UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PAVIA Dipartieto di Scieze Ecooiche e Aziedali Via S. Felice, 7-271 Pavia Tel. 382/986268 - Fax 382/22486 STRUMENTI MATEMATICI PER LE SCELTE ECONOMICHE. [brevi apputi di testo i bozza] 1) Scelta tra progetti ecooico-fiaziari (geeralità) 1.1) Itroduzioe. Qualsiasi progetto, sia di atura ecooica, sia di atura fiaziaria, può essere rappresetato da ua successioe di poste C (positive o egative, a secoda che si faccia riferieto ad etrate o ad uscite oetarie 1 ), ciascua rispettivaete riferita all epoca t, co: t < t +1 (per, 1,..., -1) ed accettereo, coe oralete accade, che sia: t = (epoca di iizio del progetto). Cosiderereo ioltre che tutti i dati siao certi (sia gli iporti C, sia le scadeze t ). Nello specifico ci occupereo solaete di redigere u ordiaeto di prefereza tra progetti alterativi 2, allo scopo di idividuare quello aggiorete preferibile. U progetto ecooico-fiaziario può quidi, ad esepio, essere descritto el odo seguete: epoche: t = t 1 t 2... t capitali: C C 1 C 2... C 1 ) Spesso si utilizza il sibolo C (+), oppure R, per rappresetare ua etrata, etre per le uscite si utilizza il sibolo C (-), oppure C. Se le scritture C (+) e C (-) aggiugoo iforazioi (precisado se si tratta di ua etrata o di ua uscita), le scritture R (Ricavo) e C (Costo) possoo ivece geerare cofusioe, sia i quato, ad esepio, la scrittura R fa spesso riferieto alla geerica rata di ua redita, sia i quato ua etrata oetaria C (+) o è detto che faccia riferieto ad u ricavo cotabile. Aalogaete per le uscite C (-). Se, ad esepio, si versao dei deari i baca si ha ua uscita dalla cassa e ua etrata el coto correte bacaria, a o si ha é u ricavo, é u costo. 2 ) La idividuazioe del progetto aggiorete preferibile sigifica, i pratica, che si itede (se coveiete) realizzare uo e uo solo dei progetti oggetto di aalisi, scartado di cosegueza tutti gli altri. Tale problea è diverso dai problei di coposizioe ottiale ove si vuole idividuare il ix di progetti da realizzare (e i quale isura). Esepio tipico di tale tipo di problea si riscotra ella cosiddetta selezioe del portafoglio ove occorre idividuare quali titoli (ad esepio: azioari) acquistare, e i quale quatità. 1
Idicati quidi co A, B, C,.. diversi progetti alterativi, si tratta di idividuare quello aggiorete coveiete. Occorre, i altre parole, foralizzare u ordiaeto di prefereza 3 tra tutti i progetti presi i cosiderazioe. Il progetto che si collocherà al prio posto sarà il progetto da preferirsi. L ordiaeto i questioe è olto facile da realizzarsi se ad ogi alterativa (A, B, C, ) è associabile u solo valore uerico. Se, ad esepio, l alterativa A i fa guadagare 5 e l alterativa B i fa guadagare 2, essedo idetiche tutte le altre caratteristiche dei due progetti, allora si potrà traquillaete afferare che A e eglio di B. I progetti che qui vegoo presi i cosiderazioe soo però descritti da u vettore di poste C, ogua delle quali associata ad ua rispettiva scadeza t, e quidi occorre cofrotare o dei valori uerici, a dei vettori. Poiché l ordiaeto di vettori può essere di difficile realizzazioe 4 si preferisce adottare u algorito di calcolo che forisca ua isura (cioè: u valore uerico) di ciò che aggiorete iteressa all operatore. I poche parole, si sitetizzao tutti i dati che caratterizzao u progetto i u solo valore uerico (idice di valutazioe). Più elevato sarà il valore di tale idice e aggiore sarà cosiderata la preferibilità del progetto. Circa il tipo di algorito da adottare (i pratica: circa i calcoli uerici da effettuare) occorre qualche precisazioe. U progetto potrebbe essere cosiderato più o eo attraete sulla base di olti diversi aspetti: la sipatia della cotroparte, le coplicazioi burocratiche, la preseza di eleeti etici, eccetera. I questa sede trattereo solo della coveieza ecooica, ci occupereo quidi solo del guadago che ogi progetto geera 5 Ua volta deciso l algorito di calcolo che si itede utilizzare (cioè a dire: ua volta scelto l idice di scelta che si