E' una distribuzione spaziale di una quantità che può essere o non essere funzione del tempo

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1 OS ' 'TTOTN? ' la ecnca dell'energa elerca, coè le possbl applcaon degl effe prodo dalle carche, ferme o n momeno. OS ' UN MPO? ' una dsrbuone spaale d una quanà che può essere o non essere funone del empo 'TTOMGNTSMO ' BS D UN GND QUNTT' D FNOMN FS conersone eleromeccanca dell'energa comuncaone n fbra oca dspos a mcro-onde rceone elesa comuncaone a saelle radar osclloscop ec

2 POTS SU U S BS TO D UT Quando la sorgene è d frequena ano bassa che le dmenson della ree condurce sono molo pù pccole della lunghea d'onda, s ha una suaone "QUS STT", semplfca l problema eleromagneco n un problema crcuale. TO D UT GUD SSTM PMT ONNTT Grandee fondamenal: Tenson e orren Maemaca: quaon lgebrche o Dfferenale Ordnare

3 SMP ) UTO UDO frequena pù ala ~5 kh corrspondene λ km (c/f ) SUPO D GN UNG DMNSON D UN UTO D GN ) UTO D UN OTO f può essere 5 MH corrspondene λ,6 m MODO PMT ONNTT PUO' NON SS SUFFNTMNT UTO ) UTO MO OND λ ara ra cm e mm GG D KHHOFF NON GONO

4 OSTUZON D UN TO Defnre le quanà base Specfcare le regole d operaone (coè la MTMT) Posulare le relaon fondamenal TO D UT Modello basao su sorgen deal, ressene, nduane, capacà,, PU. Quanà baslar: TNSON, ONT,,,, egole Operae: lgebra, quaon Dfferenal Ordnare, Trasformae d aplace Posula Fondamenal: GG D KHHOFF TO D MP Quanà baslar: SOGNT, MP (a sorgene d un campo eleromagneco è narablmene una carca elerca, a rposo o n moo) egole Operae: alcolo eorale Posula Fondamenal: QUZON D MXW

5 TT (q, Q) ' una propreà fondamenale della maera sse solo soo forma d mulpl pos e nega dell'elerone e,6 x -9 PNPO D ONSZON D : "Una carca non può essere creaa né dsrua" ' una legge della naura DNST' D (dpendono dalle coordnae spaal) ρ q lm m olumca ρ q lm s m s Superfcale ρ q lm l l m neare

6 ONT TT dq d s n eleromagnesmo s defnsce la densà d correne che msura la quanà d correne che flusce araerso l'unà d superfce normale alla dreone del flusso d correne. ssono, nolre, quaro quanà fondamenal, eoral, del po "camp": : nensà d campo elerco D: densà d flusso elerco B: densà d flusso magneco H: nensà d campo magneco

7 QUNTT' BS NO STUDO D MP campo TTO MGNTO quanà nensà d campo elerco densà d flusso elerco densà d flusso magneco nensà d campo magneco smbolo D B H unà /m /m T s/m /m : è l'unco eore necesaro per lo sudo del campo saonaro nel uoo D: è ule nello sudo del campo elerco n me maeral B: è l'unco eore necessaro per lo sudo della magneosaca nel uoo H: è ule nello sudo de camp magnec ne me maeral

8 S NON SONO ZON TMPO S H SO STTO O STZONO, B, D, H sono quanà "punual" e propreà del meo deermnano le relaon fra e D e fra B e H. Tal relaon sono chamae: ZON OSTTUT D MZZO ε o è la cosane d proporonalà fra la densà d flusso elerco D e l'nensà d campo elerco nel uoo: D ε µ è la cosane d proporonalà fra la densà d flusso magneco B è l'nensà d campo magneco H nel uoo H µ B

9 OSTNT UNS cosan unersal smbolo alore unà elocà della luce nel uoo c 8 m/s permeablà del uoo µ 4π -7 H/m permeà del uoo ε 9 6π F/m

10 SSTM NTNZON Defnon: QUNTT' unghea Massa Tempo nensà d orrene UNT' mero klogrammo secondo mpére osan Unersal SMBOO m kg c elocà delle onde eleromagneche nel uoo 8 m/s µ permeablà del uoo 4π -7 H/m ε permeà del uoo 8,854 - F/m s mero: la defnone dera da quella del secondo e dalla elocà della luce nel uoo. c m/s secondo: perod della radaone emessa da una parcolare ransone d un aomo d ceso klogrammo: massa d un prono d plano-rdo conserao al nernaonal Bereau of Weghs and Measuremens d Seres mpére: la correne cosane che, se manenua n due conduor relne parallel d lunghea nfna e d seone crcolare rascurable, mess ad mero d dsana, nel uoo, producono fra due conduor una fora par a -7 N/m

11 TUTT GNDZZ TH SONO SPMB N TMN D GNDZZ FONDMNT s: TT dq d q [] s NTNST' D MPO TTO [/m] poché q F m s kgm s kgm s da cu s rcaa anche kgm s NDUZON MGNT B [T] poché Φ B S s m kgm s s m kg s ( Φ e d [ s] )

