Nel 1785 Coulomb verificò che la forza che si esercita fra due cariche puntiformi q 1 e q 2 vale in modulo,

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1 Elettostatica Le foze gavitazionali costituiscono una delle categoie fondamentali delle foze pesenti in natua. Esse si esecitano fa due oggetti dotati di massa e hanno la caatteistica di essee sempe attattive. Un alta categoia fondamentale di foze è quella delle foze elettomagnetiche : esse sono esponsabili della stuttua della mateia come noi la conosciamo. Gli atomi sono costituiti da elettoni e nuclei che inteagiscono mediante foze elettiche; la stuttua dei cistalli dipende dalle foze elettiche che si esecitano fa gli atomi. Causa di queste inteazioni è una popietà divesa dalla massa, la cosiddetta caica elettica: speimentalmente si veifica che esistono due tipi di caica elettica, convenzionalmente chiamati positiva e negativa. L esistenza di due tipi di caiche fa si che le foze elettomagnetiche possano essee attattive o epulsive, poiché caiche dello stesso tipo si espingono, mente caiche di tipo opposto si attaggono. Le dimensioni degli oggetti sono la conseguenza di questo equilibio fa attazioni e epulsioni. Chiameemo foze elettiche le foze che si esecitano fa copi caichi in quiete, e foze magnetiche quelle che si esecitano fa caiche in moto. Poiché il concetto di quiete o moto dipende dal sistema di ifeimento adottato, l inteazione elettica ossevata in un sistema di ifeimento fa paticelle caiche in quiete potà venie descitta come inteazione magnetica in un sistema di ifeimento ispetto a cui le paticelle sono in moto. Pe questa agione le foze elettiche e le foze magnetiche non sono igidamente sepaabili e si pefeisce palae di foze elettomagnetiche. L elettostatica si occupa delle foze fa paticelle caiche in quiete o in moto con velocità abbastanza piccola da endee tascuabile l inteazione magnetica. La legge di Coulomb Nel 785 Coulomb veificò che la foza che si esecita fa due caiche puntifomi q e q vale in modulo, F costante qq dove q q è il valoe assoluto del podotto delle caiche e la loo distanza. Il valoe della costante dipende dal sistema di unità di misua scelto e dal mezzo inteposto fa le due caiche. Nel S.I. l unità di misua della caica è il Coulomb (C), che può essee definito sulla base della caica e dell elettone, pai a e.6-9 C ( la caica dell elettone è convenzionalmente scelta come negativa). In questo sistema di unità di misua, le dimensioni della costante sono: [costante] m /C Se il mezzo inteposto fa le due caiche è il vuoto, il valoe della costante è -9 m costante 9. C Pe semplificae alcune fomule dell elettostatica si usa espimee la costante elativa al vuoto nella foma

2 costante 4πε dove e pende il nome di costante dielettica ( o pemettività elettica) del vuoto e vale ε C m Con queste notazioni,la legge di Coulomb elativa a due caiche puntifomi nel vuoto si scive F 4πε q q con F attattiva se q e q hanno segno opposto e epulsiva se q e q hanno lo stesso segno. Se il mezzo in cui si tovano le caiche q e q non è il vuoto, la legge di Coulomb si scive: F 4πεK q q dove K è un numeo puo che pende il nome di costante dielettica elativa del mezzo inteposto fa le caiche. Pe l'acqua a C K 8.4. Il campo elettico La legge di Coulomb espime la foza che si esecità fa due caiche a distanza. Come la legge di gavitazione, che espime la foza che si esecita fa due masse a una ceta distanza, la legge di Coulomb descive le caatteistiche della cosiddetta azione a distanza. In questo schema concettuale, la foza che si esecita su una caica dipende dalla posizione di una seconda caica. Si può tuttavia ifomulae la legge di Coulomb in modo che la foza che agisce su una caica dipenda dalla posizione di tale caica. Consideiamo a tal fine l inteazione fa due caiche puntifomi q e Q e scegliamo (Fig E) un sistema di ifeimento in qui la caica Q sia nell oigine y q F z Fig E La foza che si esecita su q dipende dalla sua posizione. Viene mostato il caso di inteazione epulsiva La foza F che Q esecita su q si può scivee (in modulo, diezione e veso F 4πε qq x

3 dove è un vesoe dietto come il aggio che espime la posizione di q. Questa equazione può iscivesi Q F q 4πε (x) e può essee letta nel seguente modo: la pesenza di Q modifica le popietà dello spazio cicostante, nel senso che, in assenza di Q, la caica q in non isentiebbe di alcuna foza. La pesenza di Q ende lo spazio cicostante sede di un campo di foze nel senso che la caica q isente di una foza che dipende dalla sua posizione. Questa popietà dello spazio, dovuta alla pesenza di Q, si chiama campo elettico e la (x) si scive F qe (xx) dove Q E E( ) 4πε è il campo elettico dovuto a Q, che espime quantitativamente le popietà che lo spazio assume a causa della pesenza di Q. Se la caica Q anziché essee nell oigine è in un punto (Fig E), la (x) si genealizza in F q 4πε Q y Q q F z x Fig E. La foza F (supposta epulsiva) che una caica Q in esecita su una caica q in

4 con Q E 4 ) ( πε Nel caso che siano pesenti n caiche Q, Q,..., Q n ispettivamente nei punti,,... n, il campo elettico complessivo è la somma vettoiale dei campi dovuti a ciascuna caica ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( E E E E E n n i i L con 4 ) ( Q E πε 4 ) ( Q E πε n n n n Q E 4 ) ( πε e la foza che agisce su q è ) ( ) ( qe F Di qui si vede che se q C E F, pe cui il campo elettico può anche essee definito come la foza che agisce su una caica unitaia esploatice, una caica cioè che ivela e misua il campo E attaveso la foza che agisce su di esse quando viene posta in vaie posizioni. La fomulazione della legge di Coulomb in temini di campo è del tutto equivalente a quella che fa ifeimento all azione a distanza. In elettostatica non esistono vantaggi sostanziali, ma, come vedemo il concetto di campo è suscettibile di genealizzazioni ed estensioni impensabili in uno schema di azione a distanza. Pe queste agioni esso è stato intodotto fin d oa. appesentazione del campo elettostatico Abbiamo visto che si può palae di campo ogni volta che una zona dello spazio possiede delle popietà che si manifestano come una foza che agisce su una paticella caica. L intensità, la diezione e il veso di questa foza dipendono dalla posizione in cui viene posta la paticella esploatice di caica q, cioè F() F e poiché q F E E() E cioè le caatteistiche del campo (intensità, diezione e veso) vaiano da punto a punto. Queste caatteistiche possono essee appesentate, come oiginaiamente poposto da Faaday, mediante le cosiddette linee di foza.

