TRASMISSIONE DEL CALORE

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1 9 RSMISSIONE DE CORE S dstnguono n gn t dffnt modaltà d tasmsson dl calo: conduzon, convzon, aggamnto. go, solo la conduzon l aggamnto dovbbo ss classfcat com pocss d scambo tmco pocé, ssndo usto dfnto com la tasmsson d nga da una gon ad un alta dovuta ad una dffnza d tmpatua, solo ust du mccansm dpndono dalla smplc sstnza d una dffnza d tmpatua; la convzon nfatt dpnd anc dal taspoto d mata. uttava, pocé la convzon compota anc la tasmsson d nga da gon a tmpatua supo vso gon a tmpatua nfo, è nvalso l uso dll spsson scambo d calo p convzon. Enga tmca Non s può pala d contnuto d calo d un copo, ssndo sso nga n tansto (nga tmca), conoscbl solo uando attavsa l contono d un sstma. a spgazon fsca dlla natua dl calo s è avuta alla mtà dl XIX scolo con lo svluppo dlla toa cntca molcola, c dscv la mata com un gan numo d pccol patcll (atom o molcol) dotat d dvso compotamnto n va stat d agggazon. Ess n sold non s muovono, ma oscllano vbano ntono a poszon fss bn pcs, n lud sono a contatto d anno maggo lbtà d movmnto, n gas, nfn, anno massma lbtà d movmnto sono n costant movmnto casual, con moto totalmnt dsodnato. patcll duant l loo moto possono tasla con una cta vloctà, vba l una latvamnt all alta o uota attono ad un ass. ust mot sono assocat l ng cntc d taslazon, vbazon otazon, la cu somma costtusc l nga cntca d una molcola.

2 9 a somma dll ng cntca potnzal d tutt l molcol c costtuscono l sstma appsnta la sua nga ntna, somma d tutt l fom mcoscopc d nga. Essa è lgata alla stuttua molcola d al gado d attvtà dll molcol pocé sa ust ultmo c la loo vloctà mda sono popozonal alla tmpatua, n consgu c al suo csc aumnta l nga cntca dll molcol und l nga ntna. In sguto all manazon d tal toa l calo fu und cottamnt ntptato com nga assocata al moto dll patcll und all nga ntna d un copo. In patcola vn camata nga tmca la componnt dll nga ntna d un sstma la cu vaazon è popozonal alla vaazon d tmpatua. Un alta componnt dll nga ntna è nfatt lgata all foz ntmolcola, ovvo all foz c lgano ta loo l molcol d un sstma d una tza componnt è lgata a lgam atomc all ntno d una molcola. In patcola l foz ntmolcola sono pù ntns n sold pù dbol n gas, avndo ust ultm cvuto una uanttà d nga c n a otto l lgam ta l molcol, dtmnandon l passaggo alla fas gassosa (cambamnto d fas), p cu un sstma n fas gassosa s tova ad un lvllo d nga ntna pù lvato sptto al cospondnt lvllo n fas solda o luda. Conduzon a conduzon è un pocsso mdant l ual l nga tmca s tasmtt p contatto dtto ta l molcol snza c s spostno snsblmnt. Essa s vfca p fftto dll ntazon dll patcll d una sostanza dotat d maggo nga con ull adacnt dotat d mno nga. o scambo d nga p conduzon può avvn n sold, n lud n gas, ma è l solo mccansmo scondo cu l calo può popagas n sold opac. Essa è anc mpotant n flud, ma n mzz non sold è d solto assocata alla convzon d all aggamnto. Ha una bas toca fondata sulla toa cntca molcola, scondo la ual la tmpatua d un lmnto matal è popozonal all nga cntca mda dll patcll c lo costtuscono pocé l nga ntna è l nga possduta da un lmnto matal n vtù dlla vloctà dlla poszon latva dll molcol: n sulta c uanto pù vlocmnt s muovono l su molcol, tanto maggo sono la tmpatua l nga ntna n un lmnto d mata.

