Misura di frequenza di segnali periodici in condizioni critiche di rumore

Transcript

1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II POLO DELLE SCIENZE E DELLE TECNOLOGIE FACOLTÀ DI INGEGNERIA Dpartmento d Ingegnera Elettrca Msura d frequenza d segnal perodc n condzon crtche d rumore DOMENICANTONIO GRILLO TESI DI DOTTORATO IN INGEGNERIA ELETTRICA XXIV CICLO (coordnatore: prof. Ing. Gudo Carpnell) TUTOR PROF. ING. MASSIMO D APUZZO CO-TUTOR PROF. ING. MAURO D ARCO 200/20

2 Indce Introduzone... 3 Captolo Msurazone d frequenza n presenza d rumore Introduzone La msura d frequenza e segnal rumoros... 8 Captolo 2 Metodo d msura basato su zero-crossng Introduzone La tecnca d zerocrossng nelle msure d frequenza nel domno del tempo Estensone del metodo d zero-crossng n presenza d rumore: metodo proposto Valdazon spermental Captolo 3 La rsonanza stocastca Introduzone Effett del rumore La rsonanza stocastca I temp d resdenza Il rapporto segnale rumore Captolo 4 metodo d msura basato sulla rsonanza stocastca Introduzone Metodo d msura basato sulla rsonanza stocastca Prove esegute Concluson Bblografa

3 Introduzone È opnone comune che l rumore nduce una degradazone de parametr che caratterzzano segnal, come l ampezza e la frequenza. In partcolare, talvolta l rumore è partcolarmente aggressvo ed è tale da alterare rrmedablmente l nformazone presente ne segnal. Questo è l motvo per cu sono notevol gl sforz che s fanno per elmnare, o quanto meno mnmzzare, gà n fase d progetto, gl effett del rumore su sstem che ne rsultano partcolarmente sensbl. Esstono però cas n cu non è possble ntervenre poché l rumore s genera nternamente agl stess sstem. In quest cas, notevol sono gl sforz condott per la rcerca d metod alternatv che permettano d stmare parametr che caratterzzano segnal, n partcolare la frequenza, n modo sempre pù accurato. Molte sono le tecnche proposte n letteratura. Tra quelle degne d nota sono da menzonare quelle che propongono algortm d msura che s basano su tecnche d zero-crossng, che utlzzano algortm eucledan, auto regressv, basat su FFT, anals degl auto valor, metod d fnestratura e tecnche d nterpolazone de campon dello spettro. Quest sono, comunque, metod che rchedono un notevole carco computazonale a causa de complcat algortm propost. Altr nvece, necesstano anche del passaggo d domno, come nel caso d algortm basat su FFT che operano nel domno della frequenza, aumentando ulterormente l carco computazonale. Purtroppo la maggor parte d tal tecnche, pur essendo molto valde n condzon normal, degradano le loro prestazon che decrescono n modo sgnfcatvo al dmnure del rapporto segnale-rumore. Quando cò s verfca, s è pratcamente obblgat ad utlzzare tecnche d msura nel domno della frequenza, come gl algortm basat su FFT o su analzzator d spettro, che sono s robust al rumore, ma che presentano però un elevato carco computazonale. 3

4 È n questo scenaro che vene proposto un metodo d msura della frequenza d segnal snusodal che rsulta partcolarmente robusto al rumore sovrapposto. Il presente lavoro d tes ha per obettvo quello d proporre un metodo che permetta d msurare la frequenza d un segnale snusodale corrotto da rumore banco n condzon crtche d rumore. Il metodo proposto è un metodo d msura nel domno del tempo e qund non necessta d cambare domno e supera la dffcoltà computazonale rspetto ad altr metod propost n letteratura che fanno uso d algortm complcat. Il metodo s basa sulla tecnca d zero-crossng, e sulla determnazone degl stogramm degl ntervall d tempo tra campon d zero-crossng consecutv. Esso d fatto s propone come estensone d un classco metodo d msura della frequenza che prevedere la msura del numero d semperod esbt dal segnale durante l tempo d msura e lo rende pù robusto al rumore sovrapposto al segnale sotto prova. I rsultat sono stat valdat medante msurazon esegute per dvers valor d ampezza del rumore e per dverse frequenze del segnale snusodale. I rsultat mostrano che l errore relatvo è molto mnore rspetto a quell esbt da altr algortm propost n letteratura per la stma della frequenza. Le prestazon sono state anche confrontate con quelle de contator numerc e mostrano che l metodo proposto supera lmt d mpego degl stess contator numerc. Il metodo può essere faclmente mplementato su dspostv a basso costo data la semplctà d mplementazone e l basso carco computazonale. Oltre al metodo ntrodotto, l presente lavoro d tes mostra una ulterore tecnca per rendere maggormente robusta la tecnca sopra menzonata ne confront d 4

5 rumore partcolarmente aggressvo. Detta tecnca sfrutta concett assocat al fenomeno della Rsonanza Stocastca. Come detto n apertura del paragrafo, l rumore soltamente costtusce un fattore che lmta o degrada le prestazon d sstem e/o metod d msura. Cò che nvece è poco noto è che cò non rsulta essere sempre vero. Esstono, nfatt, cas e condzon partcolar n cu l rumore aumenta l'effcenza de sstem. D fatto è come se amplfcasse l parametro del segnale che s vuole msurare. Tale fenomeno va sotto l nome d Rsonanza Stocastca (SR) e sstem che esbscono un tale comportamento sono dett rsonator stocastc. Anche n questo caso, rsultat sono stat valdat medante msurazon esegute per dvers valor d ampezza del rumore e per dverse frequenze del segnale snusodale. I rsultat sono confrontat con quell rcavat da contator numerc e algortm FFT. Anche questa estensone del metodo proposto può essere faclmente mplementato su dspostv a basso costo data la semplctà d mplementazone e l basso carco computazonale. 5

6 Captolo I Msurazon d frequenza n presenza d rumore. Introduzone Come è noto, parametr che caratterzzano segnal perodc, sono la frequenza, o l suo recproco che è l perodo, l ampezza e la fase nzale. Non sempre è mportante conoscere tutt parametr anz dett, anz n alcune applcazon solo alcun sono fondamental, mentre la conoscenza degl altr non è pratcamente nteressante. Esstono settor partcolar n cu la conoscenza del valore della frequenza è fondamentale: s pens ad esempo a sstem radomobl n cu l rcevtore deve essere sncronzzato con la frequenza portante del crcuto trasmetttore, al controllo della frequenza ne motor asncron e agl azonament elettrc a veloctà varable n c.a. con tecnologa PWM. Altr settor n cu è mportante conoscere l valore della frequenza sono: Metrologa tempo/frequenza, per campon nazonal delle untà d msura d tempo e frequenza (degne d nota sono le attvtà dell INRM; Isttuto Nazonale d Rcerca Metrologca nel campo della metrologa del tempo e della frequenza). Qualtà dell energa, ntesa come qualtà della forma d onda d tensone (ampezza, frequenza, ecc.). Le norme CEI EN 5060 Caratterstche della 6