itede utilizzare), ad ogi progetto verrà associato il valore assuto dall idice di scelta utilizzato. Basterà poi ordiare i progetti sulla base dei valori uerici assuti dall idice. Ogi diverso idice di scelta cercherà di quatificare u particolare aspetto dei progetti presi i cosiderazioe, da cui l esisteza di olti diversi idici di scelta, oguo fializzato a quatificare ua particolare caratteristica del progetto stesso. Pria di acceare ad alcui dei pricipali idici di scelta, è però idispesabile fare qualche precisazioe circa la defiizioe di progetto di ivestieto e di progetto di fiaziaeto e discutere, successivaete, del cocetto di progetti oogeei, 3 ) U ordiaeto può essere di tipo di tipo ordiale o di tipo cardiale. Nel prio caso per ogi eleeto cosiderato si può dire solo quale posizioe occupa (ad esepio: il -esio eleeto precede, ell ordiaeto decrescete, l eleeto h-esio, il quale a sua volta precede l eleeto j-esio); el secodo caso, oltre all ordiaeto, viee ache forita ua isura per ogi eleeto ordiato, così che se l idice relativo al -esio eleeto vale otto, l idice relativo all h-esio eleeto vale quattro e l idice relativo all eleeto h-esio vale due, si potrà afferare o solo che l eleeto -esio precede l h- esio eleeto, il quale a sua volta precede l eleeto j-esio, a ache che al -esio eleeto è attribuito u puteggio (8) doppio rispetto a quello associato all eleeto h-esio (4) e quadruplo rispetto a all eleeto j-esio (2). Ioltre, vi possoo essere ordiaeti copleti (tutti gli eleeti cosiderati vegoo ordiati), oppure parziali (solo ua parte degli eleeti cosiderati possoo essere ordiati). Si hao poi dei quasi-ordiaeti quado a qualche eleeto viee attribuito lo stesso puteggio 4 ) Il cofroto tra vettori può essere preso i cosiderazioe solo quado i vettori soo dello stesso ordie (hao cioè lo stesso uero di eleeti) e ache i tale caso o è detto che si possa afferare che uo è aggiore degli altri. Il vettore V=[5, 8] è ad esepio aggiore del vettore Z=[3, 7] i quato ogi eleeto del prio vettore è aggiore del corrispodete eleeto del secodo vettore. Ma il vettore V=[5, 8] o è é aggiore, é iore, del vettore U=[2, 9], i quato: 5>2, a 8<9. 5 ) Redieto, o costo. Utile, o perdita. Ma sepre co riferieto al guadago (positivo, o egativo) 2
1.2) Ivestieti, fiaziaeti, progetti isti. U progetto ecooico-fiaziario potrebbe essere eglio defiito coe progetto di ivestieto o coe progetto di fiaziaeto. Il fatto di riuscire a ricooscere u geerico progetto coe ivestieto, o coe fiaziaeto, risulta spesso idispesabile i quato, baalete, evetuali iteressi geerati da u capitale risultao essere iteressi icassati dall operatore, el caso di ivestieto, oppure iteressi pagati dall operatore, el caso di fiaziaeto (co le ovvie cosegueze i sede di valutazioe di coveieza). Si ha u ivestieto (i pria approssiazioe) quado si ipiegao dei capitali i u certo progetto co l obiettivo di otteere u guadago fiale (otteedo, quidi, u icreeto di ricchezza), si ha ivece u fiaziaeto quado si predoo a prestito dei capitali che dovrao successivaete essere tutti restituiti, dovedo ioltre corrispodere u copeso oetario per il prestito ricevuto. Nel seguito trattereo più dettagliataete della sola defiizioe di ivestieto i quato per i fiaziaeti basterà opportuaete ivertite i cocetti che verrao espressi. 6 1.2-a) Ivestieto i seso stretto. Si ha u ivestieto i seso stretto quado l ultia delle uscite preceda la pria delle etrate (coe caso particolare si ha l ivestieto seplice, forato da sole due poste, la pria i uscita, la secoda i etrata) Soo esepi di ivestieti i seso stretto i segueti (ove, per seplicità, soo state cosiderate delle scadeza itere): 1 2 3 4 5 ai Ivestieto seplice (ua sola I 1 )!! uscita, seguita da ua sola etrata) -9 +15 capitali Ivestieto produttivo (i utile) 1 2 3 4 5 ai Ivestieto seplice (ua sola I 2 )!! uscita, seguita da ua sola etrata) -9 +85 capitali Ivestieto i perdita 1 2 3 4 5 ai Ivestieto i seso stretto (tutte I 3 )!! le uscite, precedoo le etrate) -9-3 -2 +5 + 7 +4 capitali (l ultia uscita precede la pria delle etrate) Capita però assai spesso che la successioe delle poste o rietri i ua delle ipotesi sopra descritte. No accade cioè che l ultia delle uscite preceda la pria delle etrate. La successioe 6 ) Si cosideri, ad esepio, il progetto I 1 ) sopra esposto. L operatore, all epoca zero sosterrà ua uscita di 9, a frote della quale icasserà l iporto di 15 dopo 5 ai. Si tratta iequivocabilete di u ivestieto. Per quato ivece riguarda la cotro-parte del progetto (il soggetto che quidi icassa quato l operatore esborsa, e viceversa), si avrà, all epoca zero, u icasso di 9 e dopo 5 ai u esborso di 15. I altre parole, per la cotro-parte, il progetto i essere è lo stesso, a co i segi delle poste ivertiti. Quello che è sicuraete u ivestieto per l operatore, diveta sicuraete u ivestieto per la coto-parte. Le defiizioi di ivestieto e di fiaziaeto possoo quidi restare aaloghe, basta ivertire i cocetti. 3
delle uscite si ischia, teporalete, co la successioe delle etrate (la successioe delle geeriche poste cabia quidi di sego più volte). I tali situazioi ci si accoteta di verificare che la scadeza edia delle uscite preceda teporalete la scadeza edia delle etrate. No occorre più, quidi, che tutte le uscite precedao tutte le etrata, a basta che le uscite, ediaete, precedao, ediaete, le etrate. A coplicare però le cose sta però il fatto che la scadeza edia può essere calcolata secodo diverse odalità, Ci liitereo alla scadeza edia aritetica e alla scadeza edia fiaziaria. 1.2-b) Ivestieto i seso lato, sulla base della scadeza edia aritetica (SMA) 7 Ricordato allora che la scadeza edia aritetica (SMA) delle epoche t, t 1,..., t (epoche i corrispodeza alle quali risultao esigibili le associate poste C, C 1,..., C, tutte cosiderate co sego positivo) è data dalla edia aritetica delle citate scadeze t, ogua poderata co u peso pari al rispettivo capitale C : SMA t C t C t C + 1 1 + + = C + C + + C 1 = t C C e idicato co SMA (-) la scadeza edia aritetica delle uscite 8 e co SMA (+) la scadeza edia aritetica delle etrate, si defiisce ivestieto i seso lato u progetto caratterizzato dall avere: SMA (-) < SMA (+) Ricordado poi che la SMA, coe tutte le edie ordiarie, sarà copresa tra il più piccolo e il più grade dei valori elaborati (t <SMA<t ), si ottiee che qualuque ivestieto i seso stretto sarà ache ivestieto i seso lato. Si ottiee ifatti: (scadeza edia aritetica delle uscite) = SMA (-) scadeza ultia uscita < scadeza pria etrata SMA (+) = (scadeza edia aritetica delle etrate) 9. No sarà ivece ecessariaete vero il cotrario. Ua secoda defiizioe di ivestieto i seso lato fa ivece riferieto alla seguete codizioe (più restrittiva della precedete): SMA (-) < scadeza della pria etrata Tale secoda defiizioe risulta più utile i tea di aalisi dei progetti (coe verrà eglio descritto el seguito). 7 ) Ivestieto i seso lato, ivece che i seso stretto, i quato questa defiizioe è eo rigorosa della precedete. 8 ) Segaliao che le scadeze edie associate alle poste egative possoo essere calcolate co riferieto al valore assoluto di tale poste, e quidi eliiado il sego eo che caratterizza le uscite oetarie. 9 ) Precisiao che la codizioe SMA (-) = scadeza ultia uscita, oppure SMA (+) = scadeza pria etrata, si verifica solo el caso si operi su ua sola uscita, o su ua sola etrata. I tale caso qualsiasi scadeza edia corrispoderebbe all uica scadeza presa i cosiderazioe. 4
