Radom walk classico Il radom walk classico) è il processo stocastico defiito da co prob. S = S0 X k, co X k = k= co prob. e le X soo tra di loro idipedeti. k Si tratta di u processo a icremeti idipedeti e ideticamete distribuiti i.i.d.); la distribuzioe dell icremeto è di tipo beroulliao, co due soli possibili valori e ). Seza perdita di geeralità poiamo S 0 =0. Il radom walk asimmetrico si ottiee ivece co passi asimmetrici co prob. p X k = co prob. -p Fabio Bellii 0 Simulazioe di u radom walk Iiziamo lo studio del radom walk attraverso u esperimeto di simulazioe. Per simulare le traiettorie, occorre simulare le variabili X k ; a questo scopo utilizziamo la fuzioe uidrd di Matlab; la stessa cosa può essere fatta ache i Ecel. Ecco la descrizoe della fuzioe uidrd: >> help uidrd UNIDRND Radom matrices from the discrete uiform distributio. R = UNIDRNDN) returs a matri of radom umbers chose uiformly from the set {,, 3,...,N}. The size of R is the size of N. Alteratively, R = UNIDRNDN,MM,NN) returs a MM by NN matri. Fabio Bellii 0
Simulazioe di u radom walk >> X=uidrd,00000,00) i questo modo geeriamo ua matrice 00000 00 i cui elemeti possoo essere oppure co probabilità del 50%. >> X:5,:5) visualizziamo a titolo di esempio le prime 5 righe e le prime 5 coloe as =. >> Y=*X-3 riscaliamo ifie la matrice i modo da avere e - al posto di e. Fabio Bellii 0 Simulazioe di u radom walk Abbiamo creato ua matrice co 00000 sequeze di 00 passi aleatori. Ciascua sequeza corrispode a ua possibile traiettoria del radom walk. Stiamo pertato simulado 00000 traiettorie di lughezza 00. La posizoe del radom walk è data dalla somma dei passi, pertato dobbiamo sommare la matrice Y lugo le righe: >> Z=[zeros00000,) cumsumy,)] co questo comado costruiamo la matrice delle traiettorie Z; la prima coloa è fatta di 00000 zeri il radom walk per defiizioe ifatti parte i 0); le successive 00 coloe soo date dalle somme dei passi, data dal comado cumsum. Visualizziamo a titolo di esempio le prime 5 righe e 5 coloe: >> Z:5,:5) as = 0 0 0 0 - - - - 0-0 0 0-0 0 0 0-0 Fabio Bellii 0
>> plotas') Simulazioe di u radom walk Fabio Bellii 0 Simulazioe di u radom walk Visualizziamo adesso le prime 000 traiettorie: >> plotz:000,:0)') >> Fabio Bellii 0 3
Simulazioe di u radom walk Rappresetiamo 0 traiettorie i grafici separati. Cosa possiamo osservare? >> for i=:0 subplot5,4,i) plotzi,:)) ais[ 0-0 0]) grid o ed >> Fabio Bellii 0 Simulazioe di u radom walk Alcue domade che si pogoo i modo aturale soo le segueti: Qual è la posizioe al tempo t? Dopo quato tempo raggiugo per la prima volta u livello prefissato, ad esempio S=? Dopo quato tempo ritoro per la prima volta all asse delle S=0)? Quate volte icrocio l asse delle? Qual è la frazioe di tempo spesa al di sopra dell asse delle? Qual è il massimo della traiettoria? Tutte queste domade hao ovviamete ua risposta probabilistica: la risposta è ua distribuzioe di probabilità. Fabio Bellii 0 4
Metodo Mote Carlo Nel seguito daremo ua risposta matematica rigorosa ad alcue delle domade poste ella slide precedete. Per adesso le affrotiamo da u puto di vista sperimetale, utilizzado il Metodo Mote Carlo, che cosiste el simulare u umero molto elevato di traiettorie e aalizzare le distribuzioi empiriche delle gradezze di iteresse. L idea di ricorrere a massicce simulazioi umeriche per valutare delle probabilità o dei valori attesi, o tipicamete i fiaza dei prezzi di strumeti derivati, è stata resa possibile dall avveto dei calcolatori elettroici. La