EQUAZIONI DIFFERENZIALI 2

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1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI. PROBLEMI AI LIMITI I prolem dfferenzl lmt sono quell ne qul ll equzone dfferenzle defnt n un nseme [,], vengono ffncte delle condzon sull soluzone, e/o sulle sue dervte, non solo nel punto nzle (prolem d Cucy) m n entrm gl estrem (o lmt ) e. Rspetto l prolem dell esstenz e unct dell soluzone, l stuzone e sostnzlmente dvers d quell ce s nel cso del prolem d Cucy. Bst pensre ll equzone y (t)+y(t)=0 l cu ntegrle generle e y(t)=c sen(t)+c cos(t) con c e c rtrr. Nell ntervllo [0,π/] s y(0)=0, y(π/)= fl soluzone unc: y(t)=sen(t) y(0)=0, y(π/)=0 fl soluzone unc: y(t) 0 Nell ntervllo [0,π] s y(0)=0, y(π)= fl non esste soluzone y(0)=0, y(π)=0 fl soluzone y(t)=c sen(t) per ogn c R Dcmo ce l prolem é en posto qundo sono ssegnte delle condzon lmt ce, n presenz d soluzon, ne grntscono l unct. In generle, l prolem de due punt s formul nel seguente modo: prolem del prmo ordne: y'(t)=f(t,y(t)) per t [,] (.) g(y(),y())=0

2 prolem del secondo ordne: y"=f(t,y,y') n [,] (.) g (y(),y'(),y(),y'())=0 g (y(),y'(),y(),y'())=0 Sono d prtcolre nteresse le seguent condzon lmt: y()=α y()=β (condzon d Drclet) y()-y()=0 y'()-y'()=0 (condzon d perodct ) g (y(),y'())=0 g (y(),y'())=0 (condzon d Sturm-Louvlle) Un teorem d esstenz e unct per l prolem de due punt Consdermo l prolem de due punt y"=f(t,y,y') n [,] con le condzon lmt d Drclet y()=α e y()=β. Supponmo noltre ce le dervte przl f(t,y,y )/ y e f(t,y,y )/ y esstno, sno contnue, e soddsfno le condzon f(t,y,y )/ y>0 f(t,y,y )/ y M per ogn te[,] e per ogn y, y e [-, ]. Allor l prolem mmette un ed un sol soluzone.

3 D questo teorem s rcv, per esempo, ce per l equzone lnere y =(t)y+f(t) con (t)>0 "t l prolem de due punt mmette un ed un sol soluzone per qulunque scelt d e. Consdermo or lcun prolem lmt e lcun metod numerc per l loro rsoluzone pprossmt. I metod ce verrnno consdert sono: Metod sootng Metod delle dfferenze fnte Metod del resduo Metod "sootng" Un metodo sootng, pu ce un metodo precso, e un procedur ce s puo dttre svrt tp d prolem dfferenzl lmt n [,]. Il prncpo d se e l seguente: dt un equzone dfferenzle, supponmo ce l prolem d Cucy corrspondente mmett soluzone unc per qulunque vlore nzle y(), se s trtt d equzon del prmo ordne, oppure y() e y (), se s trtt d equzon del secondo ordne, e cos v. S trtt or d trovre vlor nzl per qul l soluzone del corrspondente prolem d Cucy soddsf le condzon lmt del prolem orgnro. Un prolem del prmo ordne: Consdermo l seguente prolem dfferenzle del prmo ordne y'(t)=f(t,y(t)) per t [,] con l seguente condzone su vlor gl estrem y() ed y(): g(y(),y())=0 e supponmo ce tle prolem mmett soluzon. Supponmo noltre ce sno verfcte le potes per l'esstenz e l'unctà del prolem d Cucy ssocto 3