Ad esepio: 1 2 3 4 5 ai Ivestieto NON i seso stretto I 4 )!! (o tutte le uscite precedoo la -9 +3-2 +6 + 7-4 capitali pria delle etrate) 9 2 2 5 4 24 SMA ) + + = = 9 + 2 + 4 15 ( = 1,6 1 3 3 6 4 7 42 < SMA ( + ) + + = = = 2, 625 3 + 6 + 7 16 Si tratta quidi di u ivestieto i seso lato secodo la pria defiizioe proposta (SMA (-) =1,6 < SMA (+) =2,625), a o secodo la secoda defiizioe proposta (SMA (-) =1,6 > scadeza della pria etrata = 1). 1.2-c) Ivestieto i geerale, sulla base della scadeza edia fiaziaria (SMF) Ricordato allora che la scadeza edia fiaziaria (SMF) delle epoche t, t 1,..., t (epoche i corrispodeza alle quali risultao esigibili le associate poste C, C 1,..., C, tutte cosiderate co sego positivo) è data da quell epoca SMF(i) alla quale deve risultare esigibile u uico iporto CT (dato dalla soa di tutti i capitali cosiderati) affiché il valore attuale di tale iporto eguagli la soa dei valori attuali dei sigoli capitali, cioè a dire: e quidi: posto: = C SMF(i) CT si ottiee: ( CT) ( 1+ i) = C (1 + i) lg SMF(i) = lg C (1 + i) CT 1 {( 1+ i) } t lg = ( CT) lg ( + i) lg 1 C (1 + i) t t si defiisce ivestieto i seso geerale u progetto per il quale risulta (per tutti i valori di i che si itede predere i cosiderazioe): SMF (-) (i) < SMF (+) (i). Ricordado poi che la SMF sarà couque copresa tra il più piccolo e il più grade dei valori elaborati (t <SMF<t ), si ottiee che qualuque ivestieto i seso stretto, oltre ad esserlo ache i seso lato, sarà ache u ivestieto i seso geerale, risultado: (scadeza edia fiaziaria delle uscite) = SMF (-) (i) scadeza ultia uscita < scadeza pria etrata SMF (+) (i) = (scadeza edia fiaziaria delle etrate). No sarà ivece ecessariaete vero il cotrario. Evideziao ioltre che etre la SMA è dato da u valore uerico uivocaete deteriabile (basta fare i coteggi ecessari), la SMF è ivece ua gradezza che dipede dal valore del tasso di iteresse i utilizzato per effettuare i coteggi. La gradezza SMF è quidi ua fuzioe del tasso i. 5
Ad esepio, operado al tasso auo del 4%: 1 2 3 4 5 ai Ivestieto NON i seso stretto I 5 )!! (o tutte le uscite precedoo la -9 +3-2 +6 + 7-4 capitali pria delle etrate) si ottiee: SMF SMF 2 5 ( 9 + 2 + 4) lg( 9 (1 + i) + 2 (1 + i) + 4(1 i) ) lg (4%) = 1,511 lg 1,4 ( ) + ( ) 1 3 4 ( 3 + 6 + 7) lg( 3 (1 + i) + 6 (1 + i) + 7(1 i) ) lg (4%) = 3,39 lg 1,4 ( + ) + ( ) Si tratta quidi di u ivestieto i seso geerale, al tasso di iteresse del 4% (essedo SMF (-) (4%) 1,511 < SMF (+) (4%) )3,39). Utilizzado u diverso valore del tasso di iteresse la codizioe citata potrebbe o risultare più verificata (i valori di SMF (-) (i) e di SMF (+) (i) si odificao). Occorrerebbe quidi cotrollare se la codizioe SMF (-) (i) < SMF (+) (i) vale per tutti i possibili valori (aissibili) del tasso i, ache ricorredo, se ecessario, allo studio dei diagrai delle fuzioi citate. 1.2-d) Altre defiizioi di Ivestieto. Oltre alle defiizioi di ivestieto sopra citate (seplice, i seso stretto, i seso lato, i seso geerale), esistoo altre defiizioi (spesso acora eo rigorose) che vegoo utilizzate sia per tetare di apliare la classe degli ivestieti, sia per idividuare dei progetti co particolari caratteristiche che perettao di applicare specifiche procedure di valutazioe e di scelta 1. Seza etrare ei dettagli ricordiao che esistoo couque dei progetti che o rietrao i essua defiizioe di ivestieto (o di fiaziaeto). Si tratta dei cosiddetti progetti isti che vegoo spesso defiiti coe quei progetti che o soo é ivestieto, é fiaziaeto, ache se, i realtà, soo sia l uo, sia l altro (a secoda della frazioe di periodo teporale che viee aalizzata). 1.3) Progetti oogeei. Dovedo procedere ad u cofroto di coveieza tra due progetti alterativi, si suppoga che il prio (progetto A ) coduca ad u guadago di 1 euro, etre il secodo (progetto B ) forisce u guadago di 8 euro. Si dovrebbe quidi cocludere che il progetto A è eglio del progetto B (il progetto A fa guadagare più del progetto B ). Ma se successivaete specificassio che il progetto A dura ille ai e il progetto B dura sei esi, allora cocludereo che è preferibile il progetto B. Aalogaete, ache se etrabi i progetti 1 ) Ci liitiao a ricordare i cosiddetti ivestieti puri che, ella sostaza, distiguoo le uscite oetarie fiaziate dall operatore (co soldi suoi) dalle uscite oetarie fiaziate da precedeti icassi. E abbastaza evidete, ifatti, che le risorse oetarie effettivaete ivestite el progetto o soo costituite dalla soa di tutti gli iporti i uscita (cioè a dire: dalla soa di tutte le poste di valore egativo) a solo da quelle poste (egative) direttaete coperte dall operatore, co esclusioe, quidi, di quelle uscite oetarie che vegoo effettuate utilizzado dei precedeti icassi. Tale differeza cocettuale può odificare i odo sostaziale l aalisi di coveieza. 6