7 tensone fornta dalle ret pubblche d dstrbuzone dell energa elettrca e CEI EN Tecnche d prova e d msura Metod della qualtà della potenza defnscono temp d msura (Valore medo delle varazon osservate per l 95% della settmana) e la massma varabltà della frequenza d rete (da 42,5 Hz a 57,5 Hz). Impant d produzone, soggette ad oscllazon della frequenza d rete a causa dell nstabltà delle ret d dstrbuzone. Comuncazon elettrche, ove sono partcolarmente mportant le msure d frequenza, come nel caso d frequenza portante, ne segnal modulat FSK, ecc.. La scelta dello strumento e del metodo d msura della frequenza dpende dalle caratterstche del segnale. In generale, per msurare la frequenza s rcorre a: Contator numerc (per msure nel domno del tempo), Algortm d msura basat sulla tecnca d zero-crossng (per msure nel domno del tempo), Metod/strument basat su FFT (per msure nel domno della frequenza). Purtroppo, quando l segnale è corrotto da rumore crtco, bsogna adottare partcolar tecnche per mnmzzare l effetto del rumore. Infatt, n alcune applcazon notevol, come nella msura d potenza su azonament elettrc a veloctà varable, la stuazone dventa crtca quando s procede alla msura delle prncpal grandezze elettrche a valle dell nverter per la dffcoltà dell ndvduazone del perodo del segnale a causa de numeros passagg per lo zero del segnale d almentazone dovut al rumore ntrodotto dall elevata frequenza d commutazone dell nverter PWM []. 7

8 .2 La msura d frequenza su segnal rumoros Ogggorno, la msura d ntervall d tempo e d frequenza sono tra le pù accurate dsponbl. S pens agl oscllator atomc a fasco d ceso che sono n grado d raggungere ncertezze dell ordne d untà d 0-5 s [2]. Tale caratterstca è notevole, n quanto tal oscllator mpegherebbero crca 30 mlon d ann per accumulare lo scarto d un secondo. Una tale stabltà rende le msure d tempo tra le pù accurate dsponbl. Lo strumento d msura che vene maggormente mpegato a tale scopo è l contatore numerco [3]-[5]. Graze alla stabltà nel tempo del campone d rfermento nterno esso permette d effettuare msure d frequenza su segnal analogc d elevata accuratezza. Inoltre, ess presentano una caratterstca notevole: per rdurre gl effett causat dal rumore, sono dotat d steres. Questo è un accorgmento tecnco che permette d regolare la sensbltà dello strumento. Regolando, nfatt, n modo opportuno l lvello d sogla del trgger d conteggo, s evtano contegg causat dal rumore (Fg. ). Tale tecnca, però, è nsuffcente quando l lvello e la banda del rumore sono tal da determnare pù contegg n un perodo del segnale, anche n vsta del fatto che non è possble aumentare ad arbtro l lvello della sogla d steres (Fg. 2). Lo stesso rsultato s ottene a causa d una errata scelta della sogla d steres (Fg. 3). D altro canto, la maggor parte degl algortm d msura d frequenza su segnal camponat utlzzano la tecnca d zero-crossng [6]-[8]. Questa tecnca consste nel determnare gl stant d tempo n cu segnal cambano l loro segno. 8

9 Fgura regolando opportunamente la sogla d steres s resce ad esegure msure d frequenza anche su segnal rumoros. In presenza d rumore (a) è possble regolare l lvello d sogla d steres n modo da evtare eventual contegg dovut al rumore (b). Fgura 2 quando l lvello e la banda d rumore sono troppo elevat (a), s determna un numero maggore d contegg (b) a causa dell mpossbltà d regolare ulterormente l lvello d sogla d steres. 9

10 Sono ancora utlzzat algortm eucledan, auto regressv, basat su FFT, anals degl auto valor, fnestrature e, recentemente, algortm d nterpolazone de campon dello spettro [0]-[8]. La maggor parte delle tecnche suddette, n partcolare quelle operant nel domno del tempo, sono partcolarmente sensbl alla presenza d rumore così ché le loro prestazon degradano [7], [9]-[23]. Cò capta ad esempo quando s usano tecnche come l uso d algortm basat su FFT che rsultano partcolarmente robust al rumore, a scapto però del maggore carco computazonale. Fgura 3 un errata regolazone della sogla steres determna un aumento degl mpuls d conteggo anche n presenza d un debole rumore. Nel caso d segnal camponat, come tecnca d msura nel domno del tempo, spesso sono utlzzat algortm d msura che utlzzano la tecnca d zero crossng. Quest s basano sull dea d sceglere due event che ndvduano un numero ntero d perod del segnale, ad esempo due passagg consecutv per lo zero, entramb con pendenza postva (Fg. 4). 0

11 Fgura 4 se A e B sono due event consecutv che s verfcano quando l segnale attraversa lo zero d rfermento con pendenza postva, allora la dstanza temporale tra dett due event defnsce l perodo del segnale. Fgura 5 n presenza d rumore, gl event A e B sopra defnt possono non ndvduare l perodo del segnale. Purtroppo gl algortm d msura che utlzzano la tecnca d zero crossng rsultano pù sensbl al rumore rspetto a contator numerc. In presenza d rumore, nfatt, dett due event possono non ndvduare un perodo, come mostrato n Fg. 5.

12 Da quanto esposto s può affermare che l lvello e la banda del rumore sovrapposto al segnale, oltre a nfcare l accuratezza della msura, possono essere addrttura element d crtctà sa per l metodo, sa per la tecnca menzonata confutando addrttura la loro affdabltà. In alternatva, è possble utlzzare tecnche e strument d msura nel domno della frequenza, come algortm e strument d msura basat su FFT e analzzator d spettro. Quest strument però rsultano abbastanza complcat nel loro utlzzo e la qualtà della msura dpende fortemente dall esperenza dell operatore. Inoltre, anche quest strument presentano loro lmt. I contator numerc esbscono una rsoluzone che è funzone del tempo d gate. Gl analzzator d spettro fornscono una rsoluzone n frequenza che dpende dalla larghezza del fltro a frequenza ntermeda, che n genere è nferore a quella de contator numerc. Negl strument e/o algortm basat su FFT la rsoluzone n frequenza è legata alla frequenza d camponamento f c e al numero d campon N acqust, e sono legat tra d loro dalla nota relazone f=f c /N. Cò sgnfca che è possble rlevare accuratamente solo le frequenze f k =kf con k numero ntero. L accuratezza è po legata alla dspersone spettrale. Sebbene l uso d opportune fnestre numerche ne permette d mnmzzare l effetto, per poter ottenere rsoluzon confrontabl con quelle de contator numerc è necessaro stmare coeffcent d Fourer propro medante tecnche d zero-crossng. In generale, l accuratezza della msura dpende dal rapporto segnale-rumore. 2