3 9 Quando l molcol d una gon acustano un nga cntca mda maggo d ulla dll molcol d una gon adacnt, com palto ndcato da una dffnza d tmpatua, l molcol avnt maggo nga cdono pat d usta all molcol dlla gon a tmpatua mno. o scambo d nga può avvn p uto lastco ta l molcol (n flud) o p dffuson dgl ltton pù vloc da gon a tmpatua maggo vso gon a tmpatua mno (n mtall); n sold non mtallc è nvc dovuto all vbazon dll molcol all ntno dl tcolo. Pù n gnal, n sold la tasmsson dl calo è dovuta alla somma d du componnt: gl fftt dll ond d vbazon dl tcolo podott dal movmnto vbatoo dll molcol c occupano poszon latvamnt fss (componnt d tcolo) l nga taspotata dal flusso lbo d ltton (componnt lttonca). a pma componnt, c pval nll sostanz non mtallc, dpnd fotmnt dalla dsposzon dll molcol: p sold cstalln stmamnt odnat (ual damant) ava ad ss molto pù alta d ulla d mtall pu, n ual nvc l mccansmo pvalnt è la sconda. Va ossvato tuttava com sold cstalln com l damant (ma anc smcondutto, com l slco), dvsamnt da mtall, buon condutto d lttctà calo, sultno buon condutto d calo ma cattv condutto lttc p usto tovano lago mpgo nll ndusta

4 9 lttonca (vd dsspato d damant usat nl affddamnto d componnt lttonc patcolamnt dlcat o ol guanzon d slco usat nll assmblaggo). In un ludo o un gas, nvc, l patcll muovndos utano ta d loo con l pat dl contnto: uando du molcol c possdono ng cntc dffnt colldono, una pat dll nga cntca dlla molcola pù ngtca (a tmpatua maggo) s tasfsc alla molcola mno ngtca (a tmpatua mno). Maggo è la tmpatua, pù vlocmnt l molcol s muovono, pù lvato è l numo d tal collson mglo è la tasmsson dl calo. In patcola la toa cntca d gas pvd c la conducbltà tmca d gas sa popozonal alla adc uadata dlla tmpatua assoluta d nvsamnt popozonal alla adc uadata dlla massa mola M. gg d Fou Nlla tasmsson d calo un lmnto fondamntal è la dtmnazon dlla dstbuzon d tmpatua, spmbl n gnal con la lazon f x, y, z, t, c dfnsc un campo scala. supfc caattzzat da un solo valo d tmpatua sono dtt supfc sotm, non s ntscano ta loo s stndono fno a confn dl sstma o s cudono su s stss stando tutt all ntno dl sstma. Il gadnt d tmpatua n un punto dl campo è l appoto ta la vaazon d tmpatua cospondnt ad un sgmnto nomal alla supfc sotma passant p ul punto la lungzza dl sgmnto stsso.

5 9 Il gadnt d tmpatua è ontato postvamnt vso l tmpatu cscnt; con la sua dfnzon ad sso vn assocato un campo vttoal, l cu ln d foza sono ppndcola all supfc sotm. Pocé l calo flusc spontanamnt da punt a tmpatua maggo vso punt a tmpatua mno, l flusso d calo a vso opposto al gadnt d tmpatua. x gadnt d tmpatua x flusso tmco vso dl flusso tmco x x x gadnt d flusso tmco tmpatua vso dl flusso tmco x E possbl dfn un nuovo campo vttoal, ullo dl flusso d calo, l cu ln d foza concdono con ull dl campo dl gadnt d tmpatua, ossa du vtto flusso gadnt sono paalll, ma anno vso opposto. In patcola l vtto dnstà d flusso d calo s dfnsc com la uanttà d calo c nll untà d tmpo attavsa l untà d supfc sotma. naltcamnt, usta dfnzon s spm con la lazon:

