244 FRAZIONI ALGEBRICHE. Esempi: 20x y

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1 Si dice frzione lgeric un frzione i cui termini sino monomi o polinomi. FRAZIONI ALGEBRICHE Esempi 0 cd k. SEMPLIFICAZIONE DI FRAZIONI ALGEBRICHE A volte (non sempre un frzione lgeric può essere semplifict. L semplificzione di un frzione consiste nell pplicre l cosiddett proprietà invrintiv, che dice In un divisione è possiile moltiplicre oppure dividere (nel cso dell semplificzione dividere per uno stesso numero diverso d zero, si il dividendo che il divisore e il risultto dell operzione non cmierà Notimo che in molte semplificzioni si pplic nche, simultnemente, l proprietà che fferm Qundo si deve moltiplicre, o dividere (nel nostro cso dividere, un PRODOTTO per un numero, st moltiplicre, o dividere, per quel numero UNO SOLO dei fttori del prodotto. In prticolre, qundo si deve dividere un prodotto per uno dei suoi fttori, st sopprimere quel fttore Esempi 0 0 A SEMPLIFICAZIONE MONOMIO-CON-MONOMIO 0 0 c d e 7 c d e f e cd f Ovvimente, nell prtic, il pssggio intermedio si slt, come negli esempi successivi B SEMPLIFICAZIONE MONOMIO-CON-POLINOMIO In questo cso l semplificzione è possiile soltnto se nel polinomio si può rccogliere un fttore, che si poi semplificile col monomio 7 che st dll ltr prte dell line di frzione. 7 ( 7 ATTENZIONE!!! A questo punto l esercizio è finito semplificre le sree un ERRORACCIO! MA COSA FAI, 7 WHAAAH!!! NO, PER CARITA!!! DISGRAZIATO?!? IMPORTANTISSIMO IN UNA FRAZIONE, E ERRORE MADORNALE SEMPLIFICARE ADDENDO CON ADDENDO OPPURE ADDENDO CON FATTORE SI PUO SOLO SEMPLIFICARE FATTORE CON FATTORE. Per cpire ene questo ftto, sterà pensre qulche cso purmente numerico. Due esempi 0 l frzione, se noi fcessimo l ERRORACCIO di fronte ll frzione 9, 7 prov semplificre (WHAAAH!!! 0 di semplificre 0 con, diventeree!!! il 9 col, e osserv che DISASTRO!!! Ancor un osservzione. L esercizio (tnto per fre un esempio 0 rccogliendo e poi semplificndo 0 ( si può svolgere in modi oppure direttmente, come qui destr. Aimo diviso per si sopr che sotto m PER DIVIDERE UNA SOMMA PER UN NUMERO OCCORRE DIVIDERE PER QUEL NUMERO TUTTI GLI ADDENDI DELLA SOMMA 0

2 C SEMPLIFICAZIONE POLINOMIO-CON-POLINOMIO In questo cso occorre innnzitutto SCOMPORRE IN FATTORI (se possiile i due polinomi dopodiché, si semplificherà FATTORE CON FATTORE (s intende che i FATTORI sino TOTALI. ( ( ( ( ( ( ( ( ( t t t t t( t t ( t ( t ( t ( t ( 9 8 ( ( 9 9 ( ( t t t t 7 t ATTEN- ZIONE! 8 ( ( Professore gurdi ( ( ho ftto giusto, vero? Ho semplificto, come dice lei, fttore con fttore ( t t t ( NOTA NOTA Insisto! Arrivti, l esercizio è TERMINATO! Sree ERRORACCIO semplificre l con l, o il col!!! Mi spice, m HAI SBAGLIATO. Qundo si dice fttore con fttore si deve intendere FATTORE TOTALE CON FATTORE TOTALE, mentre l ( numertore è soltnto un fttore PARZIALE. Avresti dovuto PRIMA terminre l scomposizione e POI semplificre! ( ( 8 ( ( ( ( ADESSO E' GIUSTO!!! ESERCIZI (semplificzione di frzioni lgeriche c 7 9t k 7 8c 8t 7 k c c n n nnn 0 9 7c c c 9c 8 0 ( ( k 8 Ruffini, Ruffini, per il per il k numertore! denomintore! RISULTATI c 8 ( c 9 0 ( 7 0 ( 8 ( ( t k k k 9 ( ( 7 k 7 0 c c c 8 n n 8 9 ( 9 ( Non sempli ficile