13 Captolo II Metodo d msura basato su zero-crossng 2. Introduzone Dvers sono metod d msura della frequenza d un segnale perodco. Quell pù utlzzat sono medante contator numerc e algortm basat su zero crossng. Quest due metod sono attraent rspetto ad altr metod d ndagne sa per la loro semplctà d utlzzo, sa per l mmedata nterpretazone del rsultato d msura. Spesso, però, l segnale sotto msura è rumoroso e l lvello d rumore è tale da rendere naffdabl entramb metod. Per superare questo nconvenente, vene d seguto presentato un nuovo metodo d elaborazone del segnale dgtale nel domno del tempo. Il metodo proposto è n grado d msurare la frequenza d segnal perodc anche n presenza d rumore anche d rguardevole ampezza. Dverse msure esegute e n dverse confgurazon confermano l affdabltà e l effcaca del metodo. 2.2 La tecnca d zero-crossng nelle msure d frequenza nel domno del tempo Come è noto, la tecnca dello zero crossng consste nel rlevare passagg per un lvello d rfermento assunto par a zero della forma d onda d un segnale. Questa tecnca vene maggormente utlzzata per msurare l perodo o la frequenza d un segnale snusodale. 3

14 In assenza d rumore, gl stant d tempo n cu l segnale passa per lo zero sono tutt equamente spazat, e le dstanze tra due d dett stant consecutv sono tutte ugual al semperodo del segnale. In queste condzon, è possble defnre gl event passagg per lo zero consecutv e msurare l perodo del segnale msurandone la dstanza. Supponamo d volere msurare la frequenza f 0 d un segnale snusodale x(t) la cu equazone è: () dove A e sono rspettvamente l ampezza e la fase nzale del segnale. Supponamo d camponare l segnale x(t) alla frequenza f c n modo che gl N campon acqust {x n } sano valor d x(t) msurat negl stant {t n } tal che, per n=,2,, N, rsulta: (2) Fgura 6 segnale perodco camponato con passo t c ; è possble msurare l perodo conteggando l numero d campon che rempono uno o pù semperod. S consder, dunque, l segnale snusodale camponato x n mostrato n Fg. 6. 4

15 Se A e C sono due event d up-crossng (o n alternatva d down-crossng) consecutv, ovvero due passagg per lo zero con pendenza postva, allora loro dstanza temporale è crca par al prodotto tra l numero P AC d campon acqust nell ntervallo AC e l passo d camponamento t c. (3) La frequenza f 0 del segnale sarà: (4) Se punt A e B d zero-cross defnscono un semperodo (Fg. 2), allora la frequenza f 0 del segnale sarà: (5) Se l segnale acqusto contene pù semperod, allora è convenente estendere la msura a tutt semperod. In tal modo è possble ottenere una stma pù accurata. Infatt, nel caso d camponamento asncrono, o come nel caso reale n cu l ampezza del segnale d rfermento dell untà d acquszone dat non è rgorosamente zero, e/o sul segnale d rfermento è presente errore (ad esempo) d quantzzazone o rumore generato da crcutera nterna, o a causa dell ndetermnazone con cu l campone è assocato ad un determnato lvello d quantzzazone, non tutt semperod contengono lo stesso numero d campon. Dett S e P S due nter postv che ndcano rspettvamente l numero d semperod del segnale x(t) e l numero d campon che completano S semperod (Fg. 2), s avrà: (6) In generale s può dre che: 5

16 sa X la collezone d N campon x n acqust con passo d camponamento t c. S numerno tal campon con valor nter postv da ad N: X = {x, x 2,, x N }. S ndch, noltre, con Z = {z, z 2,, z M }, l nseme degl element z assocat a campon {x j } che sono successv ad uno zero-crossng. Dett element sono gl nter postv n numero M per qual vale l equazone: (7) S ndch con l ntero postvo P l numero d campon present tra l prmo e l ultmo zero-crossng, e coè: (8) S not che, per l segnale x(t) (Fg. 2) P contene S semperod, e che l numero M d zero-crossng a meno d una untà è par al numero d semperod S, per cu rsulta: (9) (0) Tenuto conto delle (8), (9) e (0), la (6) dventa: () La () è la formula che maggormente vene utlzzata per msurare la frequenza d un segnale perodco quando s rcorre alla tecnca d zero-crossng. S not ancora che, la rsoluzone della stma della frequenza f 0 è tanto mglore quanto mnore è l passo d camponamento t c. 6

17 Il metodo descrtto è largamente mpegato poché attualmente esstono n commerco sstem d acquszone dat molto performant e a cost contenut. Ess presentano elevate frequenze d camponamento, banda analogca elevata, e sono n grado d memorzzare elevate quanttà d dat. Quest possono essere elaborat da sstem a mcroprocessore medante algortm d calcolo. Dal punto d vsta delle msure, l ncertezza con cu s msura f 0 dpende dall ncertezza con cu vene fornta t c : è qund mportante utlzzare SAD con base de temp molto stabl. Il metodo d fatto, è un metodo d conteggo: s conteggano l numero d semperod e l numero d campon che l completano. Le caratterstche che rendono questo metodo attraente, purtroppo crollano all aumentare del rumore sovrapposto al segnale sotto msura. Ad esempo, per l segnale d Fg. 5 non sono pù valde le consderazon fatte n precedenza: due zero-crossng consecutv non defnscono un semperodo, due upcrossng (o down-crossng) consecutv non defnscono un perodo. Se ne rcava che l numero M d zero-crossng conteggat non consente d msurare l numero d semperod S. Se ne rcava che la tecnca d zero-crossng classca, così come vene presentata n letteratura, non può essere usata per msure d perodo e/o d frequenza quando l rumore comnca ad essere non trascurable, ma occorre effettuare delle consderazon agguntve. 2.3 Estenzone del metodo d zero-crossng n presenza d rumore: metodo proposto. S consderno le dstanze tra punt d zero-crossng consecutv. In assenza d rumore dette dstanze sono tutte ugual, e n partcolare sono ugual al semperodo del segnale. Per cu s avranno S dstanze dstnte tutte dello stesso valore. Una rappresentazone medante stogramma rporterebbe un unca classe centrata n AB avente frequenza assoluta par ad S (Fg. 6). Ebbene da tale stogramma s rcava che l segnale acqusto è costtuto da S semperod tutt d lunghezza AB. 7

