Universalità delle interazioni deboli

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1 Fnomnologia dl Modllo Standard Prof. A. Andrazza Lzion Univrsalità dll intrazioni dboli

2 Univrsalità dll intrazioni dboli In qusta lzion passrmo in rassgna i dati sprimntali sulla univrsalità dll intrazion dboli: Inizialmnt un dato sprimntal/ragionvol ipotsi Nl modllo standard consgunza dlla simmtria di gaug Univrsalità dll intrazioni di lptoni: La toria di Frmi applicata al dcadimnto dl µ prmtt di dfinir una costant di accoppiamnto G F. Il dcadimnto dl pion mostra l quivalnza tra accoppiamnti dboli di µ. S applichiamo la stssa procdura al dcadimnto lptonico dl τ, ottniamo lo stsso valor dlla costant. Non-univrsalità dll intrazioni dgli adroni: I valori ottnuti danno dll costanti di accoppiamnto ni dcadimnti adronici: G(dcadimnti β)~0.98 G F, G(dcadimnti K)~0. G F Rcupro dll univrsalità attravrso la matric CKM Lzion - A. Andrazza - a.a. 04/5

3 Costant di Frmi accoppiamnti al W Toria di Frmi Modllo Standard intrazion puntual tra corrnti: M G F " u γ µ γ $ " # µ ( 5 )u µ %# u γ γ µ 5 ( )u pr q << M W G F g scambio di un W: $ % 8M W ( γ ) g µ gµ q MW g ( u γ 5 ) γ u µ 5 M u γ uµ Lzion - A. Andrazza - a.a. 04/5

4 Dtrminazion dlla costant di Frmi La larghzza di dcadimnto dl µ dfinisc la costant di Frmi: ( ) G 5 m F µ Γ µ µ 9π N prmtt il calcolo da quantità tutt bn misurat. Calcoliamon il valor crchiamo di capir quali sono i contributi dgli rrori sprimntali alla sua dtrminazion: G F 9π δg m µ F 5 δm µ 5 G m µ τ F m µ µ τ µ δg F δτ µ G F τ µ δg G F F G F Il valor tabulato è: G F.66787(6)x0-5 GV - δg F /G F 5x0-7 PDG 04 4 Lzion - A. Andrazza - a.a. 04/5

5 Da ricordar Il dcadimnto dl muon dfinisc la costant di Frmi con un incrtzza sprimntal di La diffrnza tra il valor ch abbiamo calcolato qullo ffttivamnt tabulato O(0 - ) driva da ordini succssi nlla toria dll prturbazioni (il diagramma di Fynman ch avt calcolat ra solo il primo ordin): Spazio dll fasi: G 5 m # F µ τ µ 9π 8 m & ) # 5 % $ m ( + µ ' 8 π & % ( α $ ' π +, +. * + -. d ffttivamnt s corrggiamo pr qusti fattori ottniamo: Radiazion lttromagntica: G F GV - il mssaggio è ch con incrtzz di qusto ordin si possono vrificar sprimntalmnt corrzioni quantistich ai fnomni ossrvati! 5 Lzion - A. Andrazza - a.a. 04/5

6 Il dcadimnto dl π La larghzza di dcadimnto dl π è: ( ) G F, Γ π + + f π m π 8π m m π! m # " m π $ & % Confrontando l larghzz parziali pr i dcadimnti in lttron muon, ottniamo il rapporto dll costanti di accoppiamnto pr i du lptoni al W: ( ) ( ) Γ π + µ + µ Γ π + + G F,µ m m G F, m µ m µ G F,µ ( m ) π ( m ) π ( m ) π m µ m µ ( m ) π G F, m m ( ) ( ) BR π + µ + µ BR π + + G F,µ G F, ± Anch in qusto caso la diffrnza dl % è fftto di corrzioni di ordin suprior (Marciano Sirlin, Phys. Rv. Ltt. 7 69) 6 Lzion - A. Andrazza - a.a. 04/5

