= θ + σ θ + σ θ. dr dr

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1 G. Ptui Lzioni di Costuzion di Mahin 35. DISCHI ROTANTI I otoi di tubin a gas, gli ogani otanti p l tasmissioni di potnza d alti lmnti otanti dvono ss shmatizzati om dishi otanti. L mahin otanti sono sottopost a vloità smp maggioi p tasmission di lvata potnza, p aumnto dlla poduttività, p la poduzion di ampi ntifughi. Gli lmnti otanti sono soggtti a ondizioni di aio dipndnti dalla otazion (foz di inzia: ampo ntifugo, momnti giosopii, alazion angola) indipndnti dalla otazion (spint assiali, tosion, fozamnto). All ondizioni di aio in molti asi vanno aggiunti alti fattoi: lvat tmpatu di sizio, nssità di iduzion dlla massa. Dv anh ss psa in onsidazion la piolosità dgli lmnti otanti. La toia sposta iguada i solidi gomtiamnt assialsimmtii di foma ilindia o on spsso h vaiabil lntamnt isptto al aggio aihi agnti in dizion otogonal all ass di simmtia. La gomtia si psta ad ss dsitta in oodinat ilindih, z. L quazion pinipali dl poblma lastio in oodinat ilindih possono ss ottnut da qull in oodinat atsian mdiant una tasfomazion di oodinat, oppu iavat dittamnt. na ipotsi smplifiativa è qulla di onsida il poblma om piano anh s l ipotsi è almnt vifiata solo nl aso di lmnti sottili (appoto h/ basso) a spsso ostant. na ultio smplifiazion può ss ottnuta nl aso in ui il poblma lastio sia assialsimmtio. Qusta ipotsi si vifia s: la gomtia dll lmnto è assialsimmtia, il matial è isotopo o ototopo assialsimmtio, il aio è assialsimmtio. In aso di assialsimmtia tutt l gandzz misimmtih isultano null (τ =γ =) l alt isultano funzioni dlla sola vaiabil. In gnal lo spsso è vaiabil on lgg h(), quindi già dal punto di vista gomtio non si ha un poblma piano. Inolt la psnza di piol igolaità, om foi, attahi, nd l ipotsi di gomtia assialsimmtia mno alistia. P quanto dtto a poposito dl poblma lastio piano, nl aso di lmnti di gand spsso l ipotsi di stato di dfomazion piano isulta più adnt alla altà, vivsa, s lo spsso dll lmnto è limitata, isulta maggiomnt plausibil l ipotsi di stato di tnsion piano. In assnza di foz di massa sollitazioni tmih, o s ε l è ostant nll vai szioni, l ipotsi di tnsioni dfomazioni pian potano a soluzioni oinidnti. Dtminazion ditta dll'quazion di quilibio adial di ompatibilità L quazion dll quilibio adial nl aso assialsimmtio può ss ottnuta dittamnt onsidando l quilibio di un lmntino di volum dlimitato da fa ilindih, la pima posta una a distanza gnia dal nto dl ilindo pai ad, di altzza h dlimitata da ahi di ionfnza di lunghzza d la sonda posta una a distanza dal nto dl ilindo pai ad +d, di altzza h+(dh/d)d dlimitata da ahi di ionfnza di lunghzza (+d)d. Considando positiva la dizion adial usnt, l foz agnti sull lmntino sono:. foz adiali dovut all tnsioni : = d dh p +d: df a = + d h + d ( + d) d = d d d dh h d + h d d + h d d + d d (35.) d d df p : b = h d (35.) sommando i tmini () () tasuando gli infinitsimi di odin supio, la isultant è. foz ionfnziali dovut all tnsioni : d dh = + + (35.3) d d df h d d h d d d d df = h d sin d (35.4) ssndo sn d/ d/ si ha: df = h d d (35.5) 3. foz di massa; in aso di lmnto otant on vloità angola ostant ω [ad/s], la foza di inzia ad unità di volum agnt in dizion adial, dovuta all alazion ntipta ω, è data da: F m = µ ω (35.6) 35.

