COLLEZIONE DI QUESITI

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1 versioe del 8// COLLEZIONE DI QUESITI M. SAVARESE PNI suppl. Pascal equazioe di II grado INFOR Cosiderata l equazioe i : a + b + c dove a, b, c soo umeri reali qualsiasi, co a, scrivere u algoritmo che e determii le soluzioi reali e le comuichi, esamiado tutti i casi possibili. PNI stra. Pascal radici approssimate INFOR Si scriva u algoritmo che risolva il problema di determiare ua radice approssimata di u equazioe co u approssimazioe voluta. Iizio Programma Radice approssimata co metodo di bisezioe Leggi ε a Si assega alla variabile l estremo siistro a dell itervallo b Si assega alla variabile l estremo destro b dell itervallo P f (a) Si assega alla variabile P il valore f (a) Ripeti Si costruisce il ciclo basato sul metodo di bisezioe M ( + ) Si calcola il puto medio dell itervallo [ ; ] P M Si azzera la variabile P M P M f ( M ) Si calcola il valore f ( M ) Se P P M > allora Si cotrolla la posizioe della radice rispetto al puto medio m ; P P M altrimeti M fiché < ε Si effettua il cotrollo sull approssimazioe voluta Scrivi M Si mostra la radice approssimata Fie. 6 PNI stra. 7, Pascal radici approssimate INFOR Dopo aver dimostrato che l equazioe ammette ua sola soluzioe reale si si descriva u algoritmo idoeo a calcolare u valore approssimato, a meo di. per il primo puto basta mostrare che la fuzioe y è sempre crescete perché la sua derivata vale y Presete ache el: 6 Ordiam. quesito 7 el quale si chiede oltre al primo puto di trovare u itervallo [z;z+] co z N al quale appartiee la soluzioe PNI stra. 6 Pascal varie INFOR Cosiderata la successioe di termie geerale: a 6 ( + )( +). Scrivere u algoritmo che geeri i primi umeri della successioe e li comuichi sotto forma di matrice di 4 righe e 5 coloe. 9 supplet. 9 5 divisibilità ARITM Si dimostri che u umero di quattro cifre tutte uguali è divisibile per. a +a +a + a a supplet. 8 5 logica ARITM pricipio di iduzioe a ( )a S rappreseta la somma dei primi umeri aturali dispari. La successioe di termie geerale a tale che a S è: A) costate. B) crescete. C) decrescete. Ua sola alterativa è corretta: idividuarla e forire ua spiegazioe della scelta operata. Dimostriamo mediate il pricipio di iduzioe che la somma dei primi umeri dispari S ; per la formula è vera; suppoiamo la tesi vera per cioè S e facciamo vedere che essa è vera per + cioè mostriamo che: S + ( +) ; l '( +)esimo umero dispari è ( +) quidi: S + S ( +) c.v.d. la successioe a S è quidi costate, la risposta corretta e la A). ordiam. 7 5 logica pricipio di iduzioe Cosiderati i primi umeri aturali a partire da :,,...,, moltiplicarli combiadoli due a due i tutti i modi possibili. Quato risulta la somma dei prodotti otteuti? ( ) ( ) k k k + hk h k hk k k h k k k ; si ha: k k ( + ) somma dei primi iteri (Gauss bambio) k k 6 + k ( +) si dimostra per iduzioe: per è vera, suppoiamo sia vera per, mostriamo che lo è per +, cioè: k ARITM + k ( + ) ( + ) 6 ( + )( +) + ( +) ( 6 + ) ( +) + 6( +) ( + ) ( + ) c.v.d allora: hk ( +) h k 5 PNI stra. 5 5 logica ARITM pricipio di iduzioe 6 ( + )( +) 4 ( ) ( + ) Dopo aver euciato il pricipio di iduzioe lo si applichi per dimostrare la seguete relazioe (ota come teorema di Nicomaco): [( + )/] Il pricipio di iduzioe afferma che: data ua proposizioe P() il cui euciato dipeda da, co, se: P è vera per ; supposta P vera per, è vera ache per +, allora essa è vera per qualsiasi. el caso particolare si vuole dimostrare che: per la formula è vera; ( +) ( + ) suppoiamo sia vera per vogliamo dimostrare che: P( +) ( + ) ( +) Bueos 5 poteze ARITM + ( +) ( 4 +) + ( +) ( ) ( 4 + ) ( + ) c.v.d. La cifra delle uità dello sviluppo della poteza è a. ; b. 4; c. 6; d. 8; ua sola risposta è corretta: idividuarla e forire ua esauriete spiegazioe della scelta effettuata. 4 + ( ) termia sempre per 6, u umero che termia per 6 moltiplicato per 4 termia per 4 quidi la risposta corretta è la c. PNI suppl. 6 5 Algebra lieare sistemi lieari parametrici Si cosideri il seguete sistema di equazioi elle icogite, y, z: k + y + z + ky + z + y + kz dove k è u parametro reale. Dire se l affermazioe: «il sistema ammette la sola soluzioe, y, z per ogi valore di k diverso da» è vera o falsa e forire ua spiegazioe esauriete della risposta. U sistema omogeeo ammette la sola soluzioe ulla se e solo se il determiate della matrice dei coefficieti è o ullo. k det k k k ( k + ) k ( k ) ( k ) + ( k) ( k ) ( k + k ) ( k ) ( k ) ( k + ) Si ha det k k, quidi l affermazioe «il sistema ammette la sola soluzioe, y, z per ogi valore di k diverso da» è falsa perché ache per k (che è u valore diverso da ) il sistema ammette soluzioi o ulle oltre a quella ulla.

2 5 PNI suppl. 9 5 Algebra lieare sistemi lieari parametrici Si studi il seguete sistema parametrico i a: a + y + z a + ay + z a + y + az a a La matrice dei coefficieti è: A a ; det A a( a ) ( a ) + ( a) a a a + ( a ) ( a + ) (co Ruffii) a rago( A) ; rago( A ) per il teorema di Rouché-C. il sistema è ideter. co r soluzioi ( umero delle icogite); y z a la matrice completa A ha il miore di determiate pari a 8 quidi rago( A ) ; rago( A) il sistema è imposs. a a rago( A) ; rago( A ) sistema determiato a a a a a a a a a a a 9 PNI suppl. 7 5 Algebra lieare A sistemi lieari parametrici A a ( a ) ( a + ) a a + ; y a a + ; z a a + Si discuta il seguete sistema lieare omogeeo i relazioe al parametro reale λ e si determiio i ogi caso le evetuali soluzioi: + y + z ( λ ) + λy + 4z λ + 5y + ( λ +)z La matrice dei coefficieti λ λ 4 e quella completa λ λ 4 λ 5 λ + λ 5 λ + hao lo stesso rago; det λ λ 4 5λ + 6λ ; det λ ; 5 λ 5 λ + se det il sistema ammette la sola soluzioe ulla; + y + z y 7z se λ 5 il sistema diveta: 6 +y + z y z + 5y + 7z + y + z y z se λ il sistema diveta: + y + 4z y z + 5y + 7z 7 PNI ord. 8 5 Algebra lieare sistemi lieari varie s.l. A Leoardo Eulero (77-78), di cui quest ao ricorre il ceteario della ascita, si deve il seguete problema: «Tre getiluomii giocao isieme: ella prima partita il primo perde, a favore degli altri due, tato dearo quato e possiede ciascuo di loro. Nella successiva, il secodo getiluomo perde a favore di ciascuo degli altri due tato dearo quato essi già e possiedoo. Da ultimo, ella terza partita, il primo e il secodo guadagao ciascuo dal terzo getiluomo tato dearo quato e avevao prima. A questo puto smettoo e trovao che ciascuo ha la stessa somma, cioé 4 luigi. Si domada co quato dearo ciascuo si sedette a giocare». sia il dearo del primo giocatore all'iizio del gioco, y quello del secodo e z del terzo; dopo la prima partita il primo giocatore ha: y z; il secodo: y; il terzo: z; dopo la secoda partita il primo ha: y z; il secodo: y + y + z z + y z; il terzo: 4z; dopo la terza partita il primo ha: 4 4 y 4z; il secodo: + 6 y z; il terzo: 4z + y + z + y + z y + 7z; alla fie tutti hao 4 luigi quidi 4 4 y 4z y z 4 y + 7z 4 9 y z sperimeta 8 5 Equazioi e diseq. espoeziali e logaritmiche Disequazioi logaritmiche Posto che l idichi il logaritmo di i base e, risulta l + l + l + per tutti e solo gli tali che: a. b. c. e d. e ua sola alterativa è corretta: idividuarla e forire ua esauriete spiegazioe della risposta. l + l + ( l +) l + l'uguagliaza diveta: l + l + che è vera se: l + l e corretta è la d. 4 PNI suppl. 4 5 Equazioi e diseq. espoeziali e logaritmiche Disequazioi logaritmiche Risolvere la seguete disequazioe i : (l) l( ) la risposta (l ) l (l ) l ; Sia y l si ha: y y y y e Presete ache i: 4 Supplet. quesito 4 9 estero ord. 5 Equazioi e diseq. espoeziali e logaritmiche Equazioi espoeziali Si sa che ua gradezza fisica y dipede da u altra secodo ua legge y k α dove k e α soo costati icogite. Ua misura simultaea di e y, eseguita i due diverse situazioi, ha dato i risultati segueti: y () 6,4 e y () 4,4. Si calcoli k e α. k α 6,4 dividedo membro a membro si ha: k α 4,4 α 4 9 supplet. 6 5 Equazioi e diseq. espoeziali e logaritmiche Equazioi espoeziali sistemi di equazioi espoeziali α α Si determiio a e b i modo tale che il grafico della fuzioe f () a + b passi per i puti del piao y di coordiate (; 4) e (; 8). 4 a +b 8 a +b 4 a +b 8 a +b a solo per a > ); a a (la fuzioe espoeziale è defiita +b +b Equazioi e diseq. espoeziali e logaritmiche varie esp. e log. + b b I determiate codizioi, il umero di u certo tipo di batteri triplica ogi due giori. Se la crescita è espoeziale, qual è l aumeto percetuale dopo 6 ore? E dopo 8 ore? sia (t) e kt il umero di batteri al tempo t, dopo 48 ore i batteri soo il triplo quidi t + 48 ekt +48k e 48k k l l 48 ; (t) e 48 t t 48 ( t ) e kt t +6 l'aumeto percetuale dopo 6 ore vale: 48 t +8 dopo 8 ore: 48 Se f (), mostrare che t %. f ( + ) f ( ) 5 f (). f ( + ) f ( ) f (4) t % estero ord. 5 Equazioi e diseq. espoeziali e logaritmiche varie esp. e log.. f ( + ) f ( ) + 8 f () 5 f ( + ). f ( ) + 4 f (4) ordiam. 5 Equazioi e diseq. espoeziali e logaritmiche varie esp. e log. Il valore dell espressioe log log e. Dire se questa affermazioe e vera o falsa e forire ua esauriete spiegazioe della risposta. è la formula del cambiameto di base, si dimostra utilizzado la defiizioe di logaritmo: il logaritmo i base b di u umero a è l'espoete che dobbiamo dare a b per otteere a per cui b log b a a log log log log log log log

