Fisica dello Stato Solido. Proprietà dei materiali semiconduttori Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Elettronica/ Ingegneria Biomedica a.a.

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1 isica dllo Stato Solido Lzion n. 9 Proprità di matriali smiconduttori orso di Laura Magistral in Inggnria Elttronica/ Inggnria iomdica a.a Prof. Mara ruzzi 1

2 Elttron in banda nrgtica: Vlocità orniamo ad analizzar l lttron nl cristallo com pacchtto d onda (vdr appndic 1). La funzion d onda lttronica è data dallo sviluppo: La vlocità dl pacchtto d onda lttronico sarà la vlocità di gruppo: v g ω ricordando ch: hω v g 1 h onsidro un lttron nl cristallo soggtto alla forza strna 1 h ϕ(r) allora: i r Utilizzando la lgg di wton l sprssion dlla forza divin: ma m dv dt g m dv dt g d d m dv g d d dt m d d h d dt m h d dh d dt

3 Poiché dv valr: ma d p S vogliamo mantnr l sprssion pr il momnto: obbiamo porr: Elttron in banda nrgtica: massa 1 m h p h d d dt (lgg di wton) (*) quindi ottniamo: m* h d d chiamo m* massa fficac dll lttron nl cristallo, gnralmnt divrsa dalla massa dll lttron libro, m 0.911x10-30 g. Utilizzando il conctto di massa fficac posso scrivr, pr l lttron nl cristallo: m* a dh dt 3

4 Momnto linar Momnto cristallino otiamo ch l sprssion dl momnto dll lttron utilizzata nlla trasparnza 7 (*) non è autovalor dll autofunzion d onda di loch pr l oprator quantistico momnto linar. La dfinizion dll oprator quantistico MOMEO è infatti: h p i tal ch: h ϕ ( r) p ϕ( r) i Pr l onda piana dll lttron libro: ϕ ( x ) A ix h i h h ϕ( x) x x i x i ( ix ) ix ix A ia ha hϕ( ) Quindi p ђ è autovalor dll onda piana pr l oprator momnto. 4

5 Pr l onda dll lttron di loch: ϕ ( r) u ( r) i r h i ix h ix h u ix h u ix ( u ) iu + h ( x) + h ϕ( x) ϕ x i x i i x i x Quindi p ђ O è autovalor dlla funzion di loch pr l oprator momnto. Pr qusto lo indichiamo con un altra dnominazion, MOMEO RISALLIO appunto, dato ch comunqu sso mantin il significato dinamico di quantità di moto dfinita dalla rlazion di wton: d p dh dt dt 5

6 Lacun iscutiamo ora il lgam tra m* andamnto dll funzion (): Scondo il modllo dl potnzial priodico dbol è possibil approssimar la banda di nrgia in funzion di com una parabola con concavità ngativa o positiva. ll rgioni in cui qusto val la massa fficac non risulta dipndr da si può scrivr: h m m * m* h d d alla discussion prcdnt abbiamo visto com la massa fficac potrbb ssr intrprtata com cofficint di proporzionalità tra forza applicata d acclrazion : m* a. Poiché prò m* è lgata alla concavità dlla curva () ssa in qusta dfinizion può ssr sia ngativa ch positiva. π a π a π a π a 6

7 Lacun in banda di valnza Quindi in qusta dscrizion ho un lttron, particlla di carica q ch rispond alla sollcitazion dl campo applicato: q ( E + vx) m* a con massa ngativa m*! Intrprto qusto risultato considrando ch l fftto dinamico è lo stsso ch s avssi una carica positiva q + con massa positiva m - m* > 0. hiamo qusta particlla LAUA. L lacun coincidono in raltà con gli stati lttronici vacanti in una banda. i smiconduttori si tratta tipicamnt dlla banda di valnza, all quilibrio l lacun si posizionano in prossimità dll orlo di massima nrgia dlla banda. v π a 7

8 Elttroni lacun psanti o lggr and strtt prsntano mass fficaci piccol (light) band più largh mass fficaci grandi (havy). light havy c Ossrviamo inoltr ch la massa fficac in gnral è anisotropa: m ij h i j i,j x,y,z 8