12 GNDZZ MMTTNZ MPO TTO MPO MGNTO PT' TT ONDUBT' ONDUTTNZ ONT DNST' D ONT DNST' OUM D NG FUSSO MGNTO FOZ FOZ TTOMOT FOZ MGNTOMOT FQUNZ MPDNZ NDUTTNZ NDUZON MGNT MUTU NDUTTNZ PMBT' MGNT PMNZ PMTTT' TT GNDZZ TTH SMBOO Y H γ Q, q G, δ, ρ W Φ F e, F mm UNT' D MSU Semens ol/mero mpére/mero Farad Semens/mero oulomb Semens mpére mpére/mero quadro oulomb/mero cubo oule Weber Newon ol mpére-spre f Her Z Ohm Henry B Tesla M Henry µ Henry/mero P Weber/mpére ε Farad/mero SMBOO S /m /m F S/m S /m /m Wb N, s H Ω H T H H/m Wb/ F/m

13 GNDZZ SMBOO UNT' D MSU SMBOO POZZZON TT Pe oulomb/mero quadrao /m POZZZON MGNT Pm Tesla T POTNZ TT P Wa W POTNZ TT Q olmpére rea POTNZ PPNT S ol mpére POTNZ TTO, ol POTNZ TTO Weber/mero Wb/m TTNZ X Ohm Ω SSTNZ Ohm Ω SSTT' σ Ohm mero Ω m GDT' DTT D ol/mero /m SPOSTMNTO TTO (DNST' D FUSSO TTO) D oulomb/mero quadrao /m SUSTTNZ B Semens S TMPO secondo s TNSON, ol

14 OSSZON MSU B. MTMTH STOMNT ZON UT NQUDB N TO D UT TO D MP ONSGUNTMNT: e relaon crcual sono solo de cas parcolar delle equaon de camp e possono essere dedoe da esse N PTO: la eora crcuale non è pù applcable per enson e corren con frequena così eleaa che la lunghea d'onda assocaa rsul mnore delle dmenson rasersal, non d quelle longudnal, del crcuo. N T S S D O TO D MP TO D MP Me onnu, Omogene, sorop, near araera dalle seguen propreà: γ conducblà (S/m) ε permeà (F/m) µ permeablà (H/m) algono le quaon osue: D ε B µ H ssono anche relaon mse ra grandee scalar e eoral. s: B B d l H d l

15 FOM DFFNZ D NTG ds dl l Teorema d Sokes: ( ) S Teorema della dergena: ( ) d quaon d Maxwell Forma Dfferenale Forma Dfferenale B ro B H D ρ dl H dl S S B D ds Q S dφ ds d D ds S ds lra Formulaone egge d Faraday egge d mpére egge d Gauss B S B ds egge d Gauss l conrbuo fondamenale d Maxwell è sao quello d consderare che anche le corren d sposameno elerco producessero gl sess effe magnec delle corren d conduone e d coneone TO D UT: Mol uor adoano l'approcco assomaco, nroducono come posula le legg fondamenal de crcu

16 UTO TTO ' un nseme d elemen elerc nerconness n un cero modo UTO TTO a eora crcuale ha auo l suo effeo no nel Maro del 8, quando lessandro ola annuncò l'nenone della pla elerca. da lu dera l nome dell'unà d msura della fora eleromorce, l ol () Un crcuo è formao da due o pù elemen, conness per meo d "conduor perfe". conduor perfe sono de collegamen che presenano nessuna ressea e permeono alla correne d flure lberamene sena accumulare né carca né energa. Ques'ulma s può consderare resdene o "concenraa" n cascun componene crcuale. ' per queso che al crcu s dcono "a par<mer concenra"

17 OMPONNT {Superfce me, Termnale, Morseo} BPO {essore, nduore, apacore, Generaore deale} TPO {Transsor, Moore Trfase} OGMNTO ONT TNSON {onenone, mpére-mero, Unà d msura} {onenone, ol-mero, Unà d msura} B B SOUZON D POBM UT quaon de omponen quaon Topologche

18 OMPONNT ermnale BPOO superfce lme morseo MONOPOO TPOO Transsor M Moore Trfase OGMNTO Due o pù componen s dcono collega se hanno uno o pù morse n comune Non engono nclus fra componen nello sudo della Teora de rcu

19 ONT TNSON ( ) - ( ) B - - B B UNT D MSU: mpére () STUMNTO D MSU: mpéremero nserone pccolssma deale r UNT D MSU: ol () STUMNTO D MSU: olmero nserone B B pccolssma deale r

20 Σ 4 PNPO D KHHOFF 4 d Soo le poes fae, esprme la solenodallà della correne r a r r a ± r a) c) -' ' dq dq d q d d d b) q cos PNPO D ONSZON D d) e superfc chuse non deono aglare né morse né superfc lme de componen

21 5 5 4 PNPO D KHHOFF Soo le poes fae, sablsce l rroaonalà del ampo lerco dl a a ± r a somma delle enson lungo una lnea chusa è nulla dl rroaonalà del ampo lerco Queso prncpo è aldo n assena d camp magnec o quando sono lenamene arabl. ceersa doremmo serrc delle eq.n d Maxwell. Queso conferma che: a Teora de rcu è un approssmaone alda solo quando s può fare l poes che le dmenson fsche de crcu sano pccole rspeo alle lunghee d onda de segnal r r r B B B B B B - B llora, per esempo:

22 ONNZON 4 n n n noe n corren la (n)-esma è deermnaa n 4 n n 4 a b c x a b noe n enson la (n)-esma è deermnaa x c e n enson deono essere ndpenden fra loro n n 4 ascuna ensone dee poers oenere dalla msura delle alre n requs per la scela delle n enson e delle n corren sono: NDPNDNZ e OMPTZZ sse un meodo ssemaco per rcaare cosdde SSTM FONDMNT d enson e d corren