3 5 PNI stra. 5 Equazioi e diseq. espoeziali e logaritmiche varie esp. e log. Luca e Claudia devoo calcolare il valore di ua certa espressioe coteete logaritmi. Trovao come risultati rispettivamete: log 7 + log e + log 8. Ammesso che il risultato otteuto da Luca sia esatto, si può cocludere che quello otteuto da Claudia è sbagliato? Forire ua risposta esaurietemete motivata. log 7 + log log ( 7 ) log 4 + log 8 log 4 + log 8 log 8 4 log 4 ache il risultato otteuto da Claudia è esatto. Presete ache el: 5 Straord. quesito ; 5 sperimetale Brocca ord. quesito 6 supplet. 9 5 Equazioi e diseq. espoeziali e logaritmiche varie esp. e log. Si cosideri la seguete uguagliaza: l( + ) 4 4 l( + ). E vero o falso che vale per ogi reale? Forire u esauriete spiegazioe della risposta. L'eguagliaza o vale per ogi, ifatti l + è defiita per >. 4l + 4 è defiita per ogi, metre PNI suppl. 6 5 Equazioi e diseq. espoeziali e logaritmiche varie esp. e log. Si determii u umero positivo N tale che, per > N, la fuzioe, e sempre maggiore della fuzioe., >, > log >, log > log log dal grafico del logaritmo si deduce che trovato il primo valore per cui la disequazioe è verificata, da quel puto i poi sarà sempre verificata; essedo ua disequazioe trascedete si procede per tetativi: >, (o); >, (o); >, (ok); per curiosità vediamo qual è il primo itero da cui succede questa cosa: > 996,4 (ok); > 996, (ok); > 996, (ok); > 996, (ok); > 995,8 (o) il primo itero è 996. sperimeta 5 5 Equazioi e disequazioi irrazioali Si cosiderio i umeri ½, ⅓, 5 ⅕. Seza usare strumeti di calcolo automatico (salvo per cotrollare evetualmete l esattezza del risultato), disporli i ordie crescete e illustrare il ragioameto fatto per tale operazioe. 6 8; 6 9 < ; < 5 5 < < straord. 4 5 Equazioi e disequazioi irrazioali equazioi Dire se è vero che risulta: per ogi reale l'affermazioe è falsa. ordiam. 5 varie algebra + + > ( + ) > vera ( + ) + Cosiderati i umeri reali a, b, c, d comuque scelti, se a > b e c > d allora: A) a + d > b + c; B) a d > b c; C) ad > bc; D) a/d > b/c a > b a + c > b + d a d > b c c > d ordiam. 5 5 varie algebra Si determiio, se esistoo, i umeri a, b i modo che la seguete relazioe: a + b sia u'idetità. + a + ( +) + a b ( ) ( +) b + a + b a + b a b a 4 b 4 ordiam. 8 5 varie algebra e y soo due umeri aturali dispari tali che y. Il umero y : A) è divisibile per e per ; B) è divisibile per ma o per C) è divisibile per ma o per D) o è divisibile é per é per Ua sola risposta è corretta: idividuarla e forire ua spiegazioe esauriete della scelta operata. ( y ) ( y) ( + y + y ) ( + y + y ) ( y ) è divisibile per y y + y + y divisibile per 4 PNI ord. 8 5 varie algebra + che o è Trovare due umeri reali a e b, co a b, che hao somma e prodotto uguali. a + b ab a b b ; b a presete ache el: 4 Ordiam. quesito 7 ordiam. 6 5 varie algebra Si sa che il prezzo di u abito ha subìto ua maggiorazioe del 6% e, altresì, ua dimiuzioe del 6%; o si ha ricordo, però, se sia avveuta prima l ua o l altra delle operazioi. Che cosa si può dire del prezzo fiale dell abito? Il prezzo fiale o dipede da quale delle due operazioi sia avveuta prima e vale: p p 9964 PNI ord. 5 varie algebra media aritmetica e geometrica Se a e b soo umeri positivi assegati qual è la loro media aritmetica? Quale la media geometrica? Quale delle due è più grade? E perché? Come si geeralizzao tali medie se i umeri assegati soo? a + b ab; siccome a e b soo positivi facciamo il quadrato a + b ab ( a b) vera a,b Quidi, la media aritmetica tra due umeri positivi, diversi tra loro, è maggiore della media geometrica; se i due umeri soo uguali le medie coicidoo. 9 PNI ord. 8 5 varie algebra media aritmetica e geometrica Alla festa di compleao di Aa l età media dei partecipati è di ai. Se l età media degli uomii è 6 ai e quella delle doe è 9, qual è il rapporto tra il umero degli uomii e quello delle doe? 6 PNI stra. 8 5 varie algebra zeri di u poliomio Cosiderata l equazioe: 5 +, si spieghi, co il metodo preferito ma i maiera esauriete, perché o può ammettere più di ua soluzioe razioale. Bisoga ricordare il teorema: se p() è u poliomio a coefficeti iteri e il razioale a b è uo zero del poliomio allora: a divide il termie oto del poliomio e b divide il termie di grado massimo del poliomio. 7 PNI ord. 5 5 geometrie o euclidee Si cosideri il teorema: «la somma degli agoli iteri di u triagolo e u agolo piatto» e si spieghi perché esso o e valido i u cotesto di geometria o euclidea. Quali le formulazioi ella geometria iperbolica e i quella ellittica? Si accompagi la spiegazioe co il disego. 7 PNI stra. 9 5 geometrie o euclidee Si euci il quito postulato di Euclide e si descriva qualche modello di plaimetria o euclidea. 8 PNI ord. 7 5 geometrie o euclidee Perche e geometria o euclidea? Che cosa e come viee egato della geometria euclidea? Si illustri la questioe co gli esempi che si ritegoo piu adeguati. 9 PNI ord. 5 geometrie o euclidee Se due puti P e Q del piao giaccioo dalla stessa parte rispetto ad ua retta AB e gli agoli PAB e QBA hao somma miore di 8, allora le semirette AP e BQ, prolugate adeguatamete al di là dei puti P e Q, si devoo itersecare. Questa proposizioe è stata per secoli oggetto di studio da parte di schiere di matematici. Si dica perchè e co quali risultati. PNI ord. 5 geometrie o euclidee Silvia, che ha frequetato u idirizzo sperimetale di liceo scietifico, sta dicedo ad ua sua amica che la geometria euclidea o è più vera perché per descrivere la realtà del modo che ci circoda occorroo modelli di geometria o euclidea. Silvia ha ragioe? Si motivi la risposta.

4 PNI suppl. 5 circofereza Dire (motivado la risposta) se è possibile iscrivere i ua semicircofereza u triagolo che o sia rettagolo. Ovvero, co i versi di Date: se del mezzo cerchio far si puote triagol sì ch u retto o avesse. (Paradiso, XIII, -) No perché vale il teorema che i ua circofereza, u agolo al cetro è doppio del corrispodete agolo alla circofereza. 9 supplet. 4 5 circofereza luule di Ippocrate Dato u triagolo rettagolo iscritto i u semicerchio, se sui suoi cateti presi come diametro ed esteramete si costruiscoo due semicerchi, da questi e dal dato semicerchio soo determiati due meischi, detti luule di Ippocrate. Si dimostri che la loro somma ha la stessa area del triagolo. L sperimeta 5 circofereza Due circofereze, k e k, soo tageti esteramete el puto T. Due rette distite, a e b, codotte per T, secao la circofereza k rispettivamete ei puti A e B e la circofereza k ei puti A e B. Stabilire se le rette AB e A B soo parallele o icideti e forire u esauriete spiegazioe della risposta. h y b L Siao L, L le due luule,, y i segmeti circolari, h, b i cateti del triagolo. A semic. πr π 8 b + h I triagoli isosceli AOT e A O T soo simili (OTA e O TA soo opposti la vertice) quidi gli agoli i O e i O soo uguali; ache gli agoli i B e B soo uguali perché agoli alla circofereza che corrispodoo ad agoli al cetro uguali; ma gli agoli i B soo ache alteri iteri formati da AB e A B tagliate dalla trasversale BB ; le rette AB e A B soo duque parallele. PNI suppl. 5 circofereza Nota la lughezza di ua corda di u cerchio di dato raggio, calcolare quella della corda sottesa dall agolo al cetro uguale alla metà di quello che sottede la corda data. (Nota La risoluzioe del problema è stata usata da Tolomeo, II sec. d.c., per la costruzioe di ua tavola trigoometrica i maiera equivalete alla ostra formula di bisezioe del seo.) bh + y A semic. A tria. π 8 b + h h L + π 4 L + y π b 4 L + L + + y π 8 b + h L + L + π ( 8 b + h ) bh π ( 8 b + h ) 9 PNI suppl. 5 circofereza pelecoide Sul diametro MN di u cerchio, si cosiderio due puti P e Q, e su MP, MQ, NP, NQ come diametri di descrivao quattro semicerchi, i primi due posti i ua stessa parte rispetto alla retta MN, gli altri due posti ell altra parte. Si dimostri che il perimetro del quadrilatero curvilieo (pelecoide) così otteuto, ha la stessa lughezza della circofereza data. k r h c/ r Sia c la corda data e la corda cercata; si ha: h r c 4; k r r c 4 k + c 4 c 4 + r + r c 4 r r c 4 r r r c 4 r r 4r c 9 estero ord. 5 circofereza Sia t ua retta e P u puto o apparteete ad essa. Si dimostri che le circofereze di assegato raggio r, passati per P e co cetro su t soo al più due. per assurdo 5 estero ord. 5 circofereza agoli alla circofereza co u lato tagete Il triagolo ABC è isoscele sulla base BC e cotiee il cetro della circofereza k circoscritta ad esso. Codotta la retta t tagete a k i C, idicare co D la proiezioe ortogoale di A su t e co E quella di A su BC. Dimostrare che i triagoli ACD e ACE soo cogrueti. Sia a MN; b MP; c MQ; p pel. πb + πc + π a c 7 ordiam. 5 circofereza quadratura del cerchio + π ( a b ) π a Si spieghi i che cosa cosista il problema della quadratura del cerchio e se, e i che seso, si tratti di u problema risolubile o meo. La quadratura del cerchio, isieme al problema della trisezioe dell'agolo e a quello della duplicazioe del cubo, costituisce uo dei tre problemi classici della geometria greca rimasti isoluti. Il problema cosiste el costruire (utilizzado esclusivamete riga e compasso) u quadrato di superficie pari a quella di u cerchio di raggio dato. Algebricamete, se r è il raggio del cerchio e l il lato del quadrato si ha semplicemete che: πr l l π r. L'irrazioalità di π fu provata da Lambert el 76. Nel 88 Ferdiad vo Lidema dimostra la trascedeza di π (utilizzado la stessa tecica usata da Hermite el 87 per dimostrare la trascedeza di e) e di cosegueza l'impossibilità della quadratura del cerchio mediate riga e compasso. Ripresetata el PNI e ordiam. quesito 8 col seguete testo: I che cosa cosiste il problema della quadratura del cerchio? Perché è citato così spesso? PNI ord. 9 5 cocetti primitivi & assiomi Spiegare il sigificato di sistema assiomatico co particolare riferimeto alla sistemazioe logica della geometria. DCA è u agolo alla circofereza co u lato tagete che isiste sull'arco AC; ma AC è cogruete a AB che sottede l'agolo BCA (il triagolo ABC è isoscele), quidi l'agolo DCA è cogruete a BCA; i triagoli ACD e ACE soo cogueti perché rettagoli co l'ipoteusa i comue e u agolo acuto uguale. PNI suppl. 5 5 cocetti primitivi & assiomi Spiegare, co esempi appropriati, il sigificato i matematica di cocetto primitivo e di assioma. Bueos 5 geometria solida corpi rotodi U cilidro avete raggio di base 8,5 cm e altezza cm viee riempito co biglie d acciaio di, cm di diametro. Dimostrare che el cilidro ci soo meo di 94 biglie. V cil π 8,5 459; V big 4 π, 4,85; V cil V big 95,9.. 4

5 8 supplet. 6 5 geometria solida corpi rotodi calotta sferica Si sechi il solido di ua sfera co u piao, i modo che il circolo massimo sia medio proporzioale fra le superfici appiaate delle calotte elle quali rimae divisa la sfera. Sia la distaza dal piao secate dell'estremo del diametro della sfera perpedicolare al piao secate; A cerchio massimo πr ; A calotta πr; A calotta πr r πr πr πr πr r 6 ordiam. 4 5 geometria solida corpi rotodi solidi iscritti & circoscritti 4 8r + r ; r (etrambe accettabili) La capacita di u serbatoio e pari a quella del cubo iscritto i ua sfera di u metro di diametro. Quati soo, approssimativamete, i litri di liquido che puo coteere il serbatoio? Applichiamo il teorema di Pitagora al triagolo formato dalla diagoale del cubo, u lato e la diagoale di ua faccia; sia il lato del cubo, si ha: + ( ),9 m 9 litri estero ord. 5 geometria solida corpi rotodi spicchio sferico Uo spicchio sferico di ampiezza ha il volume, approssimato a meo di, uguale a 69,65 cm. Si determii il raggio della sfera cui lo spicchio appartiee. Supposto che la sfera sia di ferro (peso specifico 7,8) e pesi,65 kg, si stabilisca se essa sia piea o cotega al suo itero qualche cavità. V sp 4 α 6 πr r 7V 9,; se la sfera fosse piea: π m( g) V ( cm ) p s 4 π 9 7,8,8 ^ la sfera cotiee delle cavità 8 PNI ord. 6 5 geometria solida poliedri parallelepipedi I lati di u parallelepipedo rettagolo misurao 8, 9, e cm. Si calcoli, i gradi e primi sessagesimali, l ampiezza dell agolo che la diagoale madata da u vertice fa co ciascuo dei tre spigoli cocorreti al vertice. La diagoale vale: d α arccos ; β arccos ; γ arccos ; Bueos 5 geometria solida poliedri piramide Ua piramide si dice retta:. se gli spigoli che cocorroo el suo vertice propriamete detto soo due a due perpedicolari;. se almeo u agolo del poligoo di base è retto;. se l altezza è perpedicolare alla base; 4. per ua ragioe diversa dalle precedeti. Ua piramide è retta se la base è u poligoo circoscrivibile e il piede dell altezza coicide co il cetro della circofereza iscritta, risposta corretta 4. ordiam. 5 geometria solida poliedri piramide U piao iterseca tutti gli spigoli laterali di ua piramide quadragolare regolare: descrivere le caratteristiche dei possibili quadrilateri sezioe a secoda della posizioe del piao rispetto alla piramide. I geerale si ottiee u quadrilatero sezioe covesso, co i segueti casi particolari: a) se il piao è parallelo alla base, il quadrilatero sezioe è u quadrato; b) se il piao è parallelo ad u lato del quadrato di base, il quadrilatero sezioe ha due lati paralleli e due o, si ottiee u trapezio isoscele; c) se il piao è parallelo ad ua diagoale del quadrato di base, si ottiee u romboide (u parallelogramma che o sia é u rettagolo é u rombo). 5 PNI suppl. 5 geometria solida poliedri piramide Siao AB, AC, AD tre spigoli di u cubo. Sapedo che uo spigolo è lugo s, calcolare la distaza del vertice A dal piao dei puti B, C, D. Si calcola il volume della piramide ABCD prededo dapprima come base il triagolo BCD, si ha: V S BCD h 6 s h; poi il triagolo ABC: V S ABC s 6 s Uguagliado si ottiee: h s Presete ache i: 5 Supplet. quesito 7 PNI stra. 4 5 geometria solida poliedri piramide Si cosideri la seguete proposizioe: Ua piramide è retta se la verticale calata dal vertice cade etro il poligoo di base. Si dica se è vera o falsa motivado esaurietemete la risposta. La proposizioe è falsa; affiché ua piramide sia retta la verticale deve cadere el cetro della circofereza iscritta el poligoo di base che deve essere circoscrivibile. ordiam. 4 5 geometria solida poliedri troco di piramide U troco di piramide ha basi di aree B e b ed altezza h. Si dimostri, col metodo preferito, che il suo volume V è espresso dalla seguete formula: V h ( B + b + Bb ) I ogi caso si espliciti ciò che si ammette ai fii della dimostrazioe. Bisoga ricordare il teorema che afferma che le aree delle sezioi parallele di ua piramide soo direttamete proporzioali ai quadrati delle loro distaze dal vertice. 5 PNI stra. 5 geometria solida poliedri troco di piramide Si cosiderio u troco di piramide quadragolare regolare, la cui base maggiore abbia area quadrupla della miore, e u piao α equidistate dalle basi del troco. Dire se i dati soo sufficieti per calcolare il rapporto fra i volumi dei due trochi i cui il troco dato è diviso dal piao α. V 7 V 9 Presete ache el: 5 Straord. quesito 9 estero ord. 5 geometria solida poliedri troco di piramide Ua piramide di altezza h viee secata co u piao α parallelo al piao β della base i modo da otteere u troco di piramide il cui volume è 7/8 del volume della piramide. Qual è la distaza tra α e β? ordiam. 5 geometria solida poliedri regolari (solidi platoici) Si cosideri il cubo di spigoli AA, BB, CC, DD i cui due facce opposte soo i quadrati ABCD e A B D C. Sia E il puto medio dello spigolo AB. I piai ACC e D DE dividoo il cubo i quattro parti. Si dimostri che la parte più estesa è il quituplo di quella meo estesa. simile a supplet. cubo supplet. 5 geometria solida poliedri regolari (solidi platoici) cubo Si cosideri il cubo di spigoli AA, BB, CC, DD, i cui due facce opposte soo i quadrati ABCD e A B C D. Idicato co E il puto medio dello spigolo AB, sia CF la retta perpedicolare a DE codotta per C. I piai D DE e C CF dividoo il cubo i quattro parti. Calcolare a quale frazioe del cubo equivale ciascua di esse. Sia a lo spigolo del cubo; i due piai D DE e C CF dividoo il cubo i quattro prismi retti di altezza a e basi i poligoi DFG, CDF, AEFG e CBEF. Siao V, V, V e V 4 i volumi di tali prismi; i triagoli CDG e AED soo cogrueti, i quato soo etrambi rettagoli co DC AD e CĜD AÊD (poiché etrambi complemetari ad A ˆDE). Duque, sottraedo alle aree di tali triagoli quella del triagolo DFG, e segue che AEFG e CDF hao uguale area. Siccome DG AE a per Pitagora CG DE a + a 4 5a ; Ioltre, per il I teorema di Euclide DG FG CG a 4 FG 5a A DGFG FG DF 5 a 5 5 a a ; A A A A a ACDF AEFG AED DFG 4 a a 5 Quidi V V ; V V V V 5 ; V 4 V