18 In presenza d rumore debole, le dstanze tra punt d zero crossng consecutv varano d valore ma non n numero. Un stogramma rporterebbe, n questo caso, un numero maggore d class, allocate a valor delle dstanze dstnte, cascuna d ampezza par alla propra frequenza assoluta. La somma delle frequenze assolute fornsce l numero d perod acqust, mentre la somma de prodott tra cascuna dstanza dstnta per la corrspondente frequenza assoluta fornsce la durata complessva de semperod acqust. Quando l ampezza del rumore dventa consderevole ed è a banda larga, l numero d attraversament per lo zero aumenta consderevolmente. In conseguenza d cò, le dstanze tra zero-crossng dmnuscono n valore e aumentano n numero. Molte d queste dstanze avranno valor molto pccol propro per effetto della veloce varazone dell ampezza del rumore. In conseguenza d cò, l grafco della dstrbuzone delle frequenze assolute rporterà una dstrbuzone d class concentrate nella parte snstra del grafco, mentre altre class saranno concentrate nella parte destra. Quella a snstra è dovuta alle brev dstanze. La dstrbuzone a destra del grafco rporta le class assocate alle dstanze rappresentatve de semperod del segnale mmagnato prvo d rumore, che non sono cambate n numero, ma che sono solo dmnute n ampezza. È dunque mportante ndvduare le nuove dstanze, coè quelle causate dal rumore, n modo da poterle dscrmnare, consentendo così d msurare la frequenza anche n presenza d segnal fortemente rumoros. Supponamo ora che al segnale x(t) dato dall equazone () sa sovrapposto rumore n(t) addtvo, ergodco e stazonaro, a larga banda, a meda nulla e con dstrbuzone gaussana con devazone standard par a n. S consder, dunque, l segnale snusodale corrotto da rumore gaussano banco rportato n Fg. 7. 8

19 Fgura 7 segnale snusodale affetto da rumore. Il dagramma delle frequenze assolute delle dstanze dstnte tra due zero-crossng consecutv, relatvo al segnale d Fg. 7, è rportato n Fg. 8. Fgura 8 stogramma delle frequenze assolute F n funzone delle dstanze dstnte D relatvo al segnale d Fg. 7. In Fg. 8, le frequenze assolute delle class present nella parte destra dell stogramma fornscono l valore d S. Cò è vero sempreché le dstanze tra gl zero crossng consecutv che sono sottese dalle concavtà e convesstà del segnale sono dstngubl rspetto alle altre brev dstanze dovute a veloc attraversament per lo zero a causa del rumore. Gà ora è possble stmare la frequenza del segnale, dvdendo S per la dstanza tra l prmo e l ultmo zero-crossng. Osservando la 9

20 Fg. 7 s può notare che una tale stma è per dfetto. Vedremo che è possble correggere tale stma portando n conto anche l contrbuto delle brev dstanze. S consder l segnale d Fg. 7 dato da y(t) = x(t)+n(t). Posto 0 = 0(n), allora l segnale y(t) evolve pratcamente per tutto l tempo all nterno della regone defnta da due segnal x(t) 0 e x(t) + 0, ovvero rsulta: x(t) 0 y(t) x(t) + 0 (2) Dalla Fg. 7 s può ancora osservare che l semperodo AB può essere dato da: AB = ab + bc (3) Se a, b e c sono punt d zero-crossng d y(t), allora è possble msurare l semperodo AB msurando le dstanze ab e bc. A tal fne, s ndch con Y la collezone degl N campon y k = y(kt c ), con k numero ntero, acqust ad una frequenza fc.=/tc maggore della frequenza d Nyqust. S numerno tal campon con valor nter postv da ad N: Y = {y, y 2,, y N }. S ndch, noltre, con I = {I, I 2,, I V }, l nseme degl ndc I assocat a campon {y j } che sono successv ad uno zero-crossng. Dett element sono gl nter postv n numero V per qual vale l equazone: sgnum(y j ) = - sgnum(y j ) (4) S ndch ora con d = {d, d 2,, d V - } la collezone delle V dstanze d = I + I tra due successv zero-crossng, determnate a partre dalla collezone Y. 20

21 S consderno ora valor dstnt delle dstanze {d } e s ndch con D={D } l nseme che lo rappresenta. S ndch ancora con F = {F } l nseme delle frequenze assolute degl element d D e s ndch con G Y l numero delle sue class. L nseme D contene l nseme D X = {(D X ) } costtuto dalle dstanze dstnte {e }, assocate, come gà vsto, a semperod del segnale, e l nseme D N ={(D N ) } costtuto dalle brev dstanze dstnte {f } causate dalle veloc varazon dell ampezza del rumore ne punt d zero-crossng del segnale x(t). L nseme D N contene, dunque, le dstanze d che, con rfermento alla Fg. 7, gaccono nell ntervallo (a,b)u(c,d)u(e,f)u(g,h) e la cu somma fornsce una stma d: ab+cd+gh (5) S ndch ora con F X = {(F x ) } l nseme delle frequenze assolute degl element d D X e con G X l numero delle sue class. S ndch con F N = {(F N ) } l nseme delle frequenze assolute degl element d D N e con G N l numero delle sue class. In Fg. 8 è rportato l stogramma delle frequenze assolute F n funzone delle dstanze dstnte D del segnale d Fg. 7. In Fg. 8 sono evdenzat due grupp d class: quelle assocate a semperod del segnale, ndvduat dalla coppa F X e D X, e quelle assocat all aumento degl attraversament per gl zero-crossng d x(t) a causa del rumore, ndvduat dalla coppa F N e D N. Se s ndca con R l numero d zero-crossng che s otterrebbero n assenza d rumore e con T l numero d zero- crossng causat dal rumore, s ha: V = R + T (6) Poché R ndvdua, a meno d una untà, l numero S d semperod del segnale x(t), s può scrvere: V = (R ) + T = S + T (7) 2

22 22 S ndch con l ntero postvo P l numero d campon present tra l prmo e l ultmo zero-crossng; vale la relazone: V V d I I P (8) S not che P contene un numero ntero S d semperod pù una quota parte, P S, che dpende dalla varanza del rumore (n Fg. 7 rsulta t c P S gh). S può dunque scrvere: P = P S +P S (9) Se e = {e,, e R- } sono le (R ) dstanze e assocate agl S semperod e se f = {f,, f T - } sono le restant T, allora rsulta: G X F X R (20) X X X G X X X X G X G X R R D F D F... D F e... e e (2) Analogamente, per valor dstnt {f } s ottene: N G N N T D F f (22) Per cu rsulta: Y N X G G N N G X X T R V F D D F D F f e d (23) Una stma d P S può essere fornta da: D F D F ΔP X N G X X G N N S (24)