avessero la stessa durata, a il prio richiede u ivestieto di ceto ilioi di euro etre per il secodo bastao dieci euro, ugualete cocludereo che è eglio il progetto B. Vale quidi la regola geerale per la quale i progetti da cofrotare devoo essere tra loro oogeei, cioè a dire che devoo fare riferieto a aaloghe codizioi di ivestieto, e poiché tale cocetto di oogeeità potrebbe essere difficile da precisare i cocreto, si adotta la covezioe (a eo di situazioi particolari) che le alterative da cofrotare dovrebbero avere uguale durata e uguale capitale iizialete ivestito 11. Poiché però tale duplice codizioe be difficilete si preseta, occorre operare adeguado opportuaete le alterative di ivestieto origiarie itegradole co altri progetti i odo tale da perveire a situazioi alterative tra loro oogeee. Ad esepio, facedo riferieto ai due sotto idicati progetti Progetto A: epoche auali: t = 1 2 3 capitali a : -1 +12 Progetto B: epoche: t = 1 2 3 capitali b : -8 +2 +3 +5 si può subito otare che i progetti A e B o soo oogeei, é per durata, é per capitale iizialete ivestito. Si suppoga ioltre che il soggetto i questioe sia titolare di u coto correte (presso ua baca) che frutta iteressi attivi al tasso auale del 5% (i capitalizzazioe coposta). Sfruttado la possibilità di utilizzare il coto correte citato si possoo allora ipotizzare le operazioi fiaziarie itegrative A e B (sotto precisate) che perettoo di realizzare la oogeeità delle due alterative: 1 alterativa) Progetto A (situazioe iiziale): epoche auali: t = 1 2 3 capitali a : -1 +12 Progetto A (l iporto icassato all epoca t=2 viee depositata sul coto correte, per u ao): epoche auali: t = 1 2 3 capitali a : -12 +12 1,5=126 Progetto A+A (all epoca t=2 sia ha ua operazioe ulla: etra 15, esce 15, co saldo ullo): epoche auali: t = 1 2 3 capitali a +a : -1 +126 11 ) I progetti alterativi devoo (dovrebbero??) essere oogeei. A volte, o eglio, a secoda del tipo di idice di scelta che si deciderà di utilizzare, la codizioe di oogeeità risulta più o eo vicolate. I ogi caso, sarebbe bee che le alterative fossero effettivaete oogeee. 7
2 alterativa) Progetto B (situazioe iiziale): epoche auali t = 1 2 3 capitali b : -8 +2 +3 +5 Progetto B (ipotizzo di depositare u capitale di iporto: (1-8)=2 all epoca t=, per tre ai) epoche auali t = 1 2 3 capitali b : -2 +2 1,5 3 =23,1525 Progetto B+B (il capitale iizialete ivestito è globalete pari a 1, co durata di tre ai): epoche auali t = 1 2 3 capitali b +b : -1 +2 +3 +73,1525 Il cofroto va ora effettuato o tra i progetti origiari A e B, o oogeei, a tra i rispettivi progetti itegrati (A+A ) e (B+B ), tra loro oogeei. La scelta del più coveiete progetto itegrato idividua ache il più coveiete progetto origiario, dado per scotato che sia possibile procedere co le operazioi fiaziarie itegrative sopra descritte. Il ricorso alle operazioi itegrative, se da u lato perette facilete di risolvere la questioe delle codizioi iiali di oogeeità, dall altro risulta più delicato di quato potrebbe sebrare a pria vista. Le operazioi itegrative che possoo essere utilizzate soo ifatti oltissie e poiché tutte coducoo (possoo codurre) alla situazioe di oogeeità tra i progetti cosiderati, occorrerebbe idividuare quelle più coveieti. Si perviee facilete a problei di gestioe ottiale delle risorse (a volte ache assai coplicati) che esulao dalla presete trattazioe. 