ANALISI DINAMICA CON IL MEF Principali tipi di analisi analisi modale

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1 ANALISI DINAICA CON IL EF Pricipali ipi di aalisi aalisi modale aalisi i della risposa armoica aalisi di rasiorio diamico

2 ESENSIONE SISEA RISOLVENE IN CAPO DINAICO/ Coribuo ierzia i Accelerazioe dl L i i { e } { e P } Li Ls L δδ es Coribuo smorzameo { δv} ρ { v } dv { e e δv} ρ{ v } dv { δ } [ N ] ρ[ N ]{ } y x ρ{ v } dv V { e e δδ } [ N ] ρ[ N] dv { } V V ρ v y ρ v x

3 ESENSIONE SISEA RISOLVENE IN CAPO DINAICO/ Coribuo ierzia i Smorzameo dl L s s { e δ } { e P } Li Ls L δ es Coribuo smorzameo { } δv c { v } dv { e e δv} ρ{ v } dv { δ } [ N ] ρ[ N ]{ } y x c { v } dv V { e e δδ } [ N ] ρ[ N ] dv { } V V c v y c v x

4 ESENSIONE SISEA RISOLVENE IN CAPO DINAICO/3 { } { } [ ] [ ] { } [ ] [ ] { } e V e V e e N dv N N dv c N P ρ δ { } [ ] [ ][ ] { } e V e V V B dv D B δ V [ ]{ } [ ] { } [ ] { } { } e e e e e e e P K C [ ]{ } [ ] { } [ ] { } { } P K C [ ] [ ]dv N c N V [ ] [ ]dv N N V ρ [ ]{ } [ ] { } [ ] { } { } F K C [ ]{ } [ ] { } [ ] { } { }

5 ESENSIONE SISEA RISOLVENE IN CAPO DINAICO/4 Equazioe di equilibrio diamico [ ]{ } [ C ]{ } [ K ]{ } F ( ) { } Accelerazioi odali Sposamei odali Velocià odali arice di massa arice di rigidezza arice di smorzameo Forze esere

6 FORLAZIONE DELLA ARICE DI ASSA/ arice di massa cosise : [ ] e [ N ] ρ[ N ] dv simmerica sosazialmee piea Elemeo N riagolare N piao N N N N N ρ N 3 N N 3 N 5 N 5 N [ ] ρ[ N ] dv dv ρ N N N N N dv 3 5 dv dv N N N N N dv 3 5 dv dv N N N 3 N 3 N 3 dv dv 5 dv N N N 3 N 3 N 3 dv 5 dv dv N N 3 N N N dv dv dv NN5dV N N dv 3 5 N5dV

7 FORLAZIONE DELLA ARICE DI ASSA/ arice di massa lumped : la massa viee coceraa ei odi i qualche modo fisicamee acceabile (di solio ovvio per gli elemei co odi ei verici, meo ovvio per quelli co odi iermedi), i modo che risuli: ρdv m/3 m/4 m/4 m/3 m/3 la sruura della marice di massa è diagoale m/4 [ ] X X X X X X m/4

8 FORLAZIONE DELLA ARICE DI ASSA/3 5 Errore perc ceuale Cosise Lumped -5 - rave appoggiaa, elemei odo proprio La formulazioe cosisee produce errori miori i valore assoluo Le marici cosisee e lumped edoo a produrre rispeivamee ua sovrasima ed ua soosima delle pulsazioi proprie La sruura diagoale può risulare molo vaaggiosa i alcue soluzioi ieraive (es. aalisi di rasiorio) i quao o richiede iversioe

9 ANALISI ODALE/ Si propoe di deermiare le pulsazioi proprie di ua sruura e le relaive forme modali. Aalizza le oscillazioi libere della sruura, i asseza dei carichi eseri Effeo dello smorzameo soliamee molo piccolo [ ]{ } [ C ]{ } [ K ]{ } F ( ) { } [ ]{ } [ K ]{ } c m ω ωs ω ξ m x Per ξ. (%) si ha ω. 995 ω s

10 ANALISI ODALE/3 Calcolo delle pulsazioi proprie [ ]{ } [ K ]{ } { } { φ} si( ω ) { } ω{} φ cos( ω ) { } ω { φ} si( ω ) ω [ ]{ φ} si( ω ) [ K ]{ φ} si( ω )

11 ANALISI ODALE/4 Calcolo delle pulsazioi proprie ω [ ]{} φ si( ω ) [ K ]{ φ} si( ω ) ([ K ] ω [ ]){ φ} Sisema lieare omogeeo elle icogie { φ} de ([ K ] ω [ ]) soluzioe soluzioi { } φ

12 ( [ K ] ω [ ] ){ φ } ( [ K ] ω [ ]) de( ) ANALISI ODALE/5 ( ω ) a ( ω ) a ( ω ) a ω a... Radici i ω ω ω... 3 ω i... ω { φ } { φ } { φ }... { }... { } φ 3 φ i φ Forme modali

13 ( [ K ] ω [ ] ){ φ } ω i ANALISI ODALE/6 - equazioi i idipedei d icogie { φ } φ i ϕ i ϕ i i soluzioi Le compoei della forma modale soo oe a meo di ua cosae Rappreseao solo la forma della deformaa, o i valori effeivi degli sposamei max ϕ i Normalizzazioi ipiche φ i φi ϕ { } [ ]{ }

14 ANALISI ODALE/7 Sruura reale (coiuo) odello ad EF (discreizzao) pulsazioi i proprie gradi di liberà pulsazioi i proprie Relazioe?

