ANALISI NON LINEARE CON IL MEF

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1 ANALISI NON LINEARE CON IL MEF Problem lnear [ K ]{ } { P} Soluzone { } [ ] K { P} Costante non dpendente da Problem non lnear [ K ({ } )]{ } { P} Non costante dpendente da Soluzone Rcerca con tecnche teratve d un partcolare vettore spostamento tale che: [ { } ] * { * K( ) } { P}

2 CLASSIFICAZIONE NON LINEARITÀ/ Non lneartà del materale (o Materal non lneartes ) Non lneartà nelle relazon costtutve elastctà non lneare plastctà creep --- {} σ [ D]{ ε} [ ] e [ ] T K B [ D] [ B] dv V σ Esempo: struttura operante n regme elasto-plastco ε

3 CLASSIFICAZIONE NON LINEARITÀ/ Non lneartà geometrche (o Geometrc non lneartes ) Non lneartà nella relazone tra spostament nodal e deformazon grand spostament (grand rotazon) grand deformazon. --- Esempo: struttura che subsce spostament tal da non rendere pù lecto scrvere le equazon d equlbro per la geometra nzale non deformata [ ] e [ ] T K B [ D] [ B] dv V { ε} [ B]{ e }

4 CLASSIFICAZIONE NON LINEARITÀ/ Non lneartà geometrche (o Geometrc non lneartes ) Non lneartà nella relazone tra spostament nodal e deformazon grand spostament (grand rotazon) grand deformazon. --- Esempo: struttura che subsce spostament tal da non rendere pù lecto scrvere le equazon d equlbro per la geometra nzale non deformata [ ] e [ ] T K B [ D] [ B] dv V { ε} [ B]{ e }

5 CLASSIFICAZIONE NON LINEARITÀ/3 Non lneartà de vncol ( Constrant (o Contact ) non lneartes ) Non lneartà ne vncol del corpo verso l esterno o tra corp dvers contatto tra corp --- Al varare del carco applcato (e qund degl spostament) le condzon d vncolo possono cambare e questo produce una varazone della matrce d rgdezza della struttura. Esempo: contatto clndro-pano P P δ (Hertz) P [ K ]{ } { P} δ

6 TECNICHE RISOLTIVE PROBLEMI NON LINEARI La soluzone vene cercata tramte tecnche teratve che consentono d determnare l campo d spostament per l quale rsulta: [ K( { } )] { } { P} La tecnca d soluzone pù comunemente utlzzata è l: Metodo d Newton-Raphson (MNR)

7 METODO NEWTON-RAPHSON/ Esempo llustratvo per funzone d una sola varable ndpendente Inzalzzazone parametr contatore terazon: stma nzale d * Calcolo f() e (df/d) n f( ) f() Pb: determnare * tale che f(*) con f() non lneare n f Eq.ne tangente n t df f ( ) + d ( ) Calcolo dello zero d f t f ( ) + df d Aggornamento parametr: + nuova stma d * + 3 Relazone rcorsva f ( ) + df d *

8 METODO NEWTON-RAPHSON/ OSS. : La soluzone ottenuta è approssmata con errore che sotto opportune condzon decresce al progredre delle terazon (necessaro un crtero d convergenza) OSS.: Parametr utlzzabl per l controllo della convergenza: Valore della funzone f() Dstanza tra le approssmazon successve Crter d convergenza possbl: ) f ( ) δ f( - ) ) ε f( ) f( + ) - + * - +

9 METODO NEWTON-RAPHSON/3 OSS.3 : La possbltà d ottenere la convergenza dpende dalla scelta del punto d partenza. Il MNR è convergente se l punto d partenza è compreso n un ntorno della soluzone (è suffcentemente vcno alla soluzone) dpendente dalla forma della funzone altrment può non convergere f() Intorno d convergenza *

10 APPLICAZIONE MNR A PROBLEMI EF NON LINEARI/ Nel caso del MEF s tratta d rcercare la soluzone dell equazone matrcale non lneare: { F( { } )} [ K( { } )] { } { P} Forze applcate a nod dagl element a causa degl spostament de nod stess { ({ } )} P N { F( { } )} { P } { P} N Squlbro

11 APPLICAZIONE MNR A PROBLEMI EF NON LINEARI/ Relazone teratva per f.ne d varable df f ( ) + d { F( { } )} { P ({ } )} { P} N { } + Δf df d Δ { ΔF} [ K ({ } )] { Δ} T Matrce d rgdezza tangente: rappresenta n un ntorno dello stato corrente d spostamento la relazone (lnearzzata) tra la varazone del vettore spostamento e la conseguente varazone dello squlbro. La sua formulazone dpende dal partcolare problema trattato.