6 95 gad EGGE DI FOURIER dov la costant d popozonaltà è la conducbltà tmca dl matal, una gandzza scala postva c costtusc una poptà tmofsca dl matal. Essa appsnta la dnstà d flusso d calo latva ad un gadnt d tmpatua untao nl W m W SI ssa s msua n. K m m K In gnal vaa con la tmpatua, ma n molt poblm nggnstc la vaazon è tascuabl. ESEMPI DI DISRIBUZIONI DI EMPERUR Supfc sotm n d flusso tmco

7 96 Euazon d FOURIER o uazon gnal dlla conduzon. P dtmna la dstbuzon d tmpatua x y, z, è ncssao dspo d un uazon dffnzal c spma com vaa la tmpatua dl mzzo al vaa dlla poszon nllo spazo nl tmpo. tal fn s consda un lmnto d volum V (d spgol dx, dy, dz paalll agl ass spttv) d un sstma omogno d sotopo con conducbltà tmca costant d n assnza d cambamnt d fas; l volumtto V sa po accuso da una supfc S. V = dx dy dz Il pncpo d consvazon dll nga: de de c p du dq d nl ual s omttono tmn d lavoo, non ssndoc lavoo d dfomazon, d nga cntca potnzal, consdando l sstma n ut sptto ad un fmnto nzal, è spmbl nlla foma:

8 97 uanttà ntant d calo nl sstma uanttà d calo uanttà d calopodotta uscnt dal sstma all'ntno dl sstma vaazondl contnuto d nga ntna dl sstma dq dqg du. Da tal blanco è possbl ddu un uazon dffnzal c lga la tmpatua all coodnat spazo tmpo. In patcola dq appsnta la uanttà d calo c nl tmpo d attavsa la supfc ds va ptanto calcolata com flusso dl vtto attavso ds nl tmpo d, ossa: dq S n ds d con n vso nomal alla supfc ds, ontato nl vso uscnt dalla supfc stssa. Utlzzando l toma d Gauss s a: dq dv dv d dv gad dv d dv d. V V V a uanttà d calo dqg podotta all ntno dll lmnto d volum nl tmpo d può valutas a pat dalla conoscnza dlla uanttà spcfca d calo podotta nll untà d tmpo p untà d volum, g, l cu valo vn dtmnato dall spnza p dvs cas c ntssano la tcnca: dq g gdv d. V a vaazon d nga ntna è spmbl com: du mc d U dov V m dv V c dv d d d.

9 98 Dvdndo p d agguppando t tmn sotto un unco sgno d ntgal, s ottn: dv gdv V V V c dv d V g c dv Essndo dv pcé l ntgal sa nullo s dv annulla la funzon ntganda. Dvdndo nfn p c s ottn: g c EQUZIONE d FOURIER dov è dtta dffusvtà tmca d è una poptà tmofsca dl matal. c W m Dmnsonalmnt s spm: mk. g J s m g uazon d Fou è un uazon dffnzal lna n dl odn, l cu condzon al contono sono n gnal conducbl ad uno d cas sgunt: - valo assgnato dlla tmpatua sulla supfc d contono, n funzon dlla poszon dl tmpo; - valo assgnato dl flusso d calo c attavsa la supfc d contono, n funzon dlla poszon dl tmpo; - valo assgnato dl flusso d calo c attavsa la supfc d contono, dpndnt dalla dffnza ta valo assunt dalla tmpatua sulla supfc stssa ad una dstanza tal da non snt patcamnt dl fnomno d scambo tmco n atto (ust ultma condzon contmpla l vfcas d scambo tmco supfcal convttvo /o adatvo). P spm l va fom dll uazon d Fou è oppotuno dstngu ta poblm n cu l tmpo non nflusc sul valo dlla tmpatua, c è costant nl tmpo, poblm n cu

