CAPITOLO X ALCUNE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ. al quale la v.a. assume il valore 0. Se ne conclude che la v.a. X assume il valore x = 0 (1)

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1 TE0_dis fb - 3/0/007 3/0/007 - CAPITOLO ALCUNE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ I questo caitolo esamiiamo, ache a semlice titolo di esercizio, alcue articolari, ma comuque articolarmete imortati, distribuzioi di robabilità, determiadoe i relativi arametri, di tedeza cetrale e di disersioe 0 - Distribuzioe di Beroulli La rima, elemetare distribuzioe di robabilità che cosidereremo è quella defiita a artire da u eserimeto casuale S che ammetta solamete il successo o l isuccesso; i questo caso viee defiita ua va discreta che assume il valore al verificarsi di S ed il valore 0 el caso i cui se e verifichi la egazioe: è questa la va beroulliaa Lo sazio dei camioi Ω si comoe di due soli elemeti, quello corrisodete al verificarsi dell eserimeto, di robabilità, i corrisodeza al quale la va assume il valore, e quello corrisodete al o verificarsi dell eserimeto, di robabilità q, i corrisodeza al quale la va assume il valore 0 Se e coclude che la va assume il valore x 0 0 co robabilità 0 q e x co robabilità () Il valor medio di ua distribuzioe beroulliaa è E( ) 0 q, e la sua variaza è q( 0 ) ( ) q q q( q) q ( ) Si vede come la variaza, scritta i fuzioe della sola robabilità di successo, ovviamete semre o egativa, comresa tra 0 ed, assuma u valore miimo ullo i corrisodeza a e a 0, cioè i corrisodeza ad eveti er i quali o c è icertezza, risettivamete l eveto certo e l eveto imossibile, metre assume il valor massimo, ari ad u quarto, i corrisodeza a, e duque i corrisodeza alla massima icertezza sul risultato dell eveto () Si oti come si sia referito idiciare i valori della va a artire da 0, e o da ; ifatti, se avessimo scelto la umerazioe tradizioale che arte da a, avremmo avuto i valori x 0 e x, certamete ifelici

2 TE0_dis fb - 3/0/007 3/0/ Distribuzioe biomiale Si cosideri u eserimeto casuale costituito da rietizioi dello stesso eserimeto casuale elemetare o di Beroulli, er ciascua delle quali è defiita ua va beroulliaa i,,, Defiiamo allora ua uova va, somma delle recedeti, i, gli elemeti del cui sazio dei camioi Ω soo le le costituite dagli esiti dei successivi eserimeti beroulliai, duque del tio ω { ω ω, ω },, dove oguo degli i i i, ω uò assumere il valore o il valore 0 a secoda che il corrisodete eserimeto di Beroulli sia verificato o meo; duque il geerico ω sarà ua la formata da 0 ed, quale e ω { 0,,,0,0,, } I quato sora si ritiee, i modo del tutto aturale, che le variabili siao idiedeti tra loro, ossia che l esito della ω, o sia ifluezato dall esito della rietizioe ( i ) esima i, ω i, é ifluezi ω i, esito della rietizioe ( i ) esima i esima rietizioe dell eserimeto, e duque La uova va risulta così essere ua va discreta che uò assumere come valore tutti gli umeri iteri comresi tra 0 (otteuto el caso i cui l eserimeto elemetare o abbia mai avuto successo i essua delle rietizioi) ed (el caso i cui l eserimeto elemetare si sia verificato semre) Distiguiamo questi valori co u idice k al quale assegiamo il valore 0 er il iù iccolo, crescedo via via fio al valore er il iù grade: i questo modo ossiamo scrivere x k k La robabilità k (che idicheremo i questa sede come k, er idicare, oltre al umero di successi ache il umero di rietizioi effettuate ) del geerico valore k della va, è data dalla robabilità di trovare, tra gli elemeti che comogoo la la ω, esattamete k volte il valore, che ha robabilità, ed k volte il valore 0, che ha robabilità q idiedetemete dall ordie el quale si alterao zeri ed ui; duque q k k k, k Questa affermazioe si siega ribadedo che er otteere il valore k è ecessario che er k volte tra le rietizioi l eserimeto S abbia avuto esito ositivo, e duque si sia verificato altrettate volte u eveto di robabilità ; da qui la reseza ell esressioe roosta E ifatti evidete che o avrebbe sigificato idicare il umero di successi otteuti seza idicare ache il umeri di tetativi effettuati