7 srcizio. Si considri il dcadimnto La costant di Frmi dl τ τ + + ch ha larghzza: Si vrifichi ch G F è la stssa ch nl dcadimnto dl µ. m τ τ τ BR ( ) G 5 m F τ Γ τ τ 9π τ δg F G F 5 δm m δg F δτ G F τ δg F δbr G F BR G F,τ G F,µ ± 7 Lzion - A. Andrazza - a.a. 04/5

8 Univrsalità di lptoni L uguaglianza tra la costanti di accoppiamnto di lptoni è un dato sprimntal vrificato con ottima prcision, asptto fondamntal dl Modllo Standard, in quanto tori di gaug non ablian hanno una sola costant di accoppiamnto. Una dviazion anch minima dall univrsalità implichrbb o la non validità dlla struttura di toria di gaug dl Modllo Standard (cosa cui nssuno è disposto a crdr) o la manifstazion di nuovi fnomni di fisica ch stndono il Modllo Standard (ciò ch si crca ormai da dcnni...) Adsso andiamo a considrar l intrazioni dboli dgli adroni: analizzando i fondamnti sprimntali ch hanno portato alla formulazion dlla matric CKM 8 Lzion - A. Andrazza - a.a. 04/5

9 Dcadimnti bta spciali Il primo procsso in cui si potrbb studiar la forza dll accoppiamnto alla corrnt adronica è il dcadimnto β. Nlla toria dl dcadimnto bta si crca il più possibil di ignorar il calcolo dgli lmnti di matric nuclari. La motivazion è ch il loro calcolo richid la conoscnza complta dlla funzion d onda di nucli. sist prò una class di dcadimnti in cui tal lmnto di matric può ssr calcolato con una prcision sufficint. Transizioni di Frmi suprprmss: , tra nucli ch sono part di un multipltto di spin isotopico; tutt l transizioni studiat sono β +, in multipltti con T. Scrivndo la corrnt adronica in trmini di opratori sui quark, l lmnto di matric è dato da 4Gβ µ M A, Z dγ ( γ5 ) u A, Z ( ) γ ( γ ) ( ) u p v p µ 5 9 Lzion - A. Andrazza - a.a. 04/5

10 Ipotsi CVC Il problma di calcolar lmnti di matric tra stati adronici a priori richid di tnr conto dgli fftti dll intrazioni forti. Tuttavia gli opratori: µ uγ u proporzionali all corrnti lttrich di quark, non possono vnir modificati dall intrazioni forti (i loro lmnti di matric dipndono solo dai numri quantici dgli stati non dai dttagli dll funzioni d onda). In particolar, non vin altrato dall intrazioni forti il valor di aspttazion di: Ipotsi Corrnt Vttorial Consrvata (CVC): l oprator fa part di un tripltto di isospin di corrnti: s l isospin è una buona simmtria, allora, com l lmnto di T 0 è prottto dall intrazioni forti, cosí lo dvono ssr anch l corrnti con T ±. Si noti ch: non sist un analoga considrazion pr l corrnti con γ 5 ; si applica lo stsso ragionamnto pr SU() di sapor, aggiungndo il quark s, ma la simmtria SU() è mno buona, quindi lo sono anch i risultati. dγ µ d ( γ µ γ µ ) u u d d (, ) (, 0) ( ) (, ) T T uγ d T T uγ u dγ d T T dγ u µ µ µ µ 0 Lzion - A. Andrazza - a.a. 04/5

11 lmnto di matric nuclar In transizioni , il trmin γ 5 non contribuisc. ( ) u A Z A Z dγ µ γ,, 5 Approssimazion non rlativistica Pr i dcadimnti nuclari, in cui l nrgia disponibil Q ma, Z ma, Z << ma, Z, conta solo la componnt 0 dl ttravttor. In qusta approssimazion, l oprator si traduc smplicmnt nll oprator di isospin T -, ch abbassa di uno la componnt T. Ipotsi CVC l lmnto di matric dlla corrnt è ugual all lmnto di matric dll oprator di isospin. T T T T + L lmnto di matric risulta quindi j, m j, m j, m j, m AZ, T AZ, maz, maz,, dov i fattori proporzionali all mass di nucli vngono dalla normalizzazion dlla funzion d onda, in accordo con l approssimazion non rlativistica, si è posto: A,Z m A,Z A,Z m A,Z. AZION DGLI OPRATORI DI SU(): m j( j + ) j, m j, m j( j + ) m( m + ) j( j + ) + m( m ) j, m + j, m Lzion - A. Andrazza - a.a. 04/5