23 n x n ONNZON DG UTZZTO n n {,,, n } ndpendene {,,, n } ompleo x - x - B DSTT B conenone degl ulaor e conenon sono arbrare

24 SMP: 5 a) 5 - (-) b) c) b a 4 6 c d roare

25 OMPONNT MNT conenone SSTO ulaor ONDNSTO d /d ( q )... ulaor NDUTTO d /d ( φ ) ulaor GNTO D D TNSON e generaor GNTO D D ONT a generaor OTO UTO ressore degenere o gen. d ensone con e() UTO PTO ressore degenere o gen. d correne con () GNTO POTT (o ONTOT) n ngresso: ulaor TSFOMTO D usca: generaor NUO n MUTU NDUTTNZ GTO * d d d d ma : ma : dq d dφ d q φ (equaone caraersca) (equaone caraersca)

26 G per un conduore d lunghea l e seone : SSTO ρ l γ l MT argeno rame oro allumno ungseno slco ρ (Ω m),6 8,7 8,44 8,8 8 6,5 8 OO NO MON OSSO NO GO D BU O GGO BNO OO GNTO NO o null F MUTPO TO.Z ±5% ±% ±% prefsso ao femo pco nano mcro mll cen dec deca eo klo mega gga era exa pea smbolo a f p n µ m c d da h k M G T P sgnfcao

27 PTO - NDUTTO q d dq d dq d c d d ε ε ε d ε r d d MT neoprene slcone mca cara acqua dsllaa ara ε r 6,46, 5,4-9,,99 78, NDUTTO φ dφ d d d

28 GNTO D Generaore deale d ensone () () e() () e() Generaore deale d correne () () a() () a() oro rcuo () () () rcuo pero () () () aso degenere del generaore d ensone o del ressore d ressena nulla aso degenere del generaore d correne o del ressore d ressena nfna o conduana nulla

29 GNTO POTT β β : paramero d conrollo a-dmensonale esempo: a g,5 : paramero d conrollo dmensonalmene è una ressena g g : paramero d conrollo dmensonalmene è una conduana generaor dpenden o ploa sono componen essenal ne crcu amplfcaor, n cu l'ampea dell'usca è maggore d quella dell'ngresso. nolre serono ad solare una porone d crcuo o a fornre una ressena negaa α α : paramero d conrollo a-dmensonale

30 BS D DFNZON UN OMPONNT S D DFNTO SU BS TNSON S, MPONNDO TNSON, ONT SONO NOT UNOMNT TTSO TTSTH O QUZON D OMPONNT. S, ' DFNTO SU BS ONT S, MPONNDO ONT, S TONO UNOMNT TNSON. semp: e base correne e base correne a a base ensone e a assurd fsc DODO enrambe le bas DODO TUNN base ensone

31 [, ] BS MST ; ; a) base ensone e e BS TNSON, ONT MST fssa: e e roa: e e a) base correne a a fssa: a a roa: a a

32 POPT' GN nearà: un componene s dce lneare se l'effeo douo ad una qualsas causa è proporonale alla sessa Tempo narana o Permanena: un componene s dce emponarane se l'effeo non dpende dall'sane d applcaone della causa ecprocà Passà: un componene s dce passo se: p( ) d τ τ ausalà: un componene s dce causale se, n un qualunque sane, l'effeo dpende solo dalla causa per

33 POPT' NGTH Poena ssorba da un Bpolo: p() () () (conenone normale) è la poena che enra nella superfce lme del bpolo. on la conenone normale s parla d poena assorba. Unà d msura Wa [W] Poena lerca assorba n un nerallo δ: δω () () δ a) δω > δ elemeno puramene dsspao b) δω energa accumulaa n bpol d po e : elemen d capacà nfna, come generaor deal, che possono assorbre o cedere una quanà nfna d energa sena che muno le sue caraersche. NON ' DFNB UN O ZO. S raa d energa scambaa all'nerno della superfce lme, con accumulaor d capacà nfna (scambaor). n al cas è possble defnre un lello ero, coè gl elemen possono essere SH (STTO ZO) c) < δω > OMPONNT MNT SONO T PH' NSTONO N UN SOO TPO D NG

34 GNTO D d TNSON () e() d ONT () a() S: e() cos ; () cos ω p() d ( ) ω' p () d ( ) nel generaore d ensone nel generaore d correne a poena assorba dall'uno non è alro che quella generaa dall'alro, e non s resce a sablre un O ZO d energa, coè non esse lo STTO ZO OTO UTO UTO PTO S MT

35 BPO PSS SSTO p() () () () () > sempre ω p ( τ ) dτ dτ > sempre ONDNSTO d p() d () d d [ ] >< ( τ ) dτ ( ) ( ) b ω p b a a NDUTTO d p() d ( τ ) dτ ( ) ( ) () d d [ ] >< b ω p b a a arable d sao: TNSON arable d sao: ONT

36 MUTPO Hp: base d defnone [ ; ; ] e e a Prncpo d onseraone dell'nerga δω p a δω δω δω b () c δωa δωb δωc δω p δ ( ) ( ) ( ) POTNZ SSOBT D UN OMPONNT ' SOMM D PODOTT TNSON-ONT D SU B DSTT (ONNZON NOM) δ δ δ

