1 FLESSIBILITÀ DELLE PRESTAZIONI Adeguamento delle prestazioni Assicurazioni indicizzate e rivalutabili

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1 FLEIBILITÀ DELLE PRETZIONI deguameo delle resazioi ssicurazioi idicizzae e rivaluabili ssicurazioi Wi Profi ssicurazioi Ui Liked....4 Ierazioi ra riserva maemaica ed ivesimei i assicurazioi a resazioi flessibili Ide Liked ssicurazioi a caiale variabile ssicurazioi Uiversal Life... 32

2 Flessibilià delle resazioi Idividuiamo due gradi caegorie di ierveo sul corao (ce ossoo coesisere):. ariazioe delle resazioi (ed eveualmee dei remi eriodici) mediae collegameo ad idicaori ecoomico-fiaziari ieri o eseri all Imresa (redimeo gesioe searaa, idici azioari, asso di iflazioe) 2. ariazioe delle resazioi i base alla facolà del coraee di variare, i corso di corao, il livello dei remi eriodici, di sosedere, er u limiao eriodo, il agameo dei remi sessi, di rocedere a relevamei di are della riserva maemaica. I moivi dell iroduzioe della flessibilià delle resazioi ossoo essere riassui ei seguei ui: o Iflazioe: il debio dell assicuraore è di valua e o di valore (assicurazioi dai) o Redimeo degli ivesimei e asso ecico: la base ecica adoaa el calcolo dei remi dev essere favorevole all assicuraore. La garazia di asso oe l assicuraore i osizioe sfavorevole riseo ad alri oeraori fiaziari ce o devoo forirla. lausola di areciazioe agli uili. o Pareciazioe agli uili dell assicuraore: uò essere reviso u eveuale areciazioe ace all uile demografico o a quello er sese. o ocorreza sul mercao fiaziario Queso siega la creazioe di rodoi iovaivi, ra cui idiciamo: 2

3 o le olizze liked (resazioi legae alle erfomace di fodi di ivesimeo o a idici azioari) o forme a remi uici ricorrei la resazioe assicuraa oale () dell assicuraore risula roriamee defiia solo co il agameo dell ulimo remio U E,,2.., e. o le Uiversal Life o le assicurazioi a caiale variabile.. deguameo delle resazioi I ale ambio cosideriamo ua cosruzioe auariale ce cosee di rareseare diversi modelli di flessibilià. La riserva maemaica i u corao assicuraivo garaisce l equilibrio auariale i ogi isae ra resazioi e cororesazioi. Per il geerico isae si a (roseivamee): Premi[,] Presazioi[,] oso il remio auo P a&& : : ossiamo riscrivere la relazioe di equilibrio: 3

4 & P a : : Ora se il coraee i corso di corao riciede u icremeo di caiale al asso j () e l assicuraore o effeua revisioe della base ecica, sarà ecessaria, ai fii dell equilibrio auariale, u oorua iegrazioe delle riserva maemaica, i base al asso j (2), e dei remi, i base al asso j (3). i dimosra quidi ce: j ( 2) (3) () P j a& : j : da cui si ricava ce j () j (2) P j (3) : a&& : j (2) P j P a&& (3) a&& : : media oderaa dei assi j (2) e j (3) aso redia: (2) (3) () j P j a& R j a&& : / co < & (2) () j R j a co ifiie soluzioi, co aricolare riferimeo alla misa ordiaria, riassumiamo le combiazioi iice dei re assi: 4

5 Modalià j () j (2) j (3) Descrizioe I j j Iegrazioe Immediaa a Premio Uico II j j Iegrazioe raeizzaa solo sulla duraa residua III j j j ombiazioe delle due modalià recedei lla modalià re soo ricoducibili le ecice di adeguameo iù diffuse. deguamei ricorrei ( ) ( j ) P P j ( ( 3) ) P a& : : adeguamei di riserva soliamee a carico della omagia ' ( ) ( j ) co ( ) ( 2) j j Tasso ecico î ce riora ad equià l oerazioe ricavao imliciamee da: P ( ) ( ) ( i q i ) ˆ ˆ ' ( iˆ ) /.. ssicurazioi idicizzae e rivaluabili oo forme assicuraive dove l adeguameo a caraere ricorree ed é deermiao i forza di alcue clausole corauali. Defiiamo: 5