12 APPLICAZIONE MNR A PROBLEMI EF NON LINEARI/3 { ΔF} [ K ({ } )] { Δ} T { ΔF} { F( { + Δ} )} { F( { } )} ({ PN ({ + Δ} )} { P} ) ({ PN ({ } )} { P} ) { P ({ + Δ} )} { P ({ } )} { ΔP ({ } )} N N N { ΔP } [ K ({ } )] { Δ} N T

13 APPLICAZIONE MNR A PROBLEMI EF NON LINEARI/4 ) ( f d df + { } { } { } ( ) [ ] { } { } { } ( ) { } [ ] { } { } ( ) P P K P P K N T N T + ) ( Relazone teratva per f.ne d varable Relazone teratva per MEF non lneare

14 APPLICAZIONE MNR A PROBLEMI EF NON LINEARI/3 Inzalzzazone { } assegnato Calcolo d [ K ] [ K( { } )] Temp: ogn terazone rchede temp paragonabl a quell rchest per la soluzone d un problema elastco d par n d g.d.l. Calcolo d { } { } [ K ] ( { P } { P} ) + T N Calcolo d { PN } [ K ] { } Calcolo d [ K ] [ K ({ } )] T T No Convergenza? S Fne Aggornamento parametr: + { } { } +

15 APPLICAZIONE MNR A PROBLEMI EF NON LINEARI/4 Crter d convergenza:. Sullo squlbro { PN } { P} δ P Prf P rf { P} Norme soltamente utlzzate: { X } { X } n j { X } ma j n X j n X j j X j

16 APPLICAZIONE MNR A PROBLEMI EF NON LINEARI/5 Crter d convergenza:. Sullo spostamento { } { } δ rf rf { } Confronto crter d convergenza: Sullo spostamento -> maggore rapdtà e facltà d convergenza Sullo squlbro -> maggore precsone (n partcolare sulle tenson)

17 APPLICAZIONE MNR A PROBLEMI EF NON LINEARI/6 Illustrazone per sstema ad g.d.l.: asta n campo elasto-plastco P P N P N4 P N3 K T3 P N K T u P P N -P u u + P N K P T K T tan(θ) P N u u u u 3 u 4

18 Metod NR modfcat ( Modfed NR ) Prevedono d aggornare la matrce d rgdezza tangente ad ntervall d un certo numero d terazon. Se s usa sempre quella della prma terazone s ha l metodo detto ntal stffness. P P N u P Il metodo rchede un numero maggore d terazon cascuna delle qual ha però un costo computazonale nferore. Il metodo può talora consentre la convergenza n cas n cu la curva P N -u non è monotona. K T P N u u

19 RAPPRESENTAZIONE STORIA DI CARICO/ LS SS P P N SS LS Increment ( Load Steps ) Sotto-ncrement ( Substeps ) Iterazon NR ( Iteratons ) u

20 RAPPRESENTAZIONE STORIA DI CARICO/ Aspett da consderare nel suddvdere la Stora d carco n LS Problem conservatv Es: contatto elastco senza attrto Rsultat non dpendent dalla stora d carco P Stora Stesso stato σ ε Stora Aspett da consderare: convergenza t

21 RAPPRESENTAZIONE STORIA DI CARICO/3 Aspett da consderare nel suddvdere la Stora d carco n LS Problem non conservatv Es: deformazone elasto-plastca Rsultat dpendent dalla stora d carco P Stora Dverso stato σ ε Stora Aspett da consderare: convergenza effett stora d carco t

22 RAPPRESENTAZIONE STORIA DI CARICO/4 Rappresentazone Effett Stora d carco tramte LS Perodo d carco monotono: perodo durante l quale carch s mantengono crescent o decrescent Perodo d carco proporzonale: perodo durante l quale carch s mantengono n un rapporto fsso tra loro N M T N M T Monotono e proporzonale Non monotono e proporzonale Monotono e non proporzonale t

23 RAPPRESENTAZIONE STORIA DI CARICO/5 Effett Stora d carco Problem non dpendent dal tempo Il tempo rappresenta solo una varable convenzonale che fssa la sequenza con la quale carch sono applcat. La stora d carco dovrebbe rappresentare almeno gl aspett general dell andamento effettvo de carch (es. estrem de perod d monotonctà per cascuno de carch). N M T N M T t LS LS LS 3 LS 4 LS 5

24 RAPPRESENTAZIONE STORIA DI CARICO/6 Effett Stora d carco Problem dpendent dal tempo Il tempo rappresenta una varable fsca effettva. La stora d carco dovrebbe rappresentare dettagl dell andamento effettvo de carch nel tempo (es. veloctà d applcazone hold tmes ). Problema non dpendente dal tempo N Problema dpendente dal tempo N t LS LS LS 3 LS 34 LS 45

