MATh.en.JEANS SOSTITUZIONI. Liceo Scientifico Statale E. Curiel

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1 MATh.en.JEANS SOSTITUZIONI Liceo Scientifico Sttle E. Curiel Cterin Alessi, Eleonor Filir, Mtteo Forin, Lorenzo G, Mirce Munten, Stefno Pietrogrnde, Enuele Quglio, Mrco Venuti, Federico Vettore. Prof. Giorgio Ciocino, Prof. Alerto Znrdo, Prof. Riccrdo Colpi. Pdov, 01/05/16

2 Si un lfeto e si considerino le stringhe con esso costruite. Indichio con un sostituzione, un funzione cioè che ssoci un prol. Ad esepio, se {, llor:,. Nell esepio precedente, potete trovre un string invrinte rispetto? Dt un qulsisi, è sepre possiile trovre invrinti? È possiile costruire un lgorito che le generi? 1

3 1. Crtterizzzione invrinte Dt un sostituzione σ generic ; ;... con,, stringhe di lettere dell lfeto usto, possio fferre: 1 Un qulsisi pplict d un sequenz di lettere S qulsisi drà un sequenz, definit e unic essendo un funzione: e.g.: { : ; 2 Condizione necessri e sufficiente se si ettono stringhe di lunghezz infinit per vere un string invrinte rispetto è che l trsforzione di leno un delle lettere dell lfeto coinci con l stess letter, dopo l ppliczione di. con,, sequenze di lettere dell lfeto usto. Diostrzione per ssurdo: Si: { Or qulsisi letter si scelg coe letter inizile dell string, inizierà con un letter divers e non srà ugule ll prol originri, non costituendo dunque un invrinte. Quindi condizione necessri di σ per vere un invrinte è vere leno un letter l cui vrizione coinci per l letter stess. Se un o più lettere verificno quest condizione, llor per ciscun di esse si può procedere con l lgorito illustrto nell sezione 3. per forre un divers prol invrinte. 3 Se leno un delle lettere è invrinte rispetto llor vi sono infinite stringhe invrinti, ossi tutte le possiili sequenze di lettere ottenute dll conctenzione di lettere L, con : 2

4 2. Cso, { Osservio che prende in input un singolo crttere entre restituisce un string copost d 1 o 2 crtteri. Doio dunque definire un estensione di che ci perett di pplicre l trsforzione un string più lung di un crttere. Definio innnzi tutto le operzioni tr stringhe e in seguito. Operzioni tr stringhe : conctenzione tr stringhe; : conctentori di stringhe; : lunghezz dell string S; : letter i-esi dell string S,. Estensione di prende in input un string, pplic l trsforzione i singoli crtteri che l copongono e concten dunque tutti gli output. String invrinte: pproccio euristico Si noti innnzi tutto che se l prol coincisse per B, l su trsforzione restituiree coe prio crttere A, il che non verific l condizione di invrinz. Dunque, condizione necessri per l invrinz è che coinci per A. 3

5 Diostrzione Ipotesi: Tesi: i Per ssurdo. ii Poiché si dispone dell lfeto {A, B}. iii Appliczione di. iv Segue dll ipotesi proprietà delle stringhe. v Segue d iv, d iii e d ii. Assurdo L string deve coincire per A, letter l cui trsforzione è AB. Dunque l lunghezz coplessiv dell prol, un volt trsfort, deve necesriente uentre nche ipotizzndo che le lettere seguenti l pri A fossero tutte B, vi sree counque un letter in eccesso ll inizio dell prol, quindi non vi possono essere invrinti finite per quest sostituzione. Provio dunque costruire un prol invrinte infinit. Sppio che coinci per A: pplicndo l trsforzione, ottenio AB, un string divers d quell di prtenz: A AB Possio dunque continure l costruzione dell prol conctenndole in cod un B in nier tle d eguglire l string nell second rig con quell nell pri: AB AB 4

6 Così fcendo, però, si dovrà ccodre ll second rig l trsforzione corrispondente ll B ppen ggiunt ll pri rig: AB ABA Il processo si deve dunque ripetere ll infinito, per ottenere due stringhe illiitte tli che ogni letter dell string non trsfort corrispond l stess letter nell string trsfort. ABAABABAABA ABAABABAABAABABAAB Si noti che l increento che di volt in volt si v riportre ll rig superiore è, d eccezione delle prie due lettere, l trsforzione dell increento precedente. Dunque, considerndo un sol rig, possio suddividere l prol in sottostringhe in cui ognun, d eccezione delle prie due, è l trsforzione di quell precedente. Chiio queste sottostringhe : A B A AB ABA ABAAB ABAABABA Si definisce dunque ricorsivente: { L prol è definit coe l conctenzione delle infinite stringhe : 5

7 Diostrzione dell invrinz di Ipotesi: Definizioni precedenti Tesi: Definizione di e linerità di. Esplicitti i prii terini dell conctenzione. Appliczione di. Conctenzione e shift dell indice. Segue d definizione di clcolo nule di. e dl Rccolti nel segno di conctenzione i prii terini; Definizione di. Dunque, 6