9 ablla Riassuntiva Sommrfld loch umri quantici valori di n. quantici unzion d onda π m (1) a ϕ ( r) 1 V i r n, n st infinito di intri positivi tutti i valori prmssi dalla (1) ntro la I zona di rillouin ϕ ( r) u ( r) u ( r) u ( r R) + i r con R vttor di rticolo cristallino Enrgia momnto massa h con G vttor di m n () n (+G) rticolo cristallino h h momnto lttronico momnto cristallino h m m g d d Vlocità v h m v g 1 n ( ) h 9

10 Ossrvazioni sui mccanismi di conduzion nl mtallo All quilibrio, con campo applicato nullo E 0 Gli lttroni occupano gli stati più bassi dlla I zona di rilluoin in modo simmtrico. on si ha corrnt ntta prché l ond pian progrssiv ( > 0) π a π a rgrssiv ( < 0) danno contributo ugual opposto alla corrnt. 10

11 Applico E 0 Si ha forza : E h d dt π a E 0 π a Gli lttroni aumntano in dirzion di. risulta una distribuzion asimmtrica dgli lttroni nlla banda. è corrnt lttrica poiché si hanno più lttroni ch si muovono in una dirzion ch in qulla opposta. 11

12 Poiché: v 1 h π a rivando la funzion () ottniamo π a v π a π a A bordo zona la vlocità dll lttron è nulla. Qusto è dovuto alla riflssion di ragg ( scattring a bordo zona). L lttron subisc riflssion passando da π/a a -π/a quindi procdndo pr crscnt v π a π a 1

13 L lttron riman prciò nlla stssa banda fino a ch non intrvin un altro fnomno ch fornndo sufficint nrgia gli fa suprar il gap proibito. Umlapp ( turn down ) π a π a 13

14 and di nrgia in tr dimnsioni nllo spazio Raffiguriamo l band di nrgia nl caso ral in cui ( x, y, z ). Pr tracciar il grafico di n () è ncssario scglir un cammino significativo nllo spazio. Scgliamo alcuni punti particolari. Γ (0;0;0) cntro dlla I zona di rilluoin L π a ( ; ; ) bordo dlla I zona di rilluoin lungo la diagonal di corpo [111] X ππ (0;0;1) a bordo dlla I zona di rilluoin lungo lato z [001] I zona di rilluoin pr fcc con indicati i punti contraddistinti da particolari proprità di simmtria Prcorso L Γ X 14

15 and di Enrgia di un mtallo Struttura a band nll approssimazion dgli lttroni libri pr un mtallo a struttura fcc ( valido pr Al, u, Ag,..). a è costant rticolar. Il livllo di rmi è mostrato pr divrs quantità di lttroni nlla shll strna pr clla primitiva. La dgnrazion di ogni sgmnto di banda ( oltr a qulla di spin) è indicata dal numro di punti sul sgmnto. a:. Hrman, Atomic Structur, in Atomistic Approach to th atur and Proprtis of Matrials, WIly, Y,

16 Struttura dll band di nrgia dll alluminio livllo di rmi Struttura dll band di nrgia dl ram Rydbrg 13.53V Vttor d onda di rmi nlla dirzion Γ X. Sgall, Phys Rv 15, (196)

17 and di nrgia di smiconduttori Grmanio Silicio GaAs hliowsy & ohn, Phys Rv 14, 556 (1976) In Si il minimo dlla banda di conduzion si trova vicino a X, in G si trova nlla posizion L mntr in GaAs in trova in Γ. Pr tutti tr i matriali a banda di valnza è doppia: du band con stsso massimo posizionato in G ma di divrsa curvatura. 17

18 onfronto tra band di nrgia in smiconduttori d isolanti i cristalli covalnti com il Si l band sono sts dl tipo ad lttroni libri. Il gap principal è piccolo s confrontato con la larghzza dlla banda di valnza. arattr di ionicità frazionario di lgami Si 0.00 G 0.00 GaAs 0.3 ZnS 0.6 smiconduttor isolant ohn & Hin, Solid Stat Physics 4, 38 (1970) L andamnto da Si a l è fortmnt lgato all aumnto dlla ionicità dl matrial. l l la compltzza dl trasfrimnto lttronico da un atomo () all altro (l) porta a potnzial ionico molto lvato, quindi lvato bandgap (circa 10V pr l contro circa 1V pr Si) d ad un lvato appiattimnto dll band. 18

