La dinamica del punto

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1 La dinamica del punto 1) Intoduzione La dinamica i occupa dello tudio delle caue del moto o, in temini più conceti, delle cicotanze che lo deteminano e lo modificano. L epeienza comune ci dice che pe muoee un oggetto, pe aiane la ua elocità oeo pe cambiae il uo tato di moto dobbiamo agie u eo e chiameemo foza l azione in gado di aiae lo tato di moto di un copo. Ci eiemo inizialmente di un entità atatta, dotata di maa ma con dimenioni tacuabili: il punto mateiale. Vedemo in eguito la alidità di queta emplificazione e come tutte le leggi ifeite al punto mateiale poano eee poi etee ai copi eali (dotati di maa e di dimenioni finite) intepetati come itemi di più (molti) punti mateiali. ) Il pimo pincipio della dinamica Poiamo a potae un oggetto poto u un piano eale oizzontale. L oggetto i muoe e applichiamo una foza ma appena mettiamo di agie u di eo, il copo genealmente i fema. Ciò può potae all eonea concluione, contenuta fa l alto nella teoia del moto di Aitotele e opaiuta fino ai tempi di Galileo, che pe aee il moto di un copo biogna agie continuamente u eo. Pe capie quanto in ealtà uccede, immaginiamo di eeguie le eguenti oeazioni peimentali: laciamo una maa M da fema all etemo upeioe di un piano inclinato, uando empe la tea maa e lo teo piano inclinato e eguiamo il ucceio moto di M lungo un piano oizzontale (edi fig. 1). Oeiamo che, mente la elocità f con cui M giunge ul piano oizzontale è empe la tea, la ditanza d da ea pecoa ul piano oizzontale, pima di femai, dipende dalle caatteitiche del piano. Più il piano è licio e leigato, più gande è d; al limite, etapolando, pe un piano pefetto (ideale) d diiene. Quet ultima etapolazione, douta a Galileo immaginando un epeimento ideale, pemette di enunciae il pincipio di inezia oeo il pimo pincipio della dinamica: Un copo pemane nel uo tato di quiete o di moto ettilineo unifome a meno che non inteenga una caua etena (detta foza) a modificae tale tato. 0/10/11 Lezioni di iica pe CT - MdP 1

2 = 0 f = 0 a) legno leigato d = 0 f = 0 b) pieta licia d = 0 f c) mamo leigato = 0 d = 0 f d) piano ideale = f d = ig. 1 ) Definizione opeatia di foza Conideiamo una maa M pota u un piano ideale oizzontale e ad ea ia unita una molla elatica di lunghezza a ipoo l. Con la mano tendiamo la molla, come in fig. e oeiamo che: a) e la molla non è allungata, M eta fema: la molla a ipoo non eecita azioni (foze) u M, b) e la molla è allungata, M cambia lo tato di moto: la molla allungata eecita azioni (foze) u M. a M l ig. 0/10/11 Lezioni di iica pe CT - MdP

3 Quindi una molla è un itema in gado di geneae delle foze e eta oio che e tendiamo la molla, cuando che ia = cot, eecitiamo una foza cotante u M e che pe diffeenti aloi di = cot otteniamo foze diee fa loo ma cotanti. La foza è un ettoe? Se poiamo (edi fig. 3) a ommae due foze uguali (tea molla e teo ) una applicata lungo, l alta lungo u un piano oizzontale ideale oeiamo che il cambiamento dello tato di moto aiene nella diezione a 45 ipetto ad. Queto uol die che le foze i ommano come ettoi e non come calai e quindi la foza è un ettoe. l M a l Piano oizzontale - ig. 3 Se u una maa agicono più foze i, chiameemo iultante delle foze applicata alla maa il ettoe i. Si oea che e agiamo con una foza cot u una maa M, queta acquita una acceleazione a cot nella diezione e eo in cui è applicata la foza oia a è paallela ad. Ciò ci pemette di intodue l unità di miua pe la foza detta ewton () come la quantità di foza neceaia pe acceleae, nella tea diezione e eo, la maa campione di 1 Kg di un meto al econdo quadato. 1 m 1 ewton = 1 = 1 Kg Kg m /. 1 4)Il econdo pincipio della dinamica Come detto nel pa. pecedente, con molle allungate di oppotuni iamo in gado di ottenee foze cotanti di aia entità. Supponiamo di agie lungo una ola diezione in modo da non conideae la natua ettoiale della foza e della acceleazione e facciamo le eguenti poe peimentali. a) Agiamo con foze diee e cotanti 1,, 3, ulla tea maa campione m 0. Pe ognuna di ee ediamo la maa acceleae ipettiamente con una acceleazione a 1, a, a 3,.. Si toa che: 0/10/11 Lezioni di iica pe CT - MdP 3