6 I( ) o il asso di iflazioe s (aramero esero) I( ) o il asso di icremeo della riserva maemaica r defiio araverso il asso di redimeo degli ivesimei a coerura g (aramero iero) o l aliquoa di rerocessioe η, η g sarà ale da coseire di far froe alla garazia di asso ecico i ed all iegrazioe della riserva maemaica araverso r. Dovrà erao essere: ( i) ( r ) ( η g ) > r η g i i r η g i Ma, i LUNI MODELLI Le assicurazioi ad idicizzazioe comlea revedoo la roezioe oale del oere d acquiso delle somme assicurae (j () j (2) j (3) s). i uò defiire u idicizzazioe limiaa sueriormee ed iferiormee esrimedo il redimeo del iolo araverso la fuzioe f(s): f s' se α s < s' ( s) α s se s' α s < s' ', < α <, s' > s' ' se α s s' ' aleraivamee: ( ) j φ [ f ( s), ( s) ]; ( 2) j f ( s) ; ( 3) j ( s) co ( s) < f ( s). 6

7 Le assicurazioi rivaluabili soo iicamee defiie imoedo: 2) j () j (2) j (3) r; 2a) j () ϕ(r, γ r), j (2) r, j (3) γ r, co γ <. Qualora γ abbiamo il caso delle assicurazioi rivaluabili a remio cosae. lcui roblemi co i redimei miimi garaii: r η g i ma ; r i mi Esisoo modelli misi ce combiao le idicizzae e le rivaluabili. 3) j () s; j (2) r; j (3) ψ(s,r); 3a) j () αs; j (2) r; j (3) ψ(αs,r); 4) j () ϕ(r, s); j (2) r; j (3) s; 4a) j () ϕ(r, mi[r,s]); j (2) r; j (3) mi[r,s]; 4a) j () ϕ(r, ma[r,s]); j (2) r; j (3) ma[r,s]; Ricordiamo ace la ossibilià ce el corao siao irodoi eriodi di careza o clausole di sabilizzazioe..2 ssicurazioi Wi Profi Nelle assicurazioi i rofi, di origie briaica, la somma assicuraa è icremeaa aualmee (o comuque eriodicamee) mediae aribuzioe di u imoro, deo bous, fiaziao dagli uili dell assicuraore. osidereremo ua misa ordiaria di u assicurao di eà, co caiale assicurao e remio auo cosae co eriodicià ari alla duraa del corao. Disiguiamo ra: 7

8 8 o Reversioary bous: valuao e diciarao aualmee ma esigibile solo a scadeza o al decesso. Le iologie riciali soo: i ogi caso B B e B ' o bous semlice: B α co B α o bous comoso: B β, co - B - o bous suercomoso: B B δ γ o bous garaio: è reviso u livello miimo di bous B, a cui fa froe u caricameo aggiuivo i ambio di ariffazioe. E B B U / o Termial bous: valuao aualmee, ma assegao defiiivamee al corao solo a scadeza o al decesso. Le relazioi soo: o I corso di corao: ) ( ˆ ˆ T B (valore iformaivo ma o defiiivo)

9 o scadeza: (valore defiiivo) ( T ) B Di seguio rioriamo graficamee le logice soosai i due arocci. PERDIT DELL'IURTORE REERIONRY BONU B... B... B W B. W W eoca eoca eoca TERMINL BONU B W W W eoca eoca eoca Riserve maemaice (caso revisioary bous seza bous garaio) oo i uso due diversi arocci er la valuazioe della riserva maemaica roseiva. 9

10 ) roccio radizioale el calcolo della riserva si egoo coo solo dei bous assegai fio a (iclusa) a P,, & & 2) Precomuo dei Bous fuuri si iee coo dei bous sia assegai fio a (iclusa) sia dei bous diciarai i fuuro (ecessià quidi di simare l adameo fuuro del mercao fiaziario ce cosea dei margii riseo al asso ecico i).i >i k k k a P E B B, / ' ' ~ ' ~ ' & & ussise ua srea aalogia ra assicurazioi rivaluabili (a remio cosae) e i rofi.