12 1.4) Due faosi idici di scelta (per progetti di tipo deteriistico). Ricordado che fareo riferieto a progetti ecooico-fiaziari di tipo deteriistico (tutti i dati che caratterizzao i progetti soo espressi da quatità certe), ostriao, più che altro a titolo di esepio i due più oti idici di scelta: il Redieto ecooico attualizzato (R.E.A) e il Tasso itero (T.I.) 1.4-a) L idice del Redieto Ecooico Attualizzato (REA) 13. La più seplice procedura per cercare di deteriare il guadago derivate da u progetto cosiste el calcolare il redieto totale etto, cioè a dire: soare tutte le poste i etrata (totale degli icassi) e da tale soa sottrarre tutte le poste i uscita (totale degli esborsi). Il risultato di tale differeza idica quati euro si soo guadagati (o persi, se si ottiee u valore egativo) 12 ) Vale la pea di citare ua ulteriore osservazioe: tra i progetti alterativi cosiderati dovrebbe sepre essere presete ache il progetto ullo, cosistete el o realizzare essu progetto (a se o ivesto ullo, allora tale alterativa o sarà oogeea co le altre, d altra parte se essu progetto risulta coveiete, la scelta igliore cosiste el o fare ulla). 13 ) Il Redieto Ecooico Attualizzato (REA), viee spesso chiaato co altre deoiazioi: Valore attuale etto (VAN), Discouted preset value (DPV), Net preset value (NPV), Discouted cash flow (DCF), Capital value (CV), Preset value (PV), eccetera. 8
realizzado il progetto i questioe. Tale procedura viola però ua delle regole base della ateatica fiaziaria: o si possoo ifatti tra loro soare (o sottrarre) poste che scadoo ad epoche diverse. U capitale di 1, valutato a ua certa epoca, o ha lo stesso valore fiaziario di u altro capitale, ach esso di 1, che scade ad ua epoca diversa. Se si trattasse di due icassi, ad esepio, sarebbe eglio icassare pria; se si trattasse di due esborsi, sarebbe eglio pagare dopo. I poche parole, ci soo di ezzo gli iteressi (o lo scoto) che i capitali i questioe potrebbero geerare. Per procedere correttaete occorre allora, pria di soare le poste i etrate (e aalogaete per le poste i uscita) valutare fiaziariaete tutte le poste ad ua stessa epoca, e poiché il cofroto viee fatto all istate t=, tato vale calcolare il valore attuale (a t=) di tutte le poste 14. Operado allora ad u prefissato tasso di iteresse i, e utilizzado la tecica delle capitalizzazioe coposta (i covezioe espoeziale) 15, si ottiee (co riferieto ad ua geerico progetto) la seguete fuzioe: 1 t = = + t REA( i ) C C (1 i) = C v, co t (1 + i) v 1 1 = (1 + i ). Ad esepio, operado al tasso del 5% auo: Progetto A+A : epoche auali: t = 1 2 3 capitali a +a : -1 +126 C = 26 C valori attuali (5%) -1 +18,844 (1 i) REA (A+A ) (5%) = -1 + 126 (1,5) -3 8,84 + t 8,84 Progetto B+B : epoche auali: t = 1 2 3 capitali b +b : -1 +2 +3 +73,1525 C = 23,1525 C valori attuali (5%) -1 +19,48 +27,211 +63,192 (1 i) + REA (B+B ) (5%) = -1 + 2 (1,5) -1 + 3 (1,5) -2 + 157,1525 (1,5) -3 9,45. t 9,45 14 ) Utilizzare, quale uica epoca di valutazioe, l istate t= è ua cooda e diffusissia abitudie. Nulla vieta però di operare facedo riferieto ad ua diversa epoca coue, che, i casi particolari, può risultare be più efficiete. 15 ) Ricordiao che per calcolare gli iteressi fiaziari (e quidi i relativi otati, o valori attuali) si può utilizzare il etodo della capitalizzazioe seplice (ad esepio, idicato co C il capitale, co t l apiezza del periodo tepo, co i il tasso di iteresse uitario e co M il relativo otate: si ottiee la t relazioe: M = C (1+i t) ), oppure il etodo della capitalizzazioe coposta (M = C (1+i) ). Si parla di capitalizzazioe coposta, covezioe espoeziale, quado l espoete t può ache assuere u valore o itero. 9
Sulla base dell idice di scelta REA, operado al tasso auo del 5%, l alterativa (B+B ) risulta quidi preferibile all alterativa (A+A ), foredo u guadago valutato all istate t=, di 9,45 ivece che di 8,84. Occorre però ricordare che utilizzado u diverso valore del tasso i l ordiaeto di prefereza potrebbe utare. Operado ifatti. ad esepio, al tasso i = 3% si otterrebbe: REA (A+A ) (3%) = -1 + 126 (1,3) -3 15,38 REA (B+B ) (3%) = -1 + 2 (1,5) -1 + 3 (1,5) -2 + 157,1525 (1,5) -3 14,64. co prefereza, quidi, per l alterativa (A+A ). Il fatto che al variare del tasso di iteresse utilizzato si possao otteere ordiaeti di prefereza differeti viee cosiderato essere più u pregio, che u difetto. Ogi soggetto decisore opera ifatti all itero di u suo abito, caratterizzato da particolari codizioi operative, ed è quidi corretto che sia possibile persoalizzare la scelta del tasso i da utilizzare. 