Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica

Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica ELT A-Z Docete: dott. F. Zucca Esercitazioe # 4 1 Distribuzioe Espoeziale Esercizio 1 Suppoiamo che la durata della vita di ogi membro di u gruppo segua ua legge espoeziale di parametro 1/50 (i ai). Per u membro di tale popolazioe si calcoli: 1. la probabilità di arrivare alla pesioe (65 ai) 2. la probabilità di arrivare a 70 ai se ha appea compiuto 40 ai 3. per quale valore di x si ha che P(T > x) = 1/2, dove T è la durata di vita dell idividuo cosiderato? Esercizio 2 Uo speciale dispositivo messo a puto i u laboratorio permette di madare ua particella ad ua distaza X che segue ua legge espoeziale di parametro λ, il quale può essere variato. Come deve essere scelto λ affiché sia massima la probabilità di colpire u bersaglio di lughezza l posto ad ua distaza d? 2 Applicazioi del TCL Esercizio 3 Ua ditta di trasporti iterazioali possiede 100 tir dello stesso tipo. Ogi tir percorre ua media di 600 km al gioro co ua deviazioe stadard di 50 km. 1. Suppoedo che i giori lavorativi i u ao siao 340, quati chilometri percorre mediamete u tir i u ao? 2. Ua merce deve essere trasportata da u tir ad ua distaza di 7000 km.. Viee chiesto al titolare dopo quati giori dalla parteza avverrà la cosega. Che risposta deve dare il titolare affichè co probabilità almeo pari a 0.9 la merce arrivi a destiazioe etro il tempo dichiarato? 1

Esercizio 4 Il tempo di lavorazioe di u pezzo meccaico è ua variabile aleatoria di media µ = 2 miuti e deviazioe stadard σ = 0, 3 miuti. 1. I approssimazioe ormale, calcolare la probabilità di effettuare la lavorazioe di 150 pezzi i u tempo miore di 5 ore e 10 miuti. 2. I approssimazioe ormale, calcolare la probabilità che la media campioaria dei tempi di lavorazioe relativa a 100 pezzi sia compresa tra 1 miuto e 55 secodi e 2 miuti e 10 secodi. 3. Quati pezzi dobbiamo misurare per essere certi al 95% che la media dei loro tempi di lavorazioe o differisca da 2 miuti per più di 4 secodi? Esercizio 5 U igegere civile costruisce u pote che può sopportare u peso massimo di 200 toellate. Si suppoga che il peso (espresso i to.) di u automobile sia ua v.a. di media 1 e dev.st. 0.1. Quate auto devoo trasitare cotemporaeamete sul pote affiché co probabilità superiore a 0.1 vega superato il peso massimo sopportato dal pote? Esercizio 6 La distaza d di ua stella è calcolata come la media di ua serie di misurazioi idipedeti e ideticamete distribuite co media d e variaza 4. Quate osservazioi soo ecessarie per essere sicuri al 95% che la media delle osservazioi approssimi d etro 0.5? 3 Approssimazioe ormale della distribuzioe Biomiale Esercizio 7 La percetuale di realizzazioe ei tiri da due puti di u giocatore di pallacaestro è del 55%. Si calcolio: 1. la probabilità che segi o più di 50 puti i 50 tiri 2. il umero miimo di tiri che deve effettuare affiché la probabilità di segare almeo 100 puti sia o iferiore a 0.9 Esercizio 8 Due dadi equilibrati vegoo laciati 300 volte. Sia X la variabile aleatoria che idica il umero di volte che si è otteuto u doppio uo. 1. Calcolare E(X) e var(x) 2. Calcolare i modo approssimato la probabilità di otteere u doppio uo più di 10 volte. 3. Quate volte bisoga laciare i due dadi affiché la probabilità di otteere u doppio uo più di 10 volte sia maggiore di 0.5? 2

