Problem 1 Risoluzione verific di mtemtic C del 17/1/01 Si clcolno le intersezioni tr le rette generiche del fscio proprio y x y 1, risolvendo il sistem: x y 1 y mx Si ottengono i punti di coordinte espresse in funzione di m seguenti: M 1 1m ; m m e N 1 1m ; m m Or bisogn imporre che il segmento MN si ugule 15 OM L equzione ottiene 1 1m 15 m m 1 m pertnto le equzioni delle rette richieste sono: (in figur sono colorte in rosso) mx e l equzione dell ellisse simmetrici tr loro rispetto ll origine. 15 ; è come imporre 15 OM ossi, con lcuni semplici pssggi fornisce i due vlori di m; si 1 y x e 1 y x
1 Ponendo m nelle coordinte dei punti generici M ed N si ottengono le coordinte dei punti 1 1 di intersezione delle rette y x e y x con l ellisse dt. In reltà, per questioni di simmetri centrle rispetto ll origine, trovte le coordinte di A, si determinno fcilmente nche quelle di B, C e D. i punti hnno le seguenti coordinte: A ;, B ;, C ;, D Per trovre le equzioni delle tngenti si possono utilizzre le formule di sdoppimento oppure il metodo dell tngente d un conic nell origine, dopo ver effettuto l trslzione che port il punto A nell origine; per le ltre tngenti si tiene conto delle simmetrie. Equzioni dell trslzione che port A nell origine: x' x xx' e quelle inverse y' y y y' Sostituendo nell equzione dell ellisse si ottiene x y 1 E prendendo solo i termini di primo grdo si ottiene dopo qulche pssggio, l equzione xy 0 che fornisce il coefficiente ngolre dell rett tngente in A: m. ; Pertnto l rett t tngente in A ll ellisse h equzione y x cioè xy Per trovre l rett tngente ll ellisse nel punto B bst effetture sull rett t un simmetri ssile rispetto ll sse y, cioè scmbire x con x ottenendo x y Per trovre l rett tngente ll ellisse nel punto C bst effetture sull rett t un simmetri centrle rispetto d O, cioè scmbire x con x e y con y ottenendo xy Per trovre l rett tngente ll ellisse nel punto D bst effetture sull rett t un simmetri ssile rispetto ll sse x, cioè scmbire y con y ottenendo xy (Le rette tngenti ll ellisse sono riportte in figur trtteggite) Dopo ver osservto che il qudriltero formto d queste tngenti è un rombo (h un simmetri centrle perciò è un prllelogrmm, inoltre h le digonli perpendicolri, quindi è un rombo), si può clcolrne l re moltiplicndo per l re del tringolo rettngolo POQ. Per tle scopo si possono trovre le coordinte dei punti P e Q fcendo il sistem tr l rett t e gli x y ssi crtesini, oppure scrivere l equzione di t in form segmentri 1
I denomintori delle due frzioni primo membro prese in vlore ssoluto sono le lunghezze dei due cteti del tringolo POQ. Concludendo: Problem Arombo OP OQ 16. Le condizioni per determinre l equzione dell prbol sono: pssggio per il punto E, ordint del vertice ugule e condizione di tngenz; cioè, nell equzione b c cioè c b x y by c deve risultre: È conveniente eliminre due prmetri (b e c) nell equzione dell prbol e poi imporre l condizione di tngenz. L prbol divent x y y Imponimo che il discriminnte dell equzione risolvente il sistem tr prbol e rett si ugule 0: x y y x y 0 y y x y y x y 1 0 equzione risolvente x y x y y y y 16 1 0 16 1 0 cioè 1 e l prbol divent x y y con vertice nel punto V 1; e concvità rivolt sinistr In lterntiv, utilizzndo i fsci di prbole: prim prbol degenere: x y 0 (rett tngente) second prbol degenere: x y ky y 0 (coppi di rette sovrpposte pssnti per il punto di tngenz) 0 (fscio di prbole tngenti in E ll rett) Cioè x ky y ; tr queste si scelg quell che h ordint del vertice ugule ; d cui 1 k k e l prbol divent x y y L re del segmento prbolico si clcol con l formul A cord frecci AB VH
Si devono clcolre le coordinte di A e B in funzione di k, risolvendo il sistem: x y y x k si ottengono i seguenti punti inoltre A h; 1 h B h; 1 h V pertnto 1; H h; AB 1h VH 1h Quindi A 1 h 1 h 1 h e poiché A, deve risultre 1 h che, risolt fornisce h Infine si deve scegliere un punto P pprtenente ll prbol in modo che il qudriltero inscritto nel segmento prbolico ottenuto l punto precedente bbi perimetro mssimo. E sufficiente che si mssimo il semiperimetro PP +PC. quindi Le coordinte di P, P e C in funzione di k sono le seguenti: P k k ; k C ; k Q k k ; k (tener presente che Q è il simmetrico di P nell simmetri ssile di sse l rett y ) p k k k p k k essendo p il semiperimetro Si h quindi perimetro mssimo per k 1 e P è il punto di coordinte 0;1.