37 GNTO POTT k k () p k k k () ( ) k k k p a condone d passà non ale poché l'negrando è negao () d p OMPONNT TTO generaor ploa sono componen a

38 TSFOMTO D n n n base d defnone msa: [ ; ] o [ ; ] p n () ( n ) l rasformaore deale è rasparene alle poene ' un componene PSSO non dsspao Non è doao d sao

39 F D PSST' ( ) d d p n τ τ τ SSTO p p a funone negranda è sempre ( ) τ τ τ d d p ONDNSTO () d d p e d d p ( ) d d p τ τ τ per - l condensaore è scarco analogamene per l'ndutto Sono componen che hanno lo STTO ZO [ ] ( ), d p W τ τ

40 MUTPO n - n - n -polo n n () T T n n d p τ ω Se l mulpolo s dce PSSO quaone osua: (lnear, empo naran) () ω [ ] [ ] B MUT-POT Un mulpora è un parcolare mulpolo con un numero par d morse organa n coppe, n modo ale che, per ogn coppa, la correne enrane n un morseo è uguale a quella uscene dal secondo morseo della coppa. Ogn coppa è dea POT. l n n' ' n n n n n l l () T T n n d p τ ω h [ ] [ ] B (lnear, empo naran)

41 MPFTO OPZON mplfcaore Operaonale (Operaonal mplfer - OP) è un dposo eleronco che s compora come un generaore d ensone conrollso n ensone ONFGUZON D PN SMBOO UT BNMNTO NG. NTNT NG. NON NT SOGTO UST BNMNTO NG. NTNT NG. NON NT. _ 7 6 UST ZZMNTO OFFST MNTZON NGONO SPSSO OMSS NG SHM UT, M OP D SMP SS MNTTO

42 MODO UT Generaore d ensone conrollao n ensone d o o d d o d ( ) : guadagno d ensone ad anello apero alor pc 5 8 o 6 Ω cc o Ω d cc 5 4 ensone d almenaone sauraone negaa - cc sauraone posa

43 MPFTO OPZON D d _ o o d N MGGO PT D PPZON S ONSDNO OP D N GON N D FUNZONMNTO NUO qualsas qualsas

44 NSGUTO D TNSON s o Un generaore d ensone è collegao al morseo non nerene dell'operaonale, menre l morseo nerene è collegao dreamene all'usca. Deermnare la ensone n usca o ed o sono n sere. Qund la correne ale: o s o d s d d o o s per l'equlbro delle enson alla magla : ( ) o o d o o da cu, sosuendo: s s o o o o s o o o o o o o o s o o

45 NSGUTO ON O - o s o n Deermnare l alore della correne che araersa l carco due morse n ngresso all'operaonale hanno lo sesso poenale. l coro crcuo rpora lo sesso poenale al morseo d usca, qund o s. TNSON N UST NON DPND D O Per l calcolo della correne: o s

46 MPFTO NTNT o s o n Deermnare l alore della ensone o s o equlbro al nodo equaone del componene equaone del componene ma, per l'dealà dell'operaonale: da cu: s o e nfne: o s Quesa confguraone d operaonale amplfca l'ngresso n ragone del rapporo / e ne nere l segno. s o

47 MPFTO NON NTNT Deermnare l alore della ensone o o s o n equlbro al nodo o equaone del componene equaone del componene ma, per l'dealà dell'operaonale: da cu: s s o s e nfne: o s Quesa confguraone d operaonale amplfca l'ngresso della quanà / e non nere l segno. s o

48 MPFTO SOMMTO o Deermnare l alore della ensone o o n o o da cu, rordnando o o o 'usca è proporonale alla somma pesaa delle enson. Se : ( ) o o oè l'usca è proporonale alla somma delle enson

49 MPFTO DFFNZ o Deermnare l alore della ensone o o o parore d ensone equlbro al nodo sosuendo: ( ) o o oè l'usca è proporonale alla dfferena ra le enson

50 MPFTO DNM -TB SSUNT nseguore d ensone o s amplfcaore nerene o amplfcaore non nerene s o s s o s o s o amplfcaore sommaore o o amplfcaore dfferenale o ( ) o o o

51 nod la ordne del nodo percorso grafo connesso magla albero co-albero TO D GF GFO D OMPONNT GFO D UTO co-ccl fondamenal magle fondamenal TOM D TGN per ogn lao d una ree è p(). Per l prncpo d conseraone dell energa : ( ) δ k k k k k k per qualsas nseme d compable con la legge d Krchhof per qualsas nseme d compable con la legge d Krchhof e sono OTOGON

52 TOM D TGN 4 a u b c d e f u u 4 u u u u u u u u u u u f d c b a ssono nfn {u } purché compabl col grafo coè purché ndpenden. onsderamo: f e d c b a f e d c b a ; eseguamo l prodoo T a a f f u a (u -u ) b (u -u 4 ) c (u -u ) d (u 4 -u ) e -u 4 f u ( a b ) u (- b c d ) u (- d - e ) u 4 (- c e - f ) Se l nseme delle corren è compable con l grafo le quanà ra parenes sono nulle T l Prncpo d onseraone dell nerga è un caso parcolare del Teorema d Tellegen

53 SMP a) f a e d b h c Screre le equaon opologche 4 g 5 b) u() e de componen Screre le equaon opologche c) a() Screre le equaon opologche e de componen