6 6 PNI ord. 5 geometria solida poliedri regolari (solidi platoici) I poliedri regolari - oti ache come solidi platoici - soo, a meo di similitudii, solo cique: il tetraedro, il cubo, l ottaedro, il dodecaedro e l icosaedro. Sai dimostrarlo? U poliedro si dice regolare quado le sue facce soo poligoi regolari cogrueti e i suoi agoloidi soo cogrueti. Pertato gli agoli delle facce di ogi suo agoloide devoo essere agoli di poligoi regolari e devoo essere almeo tre. Ioltre, per u oto teorema di geometria solida, i ogi agoloide la somma degli agoli delle facce è miore strettamete di 6. Se le facce del poliedro soo triagoli equilateri, l agolo di ogi faccia è di 6, quidi si possoo avere agoloidi di tre facce (si ottiee il tetraedo), di quattro facce (si ottiee l ottaedro), di cique facce (si ottiee l icosaedro) ma o di più perchè la loro somma sarebbe maggiore o uguale a 6 e ciò è impossibile per il suddetto teorema. Se le facce del poliedro regolare soo quadrati, l agolo di ogi faccia è di 9, quidi si può avere solo l agoloide di tre facce (si ottiee il cubo). Se le facce del poliedro regolare soo petagoi regolari, l agolo di ogi faccia è di 8, quidi si può avere l agoloide di tre facce (si ottiee il dodecaedro) ma o di più. Se le facce del poligoo regolare soo esagoi regolari, l agolo di ogi faccia è di quidi o si possoo avere poliedri relativi perché la somma degli agoli di tre facce è 6 il che è impossibile. Aalogamete o è possibile costruire poliedri regolari aveti per facce poligoi regolari co più di sei lati. Presete ache i: 6 Ordiam. quesito 9 PNI ord. 4 5 geometria solida poliedri regolari (solidi platoici) geeralità Esiste solo u poliedro regolare le cui facce soo esagoi. Si dica se questa affermazioe è vera o falsa e si forisca ua esauriete spiegazioe della risposta. U poliedro si dice regolare se le sue facce soo poligoi regolari cogrueti e i suoi diedri (spazio deitato da due semipiai) soo cogrueti. Pertato gli agoli delle facce di ogi suo diedro devoo essere agoli di poligoi regolari e devoo essere almeo tre. Per u oto teorema di geometria solida, i ogi diedro la somma degli agoli delle facce deve essere strettamete miore di 6. Se le facce del poliedro regolare fossero esagoi, l agolo di ogi faccia di u diedro sarebbe di e quidi la somma degli agoli di tre facce sarebbe uguale a 6, il che è impossibile. L affermazioe quidi è falsa. Presete ache i: 9 Ordiam. quesito 4 geeralità supplet. 9 5 geometria solida poliedri regolari (solidi platoici) tetraedro Dato u tetraedro regolare, si cosideri il quadrilatero avete per vertici i puti medi degli spigoli di due facce. Dimostrare che si tratta di u quadrato. i triagoli EBD, VEF, FCG e ADG soo simili rispettivamete ai triagoli ABV, VBC, VAC e ABC, poiché hao u agolo i comue e i lati adiaceti i proporzioe. Quidi DE EF FG DG i quato cogrueti alla metà dello spigolo del tetraedro da cui deduciamo che DEFG è u parallelogramma co i lati cogrueti cioè u rombo. Per dimostrare che tale rombo è u quadrato, cosideriamo il puto medio M dello spigolo BC e il piao α passate per A, V ed M. ED ed FG soo paralleli a tale piao, i quato paralleli ad AV. Metre DG ed EF soo perpedicolari ad α, i quato paralleli alla retta per BC che è perpedicolare al piao α. Gli agoli del rombo soo quidi retti e perciò il rombo è u quadrato. 6 supplet. 5 5 geometria solida poliedri regolari (solidi platoici) tetraedro Calcolare l ampiezza dell agolo diedro formato da due facce di u tetraedro regolare, espressa i gradi sessagesimali e approssimata al «primo». Bueos 5 geometria solida poliedri regolari (solidi platoici) Calcolare il volume di u ottaedro regolare cooscedo la lughezza s di u suo spigolo. L'ottaedro è costituito da due piramidi uguali a base quadrata; troviamo l'altezza di ua: h s s ottaedro s ; V A h B s s s 5 ordiam. 8 5 geometria solida poliedri regolari (solidi platoici) ottaedro I cetri delle facce di u cubo soo i vertici di u ottaedro. E u ottaedro regolare? Quale e il rapporto tra i volumi dei due solidi? Si traccio dai due estremi di uo spigolo dell ottaedro le perpedicolari allo spigolo del cubo i comue tra le due facce di cui tali vertici soo il cetro. Queste due rette si icotrao el puto medio di tale spigolo. Il triagolo formato dai due vertici e dal puto medio dello spigolo del cubo è rettagolo e isoscele, quidi ogi spigolo dello ottaedro misura, se l è il lato del cubo, l ; essedo tutti gli spigoli cogrueti, e quidi ache tutte le facce, l ottaedro è regolare. Il suo volume è la somma dei volumi delle due piramidi cogrueti che lo compogoo, di altezza l, quidi V ( l ) l l 6; il rapporto fra il volume dei due solidi è 6 6 PNI suppl. 7 5 geometria solida poliedri regolari (solidi platoici) Calcolare l ampiezza dell agolo diedro formato da due facce cosecutive di u ottaedro regolare, espressa i gradi sessagesimali e approssimata al «primo». α arccos 9,47 ottaedro Presete ache i: 4 (PNI) Straord. quesito Simile al: 6 Supplet. quesito 5 ordiam. 5 geometria solida poliedri regolari (solidi platoici) tetraedro Due tetraedri regolari hao rispettivamete aree totali A e A e volumi V e V. Si sa che A /A. Si calcoli il valore del rapporto V /V. Sappiamo che per figure simili co rapporto di similitudie a (rapporto fra due lughezze corrispodeti) il rapporto delle aree vale a e quello dei volumi a. Siccome A A il rapporto di similitudie è quidi V V DH l; OH AH l; cosα OH 6 DH α arccos 7 Simile al: 6 PNI Supplet. 7 8 supplet. 8 5 geometria solida poliedri regolari (solidi platoici) Si stabilisca per quali valori del parametro reale k esiste ua piramide triagolare regolare tale che k sia il rapporto fra il suo apotema e lo spigolo di base. k> /6 9 estero ord. 5 geometria solida poliedri regolari (solidi platoici) tetraedro tetraedro U tetraedro regolare e u cubo hao superfici equivaleti. Si calcoli il rapporto dei rispettivi spigoli. Sia t lo spigolo del tetraedro e l quello del cubo; la superficie totale del tetraedro vale: 4 t se6 ; allora t 6l t l t l 4 4 supplet. 7 5 geometria solida poliedri regolari (solidi platoici) tetraedro U tetraedro e u ottaedro regolari hao gli spigoli della stessa lughezza l. Si dimostri che il volume dell ottaedro è il quadruplo di quello del tetraedro. L'altezza di u triagolo equilatero di lato l vale: l ; l'altezza del tetraedro cade el cetro del triagolo che divide l'altezza di ua faccia i due parti ua il doppio dell'altra; applichiamo Pitagora: h l l l ; V tet A h B l l l ; per il volume dell'ottaedro si veda: Bueos Aires, V l ott supplet. 5 geometria solida rette e piai ello spazio rette parallele & perpedicolari Di due rette a, b assegate ello spazio ordiario si sa soltato che etrambe soo perpedicolari a ua stessa retta p. a) È possibile che le rette a, b siao parallele? b) È possibile che le rette a, b siao ortogoali? c) Le rette a, b soo comuque parallele? d) Le rette a, b soo comuque ortogoali? Per ciascua delle quattro domade motivare la relativa risposta. Cosideriamo u sistema di riferimeto ortogoale dello spazio (Oyz) e prediamo due qualsiasi rette a e b del piao y tra loro parallele. Esse soo etrambe perpedicolari allo asse z. È quidi possibile che due rette siao parallele e che o siao ortogoali. Le risposte alle domade a) e d) soo rispettivamete sì e o. Gli assi e y soo tra loro ortogoali ed etrambi ortogoali all asse z. Ne segue che è possibile che due rette siao ortogoali e che o siao comuque parallele. Le risposte b) e c) soo rispettivamete sì e o. 6