4 ll'equzone dt. Qund supporremo ce per ogn condzone nzle y()=ξ esst un ed un sol soluzone, ce ndceremo con y(t,ξ). Dett y(,ξ) tle soluzone nel punto, è cro ce se l copp (ξ, y(,ξ)) soddsf l condzone lmt g(ξ, y(,ξ))=0 llor l funzone y(t,ξ) è l soluzone del nostro prolem. Ho così trsformto l prolem lmt nell rcerc del vlore nzle ξ come rdce dell'equzone F(ξ):=g(ξ, y(,ξ))=0 (.3) E' evdente ce, n generle, non s dspone dell'espressone esplct dell funzone F(ξ) n qunto ess dpende dl termne funzonle y(,ξ) l cu vlore s ottene ttrverso l rsoluzone, n [,], d un prolem d Cucy. Dsponendo d metod effcent per l rsoluzone del prolem d Cucy, posso però clcolre, n modo pprossmto, l vlore d y(,ξ) e qund d F(ξ) per ogn ξ. Inoltre, dsponendo d metod veloc per l rcerc delle rdc d equzon non lner ce fnno uso solo d vlutzon puntul dell funzone F, posso ottenere un soluzone pprossmt dell'equzone (.3). Il vlore ξ * così trovto è un pprossmzone del vlore nzle y() (ncognto) l qule corrsponde un vlore fnle y() tle ce due soddsfno l condzone lmt g(y(),y())=0. Un possle condzone lmt è, per esempo, quell d perodctà y()-y()=0 per l qule l equzone (.3) ssume l semplce form: ξ= y(,ξ). Il metodo sootng, ce s pplc n modo sostnzlmente ugule nce n crcostnze dverse, vlorzz l metodo dcotomco ed metod tertv d Steffensen e delle secnt, rspetto quello d Newton, perce non rcedono vlutzon puntul dell dervt dell funzone F(ξ). Prolem del secondo ordne: 4

5 Consdermo l'equzone dfferenzle del secondo ordne: y"=f(t,y,y') n [,] (,4) con opportune condzon lmt tr quelle consderte. Ance qu supponmo ce l prolem d Cucy per l'equzone (.4) mmett un ed un sol soluzone. Trsformmo qund l'equzone (.4) n un sstem del prmo ordne nelle ncognte u=y e v=y', u'=v v'=f(t,u,v) (.5) Il prolem lmt mmette per soluzone quell reltv d opportun vlor nzl u()=y() e v()=y'() d determnrs. Per esempo nel clssco prolem de due punt con condzon d Drclet, y"=f(t,y,y') t=[,] y()=α y()=β è noto l vlore u()=y()=α m non e' noto v()=y'(). Allor fssmo un vlore d tenttvo v()= ξ e rsolvmo l prolem (.5) con le condzon lmt u()=α e v()= ξ. Indcmo l soluzone (ce dpende d ξ) con u(t,ξ) e v(t, ξ). Nturlmente no cercmo l vlore d ξ per l qule s u(,ξ)=β. Il termne sootng (sprre) tre orgne d questo prolem pensto come un sstem dnmco nel qule l soluzone descrve l trettor d un punto mterle ce vene sprto d un poszone nzle u() con un drezone ncognt v()=u () tle ce nel punto l prtcell centr l vlore ssegnto u(). Come nel cso precedente, ndcmo con F(ξ) l'opertore ce ssoc ξ l vlore u(,ξ). L'equzone d rsolvere è, n questo cso: F(ξ)=β. 5

6 Leggermente pù complesso è l cso delle condzon perodce nel qule non è noto né u() né v() ce devono essere vst come ncognte u()=ξ v()=η (.6) Dette u(t,ξ,η) e v(t,ξ,η) le soluzon dell'equzone (.5) con condzon nzl (.6), s trtt d determnre ξ e η n modo ce nel punto fnle sno verfcte le condzon d perodctà ξ=u(,ξ,η) e η=v(,ξ,η). Defnmo l'opertore F(ξ,η) ce ssoc ll copp d vlor nzl =(ξ,η), l copp d vlor fnl (u(,ξ,η), v(,ξ,η)). Quest volt domo rsolvere un equzone n R nell ncognt (ξ,η): (ξ,η)=f(ξ,η) Il cso lnere Consdermo l cso d un equzone dfferenzle lnere del prm ordne, con condzon lmt nc esse lner: y'=g(t)y + f(t) t [,] αy()+βy()=d. Detto ξ l vlore ncognto d y(), l metodo sootng consste nell rcerc dell rdce dell'equzone F(ξ)=0 dove, con le solte notzon, l funzone F è: F(ξ)=αξ+βy(,ξ) - d. Osservmo ce l funzone F è un funzone ffne n ξ. Inftt, detto u(t) l'ntegrle dell equzone omogene ssoct ed y (t) un ntegrle prtcolre dell complet, l'ntegrle generle è y(t)=cu(t)+y (t) dove l costnte c è determnt dll condzone nzle y()=ξ: ξ=cu()+y () 6