23 Fnalmente è possble scrvere la (6), tenuto conto delle (20), (22), (23), e (24), nel seguente modo: 2.4 Valdazon spermental f X FX 0 (23) G N F D 2t c G Y F D G G X N F Dverse sono state le msure esegute tese a valdare l metodo proposto. Quelle qu presentate fanno rfermento a un segnale snusodale d ampezza 500 mvpp e rumore AWGN chus su un carco d 50, con fondo scala ±5V. Sono stat generat segnal snusodal rumoros a dverse frequenze e per dvers lvell d rumore medante un Tektronx Arbtrary/Functon Generator AFG3252. I segnal sono stat acqust medante un osclloscopo numerco Aglent Infnum 54833D. Il generatore d rumore utlzzato fornsce l segnal n termn d ampezza pcco-pcco secondo la relazone: X N V pp 0 n Il segnale rumoroso è stato acqusto a dverse frequenze d camponamento e per dvers numero d campon. I dat sono stat analzzat con l metodo proposto, con la Interpolated Dscrete Fourer Transform (IDFFT) [5] e MultPont Weghted Dscrete Fourer Transform (MPWDFT) [6]. Sono d seguto mostrat confront tra la dfferenza tra le frequenze nomnal, n termn relatv percentual e quelle stmate per un segnale snusodale rumoroso per dvers lvell d rumore rspettvamente d 0.8 V pp,.0 V pp e.3 V pp. Al varare della 23

24 frequenza della snusode da 50.0 Hz a 52.0 Hz con passo d 0. Hz. Sono stat acqust 200 kpts alla frequenza d camponamento d 00 ksa/s. Fgura 9 errore relatvo percentuale della frequenza per rumore AWGN d 0,8 V pp. Fgura 0 errore relatvo percentuale della frequenza per rumore AWGN d V pp. 24

25 Fgura errore relatvo percentuale della frequenza per rumore AWGN d,3 V pp. I lmt del metodo proposto sono stat confrontat con quell d un contatore numerco Aglent Unversal Counter, 5332A con opzone 00. In Fg. 2 sono confrontat lmt del contatore numerco nelle tre dverse condzon d sensbltà, Fast, Medum e Slow, con quell del metodo proposto. Fgura 2 Confronto tra lmt delle prestazon del metodo proposto (lnea contnua) e quell d un contatore numerco nelle tre confgurazon d sensbltà: fast (lnea a tratt), medum (lnea a punt), e slow (tratto e punto). La Fg. 3 mostra le msure d frequenza esegute su un segnale rumoroso d frequenza 50 Hz al varare del lvello del rumore. I campon n numero d 25

26 pts sono stat acqust alla frequenza fc = 4MSa/s. Per V pp =.9V è stata eseguta una ulterore msura utlzzando un fondo scala del SAD d ±4 mv l che mostra che è possble ottenere performance maggor sceglendo opportune confgurazon del SAD. Fgura 3 Msure d frequenza su un segnale a 50Hz per dvers lvell d rumore. La msura ndcata con una cross è stata effettuata col fondo scala mnmo del SAD. Captolo III La rsonanza stocastca 3. Introduzone C s è post, a questo punto, la domanda se fosse stato possble mglorare le prestazon del metodo precedentemente llustrato utlzzando una tecnca d steres 26

27 smle a quella utlzzata da contator numerc. Utlzzare tale tecnca potrebbe permettere d rendere l metodo proposto pù robusto ne confront del rumore. Defnto un sstema non lneare con ngresso x(t), e defnte per esso due sogle S = S ed S 2 = - S, con S > 0, tale che la sua uscta u(t) rsult: u (t) se x(t) S se x(t) S 2 Ebbene, se n ngresso a detto sstema s pone un segnale snusodale con ampezza suffcente per superare le due sogle, allora l uscta è un segnale rettangolare avente la stessa frequenza del segnale d ngresso. Per cu è possble msurare la frequenza del segnale d ngresso msurando quella del segnale d uscta al sstema non lneare. Se nvece sul segnale x(t) è sovrapposto rumore d debole ntenstà, allora l sstema consderato esbsce le stesse propretà del crcuto d steres utlzzato ne contator numerc, e n uscta abbamo ancora un segnale rettangolare avente la stessa frequenza del segnale d ngresso. Anche n questo caso, la frequenza msurata del segnale d uscta è una buona stma della frequenza del segnale d ngresso. Nel caso d rumore anche d notevole ntenstà, ma con banda molto maggore della frequenza del segnale x(t) l rsultato sostanzalmente non camba (Fg. 4), n quanto l segnale d uscta potrebbe presentare delle varazon sulle durate del semperodo, ma l suo perodo medo fornsce ancora una buona stma del perodo del segnale d ngresso. In Fg. 5 è mostrato l caso d un segnale snusodale fortemente rumoroso. Il segnale d ngresso x(t) ha ampezza V = V p, e frequenza f 0 = 50 Hz, mentre l rumore banco unforme sovrapposto ad x(t) ha ampezza V N = 0,85 V p. Il valore della frequenza msurata è stata d f m = 49,95 Hz. Msure esegute sa n 27

28 smulazone, sa su segnal real hanno mostrato l effcaca dell utlzzo d un tale sstema. Una tale applcazone è d semplce realzzazone poché consste d pochssme rghe d codce. Fgura 4 segnale fortemente rumoroso (n rosso) posto n ngresso ad un sstema con doppa sogla S = - 0,5V ed S 2 =0,5V. È possble stmare la frequenza del segnale snusodale rumoroso msurando la frequenza del segnale n uscta d tale sstema (n blu). Fgura 5 segnale fortemente rumoroso (n rosso) con rumore banco unforme con ampezza V N = 0,85 V. La frequenza stmata è d f m = 49,95 Hz. 28

29 Vare prove hanno mostrato che l valore msurato della frequenza è funzone del valore scelto per le sogle. Allora c s è chesto se esstesse un valore ottmo della sogla che permettesse ottenere la mglore stma della frequenza anche n condzon crtche d rumore. 3.2 Effett del rumore Tutt sstem real sono soggett ad una forza esterna ndesderata e ncontrollata che ne dsturba l normale funzonamento. Questa forza è nota con l nome d rumore, ntendendo per rumore tutto cò che non è desderato. O meglo, n generale, l rumore è un dsturbo che modfca le caratterstche del segnale desderato fno a renderlo nutlzzable. In un qualunque sstema, s tende sempre ad evtare, sa n fase d progetto, sa n fase d realzzazone, che l rumore possa attaccare n qualche modo l segnale modfcando le sue caratterstche, o quanto meno rdurre l pù possble suo effett nocv. Nonostante quest attrbut negatv, l rumore svolge, n talun applcazon, un contrbuto postvo ne rguard del segnale tanto da mglorarne le caratterstche. Anz, n alcun cas, l rumore amplfca l segnale rendendolo percepble laddove non lo era. Quando s verfca tale fenomeno s dce genercamente che s è n condzon d Rsonanza Stocastca. 3.3 La Rsonanza Stocastca La rsonanza stocastca è un fenomeno tpco de sstem bstabl basat su sogla. Tal sstem esbscono uno o pù stat stabl n cu l sstema permane per un certo tempo, fno a quando l sstema rceve uno stmolo esterno che lo rporta nell altro stato stable. In quest sstem, l passaggo da uno stato stable all altro dpende dall energa dello stmolo che l segnale d ngresso resce a trasferre al sstema. La rsonanza stocastca è dunque un fenomeno secondo cu un sstema bstable basato su sogla [24] che sollectato contemporaneamente da un debole segnale 29