12 Gli altri ingrdinti La componnt 0,0 dl tnsor lptonico è: Il fattor di spazio dll fasi è: usiamo l componnti spaziali dlla δ (4) pr intgrar sul momnto dl nuclo la componnt tmporal pr intgrar sull nrgia dl nutrino, si noti ch possiamo trascurar l nrgia cintica portata via dal nuclo O(Q /m A,Z- ) d infin, siccom l lmnto di matric dipnd solo da cosθ, possiamo intgrar su tutt l altr variabili angolari: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),,,, 4 4 Z A Z A Z A Z A p d p d p d p p p p ds π π π δ π ( ) ( ) ( ) δ π d dp p d dp p ds Z A Z A Z A,,, 5 Ω Ω ( ) ( ) ( ) Z A Q d d dp p m ds Ω Ω π 4, 5 ( ) A Z Q d d m p ds θ π cos, ( ) 0,0 cos L p p θ + Lzion - A. Andrazza - a.a. 04/5

13 mttndo tutto assim La larghzza diffrnzial è data da p dγ G ( m m )( + ) d d Q m 8 β AZ, AZ, ( βcos θ ) cos ( ) θ AZ, π maz, Gβ p ( Q ) ( β θ ) dd θ + cos cos π Intgrando su cosθ si ottin lo spttro dll lttron Gβ p ( Q ) F ( Z, ) d π la larghzza di dcadimnto divnta Q G df. β Gβ 5 Γ p,, Q F Z d m f ZQ τ π π m F( Z, ) ( ) ( ) ( ) Pr avr un ida dll ordin di grandzza dl fattor f, possiamo calcolar l intgral nll approssimazion di lttron rlativistico (ovvro m 0) trascurando l corrzioni coulombian: Corrzion dovuta all intrazioni coulombian tra l lttron l atomo (calcolabili numricamnt) m Q 5 5 Q f ( Q ) d 0 0 Lzion - A. Andrazza - a.a. 04/5

14 Confronto con i dati sprimntali Nlla maggior part di casi, il dcadimnto , è in comptizion con dcadimnti su altri stati con dcadimnti pr cattura lttronica, quindi la larghzza di dcadimnto si dv ricavar dalla vita mdia, tnndo conto di qusti fattori: ( ) τ Γ Γ Infin, invc dlla vita mdia, è tradizion usar il tmpo di dimzzamnto: t ln BR + P C / τ frazion di dcadimnti β in 0 + frazion di dcadimnti pr C La costant di Frmi nl dcadimnto β si ricava dunqu a partir dal valor misurato ft: ft f ( Z,Q) t / ( BR + P C ) π ln G 5 β m 4 Lzion - A. Andrazza - a.a. 04/5

15 Confronto con i dati sprimntali (Phys. Rv. C79 (009) 0555) Corrzioni -nuclo struttura nuclar. 5 Lzion - A. Andrazza - a.a. 04/5

16 Dtrminazion di G F Utilizzando i valori dlla tablla ottniamo il valor G β (.496 ± ) 0 5 GV - ch è chiaramnt incompatibil con qullo dal dcadimnto dl muon: G F ( ± ) 0 5 GV - Alcuni spunti di riflssion: C vin calcolata. Prché è difficil da misurar sprimntalmnt? Prché è più difficil usar i dcadimnti: n p+ - +? π + π ? 6 Lzion - A. Andrazza - a.a. 04/5

17 Dcadimnti dl quark s Nllo studio di dcadimnti dboli dl quark s, si sgu lo stsso approccio dl dcadimnto β, in cui si crca di trovar transizioni in cui sia possibil calcolar gli lmnti di matric tra gli stati inizial final. I calcoli sono mno affidabili prché si tratta di applicar l ipotsi CVC ad SU() di sapor, ch è violata a causa dlla massa dl quark s. Pr considrar solo ordini di grandzza, possiamo provar a limitarci al modllo a spttator : il quark s dcad, mntr il suo compagno nl mson sta a guardar: 7 ( 0 K π ) ( ) 5 G m m + s K Γ + + G s 0. 0 GV - 5 9π π approssimazion pr m s m K m π MV τ 0 KL ( 5.6 ± 0.0) 0 8 s ( )% BR( K 0 L π + ) 40.55± 0. Lzion - A. Andrazza - a.a. 04/5