3 TE0_dis fb - 3/0/007 3/0/007-3 del fattore k ; la reseza dell altro fattore k q si giustifica aalogamete, cosiderado che er k volte si è verificato u eveto, esito egativo di S, di robabilità q Rimae da siegare acora la reseza del coefficiete biomiale, che tiee coto del fatto che, se è vero che ella la di 0 ed il valore comare esattamete k volte, o è affatto imortate la osizioe i cui tali comaioo: ifatti, che i successi si siao avuti ei rimi tetativi, egli ultimi tetativi o, come iù robabile, alterati i vario modo agli isuccessi, quello che cota è solamete il loro umero Cosideriamo il caso 5 e k : le ossibilità soo esat tamete 0, come si uò vedere dall eleco di tutte le ossibili differeti ciqui- e formate da due e tre 0: {,,0,0,0 }, {,0,,0,0 }, {,0,0,,0 }, {,0,0,0, }, { 0,,,0,0 }, {,,0,,0 } { 0,,0,0, }, { 0,0,,,0 }, { 0,0,,0, }, {,0,0,, } 0 0, Risulta così giustificata l esressioe data alla robabilità di ogi sigolo valore della va biomiale (e abbiamo ache giustificato il ome dato a tale variabile) Si oti, er iciso, che k o k k, k q ( q) k o k, come deve essere La va biomiale, assieme alla sua distribuzioe di robabilità, viee sesso idicata co il simbolo ( ), k B,, semre co l idicazioe diretta del umero di rietizioi dell eserimeto che dà luogo alla sigola va Beroulliaa oché della robabilità di successo di quest ultima: è ifatti evidete che tali idicazioi cosetoo di costruire l itera distribuzioe di robabilità, k Come esemio di va biomiale e coseguete distribuzioe di robabilità, cosideriamo il lacio rietuto due volte di u ormale dado a sei facce el quale l eserimeto si ritiee verificato dall uscita del umero, e o verificato altrimeti; duque,, 5 q, B (, ) I questo caso,0 q, 0 3 q 5 0, 3,, q 3 L adameto della robabilità è riortato el grafico alla siistra che evidezia l adameto decrescete di questa Risulta

4 TE0_dis fb - 3/0/007 3/0/007-4 immediato il calcolo sia del valor medio che della variaza della distribuzioe i esame: E ( B(, )) xk k k, k, k 0 k 0 e B(, ) k 0 ( x k k E( B(, )) Dalle defiizioi recedeti otteiamo subito ( B(, ) ) E (0 3) ( 3) ( 3) Come secodo esemio cosideriamo la rietizioe er q 4 volte di u eserimeto che abbia di robabilità di successo (duque co q robabilità di isuccesso) I valori ossibili er la va biomiale associata sarao 0,,, 3, 4 co risettive robabilità,4,,4, La seraza matematica di sarà allora E ( B(4, ) e la variaza (0 ) ( ) ( 4 4 q ) 4 (3 ) (4 ) Questa volta il grafico evidezia come la distribuzioe di robabilità reseti u evidete massimo, risetto al quale essa ha u adameto simmetrico Se cosiderassimo u esemio aalogo, el quale 3 e q 3, otterremmo acora gli stessi valori della va 0,,,3, 4, ma questa volta co risettive robabilità,,,, Ache il grafico ci mostra come la macata equirobabilità faccia erdere la simmetria, ma lasci comuque evidete la reseza di u massimo Il calcolo della seraza matematica orta a