15 ANALISI ODALE/8 ipico adameo spaziale delle Forme modali rave appoggiaa, elemei 9 5 modo modo modo solo elemeo: rappreseazioe poco accuraa del campo di velocià ed accelerazioe

16 ANALISI ODALE/9 rave appoggiaa, elemei 9.E 8.E 7.E 6.E odi calcolai i modo accurao g.d.l./ Errore perceuale e 5.E 4.E 3.E.E.E.E -.E odo proprio

17 SIERIA SRRALE/ Se si usao cosiderazioi di simmeria per ridurre le dimesioi di u modello,si oerrao solo i modi propri le cui forme modali rispeao la sessa simmeria.

18 SIERIA SRRALE/ Se si uilizza l assialsimmeria assialsimmeria, si oegoo solo i modi co forma assialsimmerica odello co elemei piai assialsimmerici φ.5 m s. m modo proprio Deformaa assiale f 6 Hz 5 m

19 SIERIA SRRALE/3 Se si uilizza l assialsimmeria assialsimmeria, si oegoo solo i modi co forma assialsimmerica odello co elemei rave φ.5 m s. m modo proprio Deformaa flessioale f Hz 5 m

20 NIÀ DI ISRA/ È preferibile usare il sisema m..s g m s m g s s ω m N m g g m s m g m s mm g s s 3 ω m N mm g g m s mm

21 ANALISI RIDOA/ Nell aalisi ridoa, lo sao di sposameo, velocià ed accelerazioe della sruura viee espresso i ermii di u sooisieme dei odi (Nodi aser ). Gli sposamei dei odi rimaei (Nodi Slave ) soo quidi calcolai a parire da quelli dei odi aser. L aalisi ridoa può essere applicaa ache i capo saico, per ridurre l oere compuazioale dell aalisi. g.d.l. aser { } { } { F } { } { g.d.l. Slave F { } { S F S } [ K ]{ } { F } [ K ] [ ] { } { } } K S F [ K ] [ ] S K SS { S } { FS }

22 ANALISI RIDOA/ [ K ]{ } [ K S ]{ S } { F } [ K S ]{ } [ K SS ]{ S } { F S } { } [ K ] ( { F } [ K ]{ } ) S SS S S [ K ]{ } [ K ][ K ] ({ F } [ K ]{ }) { F } S SS S ( [ K ] [ K ][ K ] [ K ]){ } { F } [ K ][ K ] { F } S SS [ K ˆ ]{ } { Fˆ } { } [ ] Kˆ { Fˆ } S S S SS S

23 ANALISI RIDOA/3 Iroducedo la suddivisioe ra aser e Slave ell equazioe di equilibrio diamico si oiee: [ ] [ ] { } S [ C ] [ C ] S [ ] [ ] { } S SS [ C S ] [ C ] S SS [ K ] [ K S ] { } { F } [ ] [ ] K { } { } S K SS S FS { } [ ] [ ] { } [ ] [ ] { } La riduzioe delle marici di massa e smorzameo ai soli g.d.l. aser o può essere faa i modo esao, come per la marice di rigidezza. Si usa perao ua formula di riduzioe semplificaa ed approssimaa proposa da Guya ( Guya reducio ) S

24 ANALISI RIDOA/4 Si oiee i al modo: [ ˆ ]{ } [ Cˆ ]{ } [ Kˆ ]{ } { Fˆ } [ ˆ ] [ ] [ K ][ K ] [ ] [ ][ K ] [ K ] [ K ][ K ] [ ][ K ] [ K ] S SS S SS SS [ ] Cˆ [ C ] [ K ][ K ] [ C ] [ C ][ K ] [ K ] S SS SS S S S S [ K ][ K ] [ C ][ K ] [ K ] S SS SS SS S S SS SS S S

25 ANALISI RIDOA/5 Crieri di selezioe dei g.d.l. aser (DOF): i DOF devoo essere i umero almeo doppio dei modi da esrarre scegliere i DOF elle direzioi i cui si vuole aalizzare le vibrazioi della sruura scegliere i DOF i pui della sruura caraerizzai da bassa rigidezza e/o elevaa massa scela auomaica: si basa sul rapporo: Q i m ii m ii Verifica qualià aalisi: Verifica qualià aalisi: la massa ridoa deve differire da quella oale per o più del -5% sudio di covergeza al variare del umero di DOF

