Matematica per la uova maturità scietifica A. Berardo M. Pedoe 6 Questioario Quesito Se a e b soo umeri positivi assegati quale è la loro media aritmetica? Quale la media geometrica? Quale delle due è più grade? E perché? Come si geeralizzao tali medie se i umeri assegati soo? Soluzioe a+ b La media aritmetica dei due umeri positivi a e b è data da M A = La media geometrica è data da M G = ab La media aritmetica di due umeri positivi è maggiore della media geometrica se a b; le due medie soo uguali se a = b. Cioè si ha M A M G a+ b Ifatti M A MG a b Elevado etrambi i membri al quadrato si ottiee a+ b + + + + ( a b) ( a b) ab a ab b ab a ab b ( a b) Ciò è sempre vero per ogi valore di a e b. I geerale, data umeri positivi, a,a, a, a, a+ a + a +... + a la media aritmetica è M A =, la media geometrica è M = a... a a a G 4 4 0 0 Quesito Il seguete è uo dei celebri problemi del Cavaliere di Méré (60-685), amico di Blaise Pascal: giocado a dadi è più probabile otteere almeo ua volta co 4 laci di u solo dado, oppure almeo u doppio co 4 laci di due dadi? Soluzioe Cosideriamo l eveto E = otteere almeo ua volta co 4 laci di u solo dado. L eveto cotrario è: E = o otteere mai co 4 laci di u solo dado 5 5 5 5 La probabilità che l eveto E si verifichi è, di cosegueza 6 6 6 6 4 5 pe ( ) p E = = 0,578 = 5, 78% 6 Cosideriamo l eveto A= otteere almeo u doppio co 4 laci di due dadi L eveto cotrario è A = o otteere mai u doppio co 4 laci di due dadi La probabilità di o otteere u doppio laciado due dadi è 5, la probabilità che 6 4 5 ciò o si verifichi per 4 laci è. Di cosegueza la probabilità che l eveto 6 A si verifichi è
Matematica per la uova maturità scietifica A. Berardo M. Pedoe 6 5 pa ( ) p A = = 0, 494 = 49,4%. 6 I coclusioe p(e)>p(a). 4 Quesito Assumedo che i risultati - X,, - delle partite del Totocalcio siao equiprobabili, calcolare la probabilità che tutte le partite, eccetto ua, termiio i parità. Soluzioe Cosideriamo l eveto E = tutte le partite del totocalcio, eccetto ua, termiao i parità. La probabilità che ua partita termii i parità è uguale a. La probabilità che dodici partite termiio i parità è uguale a. La probabilità che ua partita o termii i parità è uguale a. La probabilità che ua sola partita, delle tredici, o termii i parità è uguale a Quidi la probabilità che l eveto E si verifichi è data da 6 5 pe ( ) = (,887 0 ) ( 6, 6667 0), 608 0 = 0, 006%. Quesito 4 Calcolare lim a Soluzioe! Applicado il criterio del rapporto alla successioe di termie geerale a = si ha:! a + ( +! ) = = + lim lim + a + ( ) ( ) ( )! +!! lim = lim = lim = 0 + +! + +! + + Quidi la successioe coverge a zero Quesito 5 π Cosa si itede per fuzioe periodica? Qual è il periodo di f ( ) = se? Quale quello di se?
Matematica per la uova maturità scietifica A. Berardo M. Pedoe 64 Soluzioe Ua fuzioe y=f() si dice periodica di periodo T se, per ogi apparteete al domiio della fuzioe si ha f(+t)=f(). Per determiare il periodo delle fuzioi assegate, usado l uguagliaza precedete, si procede el seguete modo: π π( + T) π+ πt se = se = se π πt π 6kπ + = + kπ T = = 6k π per k = T = 6 Procededo i modo aalogo per la secoda fuzioe si trova: se = se( + T ) = se( + T ) T = kπ per k = T = π
Matematica per la uova maturità scietifica A. Berardo M. Pedoe 65 Quesito 6 Utilizzado il teorema di Rolle, si verifichi che il poliomio + p + q ( p, q R ), se è pari ha al più due radici reali, se è dispari ha al più tre radici reali. Soluzioe Teorema di Rolle Data ua fuzioe reale di variabile reale y = f(), defiita ell itervallo chiuso e limitato [a, b], se la fuzioe soddisfa le ipotesi :. è cotiua i [a, b]. è derivabile i (a, b). f(a)=f(b) segue la tesi: esiste u umero reale c apparteete all itervallo(a,b) tale che f (c)=0. Il teorema, i realtà, assicura l esisteza di almeo u valore i cui la derivata si aulla, per cui muove i direzioe opposta alla richiesta del quesito che chiede che o si superi u certo umero di soluzioi. U modo per utilizzare il teorema di Rolle può essere il seguete. Il poliomio proposto f() = +p+q, rappreseta ua fuzioe cotiua e derivabile i tutto R. Se è pari Poiché lim + p+ q = lim + p+ q=+ esisterao due umeri reali a,b, sufficietemete gradi per i quali f(a)=f(b). Questa codizioe è otteibile algebricamete poedo per esempio f()=q, da cui si ricava l equazioe +p=0 che ha per soluzioi =0 e = p, poiché è pari, - è dispari, l equazioe ha sempre due soluzioi. Quidi sicuramete f (0) = f( p), i altre parole a = 0, b = p soddisfao le ipotesi del teorema di Rolle, pertato esiste u umero reale c apparteete all itervallo (a,b) tale che f (c)=0. La derivata prima è f ()= - +p, poiché - è dispari esiste u solo puto a tagete p orizzotale =, questo puto è l uico miimo per la fuzioe. p Se f < 0 il poliomio ha due radici. p Se f = 0 il poliomio ha ua radice. p Se f > 0 il poliomio o ha essua radice.