10 99 tal paamto a la sua mpotanza; pm vngono dtt d gm stazonao, gl alt d gm non stazonao, dstngundolo n patcola ta tanstoo o vaabl. In condzon stazona n ualsas punto dl sstma la potnza tmca ntant dv ss ugual alla potnza tmca uscnt non s a alcuna vaazon d nga ntna. In condzon d gm non stazonao la potnza nvc è vaabl la tmpatua n cascun punto vaa nl tmpo. Pocé una vaazon d tmpatua sta ad ndca una vaazon d nga ntna, l accumulo d nga è pcula dl flusso non a gm: mc U. In patcola, l tmn tanstoo vn usualmnt svato a u poblm n ual l gm vaabl ad un cto momnto a tmn subnta una stuazon stazonaa. S l gm è stazonao l mmbo dll uazon d Fou s annulla l uazon s duc a: g c Dvdndo p s ottn: g EQUZIONE d POISSON con g sognt dl campo d tmpatua. N cas stazona n cu non s a gnazon d calo, l uazon d Fou s duc a ulla pù smplc d aplac: EQUZIONE d PCE Nl caso d conduzon n gm vaabl n un mzzo c non è sd d gnazon d calo, l uazon s duc a:

11 Nl sguto và solta l uazon gnal solo con fmnto al caso pù smplc, ossa ullo d gm stazonao n assnza d gnazon d calo, p una gomta pana. In tal caso ssa dvn: d dx con l condzon al contono: p x = = p x = Δx = Una pma ntgazon fonsc: d d dx dx d cos tan t dx d una sconda ntgazon: d dx x B Imponndo l condzon al contono s cavano l costant: p x = = B p x = Δx = x B x da cu: x x x

12 c appsnta una dstbuzon lna d tmpatua. S ossv com l andamnto dlla tmpatua sa ndpndnt da und dal matal attavsato, mnt è funzon solo dl suo spsso Δx dlla tmpatua sull du facc. Dalla lgg d Fou s può po cava l flusso tmco: d dx x x Conduzon monodmnsonal stazonaa snza sognt d calo spsson dl flusso tmco vngono d sguto cavat p t dvs gomt (stato pano, stato clndco, gusco sfco) utlzzando la lgg d Fou, d pù smplc soluzon. Stato pano Consdamo uno stato d matal omogno d sotopo, dlmtato da du supfc pan paalll d stnson nfnta, mantnut a tmpatua costant d unfom. Dalla lgg d Fou, spaando l vaabl d ntgando s ottn: x x x d dx x x dx d R x K x x

13 x x x R x / sstnza tmca Clndo Cavo Dall uazon d Fou: d d d d Spaando l vaabl: d d d ntgando: ln R ln R Gusco sfco

14 Pocdndo com n cas pcdnt s a: d d d d Spaando l vaabl d ntgando: d d R R naloga lttca analoga c collga ta loo lo studo d fnomn tmc d ull lttc ta ogn dalla smltudn sstnt ta l uazon c l govnano: s a nfatt c fomalmnt alla lgg d Fou cospond la lgg d Om all uazon d Fou l uazon dlla dstbuzon dl potnzal lttco. a fomal guaglanza ta l uazon consnt d utlzza alcun sultat analtc pop dlla toa dll lttctà anc p lo studo dlla tasmsson dl calo. Un tpco smpo s a nl conctto d sstnza tmca c fa sì c, analogamnt a ull lttc, l sstnz tmc n s s sommno.

15 sstnza d una tal analoga consnt und d alzza modll lttc p mzzo d ual è possbl pvd l compotamnto tmco d stuttu complss, c dffclmnt potbbo ss studat analtcamnt. Sstm compost S analzzanno nl sguto l du tpolog pù comun, ossa sstm compost pan ull clndc. a) Pan P una lasta composta da pù stat (nl sguto c fmo a du), ssndo l flusso tmco n gm stazonao lo stsso n ogn lmnto, s a: () () x x () () x x x x x Esplctando l dffnz d tmpatua: sommando mmbo a mmbo: R R R R x x R R Gnalzzando, s può affma c l flusso d calo attavso pù lmnt n s è ugual al appoto fa l dffnza global d tmpatua la somma dll sstnz tmc.