26 ANALISI RIDOA/6 Pricipali algorimi di esrazioe di auovalori ed auoveori (ANSS) : Algorimo N modi N g.d.l. modello Velocià RA Hard dis Noe Bloc Elevao Elevao Elevaa edia Bassa Shell o shellsolid. Laczos Elemei disori Subspace Basso Elevao edia Bassa Elevaa Elemei o ieraio disori Power Dyamics Basso Elevao Elevaa Elevaa Bassa Richiede mesh fii Reduced ui edio- Elevaa Bassa Bassa sa DOF (Househo piccolo lder)

27 ANALISI RIDOA/7 Poeziali applicazioi dell aalisi ridoa: riduzioe degli oeri compuazioali dell aalisi riduzioe del umero di g.d.l. aivi ell aalisi modale, rispeo a quella saica, pur uilizzado u uico modello i modelli semplici, separazioe dell effeo dei diversi g.d.l. odali (es. i ua rave si possoo aalizzare separaamee i modi flessioali, esesioali, ec.)

28 COANDI ANSS/ ANALISI NON RIDOA /SOL ANPE, ODAL Defiisce il ipo di aalisi richiesa ODOP, ehod, NODE, FREQB, FREQE,,Nrmey - LANB Bloc-Laczos (Defaul) - SBSP Subspace Frequeza iiziale e -.. fiale per la ricerca dei modi N modi da esrarre (per SBSP, al massimo g.d.l./) OFF: forme modali ormalizzae su [] ON: forme modali ormalizzae al valore Per Power Dyamics: ODOP,SBSP EQSLV,PCG

29 COANDI ANSS/ ANALISI RIDOA LP, OPZ Aiva la marice di massa Lumped OFF: marice cosise (defaul) ON: marice lumped (deaful per Power Dyamics ) /POS SE,LIS Gli modi richiesi compaioo come subsep del Load sep SE,, Carica il modo PLDISP, PRDISP Rappreseao la deformaa

30 COANDI ANSS/3 ANALISI RIDOA /SOL ANPE, ODAL Defiisce il ipo di aalisi richiesa ODOP, REDC, NODE, FREQB, FREQE,,Nrmey, Node, Lab, SOLVE Nodo i cui meere il DOF g.d.l. da usare come DOF: -X,, Z -ROX, RO, ROZ -ALL

31 COANDI ANSS/4 ANALISI RIDOA FINISH Esce dalla soluzioe /SOL Riera ella soluzioe per il passo di espasioe EXPASS,ON Aiva il passo di espasioe XPAND, NODE, FREQB, FREQE, Elcalc, SIGNIF SOLVE N di modi da esrarre (al massimo, ui quelli idicai i ODOP) Frequeza iiziale i i e fiale per la ricerca dei modi OFF: o calcola i risulai complei per gli elemei (defaul) ON: calcola i risulai complei per gli elemei

32 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA SCOPO: Valuare la risposa del sisema i preseza di ua forzae esera di ipo siusoidale ed ampiezza cosae el empo. F ()A cos(ω) F ()A cos(ω) Su di ua sruura, la forzae è i geerale cosiuia da ua o più forze esere, avei ue la sessa pulsazioe, ma ampiezza e fase disie.

33 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA Se si applica la forzae a parire dall isae, co la sruura iizialmee a riposo, la risposa mosra u rasiorio iiziale, che si esaurisce dopo u cero empo, dopodiché la sruura oscilla co ampiezza cosae. Forza applicaa Forsa [N N] F()F () cos(ω) δ.6 Spos sameo [m].4. Oscillazioe di u sisema co pareza a riposo a rasiorio empo [s] Aalisi risposa armoica

34 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA Ipoesi: comporameo lieare della sruura ([], [C] e [K] cosai) I vari g.d.l. della sruura vibrao co ua legge del moo avee: adameo el empo di ipo siusoidale pulsazioe uguale a quella della forzae ampiezza e fase variabili da puo a puo x 3 x Forza (N N) x Sposameo (m mm) empo (s) x x x empo (s)

35 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { } F() K C ( ) ( ) Ω Ω f f ψ ψ cos cos max max Ω Ω i i i i e e f e e f ψ ψ max max { } F ) ( f max { } i i e e f Ω ψ max ( ) Ω f ψ cos max iω i e e f ψ max f max { } { } ( ) { } i i i e i f e e f F Ω Ω ) si( ) cos( ) ( max max ψ ψ ψ

36 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA { } { iϕ } iω ) u e e u ( cos( ϕ) i si( ϕ) ) ( max max iω { } e { } { i ϕ} e i Ω ( ) iω u e max { i ϕ } e i Ω ( )} Ω { u e }e Ω max { } { i ψ F f e } e i Ω ( ) max [ ]{ } [ C]{ } [ K ]{ } { F() } Ω [ ]{ i ϕ } i Ω [ ]{ i ϕ } i Ω [ ]{ i ϕ } i Ω u e e i C u e e K u e e { f e i ψ } e i Ω Ω max max ( [ K ] Ω [ ] ) iω [ C ] max ( ){ u e iϕ } { f e iψ } max max max

37 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA - D Pricipali eciche di soluzioe: eodo direo eodo di sovrapposizioe i modale Soluzioe: meodo direo (D) ( [ K ] Ω [ ] ) iω [ C ] ( ){ u e iϕ } { f e iψ } max f max [ K ]{ u e iϕ } { f e iψ } c max max { iϕ } [ ] { iψ u e K f e } max c max

