f x x kx 9, con k Z. f x, determinandone i punti stazionari e di flesso

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1 I4-Esame di Stato di Istruzioe secodaria superiore Idirizzi:LI, EA-Scietifico LI-Scietifico Opzioe scieze applicate LI5-Scietifico-Sezioe ad idirizzo sportivo. (Testo valido ache per le corrispodeti sperimetazioi quadrieali) roblema () Cosideriamo la fuzioe f : così defiita: f x x x 9, co Z.. Detto il grafico della fuzioe, verifica che per qualsiasi valore del parametro la retta r, tagete a el puto di ascissa e la retta s, tagete a el puto di ascissa, si icotrao i u puto M di ascissa.. Dopo aver verificato che = è il massimo itero positivo per cui lordiata del puto M è miore di f x, determiadoe i puti stazioari e di flesso, studia ladameto della fuzioe tracciadoe il grafico.. Detto T il triagolo delimitato dalle rette r, s e dallasse delle ascisse, determia la probabilità che, x ; y allitero di T, questo si trovi al di sopra di (cioè si abbia preso a caso u puto y f x per tale puto ). 4. Nella figura è evideziato u puto N e u tratto del grafico di. La retta ormale a i N (vale a dire la perpedicolare alla retta tagete i quel puto) passa per lorigie degli assi O. Figura Il grafico di possiede tre puti co questa proprietà. Dimostra, più i geerale, che il grafico di u qualsiasi poliomio di grado > o può possedere più di - puti ei quali la retta ormale al grafico passa per lorigie. () La figura è tratta dal testo miisteriale pubblicato all idirizzo e resta duque di proprietà itellettuale dell autore del testo. Luigi Lecci: agia

2 Risoluzioe. Idichiamo co A il puto del grafico di ascissa. oiché f ()= 9 risulta A(;9). Aalogamete, detto B il puto del grafico di ascissa risulta B(; f ())= B(;8+). Ricordiamo che lequazioe della retta tagete al diagramma della fuzioe y=f(x) el puto ( x ; f(x )), co x apparteete al domiio di defiizioe, se la fuzioe è derivabile i x è y- f(x )= f(x )(x-x ). Nel caso i esame la fuzioe è u poliomio ed è defiita e derivabile su tutto R, calcoliamo duque la fuzioe derivata prima e i rispettivi coefficieti agolari delle due rette tageti richieste. f, f f x x : r y f f x r : y x 9, per il puto A; s : y f f x. er le equazioi delle rette tageti si ha: s : y x, per il puto B. Si determiao le coordiate del puto M di itersezioe tra r ed s risolvedo il sistema formato dalle equazioi delle due rette: r : y x 9 x x 9 x, duque risulta s : y x y x 9 y 9 M ; 9.. er rispodere alla prima parte del quesito si deve risolvere la disequazioe ym, cioè 9 ellicogita ed avere presete che Z. La disequazioe è soddisfatta per i valori di tali che ed evidetemete il più grade umero itero che soddisfa la disuguagliaza è =. f x x x. rocediamo co lo studio della fuzioe 9 Della fuzioe si devoo determiare i puti stazioari, il flesso e tracciare il grafico. I puti stazioari soo quelli i cui si aulla la derivata prima. oiché la fuzioe derivata prima è f x x, i suoi zeri soo x, x. Soo questi i soli puti stazioari della fuzioe. ossiamo classificarli studiado il sego della derivata prima el domiio. Risulta f x per i valori x, quidi x è puto di miimo relativo e x puto di massimo relativo e i valori soo f 8 8, , f 8 9, er quato cocere il puto di flesso, ricordiamo che ogi cubica ha u solo puto di flesso e la sua ascissa è il puto i cui si aulla la derivata secoda. Nel ostro caso, poiché la fuzioe derivata secoda è f x x, si deduce che il puto di flesso è x=, co f()=9; duque F(;9). 6 Questo puto coicide co il puto A(;9) idividuato prima. recisiamo che trattasi di u flesso discedete perché la derivata secoda è positiva per x< e egativa per x>. Luigi Lecci: agia