5 TE0_dis fb - 3/0/007 3/0/ E ( B(4, 3) , e quello della variaza, che calcoliamo come differeza tra il valore medio del quadrato, E( B (4, 3) e il quadrato del valore medio, [ E ( B(4, 3) ] , orta a , E( B (4, 3) [ E( B(4, 3) ] 4 q Dagli esemi roosti si vede come i tutti la seraza matematica si ossa otteere come rodotto della robabilità del sigolo successo er il umero di rietizioi dell eserimeto, e la variaza come rodotto della robabilità di successo co la robabilità di isuccesso e acora er il umero di rietizioi Questo o è aturalmete u fatto accidetale Osserviamo al roosito che la va biomiale B(, ) è stata resetata come somma delle va beroulliae i, B( ) i i,, ciascua di valor medio ; dal mometo che il valor medio di ua somma di va si uò otteere come somma dei valori medi delle sigole variabili, abbiamo che E ( B) Lo stesso uò dirsi er la variaza, erò solamete doo avere ricordato il fatto che le sigole va l essersi o meo verificato l eserimeto beroulliao ella rietizioe i risultao idiedeti tra di loro (i quato i esima o ha alcua iflueza sulla robabilità del suo verificarsi o meo ella successiva rietizioe ( i ) esima! ): duque ache i questo caso ossiamo affermare che la variaza della va somma delle va è la somma delle variaze q delle sigole va, dode la tesi Cocludiamo così che il assaggio dalla distribuzioe di Beroulli (sigola rietizioe di u eserimeto casuale suscettibile dei soli valori vero o falso, che esso assume co robabilità risettive e q, sul quale è defiita ua va che assume il valore se l eveto è verificato, 0 i caso cotrario) alla distribuzioe biomiale ( ) B, (rietizioe er volte dello eserimeto recedete) si ottiee dalla semlice moltilicazioe er il umero di rietizioi sia del valor medio che della variaza q dell eserimeto beroulliao Il giocatore icallito rifiuterà questa idiedeza

6 TE0_dis fb - 3/0/007 3/0/ Frequeza relativa Associata alla va distribuzioe biomiale è la va frequeza relativa, che assume come valori quelli della va biomiale divisi er, umero delle rietizioi dell eserimeto elemetare La relazioe tra le va biomiali ( ) B, e la va frequeza relativa è duque (, ) B Per le rorietà di valor medio e variaza, ricaviamo immediatamete come valore medio della va frequeza relativa E ( ) E( B(, ) ), ossia come valore medio la robabilità del sigolo successo; come variaza ( ) (, ) B q VAR VAR q Si osservi che al tedere di ad ifiito, ossia er u umero estremamete elevato di rietizioi di u eserimeto di Beroulli, la variaza della va frequeza relativa tede a zero, idicado u umero ercetuale di successi, e duque ua frequeza, che si stabilizza attoro al valore, robabilità di successo ricoosciuta a riori, e ciò i comleto accordo co quato affermato dalla legge dei gradi umeri Questa va frequeza relativa è imortate er le osservazioi segueti Si ricordi che i valori della uova va soo quelli della corrisodete va biomiale, cioè gli iteri dallo zero a, umero di rietizioi, divisi er, e sarao duque tutti coteuti ell itervallo [ 0, ] dell asse reale Questo è vero er tutte le va frequeza relativa, idiedetemete dal umero di rietizioi Quello che cambia co è il umero dei ossibili risultati che divetao semre iù fitti al crescere di Ifatti, se cosideriamo la va biomiale B (, ), che ha come valori gli iteri 0,,, i valori della corrisodete frequeza soo evidetemete 0,, ; se cosideriamo ivece la va biomiale B ( 4, ), che assume i valori 0,,, 3, 4, la frequeza relativa corrisodete assume i valori 0, 4, 4,3 4,, che soo acora tutti comresi ell itervallo [ 0, ] ma i umero (quasi) doio risetto al caso recedete Passado alla va biomiale ( 8, ) B si vede come i sigoli itervallii ei quali viee diviso l itervallo [ 0, ] vegao dimezzati di amiezza e raddoiati di umero acora ua volta, e così via Al crescere acora di, ossia, come si usa dire, al limite er che tede ad ifiito, otteiamo u tale ifittirsi di questi uti da suggerirci di assare dalla cosiderazioe di ua