2 G. Ptui Lzioni di Costuzion di Mahin ssndo µ la dnsità dl matial; moltipliando p il volum dll lmntino dv=h d d, si ottin la foza adial agnt sull lmntino df3 = µ ω h d d (35.7) Affinhé la foza adial agnt sull lmntino (7) isulti spssa in Nwton (N), l tnsioni dvono ss spss in Nwton al mto quado (N/m ) l lunghzz in mti; s l tnsioni sono spss in MPa (N/mm ) l lunghzz sono spss in millimti, è oppotuno spim µ in g/mm 3 divid la (7) p 3. Sommando l t foz dividndo p da= d d si ottin: d dh h + h + + µ ω h = (35.8) d d Qusta quazion può ss isitta moltipliando tutti i tmini p ompattando i pimi t tmini ontnnti in una divata: P h ostant la (8) si idu a d d ( ) µ ω d d h h + h = (35.9) + + µ ω = (35.) z +d y P l x +d F m d/ d/ d Fig.35. Sistma di oodinat ilindih,, l d quilibio dll lmntino di volum nl piano -. Equazioni di ompatibilità ostitutiv Com visto nl aso di ilindi in pssion, l quazioni di ompatibilità p lmnto assialsimmtio sono: ε du = d u ε = L quazioni ostitutiv di qusto aso sono qull lativ allo stato di tnsion piano: ε ν E ε ν E = ( ) = ( ) ε ( ) dε ε = + ε (35.-3) d l ν = + (35.4-6) E Soluzion La soluzion dl poblma onsist nl dtmina, d u funzioni di. P la dtminazion dll tnsioni abbiamo a disposizion una dll quazioni di quilibio adial, (9) o (), l'quazion di ongunza (3) h può ss sitta in funzion dll tnsioni utilizzando l (4-5) p stato piano di tnsion: d d + ν + ν = (35.7) d d ( )( ) P la dtminazion dll tnsioni è oppotuno iondusi ad un quazion diffnzial in una sola inognita sostitundo la tnsion ionfnzial nlla (7) mdiant la () o la (9): d = + + d µ ω d dh µ ω d h d = (35.8,9) 35.

3 G. Ptui Lzioni di Costuzion di Mahin Diso a spsso ostant Sostitundo la tnsion ionfnzial nlla (7) on il tmin a dsta dlla (8) si ottin la sgunt quazion diffnzial nlla sola vaiabil valida p lmnti otanti a spsso ostant: d d 3 d d + + ( 3+ ν ) µ ω = ( ) d 3 d ν µ ω = (35.) d ρ ρ dρ La lazion a dsta dlla () si ottin moltipliando tutti i tmini p ponndo ρ=/. Si dv ossva h, pu utilizzando la oodinata adimnsional ρ, nlla () ompa il aggio stno dl diso, in quanto la sollitazion dovuta all foz di inzia dipnd dalla distanza ffttiva dal nto di otazion. Si può dimosta h una soluzion patiola di qusta quazion è la sgunt = C ρ ; (35.) intodundo qusta spssion nlla () d d 3 d = (35.) d C ρ C ρ ( ν ) µ ω ρ ρ ρ isolvndo isptto a C sostitundo l spssion ottnuta nlla () si ottin 3+ ν = µ ω ρ = ρ = C ρ (35.3) 8 nlla qual ( 3 + ν ) 8 = = µ ω (35.4,5) è la tnsion ionfnzial agnt su anllo di aggio, di szion isptto piola al aggio, fatto on il matial dl diso, posto in otazion alla vloità ω (vdi Appndi A.). Il valo appsnta la massima tnsion nl punto più sollitato p un diso di spsso ostant posto a qulla vloità di otazion può ss utilizzato om valo di ifimnto. La soluzion omplta dlla (), iodando la (34.3), è data da B b = A C ρ = a ρ ρ ρ dalla qual, utilizzando la (8), si iava anh l spssion di : B b = A + D ρ = a d ρ + ρ ρ (35.6) (35.7) Nl aso di diso solo otant, l ondizioni al ontono da impo nlla (6) p iava l ostanti sono = p = (ρ=) = p = i (ρ=β). In qusto aso l ostanti psnti nll (6) (7) divntano: a = ( + β ) b = β 3 + ν = d = + 3ν 8 3+ ν ssndo A=a, B=b, C=, D=d. La la possono ss sitt anh om β = + β ρ ρ β + 3ν = + β + ρ ρ 3+ ν (35.8a-d) (35.9,3) La massima tnsion ionfnzial si ha al aggio intno, mnt il massimo valo dlla adial si vifia p ρ=β.5. In fig. sono mostati gli andamnti dll tnsioni adiali ionfnziali ottnuti on l (9-3). Com dtto, p vita poblmi on l dimnsioni dll ostanti è possibil spim µ in g/m 3, in mti l vntuali tnsioni al ontono in N/m, ottnndo l tnsioni in N/m ; l tnsioni in MPa possono ss ottnut moltipliando i isultati p 6. P utilizza d ottn l tnsioni in MPa è possibil utilizza om unità di misua dll lunghzz il mm (on µ in g/mm 3 ) divid il tmin ottnuto on la (5) p il valo 3. La funzion dllo spostamnto adial può ss ottnuta spliitando la () isptto ad u, ioè u=ε, spimndo ε in funzion dll tnsioni tamit l quazion ostitutiva (4), ottnndo u=( ν )/E, sostitundo l tnsioni on l (9) (3): β ν u = ( ν )( + β ) + ( + ν ) ρ ρ 3+ ν (35.3) 35.3

