8. Quale pesa di più?

8. Quale pesa di più? Negli ultimi ai hao suscitato particolare iteresse alcui problemi sulla pesatura di moete o di pallie. Il primo problema di questo tipo sembra proposto da Tartaglia el 1556. Da allora u gra umero di problemi riguardati pesate soo stati proposti e il più coosciuto è sicuramete il PROBLEMA DELLE 12 PALLINE Si hao 12 pallie apparetemete tutte uguali, tuttavia e' presete ua sola pallia difettosa, più pesate delle altre. Avedo a disposizioe ua bilacia a doppio piatto, determiare il umero miimo di pesate ecessarie ad idividuarla. Questo problema, ella versioe origiale, era più complicato, poiché o si sapeva a priori se la pallia era più pesate o più leggera delle altre; qui ti viee proposta la versioe più semplice. 1. Prova a risolverlo esplicitado metodo e strategia: Il problema proposto si può geeralizzare ad u umero qualsiasi di pallie. Il testo del problema potrebbe essere quidi: Si hao a disposizioe pallie a prima vista idistiguibili ma ua e ua sola di queste è più pesate delle altre. Qual è il umero miimo di pesate ecessarie ad idividuare la pallia diversa dalle altre? 2. Cosideriamo ua formulazioe equivalete del problema: Co pesate, tra quate pallie idistiguibili possiamo trovare la sola pallia più pesate? Esamia i casi uo alla volta distiguedo le situazioi a secoda del umero di pesate. Co ua pesata tra quate pallie al massimo riesci a distiguere ua più pesate? E co due pesate? E co tre? Schematizza la soluzioe del problema i ua tabella come la seguete: Numero pesate i gioco piatto 1 piatto 2 fuori dalla bilacia Strategia 1 2 1 1 0 E sufficiete vedere quale piatto è più basso 3 36

4 5 6 7 8 9 10 11 12 Prima di proseguire ell esplorazioe di questo problema, fermati e fai il puto della situazioe isieme ai compagi e al docete, per idividuare la strategia di risoluzioe più vataggiosa i termii di umero di pesate (evetualmete, se o hai trovato la strategia più vataggiosa, cambia la tabella co i dati corretti). Osserva la tabella: quate soo le pallie el piatto 1 e el piatto 2 ad ogi pesata?... Aumetado il umero di pesate, ti sei servito per la sua soluzioe della soluzioe già trovata ei casi precedeti? Osserva ache che, per ogi umero di pesate, ci soo più casi risolvibili, cioè mi servoo pesate per distiguere la pallia più pesate fra u umero di pallie che va da a. Allora, utilizzado la strategia più favorevole, schematizza le osservazioi: da 2 a : servoo. pesate da.. a.: da.. a.: servoo. pesate servoo. pesate 3. Cosultado sempre la strategia più vataggiosa, di quato aumeta il umero massimo di pallie da cofrotare, passado da u umero di pesata al successivo? Prova a dedurre da ciò ua formula geerale che ti dica come ricavare ricorsivamete il umero massimo di pallie da cofrotare: Ifie, cerca di ricavare ua formula che ti idichi il umero massimo di pallie da mettere i gioco co pesate: 37

PER IL DOCENTE Quale pesa di più? Classe cosigliata: 2^ Strumeti: essuo PREREQUISITI Coosceza a livello della scuola media dell isieme N Defiizioe di poteza e proprietà delle poteze i N Elemeti di calcolo letterale OBIETTIVO DELL ATTIVITA Ricooscere ua situazioe ricorsiva (vedi la scheda La torre di Haoi ) Esplicitare ua strategia risolutiva del problema delle pesate Ricooscere i passi fodametali che portao alla risoluzioe del problema Cooscere la formulazioe del pricipio di iduzioe (vedi la scheda Tra agoli e rettagoli ) Compredere il pricipio iduttivo CONCETTI SOGGIACENTI (evetualmete sviluppabili) Dimostrare iduttivamete ua proprietà Nel problema proposto viee esplicitato che la pallia da cercare è la più pesate, metre ella formulazioe origiale si diceva solo che era o più pesate o più leggera: questo secodo caso porta ad ua risoluzioe più complicata e quidi, per i ostri scopi, si è scelto di riformulare il testo i ua versioe di più semplice soluzioe. 1. Si cocede agli allievi u po di tempo per provare a risolvere il problema (caso 12 pallie) i modo autoomo, lavorado i piccoli gruppi, applicado u qualsiasi ragioameto e/o strategia. Si iviterao poi gli allievi a esplicitare risoluzioe e metodi. 2. Si propoe la secoda formulazioe del problema, che diveta però di carattere geerale (o più 12 pallie ma ). Gli allievi iiziao ad esamiare i casi più semplici, e dovrebbero accorgersi che per trovare la soluzioe i u geerico caso ( ) ci si può riferire al caso precedete. La strategia più ecoomica è la seguete: Numero pesate 1 i gioco piatto 1 piatto 2 fuori dalla bilacia 2 1 1 0 3 1 1 1 Strategia E sufficiete vedere quale piatto è più basso se i due piatti pesao uguali, la pallia più pesate è quella fuori dalla bilacia; se uo dei due piatti è più basso, lì c è la pallia più pesate (come il caso precedete) 38