7 PNI stra. 5 geometria solida rette e piai ello spazio Nell isieme delle rette dello spazio si cosideri la relazioe così defiita: «due rette si dicoo parallele se soo complaari e o hao puti comui». Dire se è vero o falso che gode della proprietà trasitiva e forire u esauriete spiegazioe della risposta. La relazioe gode della proprietà trasitiva. Presete ache i: Straord. quesito rette parallele & perpedicolari 7 supplet. 6 5 geometria solida rette e piai ello spazio varie rette e piai Si cosideri la seguete proposizioe: «Il luogo dei puti dello spazio equidistati da due puti distiti e ua retta». Si dica se e vera o falsa e si motivi esaurietemete la risposta. Nello spazio, il luogo dei puti equidistati da due puti o è ua retta ma u piao; i particolare quello perpedicolare al segmeto che cogiuge i puti passate per il loro puto medio. 4 PNI stra. 5 geometria solida rette e piai ello spazio Dimostrare che, se due piai soo perpedicolari, ogi retta perpedicolare a uo di essi è parallela all altro o è coteuta i esso. Si può cocludere che ogi retta parallela a uo dei due piai è perpedicolare all altro? Forire ua esauriete spiegazioe della risposta. Siao α e β i due piai perpedicolari e r la loro itersezioe. Si preda u puto P di β e di tracci la retta s perpedicolare ad α. Questa retta appartiee al piao β perché se così o fosse madado da P su β la perpedicolare alla retta r essa risulterebbe perpedicolare al piao α e allora dal puto P si potrebbere codurre due rette perpedicolari allo stesso piao. Coderiamo poi il puto Q estero a β e tracciamo da esso la retta t pepedicolare ad α. Questa retta è parallela a β ifatti le rette s e t soo perpedicolari allo stesso piao α, quidi soo tra loro parallele. Ora, preso il piao passate per le rette parallele s e t, esso taglia il piao β lugo la retta s stessa; se la retta t o fosse parallela a β, lo dovrebbe quidi icotrare i u puto della retta s, ma ciò va cotro al parallelismo delle rette r e s, pertato la retta t è parallela al piao β, c. v. d. Viceversa, o si può dire che ogi retta parallela a uo dei due piai è perpedicolare all altro. Ifatti, si preda, per esempio, la retta u passate per Q e parallela alla retta r; essa è parallela al piao β e risulta ache parallela al piao α, pertato o può essere perpedicolare a quest ultimo. Presete ache i: 4 Straord. quesito rette parallele & perpedicolari 5 estero ord. 5 geometria solida rette e piai ello spazio rette parallele & perpedicolari U piao γ iterseca i due piai α e β, paralleli i seso stretto, rispettivamete secodo le rette a e b. Si può cocludere qualcosa circa le posizioi reciproche di queste due rette? Forire esaurieti spiegazioi della risposta. Le due rette soo parallele perchè appartegoo allo stesso piao γ e o hao puti i comue; se fossere icideti, il loro puto di itersezioe apparterrebbe a etrambi i piai, cotrariamete al fatto che questi soo paralleli i seso stretto. 8 straord. 5 5 geometria solida rette e piai ello spazio rette parallele & perpedicolari Si cosideri la seguete proposizioe: Due piai α e β soo tra loro perpedicolari se e solo se ogi retta di α è perpedicolare ad ogi retta di β. Si dica se è vera o falsa e si motivi esaurietemete la risposta. La proposizioe è falsa basta immagiare u cotroesempio ordiam. 5 geometria solida rette e piai ello spazio rette sghembe Dopo aver forito la defiizioe di rette sghembe, si cosideri la seguete proposizioe: «Comuque si predao ello spazio tre rette, y, z, due a due distite, se ed y soo sghembe e, così pure, se soo sghembe y e z allora ache e z soo sghembe». Dire se e vera o falsa e forire u esauriete spiegazioe della risposta. Due rette si dicoo sghembe se o giaccioo su uo stesso piao. La proposizioe è falsa; basta cosiderare per esempio le rette su cui giaccioo gli spigoli di u parallelepipedo. PNI suppl. 5 geometria solida rette e piai ello spazio teorema delle tre perpedicolari Nello spazio ordiario soo dati due piai α e β e ua retta r. Si sa che r è parallela ad α e perpedicolare a β. Cosa si può cocludere circa la posizioe reciproca di α e β? Forire u esauriete spiegazioe della risposta. Dimostriamo che i due piai soo perpedicolari. Sia s lo spigolo del diedro formato dai piai α e β e P il puto i cui la retta r iterseca il piao β. Si tracci su β da P la perpedicolare alla retta s e sia Q il piede. Per il teorema delle tre perpedicolari il piao γ coteete r e Q origia ua sezioe ormale del diedro formato da α e β. Sia t l'itersezioe dei piai α e γ. Essedo r // ad α e t complaare di r rispetto a γ, si ha che le rette r e t soo parallele. Ifatti, se così o fosse dovrebbere icotrarsi el puto di icideza, e quidi ache il piao α, cui t appartiee, e la retta r dovrebbero icotrarsi, cosa che va cotro l'ipotesi. Quidi gli agoli PQB e QPA soo supplemetari, perché coiugati iteri rispetto alle parallele r e t; essedo QPA retto per costruzioe PBQ è retto. Quidi α e β soo perpedicolari. PNI ord. 5 geometria solida rette e piai ello spazio teorema delle tre perpedicolari Siao ABC u triagolo rettagolo i A, r la retta perpedicolare i B al piao del triagolo e P u puto di r distito da B. Si dimostri che i tre triagoli PAB, PBC, PCA soo triagoli rettagoli. Basta usare il teorema delle tre perpedicolari: se dal piede di ua retta perpedicolare ad u piao si coduce la perpedicolare ad ua qualuque retta dello stesso piao, questa ultima retta è perpedicolare al piao idividuato dalle prime due. presete ache i: ordiameto 9 PNI suppl. 6 5 geometria solida rette e piai ello spazio varie rette e piai Dati due puti A e B distati tra loro 5 cm, si dica qual è il luogo dei puti C dello spazio tali che il triagolo ABC sia rettagolo i A e abbia area uguale a. É la circofereza di cetro A e raggio,4 cm che giace el piao perpedicolare ad AB passate per A. PNI ord. 9 5 geometria solida rette e piai ello spazio varie rette e piai Si provi che, ello spazio ordiario a tre dimesioi, il luogo geometrico dei puti equidistati dai tre vertici di u triagolo rettagolo è la retta perpedicolare al piao del triagolo passate per il puto medio dell ipoteusa. Per mostrare che M è equidistate da A, B e C basta tracciare la circofereza di diametro AB. presete ache i ordiam. quesito 9 7 PNI suppl. 7 5 geometria solida superfici e volumi dei solidi pricipio di Cavalieri Servedosi i maiera opportua del pricipio di Cavalieri el piao, si dimostri che l area di u ellisse di semiassi a, b e S πab. Il pricipio di Cavalieri el piao afferma che se u fascio di rette parallele stacca su due figure piae coppie di segmeti uguali o proporzioali, allora ache le aree delle due figure soo uguali o proporzioali co lo stesso rapporto di proporzioalità. 8 ordiam. 5 geometria solida superfici e volumi dei solidi pricipio di Cavalieri Si cosideri la seguete proposizioe: Se due solidi hao uguale volume, allora, tagliati da u fascio di piai paralleli, itercettao su di essi sezioi di uguale area. Si dica se essa e vera o falsa e si motivi esaurietemete la risposta. Il pricipio di Cavalieri forisce ua codizioe sufficiete ma o ecessaria per l equiestesioe dei solidi. 9 PNI ord. 9 5 geometria solida superfici e volumi dei solidi pricipio di Cavalieri Nei Discorsi e dimostrazioi matematiche itoro a due uove scieze, Galileo Galilei descrive la costruzioe di u solido che si chiama scodella cosiderado ua semisfera di raggio r e il cilidro ad essa circoscritto. La scodella si ottiee togliedo la semisfera dal cilidro. Si dimostri, utilizzado il pricipio di Cavalieri, che la scodella ha volume pari al coo di vertice V i figura. Il pricipio di Cavalieri afferma che due solidi hao lo stesso volume (soo equivaleti) se si può fissare u piao i modo che ogi altro piao parallelo a esso tagli i due solidi i sezioi equivaleti. Presete ache i: 9 Ordiam. quesito 9 ordiam. 5 geometria solida superfici e volumi dei solidi solidi di rotazioe Il rapporto fra la base maggiore e la base miore di u trapezio isoscele e 4. Stabilire, foredoe ampia spiegazioe, se si puo determiare il valore del rapporto tra i volumi dei solidi otteuti facedo ruotare il trapezio di u giro completo dapprima itoro alla base maggiore e poi itoro alla base miore o se i dati a disposizioe soo isufficieti. V π h a + π h a π ah ; V π h 4a π h a π ah V V PNI suppl. 8 5 geometria solida superfici e volumi dei solidi Si calcoli il rapporto tra la superficie totale di u cilidro equilatero e la superficie della sfera ad esso circoscritta. A cil πr + πr r 6πr ; Il diametro della sfera circoscritta misura r, duque la sfera ha raggio R r. La sua area totale è: A sfe 4π R 4π r 8πr. A cil 6πr A sfe 8πr 4 riproposto el: 4 PNI e Ordiam. quesito solidi iscritti & circoscritti 7

8 6 PNI stra. 5 geometria solida superfici e volumi dei solidi solidi iscritti & circoscritti Ua piramide quadragolare regolare e tale che la sua altezza e il doppio dello spigolo di base. Calcolare il rapporto fra il volume del cubo iscritto ella piramide e il volume della piramide stessa. straord. 5 quadrilateri Dimostrare che codizioe ecessaria e sufficiete affiché u trapezio rettagolo abbia le diagoali perpedicolari e che le misure della base miore, dell altezza e della base maggiore, prese ell ordie e cosiderate rispetto alla stessa uita di misura, siao umeri i progressioe geometrica. Sia ABCD il trapezio co AB B AD h e DC b, se le diagoali soo perpedicolari gli agoli ADB e ACD soo cogrueti e quidi i triagoli DAC e DAB soo simili e i lati Sia b il lato di base della piramide; il volume della piramide vale V P b Sia il lato del cubo; Per la similitudie dei triagoli b b b b b b b; quidi V C V P 4 9 Presete ache i: 6 Straord. quesito 8 PNI suppl. 6 5 geometria solida superfici e volumi dei solidi solidi iscritti & circoscritti Si dimostri che il volume del cilidro equilatero iscritto i ua sfera di raggio r è medio proporzioale fra il volume del coo equilatero iscritto e il volume della sfera. b b dimostrazioe. È dato u trapezio rettagolo, i cui le bisettrici degli agoli adiaceti al lato obliquo si itersecao i u puto del lato perpedicolare alle basi. Dobbiamo dimostrare che: V co :V cil V cil :V sfe ; il lato del triagolo equilatero iscritto i uadimostrare che il triagolo avete per vertici questo puto e gli estremi del lato obliquo è circofereza di raggio r vale d r se6 r e l'altezza h r 4 r rettagolo e trovare quale relazioe lega il lato obliquo alle basi del trapezio. r per cui il volume del coo è V co π d h 8 πr ; il lato del quadrato iscritto è l r se 45 r V cil π l l π r ; V co V cil 8 ; V cil V sfe 4 8 per cui il volume del cilidro vale: soo i proporzioe, cioè h b B h Viceversa se h b B q i triagoli DAC e DAB soo simili quidi gli agoli ADB e ACD h soo cogrueti; allora sia E l'itersezioe delle diagoali, i triagoli DEC e ABD soo simili quidi l'agolo DEC è cogruete a DAB e perciò retto. 4 supplet. 7 5 quadrilateri Il quadrilatero Q avete per vertici i puti medi dei lati di u quadrilatero covesso Q è u quadrato. Dire quali soo le caratteristiche del quadrilatero Q e dare esauriete Cosideriamo u quadrilatero qualuque ABCD, i puti medi dei lati idividuao u parallelogramma (basta tracciare le diagoali di ABCD e usare il teorema che afferma che i u triagolo la cogiugete i puti medi di due lati e parallela al terzo lato); el ostro caso, i cui il quadrilatero itero è u quadrato, si trova che le diagoali soo cogrueti e perpedicolari. 5 PNI suppl. 5 quadrilateri supplet. 5 geometria solida superfici e volumi dei solidi superfici solidi Dare u esempio di u solido la cui superficie laterale e 4π. Ce e soo tati, per esempio cosideriamo u cilidro di altezza, affiché abbia superficie laterale 4π il raggio deve essere πr 4π r 8 PNI stra. 9 5 geometria solida superfici e volumi dei solidi teorema di Guldio Il toro è il solido di rotazioe, otteuto facedo ruotare u cerchio di raggio r di u giro completo attoro ad u asse, che abbia dal cetro del cerchio geeratore ua distaza a > r. Si calcolio l area e il volume del toro. Bisoga usare i teoremi di Guldio: la superficie di u solido geerato ruotado di u agolo α attoro all'asse z ua curva regolare semplice γ è data da α l(γ ) dove è la coordiata del baricetro e l(γ ) la lughezza della curva γ ; aalogamete il volume di u solido geerato dalla rotazioe di ua superficie piaa è data dal prodotto della sua area per la circofereza descritta dal suo baricetro; A toro πr πα 4π ar; V toro πr π a π ar 7 PNI ord. 5 geometria solida varie g.s. meridiai e paralleli Per orietarsi sulla Terra si fa riferimeto a meridiai e paralleli, a latitudii e logitudii. Suppoedo che la Terra sia ua sfera S e che l asse di rotazioe terrestre sia ua retta r passate per il cetro di S, come si puo procedere per defiire i termii geometrici meridiai e paralleli e itrodurre u sistema di coordiate geografiche terrestri? Presete ache i: 7 Ordiam. quesito Sia α PB A; La somma degli agoli iteri di u quadrilatero è 6 DC B 8 α BC P 9 α CP B 9 ; d l cosα; a d cosα l cos α c l seα; b cseα l se α a + b l Presete ache i: 5 Supplet. quesito 4 PNI suppl. 5 5 triagoli Cosiderato u triagolo equilatero di altezza h e detto P u suo qualsiasi puto itero, idicare co, y, z le distaze di P dai lati del triagolo. La somma + y + z risulta: A) sempre maggiore di h; B) sempre miore di h; C) sempre uguale ad h; D) a volte maggiore di h, a volte miore, a volte uguale. Ua sola risposta è corretta. Idividuarla e forire u esauriete spiegazioe della scelta effettuata. QH PL ; CQ CH QH h ; Il triagolo CDE è simile ad ABC, sia l il lato uedo C co P si ota che: A CDE A CDP + A CEP e che PM è l'altezza del triagolo CEP relativa alla base CE, e che PN è l'altezza del triagolo CDP relativa alla base CD. Allora: A CDE A CDP + A CEP l h ly + lz h + y + z soluzioe geometrica si tracci la parallela ad AB passate per P (DE); da D si coduca la parallela a PM (DF); sia G l'itersezioe fra DF e PN; sia H la proiezioe di P su DF; PMFH è u rettagolo PM FH; i triagoli DNP e PHD soo cogrueti DH PN; Allora PM + PN DF che è l'altezza del triagolo equilatero DEC. Presete ache i: 4 Supplet. quesito 5 7 straord. 5 5 triagoli teorema di Pitagora Si cosideri la seguete proposizioe: Dato u triagolo rettagolo, il cerchio che ha per raggio l ipoteusa è la somma dei cerchi che hao per raggi i cateti. Si dica se è vera o falsa motivado esaurietemete la risposta. Siao a e b i cateti e i l'ipoteusa; i a + b πi π a + πb 8