4 G. Ptui Lzioni di Costuzion di Mahin / /.<β< β= <β< ρ ρ Fig.35. A sinista smpio di andamnto dll tnsioni nomalizzat isptto a p diso foato on β=. al vaia di ρ (l tnsioni quivalnti sono valutat on il itio di Von Miss). A dsta andamnto dll tnsioni al vaia di ρ p dishi on β h assum valoi da (diso non foato) a.9 on passi di.. Non foato otant Nl aso di diso non foato è suffiint po β= nll (9-3) ottnndo: ( ) = ρ + 3ν 3 + ν = ρ ν 3+ ν u = ν ρ ( ) Diso a spsso vaiabil Anh in qusto aso i si iondu ad una sola quazion diffnzial funzion di, sostitundo nll quazion di ompatibilità (7) la funzion la sua divata ottnut mdiant l quazion di quilibio (9). Riodando l sgunti lazioni d dh ln h = d h d d d d ln h d ln h ln h d d = + d d l quazion diffnzial isolutiva vin ottnuta ni sgunti 3 passaggi:. l quazion di quilibio (9) vin spliitata isptto alla tnsion ionfnzial: d ln h d = µ ω d d. divando la (37) si ottin la divata di : d d ln h d d d ln h d d = d d d d d d d µ ω (35.35,36) (35.37) (35.38) d d ln h d d ln h d ln h d d = d d d d d d d h divnta: µ ω d d d ln h d d ln h d ln h = d d d d d d µ ω (35.39) (35.4) 3. si sostituisono l (37) (4) nll'quazion di ongunza (7) si pvin all quazion diffnzial: d 3 d ln h d + ν d ln h d ln h ( + ) = d d d d d 3 ν µ ω (35.4) Infin, intodundo la vaiabil adimnsional ρ=/, si ottin: 35.4

5 G. Ptui Lzioni di Costuzion di Mahin d 3 d ln h d + ν d ln h d ln h ( + ) = d ρ ρ d ρ d ρ ρ d ρ d ρ 3 ν µ ω (35.4) L soluzioni di intss iguadano asi ni quali l altzza h è una funzion nota di ρ si dtmina la funzion, o, al ontaio, il aso nl qual si impon h l tnsioni isultino ostanti al vaia di ρ si dtmina la funzion h, om nl aso di dishi di unifom sistnza. Diso di unifom sistnza Il diso di unifom sistnza è un diso avnt pofilo h(ρ) vaiabil in modo h l tnsion adiali ionfnziali si mantngano uguali ad un valo pfissato. P dtmina tal pofilo s impon il valo ostant dll tnsioni adiali ionfnziali nll quazion di quilibio (8) = =ost= (35.43) ottnndo la sgunt quazion diffnzial funzion di h dh µ ω + h = (35.44) d Intodundo la vaiabil adimnsional ρ=/ spaando l vaiabili si ottin dh µ ω = ρ dρ (35.45) h Intgando la (45) iodando l spssion di (5), si ottin l quazion dl pofilo ρ h = C (35.46) La ostant C si dtmina imponndo un valo abitaio (oppotunamnt slto) h al aggio ρ ρ C = h (35.47) da ui ( ρ ρ ) h = h (35.48) S si utilizza ρ = (il nto vitual dl diso) oppu ρ = (il aggio stno), la (44) può ss spssa ispttivamnt om h = h ρ ( ρ ) h = h (35.49,5) nll quali h d h sono ispttivamnt i valoi di h in oispondnza dl nto dl diso dl aggio stno. Dall (48-5) si ossva h la foma dl pofilo h dipnd slusivamnt dal appoto /, nl qual =µ ω iassum l ondizioni di aio la ondizion di lavoo dsidata; in patiola, al diminui dl appoto /, (ioè al s di / ) s il appoto ta gli spssoi al nto dl diso al bodo stno: h h = (35.5). h/. -. / =. / =.3 / =.4 / =.6 / = ρ Fig.3.3 Pofili di unifom sistnza nomalizzati isptto ad, nl aso di h =., p divsi valoi dl appoto /. 35.5

6 G. Ptui Lzioni di Costuzion di Mahin 3 pofilo minimo pofilo massimo Fig.3.4 Pofili di unifom sistnza minimo massimo ottnuti nl aso di ω=68.8 ad/s, µ=853 g/m 3, = mm, =.5. Com dovbb ss hiao in bas all (46-5), fissato il valo dl appoto /, vaiando tutt l odinat dl pofilo in misua popozional, l tnsioni agnti sul diso imangono invaiat pai a. In fig.3 sono mostati i pofili di unifom sistnza ottnibili al vaia dl appoto /, lasiando ostant lo spsso al bodo stno. I pofili hanno una foma a ampana, om è ovvio, psntano spsso al nto dl diso h snt al diminui dl appoto /. Natualmnt, affinhé sia vifiata la (43), dvono ss psnti dll tnsioni al ontono i = = al bodo intno (s il diso è foato) al bodo stno. Poihé l tnsioni adiali dvono av lo stsso sgno di qull ionfnziali, h dvono ss di tazion, non è possibil ollga il diso all