My (1' ==-- DIMENSfilONAMENTO DELLE SEZIONI

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1 DIMESfilOMETO DELLE SEZIOI Ogi eioe <li trve è ouopo, meo e.e le fore e ere oo m.o ulle, delle ouedtìoi cu: d mtedje impiegto deve eere i grdo di, egire. IJ prolem dei dimeiome o deu eioe è pputo queuo di - tiure u od1 ioe di rel::e OU}mle Ue oljedt:ri.geti uu trve ì modo ce le ollec-itiqi gef u ogi eioe o f-c.:cio uperre l m erfle le mìme teioi, m iili. I geere i ume come teioe mmiiìle o-,,. u t ioe molto lot dl limite di ervmeto. Il coefficiete di icure u.m,et quto mggiore è i1 rpportc tr il (!' dì ervmeto e il r.1'r, uto. ej dimeiometo di u eio1 e duque iog teere preet.i tutte Je teio:riì geti ull eìoe. Ee oo, EL PlO ') teioi tgegih 't ) d uo foro di tgli o; te oi ormli - }, proclo tte d uo foro di com p e-,.iom: (o trioe): -rt = -.- tem; ioi ormi i " p rodo e d u mom.et o flettete: M (1' ==-- E-LI..O SPZIO U for pplict el ejlo pijo vi po-oricet:ro dell e:.io o e ere rot:'ioi: e, e o g ce ul 'to,ro d, e itor pio. di _ immetri del o J ',e. de}l <: tr le e1om, compo- ve. Le rotmm mtore ti.: uo for:co or- o d e d corrimle e d1!le rompo- podoo lle fleio,eti deho foro di t-.i rette i cuì è oomgho T1 e T1. poh,ile u fleioe devit. ll rot oe itoro l 'e (.,e dell tr - e), corri: pode i1 mometo torcete ce produce, teioi tge:1 1.1.

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3 l 7 Sollecitioi 7.1 SFORZO ORMLE SEMPLICE (trioe o compreioe) (fig. 7.1) L riultte delle fore etere è pplict el ricetro dell eioe coidert, co lie di ioe perpedicolre ll eioe te. Teioi ormli r ¼ + Dl Dl Deformioe Dl ¼ l E ¼ ¼ re dell eioe; ¼ foro ormle; r ¼ teioe ormle iter; r m ¼ teioe ormle mmiiile; Dl ¼ deformioe totle (ccorcimeto o llugmeto); l ¼ luge iiile; E ¼ modulo di elticità ormle (vedi tell 6.1); Dl ¼ e ¼ deformioe uitri. l r + r compreioe ( ) trioe (+) Le formule oo pplicili qudo il olido o è cricto di put, oi qudo riult: l 1 4 m l 1 ¼ luge lier di ifleioe; ¼ miore dimeioe dell eioe; m ¼ coefficiete co vlore vriile i fuioe del tipo di mterile (vedi crico di put, prgrfo 7.10). Fig. 7.1 Deformioe e teioe per vriioi di tempertur Deformioe totle: llugmeto o ccorcimeto per umeto o dimiuioe dell tempertur: Dl ¼ l Dt = coefficiete di diltioe liere; l = luge iiile dell elemeto; Dt = vriioe di tempertur. Deformioe uitri: e ¼ Dt Se gli etremi dell elemeto o oo lieri di potri, i verific u icremeto r t dell teioe dovut i crici eteri: r t ¼ E Dt

4 SOLLECITZIOI TLIO SEMPLICE (o corrimeto) (fig. 7.) L riultte V delle fore etere è pplict el ricetro dell eioe coidert e l u lie di ioe gice el pio dell eioe te. V V Du Teioi tgeili ¼ V Fig. 7. Scorrimeto V Du ¼ v ¼ ¼ re dell eioe; V ¼ foro di tglio; ¼ teioe tgeile iter; m ¼ teioe tgeile mmiiile; v ¼ fttore di tglio ce ume i vlori: eioe rettgolre e qudrt: v ¼ 1,; eioe circolre: v ¼ 1,111; eioe doppio : v ¼ 1 ( ¼ re dell eioe; 1 ¼ peore dell im; ¼ lte totle dell eioe); ¼ modulo di elticità tgeile (vedi tell 6.1). 7. FLESSIOE SEMPLICE RETT Crtteritice dell ollecitioe: è vlid l ipotei di Beroulli-vier; il pio di fleioe coicide co il pio di ollecitioe coteete le coppie uguli e cotrrie; e di ollecitioe - e e eutro - (fig. 7.) oo i pricipli d ieri; le coppie pplicte u elemeto determio l deformioe del uo e, iiilmete rettilieo, ecodo u curv dett lie eltic (fig. 7.4). M r m r M (+) M (+) fire compree fire tee M ( ) fire tee M ( ) + fire compree r + m Fig. 7. Fig. 7.4