5 Una linea di foza è una cuva oientata dello spazio che ha come tangente in ogni punto il vettoe campo elettico in quel punto (Fig E3) Fig E3. Il campo elettico è tangente a ogni punto di una linea di foza Natualmente esistono infinite linee di foza in una zona di spazio in cui sia pesente un campo elettico. Di solito basta disegnane solo alcune pe avee una appesentazione intuitiva dell andamento di E(), come mostato in Fig E4. Fig E4. Bastano poche linee di foza pe mostae l andamento di E Se la appesentazione del campo mediante linee di foza mosta intuitivamente e globalmente l andamento di E in temini di diezione e veso, non dice nulla in meito alle sue vaiazioni di intensità.

6 Occoe dunque completae la appesentazione intoducendo un secondo citeio, sempe dovuto a Faaday, in base al quale l intensità del campo è popozionale alla densità delle linee di foza. Dove cioè le linee di foza si avvicinano, il campo è più intenso di dove si allontanano. Ad esempio, nella Fig. E4, il campo nella zona a sinista è più intenso che non nella zona di desta dove le linee di foza si allontanano. La Fig. E5 mosta, in temini di linee di foza, i campi dovuti ad alcune distibuzioni di caica. Si noti che le linee di foza hanno oigine dalle caiche positive e teminano nelle caiche negative. Fig. E5 Campi elettici dovuti ad alcune distibuzioni di caiche. Lavoo del campo elettico Abbiamo già intodotto in meccanica il concetto di lavoo compiuto da un campo di foze. In paticolae abbiamo definito il lavoo infinitesimo: dl F( ) d F( ) qe( dl qe( ) d dl E E( ) d Oa, essendo ) si ha La quantità Pende il nome di lavoo infinitesimo del campo elettico ed è ovviamente popozionale al lavoo compiuto dal campo di foze sulla caica q: dl qdl E Poichè la foza di Coulomb è consevativa, il lavoo dl può essee espesso come l opposto della vaiazione di enegia potenziale

7 dl dv qq V ( ) 4πε Petanto dl E dl q dv q V d du q avendo posto U V q La quantità U pende il nome di potenziale del campo elettico e il isultato appena ottenuto mosta che il lavoo del campo elettico è uguale alla vaiazione di potenziale. Questo isultato vale anche nel caso in cui il campo elettico sia dovuto a una qualunque distibuzione di caiche. In questo caso il potenziale U è la somma dei potenziali dei campi elettici geneati dalle singole caiche. La validità di queste conclusioni è limitata all elettostatica. Si possono estendee questi isultati al caso in cui la paticella di caica q si sposti da una posizione iniziale i a una posizione finale f. Indipendentemente dalla taiettoia seguita, il lavoo compiuto dal campo di foze è L V ( ) V( ) i f e quello compiuto dal campo elettico L E V ( ) V( ) f q i U ( ) U( ) f i Poiché l enegia potenziale nel SI si misua in J e la caica q in C, l unità di misua del potenziale del campo elettico è il J/C, che pende il nome di Volt (V): VJ/C Concludiamo ossevando che il valoe assoluto del potenziale U in un punto non ha alcun significato fisico. Ciò che è fisicamente ( cioè, speimentalmente) deteminabile è il lavoo del campo elettico (quello che ad es, viene fattuato nella bolletta pe la fonitua di enegia elettica) dunque la diffeenza di potenziale.

8 Dipolo elettico A patie dalla definizione di campo elettico dovuto a una caica puntifome Q Q E( ) 4πε e del coispondente potenziale U( ) Q 4πε si può, in linea di pincipio, calcolae campo e potenziale dovuti a una qualunque distibuzione di caica, ma, in patica, questi calcoli possono isultae estemamente complicati. Capita spesso, tuttavia, che la conoscenza dettagliata del campo o del potenziale in ogni punto dello spazio non sia paticolamente inteessante, essendo sufficiente la loo conoscenza a distanze elativamente gandi dalla distibuzione di caica. Questo accade, ad esempio, quando si pala dell inteazione fa atomi e molecole. Si considei il caso di uno ione, ad esempio Na + : esso è costituito da un nucleo di caica positiva pai a e, (dove e è il valoe assoluto della caica dell elettone) concentata in un volume di aggio dell odine di -5 m, e immesa in una nuvola di caica negativa, complessivamente pai a e, distibuita su un volume di aggio dell odine di - m. A gandi distanze, i dettagli della distibuzione di caica sono iilevanti e il campo è sostanzialmente quello dovuto alla caica netta e, che è descitto dalla () con Q e. Molte molecole hanno caica totale nulla, ma la paticolae distibuzione di caica (positiva e negativa) daà comunque luogo a un campo elettico. Consideiamo il caso di una distibuzione costituita da due caiche puntifomi +Q e Q poste a distanza a. Questa distibuzione pende il nome di dipolo elettico e il potenziale a distanza >> a può essee facilmente calcolato intoducendo il vettoe p detto momento di dipolo elettico, il cui modulo è: p Qa ed è dietto dalla caica Q alla caica +Q (Fig E6) -Q Q p Con ifeimento alla Fig E7, il potenziale di dipolo elettico in, vale V ( ) 4 πε p Come si vede, il potenziale a gandi distanze non dipende dai dettagli della distibuzione di caica, ma solo da p.

9 Fig E7 Pe il calcolo del potenziale dovuto a un dipolo elettico ( >> a ) Se ad esempio si addoppiano i valoi di ±Q e si dimezza la loo distanza, il potenziale a gandi distanze esta invaiato. Il modulo p del momento di dipolo si misua, nel SI, in C m. Ad esempio, la molecola d acqua può essee appossimata con un dipolo il cui momento vale in modulo p 6. 3 C m ed è dietto come in Fig E8. Fig E8 Il momento di dipolo elettico di una molecola d acqua Se oa un dipolo elettico viene immeso in un campo elettico esteno E unifome (Fig E9), le foze che si esecitano sulle caiche +Q e Q, tendeanno a fae uotae il dipolo in modo da allinealo al campo. L enegia potenziale che il dipolo in tal caso possiede, vale: U p E che è minimo pe p paallelo a E.