3 . MOLTIPLICAZIONI, DIVISIONI E POTENZE DI FRAZIONI ALGEBRICHE Queste fcili operzioni sono illustrte di seguenti esempi svolti. 8 Qui, prim di moltiplicre, 8 conviene semplificre Psst dimmi, in confidenz ( ( Nel, non vevi mic pensto ( ( di semplificre le fr loro, o il col? GUAI! E errore grvissimo semplificre ddendo con ddendo! 7 0 ( ( 0 ( 7 7 ( t ( ( ( ( t t t t t t t t t t t 8 ( 9 ( 8 z z ( ( ( ( h h h h h h h h h h h( h h h ( h h h h( h h h ( h ( 0 h h h h ( ( IN PRESENZA DI POLINOMI, PRIMA DI MOLTIPLICARE conviene SCOMPORRE IN FATTORI nell spernz che si possiile SEMPLIFICARE ( ( ( ( ( t t t ( t ( t ( t ( t ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 9 ( ( ( ( ( * ( ( ** ( ( ( ( ( * Con Ruffini P( 0 0 ** ( ( ( ( (

4 7 ESERCIZI (moltipliczioni, divisioni, potenze di frzioni lgeriche t t t t ( t c c 9 ( 7 9 n 7n n n n n RISULTATI (Ruffini 0 t t 8 t 8 8 q q q q q q q ( ( 8 0 ( ( 9 0 ( ( ( ( ( t ( 7 n n ( 7 7 ( c 8 ( ( ( ( ( (Ruffini ( 9 ( ( ( 0 (

5 . POLINOMI OPPOSTI 8 Due polinomi sono detti opposti qundo i termini dell uno sono gli opposti dei termini dell ltro. Esempi e ( per elegnz, si scrive preferiilmente nziché e Due polinomi opposti esprimono numeri opposti, nel senso che, se si prendono due polinomi opposti, e ll letter (o lle lettere si ttriuisce, nei due polinomi, lo stesso vlore, si ottengono due risultti opposti. 0 9 D ltronde, mettendo in evidenz il segno, imo ( ossi il numero è l'opposto del numero E nlogmente Il rpporto ( quoziente fr due polinomi opposti vle sempre, perché il rpporto fr due numeri opposti vle sempre ; d ltronde, mettendo in evidenz il segno, si ottiene ( ( ( Invece l somm lgeric di due polinomi opposti vle 0, perché l somm lgeric fr due numeri opposti vle, ppunto, 0, e d ltronde 0 ( ( Il prodotto di due polinomi opposti è ugule ll opposto del qudrto di uno qulsisi di essi ( ( ( ( ( ( Se si prendono due numeri opposti e li si elev llo stesso esponente PARI, i risultti srnno UGUALI ( ( Coi polinomi, tutto ciò si trduce in IMPORTANTISSIME IDENTITA come le seguenti ( ( ( ( ( ( ( ( e invece se si prendono due numeri opposti e li si elev llo stesso esponente DISPARI, i risultti srnno OPPOSTI ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( perché, in dettglio, " " " Possimo nche dire così (IMPORTANTE! qundo un polinomio è elevto d esponente PARI, è possiile cmire i segni di tutti i termini e il vlore del risultto non cmierà; qundo un polinomio è elevto d esponente DISPARI, se cmimo i segni di tutti i termini il risultto si muteree nell opposto, quindi per ripristinre l uguglinz occorre scrivere un segno dvnti. (7 ( 7 (7 ( 7