5 6 SOLLECITZIOI Teioi ormli fleioe (o di vier) r ¼ + M W M ¼ mometo flettete; r ¼ teioe ormle iter; r m ¼ teioe ormle mmiiile; W ¼ modulo di reite ¼ I ; I ¼ mometo d ieri ricetrico dell eioe; ¼ dit dell fir coidert dll e eutro ricetrico (di orm l fir più lot). Le teioi vrio liermete co vlore mimo i lemi etremi e ullo i corripode dell e eutro. È ecerio teere preete ce: l e eutro è e di immetri dell eioe e il mterile ce cotituice l trve ugule reite trioe e compreioe (fig. 7.), per cui 0 ¼ 00 : jr þ m j¼jr m j l e eutro o è e di immetri dell eioe e il mterile ce cotituice l trve ugule reite trioe e compreioe (fig. 7.5), per cui 0 6¼ 00 : jr þ m j 6¼jr m j M r m W 0 ¼ I 0 W 00 ¼ I 00 + r + m Fig FLESSIOE SEMPLICE DEVIT (fig. 7.6) L e di ollecitioe - e l e eutro - o oo i pricipli d ieri, m due i coiugti qulii e quidi o oo perpedicolri. Teioi ormli fleioe devit r ¼ r þ r ¼ + M W + M W M ¼ M co M ¼ M e r r S M ¼ mometo flettete; W ¼ modulo di reite mimo; W ¼ modulo di reite miimo; r ¼ teioe ormle iter; r m ¼ teioe ormle mmiiile fleioe. T D M R t t U C V M S M r r r Fig. 7.6

6 SOLLECITZIOI 6 Poiioe dell e eutro L e eutro viee defiito ei egueti modi: 1) l e è coiugto ll e di ollecitioe (fig. 7.6) e quidi l u poiioe può eere determit trmite l ellie cetrle d ieri; 1) i clcol l golo (fig. 7.6) ce l e eutro form co l e : tg ¼ I tg ; I ) vegoo ricercti i puti R ed S ei quli l omm delle teioi r e r è ugule ero, oi i puti co teioe ull (fig. 7.7); ull prte egtiv del digrmm i ricerc il egmeto EE 0 ¼ r co teioe ugule r þ, il cui prolugmeto iterec i S il lto BC ul qule i verific l teioe r þ. Ugule procedimeto viee pplicto per determire il puto R el qule jr þ j¼jr j. r ) R D C + r + S B E F + r + r E ) F Fig. 7.7 Clcolo dell frecci (fig. 7.8) f ¼ f 1 þ f ¼ f e þ f co f ¼ frecci dovut ll compoete del crico gete ecodo l e 0 ; f ¼ frecci dovut lle compoeti del crico geti ecodo l e 0. f 0 f 1 0 Fig. 7.8 f f f 7.5 TORSIOE SEMPLICE Le fore etere P ce precedoo u eioe geeric pprtegoo u pio ce o cotiee l e geometrico dell elemeto, geerdo il mometo torcete M t ¼ P d (fig. 7.9), ce è quidi oggetto due coppie uguli e cotrrie geti lle etremità e pprteeti due pii perpedicolri (fig. 7.9). P d ) ) Fig. 7.9

7 64 SOLLECITZIOI Seioe circolre pie (fig. 7.10) Teioe tgeile mim m ¼ M t W t ¼ p D W t 16 u ¼ M t l p D 4 M t ¼ mometo torcete; W t ¼ modulo di reite torioe; ¼ teioe tgeile per torioe; m ¼ teioe tgeile mmiiile per torioe; D ¼ R ¼ dimetro dell eioe; l ¼ luge dell elemeto; ¼ modulo di elticità tgeile; u ¼ golo di torioe totle fr due eioi (i rditi). L ditriuioe delle teioi è liere dl cetro l cotoro. ) Fig ) R m O M t m Seioe circolre cv (fig. 7.11) Teioe tgeile mim m ¼ M t W t W t ¼ p ðd e D i Þ 16 D e D i O M t l u ¼ p ðd 4 e D 4 i Þ Le otioi o il igificto prim riportto per l eioe circolre. Fig Seioe rettgolre (fig. 7.1) m Teioe tgeile mim M t m ¼ M t ¼ mometo torcete; e ¼ dimeioi dell eioe; ¼ modulo di elticità tgeile; = coefficiete di form vriile i fuioe del rpporto =. Fig. 7.1 Tell 7.1 Vlori dei coefficieti e. = 1 1,1 1, 1, 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 4,804 4,67 4,57 4,48 4,40 4, 4,7 4,1 4,16 =, ,07,88,74,55,4,5,6,0,10