38 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA - S Soluzioe: meodo di sovrapposizioe modale (S) Proprieà modi propri { } i modi propri soo orogoali rispeo alle marici [] e [K] { } [ ]{ } se se i modi propri cosiuiscoo ua base di veori liearmee idipedei P { ( ) } { } ( ) P { ( ) } { } ( ) P { ( ) } { } ( )

39 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA - S { } { } ( ) ) ( { } { } ( ) ) ( { } { } ( ) ) ( [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { } F() K C [ ] { } [ ] { } [ ] { } { } F() K C { } [ ] { } [ ] { } [ ] { } { } { } F() K C

40 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA - S { } [ ] { } [ ] { } [ ] { } { } { } F() K C { } [ ]{ } se { } [ ]{ } se K { } [ ]{ } se { } [ ]{ } se K { } [ ]{ } { } [ ] { } { } [ ]{ } { } { } F() K C

41 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA - S { } [ ]{ } { } [ ] { } { } [ ]{ } { } { } F() K C Ipoesi aggiuiva: smorzameo proporzioale (di Rayleigh) o cosae [ ] [ ] [ ] [ ] I K C δ β α La marice di smorzameo deve avere { } [ ]{ } se C [ ] [ ] [ ] [ ] I K C δ β α ach essa ua forma che garaisca la ormalià rispeo ad essa delle forme modali. N i d i { } [ ]{ } se C No soo ammessi, ad esempio, smorzaori localizzai. { } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ } { } { } F() K C

42 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA - S { } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ } { } { } F() K C Normalizzazioe [ ] [ ] ( ){ } K ω { } [ ]{ } { } [ ] [ ] ( ){ } K ω { } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ } K ω { } [ ]{ } { } [ ]{ } K ω { } [ ]{ } K { } [ ]{ } K ω { } [ ]{ } { } { } ) ( F C ω

43 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA - S { } [ ]{ } { } { } ) ( F C ω { } [ ]{ } { } [ ] [ ] [ ] ( ){ } I K C δ β α { } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ } ( ) I K δ β δ β { } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ } ( ) I K ω δ βω α δ β α Sisema gdl: ( ) F x cx x m Ω cos Sisema gdl: ( ) m F x x x x m x m c x Ω cos ω ξω ( ) F x cx x m Ω cos { } [ ]{ } C ω ξ ( ) ω ω δ βω ω α ξ ω ω { } { } ) ( F ω ω ξ { } { } ) ( F ω ω ξ

44 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA - S { } { } f F ) ( ω ω ξ i i i Ω Ω ( ) i c i i e f e e f f Ω Ω ψ,max i c i c e i e Ω Ω Ω i c e Ω Ω i c i c i c i c e f e e i e Ω Ω Ω Ω Ω Ω ω ω ξ ( ) c c f i Ω Ω ω ξ ω c f ( ) Ω Ω c i ω ξ ω

45 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA - S c ( ω Ω ) f ω fc i ξ ω Ω c Ω Ω ξ ω ω APL LIDE [mm] c 5 5 RISPOSA ARONICA c ω ω ω 3 ω 4 ω 5 EXERNAL FORCE FREQENC [Hz] P P i Ω i Ω { ( ) } { } ce { } c e

46 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA - APPLICAZIONI Forzai: le forzai esere agei sulla sruura hao geeralmee u adameo el empo di ipo periodico, ma o armoico. 3 Forza (N) empo (s) Per deermiare il loro effeo sulla sruura è quidi ecessario: scomporre la forzae i ua somma di fuzioi armoiche (serie di Fourier) oeere la risposa complessiva ramie la sovrapposizioe degli effei

47 π Ω F( ) ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA - APPLICAZIONI ( hω λ h ) A Ah cos( hω λh ) Ah h h A cos 3 F a (N) Forz empo (s)

48 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA - APPLICAZIONI Adameo ipico delle ampiezze delle diverse armoiche ecciarici co il relaivo ordie h iezza [N] Ampi F 8 Armoiche o cosiderae Ordie armoica Oss: al di sopra di u cero umero d ordie l ampiezza A h diviee usualmee rascurabile.

49 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA - APPLICAZIONI orza (N) F 3 3 B F empo (s) Possibile verifica della correa scela di F : cofroo ra F() e F F' ( ) A Ah cos h ( hω λ ) h

50 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA - APPLICAZIONI orza (N) F 3 3 B F empo (s) Possibile verifica della correa scela di F : cofroo ra F() e F F' ( ) A Ah cos h ( hω λ ) h

51 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA - APPLICAZIONI orza (N) F 3 3 B F empo (s) Possibile verifica della correa scela di F : cofroo ra F() e F F' ( ) A Ah cos h ( hω λ ) h

52 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA - APPLICAZIONI orza (N) F 3 3 B F empo (s) Possibile verifica della correa scela di F : cofroo ra F() e F F' ( ) A Ah cos h ( hω λ ) h