albo tamit fozamnto. Solitamnt il diso non vin foato vin ollgato all albo mdiant flang. Tipiamnt l tnsioni al bodo stno sono dovut ad una oona /o ad una shia di paltt. In qusti asi la oona la shia di paltt dvono ss dimnsionat imponndo h l tnsioni adiali ionfnziali in oispondnza all attao on il diso (ρ=) isultino uguali a, om dsitto nl sguito. P motivi tnologii lo spsso al nto dl diso h non dv ss supio a 5 volt lo spsso al bodo stno h ; lo spsso al nto dl diso h non dv ss supio a.5.3 volt il valo dl aggio stno ; lo spsso al bodo stno h non dv ss infio ad un ntsimo dl aggio stno. I 3 vinoli dsitti si taduono nll sgunti lazioni: h h ( ) 5 h.5.33 h. ( ) La ondizion (5), in bas alla (5), implia h / log , da ui si iava una ondizion p l assgnazion dl valo :.553 =.553µ ω (35.55) Si noti anoa h, in bas alla (5), assgnando iman assgnato il appoto h /h. L ondizioni (5-53) possono ss utilizzat più failmnt s modifiat in modo da spim i valoi limiti dlla sola h o dlla sola h. Espimndo h in funzion di h d h in funzion di h mdiant la (5) d intodundo l spssioni ottnut ispttivamnt nlla (54) nlla (53), si ottngono l sgunti spssioni (dl tutto quivalnti) iasuna dll quali sinttizza ntamb l ondizioni (53) (54): h ( ) ( ) Dall (56) si possono ddu i valoi minimo massimo di h d h, ioè. h.5.33 (35.56a,b) ( ).5 =. ; min =.5.3 max h h ( ).5 h =. ; h =.5.3 min max Opativamnt, poihé è lgato all aattistih dlla mahina, è oppotuno:. sgli una tnsion h isptti la (55) sia infio alla tnsion ammissibil,. sgli un valo di h h isptti la disquazion (56a) oppu un valo di h h isptti la (56b). (35.57a-d) S si sgli il valo minimo di h o di h il diso isulta, ovviamnt, il più sottil possibil. Da nota h s si impon una tnsion pai al tmin di dsta dlla (55) si ottin sattamnt h =5h, om è ovvio, ma anh h =.5 d h =., ioè l ondizioni limit spss dall (53,54). La soluzion è quindi univoa oinidnt on l situazioni limit. Assgnando a valoi tndnti a i valoi dgli stmi dll disquazioni (57) si allontanano onsguntmnt gli spssoi minimi massimi. Ad smpio, nl aso in ui sia ω=68.8 ad/s, µ=853 g/m 3, = mm, imponndo =.5, si ottin: h /h =7.39, da ui vin ispttata la ondizion (5), la disquazion (56b), ad smpio, divnta. h /.338, da qusta si ottin: h min = mm, h max 34 mm, dal appoto h /h si ottin: h min 8 mm, h max =5 mm. 35.6

7 G. Ptui Lzioni di Costuzion di Mahin È fail ossva h i valoi di h d h minimi massimi ispttano l ondizioni (54,53), ssndo h min / =., h max /.34, h min /.8, h max / =.5. I pofili lativi allo spsso minimo massimo sono mostati in fig.4. Dimnsionamnto dlla oona La oona può ss onsidata om un diso di spsso ostant, piolo isptto al suo aggio mdio, assimilabil ad un anllo sottil, p il qual il alolo dll tnsioni isulta smplifiato. L gandzz gomtih h aattizzano il poblma sono: l aa dlla szion diamtal dlla oona S, il aggio baintio dlla szion. Avndo assimilato la oona ad un anllo sottil (Appndi ), è possibil dtmina la tnsion ionfnzial mdia agnt sulla sua szion diamtal onsidando h la isultant sia appliata nl bainto in posizion iava la tnsion agnt in oispondnza dll attao on il diso, in posizion, itnndo h l tnsioni nll du posizioni siano popozionali all distanz dal nto di otazion, ioè nl appoto /. La tnsion ionfnzial mdia agnt sulla szion diamtal dlla oona è la somma di 3 ontibuti:. dovuto alla foza ntifuga agnt sulla oona stssa,. dovuto alla foza ntifuga agnt sulla palttatua, 3. 