8 SOLLECITZIOI 65 Vriioe delle teioi tgeili per torioe: lugo le digoli: vlore ullo i, quidi crecoo per poi dimiuire e vere vlore ullo i corripode dei vertici; lugo le medie: vlore ullo i, quidi crecoo umedo mlore mimo ell meeri dei lti. ell deformioe per torioe di u eioe rettgolre, quet o i coerv pi m preet delle goe. Profilti metllici (eclui i tuolri) Soo cotituiti d rettgoli e o u reite molto limitt ei cofroti dell torioe, co teioe mim ui ordi del rettgolo mggiore di peore m : m ¼ M t m i¼ i¼l ð i i Þ i ed i ¼ lrge e peore dei rettgoli formti il profilto. 7.6 FLESSIOE SEMPLICE RETT E TLIO (fig. 7.1) L eioe è cotemporemete ollecitt d u mometo flettete M e d uo foro di tglio V. Pricipio di reciprocità: i ogi puto dell eioe di u elemeto trutturle le teioi tgeili ormli e prllele l uo e oo uguli. Seioe geeric Verific dell eioe per fleioe: r ¼ M W (formul di vier) lemo etremo uperiore g cord per tglio: ¼ V S (formul di Jourwki "leggi iuroci") I V ¼ foro di tglio ell eioe coidert; S ¼ mometo ttico dell prte di eioe compre fr il lemo uperiore e l cord coidert; lemo etremo iferiore I ¼ mometo d ieri ricetrico dell iter eioe; Fig. 7.1 ¼ luge dell cord coidert. Le teioi tgeili vrio co legge prolic, umedo vlore ullo i lemi etremi dell eioe e mimo i corripode dell e eutro ricetrico. Il vlore delle teioi ormli r per fleioe geerlmete vlore mggiore ripetto quello tgeile ; quidi l eioe viee progettt fleioe emplice e ucceivmete i procede l clcolo di verific. Seioe rettgolre (fig. 7.14) m ¼ V V ¼ foro di tglio; ¼ ¼ re dell eioe. m g m + m m Fig. 7.14

9 66 SOLLECITZIOI Seioe circolre (fig. 7.15) m ¼ 4 V p D e 4 m ¼ 4 V p D 4 m 4 Il digrmm delle teioi tgeili è u emicercio. V T T m U T Z B l T m B D m m Fig Seioe (fig. 7.16) 1 ¼ V S m I 1 S m ¼ 1 0 ¼ V S m I 0 m 1 m 0 1 m m ¼ V S I 0 S ¼ 1 0 þ 0 ð 0 Þ 0 0 Fig Seioe doppio (fig. 7.17) 1 ¼ V S m I B S m ¼ B H 8 ¼ V S m I ðb Þ m ¼ V B B H B H B 1 m m H H H 0 m B Fig. 7.17

10 SOLLECITZIOI SFORZO ORMLE E FLESSIOE SEMPLICE RETT L eioe è cotemporemete ollecitt d uo foro ormle e d u mometo flettete M (fig. 7.18) ce gice i u pio pte per uo degli i pricipli d ieri dell eioe, oppure d uo foro ormle eccetrico (fig. 7.19). Lo foro ormle può eere di trioe (teo-fleioe) oppure di compreioe (preo-fleioe) (figg e 7.19). teo-fleioe + M + M + + preo-fleioe + M + M Fig Seioe geeric Verific di tilità e e + Teo-fleioe: r ¼þ + M W Preo-fleioe: r ¼ + M W ¼ foro ormle; ¼ re dell eioe; M ¼ P e ¼ mometo flettete. preo-fleioe Fig teo-fleioe Poiioe dell e eutro (fig. 7.0) ¼ I 1 e ¼ i e e ¼ eccetricità dello foro ormle; ¼ dit dell e eutro dll e ricetrico; i ¼ rggio d ieri. eerlmete il progetto dell eioe viee effettuto i fuioe dell ollecitioe di fleioe per le trvi, elle quli è i geere più grvo, metre ei piltri, co eccetricità o grde, i coider lo foro ormle; i procede quidi l clcolo di verific. Seioe rettgolre Le formule oo reltive ll preo-fleioe ce è il co più frequete. Verific di tilità r ¼ 1+ 6 e Poiioe dell e eutro ¼ 1 1 e I tutte le formule reltive ll eioe rettgolre il termie rppreet empre l dimeioe prllel ll e di immetri ul qule è pplicto lo foro ormle.