19 Ossrvazioni i mtalli la corrzion di potnzial priodico dbol ( aprtura di gaps in corrispondnza dl bordo zona ) è molto piccola (vdi caso dll alluminio alla trasparnza 4 ). La corrzion dovuta al potnzial priodico divnta fort ni smiconduttori d isolanti, in particolar dipnd dalla ionicità dl lgam. In gnral nll intorno dl massimo dlla banda di valnza dl minimo dlla banda di conduzion l band parabolich sono in accordo con l approssimazion di potnzial priodico dbol. ll intorno dl bordo zona l band tndono ad avr pndnza nulla, in accordo con il modllo di potnzial priodico dbol. GAP irtto d Indirtto l caso il massimo dlla banda di valnza (E v ) d il minimo dlla banda di conduzion (E c ) si trovi stsso il matrial si dic a GAP IREO (GaAs) altrimnti è a GAP IIREO (Si, G). Il gap dl smiconduttor è dfinito com E g E c - E v 19

20 Un foton di nrgia E E g o suprior può promuovr un lttron nlla banda di conduzion s il smiconduttor è a gap dirtto. l caso di un smiconduttor a gap indirtto è ncssario ch l lttron, oltr all nrgia, vari il suo momnto quindi il suo numro d onda. acciamo l smpio dl silicio. Il foton di nrgia E g nl silicio ha momnto pari a p h E/v con v c/ r, quindi : foton Eg r m hc 1.054x10 3x x1.60 x10 x x Pr passar dal massimo dlla banda di valnza al minimo dlla banda di conduzion il vttor d onda dll lttron dv passar dal punto in Γ con 0 ad un punto vicino a X, dov ~ π/a. Pr il silicio a costant rticolar 5.43 Å. Prciò il salto di gap richid un ~ 5.8 x10 9 m -1. Il foton di nrgia E g è invc in grado di trasfrir solo circa l 1.% dlla variazion di ncssaria all lttron pr far il salto di banda, pr qusto snza un altro agnt (fonon) in grado di fornir il richisto la transizion non ha luogo. Qusto problma non si prsnta nl caso di smiconduttori a gap dirtto com il GaAs 0

21 Suprfici ad nrgia costant ni smiconduttori. l caso di smiconduttori a > 0 la conduzion è data da qugli lttroni ch vngono promossi dalla banda di valnza alla banda di conduzion. In qusto procsso ssi lasciano dgli stati vacanti, l lacun, in banda di valnza, ch anch ss contribuiscono alla conduzion. Il livllo di rmi si trova all intrno dl gap proibito. In qusto caso prciò, pr studiar l proprità di trasporto, siamo intrssati all suprfici ad nrgia costant nll vicinanz dl minimo dlla banda di conduzion dl massimo dlla banda di valnza. 1

22 G: Minimo dlla banda di conduzion in L Si: Minimo dlla banda di conduzion vicino X and di nrgia pr Si G con valori di gap dirtti d indirtti

23 Suprfici ad nrgia costant ni prssi dl minimo dlla banda di conduzion pr G, Si, GaAs GaAs: la è in 0 quindi la suprfici a nrgia costant è una sfra. In Si la suprfici a nrgia costant è localizzata un po prima di punti X lungo l dirzioni {100}, in G ssa è localizzata sugli otto punti L. Sia pr G ch pr Si si tratta di llissoidi di rotazion. 3

24 Mass fficaci dgli lttroni in La massa fficac pr il GaAs è unica pr l tr dirzioni di : m 0.067m. Pr Si G si hanno du valori di massa fficac: la massa longitudinal m l qulla trasvrsal m t. Posso scrivr prciò, pr Si G: ( ) h x + m t Y + m z l Si m l 0.98m G m l 1.59m m t 0.19m m t 0.089m 4

25 Mass fficaci dll lacun in V L band di valnza di Si, G, GaAs, sono cntrat in 0. La massa fficac è la stssa nll tr dirzioni x, y, z. E la suprfici a nrgia costant è una sfra. In tutti tr i matriali l band di valnza sono du, avrmo quindi du mass fficaci, una psant l altra lggra. G m lh 0.16m Si m lh 0.044m GaAs m lh 0.08m m hh 0.48m m hh 0.8m m hh 0.45m 5

26 Statistica di smiconduttori Poiché tutti gli stati in banda di valnza sono occupati la conduzion lttrica può avvnir solo s alcuni lttroni di valnza vngono promossi in banda di conduzion suprando il gap proibito. g g Gap dirtto Gap indirtto 6