2 3 4 2 2 0 5 2 2 1 6 3 3 0 7 3 3 1 8 3 3 2 9 3 3 3 10 4 4 2 alla prima pesata trovo la coppia di pallie più pesate, poi co la secoda pesata mi rifaccio al caso di 2 pallie se i due piatti pesao uguali, la pallia più pesate è quella fuori dalla bilacia; se uo dei due piatti è più basso mi rifaccio al caso di 4 pallie alla prima pesata trovo la tripla di pallie più pesate, poi co la secoda pesata mi rifaccio al caso di 3 pallie se i due piatti pesao uguali, la pallia più pesate è quella fuori dalla bilacia; se uo dei due piatti è più basso mi rifaccio al caso di 6 pallie Si pesao i due gruppi da 3 pallie: se pesao uguali, la pallia più pesate si trova el gruppo da 2 e quidi co ua sola pesata i più la idividuo, altrimeti predo la tera più pesate e co ua sola pesata trovo la soluzioe Ragioameto aalogo al caso di 8 pallie Si pesao i due gruppi da 4 pallie: se pesao uguali, la pallia più pesate si trova el gruppo da 2 e quidi co ua sola pesata i più la idividuo, altrimeti predo la quatera più pesate e mi rifaccio al caso di 4 pallie (quidi servoo altre 2 pesate) Co ragioameti aaloghi, si deduce che tre pesate soo poi sufficieti per tutti i casi fio a 27 pallie: formado tre gruppi da 9 pallie, co la prima pesata idividuo il gruppo da 9 pallie più pesate, poi mi bastao due pesate poiché mi rifaccio al caso di 9 pallie. E probabile che la strategia adottata dagli studeti sia la seguete, che è più immediata sebbee o sia la più ecoomica: - Fio a 7 pallie il ragioameto rimae lo stesso, poi co 8 pallie può essere più immediato cotiuare a suddividere i due gruppi da 4 pallie: co la prima pesata si idividua la quatera più pesate, poi co la secoda pesata si idividua la coppia più pesate e co la terza pesata la pallia più pesate. Come si vede o è la strategia più vataggiosa. E bee, prima di proseguire el lavoro, che ci sia u mometo di cofroto e discussioe co gli studeti sulle diverse strategie adottate, co l obiettivo di far emergere (se essuo studete l ha già idividuata) la strategia migliore, su cui poi si baserà l aalisi successiva: da 2 a 3: da 4 a 9: da 10 a 27: da 28 a 81: servoo 1 pesate servoo 2 pesate servoo 3 pesate servoo 4 pesate Lo studete dovrebbe osservare che: - ad ogi pesata sui due piatti viee posto lo stesso umero di pallie; - co lo stesso umero di pesate posso risolvere più casi ecco perché si parla di umero massimo di pallie - sicuramete aumetado il umero delle pesate mi rifaccio ai casi precedeti. 39

3. Il docete, se o ha già affrotato l argometo co la classe, può itrodurre almeo ituitivamete il cocetto di ricorsioe (si può vedere a tal proposito la presetazioe ella scheda La torre di Haoi ). Si cerca ora di sitetizzare schematicamete i risultati otteuti fio a raggiugere ua formula geerale che permette di risolvere il problema i u geerico caso. Cosultado la tabella, si vede che il umero massimo di pallie da cofrotare, passado da u umero di pesate ( ) al successivo ( + 1), aumeta di 2 3 : Pesate N pallie Variazioe da 1 a 2 pesate ( = 1) da 3 a 9 pallie 1 9 3 = 6 = 2 3 da 2 a 3 pesate ( = 2 ) da 9 a 27 pallie 2 27 9 = 18 = 2 3 da 3 a 4 pesate ( = 3 ) da 27 a 81 pallie 3 81 27 = 54 = 2 3 Allora la formula geerale che dica come ricavare ricorsivamete il umero massimo di pallie da cofrotare è (co P () si idica il umero massimo di pallie cofrotabili co pesate): P ( 1) = 3 P( + 1) = P( ) + 2 3 se 1 Ifie, la cogettura relativa al umero massimo di pallie da mettere i gioco co pesate è: P 3 ( ) = co 1 Se il docete lo ritiee opportuo, e se o ha già affrotato l argometo co la classe, può itrodurre il pricipio di iduzioe (vedi la scheda Tra agoli e rettagoli per le relative formulazioi) e presetare ai ragazzi la dimostrazioe della cogettura appea trovata. a) = 1: co 1 pesata posso idividuare la pallia più pesate tra u massimo di 3 pallie, cioè P (1) = 3 1 = 3, quidi la proprietà è vera per = 1 b) suppoedo che co pesate posso idividuare la pallia più pesate tra u massimo di 3 pallie, è vero che co + 1 pesate la idividuo tra 3 +1 pallie? Vista la modalità di ragioameto utilizzata ella risoluzioe dei casi semplici, posso costruire 3 gruppi da 3 pallie: co ua pesata idividuo il gruppo da 3 pallie più pesate, poi co le restati pesate idividuo la pallia più pesate tra le 3 pallie (come da ipotesi iduttiva). Quidi + 1 posso cofrotare al massimo 3 3 = 3 pallie. Allora per il pricipio di iduzioe la proprietà è vera per ogi 1. 40