11 68 SOLLECITZIOI 1 o CSO: e ¼ =6 (oppure =6) (fig. 7.0) r mi ¼ 0 r m ¼ ¼ e 6 6 ) L eioe è tutt compre. r r P i i ) Fig. 7.0 o CSO: e e > =6 (oppure =6) (fig. 7.1) r þ m ¼ 1 þ 6 e r m ¼ 6 e 1 r ) L eioe è i prte compre e i prte te. r i i ) Fig. 7.1 o CSO: e < =6 (oppure =6) (fig. 7.) r m ¼ 6 e 1 r mi ¼ 1 þ 6 e L eioe è tutt compre. mi r ) e 6 6 m r i i Fig. 7. )

12 SOLLECITZIOI 69 Seioe circolre (fig. 7.) Preo-fleioe: r ¼ 4 p D 1+ 8 e D eedo D il dimetro dell eioe. 8 D D 4 8 D D Fig. 7. Seioe coro circolre Preo-fleioe: 4 r ¼ p ðd d Þ 1+ 8 e D D þ d eedo D il dimetro etero e d il dimetro itero. Mterili o reiteti trioe (fig. 7.4) Qudo e > =6 l eioe regete è dett eioe prilit i quto è olo u prte di quell geometric. e u 6 6 Per l eioe rettgolre i : r m ¼ u B u r m C u B H C R = r r m D R D S Fig. 7.4 Q T 7.8 SFORZO ORMLE E FLESSIOE SEMPLICE DEVIT Lo foro ormle è pplicto i u puto dell eioe, l di fuori degli i pricipli d ieri (fig. 7.5); pplicdo il mometo di trporto i ottiee: l for viee trportt el ricetro (fig. 7.6) geerdo uo foro ormle; i ggiuge il mometo M ¼ e gete el pio di ollecitioe perpedicolre ll eioe e coteete u e d ieri geerico - (fig. 7.6); il mometo M i coider trmite le ue due compoeti (fig. 7.6): M ¼ e M ¼ e per cui i o due fleioi emplici.

13 70 SOLLECITZIOI Si coider il co più comue dell preofleioe devit (figg. 7.5 e 7.6). e e e e e e Fig. 7.5 M M = P. e M ) ) Fig. 7.6 Seioe rettgolre Verific dell eioe (fig. 7.7) r ¼ + M + M W W M ¼ e e M ¼ e. P e Q e r = M W M W S r + = + W M + M W R + Fig. 7.7

14 SOLLECITZIOI 71 Poiioe dell e eutro (fig. 7.8) Può eere determito co il procedimeto grfico, oppure come cogiugete i puti e B, eedo: ¼ i 0 e B e i e i B ¼ i 0 e Fig SFORZO ORMLE, FLESSIOE SEMPLICE RETT E TLIO (fig. 7.9) Clcolo di verific Teioi per preo-fleioe: M r ¼ + W Teioi per tglio: ¼ V S I M = P. e V Fig CRICO DI PUT (o itilità eltic) L ollecitioe di crico di put (o di itilità fleiole) i verific qudo u dimeioe dell eioe dell elemeto trutturle è molto limitt ei cofroti dell u luge, per cui l elemeto è oggetto u ifleioe lterle, il cui vlore dipede dl tipo dei vicoli di etremità; queto feomeo è dovuto gli effetti del ecodo ordie quli: imperfeioi meccice: il mterile o è perfettmete omogeeo; imperfeioi geometrice: il olido o è perfettmete primtico o cilidrico; piccol eccetricità del puto di pplicioe del crico. Si verific il crico di put qudo: l 1 > m ¼ miore dimeioe dell eioe; m ¼ coefficiete ce ume i vlori: m ¼ 1 per il lego; m ¼ 0 per l cciio; m ¼ 10 per l gi; m ¼ 15 per il cemeto rmto; l 1 ¼ luge lier di ifleioe, i fuioe del tipo dei vicoli lle etremità (fig. 7.0) e rppreet l dit fr i due puti etremi etro i quli è compre l deformioe, come riult di quttro ci di Eulero; di orm vegoo coiderti olo il 1 o e o co.

15 l Crico di Eulero Il crico di Eulero o crico critico (P cr )èquello ce determi el olido l codiioe di equilirio limite, oltre il qule i verific l itilità fleiole: E I mi = rigide fleiole. Rpporto di elle: k ¼ l i i mi P cr ¼ p E I mi l 1 (cciio: k lim ¼ 85 90; lego: k lim ¼ Þ Per l pplicilità dell formul di Eulero è ecerio ce riulti k > k lim i modo ce l itilità i verifici i cmpo eltico. Teioe critic euleri: r r ¼ p E k 1 l 1 = l l 1 = l l 1 = 0,70 l l l 7 SOLLECITZIOI 4 l 1 = 0,50 l