53 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA - APPLICAZIONI orza (N) F 3 3 B F empo (s) Possibile verifica della correa scela di F : cofroo ra F() e F F' ( ) A Ah cos h ( hω λ ) h

54 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA - APPLICAZIONI orza (N) F 3 3 B 7 F empo (s) Possibile verifica della correa scela di F : cofroo ra F() e F F' ( ) A Ah cos h ( hω λ ) h

55 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA - S - APPLICAZIONI No è possibile, é coveiee uilizzare ui i modi propri: { ) } P { } ( ) ( { } ( ) < P Effeo della scela di : il sisema si compora come u filro passa basso, che aglia la risposa alle pulsazioi della forzae maggiori di ω A PLIDE [mm m] EXERNAL FORCE FREQENC [Hz]

56 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA - S - APPLICAZIONI No è possibile, é coveiee uilizzare ui i modi propri: { ) } P { } ( ) ( { } ( ) < P Effeo della scela di : il sisema si compora come u filro passa basso, che aglia la risposa alle pulsazioi della forzae maggiori di ω A PLIDE [mm m] EXERNAL FORCE FREQENC [Hz]

57 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA - S - APPLICAZIONI No è possibile, é coveiee uilizzare ui i modi propri: { ) } P { } ( ) ( { } ( ) < P Effeo della scela di : il sisema si compora come u filro passa basso, che aglia la risposa alle pulsazioi della forzae maggiori di ω 3 A PLIDE [mm m] EXERNAL FORCE FREQENC [Hz]

58 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA - S - APPLICAZIONI No è possibile, é coveiee uilizzare ui i modi propri: { ) } P { } ( ) ( { } ( ) < P Effeo della scela di : il sisema si compora come u filro passa basso, che aglia la risposa alle pulsazioi della forzae maggiori di ω 4 A PLIDE [mm m] EXERNAL FORCE FREQENC [Hz]

59 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA - S - APPLICAZIONI No è possibile, é coveiee uilizzare ui i modi propri: { ) } P { } ( ) ( { } ( ) < P Effeo della scela di : il sisema si compora come u filro passa basso, che aglia la risposa alle pulsazioi della forzae maggiori di ω 5 A PLIDE [mm m] EXERNAL FORCE FREQENC [Hz]

60 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA - S - APPLICAZIONI Codizioi da soddisfare: la massima armoica coeua ella forzae deve risulare compresa ella bada passae del modello APLID DE [mm] Bada passae F Ω EXERNAL FORCE FREQENC [Hz]

61 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA - S - APPLICAZIONI Codizioi da soddisfare: la massima armoica coeua ella forzae deve risulare compresa ella bada passae del modello ω > F Ω APLID DE [mm] Bada passae F Ω EXERNAL FORCE FREQENC [Hz]

62 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA - S - APPLICAZIONI Codizioi da soddisfare: il umero di modi cosiderai deve essere sufficiee per la covergeza APLID DE [mm] Ampiezza vibraz zioe [mm] Ω EXERNAL FORCE FREQENC [Hz] Numero di modi propri cosiderai I modi propri di ala frequeza maegoo u coribuo ache alle basse frequeze

63 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA - S - APPLICAZIONI Codizioi da soddisfare: il umero di modi cosiderai deve essere sufficiee per la covergeza APLID DE [mm] Ampiezza vibraz zioe [mm] EXERNAL FORCE FREQENC [Hz] Numero di modi propri cosiderai Ω

64 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA - S - APPLICAZIONI Codizioi da soddisfare: il umero di modi cosiderai deve essere sufficiee per la covergeza APLID DE [mm] Ampiezza vibraz zioe [mm] EXERNAL FORCE FREQENC [Hz] Numero di modi propri cosiderai Ω

65 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA - S - APPLICAZIONI Codizioi da soddisfare: il umero di modi cosiderai deve essere sufficiee per la covergeza ω >> F Ω >.5 FΩ ω APLID DE [mm] EXERNAL FORCE FREQENC [Hz] Numero di modi propri cosiderai Ampiezza vibraz zioe [mm] Ω

66 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA S D - APPLICAZIONI leriore requisio per D e per S: il modello FE deve essere cosruio i maiera da rappreseare i maiera sufficieemee accuraa ui i modi che dao u coribuo sigificaivo alla risposa del sisema (ui gli modi propri el caso del S)

67 ANALISI DELLA RISPOSA ARONICA SORZAENO α δ ( ω ) α m m ξ βω βω β ω ξ ξ ω ω ω ξ α-dampig (ALPHAD) β-dampig (BEAD) β-dampig dip. maeriale (P,DAP) Cosa dampig raio (DPRA) (Aal. arm. e aal. ras. co S) Cosa dampig raio dip maeriale (P,DPR) (Aal. armoica o ridoa ) odal dampig raio (DAP) Eleme dampig (applicabile co meodi paricolari)