30 perodco e un segnale rumoroso altrettanto debole, esbsce n uscta un segnale l cu spettro presenta un pcco rlevante rspetto al caso n cu uno o entramb segnal sono assent. Lo stesso dcas per sstem a doppa sogla: se due segnal hanno ampezza tale da non superare l valore d sogla, allora nessuno de due potrà da solo attvare l uscta del sstema. Se nvece due segnal cooperano, ovvero s sovrappongono, allora la loro rsultante può essere n grado d sollectare l sstema. È ovvo mmagnare che n tal condzon l sstema osclla tra due stat stabl con legge non defnta a causa della presenza del segnale d rumore. Ebbene, quando l sstema s porta n condzon d Rsonanza Stocastca, e cò capta per un determnato valore dell ampezza del segnale d rumore, ovvero della sua potenza, allora detto sstema presenta un pcco nello spettro del segnale d uscta che è assente se uno de due segnal rsulta assente. Detto pcco s verfca alla frequenza del segnale forzante perodco. In questo caso, l nformazone sul contenuto armonco del segnale d ngresso vene trasferta all uscta graze al rumore e alle partcolar condzon che s verfcano, e coè n condzon d Rsonanza Stocastca. Se per un sstema bstable sottoposto al forzamento d un segnale perodco e d un rumore s montorano temp d attesa tra due transzon, s potrà notare che la dstrbuzone de temp presenza dvers pcch che dmnuscono n ampezza [39]. Cascun pcco è allocato alla frequenza del forzamento perodco e alle frequenze multple del doppo della stessa frequenza. L ampezza del prmo pcco fornsce la probabltà che l sstema sa sncronzzato con l segnale perodco forzante. Quando cò accade s dce che s è n presenza d un fenomeno d Rsonanza Stocastca. Se s dagramma tale probabltà n funzone della frequenza s potrà osservare un dagramma che è tpco de sstem rsonant. Cò mostra che, una volta fssat parametr del sstema e de segnal forzant, è sempre defnble una frequenza rsonante. 30

31 Il modello basato sulla Rsonanza Stocastca è nato nel 98 quando Benz [25] s proponeva d spegare l fenomeno delle glacazon [26]. Questo fenomeno clmatco è un evento perodco con perodo d crca 0 5 ann. L unca causa possble è data dalla varazone dell eccentrctà dell orbta terrestre dovuta a perturbazon gravtazonal (segnale perodco) che nseme con ccl atmosferc local (rumore) può amplfcare gl effett della dnamca planetara nnescando o meno un era glacale. Dvers sono stat gl stud consegut [27]-[35] att a mostrare la valdtà del modello e d utlzzarlo n dverse applcazon. 3.4 I temp d resdenza Fondamentalmente l modello s basa su temp d resdenza [36], che sono temp spes dal sstema nel permanere n uno stato stable. Sotto l azone del solo forzamento perodco, e n assenza d rumore, l sstema non vene sollectato poché l ampezza del segnale non è suffcente a far cambare stato al sstema. Se a detto segnale s sovrappone un debole rumore, allora l sstema rsulta sollectato e camba stato contnuamente con legge casuale. Secondo l modello della rsonanza stocastca, esste un partcolare lvello d rumore per cu temp med spes dal sstema nel permanere n uno stato stable sono ugual a quell spes per permanere nell altro stato stable. Quando cò s verfca, s dce che s è n condzon d sncronsmo e n tal condzon vale la legge d Kramer [37],[38]: 2T K ( D) T dove T k è l recproco della frequenza d Kramer, D è l ampezza del rumore e T è l perodo del segnale forzante. 3.5 Il rapporto segnale rumore 3

32 Per sstem bstabl che presentano n ngresso segnal perodc con rumore sovrapposto, rsulta utle defnre l rapporto segnale rumore nel seguente modo [37]: SNR S p f0 S f n 0 dove S p (f 0 ) è lo spettro del segnale d uscta valutato alla frequenza f 0 del segnale perodco forzante, ed S n (f 0 ) è lo spettro del segnale d uscta, valutato alla stessa frequenza, n assenza del segnale perodco forzante. Un tpco andamento dell SNR n funzone della varanza del rumore è mostrato n Fg. 6. È possble determnare la condzone d sncronsmo msurando l rapporto segnale rumore n uscta del sstema bstable per dvers lvell d rumore. In corrspondenza del massmo d tale curva s msura l lvello d varanza ottma 2 opt del rumore che rende vera l equazone (24). Fgura 6 rapporto segnale rumore per un sstema bstable n funzone del rapporto varanza/sogla. La Fg. 6 mostra che per lvell d rumore tal che 2 n > 2 opt succede che le ampezze delle oscllazon del rumore dventano predomnant, per cu le transzon da uno stato stable all altro non s verfcano quando segnale rumoroso supera l lvello della sogla S, ma sono casual, coè governat dal rumore. 32

33 Per lvell d rumore tal che 2 n < 2 opt s verfca l fenomeno opposto: l rumore non è responsable delle transzon, ma lo dventa man mano che la sua varanza dventa prossma alla varanza ottma. Per lvell d rumore tal che 2 n = 2 opt s verfca la condzone d sncronsmo, e n tal condzon è valda la (24). Ebbene, n tal condzon è possble msurare temp d resdenza per poter msurare ndrettamente l perodo del segnale perodco forzante. 33

34 Captolo IV Metodo d msura basato sulla rsonanza stocastca 4. Introduzone Da quanto rportato nel captolo precedente è facle rcavare che esste un lvello ottmo d rumore, corrspondente al pcco della curva SNR (Fg. 6) per l quale l sstema è n condzon d sncronsmo, e per cu è valda l equazone d Kramer (eq. 24). In tal condzon, la msura de temp d resdenza, e qund la msura della frequenza d Kramer, permette d msurare ndrettamente la frequenza del segnale corrotto da rumore. 4.2 Metodo d msura della frequenza basato sulla rsonanza stocastca Da quanto rportato nel captolo precedente s può rcavare che: se s realzza un algortmo che descrve l comportamento d un sstema non lneare con doppa sogla allora può essere possble msurare la frequenza d segnal snusodal anche n presenza d rumore d notevole ampezza. Cò è possble se la varanza del rumore è par a quella ottma ( 2 n = 2 opt). Il dagramma d Fg. 6 c offre un altra possbltà: per raggungere la condzone d rsonanza stocastca, ovvero la condzone d sncronsmo, anzché sceglere l 34