10 Fig E9 Un dipolo in un campo elettico unifome E tende a uotae in modo da potae p paallelo a E Il teoema di Gauss Calcolae il campo elettico dovuto a una distibuzione di caica sulla base dell espessione deivata dalla legge di Coulomb può essee molto complicato. In condizioni di paticolae simmetia può essee utilizzato il cosiddetto teoema di Gauss, la cui validità dipende sostanzialmente dal fatto che il campo elettico di ogni caica puntifome diminuisce con il quadato della distanza. Consideiamo una supeficie infinitesima ds all inteno di un campo elettico e sia n il vesoe ad essa nomale. Se E è il valoe del campo elettico nella posizione in cui si tova la supeficie infinitesima ds (Fig E), si definisce flusso infinitesimo del campo elettico attaveso ds la quantità scalae dφ E nds E cosαds n v α E v Fig E Flusso infinitesimo di E attaveso ds

11 Se oa consideiamo una supeficie finita S, essa può essee sempe pensata come un insieme di infinite supefici infinitesime, pe ciascuna delle quali abbiamo definito il flusso infinitesimo. Si chiama flusso del campo elettico attaveso la supeficie S la somma degli infiniti flussi infinitesimi elativi alle supefici infinitesime che costituiscono ds, fomalmente Φ S dφ S E nds dove denota la somma dei flussi infinitesimi (che sono quantità scalai) su tutti gli elementi S ds che costituiscono S. Se la supeficie S è una supeficie chiusa si usa il simbolo Φ E nds S Il teoema di Gauss affema che il flusso del campo elettico attaveso una supeficie chiusa è popozionale alla caica totale netta contenuta dento la supeficie, più pecisamente: S E nds Q ε int dove Qint è la somma algebica di tutte le caiche contenute all inteno della supeficie. Vediamo come si possa utilizzae il teoema di Gauss pe il calcolo del campo elettico. Supponiamo che una caica Q> sia unifomemente distibuita in un volume di aggio. Poiché la distibuzione di caica possiede simmetia sfeica (essa cioè appae allo stesso modo quando venga uotata attono a qualunque asse passante pe il cento) anche il campo da essa geneato avà la stessa simmetia. Il campo E( ) avà dunque diezione adiale e il suo modulo dipendeà solo dalla distanza dal cento (avà cioè lo stesso valoe su tutti i punti di una supeficie sfeica di aggio ) potemo quindi scivee E( ) E( ) dove è il vesoe del aggio. Applichiamo oa il teoema di Gauss a una supeficie sfeica di aggio <. La nomale ad ogni punto di questa supeficie coincide con il aggio e quindi n pe cui E n E( ) E( ) Siccome in tutti i punti di questa supeficie E () ha lo stesso valoe, il flusso saà semplicemente dato dal podotto del valoe del campo pe l aea della supeficie sfeica: Φ E( )4π La caica contenuta ento la supeficie sfeica di aggio, saà una fazione della caica totale pai al appoto fa il volume della sfea di aggio e quello della sfea di aggio, cioè

12 S E nds Q int 4 π 3 4 π Q 3 3 Q In base al teoema di Gauss dunque Φ da cui Q ε int E ( )4 π 3 3 Q ε E( ) 4πε 3 Il campo E dunque cesce mano a mano che ci si allontana dal cento della distibuzione sfeica (dove E). Se oa ipetiamo la stessa pocedua pe una supeficie sfeica di aggio >, toviamo che: Q Q int e quindi E( ) 4πε Q cioè all esteno della distibuzione di caica il campo è lo stesso che si avebbe se tutta la caica Q fosse concentata nel cento della sfea. La Fig E mosta gaficamente il isultato otenuto. Fig E Andamento del campo elettico dovuto a una distibuzione unifome seica di caica.

13 Conduttoi Nei conduttoi (ad es. metalli) esistono degli elettoni libei di muovesi. Ne consegue che l esistenza di un campo elettico in un qualunque punto inteno a un conduttoe povocheebbe una foza (e quindi un acceleazione) sugli elettoni e veebbeo meno le condizioni di stabilità. Se ne conclude che, in elettostatica, il campo elettico all inteno di un conduttoe è nullo. Poiché E, anche il lavoo del campo elettico è nullo. Se consideiamo due punti A e B del conduttoe, alloa: B U( B) U( A) Ed A cioè tutti i punti di un conduttoe sono allo stesso potenziale. Connettendo due conduttoi con un filo metallico (esso pue conduttoe), i due conduttoi si potano allo stesso potenziale. Supponiamo oa di caicae un conduttoe con una ceta caica Q: poiché all inteno del conduttoe E, l applicazione del teoema di Gauss a una qualunque supeficie chiusa intena al conduttoe (Fig E) fonisce S E nds Q ε int Quindi la caica contenuta ento ogni supeficie chiusa intena al conduttoe deve essee nulla: il che significa che, in un conduttoe caico, le caiche si dispongono sulla supeficie. Questo isulta esta valido nel caso di un conduttoe cavo: le caiche statiche si accolgono sulla supeficie estena Fig E L applicazione del teoema di Gauss a una qualunque supeficie chiusa intena a un conduttoe. Applicando ipetutamente il teoema di Gauss si può vedee che il campo elettico nelle immediate vicinanze di un conduttoe è pependicolae al conduttoe e vale, in modulo:

14 E σ ε dove σ è la densità supeficiale di caica ( cioè la caica pe unità di supeficie) nella zona inteessata (Fig E3) E 3 σ 3 E σ E σ Fig E3 Nei punti vicini alla supeficie di un conduttoe caico, il campo è pependicolae alla supeficie e dipende dalla densità di caica nella zona immediatamente possima. Condensatoi Si chiama condensatoe l insieme di due conduttoi isolati, uno dei quali possiede una caica positiva +q e l alto possiede una caica negativa q (le due caiche sono uguali in valoe assoluto). I due conduttoi sono detti le amatue del condensatoe. Si suole indicae con V la diffeenza di potenziale (in valoe assoluto) fa le amatue e si definisce capacità del condensatoe la quantità C q V Poiché si può dimostae che V è popozionale a q, se ne conclude che C dipende solo dalla geometia cioè dalla foma e dalla posizione elativa delle amatue.