6 9 COME FARE LE SEMPLIFICAZIONI QUANDO COMPAIONO POLINOMI OPPOSTI ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 9 o nche, direttmente Volendo, si potev pure procedere così ( ( c ( ( ( c ( ( ( ( ( ( 9 dto che il quoziente di due polinomi opposti vle ( ( ( NOTA NOTA ( ( (NOTA ( 9 ( ( ( ( ( ( 9 ( ( ( ( ( ( (NOTA ( Come osservto, due polinomi opposti elevti l qudrto dnno lo stesso risultto ( ( perché ( ( ( ( ( ESERCIZI (semplificzioni con polinomi opposti ( ( ( ( ( ( 8 ( 7 ( ( ( ( ( ( ( ( RISULTATI 7 ( 7 ( ( t( t ( t( t ( ( ( ( ( t t t t 9 9 ( 0 ( n ( n Tieni nche presente che in un frzione è lecito cmire i segni si sopr che sotto, perché in tl modo il vlore dell frzione non mut,, 7 7 ( ( ( ( ( ( n 0 ( n ( (

7 0. SOMMA ALGEBRICA DI FRAZIONI ALGEBRICHE Qundo i denomintori sono NUMERI, si f esttmente come con le normli frzioni numeriche A si scrive, come denomintore comune, il minimo comune multiplo (m.c.m. dei denomintori B si divide il denomintore comune per ciscun denomintore, e si moltiplic per ciò che st sopr. ( ( ( IMPORTANTE! ( ( 7 Qui il segno si riferisce TUTTO il polinomio, che quindi v scritto tr prentesi. Ciò si trdurrà poi in un DOPPIO CAMBIAMENTO DI SEGNO. Qundo i denomintori sono MONOMI, il minimo comun denomintore si ottiene prendendo il m.c.m. dei coefficienti TUTTE le lettere, COMUNI E NON COMUNI, ciscun UNA SOLA VOLTA e con l esponente più ALTO. ( ( IMPORTANTE! ( Si cpisce che il m.c.d. costruito trmite quest regol è l più semplice espressione che poss essere poi comodmente divis per ciscuno dei denomintori di prtenz proprio ciò di cui si h isogno nel procedimento. Anlogmente ll esempio, nche in questo numero il segno si riferisce TUTTO il polinomio, che quindi v scritto (o comunque pensto tr prentesi. Ciò si trduce in un DOPPIO CAMBIAMENTO DI SEGNO Qundo i denomintori sono POLINOMI, PRIMA DI TUTTO LI SI DEVE SCOMPORRE IN FATTORI! il minimo comun denomintore si otterrà poi con un regol del tutto nlog quell sopr enuncit per i monomi ( ( ( ( ( ( ( ( 9 ( ( ( APPROFONDIMENTO Tutto il discorso delle frzioni lgeriche richiederee riflessioni d un livello più vnzto per tener conto del ftto che, mentre nelle frzioni ordinrie numertore e denomintore sono numeri interi, qui le lettere possono ssumere nche vlori frzionri o irrzionli. Un nlisi pziente, m troppo specilistic per poter rientrre in questo corso, mostreree che le regole d noi enuncite sono effettivmente vlide nche in questo mito più generle.

8 8 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 9 IMPORTANTE! Qui ritrovimo l solit prticolrità del segno che si riferisce TUTTO un polinomio. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 0 ( ( ( ( ( 7 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 0 0 ( ( ( ( IMPORTANTE! Anche nell espressione seguente compre l prticolrità del segno riferito d un polinomio. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 9 ( ( ( ( ( ( ( ( ( n n n n n n n n n nn n nn n ( n ( ( n( n ( ( ( n n n n n n n n n( n n n( n ( n ( n ( n ( n ( ( ( ( n n n( n( n n n n n n n ( n n n( n( n n( n( n n ( n( n ( n( n n n n n n n

9 ESERCIZI (somm lgeric di frzioni lgeriche Risultti ll pgin seguente c 0c t t 8t k 9 k n n 0 8 r r 0 z r c z z c c ( ( 8 ( (... 8 c 9 ( c ( c q q q r s r s t t t t 7 9 h 0 h h 8 w w t t 8 t t t t t t k 0kk8 k 9k 8 k k k 9k 8k 0 ( ( 7 9 Ruffini 7 c c c c n n n n n n n n n 7 7 Scomposizioni con Ruffini Ruffini