35 lvello ottmo d rumore (fssata la sogla), è possble sceglere l lvello ottmo della sogla (fssato l lvello d rumore). A tale rguardo è opportuno fare alcune consderazon: Se a causa del rumore, l sstema lavora n condzon d rsonanza stocastca, allora la frequenza msurata n uscta d tale sstema è una buona stma della frequenza del segnale snusodale d ngresso. Se l sstema non lavora n condzon d rsonanza stocastca, allora è possble aggungere ulterore rumore al segnale camponato gà rumoroso n modo da portare l sstema alle condzon d rsonanza stocastca. In alternatva, puttosto che aggungere rumore numerco ulterore, è possble sceglere l valore d sogla ottma, n modo da portare l sstema a lavorare n condzon d rsonanza stocastca. Da tal consderazon s rcava che convene determnare le condzon d rsonanza stocastca facendo varare lvell della sogla e rcercare l suo valore ottmo, anche perché nella realtà delle cose è nteressante msurare la frequenza d un segnale acqusto che d fatto è gà rumoroso. Il punto debole d tale approcco è rappresentato dalla sua scarsa utltà pratca, poché per determnare l valore della sogla ottma è necessaro conoscere a pror la frequenza del segnale, che è propro quello che s vuole msurare. Infatt la curva d Fg. 6, è realzzata tenendo conto dell equazone (25), ovvero l rapporto segnale rumore è stmato una volta nota la frequenza del segnale. Per ovvare a tale nconvenente è possble msurare tutte le frequenze dervant da cascun valore scelto per la sogla, fatta varare da un valore mnmo, che può anche essere zero, fno ad un valore massmo che è dato dal valore d pcco del segnale rumoroso. Sfruttando le caratterstche d robustezza al rumore del metodo proposto al captolo II s ottene un stogramma delle frequenze centrato sulla stma della frequenza del segnale sotto msura, come rportato n Fg

36 Fgura 7 stogramma delle frequenze msurate del segnale n uscta ad un sstema bstable al varare della sogla. La frequenza del segnale snusodale rumoroso n ngresso è d 00Hz. 4.3 prove esegute D seguto sono rportat rsultat d valdazone per dverse confgurazon del segnale e del rumore sovrapposto. Le msure effettuate con l metodo proposto sono state confrontate con quelle effettuate medante contatore numerco e medante algortmo FFT. Il segnale rumoroso è stato acqusto a dverse frequenze d camponamento. L ampezza del segnale snusodale è scelta par ad V pp. 36

37 Fgura 8 msure esegute con contatore numerco per dvers valor dell ampezza del rumore banco unforme e per dvers valor d frequenza del segnale forzante. Fgura 9 msure esegute con l metodo proposto per dverse frequenze del segnale e per dvers valor d ampezza del rumore banco unforme, alla frequenza d camponamento d 00 Sa/s. 37

38 Fgura 20 msure esegute dall algortmo proposto n condzon d rumore banco unforme per segnale camponato a 250 Sa/s. Fgura 2 msure esegute dall algortmo proposto n condzon d rumore banco unforme per segnale camponato a 500 Sa/s. 38

39 Fgura 22 msure esegute dall algortmo proposto n condzon d rumore banco unforme per segnale camponato a 2500 Sa/s. Fgura 23 msure esegute dall algortmo proposto n condzon d rumore banco unforme per segnale camponato a 5000 Sa/s. 39

40 Fgura 24 msure esegute dall algortmo proposto su un segnale snusodale d frequenza f 0 = 50Hz n condzon d rumore AWGN. Fgura 25 msure esegute dall algortmo proposto su un segnale snusodale d frequenza f 0 = 50,Hz n condzon d rumore AWGN. 40

41 Tempo d esecuzone [ms] Temp d esecuzone N d prove Temp d esecuzone "Algortmo Frequenza" Temp d esecuzone FFT Fgura 26 Confronto tra temp d esecuzone dell algortmo d msura e temp d esecuzone dell algortmo FFT. 4

42 Concluson È stato proposto un metodo d msura della frequenza d segnal snusodal corrott da rumore banco a meda nulla, che utlzza la tecnca d zero crossng. Tale metodo d msura s applca agl stogramm delle dstanze temporal tra punt d zero-crossng del segnale rumoroso. Sono stat presentat rsultat d msura n dverse condzon d rumore e per dverse frequenze del segnale rumoroso. Tal rsultat sono stat confrontat con le prncpal algortm d msura d frequenza qual la Interpolated Dscrete Fourer Transform (IDFFT) e MultPont Weghted Dscrete Fourer Transform (MPWDFT) att a valdare l metodo proposto. I rsultat mostrano che l errore relatvo è molto mnore rspetto a quell esbt da altr algortm propost n letteratura per la stma della frequenza. Le prestazon sono state anche confrontate con quelle de contator numerc e mostrano che l metodo proposto supera lmt d mpego degl stess contator numerc. Il metodo può essere faclmente mplementato su dspostv a basso costo data la semplctà d mplementazone e basso carco computazonale. È stato, noltre, presentato una estensone del metodo, utlzzando prncp della Rsonanza Stocastca. I rsultat sono stat valdat medante msurazon esegute per dvers valor d ampezza del rumore e per dverse frequenze del segnale snusodale. I rsultat sono confrontat con quell rcavat da contator numerc e algortm FFT. Anche questa estensone del metodo proposto può essere faclmente mplementato su dspostv a basso costo data la semplctà d mplementazone e basso carco computazonale. 42