Esercizio 9 Si cosideri u sistema elettroico composto da = 100 compoeti e che fuzioa se e solo se almeo 30 compoeti su 100 fuzioao. Si suppoga ioltre che tutte le compoeti abbiao la stessa probabilità di fuzioare p = 0.2 e che fuzioio idipedetemete ua dall altra. 1. I base al modello dato, qual è il umero atteso di compoeti fuzioati? Quato vale la variaza del umero di compoeti fuzioati? 2. Calcolare i modo approssimato la probabilità che il sistema testé descritto fuzioi. 3. Forite ua stima della probabilità che il umero di compoeti NON fuzioati sia compreso fra 72 e 88 (iclusi). 4 Approssimazioe ormale della distribuzioe di Poisso Esercizio 10 Si suppoga che il umero di molecole di sodio i u cl. di acqua mierale sia descritto da ua v.a. di Poisso co media 1000. Si calcoli la probabilità che 10 cl. di acqua cotegao più di 10000 molecole. Esercizio 11 Il costo di ua iserzioe sul News è il seguete: 60 cetesimi per auci di lughezza o superiore a 8 righe 1 euro per auci di lughezza superiore a 8 righe ma o superiore a 12 1.25 euro per auci di lughezza superiore a 12 righe ma o superiore a 16 1.55 euro per auci di lughezza superiore a 16. U ciema pubblicizza gli spettacoli sulle pagie del News, mediate auci di lughezza media (calcolata lugo u ao) pari a 12 righe. Si suppoga che la lughezza delle iserzioi del ciema sia descrivibile co ua v.a. di Poisso. Usado l approssimazioe ormale si determii il costo medio delle iserzioi. 5 Approssimazioe ormale e Poisso della distribuzioe Biomiale Esercizio 12 I media i u paracadute su 1000 il paracadute pricipale è difettoso e o si apre durate il lacio. U paracadutista professioista compie 4000 laci ella sua carriera; idichiamo co X la variabile aleatoria che cota il umero di volte i cui il paracadute pricipale o si apre. 1. Se si approssima la distribuzioe di X co ua Normale, quato vale la probabilità che il paracadute pricipale o si apra i almeo uo dei 4000 laci? 3

2. Quato vale la probabilità appea calcolata, se si approssima la distribuzioe di X co ua Poisso? 3. Quale delle due approssimazioe è migliore e perché? 6 Svolgimeti Soluzioe esercizio 1. è: La fuzioe di ripartizioe di ua v.a. espoeziale di parametro λ = 1/50 F T (x) = ( 1 e λx) 1 (0,+ ) (x). 1. P (T > 65) = 1 P (T 65) = 1 F T (65) = exp { 13 10} = 0.2725 2. Per la proprietà di asseza di memoria dell espoeziale: { P (T > 70 T > 40) = P (T > 30) = exp 3 } = 0.5488 5 3. Per x > 0 abbiamo che P (T > x) = 1 F T (x) = e λx. Quidi e x 50 = 1 2 x = 50 l (0.5) = 34.6574 Soluzioe esercizio 2. Idichiamo co g (λ) = P (d < X < d + l). Siccome X segue ua legge espoeziale di parametro λ, allora g (λ) = exp { dλ} exp { (d + l) λ}. Studiado la fuzioe g abbiamo che: g (λ) = [ (d + l)e lλ d ] e d λ. Quidi otteiamo che il massimo è raggiuto i λ = l(d+l) l(d) l. Soluzioe esercizio 3. 1. Sia X i la v.a. che descrive lo spazio percorso el gioro i. Sappiamo che E(X i ) = 600 km. e var(x i ) = 50 2 km 2. Allora lo spazio percorso i 340 giori è rappresetato dalla v.a. S = 340 i=1 X i. La media di questa variabile è E(S) = 340 i=1 E(X i) = 340 600 = 204.000 km. 4

2. Bisoga calcolare quato deve valere affichè risulti P( X i 7000) 0.9. i=1 Dal TCL sappiamo che i=1 X i N (µ, σ 2 ), duque P( i=1 X i i=1 7000) = P(P σ Xi µ 7000 600 ) = P(Z 50 7000 600 50 0.9 da cui deve essere φ( 7000 600 50 ) = 1 φ( 7000 600 50 ) 1 0.9 = 0.1 e quidi 7000 600 50 q 0.1 = 1.28. Si ottiee così la disequazioe 64 600 + 7000 0. Poedo x = si ottiee ua disequazioe di II grado le cui soluzioi soo 3.47 e 3.36. Poichè siamo iteressati solo alla radice positiva, otteiamo x 3.47 ossia 12.04. Duque il titolare deve dichiarare 13 giori di attesa. ) Soluzioe esercizio 4. Sia T i la v.a. che misura il tempo di lavorazioe dell i-esimo pezzo. Per ipotesi le T i soo i.i.d., co E[T i ] = 2, e var[t i ] = (0, 3 ) 2. 1. Si ha: [ P [T 1 + + T 150 < 310 T1 + + T 150 300 ] = P 0, 3 150 10 ] < 0, 3 150 Φ(2, 722) 0, 99676. 2. Ricordado che 1 55 = 115, 2 10 = 130 e 0, 3 = 18 si ha: P(115 < T 100 < 130 ) = P( (115 120 ) 10 18 < Z < (130 120 ) 10 18 ) 3. Si deve imporre Φ(5, 556) Φ( 2, 777) 1 (1 Φ(2, 777)) 0, 99726. 0, 95 P( T 120 4 ) = P( T 120 18 4 18 ) = 2Φ( 2 ) 1 9 da cui si deduce 2 q0,975 = 1, 96 8, 82 78. 9 Soluzioe esercizio 5. Fissato u campioe di auto, idicato co X i la v.a. che descrive il peso della i-sima auto (i = 1,..., ) dal testo si sa che E(X i ) = 1 e var(x i ) = (0.1) 2 = 0.01. Suppoiamo che le X i siao v.a. idipedeti e ideticamete distribuite. Il peso totale delle auto che trasitao sul pote è descritto dalla v.a. S = 5