16 5 S sstono condzon al contono d tpo convttvo, la pat d snsta è a contatto con un fludo a tmpatua mnt l alta è a contatto con un fludo a tmpatua, s a: da cu x x Sommando, dopo av splctato l dffnz d tmpatua, s ottn: R R R R x x R x x R S smplfca la scttua combnando l sngol sstnz nl coffcnt global d scambo tmco U : tot R U U dov. b) clndc S consd un sstma clndco costtuto da du stat d matal lambto all ntno d all stno da du flud, spttvamnt a tmpatua, c scambano calo p convzon con l supfc dl clndo. S a: p la supfc ntna: R

17 6 p l clndo ntno: ln R p l clndo stno: ln R p la supfc stna: R. Esplctando l dffnz d tmpatua: R R R R sommando mmbo a mmbo: R R R R ln ln Utlzzando l coffcnt global d scambo tmco U : tot R U U dov. Nl caso d gomta clndca, ssndo l supfc dvs, l coffcnt U può ss fto a ualsas aa: p vta confuson, dovbb tuttava smp ss pcsata l aa d fmnto. Essndo l damto stno pù facl da msua, d solto s usa l aa dlla supfc stna, ndcando l coffcnt global com U. Dvdndo p s ottn: Commntato [u]:

18 7 U ln ln ln ln Spsso ctco dll solant Dall spsson d fluss tmc sctt p l clndo stno la supfc stna sulta com un aumnto d, ossa dllo spsso dll solant, facca aumnta logatmcamnt la sstnza tmca dovuta alla conduzon, ma nl contmpo duca lnamnt la sstnza tmca d convzon. a lazon fa calo tasmsso spsso dll solant può studas uanttatvamnt analzzando l spsson svluppata p clnd coassal. Essndo n molt stuazon patc la sstnza tmca concntata nll solant sulla supfc stna, s smplfcà l uazon supponndo c sa la tmpatua dlla supfc ntna dll solant. In tal caso cò uval a consda lo stato pù ntno (l tubo) sottl d lvata (mtallo), così da pot tascua l salto tmco su d sso. Ptanto: ln ln. Ptanto f ln. Dvando d uguaglando a zo p cava l massmo o mnmo s a: c f '

19 8 P vfca s tal valo è un massmo o un mnmo, s calcola la dvata sconda n c : f c '' c. c c Qund c è un mnmo p la funzon, c appsnta l dnomnato dlla fazon, p cu a un massmo p dal ual s vnc c s mnt s c c c. S ottn n patcola l andamnto potato n fgua. l pdt d calo aumntano con l aggunta d matal solant ss dcscono p aggunta d matal solant. P,. N cas patc tuttava è molto pccolo d l c è pù pccolo dllo spsso dl tubo nudo p cu è smp utl sola. Conducbltà tmca vaabl. a dpndnza dlla conducbltà tmca dalla tmpatua vn soltamnt spssa mdant una lazon lna: b. andamnto dlla tmpatua dpnd dal valo dal sgno d b : s b csc con la tmpatua, l matal è buon condutto ad lvata tmpatua cattvo condutto a bassa tmpatua. Il contao s a p b, nl ual caso dcsc con la tmpatua. P ottn l poflo d tmpatua, dvando sptto alla tmpatua la lazon s a:

20 9 b d d d d > s b d d < s b d d = s b. ossa s b la concavtà è volta vso l basso, s b vso l alto, s b l andamnto è lna. In tal caso la lgg d Fou dvnta: a) stato pano dx d b spaando l vaabl d ntgando: b b b b x x d b dx x x calcolando l valo mdo d : b b b b b b b m s a: ( ) x m b> b= b<

21 m x b) clndo cavo d b d Spaando l vaabl d ntgando: d b d Il scondo mmbo è ugual all spsson svluppata nl caso dllo stato pano p cu, utlzzando l valo mdo d, s avà: ln m da cu: ln m c) gusco sfco d b d spaando l vaabl d ntgando: d b d nc, u, analogamnt al caso pcdnt:

