Sitassi dello studio di fuzioe Lavoriamo a perfezioare quato sapete siora. D ora iazi pretederò che i risultati che otteete li SCRIVIATE i forma corretta dal puto di vista grammaticale. N( x) Data la fuzioe: f ( x), bisoga trovare l I.D. (Isieme di Defiizioe); le D( x) itersezioi evetuali co l adx e l ady e positività e egatività della fuzioe. Trae l itersezioe co l ady, tutti gli altri aspetti sopra idicati possoo essere ricavati N ( x) effettuado lo studio del sego. Cioè risolvedo l equazioe: D( x). Risoluzioe della disequazioe: N(x) ^ grado: si risolve direttamete seza passare dall equazioe associata; [es. 3x+6 => N x - ]. Attezioe al caso i cui il coefficiete di x è egativo. ^ grado [es. 3x²+6 ]: si risolve passado all equazioe associata [es. 3x²+6 =] o Δ > L equazioe associata ammette due soluzioi reali distite: x x se a > N(x) x < x V x>x se a < N(x) x x x o Δ = L equazioe associata ammette due soluzioi reali coicideti: x =x se a> N(x) x : le y della curva rappresetativa del poliomio N(x), ua parabola tagete all adx, co cocavità rivolta verso l alto, ha puti che hao tutti ordiate positive o ulle (solo per x = x ) se a< N(x) solo per x = x. N(x) a parole, ifatti, sigifica: per quali valori delle x le y corrispodeti soo positive o ulle? Se Δ = e a<, N(x) è rappresetato graficamete da ua parabola tagete all adx, co cocavità rivolta verso il basso, i cui puti che hao tutti ordiate NEGATIVE e ulle solo per x = x. o Δ < No esiste soluzioe reale dell equazioe associata. se a> N(x) > x : essu valore di x aulla N(x) e le ordiate della curva associata a N(x) ua parabola seza itersezioi co l adx e avete cocavità rivolta verso l alto soo tutte positive. se a< N(x) x essu valore di x aulla N(x) e le ordiate della curva associata a N(x) ua parabola seza itersezioi co l adx e avete cocavità rivolta verso il basso soo tutte egative. Grado superiore al : N(x) va scomposto i poliomi di grado iferiore (vedi casi precedeti). Alcui poliomi posso essere scomposti tramite: o Differeza di cubi A 3 B 3 = (A-B) (A +AB+B ) o Somma di cubi A 3 +B 3 = (A+B) (A AB+B ) o Differeza di quadrati A B = (A+B) (A-B) N.B.: Il falso quadrato: A ±AB+B è sempre positivo e o ulteriormete scompoibile. N.B. La somma di quadrati: A +B è sempre positiva e o ulteriormete scompoibile D(x) segui lo stesso procedimeto di N(x) I.D.= R\{evetuali valori di x che aullao il deomiatore}
Ora bisoga fare il grafico della disequazioe: x x x 3 - + X + X - adx IND. IMP. asitoto verticale Sotto agli zeri del deomiatore va specificato quado la determiazioe del valore di f(x) è impossibile, imp. (lo zero i questioe aulla solo il deomiatore) o idetermiata, id. (lo zero i questioe aulla sia il umeratore sia il deomiatore). Dopo aver effettuato lo studio del sego è possibile scrivere: - evetuali itersezioi co l asse delle ascisse.quei puti che hao per ascisse gli zeri del umeratore che NON aullao ache il deomiatore. Vao idicati co etrambe le coordiate: soo puti! - evetuali itersezioi co l asse delle ordiate. Quei puti che hao come ascissa e come ordiata il umero reale, se c è, che si ottiee sostituedo al posto delle x della fuzioe e facedo i coti. x Dopodiché i passa al calcolo dei limiti. Iazitutto il lim f ( x) che va calcolato SEMPRE!!! L esito di questo limite sarà differete a secoda della relazioe fra grado del umeratore (d ora iazi: grn(x)) e grado del deomiatore (d ora iazi: grd(x)) lim f ( x) l x SSe grn(x) grd(x): co I particolare, se grn(x) < grd(x) allora: l = ; altrimeti sarà u umero diverso da dato dal rapporto fra i coefficieti dei termii di grado massimo di N(x) e D(x). SSe grn(x) > grd(x), il modulo del limite sarà ifiito lim f ( x). Per stabilire il sego del limite, e se si possa calcolare u limite solo o se e debbao calcolare due distiti, puoi seguire lo schema idicato ella tabella seguete: x