X 1 +... + X, quidi si tratta di determiare il valore di per cui risulta P(S > 200) > 0.1. Per il TCL si ha che S N (1, 0.01 ), quidi P(S > 200) = P( S 0.1 > 200 0.1 ) = = P(Z > 200 0.1 ) > 0.1 co Z N (0, 1). Duque deve essere 1 Φ( 200 0.1 200 ) > 0.1, cioè Φ( 0.1 ) < 0.9, da cui si deduce che 200 0.1 < q 0.9. Cosultado le tavole della ormale si trova q 0.91 = 1.28 e sostituedo si ottiee quidi la disequazioe 200 0.1 < 1.28. Risolvedo la disequazioe si trova il valore miimo di, ossia 199. Soluzioe esercizio 6. Sia X i la i-sima misurazioe della distaza. Dal testo è oto che le var. X i soo iid co media d e var = 4. La distaza della stella è misurata effettuado osservazioi X i e calcolado poi la media campioaria X i=1 =P Xi. Il problema cosiste duque el determiare i modo tale che P( X d < P i=1 0.5) = 0.95. Dal TCL si sa che X i d σ N (0, 1), quidi si può scrivere: P( X i=1 d < 0.5) = P( X i i=1 d < 0.5) = P( X i d < 0.5) = co Z N (0, 1). Ma i=1 = P( X i d = P( i=1 X i d σ < P( Z < σ < 2 σ ) = 2 σ ) = 2 2 ) = 0.95 da cui segue P( Z < 2 2 ) = Φ( 4 ) Φ( = Φ( ) (1 Φ( )) = 2Φ( 4 4 4 ) = 4 ) 1 = 0.95 Φ( 4 ) = 0.975 = 1.96 = 62 4 Soluzioe esercizio 7. 6

1. Sia X 50 la v.a. che idica il umero di caestri su 50 tiri, allora X 50 Bi(50, 0.55). Poiché p = 27.5 > 5 e (1 p) = 22.5 > 5, possiamo utilizzare l approssimazioe ormale, ossia X 50 N (27.5, 12.375). Duque P(X 50 25) = P( X 50 27.5 25.5 27.5 < ) Φ( 0.57) = 12.375 12.375 = 1 Φ(0.57) = 0.28 2. Detta X la v.a. che idica il umero di caestri su tiri, si chiede di determiare i modo che risulti P(X 50) 0.9. Utilizzado l approssimazioe ormale si ha X Bi(, 0.55) N ( 0.55, 0.2475). Duque 0.9 P(X 50) = P(X > 49.5) = P( X 0.55 49.5 0.55 > ) 0.2475 0.2475 da cui segue 49.5 0.55 1 Φ( ), 0.2475 49.5 0.55 49.5 0.55 Φ( ) 0.1 q 0.1 = 1.2816 0.2475 0.2475 Risolvedo la disequazioe si ottiee 101.7 ossia 102. Soluzioe esercizio 8. 1. Poichè X B(300, 1 36 875 108 ), si ha che E(X) = 300 36 = 8.33 e var(x) = 300 36 35 36 = 2. Utilizzado l approssimazioe della biomiale co la ormale si ottiee P(X > 10) = 1 P(X 10) = 1 P(X 10.5) dove N N (8.33, 8.10). 1 P(N 10.5) 1 P(N 10.5 8.33 8.10 = = 1 P(Z 0.76) 1 φ(0.76) 0.22363 3. Occorre determiare tale che P(X > 10) > 0.5. Utilizzado uovamete l approssimazioe ormale si ha P(X > 10) = 1 P(X 10) = 1 P(X 10.5) = 7