11 .3 ssicurazioi Ui Liked Le ui liked soo caraerizzae da resazioi esresse i ermii di uià (o ari o quoe) di u fodo di ivesimeo (isieme di ioli azioari, obbligazioari o di debio ubblico e di alri bei fruiferi). I ale ambio vegoo auai ivesimei a coerura delle riserve ai ad aggaciare le resazioi al valore delle uià di coo rescele. i fii esosiivi cosideremo esclusivamee fodi a caializzazioe e o a disribuzioe cosiuii da bei mobiliari. I al caso il valore delle uià,, varia el emo er effeo del reivesimeo di ieressi e dividedi e delle variazioi dei valori di mercao dei ioli. e oiamo co z il asso di rivaluazioe delle uià ell ao (-,), allora il valore dell uià all eoca è: ( z ) dove z uò essere miore, uguale o maggiore di zero. Le forme assicuraive di queso io soo così raggruabili: Modello Nome Uià moearie Uià del fodo Bejami io Premi e aiale aiale caso via caso more 2 Bejami io 2 Premi e are del aiale caso via e aiale caso are del aiale caso more more 3 Briaico e Premi aiale caso via e Fracese aiale caso more 4 Premi, aiale caso via e aiale caso more

12 e le resazioi soo esresse i uià del fodo il riscio fiaziario grava sull assicurao, a meo di garazie di miimo. Nei modelli () e (2) il remio auo è scomoibile i due comoei: o ui ar: co cui si rocede all acquiso di uià del fodo; o serlig ar: co cui viee fiaziaa la coerura caso more e le sese. La riarizioe è defiia i base alla sruura corauale (el modello 4 ovviamee la serlig ar è ulla). Modello - Bejami io Il remio agao alla geerica eoca è refissao e cosae: P P P di cui la rima are fiazia la resazioe caso via (i uià) e la secoda quella caso more. I aricolare il rimo è u remio uico ricorree (i oicé l ieresse corrisoso diede solo dall adameo del fodo, essua garazia di asso): P m E m, Dove m, e, m m, ( z ) ( z ) 2

13 3 M m, oedo M m La riserva er la resazioe caso via sarà daa da M, (si oi ce raresea il valore auariale o aeso delle uià già aribuie al corao) ( ) ' z M da cui ( )( ) ' z m M ovvero ( )( ) ' ' ' z P La erlig Par è ricavaa araverso la relazioe di equià (da cui ricavare ace la riserva maemaica): E P - da cui

14 4 -- P " E a froe di cui si effeuerao ivesimei radizioali Tasso ecico diverso da zero P ( ) ( ) i m E m (diversa valorizzazioe delle quoe e o diverso umero) i ) ( e (uguagliaza delle resazioi a scadeza) da cui: ( ) ( ) ( ) ( ) z z i z da cui ( ) ( ) ( ) i z z ossia ( ) ( ) i i z z Modello 2 - Bejami io 2 (ag. 4) I queso caso la resazioe caso more è: refissao rivaluazioe delle Ui Par refissao valore uià al emo somme assicurae caso via co le ui ar fio a ( ) m M,,

15 5 Ioizzado, ai fii della scomosizioe del remio, di uilizzare lo sesso asso ecico i, la ui ar è il remio uico (er ogi ) di ua misa semlice di caiale m, co, : P,, ' mere la serlig ar sarà (i base a quao idicao er ) calcolaa come u remio aurale di ua coerura caso more a caiale variabile: /, P ( ) /,,, ' ' ' E E P P, - / : E a P && La riserva maemaica è quidi daa da: ", -,, M ' (NB caso more a remio aurale