Sego di f(x) + + - - Limiti Esempi Grafici Sego di f(x) + - - + Limiti Esempi Grafici Posizioe della curva rispetto all asitoto orizzotale (se presete). Abbiamo visto, i particolare,che se grn(x) = grd(x): la curva ha u asitoto orizzotale: y=l diverso dall adx (adx che ivece è asitoto orizzotale el caso grn(x)<grd(x)). Per cooscere la posizioe della curva rispetto all asitoto (i corrispodeza di quali valori di x i puti della curva stao sopra i puti dell asitoto, i corrispodeza di quali valori di x i puti della curva stao sotto i puti dell asitoto e i corrispodeza di quali valori di x i puti della curva coicidoo co puti dell asitoto (cioè la curva taglia, iterseca, attraversa, l asitoto), devi risolvere la seguete disequazioe: N ( x ) N ( x ) ( ) ( ) N x l l l D x D( x) D( x) D( x) Esempio: Il deomiatore ha Δ< e a> perciò è sempre positivo e o si aulla mai. 3
- + Per risolvere ua disequazioe fratta bisoga trasformarla i disequazioi equivaleti fio a otteere la forma i cui a destra del sego c è lo. I queste trasformazioi si rischia di perdere di vista quello che si stava cercado, oppure di o saper leggere correttamete la soluzioe della disequazioe. La disequazioe origiaria l avevamo scritta per rispodere alla seguete domada: Per quali valori di x, le ordiate corrispodeti (dei puti della curva) soo maggiori o uguali a l (che è l ordiata dei puti dell asitoto; ell esempio l=)?. Ovviamete per i valori di x che o verificao la richiesta, avremo comuque u iformazioe: per quei valori ifatti le ordiate corrispodeti (dei puti della curva) soo MINORI di l e perciò i puti della curva starao sotto l asitoto. Vediamo ora come leggere la soluzioe della disequazioe: per x < 7/3 la disequazioe o è verificata (valore egativo delle y, perciò risposta egativa alla ostra domada iiziale) quidi la curva passa sotto l asitoto, per x = 7/3 y= perciò la la curva taglia l asitoto e per x > 7/3 (valore positivo delle y, perciò risposta positiva alla ostra domada iiziale) la curva passa sopra l asitoto orizzotale. Cosa fare se, ello studio del sego, trovi u valore che aulla sia il umeratore che il deomiatore: il caso DEF (pag 65 del libro) Il umero di soluzioi che coicidoo i u solo valore dà la molteplicità di quella soluzioe. ES: el poliomio: (x-3), il valore 3 è uo zero del poliomio co molteplicità. Ifatti x =x =3, perciò ci soo due soluzioi dell equazioe associata al poliomio che coicidoo i u solo valore: il umero 3. Nel caso più geerale, el poliomio: (x-a) il umero a è uo zero del poliomio co molteplicità. Chiamado x il valore che aulla sia N(x) che D(x), ricordado che x è uo zero co molteplicità del poliomio p(x) se e solo se: p(x) = (x x ) l(x) (THM di Ruffii), co grp(x)=+grl(x) e idicado, per siteticità la molteplicità di x al Numeratore co: molt(x ) N(x) e la molteplicità di x al Deomiatore co: molt(x ) D(x) e ci soo tre casi: ) molt(x ) N(x) > molt(x ) D(x) lim f ( x) xx DIM Poiamo molt(x ) N(x)=+k e molt(x ) D(x)= k ( x x ) p( x) ( x x ) p( x) lim lim ( x x ) q( x) q( x) k xx xx 4
ES 3 3x 6x 3x 3 x ( x ) 3 x( x ) 3 lim lim lim x 4x 4 x 4 ( x ) x x 4 ( x ) 4 8 ) molt(x ) N(x) = molt(x ) D(x) lim f ( x) l, l \ xx DIM Poiamo molt(x ) N(x) = e molt(x ) D(x) = ( x x ) p( x) p( x ) l lim xx ( ) x x q ( x ) q ( x ) ES 3 3x 6x 3x 3 x ( x ) 3 x 3 3 lim lim lim x 4x 8x 4 x x 4 x 4 4 4 3) molt(x ) N(x) < molt(x ) D(x) lim f ( x) per il sego si veda il grafico dei segi. xx DIM Poiamo molt(x ) N(x)= e molt(x ) D(x)=+k ( x x ) p( x) p( x) lim lim k ( x x ) q( x) ( x x ) q( x) xx k xx ES 3x 6x 3 x( x ) 3 x lim lim lim x 4x 8x 4 x x 4 x 4 ( x ) verifica dallo studio del sego della fuzioe che sia +. La retta di equazioe: x= è asitoto verticale della curva. 5