3 dovuto alla tnsion adial appliata al bodo intno pai a. La si ottin sivndo l quazion di quilibio ta la isultant dll tnsioni ionfnziali agnti sull du szioni dlla mzza oona (S ) la foza ntifuga agnt su mzza oona stssa ottnndo = µ ω = µ ω S S sin d (35.58) La si ottin dall quilibio ta la isultant dll tnsioni ionfnziali agnti sull du szioni dlla mzza oona (S ) la foza ntifuga tasmssa dalla palttatua alla mzza oona stssa. S m p è la massa di tutt l paltt d p è la posizion dl aggio mdio dlla palttatua, la foza ntifuga ad unità di lunghzza tasmssa dalla palttatua alla oona può ss valutata dividndo il podotto m p ω p p la lunghzza dlla oona in oispondnza dl bainto data da. L quazion di quilibio dlla mzza oona può ss sitta om m ω m ω = = S S p p sin p p d (35.59) La 3 si ottin dall quilibio ta la isultant dll tnsioni ionfnziali agnti sull du szioni dlla mzza oona (S 3 ) la foza dovuta alla tnsion adial (h nl aso di dishi di unifom sistnza è pai a ) agnt su mzza oona in oispondnza dlla szion di attao ta diso oona di altzza h : h 3 = h sin d = S S (35.6) Infin la tnsion ionfnzial mdia agnt sulla szion diamtal dlla oona (= ) isulta m p ω p h = µ ω + (35.6) S S Com dtto, avndo assimilato la oona ad un anllo sottil, la tnsion ionfnzial agnt in oispondnza al aggio di attao on il diso, ioè, può ss iavata dalla tnsion mdia om = (35.6) Nl aso di dishi di unifom sistnza la (6) la (6) possono ss utilizzat p dtmina i paamti gomtii, S (o anh ) sostitundo la (6) nlla (6) ponndo = =. In patiola si ottin si ottin: mp ω p µ ω 3 h + = S Qusta lazion pmtt di dtmina una dll vaiabili, S o assgnando l alt. (35.63) 35.7

8 G. Ptui Lzioni di Costuzion di Mahin Dishi di pofilo abitaio: il mtodo di Gamml Il mtodo di Gamml p la valutazion dllo stato tnsional in dishi di pofilo abitaio on spsso h() si basa sulla distizzazion dl diso in un numo di lmnti di spsso ostant, p ognuno di quali l tnsioni possono ss ottnut sfuttando l soluzioni (6) (7) dsitt ni paagafi pdnti. Il pimo passo dl mtodo di Gamml è ostituito dalla distizzazion dl pofilo oiginal (fig.5) in N lmnti dlimitati da N+ valoi dll asissa indiati on, ssndo =,..(N+), avnti altzza h pai all altzza mdia dl pofilo al in oispondnza ad ssi. I dati da onsida dopo la distizzazion sono: l N+ asiss dgli stmi dgli lmnti, ; l N+ altzz dgli lmnti in oispondnza dll N+ asiss, h (da nota h h N+ =h N ); gli N+ spssoi dl diso non distizzato in oispondnza dll N+ asiss, H =h( ). A pati dall tnsioni adiali not al bodo intno d stno dl diso, I E, d ipotizzando il valo dlla tnsion ionfnzial agnt al bodo intno dl pimo diso, I, è possibil iava in sussion l tnsioni agnti in tutti gli lmnti dlla distizzazion; s tal distizzazion è suffiintmnt fitta il isultato ottnuto on la podua omplta appossima bn l andamnto dll tnsioni dl diso ontinuo. La valutazion dll tnsioni nl pimo diso ihid l imposizion di du ondizioni al ontono p la dtminazion dll ostanti A B nll (6) (7), mnt è nota soltanto la tnsion adial al bodo intno. P tal motivo, al pimo passaggio vin è oppotuno assgna valo nullo alla tnsion ionfnzial al bodo intno I la dtminazion dll tnsioni ffttiv ihid 3 passaggi al fin di sfutta la onosnza dlla tnsion adial ffttiva al bodo stno E :. si dtminano l tnsioni adiali ionfnziali agnti ai aggi p il aso di diso otant, sul ui ontono agisono la tnsion adial ffttiva I tnsion ionfnzial nulla (imponndo I =);. si dtminano l tnsioni adiali ionfnziali agnti ai aggi p il aso di diso non otant (ω=), sul ui ontono la tnsion adial è nulla la tnsion ionfnzial è pai al valo ipotizzato Σ I, h può ss pnsata om il podotto dlla tnsion ionfnzial ffttiva p una ostant inognita, ioè Σ I = I ; 3. si alolano l tnsioni adiali ionfnziali ffttiv agnti ai aggi om somma dll tnsioni dll tnsioni, qust ultim moltipliat p un fatto K, h vin dtminato imponndo h la tnsion adial omplssiva al bodo stno abbia il valo noto al ontono E, ioè sia +K = E. h H H =h( ) h Fig.35.5 Esmpio di distizzazion in 6 lmnti di un pofilo. tnsion adial E è nota. Infatti si può siv: a b a b E In patia, dfinndo a la distibuzion di tnsioni adiali dovuta all foz ntifugh alla tnsion adial al ontono b la distibuzion dovuta alla tnsion ionfnzial ffttiva, la tnsion adial ffttiva è data dalla somma dll distibuzioni, ioè = a + b. L tnsioni oinidono on il pimo tmin: = (35.64) a La distibuzion di tnsioni è dovuta alla sola Σ I = I ipotizzata, ioè oinid on la b a mno dlla ostant : = (35.65) b Affinhé la assuma il valo otto b dv ss moltipliata p un fatto ottivo