25 NON LINEARITÀ DEL MATERIALE/ Non lneartà nelle relazon costtutve elastctà non lneare σ ε

26 NON LINEARITÀ DEL MATERIALE/ Non lneartà nelle relazon costtutve elastctà non lneare plastctà σ ε ε p ε e

27 Non lneartà nelle relazon costtutve elastctà non lneare plastctà vsco-plastctà NON LINEARITÀ DEL MATERIALE/3 σ ε& ε

28 Non lneartà nelle relazon costtutve elastctà non lneare plastctà vsco-plastctà creep NON LINEARITÀ DEL MATERIALE/4 ε σ cost t

29 PLASTICITÀ/ Component d un modello d comportamento elasto-plastco: funzone d snervamento (yeld crteron): permette d stablre se uno stato d tensone dato corrsponde ad una condzone elastca o elasto-plastca; legge d ncrudmento (hardenng rule): defnsce l evoluzone della funzone d snervamento n funzone della deformazone plastca accumulata; legge d flusso (flow rule): consente d valutare l ncremento d deformazone plastca assocato ad una varazone d tensone.

30 PLASTICITÀ/ FNZIONE DI SNERVAMENTO (YIELD CRITERION) S basa sull ottenmento dato un generco stato d tensone plurassale d una tensone monoassale equvalente coè che s trova nelle stesse condzon dal punto d vsta dello snervamento. I crter d equvalenza pù usat per materal metallc sono: σ Crtero d TRESCA eq ({ σ} ) Ma[ σ σ σ σ σ σ ] 3 3 σ Crtero d VON MISES σ σ eq ({ σ} ) ( σ σ ) + ( σ σ ) + ( σ σ ) 3 3

31 PLASTICITÀ/3 FNZIONE DI SNERVAMENTO (YIELD CRITERION) La tensone monoassale equvalente può essere confrontata drettamente con la tensone d snervamento fornta dalla prova d trazone σ. La funzone d snervamento può pertanto essere formulata nel modo seguente: F ({ σ} ) σ ({ σ} ) eq σ σ F F F ({ σ} ) ({ σ} ) ({ σ} ) < > regme elastco regme elasto non possble plastco σ ε

32 PLASTICITÀ/4 LEGGE DI INCRDIMENTO (HARDENING RLE) Dato che nella prova d trazone la tensone vara con la deformazone anche n regme elasto-plastco pur dovendo manteners sempre F ne rsulta che la tensone (e qund la funzone) d snervamento deve varare con la deformazone plastca accumulata. σ ys σ σ ε

33 PLASTICITÀ/5 LEGGE DI INCRDIMENTO (HARDENING RLE) Le legg d ncrudmento utlzzate sono prncpalmente due: Incrudmento sotropo: espansone omotetca della superfce d snervamento n tutte le drezon σ σ Monoassale σ ys σ σ σ ys σ ε p ε

34 PLASTICITÀ/5 LEGGE DI INCRDIMENTO (HARDENING RLE) Le legg d ncrudmento utlzzate sono prncpalmente due: Incrudmento sotropo: espansone omotetca della superfce d snervamento n tutte le drezon σ σ Monoassale σ ys σ σ ys -σ ys σ σ ys σ ε p ε σ ys -σ ys

35 Incrudmento sotropo PLASTICITÀ/6 σ Bassale σ σ Rappresentazone analtca F ( ) ({ σ }) σ σ { ε } eq ys p

36 PLASTICITÀ/7 LEGGE DI INCRDIMENTO (HARDENING RLE) Incrudmento cnematco: traslazone della superfce d snervamento parallelamente a se stessa σ σ Monoassale σ ys σ O O σ σ ys ε p ε σ

37 PLASTICITÀ/7 LEGGE DI INCRDIMENTO (HARDENING RLE) Incrudmento cnematco: traslazone della superfce d snervamento parallelamente a se stessa σ σ Monoassale σ ys σ ε p σ O O σ σ ys ε σ σ ys -σ σ ys - σ σ

38 Incrudmento cnematco PLASTICITÀ/8 σ Bassale O O {α} σ σ F Rappresentazone analtca ( ( ) ({ σ }) σ { σ } α { ε } σ eq p

39 Incrudmento msto PLASTICITÀ/9 σ Bassale O O {α} σ σ Rappresentazone analtca F ( ( ) σ ({ ε }) ({ σ }) σ { σ } α { ε } eq p ys p

40 PLASTICITÀ/ La dpendenza de parametr della legge d ncrudmento dalla deformazone plastca è ottenuta tramte l valore d: Deformazone equvalente (o deale): σ Curva d trazone dε ε p eq p eq 3 T { dε } { dε } p p dε p eq { ε p } 3 T { dε } { dε } p p σ ε σ ys ({ε p }) σ σσ eq ε p ε peq