4 m0a m a ; m0a m a ; m0a m a ;... b) Agiamo con una foza cotante u maa diee m 0, m 1, m, m 3, m,.vediamo le mae acceleae ipettiamente con acceleazione a 0, a 1, a, a 3, a,.. e i toa che: m 0 a 0 = m 1 a 1 = m a = m 3 a 3 = m a L oeazione b dice che, a paità di foza, il podotto maa pe acceleazione è cotante, mente l oeazione a dice che tale podotto aia lineamente con la foza: entambe ono conitenti fa loo e i aume ma. Si impone che ia: (1) = ma definendo la maa m (detta maa ineziale) come la cotante di popozionalità fa foza ed acceleazione. L oeazione b pemette quindi di miuae una maa geneica in temini della maa campione m 0 : () m 0 a 0 a0 ma m m0. a 1 Si può edee, empe peimentalmente, che la elazione (1) ale anche in foma ettoiale. Se ulla maa m agicono più foze i, poto i ha: ma (3) econda legge della dinamica. i La elazione 3 dice che l acceleazione di un copo è diettamente popozionala alla foza applicata ad eo con la maa del copo come cotante di popozionalità. La maa eta opeatiamente definita con la elazione () e la econda legge della dinamica è quindi la definizione fomale di foza come una azione capace di cambiae lo tato di moto di una maa. Oeazioni: a) la pima legge del moto è automaticamente inclua nella econda, infatti e 0 i ha a 0 e quindi il moto è ettilineo unifome. 0/10/11 Lezioni di iica pe CT - MdP 4

5 b) la elazione 3 è una elazione ettoiale e quindi coiponde a te elazioni calai: ma Se una delle componenti della foza è nulla, la elatia componente dell acceleazione è anche nulla e il moto ma ma lungo la coipondente componente eta ettilineo z maz unifome. Ad eempio e = 0 a = 0 e il moto lungo è ettilineo unifome. c) ale il pincipio di oappoizione oia e u m agicono più foze 1,,3,... e poto 1 3 i ha: ma ; ma ; ma ; ma con a a1 a a ) Il tezo pincipio della dinamica Si oea che tutte le foze in natua nacono dall inteazione fa copi. Se u un copo A i ente un azione, ea aà douta all inteazione con un alto copo B, che a ua olta ente un azione coneguente all inteazione con il copo A. Le due azioni ono dette coppia di foze di inteazione e, poto AB la foza applicata ad A pe inteazione con B e BA la foza applicata a B pe inteazione con A, ia ha che: a) AB e BA hanno la tea diezione (coincidente con la etta congiungente i copi quando ei poono appoimai a punti mateiali) b) AB e BA hanno lo teo modulo c) AB e BA hanno eo oppoto (4) teza legge della dinamica AB BA La teza legge della dinamica è peo indicata come pincipio di azione-eazione e le foze della coppia di inteazioni come foze di azione e eazione. B: la ituazione AB BA 0 non dee tae in B inganno, la loo azione non è nulla in quanto la foza di azione e quella di eazione ono applicate a copi BA diei e petanto deteminano la dinamica dei copi A cui ono applicate: AB ig. 4 AB detemina il moto di A, detemina il moto di B. BA Un eempio tipico che i può fae è quello della emplice camminata: camminando impimiamo una foza al uolo all'indieto tamite il piede, il uolo agice con una 0/10/11 Lezioni di iica pe CT - MdP 5