10 RISULTATI 7 7 n 0 c 0c t 8t k k 9 r r 0 c c z c z z c c 7 ( ( 8 ( 9 ( ( 0 ( ( t t t ( ( ( ( ( ( ( ( 7 q q q q ( 8 9 ( c 0 ( ( ( ( 7 ( ( ( ( ( 7 ( r s ( r s 8 w w ( ( w t 0 t t ( t ( t ( t 9 ( ( ( 9 7 c c ( c( ( ( 7 n ( n ( n ( n 8 k 9 0 ( ( ( ( ( 70 ( ( ( 7 0 ( ( (

11 . QUANDO IL SEGNO MENO SI RIFERISCE A TUTTO UN POLINOMIO Occhio! Ci si imtte stnz sovente in situzioni nelle quli il segno è riferito d un polinomio nell su interezz. In questi csi è fcile sglire! Qundo il segno si riferisce tutto un polinomio, il polinomio stesso v scritto fr prentesi; se si preferisce, il pssggio si può sltre, cmindo di segno però TUTTI i termini del polinomio (TUTTI, NON SOLO IL PRIMO! ( ( 7 ( ( ( ( c ( d ( ( ( ( ( ( ( ( e ( ( ( ( ( f c c c c ( ( c( c( c ( c( c ( c( c ( ( ( ( c c c c c c c c c c c c c ( ( ( ( ( ( ( ( ( ESERCIZI t t z t t t0 z 7 c c 9 n 0 n n p p p p 8 m 9 0 k k RISULTATI 9 ( ( 0 t ( t ( t 9 ( ( n n 7 z c ( c( c ( p p p ( p ( p ( 8 8 m m ( ( k k

12 . QUANDO COMPAIONO POLINOMI OPPOSTI A DENOMINATORE In questi csi, prim di fre il denomintore comune, converrà srzzrsi dei polinomi opposti! Esempio I ( ( ( ( ( ( A questo punto, non sree ssolutmente stuto fre suito il denomintore comune! In tl modo, inftti, si ndree incontro clcolcci pesntissimi Fccimo piuttosto in modo che non compino più coppie di polinomi opposti potremo scegliere di ricondurci dppertutto l locco (, oppure, in lterntiv, l locco ( modo privilegindo il locco ( modo privilegindo il locco ( Esempio II ( ( ( ( ( ( ( (. ( ( ( ( ( ( ( ( ecc. ecc. ecc. ecc. ( ( ( ( ( ( ( ( NOTA NOTA - Sppimo (vedi il prgrfo sui polinomi opposti che ( ( ( ( ( ( ( ( ( Nell prtic, i pssggi intermedi si possono sltre tutto st nel cpire, in definitiv, se il segno dvnti ll frzione de essere cmito oppure de restre inlterto. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ecc. ecc. ( ( ( ( ( Quest ultimo esempio mostr che SE IN UN PRODOTTO SI CAMBIANO DI SEGNO fttori (più in generle UN NUMERO PARI DI FATTORI, IL PRODOTTO RESTA INVARIATO; SE IN UN PRODOTTO SI CAMBIANO DI SEGNO fttori (o, più in generle, UN NUMERO DISPARI DI FATTORI,,, 7, IL PRODOTTO CAMBIA DI SEGNO, per cui, PER SALVAGUARDARE L UGUAGLIANZA, OCCORRERÀ SCRIVERE DAVANTI UN SEGNO ESERCIZI ( ( ( ( RISULTATI opp., zw ( ( ( ( ( ( ( ( z w ( ( ( ( ( ( ( ( (, ( (, ( ( Utile osservre che un frzione rest invrit se si cmino i segni si del numertore che del denomintore