41 PLASTICITÀ/ La dpendenza de parametr della legge d ncrudmento dalla deformazone plastca è ottenuta tramte l valore d: Deformazone equvalente (o deale): σ Curva d trazone dε ε p eq p eq 3 T { dε } { dε } p p dε p eq { ε p } 3 T { dε } { dε } p p σ ε Lavoro plastco dw p T { σ} { dε } p σ ys ({ε p }) σ σσ eq W p dw p { ε } p T { σ} { dε p} ε p ε peq

42 PLASTICITÀ/ Legge d flusso (Flow rule): consente d valutare l ncremento d deformazone plastca {dε p } assocato ad una varazone d tensone {dσ}. In campo elastoplastco questo legame può essere stablto solo n forma ncrementale. Tpca forma della legge d flusso (Prandtl-Reuss): { dε } p ( σ ) Q dλ σ j Moltplcatore plastco j Potenzale plastco σ ( σ ) F σ j j Plastctà assocatva (valda per maggor parte materal metallc) O σ σ Q F { dε } p ( σ ) F dλ σ j j

43 PLASTICITÀ/ Calcolo moltplcatore plastco Condzon da soddsfare { } ( ) j j p F d d σ σ λ ε Legge d flusso { } [ ]{ } [ ]{ } { } ( ) p e d d D d D d ε ε ε σ Relazone costtutva { } { } ( ) { } { } { } { } + p T p T p d F d F df F ε ε σ σ ε σ Relazon d compatbltà per la superfce d snervamento { } [ ]{ } [ ] { } { } σ λ ε ε σ F d d D d D d e { } [ ]{ } { } [ ] { } { } { } + σ λ ε σ λ σ ε σ F d F F D d F d D F T p T T

44 PLASTICITÀ/ Moltplcatore plastco dλ F { σ } T [ D] T F { σ} F [ D] F F { σ} { ε } { σ } p T { dε} σ Incremento d tensone (da{dε e } ) Valore del moltplcatore plastco che asscura per ncrement nfntesm d deformazone che l punto rappresentatvo dello stato d tensone fnale gacca ancora sulla superfce d snervamento aggornata. O {σ} {σ}+ {dσ} σ σ Spostamento superfce d snervamento (da{dε p } )

45 PLASTICITÀ/ Legame costtutvo n campo elasto-plastco { } [ ] { } [ ] { } { } { } { } ε σ ε σ σ σ λ d F F F D F D F d T p T T { } [ ]{ } [ ] { } { } σ λ ε ε σ F d d D d D d e { } [ ] [ ] { } { } [ ] { } [ ] { } { } { } { } [ ] { } ε ε σ ε σ σ σ σ σ d D d F F F D F D F F D D d t T p T T Matrce costtutva tangente

46 Matrce d rgdezza tangente Sngolo elemento e T [ K ] [ B] [ D ][ B] T dv V t PLASTICITÀ/ Intera struttura S ottene assemblando le matrc d rgdezza tangent de sngol element

47 PLASTICITÀ/ Tecnca rsolutva con MEF da NR al passo -esmo { Δ} { } { } [ K ] ( { P } { P} ) T N Calcolo ncremento d deformazone totale { Δε} [ B]{ Δ} D: Come suddvdere l ncremento d deformazone totale n una quota elastca ed una plastca rspettando tutte le condzon (costtutve compatbltà elasto-plastca legge d flusso)? Pb: adesso l ncremento è fnto per quanto pccolo e la relazone per l calcolo d dλ vale solo n manera approssmata.

48 da NR al passo -esmo PLASTICITÀ/ Per tutt gl element ed punt d ntegrazone { Δε} [ B]{ Δ} { ε} { ε} + { Δε} Calcolo tensone d prova (ncr. puramente elastco) t { σ } [ D]{ ε} { ε } F ( ) t { σ } { ε } p ( )? s p Materale n campo elastco a NR prncpale per passo + no Rsoluzone del sstema non lneare ( ) { σ} [ D]{ ε} { ε p} F( { σ} { ε }) p per va numerca (es.: tramte un processo d NR anndato nel processo prncpale) ''' F( { ε p } ) '' F( { ε p } ) ' ({ } ) F ε p σ {σ} - ({ } ) F ε p t { } t σ F( { σ } { ε } ) > ( p ) > t ' t ' ' { σ } F { σ } { ε } ( p ) > t '' t '' '' { σ } F { σ } { ε } ''' ( p ) t ''' t ''' { σ } F { σ } { ε } t { σ} { } ''' σ ({ } ) F ε p p σ

49 COMANDI PER ANALISI NON LINEARE- n anals non lneare prevede l mpego d var Load Steps o ncrement d carco che devono essere rsolt n sequenza. Comand per la defnzone d un Load Step TIME TIME defnsce l tempo fnale del Load Step NROPT Opton scegle l algortmo d soluzone ATO algortmo scelto automatcamente FLL full Newton-Raphson MODI modfed Newton-Raphson INIT ntal stffness Newton-Raphson