6 foza uguale e contaia ul piede ed è queta foza che ci pinge in aanti (il uolo inece imane femo peché la maa ineziale della Tea è enome e quindi è nulla l acceleazione coneguente alla nota azione). 6) La quantità di moto: ifomulazione della econda legge della dinamica. d Sappiamo che a quindi e la maa m del copo è cotante abbiamo: dt d d m ma m dt dt Definita la quantità di moto come p m (unita di miua: Kgm/) i ha: (5) dp dt La elazione 5, equialente alla elazione 3 in meccanica claica, dice che la foza detemina la aiazione della quantità di moto di un copo oeo la foza è pai alla apidità di aiazione della quantità di moto di un copo nel tempo. Quet ultima fomulazione della econda legge della dinamica è più geneale peché, come edemo in eguito, molti fenomeni fiici non dipendono epaatamente dalla maa e/o dalla elocità del copo ma dallo tato di moto epeo dalla quantità di moto. 7) Le leggi delle foze La elazione ma definice il modo in cui i manifeta ed agice una geneica foza, ma non a confua con la definizione della pecifica foza o inteazione. Vedemo che ogni inteazione ha una pecifica legge, ad eempio: la foza peo: W Mg la foza elatica: el K mm la foza di gaitazione: g G 1 qq la foza elettica: E 4 0 la foza magnetica: q B B 0/10/11 Lezioni di iica pe CT - MdP 6

7 7.1 La oza peo Ogni maa M, in poimità della upeficie teete ente, e laciata libea, l acceleazione di gaità g. Pe la elazione 3, ciò equiale a die che ulla maa è eecitata un foza Mg che chiameemo foza peo (genealmente indicata con W ) (6) W Mg La foza peo è quindi dietta econdo la eticale del punto in cui è pota la maa M e punta eo il cento della Tea. ig. 5 La foza peo di M, applicata ad M, nace dalla ua inteazione con la Tea ( W MT ) e quindi la elatia foza di eazione TM, con MT TM, aà applicata alla Tea. La Tea, aendo una maa ineziale enome, non mota neuna acceleazione. (talaceemo d oa in poi TM ) Oeazioni: a) la foza peo di M dipende dalla ua inteazione con la Tea; e la tea maa è potata u un alto pianeta, la foza peo, oeo l inteazione con il pianeta, aà diea ma non la maa. b) la foza peo (ettoe) non a confua con il temine peo uato nel linguaggio comune, infatti ciò che i intende pe peo (calae) coincide genealmente con il concetto fiico di maa. 0/10/11 Lezioni di iica pe CT - MdP 7

8 7. La tenione di una coda b) cao tatico Conideiamo una maa M opea con una coda ideale (oia inetenibile e di maa tacuabile) al offitto. La maa M è fema nonotante u ea agica W Mg. Pe non iolae il econdo pincipio della dinamica, dobbiamo penae che la coda eeciti un azione, detta tenione T, u M in modo che W T Ma 0 a 0 e quindi: (7) W T. onotante la elazione pecedente, W e T non ono coppie di azione-eazione e ono applicate allo teo copo (la maa M). Poiché la tenione è applicata u M dalla coda ( T MC ), la foza di eazione CM è eecitata ulla coda da M, con T CM. L eidenza di CM è data dal fatto che una coda a cui i appende una maa, al pimo itante, i tende pe azione di tale foza. SC T = MC CS Coppie di azione-eazione: T CM CS SC CM W ig. 6 La igidità della coda tamette la foza CM applicata ad un uo etemo all alto, ceando qui una foza SC eecitata dalla coda ul offitto. Pe eazione, il offitto eecita una foza ulla coda CS con CS SC. Eendo la coda e la maa feme tutte le foze ono in modulo pai a T. Commento: la 7 mette in eidenza che, data una coda, T non ha un aloe definito ma è tale da annullae la foza ad ea applicata. Die ad eempio che una coda può eecitae una tenione di 10 uol die che ea, pima di pezzai, è in gado di annullae una foza applicata di intenità fino a 10. (e M = 0,5 Kg è T = 4,9, pe M =1 Kg è T =9,8, e M = 1,01 Kg la foza applicata è 10,006 e la coda i pezza) 0/10/11 Lezioni di iica pe CT - MdP 8