18 Dcadimnti dl quark s Il modllo a quark spttator non prmtt di far prvisioni quantitativ: bisogna tnr in conto in qualch modo dll funzioni d onda. srcizio: applicar lo stsso procdimnto al dcadimnto analogo dl K -. K0 S π - π 0 η η K + QT +S/ π + T La ragion dlla diffrnza la possiamo trovar applicando SU() di sapor all otttto di msoni psudoscalari. Oltr al tripltto di corrnti di isospin, si possono dfinir altri du tripltti di corrnti consrvat scondo CVC: + µ + µ U uγ s V dγ s µ µ µ µ ( γ γ ) ( γ γ ) U u u s s V d d s s µ µ U sγ u V sγ d K - Qusto driva dal fatto ch in SU() sistono tr sottogruppi SU(). Applicando l formul di SU(), abbiamo ch i dcadimnti dboli considrati sono mdiati dagli lmnti di matric: π 0 π U + + U K K 0 + K 0 8 Lzion - A. Andrazza - a.a. 04/5

19 L angolo di Cabibbo Facndo l cos pr bn si ottin: G s 0.5 ± G F I dati sprimntali ci forniscono l informazion ch G β + G s G F ch può anch vnir riscritta introducndo un angolo θ C (angolo di Cabibbo): G F cos θ C +G F sin θ C G F Ciò prmtt di consrvar l univrsalità dll intrazioni dboli assumndo ch la corrnt adronica sia dlla forma: ( ) " uγ µ γ 5 d uγ µ γ 5 ( )( cosθ c d + sinθ c s) G β /G F G s /G F 9 Lzion - A. Andrazza - a.a. 04/5

20 Flavour Changing Nutral Currnts sist tuttavia un altro input sprimntal di cui tnr conto: 0 9 BR K µµ ± 0. 0 ( L ) ch possiamo sprimr anch com rapporto di larghzz di dcadimnto: ( ) 0 + Γ K L µ µ Γ( K µ µ ) Qusto ci dic pr prima cosa ch non sist una corrnt adronica dbol dl tipo sin cos d µ θc θc γ ( γ ) s 5, drivant dal trmin d µ ʹ γ ( γ ) d 5, ʹ altrimnti ci aspttrmmo di rapporti tra l larghzz com: Γ Γ 0 + ( K L µ µ ) ( ) + + K µ µ O() 0 Lzion - A. Andrazza - a.a. 04/5

21 Flavour Changing Nutral Currnts L cos non vanno pr nint bn nanch con la corrnt di Cabibbo u ( γ )( cosθ c d sinθ s) γ µ + 5 in quanto lo scambio di un quark u può comunqu mdiar l annichilazion dlla coppia quark-antiquark dl K 0 : c Γ Γ g cosθ c g sinθ c 0 + ( K L µ µ ) ( ) + + K µ µ g O( g ) O(0 4 4 ) g sinθ c g Lzion - A. Andrazza - a.a. 04/5

22 Mccanismo di Glashow-Iliopolous-Maiani Si ipotizza l sistnza di un nuovo quark c La corrnt adronica è dscritta da una matric di mixing: " ( u c ) γ cosθ µ ( γ 5 ) c sinθ % c " d % $ ' $ sinθ c cosθ c ' # &# s & nl procsso di annichilazion dv intrvnir anch il diagramma con il quark c, ch intrfrisc distruttivamnt con il quark u g cosθ c g sinθ c + -g sinθ c g cosθ c s l mass di u c fossro uguali ci sarbb una cancllazion satta tra i du diagrammi. Di fatto la diffrnza di massa produc uno sbilanciamnto proporzional a 4 ( m m ) m O(0 ) c u ch riporta il valor dlla larghzza di dcadimnto in una rgion comparabil con qulla ossrvata. W Lzion - A. Andrazza - a.a. 04/5