15 Nel SI le capacità si misuano in C/V; l unità di misua è chiamata Faad (F) così definita: FC/V Nella patica si usano condensatoi di geometia piuttosto semplice. I più comuni sono: a) Condensatoe piano (Fig E4): le amatue sono due piaste paallele di aea A poste a distanza d. Fig E4 Condensatoe piano Il campo elettico è paticamente unifome nello spazio fa le amatue e nullo altove. Applicando il teoema di gauss si può vedee che E σ ε Mente la capacità C isulta C ε A d Che dunque è tanto maggioe quanto più gande è A e più piccola è d. Fig E5 Condensatoe cilindico b) Condensatoe cilindico (Fig E5): le amatue sono cilindi coassiali (di aggio e ) di lunghezza L. Il campo elettico è concentato nella zona fa le amatue e la capacità vale: πε LA C lg ( / )

16 Nelle applicazioni elettotecniche un condensatoe è indicato con il simbolo. Spesso si utilizzano sistemi costituiti da due condensatoi che possono essee collegati in seie o in paallelo (Fig E6). Fig E6 Schema di collegamento di due condensatoi (a) in seie e (b) in paallelo. Si può dimostae che due condensatoi in seie sono equivalenti a un unico condensatoe di capacità complessiva C C + C mente due condensatoi in paallelo sono equivalenti a un unico condensatoe di capacità C C + C

17 Enegia accumulata in un condensatoe Supponiamo che fa le amatue di un condensatoe in cuoi sono depositate le caiche +q e q cia sia una diffeenza di potenziale V. Se si sposta una quantità di caica infinitesima dq da una placca all alta, si deve compiee un lavoo dl Vdq ed essendo V q/c, si ha qdq dl C Quindi il lavoo dipende solo dalla caica accumulata (q) e dalla capacità C che è una caatteistica geometica indipendente da q. Il lavoo totale necessaio a caicae un condensatoe inizialmente scaico (q) con una caica Q è quindi L Q Q qdq qdq C C Q C () Poiché quando il condensatoe è scaico non c è campo elettico fa le amatue, mente quando è caico è pesente un campo elettico, si può pensae al lavoo L come il lavoo necessaio a stabilie un campo elettico, e che tale lavoo coisponde all enegia del campo elettico. Questa enegia viene ovviamente esa disponibile quando il condensatoe viene scaicato. Poiché C Q/V, la () si può anche scivee: Q L C CV Cenno ai dielettici Un mateiale isolante è un mateiale in cui non esistono elettoni libei di muovesi. Le popietà di un mateiale isolante sono tuttavia influenzate dalla pesenza di campi elettici. Gli atomi infatti sono costituiti da un nucleo caico positivamente cicondato da una nuvola di elettoni caichi negativamente. In pesenza di un campo elettico, sul nucleo agisce una foza dietta come il campo, mente sugli elettoni una foza dietta in senso opposto. La nuova configuazione all equilibio che si cea mosta un eccesso di caica positiva nella diezione del campo e una di caica negativa in diezione opposta (Fig E6) E

18 Fig E7 In Pesenza di un campo elettico la distibuzione di caiche positive e negative, oiginaiamente simmetica (a) mosta (b)un eccesso di caica positiva da un lato e negativa dall alto. L atomo acquista in tal modo un momento di dipolo e si dice che il dielettico è polaizzato. Annullando il campo, il momento di dipolo (e quindi la polaizzazione del dielettico) spaisce. Esistono tuttavia dei mateiali le cui molecole possiedono un momento di dipolo anche in assenza di campo esteno (molecole polai, come ad esempio l acqua). Nomalmente l oientazione dei momenti di dipolo delle vaie molecole è completamente casuale (in vitù dei moti di agitazione temica) cosicché il valoe medio del momento di dipolo in ogni elemento di mateiale è zeo. In pesenza di un campo elettico tuttavia, i momenti di dipolo tendono a oientasi nella diezione del campo (Fig E8) e si aggiunge una nuova situazione di equilibio in cui l oientazione dei dipoli è pevalentemente (non completamente, a causa dell agitazione temica) nella diezione del campo E Fig E8 In assenza di campo i momenti di dipolo sono oientati a caso (a), mente in pesenza di un campo elettico cono pevalentemente oientati nella diezione di E

19 Anche in questo caso si dice che il dielettico è stato polaizzato. Consideiamo l effetto di intodue un mateiale isolante fa le amatue di un condensatoe che suppoemo piano pe semplicità (Fig E9). L oientazione dei dipoli nella diezione del campo (che, nella Fig E9 è, pe semplicità supposta completa) cea un eccesso di caica positiva su una faccia del dielettico e negativa sull alta, il che povoca l appaie di un nuovo campo elettico E, all inteno del dielettico, dietto in veso opposto al campo esteno E.

20 Fig E9. La polaizzazione del dielettico cea un nuovo campo E opposto a E

21 Il campo totale nel dielettico fa le amatue del condensatoe è quindi e E D E+ E' E D E E' < E Ne consegue che la diffeenza di potenziale fa le amatue in pesenza di un dielettico è minoe di quella che si avebbe se fa le amatue ci fosse il vuoto! VD EDd < Ed V Il appoto K V V D > pende il nome di costante dielettica elativa del mateiale e il suo valoe dipende esclusivamente dalla natua del dielettico. Nel caso dell acqua K8. In pesenza di dielettico, la capacità del condensatoe diventa: Q Q CD > C VD V Cioè la pesenza di un dielettico, aumenta, a paità di geometia la capacità del condensatoe.