7 c= ξ -y( ) u ( ) L soluzone, reltv l dto nzle ξ, è qund y(t,ξ)= ξ -y( ) u(t) + y (t) ce, clcolt n u ( ), fornsce y(,ξ)= ξ -y( ) u() + y (). L funzone F(ξ) ssume qund l form ffne: u ( ) F(ξ)=αξ+β ξ -y( ) u() + βy () - d. u ( ) D conseguenz metod tertv delle secnt o d Steffensen rggungono l soluzone estt dopo un sol terzone. (S osserv ce l'ffntà d F(ξ) è stt dmostrt nell'potes ce l soluzone y(,ξ) s estt. Il lettore dmostr ce l propretà rmne verfct nce qundo y(,ξ) è ottenuto ttrverso un metodo d RK con un numero ndetermnto d pss). Metod lle dfferenze: I metod lle dfferenze consstono nel sostture lle dervte present nell equzone delle opportune dfferenze fnte ce pprossmno le dervte stesse su tutt punt d un grgl prefsst sull nseme d ntegrzone. Un cso prtcolre e g stto vsto nel metodo delle lnee dove soltnto l dervt przle second nell vrle spzle e stt pprossmt dll dfferenz centrle second per ogn vlore temporle t ( d cu l termne sem-dscretzzzone ). Lmtmoc or l cso d equzon ordnre e nlzzmo l errore ce s commette nel sostture le dervte con le dfferenze e, n prtcolre, vedmo se l errore tende zero, per 0, e con qule ordne d nfntesmo. A tl fne supponmo d ver fssto, nell ntervllo d ntegrzone [,], un grgl d N+={ 0,,, N } punt, estrem nclus, cos defnt 0 =, =+ =,,,N-, N = dove =(-)/N e l psso. Tpce pprossmzon lle dfferenze sono: 7

8 y(+ ) y() y'() = + σ() dfferenz prm ll ndetro, σ ()=O() y( ) y( ) y'() = + σ() dfferenz prm n vnt, σ () =O() y(+ ) y() y' ( ) = + σ() dfferenz prm centrle, σ ()=O( ) y(+ ) y( ) y( ) y' '( ) + = + σ () dfferenz second centrle, σ ()= O( ) dove gl error d troncmento σ (), per le dfferenze prme e seconde, sono nfntesm d ordne, rspettvmente e, unform nell ntervllo [,]. Un prolem d elstct : Il momento flettente y() d un trve d lungezz untr, ppoggt gl estrem 0, ed e sottopost d un crco vertcle f()d su ogn elemento d lungezz d, e dto dll soluzone del prolem de due punt: -y + g()y = f() per [0,], g()>0 con le condzon lmt d Drclet omogenee: y()=0, y()=0. P L funzone g() e dt d g() =, dove E e l modulo d Young, I() e l momento E I() prncple d nerz dell trve nel punto, e P e l forz pplct gl estrem dell trve n drezone dell trve stess e orentt verso l esterno. L equzone d dffusone-rezone stzonr L stess equzone puo essere vst come l modello reltvo d un prolem d dffusone-rezone monodmensonle n [,] y(t,) = t y(t,) g()y(t,) + f() 8

9 n condzon stzonre, dove s consder ce l soluzone y non dpend dl tempo, y(t,)=y(), e soddsf le condzon l ordo y()=α, y()=β. S ottene n questo cso: -y + g()y = f() per [,], g()>0 con le condzon lmt d Drclet : y()=α, y()=β. Il metodo delle dfferenze consste nel clcolre l equzone n tutt punt ntern dell grgl sosttuendo l dervt second con l corrspondente dfferenz centrle second. S ottene cos l sstem: y( ) y( ) + y( + ) + g( )y( ) = f( ) + σ () =,,N-. (.7) Ignorndo gl error σ, ndcndo con y l pprossmzone d y( ), e tenendo conto ce le condzon lmt fornscono y 0 =y()=α e y N =y()=β, s ottene l sstem y y + y + + g( )y = f( ) =,,N-. (.8) nell ncognt Y= (y,y,...,y N- ) T ce, n form compt, dvent AY = c (.9) dove l mtrce A l form trdgonle : 9