68 COANDI ANSS/ ANALISI ARONICA EODO DIREO COPLEO /SOL ANPE, HARIC Defiisce il ipo di aalisi richiesa HROP, FLL,.. Sceglie il ipo di aalisi direo compleo HARFRQ, FREQB, FREQE Frequeza iiziale e fiale per l aalisi NSBS, NSBSP N di sep i cui suddividere l iervallo di frequeze da aalizzare

69 COANDI ANSS/ ANALISI ARONICA EODO DIREO COPLEO HRO, Reimy, Clus, co - ON Sampa i risulai come pari reale ed immagiaria - OFF Sampa i risulai come ampiezza e fase -OFF -ON Sep di frequeza equispaziai Sep di frequeza addesai aoro ai modi propri -OFF No sampa il coribuo dei diversi i modi -ON Sampa il coribuo dei diversi modi F, NODE, Lab, VALE, VALE, NEND, NINC Pari reale ed immagiaria della forza SOLVE FINISH

70 /POS6 COANDI ANSS/3 ANALISI ARONICA EODO DIREO COPLEO NSOL ESOL RFORCE ec. Defiizioe gradezze da esrarre dal daabase PRCPLX, KE PRVAR Sampa i risulai ella forma pare reale pare immagiaria Sampa i risulai ella forma ampiezza fase PLCPLX, KE PLVAR Ampiezza Fase Pare reale 3 Pare immagiaria

71 COANDI ANSS/4 ANALISI ARONICA EODO DIREO RIDOO /SOL ANPE, HARIC Defiisce il ipo di aalisi richiesa HROP, REDC,.. Sceglie il ipo di aalisi direo ridoo HARFRQ, FREQB, FREQE NSBS, NSBSP HRO, Reimy, Clus, co F, NODE, Lab, VALE, VALE, NEND, NINC SOLVE FINISH

72 COANDI ANSS/5 ANALISI ARONICA EODO DIREO RIDOO /SOL EXPASS, ON Passo di espasioe NEXP, N, BEGRNG, ENDRNG, Numero di soluzioi da espadere (se ALL espade ui gli sep dispoibili) Rage di frequeza sul quale effeuare l espasioe delle soluzioi EXPSOL,, LSEP,, SBSEP,, IFRQ, Elcalc SOLVE FINISH

73 COANDI ANSS/6 ANALISI ARONICA EODO SOVRAPPOSIZIONE ODALE /SOL ANPE, ODAL Aalisi modale prelimiare ODOP, ehod, NODE, FREQB, FREQE,,Nrmey SOLVE FINISH /SOL Aalisi armoica co S HROP, SP, AXODE, INODE N d ordie fiale (defaul e max.: NODE) ed iiziale (defaul: ) dei modi da impiegare HRO, Reimy, Clus, co F, NODE, Lab, VALE, VALE, NEND, NINC SOLVE FINISH

74 COANDI ANSS/7 ANALISI ARONICA EODO SOVRAPPOSIZIONE ODALE RIDOO /SOL ANPE, ODAL Aalisi modale prelimiare ridoa ODOP, REDC, NODE, FREQB, FREQE,,Nrmey SOLVE FINISH /SOL Aalisi armoica co S HROP, SP, AXODE, INODE HRO, Reimy, Clus, co F, NODE, Lab, VALE, VALE, NEND, NINC SOLVE FINISH /SOL Passo di espasioe EXPASS, ON NEXP, N, BEGRNG, ENDRNG SOLVE FINISH

75 ANALISI DI RANSIORIO DINAICO SCOPO: Valuare la risposa del sisema i preseza di forze o solleciazioi SCOPO: Valuare la risposa del sisema i preseza di forze o solleciazioi esere, geeralmee di ipo o periodico, applicae abbasaza rapidamee da redere o rascurabili gli effei delle forze di ierzia.

76 ANALISI DI RANSIORIO DINAICO Può essere impiegao ache per valuare la risposa del sisema a forze o solleciazioi esere di ipo periodico, i preseza di effei o lieari. No liearià di coao F()F cos(ω) δ aeriale elasico o lieare

77 ANALISI DI RANSIORIO DINAICO Pricipali eciche di soluzioe: eodo di sovrapposizioe modale (S) Ipoesi: Sruura i campo lieare, co marici [], [C] e [K] cosai arice di smorzameo proporzioale o cosae eodi di iegrazioe direa (ID) Ipoesi: Sruura oprae ache i campo o lieare arici [], [C] e [K] ache o cosai arice di smorzameo qualsiasi

78 ANALISI DI RANSIORIO DINAICO Soluzioe: meodo di sovrapposizioe modale (S) P { ( ) } { } ( ) ξ ω ω { } { F ( ) } f ( ) Soluzioe della equazioe relaiva ad ogi modo co meodi passo-passo q g p p (Es. Ruge-Kua)

79 ANALISI DI RANSIORIO DINAICO - ID eodi di iegrazioe direa (ID): esua ipoesi prelimiare sulla liearià del problema, é sulle marici [], [C] e[k] L iervallo emporale i cui si vuole sudiare il comporameo del sisema viee suddiviso i iervalli ( passi ) emporali successivi. {()} {} Noo lo sao del sisema {} (sposamei, velocià, accelerazioi) {} al empo - si calcola il uovo sao - al empo ( sep-by-sep iegraio ) ). Δ Δ Δ -