50 COMANDI PER ANALISI NON LINEARE- CNVTOL Lab VALE TOLER NORM MINREF Grandezza per controllo convergenza spostament F squlbro (default) Valore d rfermento per la grandezza Tolleranza (default).5 per lo squlbro.5 per lo spostamento Norma norma L norma L norma

51 COMANDI PER ANALISI NON LINEARE-3 NSBST NSBSTP NSBMX NSBMN Carry N d substep ATOTS Key attva (ON) o dsattva (OFF) la scelta automatca de Substep. La dmensone mnma è data da NSBST KBC KEY scegle l andamento del carco nel LoadStep varable lnearmente nel Loadstep a gradno (costante nel Loadstep) OTRES Item Freq Cname Defnsce l tpo d dat trasfert nel fle d output e la frequenza d scrttura.

52 COMANDI PER ANALISI NON LINEARE-4 Per ogn Load step TIME CNVTOL NSBST NROPT. DEFINIZIONE CARICHI (VALORI FINALI) LSWRIT SOLVE LSSOLVE

53 Defnzone propretà elasto-plastche/ Comand ANSYS per l ntroduzone delle propretà del materale n campo elasto-plastco TB Lab MAT NTEMP NPTS TBOPT EOSOPT Modello d materale utlzzato: BISO MISO BKIN MKIN ANISO Etc. N dentfcatvo del materale N d temperature per le qual vengono fornte le prop. materale N d punt usat per descrvere la legge σ ε

54 Defnzone propretà elasto-plastche/ σ Per ogn legge d comportamento prescelta è necessaro fornre una Table. Il numero d punt della table ed l loro sgnfcato varano con l modello prescelto. Modello BISO (Blnear Isotropc) o BKIN σ S E E P N punt C σ s C E P TB BISO MAT NTEMP NPTS TBOPT EOSOPT ε TBTEMP TEMP KMOD TBDATA σ s E P Rpetere per ogn temperatura

55 Per ogn legge d comportamento prescelta è necessaro fornre una Table. Il numero d punt della table ed l loro sgnfcato varano con l modello prescelto. Modello MISO (Mult-lnear Isotropc) o MKIN σ σ Defnzone propretà elasto-plastche/3 N punt NPTS per ogn punto ε σ ε ε TB MISO MAT NTEMP NPTS TBOPT EOSOPT TBTEMP TEMP KMOD TBPT Oper ε σ NPTS volte Rpetere per ogn temperatura

56 POST6/ Il post-processore POST6 è destnato a rappresentare l andamento d grandezze specfcate (es. tensone o spostamento d un punto) n funzone del tempo o n funzone d un altra grandezza. Defnzone grandezze rcheste (Es. ESOL NSOL) STORE (Memorzzazone grandezze) Elaborazon sulle grandezze (es. ABSADD) Vsualzzazon (PLVAR)

57 POST6/ Grandezze calcolate negl element. ESOL NVAR ELEM NODE Item Comp Name Numero dentfcatvo della grandezza ( ) Elemento consderato Nodo consderato Grandezza e componente (es. S) Denomnazone della grandezza (es. SIGMAX)

58 Grandezze calcolate ne nod. POST6/3 NSOL NVAR NODE Item Comp Name Numero dentfcatvo della grandezza ( ) Nodo consderato Grandezza e componente (es. S) Denomnazone della grandezza (es. SIGMAX)

59 POST6/4 Reazon vncolar ne nod. RFORCE NVAR NODE Item Comp Name Numero dentfcatvo della grandezza ( ) Nodo consderato Grandezza e componente (es. F) Denomnazone della grandezza (es. SIGMAX)

60 POST6/5 Comand per la elaborazone delle grandezze defnte ABS ADD ATAN CLOG CONJG DERIV EXP IMAGIN INT LARGE NLOG PROD QOT REALVAR SMALL SQRT RPSD CVAR RESP

61 POST6/6 PLVAR NVAR NVAR NVAR3 NVAR4 NVAR5 NVAR6 NVAR7 Consente d rappresentare fno a varabl n funzone del tempo o della varable defnta nel comando XVAR XVAR N Defnsce la varable da utlzzare per l asse X; per default s usa la varable (tempo) /AXLAB As Lab Consente d speccare la label de due ass /XRANGE XMIN XMAX /YRANGE XMIN XMAX Defnscono I valor massm e mnm per due ass /GROPT Lab KEY Consente vare opzon grafche (es. Numero d dvson ass logartmc etc)

62 SO DI MATRICI/ Il programma ANSYS permette l uso d dvers tp d varabl dmensonate (matrc o vettor). *DIM Par Type IMAX JMAX KMAX Var Var Var3 CSYSID Denomnazone del parametro n forma d tabella Tpo d tabella: ARRAY matrce standard ad ndc nter TABLE matrce ad ndc real Numero d rghe colonne e strat

63 SO DI MATRICI/ Matrc d tpo ARRAY (denomnazone: TABI) TABI(3).

64 SO DI MATRICI/3 Matrc d tpo TABLE (denomnazone: RIS) Indc real nsert dall utente nella colonna e nella rga (Es. RIS().5).