= 1 P( X 36 35 36 2 10.5 36 35 36 2 ) > 0.5 P(Z 378 35 ) < 0.5 φ( 378 35 ) < 0.5 378 35 < q 0.5 = 0 378 35 < 0 > 378 Soluzioe esercizio 9. Idicata co X la variabile aleatoria che cota il umero di compoeti fuzioati su 100, allora X ha legge biomiale di parametri p = 0.2 e = 100. Pertato, 1. E(X) = 100 0.2 = 20 e var(x) = 100 0.2 0.8 = 16. 2. = P{ il sistema fuzioa } = P{almeo 30 compoeti su 100 fuzioao} = P(X 30) = 1 P{al più 29 compoeti su 100 fuzioao} = 1 P(X 29) = 1 P(X 29 + 0.5) ( ) 29.5 20 1 Φ = 1 Φ(2.375) 1 0.99111 = 0.0089 4 dove N N(0, 1) 3. Y = 100 X rappreseta il umero di compoeti o fuzioati su 30; Y ha legge biomiale di parametri q = 1 0.2 = 0.8 e = 100. Segue che il umero medio di compoeti NON fuzioati è 100 0.8 = 80 co var(y ) = 16. Come prima, stimiamo la probabilità cercata usado l approssimazioe ormale per la legge biomiale e la correzioe di cotiuità, che migliora l approssimazioe per variabili aleatorie a valori itere. Pertato, P(72 Y 88) = P(72 0.5 Y 88 + 0.5) P(71.5 N 88.5) dove N N (100 0.8, 100 0.8 0.2) = N (80, 16) = Φ( 88.5 80 71.5 80 ) Φ( ) = Φ(2.125) Φ( 2.125) = 2Φ(2.125) 1 4 4 0.9664134. 8

Soluzioe esercizio 10. Sia X la v.a. che idica il umero di molecole di sodio i 10 cl. di acqua, X P(10000). Si deve calcolare P(X > 10000) = 1 P(X 10000). Approssimado co la Normale si ha 1 P(X 10000) = 1 P( X 10000 10000 10000 + 0.5 ) = 10000 10000 = 1 P(Z 0.005) = 0.498. Si osservi che il calcolo fatto utilizzado direttamete la Poisso restituirebbe u valore approssimato 0.4977. Soluzioe esercizio 11. Sia X la v.a. che idica il umero di righe di ua iserzioe ed Y la v.a. che e idica il costo. Scrivedo Y i cetesimi, si ha che Y = 60 se X 8, Y = 100 se 8 < X 12, Y = 125 se 12 < X 16, Y = 155 se X > 16. Allora E(Y ) = 60 P(X 8) + 100 P(8 < X 12) + 125 P(12 < X 16) + 155 P(X > 16). Utilizzado l approssimazioe ormale di X P(12) co la ormale N (12, 12) possiamo calcolare le probabilità ad essa relative. Si ha quidi: P(X 8) = P(1 X 8) = P(1 0.5 X 8 + 0.5) 0.5 12 8.5 12 8.5 12 0.5 12 P( Z ) == Φ( ) Φ( ) 12 12 12 12 = Φ( 1.0104) Φ( 2.9641) = 0.156248 0.001538 0.155. Aalogamete si calcolao e 8.5 12 12.5 12 P(9 X 12) P( Z ) = 12 12 12.5 12 8.5 12 = Φ( ) Φ( ) 0.401 12 12 P(13 X 16) 0.345. Si ha poi che P(X > 16) = 1 P(X 15) 1 Φ( 15.5 12 12 ) = 1 Φ(1.010) = 0.156. Sostituedo si ottiee E(Y ) = 60 0.155+100 0.401+125 0.345+155 0.156 = 665.4050 cetesimi di euro Soluzioe esercizio 12. La X è ua var. Biomiale di parametri = 4000 e p = 1 1000 = 0, 001 1. I approssimazioe Normale, risulta X Y N (p, p(1 p)), cioè Y N (4, 3.996). Duque P(X 1) = P(X > 0) P(Y > 0.5) = P( Y 4 3.996 > 0.5 4 3.996 ) = Φ(1.75) = 0.95994 9

2. I approssimazioe co Poisso, risulta X W P(p), cioè W P(4). Duque P(X 1) = 1 P(X = 0) 1 P(W = 0) = 1 e 4 = 0.9816 3. La migliore approssimazioe è la secoda perché, metre o soo soddisfatte le codizioi per ua approssimazioe ormale (p = 4 < 5), soo soddisfatte quelle per approssimare co Poisso (p = 4 10, = 4000 > 50). Ifatti, il umero esatto calcolato co la Biomiale è P(X 1) = 1 P(X = 0) = 1 (0.999) 4000 = 0.9817. 10