Matematica per la uova maturità scietifica A. Berardo M. Pedoe 66 Se è dispari lim + p+ q= ; lim + p+ q=+ la fuzioe poliomiale, essedo cotiua, ha almeo ua radice. La sua derivata è -+p, dove - è pari; per il ragioameto precedete ha al più due puti i cui si aulla. Il poliomio ha quidi al più u massimo e u miimo e quidi al più tre puti i cui si aulla.
Matematica per la uova maturità scietifica A. Berardo M. Pedoe 67 Quesito 7 Data la fuzioe f ( ) = e se calcolare i limiti per tedete a + e - e provare che esiste u umero reale α co 0<α< i cui la fuzioe si aulla. Soluzioe Calcoliamo lim ( e se ) lim e = 0 lim = +. lim se o esiste, ma la fuzioe se è limitata. Di cosegueza, il limite proposto vale lim e se = + Aalogamete per lim ( e se ) lim e lim = =+ lim se o esiste, ma la fuzioe se è limitata, di cosegueza lim e se = + Siccome la fuzioe è cotiua i tutto R e ioltre f(0)=>0 f()=e-se<0 cioè assume valori discordi agli estremi dell itervallo [0], per il teorema degli zeri esiste almeo u puto di tale itervallo i cui la fuzioe si aulla. Quesito 8 Verificare che la fuzioe + log è strettamete crescete. Detta g la fuzioe iversa, calcolare g '(). Soluzioe La fuzioe assegata è defiita D=(0;+ ) Per verificare che la fuzioe f()=+log è strettamete crescete, bisoga studiare il sego della derivata prima; se risulta f ()>0 la fuzioe è strettamete crescete. f '( ) = + f '( ) > 0 + > 0 > 0 -/ 0 > 0 > la derivata risulta positiva D, quidi la fuzioe è strettamete crescete.
Matematica per la uova maturità scietifica A. Berardo M. Pedoe 68 La fuzioe iversa di y=f() è =f - (y)=g(y). Il valore corrispodete a y= si ottiee risolvedo l equazioe +log =. L uica soluzioe è = che si può otteere risolvedo il seguete sistema co il metodo grafico. y = + y = l Per calcolare la derivata della fuzioe iversa el puto =, usiamo il teorema di derivazioe delle fuzioi iverse: g'( y0) = f '( ) 0 Si ottiee g '() = = =. f '() + 4 Quesito 9 Trovare f(4) sapedo che f ( t) dt = cos π 0 Soluzioe Applicado il teorema fodametale del calcolo itegrale, alla fuzioe itegrale F()= cosπ si ha f() = F () = cosπ- π seπ Dalla codizioe F (4)=f(4) si ha cosπ4- π4 seπ4 =f(4), da cui f(4)=.
Matematica per la uova maturità scietifica A. Berardo M. Pedoe 69 Quesito 0 Spiegare, co esempi appropriati, la differeza tra omotetia e similitudie el piao. Soluzioe Si chiama omotetia di cetro O e rapporto h co h diverso da zero, la trasformazioe del uuur piao che associa, ad ogi puto P(,y) il puto P (,y ) tale che uuur = OP' h OP = ' ' = h h L equazioi di u omotetia soo y' = hy y = y ' h Ua similitudie è la composizioe di u omotetia e di ua isometria, i u ordie qualsiasi. Il rapporto di similitudie R è uguale al valore assoluto h del rapporto di omotetia. Le equazioi di ua similitudie soo del tipo ' = a cy + p ' = a + cy + p oppure y' = c+ ay+ q y' = c ay+ q i etrambe i casi il rapporto di similitudie è K = a + c Come ulteriore chiarimeto possiamo dire che la similitudie è ua trasformazioe del piao i sé che matiee costate il rapporto tra l immagie di u segmeto e il segmeto stesso. L omotetia è ua particolare similitudie ella quale i puti corrispodeti soo allieati co u puto fisso, detto cetro di omotetia.