22 m da cu: m Conduzon monodmnsonal stazonaa con gnazon d calo Esmp caattstc d sstm con gnazon d calo sono l bobn lttc, l sstnz lttc, atto nucla la combuston d una caldaa. Il caso pù smplc s a uando la gnazon d calo è costant nl tmpo nllo spazo, com accad n condutto pcos da cont lttca, sd d gnazon d calo p fftto Joul. a bas dllo studo tmco data dall uazon d Posson: g Utlzzando l coodnat clndc supponndo c la dstbuzon d tmpatua dpnda solo dalla dstanza adal, l uazon s caattzza: d d g d d P un condutto d szon clndca avnt aggo, lungzza, pcoso da una cont I sotto una tnson V, g appsnta la uanttà d calo dsspata p fftto Joul p untà d volum, c val: I R V I. V g S utlzzano du condzon al contono dl tpo:

23 d d p S dov S è la tmpatua dlla supfc stna dl condutto. Moltplcando l uazon p d d d d d g d d d s a: o o s d d Posto po: t, s a dt d d d l uazon dvn: g dt t d d t g d, d, ossa c è un uazon dffnzal a vaabl spaat. Intgando s a: g t C. d d g Essndo t C. d d d S dtmna C dalla condzon al contono d C und: d g d g. d d Intgando ancoa, spaando l vaabl:

24 C d d g g. S cava C mponndo la condzon al contono p S, C g, da cu l andamnto dlla tmpatua sulta: ) ( g S g S S g g. a tmpatua massma s ottn annullando la dvata pma: p d d g g. P vfca s = è un massmo o un mnmo s calcola la dvata sconda: d d g, p cu è un massmo. a tmpatua è und massma sull ass val: g S. Conduzon bdmnsonal stazonaa snza gnazon d calo In tal caso l uazon c gg la dstbuzon d tmpatua è la sgunt: y x s è unfom.

25 a spaazon dll vaabl appsnta l appocco classco alla soluzon dll uazon, c u và llustata applcandola ad un poblma latvamnt smplc: una pasta ttangola sottl snza sognt d calo con l supfc supo d nfo solat. uazon è un uazon dffnzal a dvat pazal lna d omogna, c può ss ntgata assumndo p x, y una soluzon podotto dlla foma: x y X xy y è funzon d x soltanto Y d y soltanto. Sosttundo s a:,, n cu X d X d Y. X dx Y dy Pocé l pmo mmbo è funzon solo d x d l scondo solo d y, l guaglanza può sussst solo s ambdu mmb sono gual ad un valo costant (s. ptanto l du uazon dffnzal all dvat total: a ). S ottngono d X a X dx d Y a Y dy Conduzon monodmnsonal n gm vaabl snza gnazon d calo S consdà u l caso pù smplc, coè la conduzon n uno stato pano costtuto da un matal omogno d sotopo, c non è sd d gnazon d calo ( ) p l ual l poptà tmofsc non dpndono dalla tmpatua. In tal caso l uazon: g dvn:, x

26 5 c è un uazon dffnzal all dvat pazal lna d omogna, c può ss ntgata assumndo p x, una soluzon costtuta dal podotto d du funzon, cascuna d una sola vaabl, ossa: x X x,. Sosttundo s ottn: d X d X dx d spaando l vaabl X d X d. dx d Pocé l pmo mmbo è funzon solo d x d l scondo solo d, affncé possa sussst l guaglanza d du mmb è ncssao c ambdu sano ugual ad una stssa costant, ossa non sultno funzon né dlla x né dlla. Ponndo usta costant pa a a, s anno l du uazon dffnzal all dvat total: d X a X dx d a d dov a è una costant l cu valo va dtmnato n bas all condzon al contono. a sclta d un valo ngatvo p la costant gaantsc un andamnto dlla tmpatua n dmnuzon nl tmpo, n confomtà con l scondo pncpo dlla tmodnamca. Conduzon b t dmnsonal n gm pmannt. Può ss tattata con mtod: - analtc; - gafc;