16 Modello 3 - Briaico Il remio P è ieramee imiegao er acquisare uià del fodo. Idicado co k il umero di uià acquisae avremo: P k (o ierviee alcu faore demografico o fiaziario) Qualora la resazioe caso more fosse ari al valore di quoe acquisae fio al decesso o sarebbe resee alcu riscio demografico. Nel caso di u caiale sueriore al valore delle quoe emerge u riscio demografico (cosumo di uià). e N umero di uià aribuie al corao fio a, v > aliquoa di maggiorazioe delle resazioi caso more. d esemio: {, ( v ) ( N k ) } oure ma { H, ( v ) ( N k )} ma dove è u caiale esresso i ermii moeari (comorado u riscio fiaziario a causa del dela ra e il valore aleaorio) e H è ivece u umero miimo di quoe (ce comora ua semlificazioe della sruura ecica i quao il valore delle uià ierviee solo al momeo, eveuale, del agameo). I riferimeo allo scema co H la relazioe di equilibrio è: { H, ( v ) ( N k )} q N k N ma da cui si ricava, oso N, er via ricorree, i successivi valori di N. 6

17 Il caiale soo riscio i ermii di uià si ricava da: [ ma{ H, ( v ) ( N k )} N ] q N k N La riserva maemaica sarà: N Ifai la resazioe caso more è fiaziaa a remio aurale. Modello 3 - Fracese Tale modello revede: - ua resazioe i caso via a scadeza daa dal valore delle uia aribuie al corao - ua resazioe caso more i (,) ari a ma[somma remi uri versai; valore delle uià] Il remio auo è refissao P ( α) P e viee suddiviso i )Ui ar P ( - ξ) P k 2) erlig ar P ξ P (aliquoa i fuzioe della duraa (e dell eà media di igresso i assicurazioe) e o dell eà) ome si vede o ierviee alcu faore demografico, ercé le uià acquisae deermiao sia la resazioe caso more ce quella i caso via. 7

18 Modello ssicurazioi uiised i rofi E ua forma misa. i disiguoo dalle ui liked ercé il valore delle uià è deermiao dall assicuraore, azicé dal gesore, eedo coo, erò dei redimei dei ioli ei quali ivese le riserve e delle quoazioi dei ioli sessi (z ) ed iroducedo u asso di rivaluazioe del io: y ma[z, y mi garaio ] Il valore delle uià è icremeao mediae il ricooscimeo di bous e, a vole, di ermial bous. oo molo simili alle assicurazioi i rofi, ma dilazioao el emo i bous, i quao commisurai alla riserva maemaica, mere elle i rofi soo legai alla resazioe. Nelle rime si avrà ua maurazioe del bous iù lea, elle secode si arirà subio da valori elevai. Riscio fiaziario e garazie di miima resazioe L esressioe delle resazioi i quoe di u fodo comora u riscio fiaziario i cao all assicurao. Esisoo ossibilià di rasferimeo di are di esso all assicuraore ramie corai oe-eded, ma sorauo araverso ua garazia di miimo, o i merio al solo caiale a scadeza (mauriy guaraee), o al solo caiale caso more (dea beefi guaraee), o erambe. Garazie ce ossoo esser esogee, araverso u miimo, o edogee,uilizzado la somma dei remi agai. froe dell assuzioe di riscio fiaziario da are dell assicuraore sarà ecessario ricevere u adeguao remio. differeza di quello demografico qualificao come oolig risk (uò godere di u effeo di comesazioe ao iù quao la colleivià è esesa), quello fiaziario è u o-oolig risk, cioè comora uguale effeo er ui i corai i orafoglio. Esemio di mauriy guaraee aiale differio su esa, duraa, a remio uico. m umero di ià acquisae i. 8

19 9 scadeza, se o c è garazia di miimo, i caso via si avrà u caiale ( ) z m m Fissiamo u miimo G dao da: ( ) r m G er cui { } m G, ma La riserva iiziale sarà: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z r m m m z r m z, ma, ma (NB è aleaoria) (il secodo addedo è il coso della garazia di miimo) La riserva i sarà: ( ) ( ) ( ) z r m m z, ma La gesioe del riscio fiaziario è comio dell assicuraore.