K=/, h può ss dtminato al aggio stno, dov la = + = + K = + K (35.66) dalla qual si iava h N H N+ h N+ ( ) K = = (35.67) E A sua volta, sinttiamnt, la dtminazion dll tnsioni in iasun lmnto è ffttuata in passi:. si assgnano al bodo intno l tnsioni alolat al bodo stno dll lmnto pdnt, oppotunamnt ott p la vaiazion di spsso; solo al pimo passo si assgnano al bodo intno dl pimo lmnto il valo dlla tnsion adial al ontono la tnsion ionfnzial di tntativo;. si dtminano l tnsioni agnti al bodo stno dll lmnto stsso utilizzando l spssioni dlla tnsion p il aso di diso a spsso ostant, dopo av valutato l ostanti di intgazion a pati dall tnsioni al bodo intno dtminat al passo. 35.8

9 G. Ptui Lzioni di Costuzion di Mahin Anzitutto si dv ossva h a iasun aggio al qual si vifia una vaiazion dllo spsso dovuta alla distizzazion, dov sono in ontatto il bodo stno il bodo intno di du lmnti onsutivi, l tnsioni agnti sui du lmnti sono diffnti isptto a qull alolat al punto. Tali tnsioni sabbo valid s l lmnto a spsso ostant si stndss al di là dl aggio al qual vin alolata la tnsion. Vivsa, in oispondnza dll vaiazioni di spsso, dvono ss ispttat l ondizioni di quilibio di ongunza, ioè dvono ss uguali: gli spostamnti adiali dl bodo stno dll lmnto intno dl bodo intno dll lmnto stno h, in bas alla (), impliano l uguaglianza dll dfomazioni ionfnziali; la foza adial appliata al bodo stno dll lmnto intno la foza appliata al bodo intno dll lmnto stno. Con ifimnto alla fig.6, s h d h,,, ε d ε sono ispttivamnt l altzz, l tnsioni adiali, l tnsioni ionfnziali l dfomazioni ionfnziali al aggio di du dishi in ontatto, in oispondnza dl aggio stsso, in bas a quanto dtto, dvono ss vifiat l sgunti lazioni: ε = ε = ( ν ) = ( ν ) E E h h = (35.68,69) Espliitando la (69) isptto a d intodundo il isultato nlla (68), l tnsioni agnti sull lmnto in oispondnza dl bodo intno possono ss spss in funzion di qull agnti sull lmnto om sgu ( h h ) = ν h h = (35.7,7) P quanto onn la dtminazion dll tnsioni agnti al bodo stno ( ) di iasun diso di spsso ostant, not l tnsioni al bodo intno ( i ), ss possono ss ottnut utilizzando l lazioni (6,7): B = A C B = A + D (35.7,73) qui isitt utilizzando il aggio ffttivo non qullo nomalizzato, p ui l ostanti B, C D diffisono p il fatto / da qull psnti nll (6,7). In gnal, s sono not l tnsioni adiali ionfnziali agnti ad un to aggio è possibil valuta l ostanti psnti nll (7,73), di onsgunza, l tnsioni a qualsiasi alto aggio. P = i l ostanti A B possono ss dtminat mdiant l sgunti lazioni = ( t s) B ( t s) A + nll quali s = + C i i = (35.74,75) t = + D (35.76,77) mnt l ostanti C D p diso otant (C= / D=d / ) sono dat da 3 C = +ν µ ω 8 p diso non otant, ovviamnt, da i i D + 3ν µ ω 8 = (35.78,79) C = D = (35.8,8) È fail ossva h l ostanti C D sono uguali p tutti gli lmnti dvono ss alolat una sola volta. Nl aso spifio, on ifimnto alla fig.6, p l lmnto -simo dlla distizzazion, si ha =, h = h, h = h, =, =, =, = (35.8) i i - - i h h h - h - Fig.35.6 A sinista quilibio di lmnti onsutivi, a dsta paamti gomtii manii dll lmnto -simo

10 G. Ptui Lzioni di Costuzion di Mahin l tnsioni agnti al bodo intno, not l tnsioni al bodo stno dll lmnto ( )-simo, possono ss ottnut dittamnt mdiant l sgunti lazioni ottnut dall (7,7): = ν ( h h ) i = h h (35.83,84) i Not l tnsioni (83,84) al bodo intno, si dtminano l ostanti A B mdiant l (74-77), h, patiolaizzat p l lmnto -simo, divntano: s = + C i (35.85,86) t + D = i = ( t s) B ( t s) A + si valutano l tnsioni al aggio stno dll lmnto = + on l (7,73): B = A C + + = (35.87,88) B = + (35.89,9) A D + + nll quali l ostanti C D sono dat dall (78,79) p valuta l tnsioni, mnt sono post a (8,8) p valuta l tnsioni. Com dtto, al pimo passo i valoi dll tnsioni adiali tangnziali dvono ss imposti in bas alla ondizion al ontono i = i all ipotsi i =, p il alolo di in bas all ondizioni i = i =Σ i, p il alolo di ; inolt la ozion dlla tnsion al bodo intno dv ss ffttuata anh p