54 e n egme Saonaro

55 OMPONNT MNT N GM STZONO Per crcu assoluamene sabl, n presena d eccaon cosan nel empo: Generaore ndpendene d ensone cos Generaore ndpendene d correne cos essore nduore ondensaore d d (co co) d d (crcuo apero)

56 edremo n seguo cas d crcu con generaor ploa, nullor e graor Muua nduana M d M d d M d d d d d Tu condensaor s comporano come crcu aper, Tu gl nduor s comporano come coro-crcu T D SO GNTO SSTO sempo: B N 4 6 B N- eq K D -N eq K D 6 eq. componen q. opologche

57 SSTO N S n- n n n B eq B B B ( ) eq eq n n n n B n PO D SSTO B B B B n n n B eq eq n n n n n G G G Nel caso d due sol ressor: G G G eq eq

58 PTTO n ( ) n Nel caso d due sol ressor: n n Parore d Tensone Parore d orrene ( ) n n G G G G G G G Nel caso d due sol ressor:

59 B TSFOMZON ST-TNGOO B B B B B B B B B B B B B B B B G G G G Nel caso d re ressene ugual sarà: Y

60 PNPO D SOPPOSZON DG FFTT n una ree lneare, comunque complessa, conenene bpol lnear, le enson e le corren n cascun lao possono essere deermnae sommando conrbu dou a sngol generaor presen, agen uno alla ola. (Passaone de generaor) h h h TOM D TGN PNPO D ONSZON D POTNZ TOM D THNN TOM D NOTON eq eq eq eq B eq G eq eq G eq B

61 TOM D THNN S UO ONTN: SSTO GNTO NDPNDNT POTT ( GNDZZ POTNT NTN T): TH : ensone a uoo fra e B cc : correne d coro-crcuo fra e B TH TH / cc SSTO GNTO POTT (NSSUN GNTO NDPNDNT) TH OG UN GNTO D ONT D F B O B TH B / NOGMNT P UTO QUNT D NOTON

62 MTODO D ONT D MG e equaon a nod sono denà ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M M MM M M M : auo-ressena della magla : muua ressena ra la magla -esma e la magla -esma M M M

63 SMPO 4 Ω Ω Ω Ω Troare la poena forna dal generaore da 6 [ Z ] 6 Ω ( 54 9) ( 9 6) ( 9) ( 9 6) ( ) 54 5 P W

64 MTODO D POTNZ NOD n n nn n n n G G G G G G l l h l h n N - G : conduana propra del nodo G : conduana muua ra nod e n n n No poenal s può rsalre a ue le ncogne TOM D MMNN n n B B G G aso lme d ree con due sol nod G G G n n G n G G B

65 SMPO Ω Ω Ω Ω Ω ; 5 ; U U U

66 6,87,68,6 5,55,5,,5,,5,,5,7 U U U U U U

67 SO N U SONO PSNT GNTO POTT a marce de coeffcen nel meodo delle magle non è pù smmerca l meodo s desruura 4 sempo: ( ) ( ) ( ) ( )

68 TOM D MSSMO TSFMNTO D POTNZ p a b THNN TH TH p p max TH TH TH S H MSSM POTNZ TSFT O QUNDO SSTNZ D O UGU SSTNZ D THNN ST D O: TH Dmosraone: dp ( TH ) ( TH ) TH 4 d ( ) TH TH a b TH p max 4 TH TH

69 p p max endmeno n poena: η P P carco generaore Se TH allora: TH P P carco generaore p max TH 4 TH TH TH TH TH TH TH η N ONDZON D MSSMO TSFMNTO D POTNZ S H UN NDMNTO P 5%

70 SMPO 6 Ω Ω Ω Ω a b Deermnare affnché s abba l massmo rasfermeno d poena al carco. Deermnare la poena massma sposa: p TH TH 4 9 Ω TH max,44 W

71 e n egme Snusodale

72 y p () dpende dall'ngresso u() NGSSO SOD NGSSO SOD: u() U e σ cos(ω ϕ) δ - () U > a) σ ; ω u() U cosϕδ - () GDNO b) σ ; u() U cos (ω ϕ) δ - () SNUSOD c) σ < ; ω u() U e σ cosϕ δ - () SPONNZ DSNT d) σ < ; ω u() U e σ cos(ω ϕ) δ - () OSTOO SMOZTO D'NGSSO SOD S POSSONO OM SOTTOS UN TP D NGSS OMUNMNT UTZZT. Una rappresenaone compaa d u() è la seguene: u () { s e U e } s σ ω U U e ϕ y p () { s } m e e U b a n s s m n b a

73 b a m n s s m n h b h a FUNZON D TSFMNTO DPND D TTSTH D T NON D'NGSSO SSUMNDO: a u n y d d n d y h a n d ( ) l n n s () e{ U e } y y. /O n s { e } λ () e e H () s U () s > y b m ONDZON NZ NOT SP.B n d u h b u n d NG. SOD SP.FOZT λ FQ. B D T (soluon dell'eq. caraersca) n eλ appresena l modo d eolere della ree, ndpendenemene dall'ngresso a rsposa foraa eole, nel empo, come l'ngresso

74 FQUNZ B m(λ) e(λ) { } se e λ < la rsposa lbera conerge a ero dopo un cero empo. Per MN SO SPOST FOZT se se se { λ } < e{ λ} e { λ } < e T SSOUTMNT STB T SMPMNT STB T NSTB