7 TE0_dis fb - 3/0/007 3/0/007-7 va discreta alla cosiderazioe di ua va cotiua E questa ua aticiazioe del così detto Teorema del limite cetrale, del quale, forse, avremo modo di occuarci el seguito 04 - Distribuzioe di Poisso Alla distribuzioe di Poisso si arriva come arossimazioe della distribuzioe biomiale descritta i recedeza, arossimazioe ossibile el caso i cui il valor medio di questa, µ, risulta ragioevolmete costate al crescere del umero di rietizioi ; duque la sigola robabilità di successo deve tedere a zero quado tede ad ifiito i modo auto che il rodotto µ rimaga costate I tali iotesi la robabilità di k successi si k µ arossima co, k k µ e k!, dove si è scritto k i luogo di, i quato ella k sua esressioe o comare iù (é ) ma solo k (oltre che µ ) I geerale, le iotesi richieste ossoo essere soddisfatte dal caso i cui l eserimeto casuale S cosista ell effettuare u test di ositività ad ua malattia sugli idividui di u camioe di elemeti tratti da ua oolazioe, dove è la robabilità (meglio, la frequeza relativa) di u esito ositivo, e Poisso si usa se il rodotto q quella dell esito egativo La distribuzioe di µ è ressoché costate, ossia se è lecito affermare che la robabilità di successo decresce al crescere del umero degli elemeti del camioe La correzioe della robabilità della distribuzioe biomiale ella distribuzioe di Poisso comorta ua arossimazioe che rede o soddisfatte le esigeze caratterizzati ua distribuzioe di robabilità: basta osservare ifatti che la somma delle robabilità k o è er fiito Si otrebbe erò vedere come tali codizioi risultio soddisfatte semre meglio al crescere di : l arossimazioe è duque tato migliore quato maggiore è, ell esemio citato, il umero di test effettuati La verifica di questa affermazioe, come quella di altre successive, è lasciata alla buoa volotà dei Lettori che abbiao cofideza co il Calcolo ifiitesimale Ache er il calcolo della seraza matematica ossiamo dimostrare che E ( ) µ solo al limite er che tede ad ifiito Per quato ifie riguarda la variaza osserviamo che dall essere la robabilità di successo molto iccola, tedete a 0 al tedere di ad ifiito, è ossibile orre q, e duque, dal risultato otteuto er la distribuzioe bi- omiale, otteiamo q µ

8 TE0_dis fb - 3/0/007 3/0/007-8 Nell arossimazioe di Poisso, seraza matematica e variaza soo uguali, etrambe ari al rodotto del umero di rove effettuate co la robabilità di successo, : ( ) VAR( ) µ E 05 - Variabili aleatorie stadardizzate Sesso i luogo della geerica va, discreta o cotiua, si cosidera la corrisodete va stadardizzata Z associata alla, che gode della rorietà di avere seraza matematica ulla e variaza uitaria (vedremo quato siao imortati questi risultati) La defiizioe E( ) E( ) di Z è la seguete: Z VAR( ) Abbiamo immediatamete E( ) E( Z) E E( E( )) [ E( ) E( E( ))] ( E( ) E( )) e 0 E VAR Z VAR ( ) ( ) VAR VAR ( ) VAR( ) VAR( ) VAR( ) ( E( ) ) [ VAR( ) VAR( E( ) ) ] VAR( ) Per otteere questi risultati si è teuto coto del fatto che il valore medio di ua qualsiasi va è ua (va) costate, e come tale coicide co il suo valore medio ed ha variaza ulla Possiamo scrivere VAR ( E( ) ) VAR( ) VAR( E( ) ) VAR( ) 0 - Distribuzioe ormale o di Gauss Come uico esemio di distribuzioe di robabilità er ua va cotiua cosidereremo la distribuzioe di Gauss, che riveste tale imortaza da veire ache detta distribuzioe ormale La desità di robabilità è defiita sull itero asse reale R ed ha esressioe ( x µ ) ( x) e f π La distribuzioe di Gauss ha ua tiica forma di camaa (dalla quale trae u altro suo ome) resetado u massimo assoluto i µ x, el quale assume il valore f ( ) µ π Ri-