27 Smiconduttori EGEERI O In gnral il livllo di frmi giac nl gap proibito solo la coda dlla distribuzion di rmi irac f() si trovrà nlla banda di conduzion. In qusto caso il smiconduttor è O EGEERE. l caso in cui il numro di lttroni in banda di conduzion () sia molto lvato il livllo di rmi può invc trovarsi all intrno dlla, in qusto caso il smiconduttor si dic EGEERE (analogo il caso V). f() 1 aso non dgnr v c on dgnr gnr 7

28 aso non dgnr l caso di smiconduttor non dgnr la statistica di rmi divin LASSIA poiché è valida l approssimazion: f ( ) 1 ~ +11 con > c Qusta approssimazion di solito richid ch < 3-5 sotto a c. 8

29 Abbiamo già dtto ch la conducibilità lttrica dipnd dai livlli occupati in banda di conduzion (lttroni di conduzion) dagli stati vuoti in banda di valnza (lacun). Poiché ntrambi si trovano ov () può ssr approssimato ad una parabola possiamo dapprima considrar la funzion di occupazion dll lttron libro : on andamnto: nsità di stati in banda di conduzion 4π V 3/ d d( ) g( ) f ( ) d ( m) 3 h +11 g( ) c minimo di nrgia all orlo dlla banda di conduzion c. 9

30 Intorno al minimo dlla l andamnto di () è parabolico con concavità positiva, all aumntar di la funzion è una parabola con concavità ngativa, quindi la g() divin: dn d Stati occupati in dn d Stati libri in V c max La dnsità di livlli occupati in è: n( ) min dn( ) max c g( ) v f ( ) d con: dn( ) d( ) V 1 h 3/ c m 3 d π d

31 m d è dtta massa ffttiva dlla dnsità dgli stati in, ssa tin conto dlla curvatura dlla banda di conduzion al minimo considrando sia l anisotropia dlla massa fficac ch la moltplicità di minimi dlla. ( ) 3 / 1 3 / l t d m m M m l caso dl silicio ov M 6 ( si punti X ) m d 1.08m c d d m n π 1 1 ) ( 3/ 3 h obbiamo risolvr l intgral: finiamo: η η

32 calcoliamo l intgral da 0 a ( ponndo V 0 non ci sono lttroni tra V ): n( ) 1 π md h 3/ 0 η dη η η + 1 (*) finndo: 1 md 4 π h 3 / ESIA EEIVA I SAI I AA I OUZIOE È la dnsità di lttroni in banda di conduzion ch si avrbb s tutti gli lttroni di conduzion avssro nrgia c. S n << il smiconduttor è non dgnr, s n >> c sso è dgnr. L intgral (*) si risolv valutando l intgral di rmi-irac. 3

33 Intgral di rmi-irac m m y dy ( x) 1 y x π + 0 Pr m ½, y η, x η considrando il smiconduttor O EGEERE abbiamo: ( 1/ η ) η quindi: n oncntrazion di lttroni libri in banda di conduzion 33

34 Analogamnt pr l lacun in banda di valnza abbiamo: p V V oncntrazion di lacun libr in banda di valnza on : V 1 4 mh π h 3/ ESIA EEIVA I SAI I AA I VALEZA 34

35 nsità ffttiva di stati in Si, G, GaAs a 300 cm -3 cm -3 V Si G.8 x x x x GaAs 4.7 x x

36 Smiconduttor intrinsco E il caso in cui la concntrazion di lttroni in banda di conduzion è ugual alla concntrazion di lacun in banda di valnza: n p n i concntrazion intrinsca di portatori g π a π a ottniamo: V V Ricaviamo l sprssion dl livllo di rmi: 36

37 + + V V ln S poniamo V 0 ottniamo c g d g ~ Livllo di rmi nl smiconduttor intrinsco 37 V Ottniamo anch l sprssion pr la concntrazion intrinsca n i, considrando la lgg di azion di massa: n p n i Allora: V V V i g V V n g

38 concntrazion intrinsca di portatori libri n i V g Valori di n i d g a 300 in Si, G, GaAs n i (cm -3 ) g (V) Si G 1.45 x x GaAs 1.79 x Grand variazion prché dipndnza sponnzial da ½ g! 38