9 supplet. 5 triagoli teorema di Pitagora Si dimostri che la differeza dei quadrati di due lati di u triagolo è uguale alla differeza dei quadrati delle rispettive proiezioi dei lati stessi sul terzo lato del triagolo. PNI ord teoremi sui triagoli teoremi sui triagoli qualsiasi Si provi che o esiste u triagolo ABC co AB, AC e l agolo ABC 45. Si provi altresì che se AB, AC e ABC, allora esistoo due triagoli che soddisfao queste codizioi.. teorema dei sei: se45 seγ,6... (impossibile) seγ 4. seγ 4, < γ < 8 γ 48, ,6,4... presete ache i: ordiameto quesito 9 Cosideriamo il triagolo AHC: h b ; cosideriamo il triagolo CHB: h a y ; uguagliamo: b a y a b y c.v.d. 5 PNI suppl. 54 equazioi varie Alberto e Giaa soo chiamati a risolvere la seguete equazioe: se cos ¼. Alberto ottiee come soluzioe gli agoli tali che: π/ + kπ oppure 5π/ + kπ (k itero qualsiasi); Giaa trova la seguete soluzioe: ( ) k π/ + kπ/ (k itero qualsiasi). È vero o è falso che Alberto ha risolto correttamete e Giaa o? Forire ua risposta esauriete. 5 PNI stra. 54 teoremi sui triagoli teoremi sui triagoli qualsiasi Sia ABC u qualsiasi triagolo. Sui suoi lati ed esteramete a esso si costruiscao i tre quadrati ABDE, BCFG e CAHL. Si dimostri, col metodo preferito, che i triagoli AHE, BDG e CFL soo equivaleti al triagolo ABC. H L 8 - α α C area del triagolo F G se cos 4 se π 6 + kπ 5π 6 + kπ π 5π + kπ + kπ la risposta di Alberto è esatta; Le soluzioi di Giaa, ( ) k π + k π per k pari, cioè k k, π + k π cioè π + k π per k dispari, cioè k k +, π + k + Presete ache i: 5 Supplet. quesito 6 PNI suppl. 54 equazioi varie si possoo separare distiguedo k pari e dispari AC CB seα Presete ache el: 5 Straord. quesito π 5π cioè + k π Si calcoli il umero delle soluzioi dell equazioe se cos ell itervallo reale [; π]. L'equazioe o ha soluzioi perché il prodotto di due umeri miori o uguali a o può essere uguale a. Ripresetata i: 6 Straord. quesito 9 co coefficieti diversi Presete ache i: 6 Supplet. quesito supplet formule goiometriche formule di duplicazioe Dare ua giustificazioe delle formule: cos α cos α cos α se α e utilizzarle per provare che: cos 4α 8cos 4 4α 8cos α + cosα cosβ seα se β ( α ) ( cos α ) ( 4cos 4 α 4cos α +) basta utilizzare la formula di addizzioe del coseo: cos α + β cos4α cos 5 PNI stra grafici varie Dimostrare che ogi fuzioe del tipo y ase + bsecos + ccos, dove a, b, c soo umeri reali o cotemporaeamete ulli, ha di regola per grafico ua siusoide. C è qualche eccezioe? Presete ache el: 5 Straord. quesito 4 ordiam. 54 teoremi sui triagoli teoremi sui triagoli qualsiasi Dal puto A, al quale è possibile accedere, è visibile il puto B, al quale però o si può accedere i alcu modo, così da impedire ua misura diretta della distaza AB. Dal puto A si può però accedere al puto P, dal quale, oltre ad A, è visibile B i modo che, pur rimaedo impossibile misurare direttamete la distaza PB, è tuttavia possibile misurare la distaza AP. Dispoedo degli strumeti di misura ecessari e sapedo che P o è allieato co A e B, si spieghi come si può utilizzare il teorema dei sei per calcolare la distaza AB. Cosideriamo il triagolo APB, AP si misura direttamete isieme agli agoli i A e i P l'agolo i B si ricava per differeza: β 8 α γ (γ agolo i P) AB seγ AP seγ AB AP se β se β A B Dimostriamo l'equivaleza dei triagoli ABC e LCF; basta cosiderare che gli agoli AC B e LC F soo supplemetari e utilizzare la formula dell'area del triagolo: 7 ordiam. 54 teoremi sui triagoli teoremi sui triagoli qualsiasi Le misure dei lati di u triagolo soo 4, 6 e 8 cm. Si calcolio, co l aiuto di ua calcolatrice, le ampiezze degli agoli del triagolo approssimadole i gradi e primi sessagesimali. cosα b + c a bc Carot PNI suppl teoremi sui triagoli teoremi sui triagoli qualsiasi 7 8 ; cosβ a + c b ac 6 ; cosγ 4 Le lughezze dei lati di u triagolo soo umeri iteri cosecutivi e l agolo di maggior ampiezza è il doppio di quello di ampiezza miore. Si calcolio la lughezza del lato miore e il coseo dell agolo miore. Siao, +, + i lati, α l'agolo opposto al lato + e α l'agolo opposto al lato ; < + < + < < u lato è miore della somma degli altri e... + se α seα (teo. sei) + seα cosα seα cosα + ; ( +) + ( + ) ( +) ( + )cosα (teo. Carot) ; 5 Carot 4 (o) ; α arccos 4 9 supplet teoremi sui triagoli teoremi sui triagoli qualsiasi Carot 4 4 Il comadate di ua ave decide di raggiugere il porto B partedo dal puto A e seguedo u percorso rettilieo. A causa di u errore, però, la ave iizia la sua avigazioe lugo ua rotta leggermete diversa da quella prevista. Dopo 5 ore ci si accorge dello sbaglio e il comadate ordia di virare di u agolo di i modo da dirigere ora esattamete verso il porto B, che viee raggiuto dopo ore. Se l imbarcazioe ha mateuto sempre ua velocità costate, quato tempo si è perso a causa dell errore? AC cos( 8 ) 7,85 h; Δt 8 7,85,5 h 9mi 9

10 6 PNI stra. 54 teoremi sui triagoli teoremi sui triagoli rettagoli E assegato u petagoo regolare di lato lugo L. Recidedo opportuamete, i esso, cique triagoli cogrueti, si ottiee u decagoo regolare: calcolare la lughezza del lato. (Si lascio idicate le fuzioi goiometriche degli agoli coivolti). PNI suppl. 54 teoremi sui triagoli teoremi sui triagoli rettagoli I cima ad ua roccia a picco sulla riva di u fiume è stata costruita ua torretta d osservazioe alta m. Le ampiezze degli agoli di depressioe per u puto situato sulla riva opposta del fiume, misurate rispettivamete dalla base e dalla sommità della torretta, soo pari a 8 e 4. Si determii la larghezza del fiume i quel puto. sia h l'altezza della roccia e la larghezza del fiume, si ha: ( tg8 +) tg 4 presete ache i suppletiva tg 4 tg8 9,4 m ( h +) tg 4 h tg8 La somma degli agoli iteri di u poligoi vale: ( ) 8 ; quidi il triagolo isoscele che viee ritagliato ha l'agolo al vertice di 8 e quelli alla base di 6 ; sia L il lato del petagoo, l quello del decagoo e il lato obliquo del triagolo ritagliato; l cos6 l cos6 ; L l L l cos6 l l + cos6 L l cos6 + cos6 L Presete ache i: 6 Straord. quesito PNI suppl. 54 teoremi sui triagoli teoremi sui triagoli rettagoli Si sa che certi uccelli, durate la migrazioe, volao ad u altezza media di 6 metri. U oritologa osserva uo stormo di questi volatili, metre si allotaa da lei i liea retta, co u agolo di elevazioe di. Se u miuto piu tardi tale agolo si e ridotto a, co che velocita si stao spostado gli uccelli? 7 PNI suppl teoremi sui triagoli teoremi sui triagoli rettagoli Si cosideri la seguete proposizioe: «I ogi triagolo isoscele la somma delle distaze di u puto della base dai due lati uguali e costate». Si dica se e vera o falsa e si motivi esaurietemete la risposta. Sia P u puto della base AB e H, K le proiezioi di P sui lati uguali; sia α H AP K B Siao A e B le posizioi degli uccelli a distaza di miuto; POD h PH + PK APseα + ( AB AP)seα ABseα tg ; OC h ; AB DC OC OD h tg tg h tg 64 m 9 PNI suppl. 54 teoremi sui triagoli teoremi sui triagoli rettagoli U turista che osserva u lago scozzese dalla cima di u fiordo alto metri, vede sputare la testa di u mostro acquatico i u puto per il quale misura u agolo di depressioe di 8,45. Il mostro, che uota i liea retta allotaadosi dall osservatore, si immerge, per riemergere cique miuti più tardi i u puto per cui l aglo di depressioe vale 4,5. co che velocità, i metri all ora, sta uotado il mostro? OP OM ta8, 45 ; O M OP ta4,5 ; M M O M OM OP ta4,5 ta8, 45 v s t m 5 6 s ta4,5 ta8, 45, m s PNI stra. 54 teoremi sui triagoli teoremi sui triagoli rettagoli Due osservatori si trovao ai lati opposti di u grattacielo, a livello del suolo. La cima dell edificio dista 6 metri dal primo osservatore, che la vede co u agolo di elevazioe di 5. Se il secodo idividuo si trova a 65 metri dalla cima del grattacielo, quale e la distaza tra i due osservatori? v 64 m mi 4,4 m s 5 ordiam. 54 varie trigoometria Si calcoli, seza l aiuto della calcolatrice, il valore di: se (5 ) + se (55 ). se 5 + se 55 se 5 + cos ( 9 55 ) se 5 + cos 5 8 PNI stra. 54 varie trigoometria U segmeto AB di lughezza costate a scorre coi suoi estremi sopra due rette ortogoali fisse, y. Si dimostri che u puto P qualsiasi del segmeto descrive ua ellisse avete gli assi sopra, y. Che cosa succede se P è il puto medio di AB? estero ord varie trigoometria misura degli agoli Due agoli α e β misurao rispettivamete π radiati e 59 gradi. Quale dei due è il maggiore? Quale è più grade seα o seβ? π 9,87; togliamo π per portarlo al primo giro: π π,59 α appartiee al III quadrate; β appartiee al II quadrate, quidi α > β; ioltre seα < se β perché seα < e se β >. 4 PNI ord. 54 varie trigoometria misura degli agoli La misura degli agoli viee fatta adottado ua opportua uità di misura. Le più comui soo i gradi sessagesimali, i radiati, i gradi cetesimali. Quali e soo le defiizioi? Presete ache el: 4 Ordiam. quesito 8 9 supplet varie trigoometria misura degli agoli Soo dati u agolo α di π radiati e u agolo β di 59 gradi. Si verifichi che soo etrambi maggiori di u agolo giro e miori di due agoli giro. Si dica quale dei due è maggiore. Si dica ioltre se è più grade il seo di α o il seo di β. h 6se5 ; HC 65 h ; AH 6cos5 ; AB AH + HC 46 m rad 6 π rad π ; 6 < 59 < 565 < 7 ; π se59 se 59 6 se79, (secodo quadrate) seπ se565 se 5,4 (terzo quadrate)

11 8 ordiam. 54 varie trigoometria pedeza Secodo il codice della strada il segale di salita ripida (vedi figura) preavverte di u tratto di strada co pedeza tale da costituire pericolo. La pedeza vi e espressa i percetuale e ell esempio e %. Se si sta realizzado ua strada rettiliea che, co u percorso di, km, supera u dislivello di 85 m, qual e la sua icliazioe (i gradi sessagesimali)? Quale la percetuale da riportare sul segale? 6 PNI ord varie trigoometria sistemi misti L equazioe risolvete u dato problema è: kcos 5k + dove k è u parametro reale e ha le segueti itazioi: 5 < < 45. Si discuta per quali valori di k le radici dell equazioe siao soluzioi del problema. α arcse h arcse 85 l 4,6 4 4 ; l'avazameto orizzotale è: d 85 per cui la percetuale vale: h d ,% 4 supplet. 54 varie trigoometria problemi vari Di triagoli o cogrueti, di cui u lato è lugo cm e i due agoli iteri adiaceti ad esso, se α /5 e se β 4/5 e esistoo: A) ; B) ; C) ; D). Ua sola risposta è corretta. Idividuarla e forire ua spiegazioe esauriete della scelta operata. Dato u umero tale che < < ci soo due agoli miori di 8 il cui seo vale ; i particolare: se( α ) 5 α arcse 5 arcse 4 5 ; se( β) 4 5 β 8 arcse 5 8 arcse 4 5 Bisoga verificare quali e quate coppie di agoli verificao la relazioe < α + β < 8 Le combiazioi soo solo. 8 ordiam. 54 varie trigoometria sezioe aurea Ricordado che il lato del decagoo regolare iscritto i u cerchio è sezioe aurea del raggio, si provi che se π 5 4 l/ r 8 r-s SEZIONE AUREA s : r (r - s) : s : l Il lato del decagoo è sezioe aurea del raggio cioè: l : r r l 5 sia r l l l + l l ± + 4 l + 5 se8 l / 5 r 4 già presete el 5 PNI quesito simile al 5 ordiam. quesito s r (o accettab.) Per k l'equazioe diveta impossibile per cui possiamo dividere per k, si ottiee: cos 5k k y A cos π 6 y B k 5 ; y cos y 5k k π < < π 4 5k k che risolto graficamete da: k 4 + ; 97 i defiitiva l'equazioe ammette ua sola soluzioe per: 5 < k < 4 + Presete ache i: 6 Ordiam. quesito 7 PNI stra. 54 varie trigoometria sistemi misti Si trovi per quale valore di k ammette soluzioe l equazioe trigoometrica se + cos k. Y + X k Sia X cos e Y se ; che risolto graficamete da: X + Y k < ( k > ) essua soluzioe k due soluzioi coicideti < < due soluzioi reali e distite k due soluzioi coicideti PNI stra trasformazioi geometriche affiità Tra le affiità di equazioi: X a + by Y c + dy assegate i u piao riferito a u sistema di assi cartesiai ortogoali (Oy), determiare quella che trasforma i puti di coordiate ( ; ) e ; ordiatamete ei puti di coordiate ; 7 e ;. a + b a 7 c + d c a b ; c d PNI stra trasformazioi geometriche affiità X + y Y + y I u piao, riferito a u sistema moometrico di assi cartesiai ortogoali (Oy), è assegata l affiità (A) di equazioi: X + Y, y X Y. Calcolare l area della figura trasformata di u cerchio di raggio secodo l affiità (A). X a + by + c Ua affiità trasforma ua circofereza i ua ellisse; il rapporto fra Y a + b y + c le aree di due figure trasformate si coserva e vale S S det a b ; a b X y Ricaviamo l'iversa della affiità i questioe: la cui matrice associata ha Y y det ; quidi il cerchio di raggio si trasforma i ua ellisse di uguale area. 97 oss. o è ecessario ricavare l'affiità iversa, basta ricordare che det A det A