il pimo lmnto, onsidando la diffnza ta lo spsso ffttivo al bodo intno H (dov è appliata la i ) lo spsso h. In bas a qust onsidazioni, al pimo passo, l (83-84) dvono ss sostituit dall sgunti spssioni: i = = H i I / h = Σ i I i = ( ) L tnsioni adiali ionfnziali da utilizza p dtmina l tnsioni ffttiv dvono ss ostituit dall tnsioni ai bodi intni dgli N dishi, h agisono nll szioni, on =,..n, alolat on l (83,84), ui dvono ss aggiunt l tnsioni al bodo stno dll ultimo diso, ioè nlla szion = N+, alolat on l (89,9). È util nota h l tnsioni al bodo stno di pimi N dishi, ottnut mdiant l (89,9) ostituisono il isultato di un passaggio intmdio il ui fin ultimo è la dtminazion dll tnsioni (83,84) dl diso sussivo; solo l tnsioni al bodo stno dl diso N dvono poi ss insit om ultimo lmnto nll tnsioni. L tnsioni osì ottnut sono lativ all szioni dl diso distizzato ui oispondono gli spssoi h, mnt nl diso non distizzato gli spssoi sono dati dai valoi H =h( ). P ottn isultati più pisi è oppotuno ffttua sull tnsioni una ozion invsa isptto a qulla ffttuata al bodo intno on l lazioni (9-94). In patia, p l N+ szioni, oispondnti ai bodi intni di tutti i dishi più il bodo stno dll'ultimo diso, si dv ffttua la sgunt ozion: ( h H ) '/" '/" = ν = h H (35.95,96) '/" '/" '/" i i i i i Ottnut l tnsioni il fatto K può ss valutato in bas alla (67) om ( ) E L tnsioni finali, a loo volta, possono ss ottnut om: K = (35.97) = + K = + K (35.98,99) In appndi è ipotato un iassunto di dati di ingsso dlla squnza dll opazioni nssai all implmntazion dll algoitmo di alolo. Nl aso di diso non foato vin a mana la possibilità di assgna la ondizion al bodo intno, ma al nto dl diso si dv vifia la ondizion i = i, om si vd dall (3,33). In qusto aso la podua può ss appliata dtminando p il aso di diso solo otant ( I = I =) p il aso di diso non otant on tnsioni adiali ionfnziali di tntativo al bodo intno uguali ( I = I =Σ I ). Il fatto K può ss poi dtminato nomalmnt mdiant la (97). In qusto aso nll (64-66) a è la distibuzion di tnsioni adiali dovuta all sol foz ntifugh, mnt b è la distibuzion di tnsioni adiali dovuta all tnsioni adiali ionfnziali al ontono uguali ta loo. Da nota h il mtodo di Gamml può ss appliato patndo dal diso stno inv h da qullo intno d appliando la (97) al bodo intno. Com sopa ipotato, l tnsioni adiali ionfnziali da utilizza p dtmina l tnsioni ffttiv dvono ss ostituit dall tnsioni ott a bodi intni dgli N dishi, ui dvono ss aggiunt l 35.

11 G. Ptui Lzioni di Costuzion di Mahin tnsioni ott al bodo stno dll ultimo diso. Nlla alizzazion di un algoitmo è possibil utilizza du soli vttoi di dati ostituiti da N+ lmnti, uno p l tnsioni adiali d uno p qull ionfnziali lativ agli N lmnti. In qusto aso, nl ilo di alolo, i valoi dll tnsioni dtminat al bodo stno dl -simo diso dvono ss mmoizzati nl +-simo lmnto di du vttoi. In patiola, al posto dll vaiabili i, i, si possono utilizza l sol vaiabili, ffttuando l sgunti sostituzioni nll fomul (83-86,89-9): i =, =, = +, i =, =, = +. L quazioni oispondnti a qusta podua sono ipotat nlla tablla A.. In fig.7 è mostato un smpio di appliazion dl mtodo di Gamml lativa al un aso puamnt toio di un diso foato avnt il pofilo di un diso di unifom sistnza (in altà, om affmato in pdnza, i dishi di unifom sistnza non possono ss foati), sui ui bodi intno d stno agisono tnsioni I = E = =49x 6 Nm. Nll appliazion è stata utilizzata una tnsion ionfnzial di tntativo pai alla mtà dlla tnsion adial, ioè Σ I = I /. Ovviamnt l tnsioni dovbbo isulta ostanti pai a. In fig.7a è mostata la distizzazion in soli N=5 lmnti, in fig.7b, sono mostat l tnsioni appsntat in Nm, in fig.7d sono mostat l tnsioni omplssiv, avndo ottnuto il offiint K=.56. h [m] (a) [m] x 8.5 (b) x 8.5 () ŕ. [Nm ].5 ʹ [Nm ] ʺ [m].6 x 8 ʺ [m] (d). [Nm ] [m] Fig.35.7 Esmpio di appliazion dl mtodo di Gamml ad un diso di unifom sistnza: (a) distizzazion in N=5 lmnti dl diso; (b-) tnsioni ; (d) tnsioni omplssiv. 35.