65 SO DI MATRICI/4 In uscta gl ndc possono essere real. Il valore fornto vene nterpolato RIS(.75.5).+(-.)/(-.5)*(.75-.5)6.6

66 SO DI MATRICI/4 *VPLOT ParX ParY Y Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8 Parametro una delle cu colonne deve essere usata per l asse X Es. RIS(34) usa per l asse X valor della colonna 4 partendo dalla rga 3 Parametro una delle cu colonne deve essere usata per l asse Y Es. RIS(5) usa per l asse Y valor della colonna 5 partendo dalla rga /GCOLMN CRVE STRING Consente d attrbure una denomnazone ad ogn curva del grafco che compare nella legenda

67 NON LINEARITÀ GEOMETRICHE/ Non lneartà nella relazone tra deformazon e spostament nodal { ε} [ B ]{ e } [ B( { e }) ]{ e } Categore prncpal: grand spostament pccole rotazon pccole deformazon P α δ L L α N P N δ 3 3 PL EA AArea sezone EModulo elastco

68 NON LINEARITÀ GEOMETRICHE/ Non lneartà nella relazone tra deformazon e spostament nodal { ε} [ B ]{ e } [ B( { e }) ]{ e } Categore prncpal: grand spostament pccole rotazon pccole deformazon grand spostament grand rotazon pccole deformazon P (Canna da pesca) L P In entramb cas è necessaro scrvere le equazon d equlbro della struttura nella confgurazone deformata (ncognta) n quanto questa dffersce n manera non trascurable da quella ndeformata nzale.

69 NON LINEARITÀ GEOMETRICHE/3 Non lneartà nella relazone tra deformazon e spostament nodal { ε} [ B ]{ e } [ B( { e }) ]{ e } Categore prncpal: grand spostament pccole rotazon pccole deformazon grand spostament grand rotazon pccole deformazon grand spostament grand rotazon grand deformazon Non è pù possble calcolare le deformazon con uno svluppo n sere d Taylor arrestato al prmo termne: ε u ma s rende necessaro consderare anche termn d ordne superore

70 STRESS STIFFENING Effetto per l quale la rgdezza d una struttura camba n seguto alla presenza d uno stato d tensone. Questo effetto è sgnfcatvo per strutture avent una rgdezza trasversale (n genere legata a deformazon flessonal) pccola rspetto a quella longtudnale (n genere legata a deformazon estensonal). P N P N P La frecca prodotta da un carco trasversale vene rdotta dalla presenza d un carco assale d trazone ed aumentata da quella d un carco assale d compressone.

71 STRESS STIFFENING L effetto sulla rgdezza della trave può essere spegato consderando la geometra deformata della trave. y δ z M -Pδ P N Se s consdera la deformata della trave s nota che una forza normale postva produce rspetto alla generca sezone un momento flettente che tende a rdurre l nflessone.

72 STRESS STIFFENING L effetto sulla rgdezza della trave può essere spegato consderando la geometra deformata della trave. P N Se s consdera la deformata della trave s nota che una forza normale postva produce rspetto alla generca sezone un momento flettente che tende a rdurre l nflessone. y δ z P N na forza normale negatva produce un momento flettente opposto che tende ad aumentare l nflessone. M Pδ

73 STRESS STIFFENING L effetto sulla rgdezza della trave può essere spegato consderando la geometra deformata della trave. P N Se s consdera la deformata della trave s nota che una forza normale postva produce rspetto alla generca sezone un momento flettente che tende a rdurre l nflessone. P N na forza normale negatva produce un momento flettente opposto che tende ad aumentare l nflessone.

74 STRESS STIFFENING / Altr esemp d strutture per le qual l effetto d Stress stffenng può essere sgnfcatvo: Cav d sostegno funva Cnghe d trasmssone Rotor e pale d turbna Forza centrfuga Alber d trasmssone snell

75 STRESS STIFFENING / Gl effett d Stress Stffenng sono automatcamente nclus nella anals che tengono conto delle NLG. Per alcun element tuttava è stato svluppato un approcco semplfcato: Anals lneare { P } [ K ]{ e } Anals con Stress Stffenng { P } [ K ] + [ S] ( ){ e } Matrce d Stress Stffenng La matrce d Stress Stffenng con una metodologa specfca per ogn elemento basata su d un anals semplfcata

76 STRESS STIFFENING /3 Esempo: determnazone della matrce d Stress Sffenng per l elemento asta nel pano. ds y d

77 STRESS STIFFENING /4 Esempo: determnazone della matrce d Stress Sffenng per l elemento asta nel pano. y ds dv d du ( d + du) ( dv) ds + ds d du dv + + d d du du dv d d d + A + A A ds d + du d + du d + dv d 8 du d +... du dv + + d d