12 4 PNI stra. 56 trasformazioi geometriche affiità I u piao, riferito a u sistema di assi cartesiai ortogoali ( Oy), soo assegate le affiità di equazioi: X m + y m Y y + m dove m è u parametro reale. Trovare il luogo geometrico dei puti uiti dell affiità al variare di m. m affiché la trasformazioe i questioe sia ua affiità dovrà essere: det m + y m m ; troviamo i puti uiti: ; ricaviamo e y i fuzioe di m : y y + m y + m y m + + m + m m y m m, m il luogo dei puti uiti è l'asse delle ordiate escluso il puto ( ;). 4 PNI suppl trasformazioi geometriche affiità I u piao, riferito ad u sistema di assi cartesiai ortogoali ( Oy), soo assegate le affiità di equazioi: X a + by Y b Tra di esse determiare quella che trasforma il puto (; ) el puto (; ) e stabilire se ammette rette uite. a + b a X + y Y + ; b b Y y X Y Ua retta uita può avere equazioe y m + q oppure k; el primo caso e uita se: y m + q X Y my + m + q Y X 4m + q + m + m + y 4m + q + m + m + m m + m + m 4m + q + co m m m mq + q + 4m + q + q q q m + quidi soo uite le rette r : y + e y. Perché ua retta di equazioe k sia uita, si eve avere: k Y + k Y k y k quidi la retta k parallela all'asse y o può essere uita perché ha per corrispodete ua retta parallela all'asse. 6 PNI stra trasformazioi geometriche affiità Si cosiderio le segueti equazioi: a (a )y + ; y a + (a )y +, dove a e u parametro reale. Determiare i valori di a per cui le equazioi rappresetao: ) u affiita, ) u affiita equivalete (si ricorda che u affiita si dice equivalete se coserva le aree). Ua trasformazioe che ha equazioi del tipo b + cy + d y b + c y + d Nel ostro caso a a è ua affiità se ( a ) a b c b c a( a ) a a Ioltre, i ogi affiità, il rapporto tra l area di ua figura piaa S e l area della sua immagie S rimae costate e vale la relazioe A S A S det b c. U'affiità i b c particolare è u'equivaleza se tale rapporto vale. Ne segue che: a a a( a ) a( a ) a 6 4 PNI suppl trasformazioi geometriche isometrie Descrivere tutte le isometrie dirette che mutao u tetraedro regolare i sé. I u tetraedro regolare i vertici soo equidistati l uo dall altro, quidi ogi permutazioe dei vertici del tetraedro è ua isometria del tetraedro i sé. Le permutazioi dei vertici di u tetraedro soo 4! quidi le isometrie soo i tutto 4. Le isometrie dirette coservao l'orietazioe della figura e el caso i questioe soo : 4 rotazioi di, 4 rotazioi di 4, rotazioi di 8 e l idetità. 8 PNI ord. 56 trasformazioi geometriche isometrie Qual e l equazioe della curva simmetrica rispetto all origie di y e? Qual e quella della curva simmetrica rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrate? La simmetria di cetro l'origie ha equazioe: per cui la trasformata della curva y y diveta: y e ( ) y e y e y La simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrate ha equazioe: y per cui la trasformata diveta y y l y l 5 PNI ord. 56 trasformazioi geometriche isometrie simmetria assiali Si determiio le equazioi di due simmetrie assiali σ e ϕ la cui composizioe σ ϕ dia luogo alla traslazioe di equazioe: + 5 y y 5 Si determiio poi le equazioi della trasformazioe che si ottiee compoedo le due simmetrie i ordie iverso ϕ σ. Il prodotto di due simmetrie assiali ad assi paralleli è ua traslazioe di direzioe perpedicolare ai due assi e di ampiezza doppia della distaza dei due assi stessi (prop.. dispesia sulle trasformazioi g.). La trasformazioe i questioe è ua traslazioe di vettore perpedicolare alla bisettrice del e 4 quadrate, quidi le due rette rispetto alle quali vao effettuate le simmetrie soo parallele a y. Il modulo del vettore è quidi la distaza delle due rette deve essere ; questo succede quado il loro termie oto differisce di 5 dato che le due rette soo icliate di 45. Quidi le due rette soo della forma, ell ordie, y + k e y + k 5 co k qualsiasi. La composizioe iversa darà come risultato ua traslazioe di vettore co uguale modulo e direzioe rispetto a quello della traslazioe cosiderata, ma di verso opposto. Tale composizioe è perciò: 5 y y PNI stra trasformazioi geometriche isometrie simmetria cetrale Si verifichi che la curva di equazioe y è simmetrica rispetto all'itersezioe dei suoi asitoti. Ua simmetria di cetro C è u'isometria ella quale si corrispodoo due puti che hao i C il puto medio del segmeto che li uisce; se il cetro è C ( C ; y C ), le equazioi della simmetria soo σ C C y y C y i ua simmetria cetrale l'uico puto uito è il cetro e tutte le rette che passao per il cetro soo uite. La fuzioe i esame ha u asitoto verticale i e orizzotale i y che si 4 icotrao i C ( ; ), quidi σ C σ 4 C y y y y allora y y 4 4 y 7 PNI suppl trasformazioi geometriche isometrie simmetria cetrale Si verifichi che la curva di equazioe y + e simmetrica rispetto al suo puto di flesso. Troviamo il flesso aullado la derivata secoda: f () a F ( ;); Ua simmetria cetrale di cetro M ( a;b) ha equazioi: y b y Nel caso i questioe si avrà: ; y y y y trasformiamo f () + secodo quest'ultima simmetria: + ( ) y + (avedo tolto gli apici) y ripresetato el PNI straord. quesito 7 co la cubica: y + +-7

13 PNI stra trasformazioi geometriche omotetie Co riferimeto a u sistema di assi cartesiai ortogoali (Oy), determiare le coordiate del baricetro del triagolo i cui l omotetia di cetro (; ) e caratteristica /4 trasforma il triagolo di vertici (4; ), ( 4; 4), (; 8). e caratteristica 4 soo: Le equazioi dell'omotetia ω di cetro ; ( 4 ) + y ( 4 y ) + Le omotetie trasformao il baricetro di u triagolo el baricetro del triagolo trasformato; calcoliamo il baricetro G del triagolo di vertici ( 4;), ( 4;) ;8 G ; cioè G( ;4) che trasformato attraverso l'omotetia ω; ( 4 ) + 4 y ; quidi ( 4 4 ) G ; 5 PNI stra. 56 trasformazioi geometriche omotetie I u piao soo date due circofereze o cogrueti, l ua estera all altra. Di omotetie che trasformao la miore ella maggiore ve e soo: A) essua. B) ua sola. C) due soltato. D) ifiite. Ua sola alterativa è corretta: idividuarla e motivare i maiera esauriete la scelta operata. + y Mettiamoe ua ell'origie: + y r e l'altra sull'asse : r cioè + y + r co > r + r k + q prediamo ua geerica omotetia di cetro di equazioi: ; ivertiamola: y ky + q k p k y k y q ; trasformiamo la circofereza ell'origie: k p k + k y q k r k + y p q y + p + q r k ; cofrotiamo (tolti gli apici) co: + y + r p p q q p + q r k r k r r k ± r r (le omotetie soo due) C) 5 PNI ord trasformazioi geometriche omotetie Le rette r e s d equazioi rispettive y + e y 4 si corrispodoo i ua omotetia σ di cetro l origie O. Si determii σ. k Le equazioi di ua geerica omotetia di cetro l origie soo e le iverse y ky k. Sostituedo ell equazioe di r si ottiee y + k. Cofrotado co y y k l equazioe di σ si ricava k 4. 9 PNI suppl trasformazioi geometriche omotetie Nell omotetia di cetro O (;) e rapporto k 4, si determii l equazioe della circofereza corrispodete alla + y + 4y. Si cofrotio fra di loro i cetri e i raggi delle due circofereze. k 4 ω O,k : ω y ky O, 4 : ω O, 4 y 4 y : 4 y 4 y + y + 4 y y + y + y y Γ : + y + 4 y C Γ ( ; ) r Γ 5 ; Γ : + y y C Γ 4;8 r Γ 4 5 ; PNI suppl trasformazioi geometriche similitudii I u piao riferito a u sistema di assi cartesiai ortogoali (Oy) soo date le affiità ( a +) by + a di equazioi: dove a,b soo parametri reali. y ( a ) + by Dimostrare che fra esse vi è ua similitudie diretta e di questa trovare il puto uito. Ua similitudie è ua particolare affiità che matiee costate il rapporto fra segmeti corrispodeti; le equazioi di ua similitudie soo: m y + c m + y + c (diretta); (iversa); y + my + c y my + c m + è il rapporto di similitudie; affiche l'affiità i questioe sia ua similitudie diretta si dovrà avere: a + b a ; b a b 4 y + 7 troviamo il puto uito: y + 4 y y 9 sperimeta 8 56 trasformazioi geometriche similitudii soo date le I u piao riferito ad u sistema di assi cartesiai ortogoali Oy ( a +) by + a affiità di equazioi dove a, b soo parametri reali. y ( a ) + by Dimostrare che tra esse vi è ua similitudie diretta e di questa trovare il puto uito. a by + c Le equazioi di ua similitudie diretta soo ; el ostro caso si ha: y b + ay + d a + b a 4 y + 7 ; il puto uito è: a b b y + 4 y y 9 4 PNI ord. 56 trasformazioi geometriche similitudii U solido viee trasformato mediate ua similitudie di rapporto. Come varia il suo volume? Come varia l area della sua superficie? Le aree di due solidi simili stao tra loro come i quadrati delle misure lieari, el caso i esame il rapporto è 9. I volumi di due solidi simili stao tra loro come i cubi delle misure lieari, il rapporto è quidi 7 4 PNI ord. 56 trasformazioi geometriche similitudii Nel piao è data la seguete trasformazioe: y y + y Di quale trasformazioe si tratta? y y + y la trasformazioe è ua similitudie perché è la composizioe di ua rotazioe di e di ua omotetia di rapporto k (i geerale le similitudii soo defiite come la composizioe di ua omotetia e di ua isometria). 6 PNI suppl trasformazioi geometriche similitudii Si dimostri che ogi similitudie trasforma ua parabola i ua parabola. Ua similitudie è ua particolare affiità che matiee costate il rapporto tra segmeti corrispodeti, ossia comuque si scelgao A e B, cosiderati i loro trasformati A e B si ha: A B k ua costate positiva. Ioltre ogi similitudie possiede le segueti proprietà: AB a) coserva il rapporto fra lughezze, b) trasforma rette perpedicolari i rette perpedicolari. Due parabole soo sempre simili fra loro. Ifatti ua parabola è defiita come il luogo dei puti equidistati da u puto (il fuoco F ) e da ua retta (la direttrice d). Questa coppia di elemeti può essere trasformata mediate ua similitudie i ua qualuque altra coppia di elemeti F e d. I altre parole tutte le parabole hao la stessa forma e sostazialmete esiste ua sola parabola; il fatto che le vediamo più o meo cocave dipede solo dal fattore di scala, determiato dalla distaza tra fuoco e direttrice.