9 b) cao dinamico Tiiamo, tamite una coda ideale e una foza ap oizzontale una maa M pota u un piano oizzontale ideale. ap è eecitata ulla coda dalla mano; pe eazione c è una foza applicata ulla mano dalla coda mc con ap mc. La igidità della coda tamette la foza ap applicata ad un uo etemo all alto, ceando qui una foza MC eecitata ulla maa M dalla coda. Queta foza è in effetti la tenione T della coda: T M, con CM MC. MC. Pe eazione, c è una foza CM eecitata ulla coda da Coppie di azione-eazione: ap mc ig. 7 T = MC CM ap mc MC CM La dinamica dei copi è deteminata dalle ole foze eecitate u ei: T Ma, pe la maa M ma, pe la coda poto m la ua maa. ap CM Quet ultima elazione ottolinea che ap = MC (= CM = T) olo e m 0 oeo e la coda è ideale: una coda ideale eecita in ogni uo punto una tenione T cotante. 0/10/11 Lezioni di iica pe CT - MdP 9

10 7.3 Il incolo di un piano Conideiamo una maa M poggiata u un piano igido. La maa M è fema, nonotante u ea agica W Mg. Pe non iolae il econdo pincipio della dinamica, dobbiamo penae che il piano eeciti un azione, detta incolo, u M in modo che W Ma 0 a 0 e quindi: (8) W. Anche in queto cao, W e non ono coppie di azione-eazione e ono applicate allo teo copo (la maa M). Poiché il incolo è applicato dal piano u M ( MP ), la foza di eazione PM è eecitata ul piano da M, con PM. L eidenza di PM è data dal fatto che e il piano non è pefettamente igido, eo i flette non appena poggiamo una maa. (A flettee il piano non può eee la foza peo, come i dice nel palae comune, peché la foza peo è applicata alla maa e non al piano!) W = MP Coppie di azione-eazione: PM PM ig. 8 Commenti a) la 8 mette in eidenza che, dato un piano, non ha un aloe definito ma è tale da annullae la foza ad ea applicata. Die ad eempio che un piano può eecitae un incolo di 10 uol die, pima di ompei, che eo è in gado di annullae una foza applicata fino a 10. (Se M = 0,5 Kg è = 4,9, pe M =1 Kg è = 9,8, e M = 1,01 Kg la foza applicata è 10,006 e il piano i ompe) b) più in geneale è detto incolo nomale in quanto è empe nomale al piano ed è tale da annullae la componente nomale delle foze applicate al piano. 0/10/11 Lezioni di iica pe CT - MdP 10

11 7.4 La foza elatica Abbiamo già detto (pa. ) che una molla allungata o compea è in gado di eecitae una foza che chiameemo foza elatica el. Pe definila opeatiamente pendiamo una molla di lunghezza a ipoo l aente un etemo fiato (fig. 9); allunghiamola (o compimiamola) di una quantità e alutiamo il modulo della coipondente foza elatica. Genealmente è coneniente fa coincidee l oigine 0 dell ae ( 0 = 0) con la poizione occupata dall etemo libeo della molla in condizioni di ipoo in modo che = 0 =. Si ottiene il gafico in fig. 9. l e el Regione di elaticità Regione di inelaticità 0 ig. 9 C è un inteallo di allungamento o compeione (egione di elaticità) in cui la foza elatica è diettamente popozionale a, in modulo el = K con K detta cotante elatica della molla (miuata in /m) Pe paae alla notazione ettoiale dobbiamo notae che: l el =0 M Molla allungata, oppoto ad el l el Molla compea, oppoto ad el =0 ig. 10 La foza è empe oppota allo potamento e quindi in concluione nella egione di elaticità, doe noi ci toeemo empe a opeae in eguito, i ha: (9) K el 0/10/11 Lezioni di iica pe CT - MdP 11