9 TE0_dis fb - 3/0/007 3/0/007-9 setto a tale uto di massimo è simmetrica (è ifatti ari risetto ad x µ di esso è crescete, er essere decrescete er x > µ ), e duque rima Il fattore che recede l esoeziale, detto fattore di ormalizzazioe, garatisce che l area comresa tra l asse delle ascisse ed il grafico della fuzioe di Gauss è uitaria, ossia ha misura ari a uo Questa codizioe è ecessaria er oter dare alla fuzioe di Gauss il sigificato di desità di robabilità (gli eserti sao che quato detto traduce i arole la codizioe f ( x) dx ) Dalla defiizioe data discede immediatamete o solo che come valor medio la distribuzioe ormale forisce il valore µ, che rareseta ache il uto di massimo, ma che questo è ache la moda, ed è ure il valore attoro al quale si disogoo simmetricamete gli altri, e rareseta così la mediaa; e discede ache che come variaza questa distribuzioe ha La corrisodete va stadardizzata si ottiee dalla sostituzioe Z µ (o ache oedo direttamete ella defiizioe della fuzioe f ( x) u valor medio ullo ed ua variaza uitaria); abbiamo i ogi modo f ( z) π e z (dove, seguedo ua cosuetudie quasi uiversale, il valore della variabile stadardizzata è stato idicato co la lettera z ) Il assaggio alla fuzioe ormale stadardizzata risulta ecessario er quato segue Come già aticiato, e come risulterà evidete dalle successive alicazioi, la distribuzioe ormale di Gauss è di fodametale imortaza, tato che i suoi valori si trovao tabulati Assieme a tali valori, forse di o eccessivo iteresse, almeo er i ostri fii, vegoo tabulati i valori delle aree delle orzioi di iao delimitate da u itervallo dell asse delle ascisse (l asse z ), co estremo (di orma quello siistro) i z 0, e dalla curva ormale stadardizzata I articolare questa secoda tabulazioe si rede ecessaria er il fatto che tali aree o sarebbero calcolabili i via esatta Queste tabulazioi o sarebbero ossibili fiché ella fuzioe comarissero due arametri arbitrari, risettivamete valore medio µ e variaza (o è ifatti esabile di tabulare la fuzioe er ogi ossibile scelta di µ e di!); ua