14 PNI ord. 56 trasformazioi geometriche similitudii differeza co omotetie Sia G il grafico di ua fuzioe f () co R. Si illustri i che modo e possibile stabilire se G e simmetrico rispetto alla retta k. Si trasla i modo che k diveti il uovo asse delle ordiate e poi si verifica che la fuzioe così otteuta sia pari. 5 PNI suppl. 56 trasformazioi geometriche varie Si cosideri la trasformazioe geometrica di equazioe: + my dove m è u parametro reale. y m y Si trovi l equazioe (facedo il disego) del luogo geometrico dei suoi puti uiti. + my + my m y ; togliamo m : y y y m y m y y y + y + y coica co assi paralleli agli assi cartesiai; completiamo il quadrato: + y + 4 e y + y y + y y y ; Si ottiee: 9 ellisse co cetro ; e 7 semiassi e 7 ; bisoga discutere la codizioe y per vedere se l'ellisse è 6 y privata di qualche puto: ; l'origie o + y + y y y + my appartiee a perché, sostituedo, si trova supplet. 56 circofereza ; m y Si per cosideri l'altro puto la seguete (;) si equazioe ottiee m i, che y: è accettabile. + y + + y + k dove k è u parametro reale. Per quali valori di k l equazioe rappreseta ua circofereza? + y + + y + k + y + + y + k y + 4k 8 che rappreseta ua circofereza se 4k 8 > k < 4 PNI suppl circofereza I vertici di u triagolo soo: O(,), A(,), B(,). Si trovi l equazioe della circofereza γ iscritta el triagolo OAB e quella della circofereza γ ad esso circoscritta. Spiegare, co esempi appropriati, la differeza tra omotetia e similitudie el piao. Omotetia: associa a u puto P il puto P tale che CP k CP dove C( C ; y C ) soo le coordiate del cetro dell'omotetia. Le equazioi soo: k ( C ) + C y k ( y y C ) + y C Ua similitudie di rapporto h è ua trasformazioe che matiee costate il rapporto tra segmeti corrispodeti cioè A B h. Le equazioi soo: AB m y + c m + y + c (sim. diretta); (sim. iversa); h m + y + my + c y my + c U omotetia è u caso particolare di similitudie: ifatti, poedo m k e elle trasformazioi della similitudie diretta, si ottiee u omotetia. La circofereza iscritta ha come cetro l'itersezioe delle bisettrici, cosideriamo il No vale però il viceversa: ua similitudie o è ecessariamete u omotetia. triagolo OHC, il raggio della circofereza vale: r tg,5 (u cateto è uguale Per esempio, tutte le similitudii idirette o soo omotetie. all'altro per la tg dell'agolo opposto) Dal puto di vista geometrico, u omotetia trasforma ua retta i ua retta a essa parallela. No tutte le similitudii possiedoo tale proprietà: per esempio, ella simmetria assiale, tg α cosα tg 45 ( + cosα + ( che è ua similitudie, solo le rette parallele o perpedicolari all asse di simmetria soo ( + ) ( ) parallele alla propria trasformata. il cetro della circofereza iscritta è quidi C( ; ); l'equazioe è: PNI ord trasformazioi geometriche ( ) + ( y +) ( ) + y + ( ) y + simmetria assiale quella circoscritta ha evidetemete raggio e cetro i H( ;), l'equazioe è: ( ) + y + y 4 PNI suppl coiche Riferito il piao a u sistema di assi cartesiai ortogoali (Oy), si cosideri l equazioe: y + p + qy + r. Determiare sotto quali codizioi per i coefficieti p, q, r (o tutti ulli) essa rappreseta l isieme di due rette. Ua coica è degeere se il determiate della matrice associata è ullo, altrimeti la p coica è o degeere; det q pq 8 + pq 8 r 4 ( 4 pq r ) p q r che è ullo se pq r codizioe per la quale l'equazioe della coica rappreseta l'isieme di due rette, ifatti sostituedo ell'equazioe y + p + qy + r la relazioe pq r si ottiee: + q ( y + p) che è l'equazioe delle coppia di rette parallele agli assi: q e y p. Presete ache i: 4 Supplet. quesito 6 7 PNI ord luoghi geometrici Si determii l equazioe del luogo geometrico dei cetri delle circofereze del piao tageti alla parabola y + el puto (; ). La famiglia delle circofereze tageti i u puto a ua data retta costituisce u fascio di circofereze il cui asse radicale è la retta stessa. Poiché il luogo dei cetri delle circofereze del fascio è ua retta perpedicolare all asse radicale, allora il luogo cercato è la perpedicolare alla retta tagete el puto di tageza y + 5 PNI ord luoghi geometrici equazioe cartesiaa Si trovi l equazioe cartesiaa del luogo geometrico descritto dal puto P di coordiate (cost, set) al variare di t, t π. cost cost co t π; cerchiamo di eiare t: y set y set 9 + y 4 (ellisse). 5 supplet luoghi geometrici equazioi parametriche circofereza y 9 cos t 4 se t I u piao, riferito a u sistema moometrico di assi cartesiai ortogoali (Oy), soo assegate le rette r ed s di equazioi rispettivamete + my e m y, dove m è u parametro reale. Qual è l equazioe del luogo geometrico descritto dal puto di itersezioe delle due rette al variare di m? m, y + my y m y y y y + y y + y che per y è ua circofereza di cetro C ( 4; ), raggio r 5 4 per y bisoga vedere se la circofereza è privata di quache puto: y + y ; + y y y il puto ( ;)o appartiee al luogo geometrico perché sostituedo le coordiate si ottiee u sistema impossibile; sostituedo il puto ( ;) si ottiee ivece m 4 che è accettabile; i defiitiva il luogo cercato è ua circofereza privata dell'origie. 4

15 9 supplet luoghi geometrici equazioi parametriche parabola Si determii il luogo γ dei puti di itersezioe delle due rette di equazioi: λ y (λ + ) ( λ) + y + descritto al variare di λ parametro reale qualuque. Si disegi la curva γ. λ y l Bisoga eiare λ : λ y λ + y + 8 supplet. 56 luoghi geometrici equazioi parametriche Dato u sistema di riferimeto cartesiao (ortogoale moometrico) i u piao, si dica che cosa rappreseta l isieme dei puti P ( + t ; + t ), otteuto al variare di t ei reali. + t y + t retta y co dato che + t t 9 PNI ord. 57 fuzioi defiizioi fuzioe suriettiva, iiettiva, biiettiva Soo dati gli isiemi A {,,,4} e B {a,b,c}. Tra le possibili fuzioi (o applicazioi) di A i B, ce e soo di suriettive? Di iiettive? Di biiettive? Ua fuzioe f : A B si dice suriettiva quado ogi elemeto del codomiio B è immagie di almeo u elemeto di A. Poiché A {,,, 4} e B {a, b, c}, allora soo suriettive tutte le fuzioi i cui due e solo due elemeti di A hao uguale immagie i B. I particolare, poiché A e B hao rispettivamete quattro e tre elemeti, il umero 4 totale di fuzioi suriettive da A a B è 8 Ua fuzioe si dice iiettiva quado ogi elemeto di B è immagie al più di u elemeto di A. Poiché il umero degli elemeti di A è maggiore di quello di B, o esistoo fuzioi iiettive. Ua fuzioe si dice biiettiva quado è sia iiettiva, che suriettiva. Poiché o esistoo fuzioi iiettive, allora o esistoo emmeo fuzioi biiettive. Presete ache i: 9 Ordiam. quesito straord parabola fasci di parabole Dimostrare che le curve di equazioe y + k + k, assegate i u riferimeto cartesiao, passao tutte per uo stesso puto. y + k + k k + + y y 4 PNI stra retta + y che è sempre verificata k se: I u piao, riferito a u sistema di assi cartesiai ortogoali (Oy), è assegato u triagolo qualsiasi. Dimostrare le formule che esprimoo le coordiate del baricetro del triagolo i fuzioe delle coordiate dei suoi vertici. 8 supplet. 56 retta distaza fra due rette parallele Si determii la distaza delle due rette parallele: + y ; 6 + y + 5 Siao q e q i termii oti, la distaza fra i puti di itersezioe co l'asse delle y vale q q ; la distaza fra le rette sarà d q q cosα dove α è l'agolo che le rette formao co l'asse delle, siccome m tgα cerchiamo ua relazioe fra cosα e tgα: cos α se α tg α tg α cos α cos α cosα + tg α quidi d q q + tg α + 5 PNI stra. 56 sistemi misti & problemi ricoducibili I u piao, riferito a u sistema moometrico di assi cartesiai ortogoali (Oy), è assegato il luogo geometrico dei puti che soddisfao alla seguete equazioe: 8 + 8y 4k + 8y k dove k è u parametro reale. Calcolare per quali valori di k il luogo è costituito da: ) u puto; ) due puti; ) ifiiti puti; 4) essu puto. + y + y + k 8 che è ua combiazioe lieare fra ua circofereza di cetro C ; e raggio r e la retta 4; il luogo geometrico è u fascio e raggio r k k k 8 se vale di circofereze di cetro k 4; k k k 5 k + 5 il luogo geometrico è u fascio di circof. 8 + y + y co geeratrici: 4 i defiitiva si ha: ) u puto quado k 5 ) due puti per essu valore di k ) ifiiti puti per k < 5 k > + 5 4) essu puto per 5 < k < + 5 Presete ache i: Straord. quesito y + y + 9 Δ < o ci soo puti base; 6 ordiam fuzioi domiio I u piao, riferito ad u sistema di assi cartesiai (Oy), è assegato il luogo geometrico dei puti che soddisfao alla seguete equazioe: y + Tale luogo è costituito da: A) u puto; B) due puti; C) ifiiti puti; D) essu puto. Ua sola alterativa è corretta: idividuarla foredo u'esauriete spiegazioe della risposta. ordiam fuzioi domiio Qual è il domiio della fuzioe: f () l ( + ( ) )? < + > + + > + < < < < PNI suppl. 57 fuzioi domiio Qual è il domiio della fuzioe f ()? 4 straord. 57 fuzioi domiio ( ) Si determii il domiio della fuzioe: f () l( + ) + > > <. < > ( ) < < < > ( ) < > < < i defiitiva il domiio è: < 4 supplet fuzioi domiio Si determii il domiio della fuzioe: f () l( 4 ) 4 4 > 4 > il domiio è: 4 ; ; > < 4 7 straord. 57 fuzioi domiio Si determii il campo di esisteza della fuzioe y ( ) Dom( f ) ; ;4 4;+ 5

16 7 supplet. 57 fuzioi domiio Si determii il campo di esisteza della fuzioe: y arcse(tg), co π tg π 4 4 π 5 4 π 7 4 π π 8 PNI stra fuzioi domiio Si determii il campo di esisteza della fuzioe: f () ( + ) + > ( < ) > 8 straord fuzioi domiio < Si determii il campo di esisteza della fuzioe: y l < 4 > 4 > 8 +6 < 4 ( ) ( ) 4 Dom( y) ] ;] [;+ [ > 8 ordiam fuzioi domiio Si determii il domiio della fuzioe f () cos π + kπ π + kπ, k sperimeta 5 57 fuzioi fuzioi periodiche cos Cosa si itede per fuzioe periodica? Qual è il periodo di f () se (π/)? Quale quello di se? La fuzioe reale di variabile reale y f () si dice periodica di periodo T, co T >, se, per qualsiasi umero k itero, si ha: f () f ( + kt ) per ogi del domiio di f. se π se π + π kt π kt π T 6 (il periodo del seo è π ) aalogamete il periodo di se estero 57 fuzioi fuzioi periodiche è π. Che cosa si itede per fuzioe periodica? Qual è il periodo della fuzioe f () tg () + cos ()? Il periodo di tg () è π, quello di cos() è π, quidi il periodo di f () è il più piccolo multiplo dei due periodi: T m.c.m. ( π,π ) π. supplet. 57 fuzioi fuzioi periodiche Cosa si itede per «fuzioe periodica»? Qual e il periodo della fuzioe f () se cos? La fuzioe reale di variabile reale f () si dice periodica di periodo T, co T >, se, per qualsiasi umero k itero, si ha: f () f ( + kt ) per ogi del domiio di f. Se due fuzioi soo periodiche di periodi T e T le loro fuzioi somma o differeza (quado o soo costati) soo periodiche, co periodo che è il miimo comue multiplo Si calcoli: fra T e T. La fuzioe f () se cos è la differeza fra due fuzioi di periodo π, quidi f () ha periodo π. 9 ordiam. 57 fuzioi fuzioi periodiche Si determii il periodo della fuzioe f () cos 5. Il periodo è π/5. estero ord fuzioi varie (fuzioi) Si stima che la popolazioe modiale aumeti dell,7% ogi ao. Idicata co P la popolazioe modiale attuale e co Q la popolazioe stimata tra u ao, il legame tra P e Q è espresso da: a. Q,7P; b. Q,7P; c. Q,7P d. Q,7P; e. essua delle precedeti. Dare ua esauriete spiegazioe della risposta. risposta corretta B supplet fuzioi varie (fuzioi) U titolo di borsa ha perso ieri l % del suo valore. Oggi quel titolo, guadagado l y %, è ritorato al valore che aveva ieri prima della perdita. Si esprima y i fuzioe di. V V V ( )V valore ieri V V + y V + y V + y V valore oggi V V ( + y) ( ) + y y y ( ) y 9 estero ord. 57 fuzioi varie (fuzioi) fuzioe iversa Dopo aver illustrato il sigificato di fuzioe iversa si dica, motivado la risposta se è vero che: arcse(seπ/) π/ arcse è defiito solo ell'itervallo π ;π ; π π ;π ; la relazioe o è vera ifatti: arcsi se π arcsi 4 estero ord. 57 iti calcolo iti π. Cosiderata la fuzioe f () se, calcolare, qualora esistao, i suoi iti per se e per +. se se cos 4 PNI stra iti calcolo iti cos ; cos o esiste Il ite di tg per vale A) + ; B) π/; C) o esiste; D) esiste ma o si può calcolare. Ua sola risposta è corretta: idividuarla e forire ua spiegazioe esauriete della scelta operata. la fuzioe è periodica: il ite o esiste 8 supplet iti calcolo iti cos cos cos cos cos cos + ( H ) 9 ordiam iti calcolo iti se + se se a co modulo + 4se cos se 5 estero ord fuzioi fuzioi periodiche Si trovi il periodo della fuzioe y se + se 4. Il periodo di se è π, quello di se 4 è π, quidi il periodo di f () è il 4 più piccolo multiplo di etrambi i periodi: T m.c.m. π, π 4 9 estero ord. 57 fuzioi fuzioi periodiche m.c.m. ( π,8π ) 4π. Si determii, motivado la risposta, il periodo della fuzioe y se( + ) Tπ + Si calcoli: y + y e + 5 PNI stra iti calcolo iti risolubili co iti otevoli 6

17 5 PNI suppl iti calcolo iti risolubili co iti otevoli Calcolare: y ; y + y Presete ache i: 5 Supplet. quesito 5 7 supplet. 57 iti calcolo iti risolubili co iti otevoli Si calcoli: cos se cos se Si calcoli: 4 se cos se ordiam iti calcolo iti risolubili co iti otevoli y 4 se 4 se y 4 y y Si calcoli il seguete ite: se se y y se y Presete ache i: 6 Supplet. quesito y + y e y y 6 PNI suppl. 57 iti calcolo iti risolubili mediate sostituzioe straord iti calcolo iti risolubili razioalizzado Cosiderata l equazioe + k + k, si calcoli il ite di ciascua delle sue radici per k +. k + k + k k + k 4k k 4k se cos k + k + ordiam iti calcolo iti trigoometrici k 4k k k se cos (il umeratore oscilla ma è itato) 4 PNI suppl. 57 iti calcolo iti trigoometrici Si calcoli: se se se se se se Presete ache i: 4 Supplet. quesito 6 PNI stra iti iti otevoli k 4k k 4k 4k k + k + 4 k Si calcoli il seguete ite otevole seza ricorrere alla regola De L Hopital e y e e y y l + y z z l + z z l( + z) z l e 9 estero ord. 57 iti iti otevoli Si calcoli: cos cos + cos + cos se ( + cos ) se ordiam. 57 iti regola di de Hopital se + cos Si cosideri la fuzioe + se. Si stabilisca se si può calcolare il ite per + e cos si spieghi se il calcolo può essere effettuato ricorredo al teorema di De l'hopital. + se cos + se cos co l'hopital il + cos + se PNI suppl iti regola di de Hopital o esiste Stabilire se esistoo i iti della fuzioe f () ( + ) per: a) + ; b) ; c) ; e, i caso affermativo, determiarli. Dom( f ) ] ;[ ]; [ o ha seso cercare il ite per. + y e y + y + l e ( + l + ) e 6 PNI stra iti regola di de Hopital H e + Si calcoli il ite della fuzioe f () l, per + l l l Presete ache i: 6 Straord. quesito 4 6 PNI stra. 57 iti regola di de Hopital Se le fuzioi f () e g (), etrambe tedeti a, quado a, o soddisfao alle codizioi previste dal teorema di De L Hôpital, o e possibile calcolare il ite di g ()/f () quado a. E vero o e falso? Forire u esauriete spiegazioe della risposta. L'affermazioe è falsa, siao f () si e g() f () g () si f () metre g() si Presete ache i: 6 Straord. quesito 7 PNI stra. 57 iti regola di de Hopital Si calcoli: l( +) l l( +) l Si calcoli: se cos se H cos cos( ) o esiste perché cos ( H ) 7 PNI suppl iti regola di de Hopital H cos ( cos ) se H se se + cos per cotiua a oscillare cos cos + cos se se OSS. seza l'hopital si icorre i: (ite otevole o risolubile a mai ude) 6 7