22 La coente elettica continua Consideiamo un filo costituito da un mateiale conduttoe di sezione unifome A. Se agli estemi viene applicata una diffeenza di potenziale (ad esempio connettendoli ai poli di una batteia) all inteno del conduttoe si cea un campo elettico E. Su ogni elettone libeo pesente nel conduttoe agià una foza ee (dove e è in valoe assoluto il valoe della caica dell elettone) che, in base al secondo pincipio della dinamica, acceleeà gli elettoni nel veso opposto al campo. Petanto gli elettoni cominceanno a muovesi lungo il filo. Detta dq la quantità di caica che attavesa una sezione del filo nel tempo dt si definisce intensità di coente elettica la quantità i dq dt Si noti che la quantità dq essendo dovuta al moto degli elettoni saebbe negativa: pe evitae di avee a che fae con coenti negativa, si assume, convenzionalmente, che, anziché essee gli elettoni che si spostano, sia un equivalente quantità di caica positiva che si sposta in senso opposto: in alti temini, si assume che la coente elettica sia dovuta al moto di caiche positive, cosicché il veso della coente elettica dovuto alla pesenza di un campo E è lo stesso del campo (dall estemo a potenziale maggioe veso quello a potenziale minoe). Esistono anche casi (soluzioni elettolitiche) in cui la coente è dovuta sia al moto di caiche positive sia a quello di caiche negative: in questo caso la coente complessiva è la somma di quelle dovute al moto dei due tipi di caiche. Infatti la quantità di caica che attavesa una sezione della soluzione è pai al flusso di caiche positive in un veso più quello di caiche negative in veso opposto. Data la convenzione sul veso della coente, quest ultimo viene consideato un ulteioe flusso di caiche positive. Si chiama densità di coente la coente che attavesa nell unità di tempo un aea unitaia: nel caso di un filo di sezione A j i A Vediamo oa, sempe nel caso del moto di caiche lungo un filo conduttoe come le espessioni di i e j possano essee scitte in temini di popietà micoscopiche. Supponiamo che il filo contenga N elettoni libei pe unità di volume e che ciascuno possieda una caica +e (pe evitae segni -, in accodo con la convenzione, già intodotta, di consideae il veso della coente concode con il moto delle caiche positive), Nel tempo dt (Fig CE) attaveseanno una sezione di aea A del filo tutti gli elettoni contenuti in un volume cilindico di base A e altezza vdt dove v è la velocità con cui gli elettoni si muovono sotto l azione del campo elettico.

23 v E A vdt Fig CE Nel tempo dt gli elettoni pecoono una distanza pai a vdt. Quindi attaveseanno A tutti quelli che distano meno di vdt. Tale numeo vale dn NAvdt e quindi la caica che attavesa A nel tempo dt è dq + ednneavdt ne segue che i dq dt NeAv j i A Nev Se ne conclude che i e j sono popozionali alla velocità v con cui si spostano gli elettoni. Nel S.I. l unità di misua dell intensità di coente è l Ampee (A) così definito: A C / s mente la densità di coente si misua in A/m esistenza Abbiamo visto che i è popozionale a v. Sotto l azione del campo elettico, le caiche subiscono un acceleazione pai a E/me (dove me è la massa dell elettone). Ne consegue che gli elettoni sotto l azione di un campo elettico E costante e unifome si muovono con acceleazione costante e la loo velocità cesce continuamente nel tempo v(t) v ee + me t (v velocità degli elettoni all istante t in cui viene applicato il campo)

24 Se ne conclude che applicando agli estemi di un filo una diffeenza di potenziale si dovebbe geneae una coente che cesce continuamente nel tempo. Sappiamo che non è così: quando si accende la luce in una stanza, dopo un bevissimo tansitoio iniziale, la coente che cicola aggiunge un valoe stazionaio (se così non fosse, le lampadine diventeebbeo sempe più billanti fino a fulminasi). Valoe stazionaio della coente significa valoe stazionaio della velocità degli elettoni: in base al pincipio di inezia questo vuol die che la foza costante che agisce sugli elettoni è nulla. Deve quindi esistee un alta foza che annulla quella (ee) dovuta al campo elettico. In effetti gli elettoni non possono muovesi libeamente ento un conduttoe, in quanto il loo moto avviene attaveso zone in cui sono pesenti gli elettoni degli atomi che costituiscono il mateiale conduttoe. Gli elettoni di conduzione utano continuamente gli elettoni atomici e come effetto si ha una continua iduzione della loo velocità dovuta al campo elettico. Si dice che il mateiale pesenta una esistenza elettica. L effetto della esistenza è dunque quello di endee stazionaio il valoe della velocità di spostamento degli elettoni: questo valoe stazionaio dipende dal valoe del campo pesente nel conduttoe ed è tanto maggioe quanto maggioe è E. La legge di Ohm In molti mateiali conduttoi, detti conduttoi ohmici, la dipendenza dal campo E è una semplice popozionalità j σe dove σ si chiama conducibilità elettica ed è una costante. La () pende il nome di legge di Ohm e può essee scitta in una foma più utile pe le applicazioni. Consideiamo (Fig. CE) un tatto di filo conduttoe di lunghezza l e sezione A ai cui estemi sia applicata una diffeenza di potenziale V V A l Fig CE. Un tatto di filo conduttoe cui è applicata una diffeenza di potenziale V All inteno del tatto di filo, il campo elettico E vale E V / l pe cui

25 j σ E σv / l e σa i ja V l da cui V σ l A i La quantità σ viene denotata con ρ σ e si chiama esistività, pe cui l V ρ i A V i avendo posto l ρ A pende il nome di esistenza elettica : il suo valoe dipende dalla natua del mateiale di cui è costituito il filo (ρ) e dalla sua geometia (l/a) L equazione (()) è nota come legge di Ohm e da essa si desume l unità di misua della esistenza, che, nel S.I. pende il nome di Ohm (Ω). Ω V/A A paità di geometia, la esistenza di un tatto di cicuito dipende dal mateiale di cui è costituito il filo. La Tab I ipota i valoi delle esistività ρ pe alcuni mateiali. Tabella I. Valoi della esistività pe alcuni mateiali Mateiale esistività (Ω m) Acciaio.8-7 Agento.6-8 ame.7-8 Tungsteno Gafite 8-6 La esistenza di un tatto di cicuito dipende dalla tempeatua: ad esempio nel filamento di una lampadina a incandescenza esso è molto maggioe alla tempeatua di esecizio che non alla tempeatua ambiente.