20 Trascurado la comoee demografica er moivi di semlicià, il corao è assimilabile ad u oerazioe uramee fiaziaria. Poso m il umero di uià acquisae, la garazia di miimo er la resazioe a scadeza è rareseabile come: ma G ma m { G, m } {, m G} ma{ G m,} co G m ( r) i oi come la osizioe dell assicurao coicide duque co quella di ci deiee u orafoglio di m uià del fodo di ivesimeo e da u ugual umero di ozioi u euroee sul fodo sesso eserciabili i al rezzo d esercizio K G/m. m ma { G m,} m m ma{ K,} oure, co la scomosizioe call, G ZB uiari e m ozioi call euroee eserciabili i semre co rezzo d esercizio K G/m.: {, m G} G m ma{ K} G ma, Necessari sesso ivesimei relicai e ecice di orfolio isurace. Esemi di dea beefi guaraee Riscio fiaziarie e demografico combiai aso a are quello del modello di Bejami di rimo io, raabile co modelli auariali radizioali. I asseza di garazie N I reseza di garazie { G } ma, 2

21 Già visa el modello briaico ua garazia esogea ( G ) Già visa el modello fracese ua garazia edogea ( G P ) Garazia race { } G ma ercui si avrà ma { } ce le garazie di miimo sulle resazioi caso more riciedoo la valuazioe dei cosi er l assicuraore. e assumiamo deermiisico il umero dei decessi aui si uò affroare il roblema i modo aalogo alla quello legao alla garazia di miimo a scadeza..4 Ierazioi ra riserva maemaica ed ivesimei i assicurazioi a resazioi flessibili Dalle defiizioe delle resazioi elle varie forme assicuraive ossiamo evideziare le seguei ierazioi ra riserve (fuuri imegi ei dell assicuraore) e ivesimei a coerura: o forme radizioali (a resazioi o flessibili): l eià della riserva defiisce gli ivesimei a coerura ecessari o forme rivaluabili: come al uo recedee, ma a causa del meccaismo di rerocessioe gli ivesimei agiscoo sull imego eo dell assicuraore o forme ui liked seza garazie di miimo (ma vale ace er le ide-liked): viee comleamee iverio il rocesso logico riseo alle forme o flessibili, i quao è il valore delle uià a defiire la riserva maemaica 2

22 o forme ui liked co garazie di miimo (ma vale ace er le ide-liked): la garazia di miimo comora u imego uleriore e quidi icide sul io e l eià degli ivesimei. Le rime due soo dee liabiliy drive, mere le resai asse drive i base a quao evideziao..5 Ide Liked Le assicurazioi Ide Liked soo forme assicuraive del io mise o a caiale differio, iicamee a remio uico, (di duraa 5- ai), i cui le resazioi soo legae all adameo di uo o iù idici di riferimeo (idice dei rezzi, o quelli ce esrimoo il valore dei mealli reziosi o l adameo dei mercai fiaziari). Nel rosieguo cosidereremo solo forme legae a idici di Borsa (azioari) ce devoo avere ua base sufficieemee amia, al fie di eviare oscillazioi dovue alla reseza di u risreo umero di ioli (ricordiamo ce ossoo essere uilizzai idici geerali, secifici, di seore o globali). 22

23 Dao il legame co idici azioari è iicamee revisa ua garazia di miimo, i geere riferia al remio U versao dal coraee. Possiamo disiguere assicurazioi ide-liked ure: co essua garazia di miimo 2 assicurazioi ide-liked co garazia: è garaio il caiale γ U co γ >. 2.a ide-liked co garazia arziale: < γ < 2.b ide-liked co garazia di caiale: γ 2.c ide co garazia di caiale e ieressi: γ > ( r) U U γ dove r è il asso garaio. i cocereremo sulle ulime due e ioizzeremo e la resazioe sia demograficamee cera. Idicado co la duraa corauale, co I il livello dell idice di riferimeo all eoca, la resazioe a scadeza orà essere esressa da: ma U ma { U γ, U Φ( I, I,..., I )} { γ, Φ( I, I,..., I )} dove la fuzioe Φ idica u geerico riassuo dell adameo dell idice e defiisce la areciazioe alla erformace dell idice sesso. Idicao co g I I il asso di variazioe dell idice el -esimo ao di corao, orremo: j g g' se se se g < g g < g' g' 23