18 7 straord. 57 iti regola di de Hopital Si calcoli: Si dimostri che: 8 ( H ) 8 ordiam iti regola di de Hopital Basta applicare Hopital 8 volte D( ) l 8 PNI stra. 57 iti regola di de Hopital Si calcoli: lse l tg lse l tg lse lse lcos co Hopital: lse l tg 8 straord. 57 iti regola di de Hopital Si calcoli: e se cos e cos el + e e se cos e cos el + e Si calcoli: H l + + se 9 supplet. 57 iti regola di de Hopital l + + se ( H ) cos se cos se cos e se cos + se e cos se e + e PNI suppl. 57 iti regola di de Hopital lse lse lcos lse cos l + + se( )cos Cosiderata la fuzioe f () a, dove a è ua costate reale positiva, 6 5 si determii tale costate, sapedo che f (). a H 6 5 l l a a l6 6 l5 5 7 a 6 5 a 75 4 presete ache i suppletiva ordiam iti regola di de Hopital Si calcoli: tg tg a a a H tg tg a a a a cos cos a straord. 57 iti studio cotiuità l l a ; l 7 l a l6 l5 l6 l5 l 7 a l 6 5 Sia D il domiio di ua fuzioe reale di variabile reale f () e sia u elemeto di D: si defiisca la cotiuità e la discotiuità di f () i e si forisca u iterpretazioe geometrica delle defiizioi date. f () defiita i u domiio D è cotiua i D se, ε > u itoro I di tale che f () f ( ) < ε I; se è u puto isolato allora f () è cotiua i se ivece è u puto di accumulazioe la defiizioe è equivalete a chiedere che: f () f ( ) supplet iti studio cotiuità Sia f () ua fuzioe di variabile reale defiita el modo seguete: f () a se per < < π + a se per π < < dove a è u parametro reale o ullo. Stabilire se esiste u valore di a per il quale il domiio della fuzioe possa essere prolugato ache el puto i modo che la la fuzioe risulti cotiua. + a se per ogi a ; + a se se a se a per a i due iti soo uguali e la discotiuità è eiabile 5 straord iti studio cotiuità Dimostrare che il ite di cos, per tedete a, e, esplicitado ciò che si ammette. Ua fuzioe f () è cotiua el puto se esiste il ite di f () per e tale ite è uguale al valore f ( ) della fuzioe calcolata i cioè se f () f ( ) Essedo la fuzioe cos cotiua su tutto allora: cos cos() 7 straord iti studio cotiuità Si cosideri la fuzioe f () se se per per Se e studi la cotiuità el puto. se se perché se è itata; la fuzioe è cotiua i 8 ordiam iti studio cotiuità Sia f () ; esiste f ()? Si giustifichi la risposta. + per > f () f () ; f () + per > il ite destro e siistro soo diversi quidi il ite per o esiste 8 straord iti studio cotiuità 4 Si cosideri la fuzioe: f () + per per Se e studi la cotiuità el puto e poi si tracci il suo grafico. f () + per < per f () per per + per > i c'è ua discotiuità di prima specie. ordiam iti studio cotiuità Per quale o quali valori di k la fuzioe: h() 4, 4 k, > 4 è cotiua i 4? h(4) quidi affichè sia cotiua ( k ) 6k 9 k PNI suppl. 57 iti studio cotiuità La fuzioe: f () ( e ) o è defiita el puto, che è per essa u puto di discotiuità. Si precisi il tipo di questa discotiuità, dopo aver esamiato il ite della f () per tedete a zero da siistra e per tedete a zero da destra. f () i quato e e ; + La discotiuità è di prima specie. f () i quato + e e + ; 8

19 PNI stra iti successioi Cosiderata la successioe di termie geerale: a ⅙( + )( + ), scriverla i forma ricorsiva. I primi termii soo:,, 5, 4,, 55, 9, 4, 4,. Si ota che il termie -esimo può essere otteuto dalla somma del termie precedete co il quadrato di stesso: a a + a 5 + a a a + straord iti successioi Si cosideri la successioe di termie geerale a tale che: a se ; si calcoli a a + se >. a a a + + a a a somma dei primi iteri: k + ordiam. 57 iti varie iti Idicata co f () ua fuzioe reale di variabile reale, si sa che f () l per a, essedo l ed a umeri reali. Dire se ciò è sufficiete per cocludere che f (a) l e forire u esauriete spiegazioe della risposta. No, o è sufficiete perché a potrebbe o apparteere al domiio della fuzioe ed essere soltato u puto di accumulazioe; per esempio la fuzioe f () o è defiita i ma f (discotiuità di III specie) supplet. 57 iti varie iti Cosiderata la fuzioe di variabile reale: f () +, dire se esiste il ite di f () per tedete ad e giustificare la risposta. k 7 straord iti varie iti asitoti Si determiio i coefficieti dell'equazioe y a + 6 b + ammetta u asitoto obliquo d'equazioe y +. f () m a b ; q ( f () m) a b ; a b 7 supplet iti varie iti asitoti a b Si determiio le equazioi degli asitoti della curva f () + +. f () m perché la curva rappresetativa a b + ; q ( f () m) ; l'asitoto obliquo è: y 4; asitoto verticale i. + 8 straord. 57 iti varie iti asitoti Si determiio le equazioi degli asitoti della curva f () arcta + No ci soo asitoti verticali perché la fuzioe è defiita e cotiua su arcta + π ; arcta + + π (asitoti orizzot.) 8 supplet. 57 iti varie iti asitoti Si determiio le equazioi degli asitoti della curva: f () ( ) + ; asit. orizz m ; q ( ) ( +) + + asit. obliquo: y + Il domiio della fuzioe è il puto isolato { } per cui il ite o esiste 4 PNI ord iti varie iti Dare u esempio di fuzioe g, o costate, tale che: g() e g() 4. se g() 4 se Presete ache el: 4 Ordiam. quesito 5 5 PNI suppl iti varie iti Si cosideri la seguete equazioe i : (k ) (k ) + (k + ), dove k è u parametro reale diverso da. Idicate co e le sue radici, calcolare i iti di + quado k tede a, a + e a. Verifichiamo per quali valori di k l'equazioi ammette soluzioi reali: Δ ( k ) 4( k ) ( k +) 9 k + b k a k ; k quidi il ite per k o esiste k k k k k Presete ache i: 5 Supplet. quesito 4 supplet. 57 iti varie iti asitoti Defiire gli asitoti orizzotale, obliquo, verticale di ua curva e forire u esempio di fuzioe f () il cui grafico preseti u asitoto orizzotale e due asitoti verticali. 9 estero ord. 57 iti varie iti asitoti Si determiio a e b i modo che il grafico della fuzioe f () a + b 5 asitoto obliquo la retta di equazioe y +. a 6 b 5 PNI ord iti varie iti defiizioe di e abbia come Come si defiisce e qual è l importaza del umero e di Nepero [ome latiizzato dello scozzese Joh Napier (55-67)]? Si illustri ua procedura che coseta di calcolarlo co la precisioe voluta. e + k k! +! il fattoriale cresce molto rapidamete, se si vuole! ua precisioe di basta arrestarsi al 7 termie ifatti:, cosiderado che 7! i termii successivi dimiuiscoo ogi volta almeo di u ordie di gradezza La prima parte è presete ache i: 5 Ordiam. quesito 5 i cui si chiede ache di dimostrare che la derivata di e e 6 supplet iti varie iti defiizioi Cosiderata la fuzioe reale di variabile reale f (), affermare che f () + sigifica che per ogi umero reale M, esiste u umero reale N tale che, per ogi, se > N allora f () > M. É vero o falso? Accompagare la risposta co ua iterpretazioe grafica. L affermazioe è vera. ordiam iti varie iti teorema di Weirstrass Si cosideri la fuzioe: f () ( ) 7 (4 ) 5 Si stabilisca se ammette massimo o miimo assoluti ell itervallo ½. La fuzioe è poliomiale, quidi cotiua; vale il teorema di Weirstrass (ogi fuzioe cotiu i u itervallo chiuso e itato ammette massimo e miimo assoluto). 9

20 PNI ord iti varie iti teorema esisteza zeri Data la fuzioe: f () e se, calcolare i iti per tedete a e + e provare che esiste u umero reale α co < α < i cui la fuzioe si aulla. ( e se ) + e se e e + f () ; f () e se < ; la fuzioe è cotiua, si applica il teorema degli zeri 6 ordiam iti varie iti teorema esisteza zeri La fuzioe f () tg assume valori di sego opposto egli estremi dell'itervallo I π 4 ; 4 π eppure o esiste alcu I tale che f (). É così? Perché? Il teorema di esisteza gli zeri o è applicabile perché la fuzioe tg o è cotiua ell'itervallo cosiderato dato che i π 98 supplet. 57 iti verifica o è defiita (discotiuità di II specie). Dopo aver dato la defiizioe di f () l si dimostri che c l( + ) + l( ) cos l( + ) + l( ) l( ) l( ) cos cos cos PNI stra iti verifica Dopo aver defiito il ite destro e il ite siistro di ua fuzioe i u puto, ricorrere a tali defiizioi per verificare che risulta: + ; +. + f () l se ε > δ > tale che f () l < ε ]a δ;a[ a < ε + < ε < + + < ε < ε + > ε + > ε > ε < ε ε < < ; per ε < il primo sistema o ha soluzioi, resta ε < < > ε scegliedo δ ε vale la codizioe di ite siistro. Presete ache i: Straord. quesito 7 supplet derivata applicazioe defiizioe Si dimostri che la derivata, rispetto ad, della fuzioe a, dove a è u umero reale positivo diverso da, è a la. f ( + h) f () a +h a a f () h h h h h supplet derivata applicazioe defiizioe ( a h ) a h a a l a h h h Calcolare la derivata della fuzioe se rispetto alla variabile, ricorredo alla defiizioe di derivata di ua fuzioe. se + h f () h se cosh h se se h + cos h cos se cosh + cos se h se h cos se h cosh + se h + h straord derivata applicazioe defiizioe Si dimostri che la derivata della fuzioe log a è la fuzioe log e dove e è la base dei a logaritmi aturali. log a ( + h) log a () h h log a e h log a 6 supplet derivata applicazioe defiizioe + h h h log a ( + h ) h h log a + h h Trovare, co il procedimeto preferito ma co esauriete spiegazioe, la derivata, rispetto a, della fuzioe f () tg(). Suppoiamo di sapere che D se cos e D cos se ; possiamo usare la formula della derivata del rapporto: D se cos cos + se cos cos 7 straord. 57 derivata applicazioe defiizioe Si calcoli i base alla defiizioe di derivata, la derivata della fuzioe f () + el puto. f ( ) + h h h + + h 8 straord derivata applicazioe defiizioe + h + h h + h + h h h h h + h Si determii, i base alla defiizioe, la derivata della fuzioe f () se i π/4. se ( π 4 + h) se π 4 se ( π 4 + h) se π 4 h h h h ( se( π 4 + h) seπ 4) ( se( π 4 + h) + seπ 4) f π 4 h h h cos h + cos h h h se h se π 4 + h h h + se h h straord derivata applicazioi alla geometria + h ( cos h + se h ) h Si cosideri la fuzioe poliomiale i : y a + a + a a. Si dimostri che il suo grafico, rappresetato i u piao cartesiao, ha come tagete el puto di ascissa la retta di equazioe y a + a. y f ( ) y a + a + f ( ); 5 ordiam. 57 derivata applicazioi alla geometria f () a + a a ; f () a ; f () a Si dimostri che la curva y se e tagete alla retta y quado se ed e tagete alla retta y quado se. è: ( t) La retta tagete alla fuzioe y f () i u suo puto t; f (t) y f (t) f (t)( t); el caso i esame si ha: y t set set + t set set y ; set y 5 PNI ord. 57 derivata applicazioi alla geometria Si dia ua defiizioe di retta tagete ad ua curva. Successivamete, si dimostri che la curva y se è tagete alla retta y quado se ed è tagete alla retta y quado se. La retta tagete a ua curva si può defiire come la posizioe ite della secate, cioè, detto P il puto di tageza, r Q P P,Q (co Q apparteete alla curva) dove r P,Q è la retta passate per i puti P e Q. La geerica retta tagete a ua fuzioe y f () i u suo puto (t, f (t)) è y f (t) f ( t), quidi i questo caso, sapedo che D( se ) se + cos, si ha: y t set (set + t cost)( t). Se set allora cost, quidi, sostituedo, si ha, y t t, da cui y, come richiesto. Si ha cost ache se set, quidi, sostituedo, si trova y + t + t, quidi y.