Misura dell anisotropia

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1 Ansotropa sgnfa varazone d brllanza al varare della drezone d osservazone. Le prme msure d ansotropa venvano esegute ome amponament statst del elo, seglendo un erto numero d drezon e onfrontandone la brllanza on una tena d modulazonedemodulazone. Msura dell ansotropa ΔP In S. In ref. AΩER Lok-n atm { B ( A) B ( B) } Out

2 Il lok-n ha 3 funzon: Elmna l segnale d modo omune (emssone strumentale e atmosfera) Elmna l rumore a frequenze dverse da quella d modulazone Produe un segnale proporzonale alla dfferenza d brllanza tra le due drezon he s osservano alternatvamente. Msura dell ansotropa In S. Lok-n Out In ref. S A S B t

3 Segnale dal rvelatore Lok-n S A S B SA S B Offset dovuto all emssone ostante (strumento, telesopo, atmosfera ) Rfermento dal modulatore Prodotto Segnale*Rfermento t t t In S. In ref. Lok-n Out In S. In ref. X V ( t) dt 0 Out S out S( t) R( t) SA SB [ S S ] A B

4 Lok-n In S. In ref. Lok-n Out In S. In ref. X V ( t) dt 0 Out In presenza d rumore : S out [ S( t) n( t) ] R( t) S A S [ S S ] n' A B B n( t) n( t) n e un rumore a meda nulla, dovuto all assenza d orrelazone tra n(t) e l rfermento. n tende a 0 se la meda e fatta su un perodo abbstanza lungo (molt l del modulatore).

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6 V out V V S R H ( ωs ωr ) Il segnale d solto e alla stessa frequenza del rfermento, qund ontrbuse totalmente al segnale n usta. V out Il rumore e a tutte le frequenze, ma solo quelle entro la banda passante Δω ontrbusono al segnale n usta. H ( ω ωr) S Δω H ( ω ωr) S 0 ω R ω S

7 In S. In ref. V out X V ( t) dt 0 Out Ad esempo, per un fltro passa-basso d tpo RC, la banda equvalente d rumore e /(4τ), e qund la banda passante del lok-n he lo utlzza e /(τ). Per un ntegratore semple (boxar) s ha una relazone analoga. H ( ω ωr) S Δω H ( ω ωr) S 0 ω R ω S

8 Qund l nsermento d un lok-n mglora l rapporto segnale-rumore n manera proporzonale alla rade della ostante d tempo del fltro utlzzato (o alla rade del tempo d ntegrazone se s medano nseme dat per un perodo d tempo pu lungo della ostante d tempo, ome normalmente s fa): wv N n wv f max ; N out τ S / N out τf max S / N n Se l rumore del segnale d ngresso e a larga banda, l mgloramento e sostanzale.

9 Esempo: ansotropa CMB: Δ Δ 3 0 K 30μK per un buon bolometro a 0.3K NEP 0 7 W / x x ΔB xe Δ NEP xe NE x x B e BAΩ e NE Hz 50μ K / AΩ λ Qund S Δ 0.3 t( s) N NE / t Per ottenere S/N3 s deve ntegrare per ra 00s!

10 Msura dell ansotropa Un espermento a modulazone e massmamente sensble a strutture (sale angolar) d dmenson sml all ampezza d modulazone. A no nvee nteressano tutte le sale angolar (voglamo fare uno spettro d potenza) In S. In ref. Lok-n Out ΔP AΩER atm { B ( A) B ( B) }

11 Msura dell ansotropa Un espermento a modulazone e massmamente sensble a strutture (sale angolar) d dmenson sml all ampezza d modulazone. A no nvee nteressano tutte le sale angolar (voglamo fare uno spettro d potenza) In S. In ref. Lok-n Sale troppo grand produono lo stesso segnale ne due beam a onfronto Out ΔP AΩER atm { B ( A) B ( B) }

12 Msura dell ansotropa Un espermento a modulazone e massmamente sensble a strutture (sale angolar) d dmenson sml all ampezza d modulazone. A no nvee nteressano tutte le sale angolar (voglamo fare uno spettro d potenza) In S. In ref. Lok-n Sale troppo pole s medano a zero all nterno del beam Out ΔP AΩER atm { B ( A) B ( B) }

13 Prm esperment d ansotropa Erano de amponament statst del elo. Msure d Δ n n drezon dverse, dove per asuna drezone s msura la dfferenza d brllanza tra due (o pu ) zone adaent. Per la msura s usa la tena d modulazone e demodulazone snrona appena vsta (beam-swthng). Parametr mportant: beamsze : larghezza della rsposta angolare. A volte una gaussana d devazone standard σ. In tal aso la FWHM e Beamthrough : dstanza angolare tra entr delle regon he vengono onfrontate. Ampezza della modulazone angolare. Rsposta ad una sorgente puntforme FWHM σ - FWHM