78 STRESS STIFFENING /5 Esempo: determnazone della matrce d Stress Sffenng per l elemento asta nel pano. y d ds d du dv + + d d ε ds d d ds d ε du d + dv d Termne agguntvo Termne da anals n pccol spostament

79 STRESS STIFFENING /6 Esempo: determnazone della matrce d Stress Sffenng per l elemento asta nel pano. y d dv W V ε σ + d dv d du ε dv E V ε V dv E ε EALε { } J y J I y I e ( ) ( ) ( ) ( ) I y J y I y I J I L v L u + + ( ) ( ) I y J y I J L d dv L d du

80 STRESS STIFFENING /7 Esempo: determnazone della matrce d Stress Sffenng per l elemento asta nel pano. + d dv d du ε EAL W ε ( ) ( ) I y J y I J L d dv L d du + d dv d du EAL d dv d dv d du d du EAL + d dv d du d du EAL W ( ) ( ) + I y J y I J L EA N L EAL W

81 STRESS STIFFENING /8 Esempo: determnazone della matrce d Stress Sffenng per l elemento asta nel pano. ( ) ( ) + I y J y I J L EA N L EAL W ( ) ( ) J I J I I I L EA L EAL W P ( ) ( ) I J I J J J L EA L EAL W P ( ) ( ) J y I y J y I y I y I y L N EA L N EAL W P ( ) ( ) I y J y I y J y J y J y L N L EA N EAL W P

82 STRESS STIFFENING /9 Esempo: determnazone della matrce d Stress Sffenng per l elemento asta nel pano. ( ) ( ) + I y J y I J L EA N L EAL W + J y J I y I J y J I y I L N L EA P P P P [ ] e K [ ] S

83 STRESS STIFFENING / Esempo: P N L L Soluzone manuale: P N L L δ P N L δ N sn P L N δ P L N δ N L P δ

84 STRESS STIFFENING / + J I y L N L EA N P / Soluzone EF: + / y y L N L EA N P P/ N L A E L N N L P J I y

85 STRESS STIFFENING / In cas per qual la forza assale N non sa nota a pror le soluzone vene ottenuta per va teratva. P L L

86 GRANDI ROTAZIONI/ È tpca delle strutture flessbl che spesso subscono sotto carco grand spostament travsersal. Y Dopo la deformazone Prma della deformazone La rotazone degl element produce una rdrezone delle forze che gl element stess applcano a nod nfluenzando le equazon d equlbro. X

87 GRANDI ROTAZIONI/ Y Dopo la deformazone [T n ] n y n y Prma della deformazone X Trasformazone spostament nodal SR nzale { e } SR fnale { e n } e { } [ T ]{ } n n n Matrce d trasformazone

88 GRANDI ROTAZIONI/ Nel SR ruotato deve ancora valere la relazone usuale tra spostament nodal e deformazon dato che queste ultme sono pccole: { ε} [ B]{ } e n { } [ ][ ]{ e ε B T } [ B ]{ e } n Matrce d rgdezza per pccole rotazon [ ] e T K [ B] [ D][ B] dv V n Matrce d rgdezza valda per pccol spostament a partre dalla confgurazone corrente (tangente): [ ] e T [ ] [ ][ ] T T KT Bn D Bn dv [ Tn ] [ B][ D][ B][ Tn ] V V dv

89 GRANDI ROTAZIONI/3 Calcolo per tutt gl element d e T T K T B D B T dv [ ] [ ][ ][ ][ ][ ] T V n Calcolo d [ T n ] Assemblaggo d [ K T ] Calcolo d T { P } [ T ] [ B]{ σ } N dv V n n Calcolo d { } { } [ K ] ( { P } { P} ) + T No Convergenza? S Fne N Aggornamento parametr: + { } { } +

90 PROBLEMI DI CONTATTO/ I cas n cu s abba contatto unlaterale tra corp possono essere studat facendo uso d element gap. Per quanto concerne le tpologe de corp n contatto s ndvduano due stuazon prncpal: contatto rgdo-flessble (uno de corp può rteners sensblmente pù rgdo dell altro come nel caso del contatto stampo-pezzo) contatto flessble-flessble ( due corp hanno rgdezza paragonable)

91 ELEMENTI DI CONTATTO/ Per quanto concerne tp d elemento utlzzabl s hanno generalmente: Element per anals Pont-to-Pont Contact nodes Rchesta conoscenza prelmnare zone d contatto e drezone accostamento Permess pccol spostament relatv n partcolare tangenzal so tpco: contatto tra punt localzzat della struttura (Es.: Ppe hanger) Contatto tra superfc: rchede un uguale mesh