26 Enegia dissipata in un esistoe Abbiamo visto che la esistenza ende conto del fatto che la velocità, e quindi l enegia cinetica, degli elettoni non aumenti continuamente sotto l azione del campo elettico. In alti temini, la pesenza della esistenza sottae all elettone l enegia che gli foniebbe il campo elettico. Tale enegia viene dissipata nel conduttoe sotto foma di caloe (caloe di Joule o effetto Joule). Possiamo calcolae facilmente il valoe dell enegia dissipata pe unità di tempo. Se una caica infinitesima dq attavesa un tatto di conduttoe ai capi del quale è stabilita una diffeenza di potenziale V, la sua enegia elettostatica diminuisce di Vdq, mente la sua enegia cinetica esta costante, poiché, come abbiamo visto, la pesenza della esistenza fa sì che gli elettoni si muovano con velocità di egime costante. Quindi l enegia totale della caica dq diminuisce di Vdq e, pe il pimo pincipio della temodinamica, tale enegia deve uscie dal filo sotto foma di caloe dq. dqvdq Ne consegue che il caloe podotto pe unità di tempo, cioè la potenza P vale: dq dq P V Vi dt dt che può anche scivesi, in base alla legge di Ohm V P Vi i Dunque, se si mantiene costante la diffeenza di potenziale ai capi di un tatto di cicuito (Vcostante) P è invesamente popozionale a, mente, se si mantiene costante la coente P è diettamente popozionale a. Pile e foza elettomotice Abbiamo visto che le caiche (positive) nei conduttoi si muovono dai punti a potenziale maggioe veso quelli a potenziale minoe, pedendo così enegia. Se si vuole mantenee una coente in un cicuito occoe quindi inseie un elemento che estituisca alle caiche l enegia pesa, ipotandole a un enegia elettostatica più alta. Tale elemento è detto geneatoe di diffeenza di potenziale o geneatoe di tensione o batteia o, più comunemente pila. Consideiamo (Fig CE3) un semplice cicuito e immaginiamo che tutta la esistenza sia concentata in un tatto cd. Indicheemo il geneatoe con il simbolo - + dove - e + denotano i punti a potenziale minoe e maggioe ispettivamente

27 Fig CE3 (a) un semplice cicuito esistivo; (b) diagamma del potenziale V coispondente ai vai punti del cicuito. Una caica che si tovi in b possiede elevata enegia elettostatica che pede attavesando il esistoe (tale enegia peduta si manifesta come caloe). La caica mantiene tale (basso) livello di enegia elettostatica finchè giunge nel punto a (connettoe a bassa enegia potenziale del geneatoe, detto anche polo negativo ). A questo punto il geneatoe compie lavoo sulla caica aumentandone l enegia potenziale, cosicché, quando giunge in b, la caica ha iacquistato l oiginale (alto) livello di enegia potenziale (si noti che, ento il geneatoe, la caica si muove da un punto a potenziale più basso a veso un punto a potenziale più alto. Il lavoo compiuto dal geneatoe su una caica unitaia che lo attavesi pende il nome di foza elettomotice e di solito si indica con il simbolo E (Fig CE3 (b)). Quando la caica tona in a dopo ave attavesato deve avee peso esattamente la stessa enegia che le ea stata fonita dal geneatoe, cioè E i Dove i è la coente che cicola nel cicuito. In ealtà i geneatoi possiedono una esistenza intena che fa si che l aumento di potenziale fonito a una caica sia più basso di E (Fig CE3 (b)). Un geneatoe è più coettamente appesentato dal simbolo : E

28 e la diffeenza di potenziale V agli estemi del geneatoe è V E - i Ne consegue che la (*) andebbe più coettamente scitta E - i i La coezione è iilevante finché <<, ma va tenuta pesente nei casi in cui (a causa ad esempio dell invecchiamento di una batteia) cesce fino a diventae confontabile con. esistoi in seie e in paallelo Consideiamo (Fig CE 4) un cicuito in cui siano inseiti due elementi di esistenza ispettiva e (tascuiamo la esistenza intena del geneatoe). Fig CE4 (a) Cicuito con due esistenze in seie, e (b) diagamma del potenziale nei vai punti del cicuito I due esistoi sono attavesati dalla stesa coente e si dicono disposti in seie. Come si vede dal diagamma di Fig CE4 (b) la diffeenza di diffeenza di potenziale agli estemi dei dei due esistoi non è la stessa: una pima diminuzione si ha quando le due caiche attavesano e una successiva quando attavesano. dallo stesso diagamma si vede che: E - i i +i i(+)

29 cioè due esistoi in seie sono equivalenti a un unico esistoe di esistenza + Questo isultato è iassunto nella Fig CE5 Fig CE5. Due esistoi in seie sono equivalenti a un unico esistoe di esistenza pai alla somma delle esistenze. Consideiamo oa (Fig CE6) un cicuito contenente due esistoi ai capi dei quali si ha la stessa diffeenza di potenziale. I due esistoi si dicono alloa in paallelo. Fig CE6 (a) Cicuito con due esistoi in paallelo e (b) diagamma del potenziale nei vai punti del cicuito. Una caica che giunge in c poseguià o lungo il amo di o lungo quello di : le caiche lungo daanno luogo a una coente i, quelle lungo a una coente i. Pe la consevazione della caica, la somma di queste due coenti deve uguagliae la coente i : ii+i Inolte poichè la diminuzione di potenziale attaveso eguaglia quella attaveso, saà:

30 iie cioè ie/ e ie/ E E i i + i + E + il che significa che due esistoi in paallelo sono equivalenti a un unico esistoe di esistenza tale che: + cioè + Questo isultato è iassunto nella Fig CE7 Fig CE7 Due esistoi in paallelo sono equivalenti a un unica esistenza di valoe + Si noti che, mente due esistenze in seie sono equivalenti a una esistenza di valoe maggioe di ciascuna delle due, due esistenze in paallelo equivalgono a un unica esistenza minoe della più piccola fa e (in effetti, mettendo due esistenze in paallelo, si aumenta la possibilità di passaggio delle caiche). Le egole di combinazione di esistenze in seie e in paallelo consentono di semplificae lo studio di molti cicuiti elettici. Le leggi di Kichoff Esistono evidentemente moltissimi modi di connettee esistenze fa di loo, ma non tutti sono iconducibili a insiemi di esistenze in seie e in paallelo; la Fig CE8 mosta una disposizione non analizzabile in temini di seie e paallelo. Fig CE8 esistoi collegati in modo tale da non potee essee descitti in temini di seie e paallelo In questi casi, i cicuiti possono essee analizzati sulla base delle cosiddette leggi di Kichoff. In un cicuito si definisce nodo ogni punto in cui concoono due o più conduttoi, mente si