10 + g g - A =/ g g N g N- ed l vettore c e dto d c=( f( )+α, f( ),, f( N- ), f( N- )+β) T. Vcevers, per l vettore e= (y( )-y, y( )-y,..., y( N- )-y N- ) T degl error ne punt dell grgl s, sottrendo l (.8) dll (.7): Ae=Σ() dove Σ() è l vettore degl error locl d troncmento: Σ( )= ( σ (), σ (),,...,σ N- ()) T. Poce A gode dell propret d predomnnz dgonle strett per ogn N, l teorem d Gerscgorn sscur ce A è non sngolre, qund esste l nvers A - e s : e = A - (Σ()) e A - Σ(). Infne, poce Σ() =O( ) per ogn norm d R N-, per ottenere l convergenz d ordne del metodo, per 0 (o se s prefersce per N + ), è necessro vere l equlmttezz d A - rspetto d N A - M N. Pocé A è smmetrc e defnt postv, convene consderre l norm e osservre ce A - =ρ(a - )=/λ mn (A). Qund st trovre un costnte M tle ce / λ mn (A) M. Attrverso l teorem d Gerscgorn s vede fclmente ce λ mn (A) mn (g( )) e qund 0

11 M=/ mn(g()) e un mggorzone unforme per A -. In lterntv, detto u l utovettore corrspondente ll utovlore d modulo mnmo d A, s u T Au =λ mn (A)u T u. Seprndo A nell somm A=T+D (entrme defnte postve) s, per K= mn(g())>0, λ mn (A)u T u= u T Tu + u T Du > u T Du mn (g( )) u T u K u T u d cu λ mn (A)>K qulunque s l dmensone d A. L equlmttezz d A - e qund dmostrt per M=/K e con ess l convergenz del metodo con ordne. Defnzon: L condzone ce gl error d troncmento sno nfntesm vene ndct come l consstenz dell opertore d dscretzzzone rspetto ll opertore dfferenzle e l ordne d nfntesmo vene ndcto come l ordne d consstenz (nel nostro cso l ordne d consstenz e ). L condzone dell equlmttezz dell opertore A - vene nvece ndct come l stlt dell opertore stesso. Amo dmostrto ce, per lo scem delle dfferenze centrl pplcto l prolem de due punt, vle l relzone Consstenz + stlt = convergenz Quest relzone, ce s estende molt scem d pprossmzone per prolem d equzon dfferenzl, mette n evdenz ce l sol consstenz non e, n generle, suffcente grntre l convergenz del metodo e ce, n presenz d stlt, l metodo converge con l ordne d consstenz. Il metodo lle dfferenze per l equzone d dffusone-trsporto stzonro. Consdermo or l equzone -µy +y = 0 [0,] y(0)=0, y()=

12 con µ e >0, l cu soluzone è : y() = e µ e µ >0 per ogn 0<. Osservmo ce nce quest equzone (ordnr) puo essere vst come l modello d dffusone-trsporto monodmensonle y(t,) = µ t n condzon stzonre. y(t,) + y(t,) L Defnmo P= l numero d Péclet glole dove L e l lungezz dell ntervllo d µ L ntegrzone ( pr nel nostro cso). S qund P =P = l numero d Péclet µ locle reltvo d un dscretzzzone. Approssmndo y ed y con le dfferenze centrl : y( + ) y( ) y ()= + O( y( + ) y() + y( ) ) e y ()= + O( ) e trscurndo gl error d troncmento s ottene, per =/N, l sstem lnere y y -µ + y+ e qund, l sstem trdgonle + y + y+ =0, =,.,N- (P +)y - - y + (-P )y + =0, =,,N- dove y 0 =0 e y N =. Dett ncor A l mtrce del sstem, con rgomentzon nloge quelle del prgrfo precedente, s dmostr ce A - esste ed e equlmtt, coscce l metodo converge e l ordne rsult essere pocé entrme le dervte sono stte pprossmte con dfferenze d ordne. Se vessmo pprossmto l y con l dfferenz n vnt o ll ndetro vremmo vuto un convergenz d ordne. Se l rpporto /µ tende 0 llor (per l Hoptl) l soluzone tende ll dentt y()=. Qund, per pccol vlor del numero d Péclet, (P<<) l soluzone e prossm ll