12 7.5 La foza di attito Abbiamo già detto (pa. 1) che u un copo che ciola u un piano oizzontale eale engono eecitate dal piano delle azioni che tendono ad otacolane il moto. Quete azioni ono dette foze di attito. Ee nacono ia dalla ugoità delle upefici a contatto ia dalle foze fa gli atomi delle upefici a contatto. Tacuando le caue, diamo di queta foza una definizione opeatia. Conideiamo una maa M poggiata u un piano eale (che genea attito) ed agiamo u ea con una foza ap paallela al piano. Può accadee che la maa M eti fema, nonotante che u ea agica una ap. Pe non iolae il econdo pincipio della dinamica, dobbiamo penae che il piano eecita un azione, detta attito f S, u M in modo che ap f Ma 0 a 0 e quindi: ap f. Cotatato che f è oppota ad ap, ediamo coa uccede aumentando l intenità di ap. a) b) ap,1 ap, ap,3 c) a ap,4 d) ap,5 e) W W W W W f S f S f S f D f D ig. 11 ap,1 = f, a=0, =0 ap, = f, a=0, =0 ap,3 = f, a=0, =0 ap,4 > f d, ap,4 f a M 0 d 0 ap,5 = f d, a=0, =cot 0 Si toa peimentalmente che fintanto che la ap è minoe di un ceto aloe, la foza di attito f iece ad annullala e quindi la maa eta fema (cai a,b,c). Se ap upea tale aloe, la maa inizia a muoei con una acceleazione che dipende da ap e dalla foza di attito che indichiamo f d. Quet ultima è diea dalla f oeata quando il copo eta femo. Si ha che f.(cao d). d f Si nota che quando la maa è in moimento la foza di attito f d è appoimatiamente cotante e non dipende da ap ; infatti i può aee un moto unifome agendo con una oppotuna foza cotante: cot (cao e). ap f d 0/10/11 Lezioni di iica pe CT - MdP 1

13 Tutto queto è intetizzato nel gafico in fig. 1: Valoe maimo di f cao tatico cao dinamico Intenità della foza di attito. Valoe di f d cot 0 Intenità della foza applicata ig. 1 Da quanto detto, iulta eidente la diezione di f d (e f ) è la tea del moto (o del poibile modo) mente il eo è empe oppoto. Concluione: un piano eale i oppone al moto di un copo poggiato u eo, con una foza di attito. intanto che il copo eta femo, i pala di attito tatico, caatteizzato da un aloe maimo f ; quando il copo è in moimento i pala di attito dinamico f d, = cot, con f d < f. L intenità delle foze di attito può eee calcolata come: (10) f = S e f d = d con incolo nomale al piano, S e d ipettiamente coefficiente di attito tatico e dinamico con d <. (Si noti che queti coefficienti ono adimenionali). ell eempio eguente edemo come deteminae peimentalmente S e d. 0/10/11 Lezioni di iica pe CT - MdP 13

14 8) Alcuni eempi impotanti. Pemettiamo che, pe iolee poblemi di dinamica occoe: a) definie il copo di cui i uole tudiae il moto b) indiiduae tutte le foze i che agicono u eo c) cegliee un oppotuno itema di ifeimento d) applicae la legge del moto: i Ma 8.1) Il piano inclinato Vogliamo tudiae la dinamica di una maa M pota u un piano inclinato. In fig. 13 ono indicate le foze nel cao di un piano con attito e di M tenuta con una coda. ella celta del itema di ifeimento, è eidente che è più coneniente poe l ae paallelo al piano inclinato, come in fig. 13, peché in tal cao il moto è un moto ettilineo lungo. Affontiamo i eguenti cai: T h l f Mgen Mgco W ig. 13 a) maa tenuta fema con una coda (T 0) e piano licio (f = 0) on c è moto né lungo né lungo quindi: Ma Ma Mg co 0 Mg co 0 Mgen T 0 T Mg en 0/10/11 Lezioni di iica pe CT - MdP 14