75 GM SNUSOD se s ω (ngresso snusodale), dopo un cero empo s nsaura l regme snusodale H ω ( ) U Per emp molo grand, possamo prescndere dall'orgne de emp e pensare d laorare dreamene nel campo complesso. a rconersone al domno del empo è mmedaa: y () { ω } () { ω e e se u e U e } S UTZZ MTODO SMBOO

76 u SMPO a() u () a() eq. u op. () u eq. comp. a d d () u() K K d u d () ZON /O

77 Se () ( σ u ) e cosω δ () > () { s } u e e e Hp: sao nullo : ( - ) p e s s { B e } e{ H () s U e } H () s s e s e e s s e m(λ) e(λ) a) σ ; ω ngresso a gradno b) σ ; ω ngresso snusodale P SPOST TND SO SPOST FOZT!

78 S PTO a) σ ; ω λ alore negao ee assoluamene sable u() gradno e e ()

79 b) b) σ ; ω u() cos ω snusodale ( ) ( ) ( ) ( ) e e e e e p ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω sn cos ω rsposa lbera ω rsposa foraa rsposa complea

80 N UN T SSOUTMNT STB, GM SNUSOD N ONSGUTO D TUTT B D T MTODO SMBOO U, sono due fasor m ψ ϕ U e erso poso per le fas (conenonalmene) U H U H e e H U ϕ ψ e ( ϕ ψ ) e grandee sono so-frequenal, qund, dopo un cero empo, l'sane nale perda sgnfcao ed è superfluo ndcare l rfermeno degl ass. 'mporane è che le derse grandee fasoral sano n un deermnao rapporo d fase ra loro

81 m ψ ϕ U e Nella fgura, è n ancpo rspeo a NTPO NGOO POSTO TDO NGOO NGTO S PTO: a) ψ π / fasor sono n quadraura b) ψ π fasor sono n opposone d fase c) ψ fasor sono n fase PNP D KHHOFF Domno del Tempo Domno della Frequena

82 (ω) (ω) QUZON D OMPONNT (ω) ( ϖ ) H ( ω) ( ω ) H(ω) prende l nome d MPDNZ Z ( ϖ ) Z ( ω) Z Z Se esse l'nersa della funone d rasfermeno: MMTTNZ Y ( ω ) Y Z ω ( )

83 O FF. n eleroecnca s ulano spesso alor effcac delle grandee snusodal, soprauo quando s parla degl aspe energec. l alore effcace è defnble per ue le grandee perodche: () O FF T f T d Nel caso snusodale: T eff M sn ( ω) d T M

84 O FF () T d f T [ ] cos sn sn cos cos sn cos cos sn cos cos sn cos cos cos sn ) cos ( cos sn sn cos sn sn sn cos sn cos cos cos cos cos cos M M T T M T M M T T T T T T T T T T T T T T T T )d ( x x x xdx dx x x xdx xdx dx x x dx x x x xdx x x xdx x x x xdx x (x)dx )d ( T )d ( T ) ( f() π π π π π π ϖ ϖ ϖ ϖ ϕ ϖ ϕ ϖ ϕ ϖ ϕ ϖ allora par) per (negrando ma : Se

85 SSTO G y () () () ( ) p p p eff ω ω ω ω ω ω cos cos cos cos cos cos max max max p() pulsaone ω NOT: a poena assorba dal ressore è sempre posa o, al pù, nulla, è pulsane d pulsaone doppa rspeo a quella della ensone o della correne O ' O MDO D p() N PODO N HMTO POTNZ TT POTNZ TT P

86 PTO d ω d Z ω ω ( ω ) ( ω ) Y ω π ' ( ) ' d' d () > NOT: S PUO' P D MPDNZ D UN OMPONNT SOO S T OMPONNT ' NO STTO ZO

87 p ω () max snω cosω snω cosω sn ω p() pulsaone ω a poena assorba è snusodale d pulsaone doppa rspeo a ensone e correne ed ha alore medo nullo. POTNZ TT ' NU a quanà Q par all'ampea massma dell'oscllaone della poena sananea è dea POTNZ TT. a poena reaa s msura n Se ω ω (regme permanene) l condensaore s compora da crcuo apero PO D PTO S D PTO

88 NDUTTO d d Z> ( ω ) ω ω ( ω ) Y> ω PPSNTZON FSO π Se lo sao nale non è nullo s può rcorrere al crcuo equalene: ' ( - ) è n ancpo d π / rspeo a d' d ( ) ω ' ω

89 p () ω ω cosω ω snω cosω snω sn ω sn ω p() pulsaone ω a poena sananea è una snusode d pulsaone doppa rspeo a ensone e correne. POTNZ TT ' NU Q POTNZ TT S D NDUTTO PO D NDUTTO

90 MMOZZZON DO STTO NZ S NON S ' NO STTO ZO NON S PUO' P D MPDNZ D UN OMPONNT q () ( ) ( ) () τ dτ cos () d ( ) τ q c ' c δ - () c ( ) () ' d' d o sao del capacore può essere "memorao" medane un generaore d ensone

91 () ( τ ) dτ cos ( ) () () ( dτ ) ϕ ϕ ' δ - () ( ) () ' d' d o sao dell'nduore può essere "memorao" medane un generaore d correne