10 TE0_dis fb - 3/0/007 3/0/007-0 volta erò che la fuzioe è stadardizzata, cosa che orta ad u valore medio ullo e ad ua variaza uitaria, la tabulazioe risulta ossibile, ed è auto quella che si trova ei testi Nella tabulazioe delle aree idicate, avedo l itervallo dell asse reale estremo iferiore semre ell origie ed estremo sueriore i u geerico uto di ascissa z, urché z > 0, le aree stesse soo evidetemete fuzioe di z, riducedosi a zero er z 0, ed avviciado il valore 0 5 al crescere idefiitamete di z, valore che comuque si raggiugerebbe esattamete solo er z ifiitamete elevato I realtà, la tabella oe l area ari a 0 5 già er z 390, duque er valori molto coteuti della va stadardizzata La limitazioe z > 0 si siega co la simmetria, risetto all origie, della curva ormale stadardizzata La tabella uò veire letta ache al cotrario, ossia determiado l amiezza che deve avere l itervallo di base affiché l area abbia ua misura refissata Per esemio, se si volesse determiare l itervallo er il quale l area è ari a 0 45, tale umero adrebbe cercato ella tabella, e, el ostro caso, verrebbe ricoosciuto i z 45 (evidetemete, el caso i cui la misura scelta er l area o veisse trovata esattamete, ci si dovrebbe accotetare della misura iù vicia, seza doverci reoccuare iù di tato, dal mometo che è evidete il grado elevato di arossimazioe resete i tutto questo discorso) L imortaza di quato sora risiede el fatto, del quale abbiamo arlato i recedeza, che, se ua variabile aleatoria ha come fuzioe desità di robabilità la curva ormale stadardizzata, la robabilità che il valore z che essa assume sia miore od uguale ad u valore refissato, a, si ottiee dalla misura dell area comresa tra l itervallo, aerto o chiuso, (, a) dell asse delle ascisse e la curva ormale al di sora di esso Vediamo allora, er esemio, quale è la robabilità che sia z Dobbiamo valutare, usado le tavole, la misura dell area che sta al di sora dell itervallo (,] e al di sotto della curva ormale Possiamo cosiderare questa area come somma dell area osta al di sora dell itervallo (,0] co quella osta al di sora dell itervallo [ 0,], cosecutivo al recedete; data la simmetria della distribuzioe ormale, l area sovrastate il rimo itervallo è metà dell area totale, che è uitaria, sovrastate l itero asse reale, e duque la sua misura è ; l area rimaete viee letta sulle tavole, trovado il valore I defiitiva, l area totale ha misura 0 977, e la robabilità che la va assuma u valore miore od uguale a è del 97 7% Sesso, come detto, il ragioameto viee fatto all iverso, ossia, scelta ua ercetuale di robabilità, si vuole trovare l estremo sueriore dell itervallo che la garatisce Per esem-

11 TE0_dis fb - 3/0/007 3/0/007 - io, voledo ua robabilità del 95 %, ossia u area di misura 0 95, rietedo il ragioameto recedete, che attribuisce ua robabilità del % 50 all itervallo (,0), sulle tavole va ricercato il valore della arte di area macate, ossia il valore Si vede che tale valore è otteuto dall itervallo (, 45) 0, dove l estremo 45 è otteuto come media tra 4, che orta ad u area di , e 5, che orta ad u area di Duque, er avere ua robabilità del % 95 dobbiamo cosiderare l itervallo (,45) Se ifie volessimo idividuare u itervallo fiito, simmetrico risetto all origie, all itero del quale cada il valore z della va stadardizzata co robabilità refissata, α, dovremo fare il seguete ragioameto L area α si trova, come detto, riartita i arti uguali a siistra e a destra dell origie, z 0 ; duque sulle tavole adrà ricercato il valore corrisodete ad α, i base al quale si trova l estremo sueriore dell itervallo cercato; l estremo iferiore si ottiee cambiado il sego di quello ora determiato Se er esemio si fosse osto α 0 95, che idica ua robabilità del 95 %, dovremmo cercare sulle tavole l itervallo che determia u area di misura 0 95 / ; si trova così il valore z 95 9, e duque l itervallo all itero del quale cadrà il valore della va Z co robabilità ari al 95 % è [ 9, 9] Rimae aturalmete il roblema di come, ua volta che si siao letti i valori relativamete alla variabile stadardizzata, si ossa risalire ai corrisodeti valori er la variabile o stadardizzata Il roblema si risolve facilmete, ricordado la defiizioe di va stadardizzata Se ifatti volessimo trovare l itervallo el quale cade co robabilità refissata α il valore x della va, assado alla corrisodete va stadardizzata Z troviamo u itervallo, ( z, z ), el quale cade co tale robabilità il valore di Z : P ( z < z < z ) α Dal mometo che µ z x, se µ e soo risettivamete valor medio e variaza di, la disu- guagliaza recedete si scrive come x µ z < < z, dalla quale µ z < x < µ z Duque, l itervallo el quale cade il valore della co robabilità α è ( µ z µ z ),