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15 980 6 FWHM5

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17 Inzo ann 90: Rsoluzone angolare Un vero telesopo per la CMB: -. m Cassegran - Seondaro osllante

18 ' ' mf f s s s s S ρ ρ ρ ρ La dmensone del rvelatore e la foale totale determnano la FWHM. Per ARGO era 0.8 grad a mm d lunghezza d onda

19 L osllazone del seondaro determna l beamswth. Per ARGO l beamthrough era.4 grad.

20 Δ rms Per un dato beamswth e una data rsoluzone angolare, he Δ rms dovremmo aspettar? Se l ampo d temperatura del fondo osmo ha una funzone d autoorrelazone (), quando amponamo la dfferenza tra due drezon separate d α (beam-swth) possamo stmare la quantta ( ) Δ ms ( ) ( α ) [ ] ( ) ( α ) ( ) ( α ) [ (0) ( α)] dove abbamo trasurato ontrbut del rumore al segnale msurato.

21 Δ rms Spesso vene usata una modulazone a tre amp, he onfronta la brllanza msurata n una drezone entrale a on la meda delle brllanze msurare nelle due drezon adaent e smmetrhe b e, separate d α da a: Questa modulazone ha l vantaggo d non essere sensbl a gradent lnear nella brllanza, he vengono prodott, ad esempo, da dsomogeneta nell atmosfera. In questo aso possamo stmare la quantta ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( 4 ) ( (0) 3 α α α α ms Δ ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( α α Δ b a ms r r r

22 rms E ome s dstngue dall effetto del rumore del rvelatore? In generale dat msurat per asuna drezone del elo (nde ) saranno la somma d un ontrbuto dal elo e d un ontrbuto dal rumore del rvelatore: ms sky Δ Δ n

23 Caso semple: dat e rumor ompletamente sorrelat: In questo aso la probablta d msurare Δ ms se la varanza del elo e σ sky e P ms Δ ) e π ( σ σ ) ms ( Δ ) ( σ σ ) sky n ( sky Dove σ n, e la devazone standard del rumore per l osservazone. La probablta d osservare smultaneamente le N msure ndpendent Δ ms e qund n, P( σ sky ) N P( Δ ms ) N N ( ) ( π σ σ ) sky n, e N ms ( Δ ) sky ( σ σ ) n

24 Caso pu realsto: dat orrelat e rumor sorrelat: In questo aso la probablta d msurare smultaneamente gl N valor d Δ ms e una gaussana multvarata: P sky Δ ms ( π ) N N j Dove j e la matre d ovaranza de dat, he, data l ndpendenza d segnale dal elo e rumore del rvelatore, e la somma della matre d ovaranza del rumore e d quella del elo: ( σ j sky j n j ) Il seondo passaggo s puo fare se l elo non ha drezon prvlegate e se l rumore per drezon d osservazon dverse e ompletamente sorrelato. La sky j dpende dal dettaglo del beam-swth e dalle arattersthe d orrelazone del ampo d temperatura della CMB (o, dualmente, dal suo spettro d potenza angolare). N det ( ) j δjσ n, j e Δ ms j Δ ms j

25 Ad esempo, per un espermento d modulazone a due beams: Dove () e la matre d orrelazone del ampo d temperatura. ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] α α α α α α α Δ Δ j j j j j j j j j j j ) (

26 La funzone d orrelazone e legata allo spettro d potenza angolare l della CMB dalla relazone: ( ) (l ) lpl (os ) Wl 4π l Dove P l sono polnom d Legendre e W l e la funzone fnestra he desrve la sensbltà dello strumento a dvers multpol del ampo d temperatura. Funzone d Correlazone e spettro d potenza angolare sono qund legate da una trasformata sfera (fr. aso undmensonale, teorema d Wener- Khnthne: spettro d potenza e funzone d atuoorrelazone sono una oppa d trasformate d Fourer).

27 S puo qund alolare, a partre da dat e dal modello d CMB he s vuole onsderare, la probablta N N ms ms Δ Δ j j ms j P( σ sky Δ ) e N ( π ) det j Il valore pu probable del parametro σ sky sara quello he massmzza la probablta : e l valore d massma verosmglanza σ ML sky. Nel aso he l valore pu probable sa zero, s puo dare solo un lmte superore al valore d σ sky : l rumore dello strumento e troppo alto per una detezone. P( σ sky Δ P(0 Δ ms ms ) ) Detezone d ansotropa Lmte Superore ML σ sky UL σ sky σ sky

28 da ampon statst alle mappe CMB La stma d maxmum lkelhood de parametr della funzone d orrelazone a partre da amponament statst del elo e stato l metodo prnpale d anals de dat CMB fno a quando sono dvenute dsponbl delle vere e propre mappe della CMB (ann 998). A questo punto e stato applato un metodo d determnazone delle mappe d massma verosmglanza. (prossma lezone). Ann 80 Fne Ann 90