15 b) maa libea di muoei (T = 0) e piano licio (f = 0) on c è moto lungo ma la maa ciola lungo quindi: Ma Ma 0 con 0 Mg co 0 Mg co Mgen Mgen Ma a gen a g Il moto lungo è quindi un moto ettilineo unifomemente acceleato con acceleazione gen. Se ogliamo i dettagli del moto, dobbiamo pocedee con le elazioni cinematiche. Ad eempio, upponiamo di laciae la maa da fema ulla ommità del piano inclinato e ogliamo calcolae il tempo t f neceaio a pecoee il piano inclinato e la elocità finale f. t t a 1 a t t f gen t f 1 gen t f t f ; gen f gen gen lg en hg Si nota che f è indipendente dalla lunghezza l del piano inclinato ma dipende olo dall altezza h cui è laciata la maa e petanto f è la tea che i ottiene pe una caduta libea da altezza h. Il motio di ciò aà chiaito in eguito. c) maa tenuta fema con una coda (T 0) e piano con attito (f 0) on c è moto né lungo né lungo quindi: Ma Ma Mg co 0 Mg co 0 Mgen f T 0 Mgen f T d) maa libea di muoei (T = 0) ma fema pe attito (f 0) on c è moto né lungo né lungo quindi: Ma 0 0 Mg co 0 Mg co Ma 0 0 Mgen f 0 en Mgen Mg co 0 tg co Ciò fonice una definizione opeatia di S. Mgen 0 0/10/11 Lezioni di iica pe CT - MdP 15

16 e) maa in moto (T=0) u piano con attito (f 0) on c è moto lungo ma la maa ciola lungo quindi: a, Ma Ma, 0 con g( en D 0 Mg co 0 Mg co Mgen co ) f ( a D, a Mgen Mg co Ma g ) Il moto lungo è quindi ettilineo unifomemente acceleato con acceleazione La pecedente fonice una definizione opeatia di D infatti: 8. ) La caucola ideale d D, a, gen g co. Conideiamo due mae, legate da una coda ideale pota a caallo di una caucola ideale (edi fig. 14). La caucola ideale ee olo a cambiae la diezione della coda e edemo in eguito quando una caucola può eee conideata ideale. iato un itema di ifeimento eticale (ae oientato come in fig. 14) la dinamica del itema è decitta dalle equazioni del moto di m 1 e di m ipettiamente: R O T 1 T T1 W1 m1a1 e T W ma La coda ideale impone che la tenione ia la tea in ogni uo punto (T 1 = T = T) e che e m 1 i muoe eo l alto, m dee m 1 muoei eo il bao con m 1 g m a1 a a oeo a 1 a. m g ig. 14 Infatti: eendo la fune inetenibile e m 1 i pota eo l alto di un tatto 1 in un tempo t, la maa m i pota eo il bao di un tatto con: t t t t a1 a T 1, a. T 0/10/11 Lezioni di iica pe CT - MdP 16

17 Quindi: T T m1g m1a T mg ma T m1( g a ) a m ( g a ) m m 1 m m 1 g Commenti: a) il eo del moto è quello da noi celto (con a poitia) e m 1 < m, b) a è empe minoe di g c) e m 1 =m il itema è femo, (a =0). 8.3) Il itema maa-molla u un piano licio oizzontale Con ifeimento alla fig. 10, ia la molla ideale (m 0) e di cotante elatica k, ed M la maa del blocco. L equazione del moto lungo l ae è: k Ma k Ma a. M Il moto è quindi un moto aio ma icodando la elazione fa e a in un moto amonico (a = ) poiamo affemae che il itema maa-molla i muoe di k M moto amonico con pulazione oeo con peiodot. M k L equazione del moto aà: (t) = Aco(t+) con A e deteminate dalle condizioni iniziali e fiata, come appena ito, olo e oltanto dalle popietà del itema (M e k). Si ottolinea che agli etemi del moto ( = A), doe è maima l acceleazione, è maima l intenità della foza elatica mente al cento dell ocillazione ( = 0) la foza è nulla. 0/10/11 Lezioni di iica pe CT - MdP 17