92 M MUTU NDUTTNZ - d d d d M M d d d d Hp: non dsspao passo M M M M k OFFNT D OPPMNTO ( k ) M M M M M a) M > b) M > c) M < d) M < regme snusodale: ω ω ωm ωm Se nalmene s è nello sao ero, ω, ω e ωm sono delle mpedene (Ω). MUTU 4 TMN H STSS QUZON D QU TMN

93 Hp: PSSO M M NON DSSPTO p() B nfa: g d ungo le l e l ω p l l MUTU NDUTTNZ - g d M d d M g M Per la condone d NON DSSPTT': () ω ω p d g ω e ω deono dpendere solo dagl esrem p() dee essere un dfferenale esao g M M M TTTGGO SMP assume alor dfferen. Per la condone d passà: () d M [ ] M M FOM QUDT SMDFNT POST MNO -M d d

94 TSFOMTO D Se k (accoppameno sreo) n d d d d d d d d d d d d d d d d M Nel domno della frequena: n ω ω ω ω ω Per, s può rascurare l ermne menre da cu: ω n n n TSFOMTO D n:

95 SMPO alcolare e a regme () e ω cos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 6,6,

96 SMPO ω ω ω Ω Ω cos roare la ensone e () ( ) ( ) ( )( ) ( ) () ( ), 5,6 cos 6,7 5,6 6,7 8,5 6,7 8,5 6,674 7, ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω

97 TOM D THNN NOTON T TT ee aa cosua da componen lnear empo-naran THNN eq eq QUNT UT Z eq eq l duale è l eorema d Noron NOTON eq y eq QUNT UT Y eq eq

98 SMPO 5 Ω -5 Ω Troare gl equalen d Theenn e Noron 5 Ω eq D THNN B eq Ω NOTON y eq cc cc eq y eq eq B 5 5 B 45 Ω,88 ( 5) ( 5) , ,44 45 eq c..d. 5 eq 5 Ω B Ω 5 Ω cc B

99 PTTO PTTO D TNSON: n U U U U U U U y y n y n y y y y y PTTO D ONT: y y Z Z Z Y Y Y Z Z Z y y Y n n

100 () { ω cosω e e } e p ma : p ϕ e ϕ () { ϕ ω e e e } cos( ω ϕ ) () cos( ω ϕ ) cosω cos( ω ϕ ) cos( ω ϕ ) cosω cosϕ( cos ω ) snϕ sn () cosϕ( cos ω ) snϕ sn ω alore medo P cosϕ POTNZ N GM SNUSOD e Poena a sananea Poena a[w] e ϕ e Poena eaa sananea alore massmo Q snϕ Poena ea[] cosω ω S ϕ l cosϕ snϕ TNGOO D POTNZ S S P Q P Q Poena omplessa ( cos ϕ sn ϕ ) Poena pparene []

101 S dmosra faclmene che: > * S > nfa: ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ e e e e e e X > > > allora : se Percò: S Q P e e e e ϕ ϕ ϕ ψ ψ ϕ sn cos * P rappresena la poena dsspaa Q rappresena la poena scambaa con alr accumulaor d energa cos ϕ : faore d poena del carco

102 SSTO ϕ S PTO PTO ϕ π/ ancpo p() sn p() p p() ( ) ( cos ω ) ( cos ω ) alore medo: P Q NDUTTO ϕ π/ rardo p() sn p() π ω ω P Q - π P Q

103 TOM D BOUHOT Dal eorema d Tellegen: h h n regme snusodale: pplchamo Tellegen agl nsem delle { } { * e } h h ' { } { * } h '' ; h h h h * h h ( P Q ) h h ffnché sa erfcaa dee essere: h h P h Q h

104 e ϕ FSMNTO P cosϕ ; Q snϕ ' ω ω Per Bouchero: Q g Qc Q ' ϕ snϕ FS SGNF MPO: Q g O': Q c Q Q snϕ ; Q c ω π sn ω snϕ ω PTÀ DPND SOO D O D PUSZON ' ω e ϕ ω cosϕ snϕ N FS ON (GNMNT cos ϕ',9 ) cosϕ

105 ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' an an ' an an ' an an cos cos ' an cos cos sn cos ' an cos sn ' sn sn ' cos cos cos ' cos P P Q Q Q P P c c c c g g ω ϕ ϕ ϕ ϕ ω ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ c ' ϕ ' ϕ c ϕ ϕ' Q c Q' Q S P S '

106 T H H OO FS: MOTO SNON MPD S ON TTO D STBZZZON FON D NDUZON ec s: ampada fluorescene da W 5 µf ampaa fluorescene da W 8 µf MSSMO TONONTO P 'NT cos ϕ,95,97 Norme: Per P 5 kw cos ϕ,9 Nessuna Penale ( ),7 cos ϕ,9 Penale: f Qd Pd nel perodo d fauraone cos ϕ,7 Obblgo d fasameno

107 SMPO: mpedena equalene X X X Ω X Ω X 5 Ω X 6 Ω eq ( X )( X ) ( 5)( 6) X X X ,4 64,9

108 SMPO Ω H F F e() Ω Ω () ()? e() cos(-π/4) Ω -,5 F,5 45 Ω Ω - eq (,5 )( ),5,5,5 4,5 6,5,5,5 eq eq ( ) ( 5) 6,67,4,6 4 45,4, 44, 44,5, 44 45,6 4,, (),cos( )