43 Bblografa [] C. De Capua, D. Grllo C. Land, and N. Polese, Stazone d msura automatca n standard VXI per la caratterzzazone d azonament elettrc a veloctà varable, Att del XV Congresso Annuale del Gruppo Nazonale Msure Elettrche ed Elettronche Sezone del GNRETE, Napol, 2 settembre 998. [2] Th. Udem, R. Holzwarth and T. W. Hansh, Optcal Frequency Metrology, Nature, vol. 46, pp , March [3] M. Irshd, W. Shahab, and B. El-Asr, A Smple Programmable Frequency Meter for Low Frequences wth Known Nomnal Values, IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 40, pp , Aug. 99. [4] M. Prokn, DMA Transfer Method for Wde-Range Speed and Frequency Measurement, IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 42, pp , Aug [5] Aglent Technologes Aglent 533A/32A Unversal Counter Operatng Gude, Manual Part Number , Malaysa. [6] S. M. Kay, and R. Sudhaker, A Zero Crossng-Based Spectrum Analyzer, IEEE Trans. on Acoust. Speech, And Sgnal Processng, vol. assp-34, no., pp.96-04, february 986. [7] V. Fredmann, A Zero-Crossng Algorthm for the Estmaton of Frequency of a Sngle Snusod n Whte Nose, IEEE Transacton on Sgnal Processng, Vol.42, No. 6, pp , June 994. [8] R.W. Wall, Smple Methods for Detectng Zero Crossng, Proceedngs of The 29th Annual Conference of the IEEE Industral Electroncs Socety Paper, vol.3,pp , nov [9] Aglent Technologes, Spectrum and Sgnal Analyzer Measurements and Nose, Applcaton Notes. [0] E. J. Hannan, The Estmaton Of Frequency, J. Appl. Prob. vol. 0, pp , 973. [] G. K. Smyth, Employng Symmetry Constrants for Improved Frequency Estmaton by Egenanalyss Methods, Technometrcs, August 2000, 42, pp S. [2] S. D. Casey and B.M. Sadler, Modfcaton of the Eucldean algorthm for solatng perodctes from a sparse set of nose measurements, IEEE Transactons on Sgnal Processng, vol. 44, no. 9, pp , september 996 [3] D. C. Rfe and R. R. Boorstyn, Sngle tone parameter estmaton from dscrete tme observatons, IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 20, pp , Sept [4] G. Andra, M. Savno, Wndows and Interpolaton Algorthms to Improve Electrcal Measurement Accuracy, IEEE Trans. on Instrum. Meas., vol. 38, no. 4,pp , August 989. [5] B. G. Qunn, Estmatng Frequency by Interpolaton Usng Fourer Coeffcents, IEEE Transacton on sgnal processng, vol. 42, no. 5,pp , May 994. [6] T. Grandke, Interpolaton Algorthms for Dscrete Fourer Transforms of Weghted Sgnals, IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. IM-32, no. 2, pp , June 983. [7] C. Offell and D. Petr, The Influence of Wndowng on the Accuracy of Multfrequency Sgnal Parameter Estmaton, IEEE Trans. on Instrum. Meas., vol. 4. no. 2, pp , Aprl 992. [8] L. Angrsan, M. D Arco, R. Schano Lo Morello, M. Vadurs, Optmal Samplng Strateges for Band-Pass Measurement Sgnals, Proc. of IMEKO TC-4 Intern. Symposum on Measur. for Research and Industry Appl., 29 Sept.-0 Oct. 2004, pp

44 [9] H. Ca, Fast frequency measurement algorthm based on zero crossng method, Computer Engneerng and Technology (ICCET), vol. 4, pp , 200. [20] G.P. Hancke, The optmal frequency estmaton of a nosy snusodal sgnal, IEEE Transactons on Instrumentaton and Measurement, vol. 39, no. 6, pp , Dec 990. [2] W.L. Root, An ntroducton to the theory of the detecton of sgnals n nose, Proceedngs of the IEEE, vol. 58, no. 5, pp , May 970. [22] T. V. Sreenvas, Zero-Crossng Based Spectral Analyss and SVD Spectral Analyss for Formant Frequency Estmaton n Nose, IEEE TRANSACTIONS ON SIGNAL PROCESSING. VOL 40. NO. 2. FEBBR [23] A. Tretter, Estmatng the Frequency of a Nosy Snusod by Lnear Regresson, IEEE Trans. on Informaton Theory, vol. t-3, no. 6, pp , Nov [24] L. Gammaton, F. Marcheson. E. Menchella-Saetta, and S. Santucc, "Stochastc Resonance n Bstable Systems", Phys. Rev. Lett. 62, 989, [25] R. Benz, A. Sutera and A. Vulpan, The mechansm of stochastc resonance. Phys. A: Moth. Gentle. 4, 98. [26] K. Wesenfeld, and F. Moss, Stochastc resonance and the benefts of nose: from ce ages to cryfsh and SQUIDs, Nature, vol. 373, pp , 5 January 995 [27] B. Ando, S. Baglo, S. Grazan, and N. Ptrone, Charactersaton of threshold error va stochastc resonance, n: IMEKO 97, Helsnk, 997. [28] B. Ando, S. Baglo, S. Grazan, and N. Ptrone, A Probablstc Approach to the Threshold Error Reducton Theory n Bstable Measurement Devces, IEEE Instrum. Meas. Tech. Conf., pp , St. Paul, Mnnesota, USA, may 8-2, 998. [29] B. Ando, S. Baglo, S. Grazan, and N. Ptrone, Threshold error reducton n hear measurement devces by addng nose sgnal, Sgnal IEEE Instrum. Meas. Tech. Conf., St. Paul, Mnnesota, pp , USA MAY 8-2, 998. [30] B. Ando, S. Baglo, S. Grazan, and N. Ptrone, A system for the mplementaton of Nose Added System Drvng, IMTC99, vol. 2, pp , Vence, Italy, may [3] B. Ando, S. Baglo, S. Grazan, and N. Ptrone, Measurements of parameters nfluencng the optmal nose level n stochastc systems, IEEE Transacton on Instrumentaton and Measurement, vol 49, no. 5, pp , Oct [32] B. Andò, and S. Grazan, Addng Nose Improve Measurement, IEEE Instrumentaton & Measurement Magazne, March 200. [33] B. Andò, S. Grazan, and N. Ptrone, Hysteress Shapng n Stochastc Drven Systems, IEEE Trans. Instrum. and Meas., vol. 50, no. 5, pp , october 200. [34] B. Andò, and S. Grazan, An Instrument For Stochastc Resonance Detecton, IEEE Instrumentaton and Measurement, Technology Conference, pp , Anchorage, AK, USA, 2-23 May [35] B. Andò, and S. Grazan, An Instrument For Detecton on Optmal Workng Condton n Stochastc System, IEEE Trans. Instrum. and Meas., vol. 52, no. 3, pp , Anchorage, June [36] E. Bruce Nauman, Resdence Tme Theory, Ind. Eng. Chem. Res. Vol. 47, pp , [37] Bruno Andò, and Salvatore Grazan, Stochastc Resonance. Theory and Applcaton, Kluwer Academc Publshers,

45 [38] H.A. Kramers. Brownan moton n a feld of force and the dffuson model of chemcal reactons, Physca VII, no. 4, pp , Aprl 940. [39] C. Masoller, Dstrbuton of Resdence Tmes of Tme-Delayed Bstable Systems Drven by Nose, Phs. Rev. lett., Vol. 90, no. 2, pp. Jan