Quesito n. L equzione 5x y 50 x 0 è equivlente ll unione dei seguenti due sistemi: x 0 5x y 50x 0 x 0 5x y 50x 0 I due sistemi si riconducono i seguenti (metodo del completmento del qudrto) x 0 x 1 y 1 9 9 5 x 0 x 1 y 1 9 9 5 Il primo rppresent un rco di ellisse con centro in C 1;0 e con 9 b 5 9 Il secondo rppresent un rco di ellisse con centro in C 1;0 e con 9 b 5 9 Quesito n. x y 16 5x y k 0 x 0 Y 0 cioè x y 1 ellisse di centro O e semissi, b 16 y 5x k fscio di rette improprio x 0 Y 0 L su rppresentzione è l seguente:
Quesito n. 5 x y k k 1 ) Rppresent un ellisse per b 0 0 cioè k 0 k 0 b) Rppresent un ellisse con i fuochi sull sse x per circonferenz come ellisse prticolre) cioè: k si ottiene k b (includendo nche l k : si ottiene k k 1 0, k 1 0 k c) Rppresent un circonferenz per b cioè k d) Rppresent un ellisse con un fuoco in F ;0 per c cioè k k, si ottiene k 1 b, si ottiene: k 0 le cui soluzioni sono k k 1 entrmbe ccettbili perché minori di. Quesito n. 5 c condizione dell'eccentricità 5 1 16 1 pssggio per A 5b b c relzione tr i prmetri dell'ellisse L soluzione è b c 5 9 16 Pertnto l ellisse richiest h equzione x y 1 5 9
Quesito n. 7 x1 y 1 0 Si trtt dell equzione di un circonferenz di centro 1;0 O e rggio r = 1. Il qudrto inscritto in quest circonferenz con il vertice A nell origine del sistem di riferimento h gli ltri vertici in B 1;1, C ;0 e 1;1 x' x L trsformzione di equzioni y' y D. x' x y' y trsform i punti A, B, C e D nei punti A ' 0;0 x y B' ;, C 6;0 e D ; e l circonferenz dt nell equzione 1 1 0 con qulche pssggio si può scrivere nell form: x y 1 Quest è l equzione di un ellisse con il centro in ' ;0 O,, b. 9 L re A del qudrto ABCD è, l re del qudriltero con digonli perpendicolri tr loro, (si che trtt di un rombo) è AC BD 6 A' 1. 1 Pertnto il rpporto tr le due ree è R 6. Si osservi che 6 è nche il prodotto dei due coefficienti di x e di y nelle equzioni dell trsformzione.
Quesito n. 8 Inscritto il qudrto in un sistem di ssi crtesini ortogonli, come in figur lto, i vertici del qudrto hnno le seguenti coordinte: A 0;0 B ;0 C ; D 0; Inoltre indict l sciss di P con x, poiché P si trov sull bisettrice dell ngolo in A, risult: P x; x con 0 x Quindi: PB x x PC x x PD x x Perciò S PB PC PD x x x x x x Che, con qulche clcolo lgebrico si riduce S x x 6 8 che h un minimo per 8 x 1