3 er quato cocere il sego della fuzioe, avedo precisato il valore del miimo e quello del massimo relativi e otato che la fuzioe è strettamete decrescete i ciascuo degli itervalli ;, ;, oché strettamete crescete ellitervallo ;, possiamo affermare che la fuzioe ammette u solo zero x= e che risulta f x f x x e x. ossiamo altresì affermare che il umero è irrazioale perché le evetuali radici razioali dellequazioe f x, cioè dellequazioe x x9 vao ricercate tra i divisori del termie oto e quidi ellisieme ;; ;; 9;9, ma essuo degli elemeti di questo isieme soddisfa lequazioe. ossiamo forire u primo valore approssimato del puto osservado che f, f 5 e ivocado il teorema di esisteza degli zeri per ua fuzioe reale di variabile reale f:[a;b]r, defiita i u itervallo chiuso e limitato, che assuma agli estremi dellitervallo valori discordi. Il teorema di esisteza degli zeri afferma che ua tale fuzioe ammette iteramete allitervallo almeo uo zero. Nel caso i oggetto la fuzioe, avedo derivata prima egativa ellitervallo cosiderato, è strettamete decrescete e quidi lo zero è uico. Scriviamo duque che <<. er completezza di iformazioi precisiamo che lim x f x e lim x f x, quidi la fuzioe o ammette massimo, é miimo assoluti e il diagramma o ammette alcua retta asitotica (). Nel corso dello sviluppo del quesito. avremo modo di ritorare sul valore di e forire ulteriori iformazioi. recisiamo che le due rette tageti r, s hao equazioi r :y=x+9, s :y=-x+. I Figura è riportato parzialmete il diagramma della fuzioe co i puti particolari fi qui determiati e le due rette tageti r, s.. Il Triagolo T ha come vertici il puto M, di itersezioe delle due tageti, le cui coordiate soo (/;9/), i puti C(-9;) e D(/;), rispettivamete itersezioi delle rette r, s co lasse delle ascisse. Calcolo della probabilità richiesta Figura Dove si deve trovare il puto da predere a caso el triagolo CDM? Defiiamo leveto: E="Il puto ; x y del piao cartesiao preso iteramete al triagolo CDM ha coordiate tali che y f x Si deve calcolare la probabilità (E). ". () Ricordiamo che ogi fuzioe poliomiale y= (x), co >, è defiita su tutto lasse reale e il suo diagramma o ammette alcua retta asitotica per x. Luigi Lecci: agia

4 Strategia risolutiva Osservado la Figura si evice che deve essere itero al triagolo mistilieo MAB delimitato dai segmeti MA, MB e dallarco di curva AB, oppure itero al triagolo mistilieo BQD delimitato dallarco di curva BQ, dal segmeto QD e dal segmeto BD. La probabilità delleveto E è data dal rapporto () E Area BQD Area MAB Area MCD mistil. mistil. triag. er il calcolo della probabilità idicata soo ecessari i segueti elemeti: a) Larea S del triagolo CDM; b) Larea S del triagolo MAB; c) Larea S della regioe fiita di piao delimitata dallarco di e dalla retta t:y=9, co x; d) Larea S del triagolo BBD, dove B(;) è la proiezioe ortogoale di B sullasse x; e) Larea del sottografico S 4 della fuzioe relativa allitervallo [x B ;]. Ua volta trovati gli elemeti idicati la probabilità cercata sarà E Elaborazioi per determiare gli elemeti idicati 9 S xd xc ym 9 a) b) S x x y y 84 B A M A 9 9 c) S x x 99dx x 4 x x x dx 4 4 S S S S 4. 8 d) S xd xb yb 9 4 e) (Aalisi umerica) er il calcolo di S 4 abbiamo bisogo di cooscere il valore dellascissa del puto Q. ossiamo determiare il valore co la precisioe desiderata applicado il metodo di bisezioe. Nella tabella riportata di seguito soo idicate le elaborazioi ecessarie eseguite co Excel. Come si opera? a. Si sa che <<, co f ()>, f ()<. oiamo x =, x = b. Si sceglie il puto medio x m =(x + x )/ e si calcola f (x m ). Se f (x m )> allora vuol dire che x m << e si cotiua poedo x = x m, x =, altrimeti sarà << x m e si cotiua poedo x =, x = x m. Si determia il uovo puto medio x m =( x + x )/ Figura c. Si calcola f (x m ) e si osserva il S () La formula che segue si ispira al calcolo della probabilità delleveto co il metodo Mote Carlo. Luigi Lecci: agia 4