39 ipndnza dalla tmpratura di g In gnral g varia dbolmnt con la tmpratura la prssion. Pr Si, G, GaAs val la lgg: ( ) g (0) g α + β Il gap diminuisc di circa 5-10mV andando da 0 a 300. Pr altri matriali, com il PbS, abbiamo invc un aumnto di g con la tmpratura. 39

40 ipndnza dalla tmpratura di n i Poiché c d v dipndono da 3/ n i α 3 g Il grafico a lato sottolina la fort dipndnza di n i dalla tmpratura. 40

41 Impurzz strinsch intnzionali E possibil introdurr intnzionalmnt una impurzza nl smiconduttor pr diffusion, impiantazion o trasmutazion. ali atomi possono prsntar un ccsso o un diftto di lttroni risptto a qulli richisti pr rimpir i quattro lgami ttradrici. l caso di ccsso si parla di OORI, nl caso di diftto di AEORI. In ntrambi casi si parla di tal impurzza com ROGAE. Si Si Si Si Si Si - Si P Si Si h + - Si Si Si Si Si Si Si P in Si: OORE in Si: AEORE 41

42 In gnral, i droganti introducono un livllo nrgtico prmsso vicino all orlo dlla banda di conduzion (donor ) o dlla banda di valnza ( accttor A ). A 0 il livllo donor è pino di lttroni mntr qullo accttor è vuoto, ntramb l impurzz sono nutr. A c A v 0 c v 4

43 Aumntando la tmpratura, una frazion crscnt di lttroni localizzati ngli atomi donor risultano ccitati in banda di conduzion, l atomo donor vin quindi ionizzato positivamnt. Analogamnt, una frazion crscnt di accttori catturano lttroni dalla banda di valnza (V), lasciando in V una lacuna risultando carichi ngativamnt. A - A + - A - c + > > 0 A v c v o anch: A A - + h + 43

44 Impurzz shallow o suprficiali c - A - V [mv] [mv] P As Sb Al 67 Ga 7 In 16 roganti shallow in silicio Sono l impurzz il cui livllo nrgtico può ssr calcolato utilizzando il modllo idrognoid. onsidro un atomo di P in posizion sostituzional in Si. Il nuclo dll atomo di P risptto al Si ha una carica xtra positiva +, bilanciata da un lttron di valnza in piu. Possiamo trattar il potnzial di attrazion tra qusto lttron xtra d il proton xtra nl nuclo di P com un atomo di idrogno insrito nl rticolo cristallino dl silicio. Esso è molto piu dbol dl potnzial attrattivo in un atomo di idrogno a causa dll fftto di schrmo dgli lttroni di valnza dgli atomi di silicio vicino all atomo P. risulta un lttron dbolmnt lgato ch può ssr facilmnt ionizzato. 44

45 Enrgi dgli stati prmssi nll atomo di idrogno: Raggio dgli stati prmssi nll atomo di idrogno: on: a o raggio di ohr m 0 0n n m n numro quantico principal; o costant dilttrica dl vuoto. Pr n 1 ho nrgia dllo stato fondamntal -13.6V o E n a n a m 4 ( 0) h n h 1 Passando al caso dl donor nl modllo idrognoid dvo considrar ch: 0 0 r m m* fficac E E - E c E 45

46 Enrgi dgli stati prmssi dl donor : E n 4 m* ( ) h 0 r 1 n Raggio dgli stati prmssi nl donor: a h m* * 0 r n n La corrzion di massa fficac è complicata in Si G dall anisotropia dll band: 1 1 m* 3 + m t m l La corrzion dlla costant dilttrica è significativa. Abbiamo (pr bass frqunz): Si: r 11.7 G: r

47 Risulta ch: E vin ridotta risptto all idrogno dl fattor: m * m r a vin aumntata risptto all idrogno dl fattor: r m m * a E o V nrgia dllo stato fondamntal dll idrogno passiamo a: E Si ~ V ; E G ~ V a a o 0.59 Å raggio di ohr passiamo a: a Si ~ 30 Å ; a G ~ 80 Å a cui si ha confrma ch l orbit associat a impurzz suprficiali sono molto dlocalizzat. La trattazion dll impurzza accttor nl modllo idrognoid risulta analoga al caso donor. 47