24 come asso di variazioe cosiderao ella fuzioe Φ (vegoo fissai limii iferiori e sueriori). osideriamo diversi esemi di Φ e γ (ce defiiscoo comleamee la resazioe a scadeza). a) Pareciazioe Iegrale Φ ( I, I,..., I ) ( g ) I Logicamee orebbe risulare egaiva. I al caso agisce la garazia di miimo. Nessu eo er il guadago egli ai. b) lique ( I, I,..., ) ( ) Φ I α j La garazia clique comora u cosolidameo delle osizioi raggiue. gisce ua garazia di miimo, araverso γ e j, e il eo g. α è l aliquoa di areciazioe (ace >, amlificazioe). Il massimo valore della resazioe è U α (g ). c) Pareciazioe ddiiva Φ ( I, I,..., ) α I j I ale modalià le variazioi osiive dell idice soo rasferie i modo addiivo. Il massimo valore è U (α g ). I 24

25 d) ariazioe media (verage Price) I I Φ I medio ( I, I,..., I ) α ma ; β i cui I medio è ua media dei valori assui dall idice di riferimeo ell arco di emo, ad esemio: I medio I Il aramero β cosee ua rivaluazioe di base dell imoro U. E uilizzaa er meersi al riaro da eveuali cadue dell idice di riferimeo i rossimià della scadeza. e) Rug Poso ρ e si fissio gli m arameri ρ, ρ 2,, ρ m, co ρ < ρ < ρ 2 < < ρ m e, ad es., ρ m 2, allora si defiisce: I Rug { ρ I I I er almeo u, } ma k ρ k k e Φ ( I, I,..., I ) I ma I Rug ; I I I al modo è ossibile cosolidare il gradio iù alo, fra quelli secificai dai arameri ρ k, raggiuo dall idice sull iera duraa corauale. Tale modello è molo uile i reseza di amie oscillazioi dell idice. 25

26 f) Ladder Fissao u iervallo di riferimeo, ad l ao, si idici co I s, il livello assuo dall idice el geerico isae s, e si oga: f I ma s I s I al modo si cosolida ao er ao il massimo valore raggiuo dall idice ell ao sesso. La resazioe a scadeza o è solo fuzioe della sequeza I,, I, ma dei valori I s co s, duque di ua fuzioe Ψ(I s, s ) i luogo della Φ ( I, I,..., I ). i oga, ad esemio: f f ' se se f f f > f ' ' co u fissao eo f. i orà adoare ua modalià addiiva: Ψ ( I, s ) α s La sruura fiaziaria ecessaria a soseere la resazioe a scadeza { U, U Φ( I, I )} ma γ,..., I deve essere ale da forire sia la garazia di miimo ce la rivaluazioe dell idice (ozioe). i suoga ce il remio uico U sia suddiviso i due ari: U U U U cosee all assicuraore di acquisare uo ZB, co scadeza e valore a scadeza U γ, allo scoo di fiaziare la garazia di miimo, ( z) U ' U γ. Percé U <U deve essere γ < (z) -. 26