80 ANALISI DI RANSIORIO DINAICO - ID eodi di iegrazioe direa (ID): esua ipoesi prelimiare sulla liearià del problema, é sulle marici [], [C] e[k] ra i meodi di iegrazioe direa, rierao due ipi pricipali di algorimi: Algorimi di ipo implicio: la soluzioe al passo emporale è oeua ramie la coosceza della soluzioe al passo e delle codizioi impose al passo (Es.: meodo di Newmar) Algorimi di ipo esplicio: la soluzioe al passo emporale è oeua ramie la coosceza della soluzioe e delle codizioi impose al passo (Es.: meodo delle differeze cerali)

81 ANALISI DI RANSIORIO DINAICO - ID eodo delle differeze cerali (Esplicio) Eq. di eq. diamico al empo (oa) [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ) { } F K C Si Si assume: { } { } { } ( ) Δ Δ { } { } { } { } { } Δ Δ { } { } Δ { } { } { } ( ) Δ Δ Δ { } { } { } { } { } Δ { } Δ Δ Δ { } { } { } Δ

82 ANALISI DI RANSIORIO DINAICO - ID eodo delle differeze cerali (Esplicio) Sosiuedo: { } { } { } { } { } { } { } Δ [ ]{ } [ C ]{ } [ K ]{ } F ( ) { } Δ Δ Δ [ ] { } { } { } [ ] { } { } C [ K ]{ } { F( )} { } Δ ({ F( )} [ K ]{ } ) [ ]{ } [ ] [ C] { } Δ Δ [ ] [ C]

83 ANALISI DI RANSIORIO DINAICO - ID eodo delle differeze cerali (Esplicio) { } Δ Δ ( { F ( ) } [ K ]{ } ) [ ]{ } [ ] [ C ] { } Δ [ ] [ C ] Se si fa i modo che [] e [C] siao diagoali il calcolo è immediao. Sabilià: Δ ω max assima pulsazioe propria del modello EF L algorimo risula codizioaamee sabile, vale a dire che la sabilià dipede dal passo emporale prescelo. Possibili sime Δ: Δ ρ μlμ ( υ)( υ ) E( υ)

84 ANALISI DI RANSIORIO DINAICO - ID eodo di Newmar (Implicio) Eq. di eq. diamico al empo (o oa) [ ]{ } [ C]{ } [ K ]{ } F( ) { } Si assume: { } { } ( δ ){ } δ { } ({ } { } ) ( ) Δ {,} δ { } { } / δ

85 ANALISI DI RANSIORIO DINAICO - ID eodo di Newmar (Implicio) Si assume: { } { } { } Δ α { } α{ } Δ, α ({ } { } ) { } { } /4 / α

86 ANALISI DI RANSIORIO DINAICO - ID eodo di Newmar (Implicio) Eq. di eq. diamico al empo (o oa) [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ) { } F K C [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ) { } { } { } ( ){ } { } ( ) Δ F K C δ δ { } { } ( ){ } { } ( ) { } { } { } { } { } Δ Δ Δ α α δ δ Risolvedo per [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ) { } { } { } ( ){ } { } ( ) Δ F K C δ δ { } { } ( ){ } { } ( ) { } { } { } { } { } Δ Δ α α α δ δ

87 ANALISI DI RANSIORIO DINAICO - ID eodo di Newmar (Implicio) [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ) { } F K C [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ) { } { } { } { } { } { } Δ Δ F K C α δ α δ α δ { } { } { } { } { } Δ Δ Δ α α α α α α Δ Δ α α α [ ] { } { } { } { } Δ Δ α α α [ ] { } { } { } { } Δ Δ C α δ α δ α δ [ ]{ } ( ) { } F K

88 ANALISI DI RANSIORIO DINAICO - ID eodo di Newmar (Implicio) { } [ ] [ ] [ ] ( ) { } F K C δ { } [ ] ( ) { } [ ] { } { } { } Δ Δ F K α α [ ] { } { } { } [ ] { } { } { } Δ Δ Δ C δ δ δ α α α [ ] { } { } { } Δ C α α α [ ]{ } [ ] F K ˆ ˆ Oss.: se [], [C] e [K] soo cosai, Risoluzioe: [ ] [ ] [ ] la marice è ach essa cosae e può essere cosruia ed iveria [ ] Kˆ { } [ ] [ ] F K ˆ ˆ ua sola vola.