13 rett y= congungente due vlor lmt. Al contrro, per vlor molto grnd d P, (P>>) l vlore d y () /µ e grnde. Co sgnfc ce, procedendo ll ndetro dl punto =, dove vle, l soluzone precpt verso l soluzone null. L tngente ll soluzone n = rggunge l vlore nullo ntorno µ/. In questo cso s dce ce l soluzone present uno strto lmte d mpezz O(µ/) ntorno l lmte =. Per questo tpo d prolem e nteressnte pprofondre lo studo nlzzndo l ndmento qulttvo dell soluzone pprossmt nlzzndo, n prtcolre, se l soluzone numerc conserv l segno postvo per ogn >0. L equzone crtterstc e : (-P )λ -λ +P +=0 le cu soluzon sono λ + P P =, λ = = P P L soluzone generle e qund dt d y =(λ ) +(λ ) + P = P + =0,,N con e costnt rtrre. Imponendo le con le condzon lmt (per =0 e =N) s trov: P = - + = P e qund l soluzone dscretzzt: y = + P P + P P N N =0,,N Osservmo nfne ce se <P l numertore cm segno d ogn ncremento dell potenz e l soluzone dvent oscllnte ssumendo vlor lterntvmente postv e negtv. 3

14 Nelle fgure ce seguono s vedono grfc dell soluzone estt e delle soluzon numerce, ndcte con ---o---, per un prolem con numero d Péclet P=50 e vr vlor del psso. Per preservre l monoton, e qund l segno postvo, dell soluzone sogn procedere con un psso tle ce P <. Se l numero d Péclet e molto grnde, co comport l scelt d un psso eccessvmente pccolo e, d conseguenz, un costo computzonle spesso troppo oneroso, speclmente ne prolem pu dmenson. Un modo d ffrontre l prolem s s sull osservzone ce l nconvenente ctto e dovuto essenzlmente l ftto ce l coeffcente d trsporto domn sul coeffcente d dffusone µ. Incrementndo opportunmente µ con un dffusone rtfcle proporzonle d : µ µ =µ(+ P ) s ottene un prolem perturto -µ(+ P )y +y = 0 4

15 dove l termne -µ P y prende l nome d vscost numerc. Il numero d Péclet locle PP del prolem perturto rsult < per ogn. Inftt l numero d Péclet glole e PP=/(µ(+P ))=P/(+P ) e qund un numero d Péclet locle PP = P /(+P )<. L conservzone dell monoton e ottenut pero l prezzo d un cdut d precsone dovut ll perurzone -µ P y. 5

16 Lo scem numerco rsultnte, denomnto upwnd, ssume l form y y -µ(+ P ) + y+ + y + y+ =0, =,.,N- (.0) e, come mo vsto, fornsce un soluzone ce conserv l crttere monotono per ogn vlore del psso. Il lettore verfc ce lo scem upwnd (.0) corrsponde esttmente llo scem y y -µ + y+ y y + =0, =,.,N- dove, nell equzone orgnr, l y () e stt pprossmt con l dfferenz ll ndetro 6

17 y() y( ) y ()= + O( ) (nzce l dfferenz centrle del secondo ordne). Tle scem e del prmo ordne nzce del secondo. Condzon l contorno d Neumnn: Le precedent equzon d dffusone possono essere ccompgnte d condzon l ordo d tpo dverso d quelle d Drclet dove l vlore gl estrem e ssegnto. Supponmo, per esempo, ce sull estremo snstro = s ssegnt l seguente condzone sull dervt y ()=y 0, dett condzone d Neumnn, mentre sull estremo destro s dt ncor l condzone y()= β. (In tl cso le condzon l contorno vengono dette condzon mste) In tl cso l dscretzzzone vst n precedenz nclude tr le ncognte nce l vlore dell vrle y() l cu pprossmzone verr ndct, n ccordo con le notzon uste, con y 0. Il vettore ncognto sr qund Y= (y 0,y,...,y N- ) T. D conseguenz, l y () non potr essere pprossmt dll dfferenz centrle n = y( ) y() + y( + ) y () = + σ(, ) perce ess necessteree d un punto =- ce esce dl domno d defnzone del prolem. Il prolem s puo rsolvere osservndo ce, ttrverso lo svluppo d Tylor, s ottene l seguente pprossmzone d y (): y ()= y( + ) y() y' () +O(). / Trscurndo, come l solto, gl error d pprossmzone, l equzone dscretzzt nel punto = sr : 7