31 definisce maglia ogni pecoso chiuso che si può individuae patendo da un nodo e teminando nello stesso nodo. Ad esempio, nel cicuito della Fig CE9, si possono individuae due nodi (b,e) Fig CE9. Un cicuito elettico con te nodi e due maglie Le leggi di Kichoff affemano che La somma algebica di tutte le coenti che confluiscono in un nodo è nulla (legge dei nodi) la vaiazione complessiva di potenziale lungo ogni maglia è nulla (legge delle maglie). La pima legge espime, in sostanza la consevazione della caica e, nella sua applicazione, si consideano positive le coenti che entano nel nodo e negative quelle che escono. La seconda egola espime la consevatività del campo elettico: essendo consevativo, il lavoo di E lungo ogni pecoso chiuso è nullo (il lavoo di E è pai alla vaiazione di V). isolvee un cicuito significa deteminae le coenti che cicolano in ognuno dei suoi ami. Con ifeimento all esempio di Fig.CE9, questo può essee fatto attibuendo un veso abitaio di cicolazione delle coenti in ogni maglia e una intensità delle coenti che confluiscono in ogni nodo. Applicando le leggi di Kichoff all esempio di Fig CE9 si ottiene: Nodo b i -i -i 3 Maglia abef E -i 3 3 -E 3 -i Maglia bcde E -i +E 3 +i 3 3 L applicazione delle leggi di Kichoff al nodo e e alla maglia abcdef foniebbe, come si può veificae, due equazioni non indipendenti da quelle già scitte. Note le esistenze e le foze elettomotici, abbiamo così ottenuto un sistema di equazioni lineai in te incognite che può essee isolto icavando i, i e i3 (si icodi che un valoe negativo di una coente significa che essa fluisce in veso opposto a quello pesunto).

32 Caica e scaica di un condensatoe Consideiamo il cicuito di Fig CE Fig CE. Un cicuito contenente un geneatoe di fem E, un esistoe di esistenza e un condensatoe di capacità C. Chiudendo l inteuttoe (e lasciando apeto ) il cicuito viene pecoso da una coente i, che pota caiche positive in un amatua del condensatoe e negative sull alta. Il moto delle caiche cessa quando la caica Q accumulata sulle amatue aggiunge il valoe compatibile con la capacità C e la diffeenza di potenziale E (tascuando la esistenza intena del geneatoe Q CE). La coente i che caica il condensatoe dipende dal tempo (ii(t)). Quanto maggioe è infatti la caica depositata in un amatua, ad es. positiva, tanto più si faà sentie l effetto epulsivo delle nuove caiche in aivo, pe cui ci si aspetta che i diminuisca nel tempo, mente ovviamente Q cesce nel tempo, così come la diffeenza di potenziale V ai capi del ceondensatoe, che, inizialmente uguale a zeo, diventa pai a E al temine della caica. Dunque: i i(t) cala nel tempo Q Q(t) cesce nel tempo V V(t) cesce nel tempo Pe endee quantitative queste consideazioni, osseviamo che, se a un ceto istante t la coente vale i(t), in un intevallo infinitesimo dt la caica su un amatua aumenteà di una quantità infinitesima dqi(t)dt Se allo stesso istante t, sulle amatue del condensatoe si è accolta una caica Q(t), alloa la diffeenza di potenziale ai suoi capi vale:

33 Q( t) V ( t) C Ne consegue che, ai capi della esistenza la diffeenza di potenziale è: E V (t) pe cui la coente i(t) vale i ( t) E V ( t) cioè dq dt E Q( t) C Questa equazione diffeenziale ha come incognita la funzione Q(t): sappiamo che pe t, Q(), mente la caica totale accumulata saà: Q tot CE Si può vedee che la funzione Q(t) che soddisfa all equazione diffeenziale e alle condizioni appena indicate è: Q( t) CE e C t dove la quantità τ C pende il nome di costante di tempo del cicuito. Si vede che Q(t) diventa uguale a CE solo pe t : in patica questo avviene dopo un tempo t pai a 4 5 volte t poicè, in tal caso l esponenziale è del tutto tacuabile ispetto a. La Fig CE mosta l andamento gafico di Q(t), pe divesi valoi di tc Fig CE Andamento tempoale della caica sulla amatua di un condensatoe.

34 Si vede che, quanto maggioe è C, tanto più lentamente viene caicato il condensatoe: se τ è molto piccolo la caica del condensatoe è paticamente istantanea. Se ad es. kω e C µf si ha τ C 3 Ω -5 F - s ms; in patica, dopo qualche decina di millisecondi, il condensatoe è completamente caico. A patie dall espessione di Q(t) possiamo vedee l andamento della coente di caica: dq( t) i( t) dt E e t C Come pevisto, i(t) diminuisce nel tempo: anche in questo caso la diminuzione è più o meno apida a seconda del valoe τ C (a igoe, la caica ichiede un tempo infinito e quindi la coente si annulla dopo un tempo infinito). La Fig CE mosta l andamento tempoale di i(t) pe due divesi valoi di τ C Fig CE Andamento tempoale della coente di caica di un condensatoe. Se, al temine del pocesso di caica, si ape l inteuttoe di Fig CE9 (omai inutile) e si chiude l inteuttoe, il condensatoe C si compota come un geneatoe di coente, seppue con una diffeenza di potenziale vaiabile nel tempo: il campo che si cea nel conduttoe infatti muove la caica positiva veso l amatua negativa, il che iduce pogessivamente la diffeenza di potenziale ai capi del condensatoe, cioè ai capi di, il che povoca una pogessiva diminuzione della coente di scaica. Detta V(t) la diffeenza di potenziale pesente a un ceto istante t ai capi del condensatoe, saà V(t)Q(t)/C, ma poichè, come abbiamo ossevato, la stessa diffeenza di potenziale è pesente ai capi di : V(t)i(t) Poichè, in questo caso, il condensatoe si sta scaicando, la coente i(t) dipende dalla diminuzione della caica Q sulle amatue del condensatoe, cioè:

35 dq( t) i( t) dt pe cui dq( t) dt Q( t) C Anche questa equazione diffeenziale può essee isolta, icodando che, pe t (quando cioè si ape l inteuttoe e si chiude ) Q vale CE. Si ottiene così: Q( t) CE e da cui t C t C i( t) E e L andamento della coente di scaica è dunque uguale a quello della coente di caica mostato nella Fig CE, si icodi che, duante la caica, le caiche positive si muovono veso l amatua positiva del condensatoe, mente, duante la scaica, esse lasciano l amatua positiva: la coente, cioè, cambia veso.