27 U viee uilizzao er acquisare ozioi sull idice ce coseoo di oeere a scadeza il guadago defiio araverso la Φ (o la Ψ) adoaa. E ovvio ce le scele di γ e Φ soo sreamee correlae (si uò rivilegiare il redimeo cero o l aseo seculaivo). Nella raica assicuraiva le ide soo rogeae sulla scora di rodoi fiaziari già esisei (ioli sruurai dei ide-bod) cosisei i ZB legai ad idici di borsa (co legame secificao araverso Φ) e icludei garazie di miimo (secificae araverso γ). Il ricorso a ali rodoi rede comresibile il moivo ce le forme assicuraive ide liked siao a remio uico (a vole a remio ricorree): o il rogressivo iroio di remi rederebbe ecessario di disorre alle varie scadeze di aalogi ioli o le ide liked devoo avere la sessa duraa degli ide bod (i geere 5- ai) o devoo essere siulae al momeo dell emissioe da are dell iermediario fiaziario o l eià del caiale assicurao è vicolaa ai agli degli ide bod Negli esemi riorai sul Piacco emerge ce, a froe di re sceari dell adameo dell idice (crescee, foremee crescee e decrescee), le varie modalià di areciazioe comorao resazioi sesibilmee diverse. i iede ce ua o è eggiore dell alra, ercé ua resazioe iferiore si raduce i remio U iù basso e quidi maggiori disoibilià di U er acquisare lo ZB e quidi forire garazie di miimo iù elevae (i geere la clique è quella ce risula iù immue ad adamei egaivi dell idice, la rug segue molo l adameo del soosae mere la media forisce risulai abbasaza cosai al variare degli sceari). La sruura assicuraiva uò essere raresea araverso due esemi. ia rareseaa dalla ma U ma { U γ, U Φ( I, I,..., I )} { γ, Φ( I, I,..., I )} 27

28 W sia il valore dell ide bod i, diedee dalla erfomace dell idice fio all eoca araverso la fuzioe Φ; risula ovviamee W. osideriamo il rimo caso i cui il caiale caso more sia defiio come agameo di a scadeza o W i. I al caso o vi è riscio demografico e quidi la riserva maemaica i è ari a W. Il secodo caso, fermo resado, revede come resazioe caso more il caiale refissao agabile alla fie dell ao di decesso e quidi o legaa co l idice. E ecessario scomorre il remio i re ari. La rima fiazia la garazia i caso di via a scadeza, foria dallo ZB: o U U γ (z) - La erza raresea il remio uico di TM a caiale cosae, co asso ecico i: o U La secoda o U U U U cosee di acquisare ozioi sull idice di riferimeo, er aggaciare la resazioe al guadago defiio da Φ. Ovviamee vi deve essere comaibilià ra garazia, γ, fuzioe Φ e caiale. La riserva maemaica sarà: W co W valore dell ide-bod i. 28

29 Le differeze riseo ad alre iologie corauali are uile aalizzare i differei rofili delle olizze "liked" riseo a iologie corauali aareemee simili, al fie di erceire i moivi del differee raameo disciliare. Le radizioali olizze a resazioi rivaluabili, a rescidere dalle diverse forme ecice ce ossoo assumere, soo caraerizzai dal fao ce l accrescimeo delle resazioi, i u oica esclusivamee fiaziaria, è deermiao eriodicamee sulla base di assi di redimeo, diedei dai risulai di gesioe di aosii fodi searai dal orafoglio dell imresa. i raa quidi di accrescimei variabili di eriodo i eriodo e oerai sulla base di risulai già coseguii e defiiivamee assegai, secodo il cosiddeo meccaismo di "cosolidameo" della resazioe. ale modalià di accrescimeo delle resazioi è accomagaa di solio ace la garazia di u asso miimo di redimeo. ce quese olizze, quidi, fiiscoo er essere caraerizzae da resazioi variabili, o coosciue dall assicurao al momeo della sooscrizioe, ao da oer asserire ce quesi assuma i qualce modo u riscio di ivesimeo. oo ei erò i rofili di differeziazioe co le olizze "liked". I quese ulime, iazi uo, l accrescimeo delle resazioi o diede da assi di redimeo eriodici, ma dal valore corree dell eià di riferimeo. I aricolare, o si raa di assi di redimeo deermiai a oseriori sulla base dei risulai coseguii, ma di variazioi di valore desue dall adameo corree dei mercai di riferimeo. Ifie, elle olizze "liked" o si ao di orma accrescimei delle resazioi assegai i via defiiiva. Tra l alro, occorre soolieare ce, mere la variazioe di valore dell eià di riferimeo ce deermia il redimeo delle olizze "liked" è calcolaa sulla base delle deermiazioi di valori di mercao, elle olizze rivaluabili i assi di redimeo, eriodicamee calcolai ai fii dell aribuzioe delle erformace agli assicurai, oco ao a ce fare co valuazioi di mercao, diededo da aricolari crieri coabili di valuazioe. olo elle olizze "liked", i coclusioe, si uò dire ce l assicurao soori il riscio dell ivesimeo; riscio ce si cocreizza mediae la direa diedeza delle resazioi dal valore corree dell uià di coo resa a riferimeo. 29