48 onsidriamo un smiconduttor dl IV gruppo il cui gap contnga livlli donori di un atomo dl quinto gruppo, in concntrazion, di cui X occupati da un lttron quindi nutri. Il numro di distribuzioni distinguibili dgli x lttroni ni livlli disponibili sgu la statistica di rmi irac. Utilizzando la scrittura ch abbiamo ricavato pr la distribuzion - considrando n J com X g j com a prima vista: W J n j In raltà: g! J!( g n )! j j W g X X W!!( X )! X!!( X )! con g prché ogni lttron catturato in x può avr spin up o down qusto pr x lttroni catturati aumnta l distribuzioni distinguibili dlla quantità g x. hiamo n concntrazion lttroni contnuti ni livlli x allora n x. on il mtodo già visto (lz. 3) Utilizzando la rlazion di Stirling : ln( W ln( g ) + ln(!) ln( n imponndo: Insrndo i moltiplicatori di Lagrang ottngo (β 1/ α - / ) ) ln( x!) n x ln( x) x!) ln( d ln( W dn n ) 0 )! ln g α + β ln( n ) + ln( n )

49 g n h è la concntrazion di lttroni all intrno dl donor. La concntrazion di donori ionizzati, + è prciò data da: g n quindi: 49 otiamo ch il livllo donor occupato con un solo lttron è il prodotto final dlla razion + + x d è tal da contnr un solo lttron spaiato ( il quinto di valnza ).

50 l caso di un accttor, è prima ch la razion di cattura A x + A - avvnga ch il livllo è nutro contin un solo lttron spaiato ( uno di tr di valnza ). La dgnrazion dl livllo nl caso accttor è pari a 4 prché il livllo accttor può accttar un lttron sia con spin up ch con spin down () inoltr abbiamo du band dgnri nlla posizion 0 pr la banda di valnza ( caso di Si, g, GaAs). Imponndo : ottniamo: n A d ln( W dn A A A ) 0 1+ g A A A con: n A A 50

51 v v p n on: La condizion di nutralità dl smiconduttor si scriv: n + A- p concntrazioni rispttivamnt di lttroni libri in banda di conduzion di lacun in banda di valnza. V A A V A g g

52 Smiconduttor tipo n n + A- p + + Il drogant è donor, la prsnza di accttori è trascurabil, p è portator minoritario. n ~ + n + Pr smiconduttor non dgnr posso usar l sprssion classica 5 Inoltr noto ch: n n g n g n quindi:

53 Ottngo: n g L sprssion sopra val quando la prcntual di atomi donori ionizzati non è ancora saturata al valor total + cioè pr l bass tmpratur ( < < ) (*). Siamo nl REGIME I OGELAMEO EI PORAORI. La frazion di donori ionizzati aumnta all aumntar dlla fino a quando tutti i donori sono ionizzati. In qusta rgion di tmpratura intrmdia si ha: n REGIME ESRISEO o di SAURAZIOE n indipndnt da (*) n.b. nl caso di compnsazion, cioè in prsnza di una concntrazion non trascurabil di atomi accttori, a bass in raltà si ha: n α 53

54 All ultrior aumntar dlla tmpratura la produzion di coppi lttron lacuna pr salto da banda di valnza a banda di conduzion divin smpr piu important, finchè, nll quazion di nutralità n + A- p + + i contributi dgli atomi impurzz accttori donori divntano trascurabili. In tal caso n ~ p siamo quindi nl REGIME IRISEO n n i V g 54

55 Andamnto dlla concntrazion di portatori libri in smiconduttor di tipo n a: S. M. Sz, Physics of Smiconducor vics, Wyly & Sons, Singapor,

56 Posizion dl livllo di rmi ni smiconduttori drogati Via via ch avvin lo sconglamnto di portatori il livllo di rmi tnd a posizionarsi vrso il livllo drogant dominant. Infatti la funzion di occupazion dl livllo f( ) è pari a ½ pr ~ (pr tipo p: ~ A ). l rgim strinsco in smiconduttor tipo n, da n ottniamo: ln 56 In rgim intrinsco invc abbiamo: ~ ½ g. ln Analogamnt pr il smiconduttor strinsco di tipo p: A V V A V V ln

57 La posizion di nl gap proibito dipnd quindi sia dalla concntrazion dl drogant dominant ch dalla tmpratura. a: S. M. Sz, Physics of Smiconducor vics, Wyly & Sons, Singapor,