23 GIM l oscillazion dl K 0 L oscillazion dl K 0 sono dscritt dall hamiltoniana fficac: i i m0 Γ0 m Γ H * i * i m Γ Γ m0 0 I trmini m sono dovuti a diagrammi a scatola. L intrazioni forti sono inglobata ni du paramtri f K O(00 MV) B K O() Prdizion dlla massa dl charm (Gaillard L, 97): Δm K m 4 m ( c m u )cos θ c πm µ G F f K sin θ c m K m µ 8π Γ( K + µ + ) m G F f K m K * B π K V qs V qd ( ) m q Lzion - A. Andrazza - a.a. 04/5

24 Matric Cabibbo-Kobayashi-Maskawa Aggiungndo la trza famiglia di quark ci ritroviamo ad avr una matric complssa x ch gnralizza la matric con l angolo di Cabibbo: Vud Vus Vub d V CKM Vcd Vcs Vcb J ( ) µ had u c t γ µ ( 5) γ VCKM s + c.c. Vtd Vts V tb b L unitarità dlla matric di mixing dscriv du ossrvazioni sprimntali: univrsalità di dcadimnti dboli: ogni quark può ssr visto com accoppiato ad una mistura dgli altri con la corrtta normalizzazion. V ub V * ub + V cb V * cb + V tb V * tb + ( V V ) bb sopprssion dll FCNC, ottnuta attravrso il mccanismo di GIM. i u, c, t V us V * ud + V cs V * cd + V V ts * td + ( V V ) 0 ds 4 Lzion - A. Andrazza - a.a. 04/5

25 Contggio di paramtri Dtrminiamo il numro di paramtri ch dscrivono la fisica dlla matric CKM: una gnrica matric complssa NxN ha N paramtri rali l condizioni di unitarità danno: N vincoli rali (diagonal principal) ½ N(N-) vincoli complssi (annullamnto di trmini non diagonali) la fisica non cambia s ridfiniamo l fasi di quark N- paramtri non fisici (una fas global non cambia la matric!) il total di paramtri libri divnta quindi (N-) ½ N(N-) angoli di rotazion rali; ½ (N-)(N-) fasi complss. Pr N abbiamo un unico paramtro, l angolo di Cabibbo Pr N abbiamo tr angoli di mixing d una fas complssa: possibilità di dscrivr la violazion dlla simmtria CP 5 Lzion - A. Andrazza - a.a. 04/5

26 Appndic: paramtrizzazion di Wolfnstin Tra l possibili paramtrizzazioni dlla matric CKM, qulla dovuta a Wolfnstin mtt in vidnza la struttura grarchica ossrvata sprimntalmnt: il mixing tra l famigli diminuisc con la gnrazion; è tanto più piccolo, quanto più ci si allontana dalla diagonal principal. Il paramtro d ordin dllo sviluppo è λ sinθ c gli altri trmini sono di ordin : A 0.8 ρ + η 0.4 la fas complssa, si traduc in un valor non nullo di η. V CKM λ λ Aλ ( ρ iη) λ λ Aλ A λ ( ρ + iη) A λ 6 Lzion - A. Andrazza - a.a. 04/5

27 Appndic: Dtrminazion dgli lmnti CKM V ud dcadimnti dboli suprprmssi V ud ± V us dcadimnti K (K 0,+ π -, ) V us 0.00 ± V cs dcadimnti dirtti W cs Γ( W cs) Γ W µ V ( ) cs V ± 0.0 srcizio: dtrminar la vita mdia dl c cs 7 Lzion - A. Andrazza - a.a. 04/5

28 Appndic: Dtrminazion di V cd V cd vin dtrminato da dp inlastic scattring di nutrini: funzioni di struttura V cd BR(c µx) pr il quark d si sfrutta il fatto ch i dcadimnti dl charm sono la principal font di vnti con du muoni nllo stato final; la dipndnza dalla funzion di struttura si può ridurr confrontando divrsi procssi divrsi brsagli. V cd 0.4 ± Lzion - A. Andrazza - a.a. 04/5