18 y y 0 y' / 0 -g 0 y 0 =f(). L mtrce del sstem (n R NN ) sr qund + g 0 - A =/ - + g g g N g N- S puo dmostrre ce nce, n questo cso, l condzone A- <M e verfct unformemente rspetto ll dmensone N del sstem; qund l metodo e ncor convergente. L convergenz n questo cso e, pero, d ordne soltnto. Eserczo: S costrusc l mtrce corrspondente ll dscretzzzone del prolem d dffusone-trsporto stzonro con le condzon mste l ordo. Metod de resdu pest: (Glern-element fnt e spettrle, mnm qudrt, colloczone) Con l termne metodo de resdu pest s defnsce un vst clsse d metod, ce sono stt svluppt prtre dll fne 800-nzo 900, per l rsoluzone d equzon dfferenzl del tpo pu generle con condzon nzl e l contorno. L nteresse per tl metod e rvolto prevlentemente l loro mpego nell rsoluzone d prolem governt d equzon dervte przl s d tpo stzonro ce non stzonro. Conondmeno, ess sono spesso mpegt nell rsoluzone pprossmt d prolem lle dervte ordnre con condzon l ordo e fornscono, n quest cs, rsultt generlmente comprl con quell ottenut ttrverso metod lle dfferenze fnte ce mo fn qu vsto. Vcevers per l rsoluzone d prolem dervte przl n dmenson spzl 8

19 mggor d e su domn non regolr, ess fornscono uno strumento pu potente e flessle rspetto lle dfferenze fnte. L presentzone d tl metod pplct prolem ordnr fclt comunque l comprensone dell loro estensone l cso multdmensonle. Comncmo qund con l presentzone del prncpo ce st ll se del metodo de resdu per l prolem de due punt, con condzon lmt omogenee Ly()=f() [,] (.) y()=y()=0 dove L e un opertore dfferenzle lnere del secondo ordne (per esempo Ly:=-µy +y), y() e l funzone ncognt pprtenente d un opportuno spzo d funzon V soddsfcent le condzon lmt ed f e un funzone ssegnt. Supponmo noltre ce l prolem mmett soluzone unc. S osserv ce l ver mposto condzon omogenee lmt non e restrttvo. Inftt, se u() e l soluzone del prolem (con condzon non omogenee) Lu()=f() [,] u()=α u()= β ess puo essere scrtt come u()=y()- (α(-)/(-)+β(-)/(-)) dove l funzone y() e soluzone del prolem: Ly()=f()+L(α(-)/(-)+β(-)/(-)) [,] y()=0 y()= 0. Qund possmo sempre consderre prolem del tpo (.). Defnmo un successone V N =spn(ϕ (),ϕ (),,ϕ N ()), N=,, d sottospz dmensone fnt d V, con cu element (ce soddsfno le condzon omogenee lmt) ntendmo pprossmre l soluzone y() del nostro prolem. Supponmo qund ce tl sottospz sno done d pprossmre unformemente ogn funzone d V. In ltre prole, supponmo ce per ogn y() V e per ogn ε>0, esst un opportuno ntero N ed un elemento d V N, u N ()=c ϕ ()+c ϕ ()+ +c N ϕ N (), tle ce y()-u N () ε. Due esemp concret d sottospz V N soddsfcent tl condzon sono dt d polnom lgerc n [,] 9

20 V N =spn((-)(-), (-)(-),, (-)(-) N- ), e d polnom trtt, d grdo prefssto, su un grgl { 0 =,,, N =}, ce verrnno descrtt nel prgrfo successvo. Il nostro oettvo e quello d determnre coeffcent c,,c N n modo d ottenere pprossmzon u N () ce convergno ll soluzone y() qundo N. Per ogn scelt dell funzone pprossmnte u N (), defnmo l resduo: R N ():=Lu N ()-f(). Imponendo vr tp d condzon sul resduo, possmo defnre de crter per l determnzone de coeffcent c,,c N. Metodo d Glern: S rcede ce l resduo R N () s ortogonle tutt gl element dell se {ϕ } N d V N rspetto l prodotto sclre Hlertno: oss < RN, ϕ >= RN() ϕ() d = 0 ( LuN() f() ) ϕ () d = 0 =,,N =,,N (.) Co conduce l seguente sstem lnere nelle ncognte c : L N N = c = cϕ() f() ϕ Lϕ () ϕ In form comptt l sstem e Ac = dove c=(c,c,,c N ) T, N ()d = L c () ϕ ()d - =0 ϕ f() ϕ ()d = () d = f() ϕ ()d, K=,,N. 0