13 7. FRAZIONI ALGEBRICHE LE CONDIZIONI DI ESISTENZA Per non ppesntire troppo l rgomento, imo posticipto fino questo punto un questione che comunque v trttt. Ben sppimo che in un frzione il denomintore deve essere diverso d 0, in qunto l divisione per 0 è un operzione non eseguiile. Ricordimone revemente il motivo. L divisione, in mtemtic, è intes come l operzione invers dell moltipliczione. Il motivo per cui, d esempio, si h 8 7, è che il 7, se venisse moltiplicto per, restituiree il Insomm, c c. Considerimo or l operzione 0. 0? Dovremmo trovre un numero che moltiplicto per 0 di m non lo troveremo mi! Un numero sifftto non esiste, perché qulsisi numero, moltiplicto per 0, dà sempre e soltnto 0. Allor l operzione 0 è IMPOSSIBILE, è priv di risultto; non c è nessun numero che poss pretendere di esserne il risultto. Ovvimente, lo stesso rgionmento vrree se l posto del considerssimo il, o il 7,8 oppure il 7. L operzione prticolrissim 00 si comport invece in modo profondmente diverso. Ess ci chiede di trovre un numero che moltiplicto per 0 (il secondo 0 di 0 (il primo 0. Sennonché, quest volt, qulsisi numero ndree ene, qulsisi numero potree pretendere di essere il risultto di quest operzione, perché qulsisi numero moltiplicto per 0 in effetti dà 0. Se viene d me il numero, lui può dirmi il risultto dell operzione 00 sono io! Inftti, 0 0. M nche il numero 9 può vere quest pretes, di ndr ene come risultto dell operzione 00, perché 9 0 0; e pure i numeri / ; 9,7; 8,; ecc. ecc. ecc. sreero deguti come risultti. Quest volt ci trovimo di fronte prolemi di ondnz. L operzione è INDETERMINATA, vle dire non h un risultto en determinto, m potree verne infiniti, dto che qulunque numero vree i requisiti per esserne il risultto. Ricpitolndo, le due operzioni ( numero diverso d sreero, rispettivmente, IMPOSSIBILE ( nessun risultto e INDETERMINATA ( infiniti risultti; per cui non si trtt di vere operzioni l comunità mtemtic le consider come operzioni non eseguiili, illegl opertions ( illegl d trdurre come illecite. Osservimo, infine, che se lo 0, in un divisione, comprisse esclusivmente dividendo, l operzione sree normlissim e vree 0 come risultto 0 0 (inftti 0 0. risul divi divi tto ore dendo Tutto ciò, insieme col ftto che un frzione p q equivle sostnzilmente ll divisione p q, ci port ll importntissimo specchietto seguente numero diverso d 0 ( numero diverso d 00, operzione IMPOSSIBILE 0 operzioni 0 " non eseguiili" 00, operzione INDETERMINATA ( numero diverso d 0, operzione NORMALE ( con risultto 0 numero diverso d 0

14 7 Di fronte un espressione contenente frzioni con lettere denomintore, doimo llor tenere presente che l medesim non h significto per qulsisi vlore delle lettere coinvolte, m solo per quei vlori delle lettere che rendono tutti i suoi denomintori diversi d 0. Fccimo un esempio. Considerimo l espressione. Per quli vlori dell letter esisterà ( srà definit, vrà significto? 0 Beh, esisterà per i vlori di tli che si 0, ossi per 0 / Osservimo che queste CONDIZIONI DI ESISTENZA, contenenti il simolo " " ( diverso d, si trttno in modo del tutto simile lle equzioni, semplicemente conservndo sempre il simolo " " l posto del simolo " ". Ad esempio 0 ( trsporto, cmindo di segno ( divido per Un ltro esempio. Quli sono le condizioni di esistenz (C.E. dell espressione? ( CONDIZIONI DI ESISTENZA (C.E. 0 0( dividendo per 0 ; ( trsportndo ( 0 0 ( un qudrto è d 0 se e solo se lo è l su se; ; / Ancor quli sono le condizioni di esistenz (C.E. dell espressione c d c d? CONDIZIONI DI ESISTENZA (C.E. cd 0 (Di norm, qundo in un condizione sono presenti due lettere, se ne isol un scelt. { c d 0 Noi, in prticolre, imo desunto che, ffinché l espressione i significto, c deve essere divers si dl triplo di d, si dll opposto di d umentto di. c d Ad esempio, nel nostro cso, l coppi c, d, nell qule c è il triplo di d, { c d renderee priv di significto l espressione in esme. Terminimo quest rssegn di esempi con 0 90 Qui, per cpire d cos deve essere divers, scomponimo innnzitutto in fttori! Ogni fttore così ottenuto dovrà essere diverso d 0, ffinché non si nnulli nessun denomintore ( 9 ( 0( ( ( ( Quindi, 0, Osservimo che il fttore costnte 0 C.E. 0, ( revemente ±, 0, non viene in lcun modo coinvolto, 0 non contenendo l letter 0, ed essendo 0 per su ntur. ESERCIZI Scrivi le condizioni di esistenz delle frzioni lgeriche che seguono. q p p q w 7 w ( w ( 0 / ± p 0 w 0 RISPOSTE 0 7 / q / w 0 8,, 0, oppure oppure

