

7 OP sin sin perciò : Se ponimo tn (*) equzione polre dell cubic t, dlle note relzioni sin (*) ottenimo le equzioni prmetriche dell curv : e dll equzione polre sin 1 t t tn t 1 t L versier di Getn Agnesi Il grnde contributo di Mri Getn Agnesi ll mtemtic è stto quello di ver riunito i lvori di vri mtemtici in mnier molto sistemtic con interpretzioni proprie L Agnesi h legto il suo nome ll curv chimt versier ( presente nel suo trttto del 1748 ), già scopert precedentemente d Guido Grndi Grndi l'vev chimt curv con seno verso (sinus versus) che può essere trdotto come inverso del seno m nche contrrio, nemico Di qui il nome di versier, "vversri", che viene di solito ttribuito lle streghe Inftti l curv per gli inglesi è not come witch of Agnesi (streg di Agnesi) L versier si può definire un luogo geometrico di punti ì come segue Si consideri in un pino crtesino un circonferenz di rggio, centro sull'sse e tngente ll'sse nell'origine O ( che è il punto A nell truzione con Cbri) Si r: =m un rett del fscio di centro O, E il punto d intersezione dell rett con l circonferenz Costruit l'ulteriore rett tngente t ll circonferenz

8 nel punto B dimetrlmente opposto ll'origine (e prllel ll'sse ), si C l'intersezione delle rett r con t Il luogo dei punti P venti l'sciss di C e l'ordint di E l descrivere di E l circonferenz (o l vrire di C sull rett prllel ll'sse ) è l versier di Agnesi Trccimo l versier utilizzndo Cbri Géomètre ISTRUZIONI CABRI Mostr gli ssi Trcci un punto A sull sse Trcci un circonferenz di centro A e pssnte per O ( strumento compsso) Trcci un semirett r uscente d O Punto B intersezione dell circonferenz con l sse Trcci l rett t per B tngente ll circonferenz ( prllel ll sse per B ) Punto C intersezione delle rette r e t Trcci l rett per A prllel ll sse e l rett per C prllel ll sse Punto P intersezione di queste due rette Luogo del punto P l vrire dell rett r : Strumento Trcci, indic il punto P e trscin l rett r nel pino (oppure muovi l rett con lo strumento Animzione ) Determinimo le equzioni prmetriche di quest curv con il metodo nlitico L equzione dell circonferenz di centro il punto D (, 0 ) e rggio è :

9 cioè 0 e quell del fscio di rette per l origine O è : m Dl sistem formto dlle due suddette equzioni ottenimo le coordinte del punto E m 0, m 1 Il punto C è invece il punto comune ll rett = ed ll generic rett del fscio m ; perciò le sue coordinte sono : C C m Il punto F, che definisce il luogo, h l sciss ugule quell del punto C e l ordint ugule quell di E ; perciò risult : F F m m 1 m Queste sono le equzioni prmetriche dell versier Essendo m = tn, coefficiente ngolre dell generic rett del fscio, possimo riscrivere le equzioni prmetriche nel modo seguente : sin cot g sin Dlle equzioni prmetriche si pss ll equzione crtesin ricvndo il prmetro m dll prim equzione e sostituendo poi nell second l espressione trovt 8 4 Di clcoli si ottiene : L equzione polre, infine, si ottiene dll equzione crtesin e dlle relzioni = ρ φ = ρ sin φ ; ess è l seguente : r sen 4 rsen 8 Not: L second prte di quest relzione srà in rete nel prossimo numero e trtterà le seguenti curve: -Il bicorno o feluc L curv k Il bifolium Il trifolio retto

10 RELAZIONE Il lvoro prodotto con gli studenti è il risultto di un serie di ttività svolte in buon prte nel lbortorio d informtic con un qurt clsse di liceo scientifico All bse del percorso è l definizione di un curv intes come luogo geometrico di punti, un concetto che i rgzzi incontrno nel biennio nell circonferenz e nell terz clsse nelle coniche Il riconoscimento dell form dell curv è reso prticolrmente interessnte dl softwre di geometri dinmic Cbri Géomètre e l su truzione richiede un procedur che trduc l proprietà di cui godono i punti dell curv consentendone il trccimento Nell prim fse del lvoro, vendo fissto l ttenzione su lcune curve lgebriche di terzo e qurto grdo, si è perciò fornit i rgzzi l definizione di ciscun curv in qunto luogo geometrico, lscindoli quindi liberi di ricercre l mnier migliore per ottenerne il trccimento grfico, utilizzndo il suddetto softwre Successivmente i rgzzi, guidti nell individuzione di qulche prticolrità del luogo e tlor nche nell scelt del tipo di riferimento (crtesino o polre) più congenile, hnno ricercto le equzioni delle curve, riconoscendone lcune loro crtteristiche Nonostnte l tipologi prticolre delle cubiche e soprttutto delle qurtiche, questo tipo di nlisi è nche in qulche modo propedeutico llo studio di funzioni che è rgomento dell ultimo nno di liceo Il mezzo informtico è stto comunque utilizzto nche sfruttndo le potenzilità del softwre pplictivo Derive; questo consente, inftti, di effetture i clcoli, risolvendo sistemi ed equzioni, e può fornire l conferm che l equzione dell curv che è stt trovt (in form crtesin, polre o ttrverso le e- quzioni prmetriche) è proprio quell che ciscun suo punto h descritto ttrverso l procedur precedentemente individut con il Cbri Géomètre L impostzione che si è dt l lvoro h mirto stimolre l curiosità e l cretività nei rgzzi; trovndosi di volt in volt in un situzione nuov, non conoscendo cioè nticiptmente le curve oggetto di studio, essi hnno potuto mturre il gusto dell ricerc e dell scopert Il lvoro di gruppo h poi fornito ciscuno l occsione di fornire il proprio contributo, rfforzndo l utostim e grntendo il rispetto delle opinioni ltrui Le competenze in mbito geometrico e di geometri nlitic sono stte esltte si nell prim fse di truzione che nell fse di ricerc delle equzioni delle curve, le competenze informtiche reltive i due softwre sono stte potenzite e messe l servizio dell pprendimento non solo nell mbito del tem trttto