5 suo sego per stabilire i quale dei due itervalli ]x ; x m [, ] x m ; x [ ricade. Deciso i quale dei due itervalli idicati si trova si procede iterativamete co lalgoritmo di ricerca per defiire itervalli sempre più ristretti coteeti. Quado arrestare la ricerca? d. I due estremi x, x co laumetare di si avviciao tra loro sempre di più e da u certo puto i poi si oterà che essi avrao la stessa parte itera e le prime cifre della parte decimale coicideti. Il umero di cifre decimali coicideti per i due estremi permette di stabilire la precisioe del valore di. er esempio, suppoiamo che si sia deciso di determiare u valore approssimato per affetto da errore iferiore a -,co aturale positivo. Che fare? e. Sia l= x - x =-= lampiezza dellitervallo di ricerca iiziale. Dopo passaggi si sarà determiato litervallo] x ; x [ coteete il puto e lampiezza di questo itervallo sarà x ; x x x l Osserviamo che tutti i puti estremi degli itervalli coteeti che via via si determiao soo umeri razioali perché lo soo i due puti iiziali x =, x = e quidi soo razioali tutti i puti medi che si determiao ellapplicazioe x x dellalgoritmo di ricerca, quidi è razioale ache il puto medio xm x x dellultimo itervallo, pertato il valore cercato è diverso da xm. Al termie della ricerca oi vogliamo predere come valore rappresetativo di quello del puto medio dellultimo itervallo determiato coteete ; questa decisioe permette di affermare che lerrore di cui sarà affetto il valore approssimato x di sarà miore della semiampiezza dellultimo itervallo, quidi m err xm l l (4) (el caso specifico è l=) l Impoedo che sia soddisfatta la disuguagliaza e risolvedola ellicogita si stabilisce dopo quati passaggi il processo iterativo avrà termie. Risoluzioe della disequazioe l l l log l log (*) Duque sarà il più piccolo umero aturale verificate la (*). er essere cocreti, el caso i esame, suppoiamo di voler forire uapprossimazioe di co errore iferiore a,= -. Dovrà risultare log 9, , ; il primo valore utile per sarà 9, duque occorrerao 9 passaggi. (4) Nel caso specifico è l=, ma se litervallo iiziale compredete fosse ]a;b[, co a<b la maggiorazioe per letità dellerrore sarebbe quella idicata. Luigi Lecci: agia 5

6 Nella tabella che segue soo riportate le elaborazioi della ricerca effettuata co il foglio elettroico Excel, avedo effettuato 6 passaggi. Osserviamo che al oo passaggio litervallo coteete lo zero è ],88;,444[ e la sua semiampiezza è /=(,444-,88)/=9, <,, come apputo ci si aspettava. Chiudiamo queste cosiderazioi facedo otare che dal 5 passaggio gli estremi dellitervallo coteete hao coicidete la parte itera e le prime quattro cifre decimali. Assumedo =,4 possiamo affermare che le quattro cifre decimali soo esatte. Ebbee, questo sarà il valore che oi assumeremo come approssimazioe dellascissa del puto Q del grafico: Q(,4;) per i calcoli ecessari che ci permetterao di calcolare la probabilità richiesta. Ricerca del valore approssimato di co il metodo di bisezioe f x x x ( ) 9 a= b= = x m x x x m =(x +x )/ f(x m ) l=x -x,,,5-4,5,,,5,5 -,465,5,,5,5,5997,5,5,5,875,7997,5 4,875,5,875,967,65 5,875,5,475,794,5 6,475,5,4875 -,97,565 7,475,4875,88,479,785 8,88,4875,444 -,78,96 9,88,444,9578,,95,9578,444,9746,444,9766,9746,444,999,7,488,999,444,4 -,,44,999,4,45 -,44, 4,999,45,48,84,6 5,48,45,46,7,5 6,46,45,446 -,7,5 ossiamo procedere ora co il calcolo dellarea del sottografico della fuzioe idicato co S 4.,4 4,4 x x S4 x x 9dx 9 x 4 7,47 Calcolo della probabilità richiesta 6, 9477,588,6, 5,5 9 E S S S S 4 S 8 7, :,8847 8,847% Luigi Lecci: agia 6