27 6 - analogc; - numc. Mtod naltc. Rcdono la conoscnza d funzon matmatc stmamnt avanzat, p cu n gn vngono lmtat alla soluzon d poblm latvamnt smplc (s. sstma bdmnsonal snza gnazon d calo). Mtod Gafc. Vngono utlzzat pvalntmnt p sstm bdmnsonal gomtcamnt complss con conton sotm o solat. o scopo d una soluzon gafca è la costuzon d una t d sotm d ln a flusso tmco costant. Qust ultm sono tangnt alla dzon dl flusso tmco n ogn punto und non può avs passaggo d calo attavso d ss, mnt attavso cascuna coppa d ss flusc una uanttà d calo costant; attavso l sotm l calo flusc nvc n dzon ppndcola: ptanto, l ln a tmpatua costant d a flusso tmco costant s ntscano otogonalmnt. Gafcamnt la dstbuzon d tmpatua consst n un dsgno n scala n cu sono taccat l sotm l ln d flusso fomando una t d uadat cuvln. a soluzon gafca è unca. Mtod nalogc. a fomal guaglanza fa l uazon c golano fnomn tmc ull lttc consnt d utlzza alcun sultat analtc pop dlla toa dll lttctà anc p lo studo dlla tasmsson dl calo. Il compotamnto tmco d stuttu complss, dffcl da tatta con mtod analtc, vn ptanto studato alzzando d modll lttc analog. Mtod Numc. Quando la gomta dl sstma l condzon al contono sono tanto complcat da non consnt né la soluzon analtca, né l analogca s può co all soluzon numc. P solv numcamnt un poblma d conduzon s suddvd l sstma n un numo pccolo d sottovolum ugual s suppon c cascun sottovolum s tov alla tmpatua dl suo punto cntal (punto nodal). S consda c l taspoto d calo avvnga solo ta punt nodal

28 7 c l nga s mmagazzn solo n ss, com s fosso collgat da ba fttz c agscono n confont dl flusso com condutto sstnz. In condzon d gm stazonao, la potnza tmca c flusc vso cascun punto nodal dv ss ugual alla potnza tmca c flusc dal punto nodal (Koff). P soddsfa usta condzon s ffttua un blanco tmco n ogn punto nodal, ottnndo tant uazon algbc uant sono punt nodal, c consntono d dtmnan l tmpatu. P l sstma d fgua a), latvamnt al punto n, s a: n n n n d ssndo,, ugual p tutt uadat s a: ) nodo dlla tmpatua al uazon ( n n n n n n a) b) S un punto nodal è stno, fgua b), solo mtà dlla supfc assocata alla conduzon fa punt ntn è convolta. S n patcola ssa è soggtta a scambo tmco convttvo s a: n n n

29 8 n n n n a Conduzon n gm non pmannt. S la potnza tmca n un sstma non vaa nl tmpo, ossa è costant, la tmpatua n cascun punto non camba s anno condzon stazona: n ualsas punto dl sstma la potnza tmca ntant dv ss ugual alla potnza tmca uscnt non s a alcuna vaazon d nga ntna. Quando la potnza vaa, la tasmsson a nvc luogo n condzon d gm non stazonao la tmpatua n cascun punto vaa nl tmpo: pocé una vaazon d tmpatua sta ad ndca una vaazon d nga ntna, l accumulo d nga è pcula dl flusso non a gm. Un tpco poblma d conduzon n gm non stazonao guada u sstm p ual, una volta nzato un pocsso d scambo tmco, pma c scompaano l condzon tansto sano aggunt condzon d gm stazonao dv passa dl tmpo. lt du tp d poblma d conduzon non a gm c spsso s scontano n nggna guadano sstm soggtt a vaazon podc d tmpatua d flusso tmco ull n cu la tmpatua n ogn stant è unfom n tutto l sstma, ossa è solo funzon dl tmpo. Flusso tmco tanstoo n sstm con sstnza ntna tascuabl Molt poblm d flusso tmco tanstoo possono ss solt apdamnt con accttabl pcson assumndo c la sstnza conduttva ntna dl sstma sa così pccola c nl sstma stsso n ogn stant la tmpatua sa sostanzalmnt unfom. Qusta smplfcazon è gustfcata uando la sstnza tmca stna ta la supfc dl sstma d l mzzo ccostant è tanto gand n confonto a ulla ntna, da contolla l pocsso d scambo tmco. Una msua dlla lazon fa l sstnz è data dal loo appoto:

30 9 R R /, / K n foma admnsonal, con coffcnt d convzon dl mzzo fludo ccostant, coffcnt conducbltà tmca dl copo d una sua lungzza sgnfcatva, c s ottn dvdndo l volum dl copo p l aa dlla supfc. Il appoto pnd l nom d numo d Bot B. S B, ossa R % R, l o ntodotto con l pots ffttuata è 5%. Un smpo d usto tpo d poblma è l affddamnto d un pccolo copo c vnga statto da un fono a tmpatua unfom s mmga n un bagno d affddamnto a tmpatua costant, così apdamnt da pot appossma la vaazon dlla tmpatua ambnt con una vaazon a gadno. Il blanco d nga n un pccolo ntvallo d tmpo dt s scv: du c Vd dt (l sgno ndca c l nga dt è cduta dal copo) d dt c V c, ssndo costant, può anc scvs com: d dt c V Intgando fa l tmpo t d l tmpo t t, con condzon al contono: p t, p t t, s a: ln t c V t

31 ln t c V o t c V c V a uanttà pnd l nom d costant d tmpo dl sstma pocé a l dmnson d un tmpo. Il suo valo ndca la vloctà d sposta d un sstma ad una sola capactà ad una c V mpovvsa vaazon dlla tmpatua ambnt. P t la dffnza d tmpatua è pa al 6,8% dlla dffnza nzal. cv t a t lttca uvalnt alla t tmca è appsntata n fgua. Il sstma è costtuto da una sola capactà, c, cacata al potnzal, s scaca attavso la sstnza. t I sultat s possono spm mdant paamt admnsonal. Essndo dvn: V l sponnt t dt =. c V c Moltplcando dvdndo p s a: V o C cv R t t t B c c. t Posto F o (n d Fou) s a: t c B F o BFo.

32 o studo è stato ffttuato p valo dlla tmpatua ambnt costant: sstono tuttava molt poblm n cu la tmpatua dl mzzo c cconda l sstma vaa nl tmpo. In tal caso l uazon da utlzza è dntca, salvo c ssndo t non possono spaas l vaabl. S pocd ancoa accoglndo al mmbo tmn contnnt la tmpatua dl sstma d al mmbo tmn contnnt la tmpatua stna : d dt cv d dt t t t. cv cv ntgal gnal, p una assgnata vaazon d l pmo, t saà dato dalla somma d du tmn: s, dtto ntgal patcola, soddsfa l uazon non contn costant abta; fscamnt sso appsnta la dpndnza dlla tmpatua dal tmpo dopo l stnzon d fnomn tansto (usta pat dlla soluzon vn spsso camata a gm pmannt). Il scondo tmn, t, s ottn mponndo c l mmbo sa nullo, fonsc così l costant d ntgazon, cu valo dvono cavas p mzzo dll condzon al contono. al tmn fscamnt appsnta la sposta dlla tmpatua dl sstma duant l gm tanstoo, c s stngu comunu sponnzalmnt n modo analogo al caso n cu costant. Ptanto: è s t. al tcnca può ss stsa ad ogn tpo d vaazon podca d tmpatua dato c uas tutt l funzon podc dl tmpo possono spms n s d Fou. Dagamm. P la conduzon n tanstoo, p pacc gomt smplc, sottopost a condzon al contono d mpotanza patca, la dstbuzon d tmpatua d l flusso tmco sono dsponbl sotto foma d dagamm o tabll.