15 8 8. ESPRESSIONI CON TUTTE LE OPERAZIONI ESEMPI SVOLTI ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( SUGGERIMENTI PREZIOSI Ordine! Scrivi ene! Rileggi dopo ogni pssggio! Prim di ogni pssggio, domndti cos devo fre, cos mi conviene fre questo punto? RICORDA Il simolo che chiude un rig deve essere poi riscritto nche ll inizio dell rig successiv Qundo si f il denomintore comune, ottenendo così un unic line di frzione, è inutile (nche se non sree sglito mettere quest frzione fr prentesi ( meno che, nturlmente, l frzione si poi d elevre potenz 7 0 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 7 ( ( ( 7 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Ti ricordo l IMPORTANTISSIMA RACCOMANDAZIONE ftt pg. IN UNA FRAZIONE, sree errore mdornle semplificre ddendo con ddendo oppure ddendo con fttore SI PUO SOLO SEMPLIFICARE FATTORE CON FATTORE. 9 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 8 7 ( (

16 7 8 ( ( ( 9 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 9 ( ( ( ( ( ( 0 ( ( 0 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 9 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Nell esercizio qui finco e nel successivo, occhio lle modlità dei cpovolgimenti! c c c ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

17 0 Le seguenti tre espressioni presentno somme lgeriche di frzioni lgeriche, con polinomi opposti denomintore. In csi di questo genere, è sempre conveniente, prim di fre il denomintore comune, srzzrsi dei fstidiosi polinomi opposti, fcendo in modo che compi dppertutto sempre lo stesso polinomio. ( ( ( ( ( NOTA ( ( ( ( ( ( 8 ( ( 8 ( ( ( 9 NOTA Sppimo che ( ( per vi dell esponente pri due numeri opposti, se elevti llo stesso esponente PARI, dnno risultti uguli; d ltronde, ( ( ( 7 ( ( c ( ( c ( c( c ( ( c ( ( c ( c ( c ( ( c ( ( c ( c( c c c 0 0 c c c c ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 7 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

18 8 Nell seguente espressione compre un semplificzione fr polinomi opposti. ( 9 ( ( ( ( ( ( ( ( ( Nell esempio che segue è necessrio, per fttorizzre un polinomio, pplicre il metodo di Ruffini. L scomposizione, in questi csi, v ftt prte e successivmente reinserit nell espressione. 9 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Divisori del termine noto ±, ± Divisori del coeff. ±, ± Possiili zeri rzionli ±, ±, ± P( 0, OK 0 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( E terminimo l rssegn di esempi con due espressioni che contengono potenze. 0 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 9 ( 9 9 ( ( Dl sito di Lwrence Spector Emple Solution. These denomintors hve no common fctors. Therefore, the LCM of denomintors is their product. ( ( ( ( [LCM Lowest Common Multiple] Note The entire is eing sutrcted. Therefore, we write it in prentheses, nd its signs chnge.