109 SMPO e Ω H e() () () cos(,) () 5 cos(,464) eq x c e() cos - sn () cos sn?, 5 (), 464 eq π 4 x c x c F

110 SMPO (Teorema d Bouchero) S * X S * X X X ( ) ( ) ( )( 5 5) 5( ) X X X 5 5 X a poena complessa erogaa dal generaore è: S ssendo: ( ) alcolare alor d ed X P e Q m S {} S 5 5 {} X 5 5 X X 5 6 Ω X 5X 5 X eaana apaca

111 SMPO (Teorema d Bouchero) X X P Q kw ; ; ;,4 4 Q P alcolare, X e la poena reaa assorba da X P P P X X Q Q Q (Teorema d Bouchero) ( ) ( ) ( ) U X X X X X X Q ssendo le corren ugual n modulo e le reaane ugual n modulo, ed essendo due ram n parallelo, sarà:, da cu: ( ) Ω 4 4 P P nolre è: U X U X X U ma: Ω X Q U X P U U P S P Q P S capac

112 P S SMPO (fasameno) S alu l faore d poena ' complesso cos ϕ e l alore effcace della correne oale per carch e, almena con una ensone d 5 alla frequena ndusrale d 5 H S rfas eenualmene l carco a cos ϕ',95 e s alu l'ndcaone dell'ampermero ' dopo l rfasameno. Da: P kw, Q k, Q 8 k, cos ϕ,5 Q anϕ Q cosϕ cos P P W, W ( arcan Q P ) cos( arcan( 8 469) ), 6 anϕ anϕ', -, ωu π 55 P P P 68 µ F S Q Q U 46,8 Q 8 occorre rfasare a cos ϕ,95: dopo l rfasameno: Q' Q Q 8 ωu ; S' ' S' U 589 5,78 (eura dell'ampermero ')

113 MTODO D MNZON D TNSON ee d bpol (non ncolane) n k l n k k k

114 SMPO B 7 la 5 nod 7 equaon 5 B 5 5 eq orren ndspensabl: e corren de generaor s possono eenualmene rcaare n seguo. 7,,, ' ndspensable conserare le equaon a co-ccl doe non compaono le corren de generaor. e 4 equaon sono:

115 MTOD BBT D NS MTODO D ONT H Dscende dalle equaon d Maxwell Solenodalà delle orren S nroducono delle corren fe che sano d per sé solenodal (base eorale su cu s proeano le corren real ) s: M l (n -) [ Z ] [ Z] M M mpedena propra della magla mpedena muua ra le magle e della magla M M MM 4 B 5 [ ] orren cclche Nelle magle [ ] M M

116 è la somma de generaor d ensone nella magla, prese con segno se concord con l erso d e ceersa è la somma delle enson doue a generaor d correne collega agl esrem de la della magla (prodoo della correne per l'mpedena del ramo a cu è collegao) preso con l segno se la cadua d ensone proocaa n quel ramo dalla sola correne del generaore è concorde con e ceersa

117 SMPO X X X X X X 8 () () () ( ) Ω 6 4 cos cos sn X X X X X X Ω e e e π ω ω ω ; ; 4

118 MTODO D POTNZ NOD S BS SU POPT D OTZONT D TNSON U Y Y U Y 4 U dl Y egge d Krchhoff delle enson Qualsas ensone d lao è esprmble come somma algebrca de poenal d nodo. U OSTTUSONO UN BS P TNSON [ Y ][ U ] [ ] Y Y N, U U N [ Y ] [ U ] [ ], Y Y, N, Y Y, N N, N N N

119 [ Y ][ U ] [ ] [ Y ] [ U ] [ ] Y Y N U U N N Y Y N N Y N Y NN N n nod ndpenden Y Y Y ammeena propra del nodo Y ammeena del lao che collega nod e presa col segno negao Poenal degl n nod rspeo all n-esmo somma delle corren de generaor d correne che ncdono sul nodo, pos se enran corren doue a generaor d ensone nser n la conergen nel nodo (f.e.m. ammeena del lao) pos se l generaore da solo fa crcolare correne enrane NOT: S P D NOD H SONO S PTO D O-. N PT S ONSDNO O- FONDMNT FT D UN BO ST

120 SMPO Ω /8 F /6 F () 4cos 9 Ω Ω / H Troare () con l anals nodale B U U B U B U B,5,5,669,44 N.B. ho laorao con alor massm (),5cos

121 MTODO D ONT H: OSSZON x 4 x ( ) 4 x PSNZ D GNTO D ONT NTODU UN DSTUTTUZON D MTODO, NTODUNDO NOGNT MST (, ) TMN NOT MST (, ). NOGMNT P MTODO D POTNZ NOD. MPOTNT ST OUT D MG D NOD.

122 SMPO: Ω

123 THNN N PSNZ D GNTO POTT θ B θ B B θ B θ B B N.B. GNDZZ POTNT STN: POSSMO PSS GNDZZ POTNT NTN: NON POSSMO PSS

124 DTTMNTO NGTO DTTMNTO NGTO ee a B Per l T. d Theenn B g Qual sono le condon nelle qual assorbrà la max poena aa? ( ) {} ( ) ( ) g g g g g g g g X X S e P Q P S X * * * ; ; ; Max P: Poché X X X g X - X g

125 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * 4 g g g g g g g g g g Z Z d dp d dp P TOM D MSSMO TSFMNTO D POTNZ TOM D MSSMO TSFMNTO D POTNZ