8 Interpretzione con l sequenz di Fioncci Vle, coe pri, l proprietà. e.g.: Ossi per trsforre un string si può scoporre quest ulti in più sequenze ciscun delle quli si pplic in seguito σ. A B A AB ABA ABAAB ABAABABA Si noti che, cioè AB, è coposto nell ordine dll conctenzione di A e B, cioè e, i due locchi precedenti. Dunque: Psso se Ciò è vero nche per i locchi successivi, d esepio: Copletio or l diostrzione con il psso induttivo, ostrndo che è ver : Ipotesi: Tesi: Quindi, M quest relzione è nlog ll definizione dell successione di Fioncci : l eleento n-esio è l so dei due eleenti che lo precedono, poiché ogni locco è l conctenzione dei due precedenti pri l n-1-esio e poi l n-2-esio. Poiché, si può fferre che, che è proprio l definizione di. Ad esepio, e contengono solo 1 letter entre ne contiene 2 cfr. le prie tre cifre dell successione di fioncci: 1,1,2. 7

9 Algorito in C // cpp.sh/5j #include <iostre> using nespce std; string sig chr l 8. { 9. if l == 'A' return string"ab"; 10. if l == 'B' return string"a"; 11. } string sig_segnto string str 14. { 15. string toreturn = ""; 16. for unsigned i=0; i <= str.length-1; i toreturn.ppend sigstr[i] ; 18. return toreturn; 19. } string unsigned n 22. { 23. if n == 0 return string"a"; 24. if n == 1 return string"b"; 25. if n >= 2 return sig_segnton-1; 26. } int in 30. { 31. string P; 32. for int i=0; i<8 /*estreo superiore*/; i P.ppend i; 34. cout << " : " << P << endl; 35. cout << "s: " << sig_segnto P; return 0; 38. } Output: P : ABAABABAABAABABAABABAABAABABAABAAB sp: ABAABABAABAABABAABABAABAABABAABAABABAABABAABAABABAABABA 8

10 3. Algorito per l costruzione di invrinti infinite Il prole in questione consiste nell generlizzzione di quello posto nell sezione 2.. Anche qui, condizione necessri ll invrinz di è che coinci con un letter l cui trsforzione coinci con l stess letter. Si può ripercorrere l costruzione dell prol ftt nell sezione 2.. Supponio che l letter inizile generic K verifichi l condizione necessri ll invrinz rispetto ll sostituzione generic. Avreo dunque: K Or isogn ggiungere ll rig superiore i crtteri che le ncno per essere ugule quell inferiore, ossi inizile K. Indichio l string ottenut cui è stto riosso il crttere. L opertore, dunque, eliin l letter K prtire dll inizio dell string l prol coinci con K per definizione: Or si procede conctenndo ll second rig l trsforzione dell increento ppen ggiunto ll pri,, e iterndo ll infinito il processo. Coe nell sezione 2., riportio il tutto su un rig singol suddividendo ogni pssggio in sottostringhe : K 9

11 Si ricord l notzione:. Si definisce dunque ricorsivente: { L prol è definit coe l conctenzione delle infinite stringhe : 10

12 Algorito in C // cpp.sh/37gh2 2. #include <iostre> 3. using nespce std; string siga, sigb, K; string sig chr l 8. { 9. if l == 'A' return siga; 10. if l == 'B' return sigb; 11. } string sig_segnto string str 15. { 16. string toreturn = ""; 17. for unsigned i=0; i <= str.length-1; i toreturn.ppend sigstr[i] ; 19. return toreturn; 20. } string unsigned n 24. { 25. if n == 0 return K; 26. if n == 1 return sig_segntok.erse0,1; 27. if n >= 2 return sig_segnton-1; 28. } int in 32. { 33. cout << "Definire sostituzione\n" 34. << "A -> "; 35. cin >> siga; 36. cout << "B -> "; 37. cin >> sigb; 38. cout << "Crttere inizile deve vlere l condizione necessri ll'invrinz: "; 39. cin >> K; for unsigned i=0; i<siga.length; i++ // Tutto in iuscolo 42. siga[i] = touppersiga[i]; 43. for unsigned i=0; i<sigb.length; i sigb[i] = touppersigb[i]; 45. for unsigned i=0; i<k.length; i K[i] = toupperk[i]; cout << "Invrinte:\n"; string P = ""; 51. for int i=0; i<5 /*estreo superiore*/; i P.ppend i; cout << " : " << P << endl; 55. cout << "s: " << sig_segnto P; return 0; 58. } 11

13 Esepi: Definire sostituzione A -> ABA B -> BA Crttere inizile deve vlere l condizione necessri ll'invrinz: A Invrinte: : ABABAABABAABAABABAABA s: ABABAABABAABAABABAABABAABAABABAABAABABAABABAABAABABAABA Definire sostituzione A -> ABA B -> BA Crttere inizile deve vlere l condizione necessri ll'invrinz: B Invrinte: : BAABAABABAABA s: BAABAABABAABAABABAABABAABAABABAABA Definire sostituzione A -> BABA B -> BAA Crttere inizile deve vlere l condizione necessri ll'invrinz: B Invrinte: : BAABABABABABAABABABAABABABAABABABAABABA s: BAABABABABABAABABABAABABABAABABABAABABABAABABABABABAABABABAABABABA 12

14 13 4. per invrinti finite Prol finit inizile; A, Alfeto di cui è copost ; Prol trsfort; Indicno qunte volte viene ripetut l letter, o l string di lettere, ll interno dell prol; Rppresent l conctenzione fr le lettere; String null. Devo trovre le sostituzioni tli che : y y y : : y y : y y : y y : : : : : y y : y y y n y n y : y n n y y : y y y n y n : y n n y y

15 5. per invrinti periodiche Notzione: Si dice periodic di periodo T un prol del tipo: Nel cso di prole infinite, si possono costruire invrinti secondo il seguente criterio: { Ossi ogni letter viene espns in un ultiplo del periodo dell prol non necessriente lo stesso per i due crtteri così d ottenere l string di prtenz. 14