30 .6 ssicurazioi a caiale variabile Le forme di queso io coseoo ua combiazioe delle due modalià di flessibilià vise al aragrafo. Il modello auariale soosae è il Ne York Life Model e la forma è iicamee a ia Iera, ma facilmee esesibile ace ad alre coerure assicuraive come le mise. Ne York Life Model assicurazioi rivaluabili (cei) osideriamo u assicurazioe ia Iera co caiale refissao cosae e remio auo vializio P a & & refissao cosae, calcolao al asso ecico i. raverso la relazioe di equilibrio esressa i via ricorree dall equazioe di Kaer: ( P) ( i) [ ( ) q ] e ioizzado ce ei successivi ai sia agaa ua sequeza di remi diversi da P e calcolai o i base a i, ma al asso ηg, o garaio, diedee dal redimeo degli ivesimei (come er le olizze rivaluabili), oso, er la geerica eoca si oiee: ( P ) ( i) ( r ) [( ) q ] e co semlici assaggi ( r ) α β P P. 3

31 bbiamo due faori di adeguameo del caiale assicurao: o α : esrime l effeo del redimeo ricoosciuo i relazioe al asso di recoo i (flessibilià 2); si oi ce uò essere ηg < i dao ce l asseza di garazia di asso. o β : esrime l adeguameo del caiale al livello di remio (flessibilià ). Ne York Life Model assicurazioe ui liked La resazioe é esressa i ermii di uià di u fodo di ivesimeo. i cosidera il umero iiziale di quoe assue co P, u asso di recoo i (o ecessariamee garaio) e oso z il asso di variazioe al eo di i, avremo co ) ( z z z i o ale imosazioe si giuge alla sessa faorizzazioe del modello recedee i due elemei di cui il rimo diedee dalla rivaluazioe delle quoe e il secodo dal livello di remio. 3

32 .7 ssicurazioi Uiversal Life Possoo essere cosiderae u evoluzioe delle forme a caiale variabile, i quao acceuao la liberà di scela dell assicurao, il quale uò variare sia il livello di remio sia effeuare relievi dalla riserva maemaica. Possoo essere cosruie sia secodo lo scema rivaluabile ce quello ui liked. Esamieremo il rimo caso. i sooliea la comlessià della gesioe ammiisraiva delle UL, a causa rorio della flessibilià e della ciarezza ce le coraddisigue, cosrigedo l assicuraore ad u coiuo aggiorameo della documeazioe corauale aalogamee all ammiisrazioe e coabilizzazioe delle oerazioi bacarie. Lo scema di fuzioameo è rareseao el grafico seguee: Ieressi ersam ei (Prem i) ese iiziali e ricorrei / oso coerura eriodica caso m ore (ed alre coerure) Prelievi (riscai arziali) aldo I remi soo di eià variabile e il loro agameo uò essere ace soseso seza ce il raoro assicuraivo si ierroma. La forma iica è a ia Iera. iò a rilievo solo ai fii del calcolo del livello iiziale del remio e ella defiizioe delle modalià di coclusioe del corao: er decesso o er relievo dell iero saldo del /. La resazioe caso more è daa dalla somma del saldo e di u imoro (cosae o variabile) ce raresea il caiale soo riscio. Nel grafico seguee rioriamo due diverse ozioi, i cui la rima (assegazioe del caiale sooriscio) a come caiale sooriscio l imoro cosae, mere ella secoda (assegazioe del caiale caso more oale) il caiale ma { ; } e quidi il caiale sooriscio è : - ma { ; } 32

33 I ozioe > II ozioe > ma { ; } aldo aiale oale c.m. (assegao) aiale soo riscio (assegao) aiale oale c.m. aiale soo riscio aldo emo emo 33