formalizzazioe e lo sviluppo si ricoducoo di solito a Vo Neuma e Ulam, ell ambito del Progetto Mahatta. Il ome deriva ovviamete dalla città di Mote Carlo, leggedaria i quegli ai per il casiò. Si tratta di u metodo largamete impiegato i Fiaza sia per la valutazioe di opzioi che per la determiazioe del rischio di portafogli. Fabio Bellii 0 Posizioe al tempo t Ricordiamo che abbiamo simulato 00000 traiettorie del processo; rappresetiamo co u istogramma la posizioe rispettivamete ai tempi 5, 50, 75 e 00: >> subplot,,) >> histz:,5)) >> subplot,,) >> histz:,50)) >> subplot,,3) >> histz:,75)) >> subplot,,4) >> histz:,00)) Ovviamete al crescere di t la variabilità aumeta attezioe al fatto che la scala sull asse delle è diversa ei vari grafici). Fabio Bellii 0 5
Media e variaza della posizioe al tempo t Rappresetiamo media e variaza della posizioe come fuzioe del tempo t; la media ovviamete si discosta poco dallo 0; la variaza ivece è ua fuzioe lieare del tempo. Questa è ua prima caratteristica fodametale del radom walk; deriva dal fatto che per variabili idipedeti la variaza è ua quatità additiva. >> subplot3,,) >> plotmeaz)) >> subplot3,,) >> plotvarz)) >> subplot3,,3) >> plotstdz)) >> Fabio Bellii 0 Tempo di primo passaggio al livello Studiamo ora la distribuzioe del tempo dopo il quale viee toccato per la prima volta il livello ; ell ultima coloia ho iserito le traiettorie che o lo raggiugoo mai ei 00 passi cosiderati. Ituitivamete, quale potrebbe essere la media di questa distribuzioe? Co probabilità ½ il primo passo ci porta già i S=, quidi il tempo di primo passaggio è pari a co probabilità ½ si veda il grafico ella slide successiva). >> for i=:00000 a=mifidzi,:)==)); if isemptya)==; Ti)=00; else Ti)=a; ed ed Fabio Bellii 0 6
Tempo di primo passaggio al livello Rappresetiamo i modo più dettagliato la distribuzioe del tempo di primo passaggio: >> bis=[::0]; prob=histct,bis)./00000; prob=[prob:50) prob00)]'prob 0.4993 0.49 0.0634 0.0380 0.07 0.008 0.064 0.030 0.009 Si tratta i realtà di u esempio di distribuzioe dalle code estremamete pesati La distribuzioe di probabilità tede a 0 molto letamete quato t tede a ifiito: se calcoliamo il valore atteso el ostro esempio otteiamo circa 5,7 Il valore atteso seza trocameto è ifiito! 0.0803 o ci passa mai ei primi 00 laci) Fabio Bellii 0 Numero di icroci co l asse delle Studiamo ora la distribuzioe del umero di volte che la traiettoria icrocia l asse delle. Quate volte capiterà i media, cosiderado traiettorie di lughezza pari a 00? Vediamo ella ostra simulazioe: >> for i=:00000 Ni)=sizefidZi,:)==0),); ed >> bis=[:50]; >> prob=histcn,bis)./00000; >> plotprob) >> La media è iferiore a! Si tratta di u umero molto più basso di quello che tediamo ad aspettarci ituitivamete. Fabio Bellii 0 7
Frazioe di tempo sopra l'asse delle Per quato tempo il radom walk ha ua posizioe positiva? Se fosse u ivestimeto, per quato tempo soo i attivo e per quato tempo soo i perdita? Ovviamete el caso di u radom walk simmetrico la media del tempo per cui soo sopra l asse delle è 0; ma come sarà fatta la distribuzioe di questa variabile? L ituizioe farebbe pesare a ua distribuzioe uimodale simmetrica, ivece la risposta è molto diversa: >> for i=:00000 Ni)=sizefidZi,:)>0),); ed >> histn,0) La distribuzioe è simmetrica e ha media ulla, tuttavia la maggior parte delle traiettorie spedoo gra parte del tempo sopra oppure gra parte del tempo sotto! Fabio Bellii 0 Risultati teorici Alcui dei risultati che abbiamo visto dal puto di