19 9. ESERCIZI SULLE FRAZIONI ALGEBRICHE (clicc sull frecci, se presente, per l correzione; risultti pgin ( t t t t t t t t ( 7 9 n n n 9 n ( n 0 ( 9 ( 7 9 ( ( 8 0 ( ( 8 ( ( 8 ( 9 ( 7 0 c c c c c c c c c (

20 ( 7 9 t t t t t 7t 8 t t 0 ( t t t ( 0 ( 8 n n 8 0 n 7 n n n n 7 8 ( 8 8 t 9 t t t 7 0 ( 8 ( ( 9 8 ( ( 9 ( n n n n n n n ( ( ( n n n n n n ( 7 8 k k k k k k k k A Mes Creek Vlle rncher's dughter en route to school L rgzz in gropp l suo sinello si conged dll mdre per ndre scuol. Colordo, nno 898. Foto di Georg e B. Sudworth (the Ntionl Archives nd Records Administrtion NARA

21 ( t t t t t t t t ( ( 8 ( ( 8 ( ( ( ( t ( ( t t t t Un differenz di cui si scompone con l formul ( ( 7 ( 9 70 m m m m m Ruffini m m 7 7 Semplific differenz di qudrti ( 80 ( ( ( ( ( ( ( 8 ( ( k k 8 k k 0, k 8 ( 8 k k ( c ( ( c c 8 8 d ( d 8d d d d c m 87 9 m 88 p p p p p p p p p m m m ( (

22 RISULTATI degli esercizi sulle frzioni lgeriche ( ( t 7 t c( c ( ( n ( ( ( n ( n ( n 7 8 ( ( 7 9 ( ( 0 ( ( n ( n ( n ( 8 k 9 t 0 (Ruffini; rcc. prz ( 77 ( ( 8 8 d SIMULAZIONE DI VERIFICA con correzione se clicchi sull frecci TEMPO 0 PUNTEGGIO punto per esercizio, sufficienz con punti k k k k k k k k k ( ( t t t t t t t ( ( ( 7 Semplific 8 8 SIMULAZIONE DI VERIFICA con correzione se clicchi sull frecci TEMPO 0 PUNTEGGIO punto per esercizio, sufficienz con punti ( ( ( ( ( 7 Semplific

23 0. IDENTITA CON FRAZIONI ALGEBRICHE (risposte pg. 9 Verific che, qulunque si il numero, diverso d 0,,, sussiste l relzione Verific che vle l identità L somm dei reciproci di due numeri non nulli qulsisi è sempre ugule l rpporto fr l loro somm e il loro prodotto. Rppresent questo enuncito con un formul, e dimostrne l vlidità. Dimostr che se si prendono tre interi consecutivi e si divide il loro prodotto per l loro somm, il risultto è ugule ll terz prte del prodotto fr il più piccolo e il più grnde. Dopo ver controllto che vlgono le uguglinze scrivi l uguglinz generle che semr potersi ricvre dll sequenz, e dimostr che è vlid sempre. ( ( (... Scrivi l uguglinz generle che si può ipotizzre dll sequenz, e dimostr che è vlid sempre. 7 Verific l identità. n n n n nn ( ( n Cos divent se fccimo l sostituzione n n? 8 Verific l identità ( ( e riscrivil nel cso prticolre. 9 Universit of New Brunswick - Junior High School Mthemtics Competition 990 I Determin il vlore del prodotto delle frzioni seguenti / c 0.0 d 0 e /00 II In generle, qunto vle l n-esim frzione in gioco, fr quelle moltiplicte? III Se le frzioni moltiplicte sono n, qunto vle il loro prodotto? 0 Universit of New Brunswick - Junior High School Mthemtics Competition 990 p r You re told tht certin unknown positive integers p, q, r, s stisf q s. Which of the following sttements must e true? p r p s p p r r r p c d doesn ' t equl e None of,, c, d s q r q q q s s s q