21 =(,,, N ) T con = =,,N ()d () f ϕ A=(, ) con, =,=,,N. ϕ ϕ d () () L Se sottospz V N sono costtut d polnom lgerc genert d ϕ =(-)(-) - : V N =spn((-)(-), (-)(-),, (-)(-) N- ), l metodo e detto metodo d Glern spettrle ed e crtterzzto dl ftto ce l mtrce del sstem d Grm-Scmdt e pen. Un lterntv metod spettrl e dt d metod d Glern gl element fnt dove sottospz V N sono polnom trtt d grdo fssto e genert d un se supporto locle, coe d funzon ce sono dverse d zero solo su pccol sottontervll d [,]. Per esempo, ssegnt un grgl { 0 =,,, N =}, con N pr, consdermo le funzon qudrtce trtt genert dll seguente se: (n questo cso dm(v N )=N-) per dspr ( N-): ϕ () = ( )( ) ( )( ) ltrove 0 per pr ( N-): ϕ () = ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ltrove 0

22 φ φ φ 3 φ 4 φ S osserv ce, per ogn, s ϕ ( j )=d j e qund u N ( )=c, coscce coeffcent c fornscono drettmente le pprossmzon y su nod. In questo cso e evdente ce nell mtrce d Grm-Scmdt, l generco elemento d ndc, = Lϕ() ϕ () d sr dverso d zero solo per ndc, tl ce ϕ e ϕ nno supporto d ntersezone non vuot, o costtut d un solo punto. Pertnto su ogn rg del sstem c srnno, l pu, 5 coeffcent non null. In prtcolre l supporto d ogn ϕ, con dspr, ntersec solo l supporto dell precedente e dell successv. In questo cso c sono 3 element sull rg -esm. Se nvece e pr, l supporto d ϕ ntersec l supporto d ϕ -, ϕ -, ϕ + e ϕ +. In questo cso sull rg -esm c srnno 5 element non null.

23 Ancor l equzone d dffusone-rezone: Consdermo, come esempo, l equzone d dffusone-rezone coeffcent costnt (Ly:=-µy +y) per l qule l equzone (.) dvent ( µ u () + un() f() ) ϕ() d = 0 N (.3) µ u N() ϕ() d + un() ϕ()d = f() ϕ () d Applcndo l regol d ntegrzone per prt l prmo termne, s trov µ un () ϕ() + µ u N() ϕ () d + un() ϕ()d = f() ϕ () d Tenuto conto ce ϕ ()= ϕ ()=0 s trov l seguente espressone, equvlente ll (.3), u N() ϕ () d + un() ϕ()d = f() ϕ () d µ nell qule l funzone pprossmnte u N () ntervene solo con l su dervt prm. Co suggersce l posslt d utlzzre funzon pprossmnt meno regolr, n prtcolre funzon lner trtt sull grgl = 0, N= genert dll se: (nce n questo cso dm(v N )=N-) ϕ () = ( ) ( ) ( + ) ( ) + 0 ltrove + =,,N- 3

24 Ponendo, come l solto, u N- ()=c ϕ ()+c ϕ ()+ +c N- ϕ N- (), trovmo l sstem lnere N c ( µϕ () ϕ () + ϕ() ϕ ()) d = f() ϕ ()d, K=,,N-. (.4) = Inoltre, poce l supporto d ogn ϕ () ntersec solo quello d ϕ - () e d ϕ + (), s : + = c ( µϕ () ϕ () + ϕ () ϕ ()) d = f() ϕ ()d, K=,,N-. In questo cso l mtrce del sstem sr trdgonle. Assumendo ce l grgl s unforme, coe =(-)/N, s ϕ ()= 0 ltrove + Attrverso l clcolo esplcto de coeffcent del sstem, s ottene nfne: µ ( c- c + c+ ) c- + c + c+ = f() ()d =,,N ϕ dove c 0 =c N =0. Ance per le funzon lner trtt s ϕ ( j )=d j e u N ( )=c, coscce coeffcent c fornscono drettmente le pprossmzon y su nod: µ ( y- y + y+ ) y- + y + y+ = f() ()d =,,N ϕ dove y 0 =y N =0. 4