92 ELEMENTI DI CONTATTO/ Per quanto concerne tp d elemento utlzzabl s hanno generalmente: Element per anals Pont-to-Pont Element per anals Pont-to-surface Contact node Target surface Non rchesta conoscenza zone contatto e drezone accostamento Permess grand spostament relatv n partcolare tangenzal so tpco: contatto tra punt localzzat della struttura (Es. spgol) e superfc (Es.: estremtà montagg Snap-ft ) Possble anche l mpego per anals del contatto tra superfc (n questo caso non è necessaro avere uguale mesh )

93 ELEMENTI DI CONTATTO/ Per quanto concerne tp d elemento utlzzabl s hanno generalmente: Element per anals Pont-to-Pont Element per anals Pont-to-surface Element per anals Surface-to-surface Contact surface Target surface Non rchesta conoscenza zone contatto e drezone accostamento Permess grand spostament relatv n partcolare tangenzal Non rchede uguale mesh tra le due superfc so tpco: contatto tra superfc n partcolare d tpo conforme

94 PROBLEMI DI CONTATTO Nel contatto rgdo-flessble l elemento rgdo deve essere l target Gl element surface-to-surface non sono done per cas n cu una delle superfc present spgol o rregolartà. Possble combnare element surface-to-surface con element pont-to-surface n corrspondenza degl spgol Se l area d contatto è nota a pror è convenente sostture gl element gap con vncol d dpendenza (anals lneare) Gl element che rappresentano le superfc a contatto devono essere pccol rspetto alle dmenson attese dell area d contatto n modo da consentre una rappresentazone accurata d quest ultma.

95 PROBLEMI DI CONTATTO E necessaro porre attenzone al verso degl spostament del nodo J rspetto a nodo I che determnano l apertura del GAP. Per element Pont-to-pont tale verso è dato da quello dell asse n del sstema d rfermento locale che può essere defnto da: Poszone de nod (da I a J solo se non concdent) Drezone fssata dall utente (ndspensable per nod concdent) I I t n n t J J J J Invertendo la drezone d n s trasforma l gap n un ganco

96 PROBLEMI DI CONTATTO E possble controllare la drezone effettva d apertura de GAP facendo vsualzzare SR degl element (PltCntrls->Symbols) J t n J I I J t J n I I

97 PROBLEMI DI CONTATTO E necessaro porre attenzone al verso degl spostament del nodo J rspetto a nodo I che determnano l apertura del GAP. Per element Pont-to-pont tale verso è dato da quello dell asse n del sstema d rfermento locale che può essere defnto da: Poszone de nod (da I a J solo se non concdent) Drezone fssata dall utente (ndspensable per nod concdent) Per element Surface-to-surface o Pont-to-surface l verso è dato dalla normale esterna alla superfce su cu gap vengono costrut

98 t I n PROBLEMI DI CONTATTO/3 Gl element gap sono tpcamente caratterzzat da: drezone d accostamento n (uno spostamento postvo d J rspetto ad I n drezone n apre l gap ) goco (o nterferenza nzale) g rgdezza d contatto normale k n rgdezza d contatto tangenzale k t coeffcente d attrto μ J F n F t u nj -u ni +g μf n u tj -u ti Atan(k n ) Atan(k t ) -μf n

99 PROBLEMI DI CONTATTO/4 Inzalzzazone dstrbuzone nzale d gap apert e chus [ K ] Assemblaggo d gap chus: u nj u ni gap apert: u nj e u ni ndpendent per tutt gap apert Calcolo δ n u nj -u ni -g δ n >? s no Regstrazone anomala per tutt gap chus Calcolo F n F n <? s no Regstrazone anomala Convergenza? s Fne + revsone gap no

100 PROBLEMI DI CONTATTO/4 COMANDI PER INSERIMENTO GAP Il programma ANSYS mette a dsposzone alcun comand per una ntroduzone facltata degl element GAP : EINTF TOLER K TLAB KCN DX DY DZ KNONROT Introduce element tra coppe d nod concdent Ma. dstanza tra nod concdent Ordnamento nod: LOW HIGH REVE

101 PROBLEMI DI CONTATTO/4 COMANDI PER INSERIMENTO GAP Il programma ANSYS mette a dsposzone alcun comand per una ntroduzone facltata degl element GAP : EINTF TOLER K TLAB KCN DX DY DZ KNONROT ESRF XNODE Tlab Shape Introduce element sulle superfc esterne d grupp d element gà esstent (sold gusc trav). Le superfc sono defnte da nod selezonat. Drezone della normale postva per element shell e beam: TOP BOTTOM Forma: _ come element sottostant TRI trangol

102 ESEMPIO DI ANALISI NON LINEARE SHEAR PNCH TEST

103 ESEMPIO DI ANALISI NON LINEARE SHEAR PNCH TEST

104 ESEMPIO DI ANALISI NON LINEARE SHEAR PNCH TEST