36 Magnetismo Intoduzione Nel 8 A.M. Ampee scopì che fa due fili paalleli pecosi da coente si esecita una foza attattiva se le coenti fluiscono nello stesso veso epulsiva se esse fluiscono in veso opposto. Più pecisamente (Fig M), consideiamo due fili paalleli di lunghezza L in cui scoono ispettivamente le coenti i e i : Fig M Due fili paalleli pecosi da coenti equivese. Ampee iuscì a stabilie che la foza totale che il filo esecita sul filo vale in modulo (nel caso della figua la foza è attattiva) ii L F () od pe il tezo pincipio sdella dinamica, tale foza è uguale in modulo a quella (F) che il filo esecita sul filo t, come d altonde mosta la simmetia dell espessione () negli indici e. In alte paole, la foza che agisce sull unità di lunghezza di ciascuno di due fili vale in modulo: cf ii L L od sla costante si suole scivee µ /π dove: 6 t V s µ 4π A m F c pende il nome di pemeabilità magnetica del vuoto.

37 Dunque L µ ii π d F In questa espessione, come nella legge di Coulomb, si descive una foza che si esecita fa due oggetti posti a una ceta distanza. Analogamente alla legge di Coulomb, essa può venie intepetata in temini di campo, scivendo F µ i i () L π d cioè, la coente i, scoendo nel filo, modifica le popietà dello spazio cicostante ceando un campo la cui intensità dipende dalla coente e dalla distanza d. Fonendo una seconda coente (i) a distanza d, questa isente di una foza dovuta alla pesenza del campo. Tale campo, che ha natua divesa dal campo elettostatico, pende il nome di induzione magnetica e si suole indicae con il simbolo B. Ne concludiamo che un filo pecoso da coente oigina nelle sue cicostanze un campo di induzione magnetica il cui modulo F µ i L π ha simmetia cilindica ed è invesamente popozionale alla distanza dal filo ( si icodi che il campo elettico geneato da una caica puntifome ha simmetia sfeica ed è invesamente popozionale al quadato della distanza ). Tale campo si manifesta attaveso una foza che si esecita su un filo pecoso da coente, cioè su caiche elettiche in moto. Dalla () si vede che le dimensioni del campo B sono N/Am. L induzione magnetica Concetto di campo magnetico Scomponiamo un cicuito in un insieme di vettoi infinitesimi dl tutti pecosi dalla stessa coente i i dl P Fig M. Un cicuito può essee pensato come una successione di infiniti vettoi infinitesimi dl.

38 Ciascuno di questi elementi infinitesimi poduce un campo di induzione magnetica infinitesimo, che si espime con la cosiddetta legge di Biot e Savat: L induzione dovuta a un geneico elemento dl in un punto P dello spazio identificato dal vettoe è data da: µ idl db 3 4 B π ( P) db µ i dl 4π 3 Questa somma diventa semplice in casi simmetici come ad es. ciconfeenze pependicolai ai fili o campo B al cento di una spia. Fig M3 Alcune linee di foza del campo di induzione geneate da un filo ettilineo Notae che le linee di foza di B sono chiuse (campo solenoidale). Campi magnetici notevoli Sull asse di una spia cicolae (nel punto centale) µ idl db db µ idl 3 4 π al cento della spia diventa: dove è il aggio della 4π spia (fissandoci al cento) Il campo quindi diventa: B ( P) µ i dl db 4π µ i π 4π µ i

39 Sull asse del Solenoide Bµ i Nn/l (numeo di spie su lunghezza del solenoide)

40 Poichè le linee di foza del campo magnetico sono chiuse, applicando il teoema di Gauss si icava che il flusso di B attaveso ogni supeficie chiusa è zeo. B nds La foza magnetica Se immaginiamo di poe in una zona dello spazio in cui è pesente un campo B un cicuito pecoso da una coente i, su ogni elemento infinitesimo dl appatenente al cicuito agisce una foza infinitesima che vale: df idl B (o) questa foza può essee espessa in funzione della velocità con cui si muove nel filo la caica dq i dq dt dq df dl B dt dl dq B dt dqv B Questo isultato può essee immediatamente genealizzato al caso di una caica q che si muove a velocità v in un campo B ( ad esempio un elettone), in tal caso: F qv B F pende il nome di foza di Loentz Notae che la foza di Loentz, essendo pependicolae alla velocità compie lavoo nullo e quindi non cambia il modulo della velocità ma può solo deflettee la taiettoia.

41 Fig M6 Se una paticella enta in un campo B unifome pependicolamente a B, la sua taiettoia giace su un pian pependicolae a B Se oa si considea il moto di una paticella di massa m e caica q in un campo magnetico unifome e pependicolae alla velocità della paticella si ha che: v m qvb mv qb π v ω T qb m Moto cicolae unifome su una ciconfeenza di aggio Il dipolo magnetico Si definisce, nel caso di un cicuito chiuso, una gandezza detta momento di dipolo magnetico µ ia Nel caso di un cicuito cicolae Aπ

42 µ Se questo cicuito viene immeso in un campo B, su di esso agisce una coppia di foze di momento m µ B µ F F θ B Fig M8 Un cicuito immeso in un campo B unifome sente una foza che tende ad allineae il suo momento magnetico con il campo B A questa configuazione si può, in analogia col dipolo elettico, associae un enegia potenziale U µ B Il concetto di momento magnetico è impotante in quanto paecchi nuclei atomici hanno momenti magnetici divesi da zeo. I magneti pemanenti

43 i Consideiamo un elettone atomico (caica e) e supponiamo, in un modello classico, che uoti attono al nucleo su un obita cicolae di aggio. Indicando con m e la sua massa e con v e la sua velocità, tale elettone possiede una quantità di moto q e m e v e e un momento angolae che in modulo vale: l e m v Questa caica in moto cicolae può essee descitta come una coente di intensità Dove T è il peiodo di otazione Quindi e i e / T e T π / v ev e π e Tale coente da luogo ad un momento magnetico di modulo µ ia e evπ e π E, poiché la caica dell elettone è negativa ele µ e m e Tenendo conto anche dello spin si ha µ el m e eve el m e e Fequenza di Lamo Se un momento magnetico µ viene immeso in un campo magnetico B si ha il fenomeno della pecessione di m attono all'asse di B a causa del momento tocente m esecitato da B su µ.. mµ B Si dimosta che questo moto di pecessione, analogo a quello della tottola attono all'asse identificato dall'acceleazione di gavità ha una fequenza, detta fequenza di Lamo data da :

44 ωγ B γ e m viene detto appoto giomagnetico

45 B m µ