vista sperimetale possoo essere otteuti el caso del radom walk classico seza bisogo di strumeti matematici sofisticati. Osserviamo itato che el caso del radom walk classico tutte le traiettorie soo equiprobabili; qualsiasi fissata sequeza di passi ha probabilità ^-). Il problema è quidi di tipo combiatorio, di coteggio del umero di traiettorie co determiate caratteristiche. Idichiamo co la posizioe al tempo ; se si soo avuti p passi verso l'alto e q passi verso il basso, evidetemete p q =, p q = da p =, q = cui ricaviamo Fabio Bellii 0 8
Risultati teorici Idichiamo ora co N,) il umero di traiettorie equiprobabili) che dall'origie 0,0) portao al puto,); quate soo? Dato che devo fare p passi verso l'alto e q passi verso il basso, abbiamo che N,) è pari al umero di modi di predere p passi tra gli possibili; utilizzado i coefficieti biomiali: N, ) = = p e di cosegueza la probabilità p,) di essere el puto al tempo è data da p, ) = cioè è pari al umero di traiettorie per la probabilità della sigola traiettoria. Osserviamo che deve essere pari, altrimeti è impossibile arrivarci. Fabio Bellii 0 Il pricipio di riflessioe Sia A=, ), B=, ), co > e, >0. A e B soo due puti al di sopra dell'asse delle, B è quello più a destra. Idichiamo co A'=,- ) il puto che si ottiee riflettedo il puto A al di sotto dell'asse delle. Il pricipio di riflessioe afferma che il umero di cammii da A a B che toccao o attraversao l'asse delle è uguale al umero di cammii da A' a B. La dimostrazioe è puramete grafica: Fabio Bellii 0 9
0 Il teorema del ballottaggio Fabio Bellii 0 Siao >0 e >0 iteri positivi; il umero di cammii che vao dall'origie al puto,) rimaedo sempre al di sopra dell'asse delle è pari a N,)*/ E' u famoso teorema che è ua cosegueza immediata del pricipio di riflessioe; vediamo perché. Il umero di cammii che vao da 0,0) a,) rimaedo sempre al di sopra dell'asse delle è evidetemete pari al umero di cammii che vao da,) a,) rimaedo sempre al di sopra dell'asse delle ; Il umero di cammii totale da,) a,) è pari al umero di cammii tra 0,0) e -,-), cioè N-,-); Il umero di cammii da,) a,) che toccao l'asse delle, dal pricipio di riflessioe, è pari al umero di cammii da,-) a,), che è N-,). Il teorema del ballottaggio Fabio Bellii 0 Quidi il umero di cammii da 0,0) a,) che o toccao l'asse delle è dato dalla differeza "Se i u ballottaggio il vicitore ha voti di vataggio su N totali, la probabilità che ello spoglio sia sempre stato i vataggio è /N" ), )! )!! )! )! )! )! )! )! ), ), N N N = = = = =
Tempo di primo passaggio i 0 Idichiamo co u la probabilità di trovarci i =0 al tempo ; sappiamo che p, ) = quidi u = p,0) = Iiziamo a dimostrare il seguete lemma: la probabilità che il radom walk rimaga strettamete positivo fio al tempo icluso, è pari a u PS > 0, S > 0,..., S > 0) = Fabio Bellii 0 Tempo di primo passaggio i 0 Ifatti per calcolare PS > 0, S > 0,..., S > 0) possiamo codizioare rispetto alla posizioe al tempo : PS > 0, S > 0,..., S > 0) = PS > 0, S > 0,..., S = k ), k Ma ciascu addedo di questa somma può essere calcolato dal teorema del ballottaggio: k PS > 0, S p,) = u > 0,..., S = k ) = N,3) N,5) N,5)...) N,) N,3) = N,) = Fabio Bellii 0
Tempo di primo passaggio i 0 Ifatti per simmetria Sempre per simmetria abbiamo che quidi = p,) p, ) = p,) u PS 0, S > 0,..., S > 0) = PS < 0, S < 0,..., S > < PS 0, S 0,..., S 0) = u Si ha u primo passaggio i 0 al tempo se S 0, S S 0, S u -) u 0,..., S 0,..., S ) 0) e o è verocheache 0); quidila probabilità è 0) Fabio Bellii 0