25 Confrontndo tle equzone con l (.8), reltv l metodo delle dfferenze nel cso µ = e g()=, s osserv ce l prte dffusv rmne nltert mentre l prte rettv e dfferente e, n prtcolre, e nc ess trdgonle. S osserv ce l metodo d Glern rcede l clcolo d ntegrl per l costruzone s de coeffcent dell mtrce ce de termn not del sstem. Co sr ftto ttrverso formule d qudrtur ce, oltre d ntrodurre degl error nel sstem, umentno l complesst computzonle del metodo. Qund sogner usre formule d qudrtur ce no, l tempo stesso, lt precsone e sso costo. Formule ce godono d queste propret sono le formule Gussne ste sugl zer d certe clss d polnom ortogonl, n prtcolre de polnom ortogonl d Legendre, d Lotto e d Ceysev. Metodo de mnm qudrt: Il metodo de mnm qudrt consste nel determnre coeffcent dell pprossmnte u N ()=c ϕ ()+c ϕ ()+ +c N ϕ N (), n modo d mnmzzre l norm del resduo N N R N ()=Lu N ()-f()= L ϕ -f()= -f() c () clϕ() = = In ltre prole cercmo l elemento d mnm dstnz d f() nel sottospzo generto dll se {Lϕ (),, Lϕ N ()}. Amo vsto nelle premesse ce l soluzone d tle prolem, nell norm dedott dl prodotto sclre, s ottene mponendo l resduo le condzon d ortogonlt ( Lu () f() ) Lϕ () d = 0 N =,,N Ce dnno luogo l seguente sstem d Grm-Scmdt N c = Lϕ () Lϕ () d = f()l ϕ ()d, K=,,N. L dfferenz rspetto l metodo d Glern consste nel ftto ce le funzon test sono prese n uno spzo W N dverso d V N dove gce l pprossmzone u N (). Nel metodo de mnm qudrt W N =spn{ Lϕ (),, Lϕ N ()} e V N =spn{ϕ (),, ϕ N ()}. 5

26 In generle, metod st su due sottospz dvers sono denomnt metod d Petrov- Glern. Metodo d colloczone: Il metodo d colloczone e un metodo essenzlmente nterpoltoro nel qule s cede ce l resduo s nullo su un numero d nod (o punt d colloczone) [,] pr ll dmensone del sottospzo nel qule s cerc l soluzone: R N ( )=Lu N ( )-f( )=0 =,,N N clϕ( ) -f( ) = 0 =,,N = Ance nel metodo d colloczone possmo optre per due scelte dverse de sottospz V N ce portno ll colloczone-spettrle e colloczone-element fnt. Per grntre l convergenz del metodo spettrle per ogn funzone contnu f(), punt d colloczone sono pres come nod delle formule d qudrtur d Guss-Lotto reltve ll ntervllo [,]. Cenn sull convergenz del metodo de resdu: Sotto l potes y() C p, p sull regolrt dell soluzone, tutt metod del resduo ce mo vsto sono convergent, s quell spettrl ce quell gl element fnt. In prtcolre: ) se usmo element fnt d grdo r su un grgl d mpezz l errore ordne s: y()-u N () C s y (s) con s=mn{r+,p}. Come dre ce per soluzon d clsse C p posso ottenere l ordne p con r=p- ed e nutle umentre r. In prtcolre se uso polnom lner trtt, r=, l errore e O( ). Se uso element qudrtc, r=, l errore sr O( 3 ) condzone, pero, ce l soluzone y() s d 6

27 clsse lmeno C 3. E cos v per element d grdo superore. Se l soluzone e d clsse C l errore dpende solo d r ed e y()-u N () C r+ y (r+) ) se usmo element spettrl d grdo r, l errore e : y()-u N () C s r -p y (p) e, per soluzon d clsse C, l errore e nfntesmo d ordne superore qulunque ordne polnomle. 7