24 7 Per ultimre un determinto lvoro in giorno ci vogliono pprendisti, o in lterntiv e lvortori esperti. In qunti giorni porteree termine quel lvoro un coppi formt d pprendist e esperto? c e e d e e e e Consider le seguenti frzioni lgeriche e stilisci per quli vlori di ciscun di esse risult ( non definit, in qunto corrisponderee d un operzione impossiile ( non definit, in qunto corrisponderee d un operzione indetermint ( ugule 0 ( imposs. ( indet. ( ugule 0 RIPASSO ( / 0 0 INDET. 0 0 C è qulche piccol differenz fr le due espressioni lgeriche e? Srà mi possiile esprimere l frzione lgeric ( ( come somm lgeric di due frzioni venti denomintore rispettivmente e, e numertore due numeri? Vedimo. A B ( ( A( B( ( ( ( ( A A B B ( ( ( ( A BAB ( ( ( ( (A B ( A B ( ( ( ( IMPOSS. " illegl opertions" 0 operzione normlissim Frzione divisione, e divisione operzione invers dell moltipliczione c c 0,/0 è IMPOSSIBILE perché non c è lcun numero che moltiplicto per 0 di 00,0/0 è INDETERMINATA perché qulsisi numero moltiplicto per 0 dà 0 Affinché l ultim uguglinz si un identità occorre e st che si { A B d cui A B { A 7 B 7 quindi in definitiv l rispost ll domnd inizile è ffermtiv si vrà ( ( Or determin tu i vlori delle costnti A, B, C negli esercizi seguenti d 9 A B ( ( 8 A B C ( ( 0t A B A B c t t t ( A B C e ( ( (

25 Dll formul di Guss 8 nn (... n se ne possono ricvre ltre, ssi interessnti. Ad esempio, è stnz semplice (vuoi provrci? dedurre d quest formul che l somm... n dei primi n numeri pri prtire d vle nn ( mentre l somm... (n dei primi n numeri dispri vle n. Un po più lorioso è invece determinre il vlore dell somm... n dei qudrti dei primi n interi positivi. Prtimo dll identità ( e portimol nell form ( Or scrivimo le vrie uguglinze che si ottengono dll precedente dndo i vlori,,, n ( n n n n Sommndo memro memro queste uguglinze si h ( n (... n (... n (... n ddendi quindi, tenuto conto dell formul di Guss, ( nn ( n (... n n d cui l identità... n... (scrivi tu il secondo memro! c Verific che in questo modo si ottiene, dopo qulche pssggio, l formul ( (... n n n n ( ( n n n n d Operndo in modo nlogo, dimostr l formul... n dll qule si tre immeditmente l ell relzione ( n n L figur qui finco mostr lcune plline d tennis sistemte su più strti sovrpposti quello più in lto è formto d plline soltnto, quello ppen sotto d plline, quello sotto ncor d, ecc. Se si vessero n strti, le plline dello strto inferiore sreero nn ( ; m qunte plline si vreero nell pil, in totle? 7 I numeri qudrti sono,, 9,,,... I seguenti numeri si dicono invece tringolri,,, 0,,... Serviti dell formul di Guss per dimostrre il seguente enuncito ciscun numero qudrto è ugule ll somm del numero tringolre di ugul posto, e del numero tringolre che precede quest ultimo (es. 0 8 Universit of New Brunswick - Junior High School Mthemtics Competition 99 The verge (medi of the first odd (dispri positive integers is c d e

26 9 9 Spunto preso d Olimpids Colomins De Mtemtics, 999 Nell n-esim figur di questo tipo, che frzione del tringolo grnde rest omreggit? 0 British Columi Colleges - Junior High School Mthemtics Contest - Finl Round, 999 The pge numers of ook sum to 999. One pge numer ws counted twice. Which pge numer ws tht? RISPOSTE In effetti l uguglinz è, come si può controllre, un identità nn ( ( n nn ( ( n n( n ( n nn ( ( n ( n n ( n ( n n ( n nn ( n ( n 7 Divent n n nn n n n n n n n n 8 Con ( ( 9 I d II n n n n n n ( ( III n 0 c d imposs. indet. 0 / / / 7, / 0,, 0 / / / / L differenz è nel cmpo di esistenz. h significto per tutti i vlori di trnne, che con. Per tutti i vlori di trnne e le frzioni ssumono lo stesso vlore. A 7 A A / / 7/ 7 A A c B B 8 d B e B 7/ ( B C C (... n (... n nn nn (... (n ( ( (... (n L figur qui finco (... n n n( n n n n n n visulizz e giustific efficcemente l enuncito! n kk n n n n ( ( ( (... ( 9... ( nn ( (n nn ( nn ( ( n 9... n (... n... 8 n 9 n 0 pge