16 Vale ifie la pea di osservare che l idice del REA può sepre essere calcolato (etre o sepre accade per altri idici di scelta) e che l idice REA opera efficaceete sia che si abbia a che fare co u progetto di ivestieto, sia che si tratti di u progetto di fiaziaeto (ed ache qualora si fosse i preseza di u progetto isto). La sua seplicità di utilizzo (e di copresioe) lo ha reso particolarete faoso (e utilizzato), a volte ache troppo, date alcue cosisteti cosiderazioi egative, tra le quali il fatto che vega utilizzato uo stesso tasso sia per attualizzare le poste positive, sia per attualizzare quelle egative, etre ella realtà risulterebbe più opportuo fare riferieto a due diversi tassi (a secoda che si tratti di uscite o di etrate). Cocludiao osservado che il REA può essere iteso ache coe il prezzo equo da pagare per acquisire l operazioe fiaziaria aalizzata. IL REA è u idice di tipo assoluto (isura quati euro, valutati all iizio del progetto, si guadagao, o si perdoo) e co copoeti soggettive, aleo per quel che riguarda la scelta della legge di attualizzazioe e, specialete, del tasso di iteresse i. 1.4-b) L idice del Tasso Itero (TI) 17. Coe precedeteete segalato, l idice del REA è di tipo assoluto (isura quati euro, valutati all iizio del progetto, si guadagao, o si perdoo). Ne cosegue che se risulta, ad esepio: REA H (i) > REA K (i), si dovrebbe cocludere che il progetto H è preferibile al progetto K (effettuado le valutazioi al tasso i). Se però il prio progetto avesse ua durata olto elevata, o se richiedesse igetissii capitali (rispetto al progetto alterativo), allora il progetto K potrebbe risultare preferibile, da cui la ecessità di operare il cofroto tra progetti oogeei. Per risolvere (aleo i parte) la questioe della oogeeità, si potrebbe utilizzare u idice di scelta che isuri 16 ) La scelta del tasso di attualizzazioe da utilizzare per il calcolo del REA è quidi soggettiva, el seso che sarà l operatore che dovrà idividuare il valore del tasso i che eglio si adatta alle sue esigeze. Tale scelta dovrà essere effettuata co buo seso, teedo a ete ciò che l idice REA vuole ettere i evideza (il risultato etto dell operazioe, valutato all istate iiziale). Il valore del tasso i questioe, a secoda delle specifiche esigeze, potrà quidi fare riferieto, ad esepio, al tasso di iflazioe, al tasso di costo del dearo, al tasso operate per u ivestieto alterativo, eccetera. 17 ) Il Tasso itero (TI) viee spesso chiaato: Tasso iplicito (TI), oppure Iteral rate of retur (IRR), eccetera, per arrivare (co le dovute accortezze) al Tasso Auo Effettivo Globale (TAEG). 1
o u redieto assoluto, a u redieto relativo, atto ad evideziare quato si guadaga (o si perde) per ogi ceto euro di capitale ivestito, per ogi ao. U idice di tipo relativo, olto spesso utilizzato, fa riferieto al tasso itero. 18 Per calcolare il valore uerico del tasso itero occorre cosiderare la fuzioe del REA sopra descritta e idividuare il valore del tasso i i corrispodeza del quale tale fuzioe si aulla: * 1 REA ( i ) = C (1 + ) = co i* = tasso itero. * t i Per idividuare il valore uerico del tasso itero (cioè a dire: il valore di i*) occorre quidi risolvere ua equazioe di grado ache olto elevato (dipededo dall espoete di valore più elevato: t ). Di cosegueza: - le soluzioe potrebbero essere olte (potrebbero esistere olti diversi valori del tasso itero) 19 - la soluzioe esatta, ache se uica, può essere idividuata solo per progetti olto seplici 2 - la soluzioe, ache se uica, può oralete essere idividuata solo i via approssiata 21 ioltre: - il tasso itero, se o uico, o può essere utilizzato quale idice di scelta 22 - il tasso itero isura gli iteressi geerati dal progetto, seza specificare se soo attivi o passivi Nel caso i cui i progetti da valutare e cofrotare siao tutti ivestieti (o tutti fiaziaeti) e ogi progetto cosiderato abbia u solo tasso itero, si preferirà il