89 Codizioi di sabilià: α δ 4 δ All iero del campo di sabilià l algorimo risula icodizioaamee sabile, vale a dire sabile idipedeemee dal passo emporale prescelo. Esise ache ua regioe i cui l algorimo risula codizioaamee sabile, co passo limie: Δ Ω ANALISI DI RANSIORIO DINAICO - ID δ 4α.9.8 δ Isabile.3.. Codizioaamee sabile Isabile Sabile α

90 ANALISI DI RANSIORIO DINAICO - ID Al variare di α e δ si oegoo alri algorimi classici di soluzioe: α δ eodo delle differeze cerali α eodo dell accelerazioe l 4 media δ.9.8 δ Isabile.3. Codizioaamee sabile Isabile Sabile α 6 δ eodo dell accelerazioe lieare α

91 ANALISI DI RANSIORIO DINAICO - ID I ANSS i due parameri α e δ soo geeralmee espressi i fuzioe di u erzo paramero γ (INP): ( ) α γ 4 δ γ.9.8 δ Codizioaamee sabile Sabile.5 γ α 4 δ.4 Isabile.3.. Isabile Per defaul γ.5 α.55 δ α

92 ANALISI DI RANSIORIO DINAICO - ID All iero del campo di sabilià (icodizioaa o codizioaa), la soluzioe ede a quella esaa, al edere a zero di Δ. sl. esaa sabile Codizioaamee sabile Δ δ.7.6 Sabile.5.4 Isabile.3. Isabile α

93 ANALISI DI RANSIORIO DINAICO - ID All iero del campo di sabilià (icodizioaa o codizioaa), la soluzioe ede a quella esaa, al edere a zero di Δ. sl. esaa sabile Codizioaamee sabile Δ < Δ δ.7.6 Sabile.5.4 Isabile.3. Isabile α

94 ANALISI DI RANSIORIO DINAICO - ID All iero del campo di sabilià (icodizioaa o codizioaa), la soluzioe ede a quella esaa, al edere a zero di Δ. sl. esaa sabile Codizioaamee sabile Δ < Δ δ.7.6 Sabile.5.4 Isabile.3. Isabile α

95 ANALISI DI RANSIORIO DINAICO - ID y x L m Effeo del passo di iegrazioe i codizioi di sabilià icodizioaa N, Hz (risoaza), oda riagolare α.55 δ.55.e-3 Δ [s].5e e- 4.5E-3 E-3.E-3 δ.9.8 Codizioaamee sabile Sabile Sposameo mezzeria [m] 5.E-4.E -5.E-4.4 Isabile -.E-3.3 Isabile. -.5E α -.E-3.E 5.E-.E.5E.E.5E empo [s]

96 ANALISI DI RANSIORIO DINAICO - ID Al di fuori del campo di sabilià, la soluzioe mosra ua rapida divergeza (i geere co fori oscillazioi) da quella esaa, seza covergere su ques ulima al edere a zero di Δ. sl. esaa sabile isabile Codizioaamee sabile δ.7.6 Sabile.5.4 Isabile.3. Isabile α

97 ANALISI DI RANSIORIO DINAICO - ID y x L m Effeo del passo di iegrazioe i codizioi di sabilià codizioaa N,.5 Hz, oda riagolare α.5 δ.5 5.E-3 4.E-3 3.E-3 Δ [ [s] 8.E- 4.E-.E-.33E-.E-3 δ.9.8 Codizioaamee sabile Sabile Sposameo mezzeria [m].e-3.e -.E-3 -.E-3 E3.4 Isabile -3.E-3.3. Isabile -4.E α -5.E empo [s]

98 F() ANALISI DI RANSIORIO DINAICO - ID Scela del passo di iegrazioe emporale. Procedura per valori idicaivi frequeze i gioco Periodicizzazioe della soria di carico Ω π ( h Ω λ ) F ( ) A Ah cos h h

99 ANALISI DI RANSIORIO DINAICO - ID Adameo ipico delle ampiezze Ampie ezza [N] F 7 Armoiche o cosiderae Ordie armoica

100 ANALISI DI RANSIORIO DINAICO - ID eodo di sovrapposizioe modale: P { ) } { } ( ) ( >> F Ω ω ( ui i meodi di soluzioe: Δ P π Ω F P > 3 I ogi caso, a parire da quesa prima sima, è geeralmee ecessario uo sudio di covergeza su P e Δ. Siuazioi che possoo richiedere valori paricolarmee ridoi di Δ: feomei di coao propagazioe di ode elasiche (dimesioi elemei < / lugh. d oda) o liearià geomeriche, sress siffeig

101 INEGRAZIONE RISPEO AL EPO/ ipo di problema Geerale Campo lieare Campo o lieare Algorimi esplicii Nessua iversioe di marici; basso empo di calcolo per sep Sabilià codizioaa; ecessari passi emporali molo piccoli Soluzioe direa ad ogi passo Necessari passi emporali molo piccoli per la sabilià Verifiche di covergeza o richiese Algorimi implicii Iversioe di marici ad ogi sep; elevao empo di calcolo per sep Possibile sabilià icodizioaa; gradi passi emporali Soluzioe ramie eciche ieraive Necessari piccoli passi emporali per la covergeza Covergeza o sempre assicuraa per fori o liearià

102 INEGRAZIONE RISPEO AL EPO/3 Campo applicaivo Saico Quasi saico Diamico Problemi sadard ri auoveure Sampaggio ro proieili Esplosioi Comporameo saico maeriale Effei srai rae sul maeriale - Srai rae [s - ] 4 eodi Implicii eodi Esplicii Possibili ache approcci misi ImpliciiEsplicii