7 4. Cosideriamo il poliomio di grado x a x a x a x... a x a. Comè oto i poliomi soo fuzioi cotiue e dotate di derivata di qualsiasi ordie su tutto R e quidi il corrispodete diagramma ammette retta tagete i u qualsiasi puto (x ; (x )). Lequazioe della tagete è, essedo x il valore della derivata prima del poliomio i x. t : y x x x x o La ormale al diagramma della fuzioe poliomio el puto (x ; (x )) esiste per ogi puto del diagramma stesso, perché come precisato esiste la derivata prima i ogi puto x R e se risulta x la retta ormale avrà equazioe : y x x x (*) x Evidetemete se x è u puto stazioario, poiché la derivata prima si aulla, la retta tagete al diagramma della fuzioe x ello stesso puto è parallela allasse delle ascisse e quidi la corrispodete ormale sarà ua retta parallela allasse delle ordiate che avrà equazioe x=x, che o si può porre ella forma esplicita (*). er altro, ua tale ormale passa per lorigie degli assi solo se coicide co lasse y, quidi solo se il puto x =. er tutti gli altri evetuali puti stazioari le corrispodeti ormali al diagramma o passerao certamete dallorigie O degli assi cartesiai. E appea il caso di precisare che i poliomi x i cui diagrammi avrao come ormale el puto x= proprio lasse y soo quelli la cui derivata prima si aulla i x=, per i quali cioè risulta, e quidi soo solo i poliomi di grado maggiore o uguale a macati del termie di primo grado (a - =). Cosideriamo duque lisieme dei puti (x ; (x )) del diagramma della fuzioe, co x e per i quali si abbia x. Affiché la ormale el puto passi dallorigie degli assi la sua equazioe deve essere soddisfatta dalla coppia (;), quidi deve sussistere luguagliaza x x x, che diveta x x, si trasforma ellequazioe equivalete x x x (*) x, che acora, per lipotesi x Lequazioe (*) otteuta ellicogita x ha grado pari alla somma dei gradi dei due x, che soo rispettivamete e -, quidi il grado dellequazioe -. poliomi x, Dal teorema fodametale dellalgebra si sa che u poliomio a coefficieti reali di grado ammette el campo complesso esattamete radici e le radici complesse o reali soo preseti a coppie (se z =a+ib è radice lo è ache il umero coiugato z =a-ib), pertato lequazioe (*) ammette certamete - radici el campo complesso e se di esse essua è complessa allora ammetterà - radici reali. Questa coclusioe è quato el quesito 4 della prova si pretedeva di dimostrare. E bee precisare che i -evetuali puti o è detto che siao distiti, alcue radici dellequazioe (*) potrebbero avere molteplicità maggiore di ; i questo caso, il umero massimo di puti aveti la proprietà dichiarata sarebbe miore di -. Luigi Lecci: agia 7

8 Osservazioe particolarmete importate Abbiamo dedotto la (*) ricercado puti (x ; (x )) del diagramma della fuzioe, co x e per i quali si abbia x. ossiamo però otare che se il puto x= è stazioario, quidi se risulta allora lequazioe (*) è soddisfatta ache da x =, quidi el umero massimo -di puti è compreso ache il puto (; ()). Nota aggiutiva Nel testo si afferma che "il grafico possiede tre puti co questa proprietà". No si tratta di ua proprietà che il Cadidato deve dimostrare; si tratta semplicemete di uiformazioe sulle proprietà specifiche del poliomio x x x 9. roviamo i questa parte che laffermazioe è vera. Omettiamo i calcoli ecessari per otteere la forma fiale dellequazioe (*) corrispodete. Lequazioe è la seguete x 4x 7x x 9 5 Si può ricooscere agevolmete la proprietà rappresetado il diagramma della fuzioe poliomiale e "osservare" che iterseca lasse delle ascisse i tre puti distiti. Il diagramma è riportato i Figura Le ascisse dei puti A, B, C soo rispettivamete x A -,558, x B,5954, x C,86. Figura Luigi Lecci: -giu-8 Luigi Lecci: agia 8