18 9) La oza centipeta Abbiamo ito che un moto cicolae unifome è caatteizzato da una acceleazione centipeta ac an ( = elocità, = aggio della ciconfeenza). Pe il econdo pincipio della dinamica, la peenza di una acceleazione implica l eitenza di una foza, che diemo foza centipeta, c n m con m la maa del copo in moto un copo è in moto cicolae unifome e u eo agice una foza centipeta La foza centipeta non è un nuoo tipo di foza ma è olo un modo intetico di die che la foza in gioco: a) è empe pependicolae alla elocità oia ha la diezione adiale b) ha eo che punta al cento della ciconfeenza c) ha il modulo funzione di ed tamite la elazione c = m /. La foza ea dipende dallo pecifico cao fiico, ad eempio: ig. 15 O m c a) maa legata con una coda T c m b) maa tenuta con una molla elatica allungata di K c m c) atellite in obita cicolae intono alla Tea: mmt G c m d) caica in campo magnetico qb c m Se c diiene zeo (pe eempio la coda del cao a) i pezza) la maa diiene libea e inizia a muoei di moto ettilineo unifome, nella diezione della tangente alla ciconfeenza nel punto in cui i è auto c = ) Il cao delle cue tadali La taiettoia che i compie eeguendo una cua con un auto che pocede a elocità, di modulo cotante, è un aco di ciconfeenza di aggio. La foza centipeta neceaia è fonita dalla foza di attito tatico fa il battitada delle uote e il piano 0/10/11 Lezioni di iica pe CT - MdP 18

19 della cua, edi fig 16. (B: i tatta di attito tatico peché non dee eeci moimento in diezione adiale, mente c è moimento lungo la ciconfeenza!) taiettoia non coetta, aiabile taiettoia coetta = aco di ciconfeenza di aggio f ig. 16 W mg f mg mg c mg m g La elazione pecedente fia la elocità maima con cui può eee affontata una cua piana. Si ede che, fiato, cue tette o pee toppo elocemente faanno ucie di tada l auto, oia la taiettoia non aà un aco di ciconfeenza, poiché la foza d'attito non iucià a fonie la foza centipeta neceaia. Ad eempio, pe =150 m,, 0,16 (aloe tipico pe una upeficie afaltata) la elocità con cui affontae la cua è al più di 55 Km/h che i iduce di molto in cao di upeficie bagnata ( < 0.16). Se ogliamo affontae una cua più elocemente è neceaio che la cua non ia piana. In tal cao, edi fig. 17, aà la componente oizzontale del incolo nomale al piano a fonie la foza centipeta neceaia al cambio di diezione di. Talaciando l attito, abbiamo: Piano della tada o W Piano oizzontale ig. 17 0/10/11 Lezioni di iica pe CT - MdP 19

20 mg co mg ; co mg tg c mg tg m o en en mg mg tg co g tg Già un piccolo aloe di, ende la elocità con cui può eee affontata una cua non piana molto più eleata ipetto a quella elatia ad una cua piana (facilmente tg > ) infatti pe = 5, tg = 46,6 e la elocità con cui affontae la cua è al più di 95 Km/h. Va a ciò aggiunta poi l azione della foza di attito. Si noti che, in entambi i cai: a) la elocità maima con cui affontae una cua non dipende dalla maa, b) la foza di attito olge un laoo nullo. 8) Le foze nel moto cuilineo non unifome. Ricodiamo che in un moto cuilineo non unifome, la elocità aia in modulo e diezione e quindi c è un acceleazione a a t an con a t 0 e a n 0. Pe il econdo pincipio della dinamica, la peenza di un acceleazione implica l eitenza di una foza t n. Se a muoei è un punto mateiale di maa m, i ichiede che in un geneico punto P della cua ci ia: t ma t foza tangenziale alla cua eponabile della aiazione in modulo di in P, n man m foza nomale alla cua eponabile della aiazione in diezione R di in P (con R aggio di cuatua in P) a t t a n a ig. 18 n 0/10/11 Lezioni di iica pe CT - MdP 0

21 el cao paticolae di un moto cicolae nel piano eticale di una maa m legata con una coda abbiamo: mgen T mg mgco ig. 19 nella diezione tangente, t = mgco a t = gco moto aio oia la elocità non è cotante in modulo. nella diezione adiale, m n T mgen m T mgen T aia con. R R Pe 0 < < pate della foza centipeta è fonita dalla componente adiale della foza peo e quindi è ichieta una T meno intena. Il aloe minimo i ha nel punto m più in alto con: T mg. R Pe < < la tenione (eendo en <0) dee fonie la foza centipeta neceaia e incee la componente adiale della foza peo. T dee eee quindi più intena ed il aloe maimo i ha nel punto più in bao con 3 m T mg. R 0/10/11 Lezioni di iica pe CT - MdP 1