12 G. Ptui Lzioni di Costuzion di Mahin APPENDICE A. Implmntazion dll algoitmo di Gamml Dati di ingsso iniziali: dnsità [g/m 3 ] offiint di Poisson dl matial µ, ν vloità angola dl diso [ad/s] ω pofilo dl diso [m] h() tnsioni adiali al ontono [N/m ] I, E, tnsion ionfnzial di tntativo [N/m ] Σ I Dati ottnuti dalla distizzazion: numo dgli lmnti dlla distizzazion N N+ asiss dgli stmi dgli lmnti, N+ altzz mdi di sgmnti, h N+ spssoi dl diso non distizzato H =h( ) Passi dll algoitmo:. Calolo di C D q.(78,79). Calolo di ngli N lmnti. Tnsioni al bodo intno lmnto n. lmnti n.-n. Tnsioni al bodo stno, lmnti n.-n, q.(9-9) q.(83,84) q.(85-9).3 Cozion tnsioni bodi intni lmnti n.-n bodo stno lmnto n.n+ q.(95,96) 3. Calolo di ngli N lmnti (C=, D=, I=) 3. Tnsioni al bodo intno lmnto n. q.(93,94) lmnti n.-n q.(83,84) 3. Tnsioni al bodo stno, lmnti n.-n, q.(85-9) 3.3 Cozioni tnsioni bodi intni lmnti n.-n bodo stno lmnto n.n+ q.(95,96) 4. Calolo di K q.(97) 5. Calolo dll tnsioni q.(98,99) C = ( 3 + ν ) µ ω 8 D ( ν ) µ ω = C = = D 78,79-8,8 = H / h i I I = i = ν '/" '/" '/" ( h h ) i = i i I = 9,93 = Σ 9,94 '/" '/" h = h =,..,n 83,84 i s = + C i B A = ( t + s) B = ( t s) t + D = i '/" = A C + + B '/" = A + D + + =,..,n 85-9 '/" '/" i i '/" '/" '/" = h H = ν ( h H ) =,..,N i i i ( ) K = 97 E N = + K = + K N Tab. A. - Algoitmo dl mtodo di Gamml, utilizzando vaiabili spaat p l tnsioni agnti ai bodi intni d stni dgli lmnti dlla distizzazion. 35.

13 G. Ptui Lzioni di Costuzion di Mahin C = ( 3 + ν ) µ ω 8 D ( ν ) µ ω = H I I = i = C = = / h ( h h ) = ν '/" '/" '/" s = + C t '/" D '/" = I D 78,79-8,8 = 9,93 = Σ 9,94 = h h =,..,n 9,94 '/" '/" = + A = ( t + s) B = ( t s) B '/" + = A C + + ( h H ) '/" '/" '/" '/" + = A + D + + B =,..,n 83, '/" '/" = ν = h H =,..,N ( ) K = 97 E N + N + = + K = + K Tab. A. - Algoitmo dl mtodo di Gamml, utilizzando una sola vaiabil p l tnsioni agnti ai bodi intni d stni dgli lmnti dlla distizzazion. 35.3

14 G. Ptui Lzioni di Costuzion di Mahin A. Equilibio di un anllo sottil soggtto ad azioni adiali tnsioni ionfnziali L spssioni dll tnsioni ionfnziali (5) (58-6) possono ss ottnut onsidando l quilibio di un anllo di matial avnt szion piola isptto al aggio, soggtto a foz d inzia o dovut all tnsioni adiali. In patiola è possibil siv l quazion di quilibio alla taslazion vtial dlla mtà supio dll anllo stsso soggtto alla foza sitata sull szioni S dall alta mtà dll anllo tamit la tnsion ionfnzial alla isultant dll azioni agnti in dizion adial, poittat in dizion vtial (fig.a.).tali azioni, ni vai asi, sono ostituit dall foza d inzia agnt sull anllo stsso, dall foz tasmss dalla palttatua posta in otazion on il diso dall foz dovut alla tnsion adial agnt nlla szion di attao dlla oona on il diso in oispondnza al aggio stno dl diso. Considando positiva la dizion vso l alto, la foza dovuta all tnsioni ionfnziali itnut ostanti nlla szion S è data smp dalla sgunt spssion: F = S (A.) La foza ntifuga agnt su iasun volumtto lmnta dll anllo F V è data dal podotto dlla dnsità dl matial µ p l alazion ntifuga ω. La foza isultant in dizion vtial può ss ottnuta intgando F V isptto al volum dl mzzo anllo ( sin ) V µ ω µ ω (A.) F = F dv = S d = S V Nl aso dll anllo a distanza è suffiint po =, mnt nl aso dlla oona è =. La foza ntifuga appliata dalla palttatua alla oona può ss appossimata om una foza ad unità di lunghzza F L ottnibil dividndo la foza d inzia total su tutt l paltt p la lunghzza dlla oona. La isultant in dizion vtial può ss spssa intgando F L isptto alla lunghzza dlla mzza oona: F = F dl = m ω d = m ω p p sin p p L L (A.3) La foza appliata alla oona in dizion vtial dalla tnsion adial agnt nlla szion d attao on il diso può ss ottnuta intgando la tnsion stssa isptto alla supfii su ui agis F = sin da = sin h d = h A (A.4) guagliando in modo oppotuno la foza A. all foz spss dall A.-A.4 iodando la soluzion dl sgunt intgal sin d = [ os ] = (A.5) è possibil iava l (5) (58-6). F L / F V d d S ω S Fig.A. Equilibio di un anllo sottil soggtto a foz agnti in dizion adial. 35.4