progetto co il tasso itero più elevato, se si tratta di ivestieti (gli iteressi geerati dal progetto vegoo icassati), oppure si preferirà il progetto co il tasso itero eo elevato, se si tratta di fiaziaeti (gli iteressi geerati dal progetto vegoo pagati). Co riferieto ai progetti (A+A ).e (B+B ), sopra descritti, che risultao etrabi progetti di ivestieto (etrabi dotati di u solo tasso itero) 23, si ottiee 24 : 18 ) Più propriaete si dovrebbe parlare di tasso itero di redieto (TIR), per i progetti di ivestieto, e di tasso itero di costo (TIC), per i progetti di fiaziaeto. Resta il problea, el dettaglio, di decidere quale defiizioe di ivestieto (o di fiaziaeto) coviee utilizzare, seza dieticare la esisteza dei progetti isti (per i quali gli iteressi geerati dal progetto soo a volte da icassare, a volte da corrispodere). 19 ) Per il teorea fodaetale dell algebra ua equazioe algebrica di grado possiede i totale soluzioi, seplici o ultiple, reali o coplesse. Il uero totale delle radici reali distite sarà quidi o superiore ad. 2 ) Soluzioi aalitiche dell equazioe (o ecessariaete co valori uerici razioali) possoo ad esepio essere facilete calcolate i preseza di equazioi di prio, o di secodo grado. 21 ) I geerale, per le equazioi di grado elevato, le soluzioi approssiate possoo essere idividuate ricorredo o al etodo delle secati, o al etodo delle tageti, o al etodo degli zeri (o di bisezioe). 22 ) Il tasso itero isura quati iteressi vegoo geerati aualete da u capitale di ceto euro (o di u euro, quado si fa riferieto al tasso uitario ) La preseza di due diversi valori di i che aullao il REA, ad esepio il 3% e il 7%, starebbe quidi ad idicare che il progetto cosiderato geera iteressi sia al tasso del 3%, sia al tasso del 7%, co i cosegueti problei di iterpretazioe logica. Si preferisce risolvere la questioe afferado che l idice di scelta del tasso itero può essere utilizzato solo quado i progetti cosiderati possiedoo u solo valore del tasso itero. I realtà la preseza di tassi iteri ultipli ha ua sua logica fiaziaria, a o ci addetriao i questa questioe. 23 ) Etrabi i progetti soo ivestieti i seso stretto. Per tali tipo di progetto è garatita l esisteza di u solo tasso itero. 11
REA (A+A ) (i) = per i*,88 tasso itero = 8,8% auo REA (B+B ) (i) = per i*,939 tasso itero = 9,39% auo, l ivestieto preferito è quidi il secodo (B+B ), al quale è associato u redieto auo più elevato. Ricordiao uovaete che l idice di scelta del tasso itero, isurado il redieto (o il costo) relativo (per ogi 1 euro, per ogi ao), risulta più ricco di sigificato rispetto all idice del REA (idice di tipo assoluto), a tale idice risulta utilizzabile solo i preseza di particolari codizioi. Le codizioi citate soo couque spesso verificate i progetti di atura fiaziaria (utui, assicurazioi, operazioi di borsa, eccetera), etre per i progetti di atura più tipicaete aziedale (ove si ha spesso a che fare co progetti di tipo isto) il criterio i esae risulta spesso ipraticabile. 1.5) Coclusioi. Il cofroto tra diversi progetti ecooico-fiaziari, fializzato ad idividuare il progetto più coveiete (ediate la costruzioe di u ordiaeto di prefereza), o è così seplice coe potrebbe sebrare a pria vista. Occorre iazitutto (di ora) qualificare i progetti che si itede aalizzare (ivestieti?, fiaziaeti?, progetti isti?), associare ad ogi progetto u idice di scelta (tra i tati proposti dagli Studiosi) e calcolare quidi il valore uerico dell idice i questioe, teedo presete le questioi coesse co il requisito di oogeeità delle alterative. Poiché ogi idice di scelta farà riferieto a u particolare aspetto del progetto, si dovrà scegliere, di volta i volta, l idice più opportuo per le fialità prefissate. Al variare dell idice di scelta, o ache solo al variare del valore del tasso i ipiegato per calcolare u certo idice, l ordiaeto di prefereza potrebbe utare rededosi quidi ecessarie ulteriori aalisi e ulteriori cosiderazioi. 24 ) Tralasciao di riportare i coteggi, otteuti per via approssiata. 12