Proprietà flessionali elastiche e plastiche Calcolo automatico di sezioni generiche

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1 Propretà lessoal elastche e plastche Calcolo automatco sezo geerche Paolo Rugarl [Costruzo Metallche, 4-998]

2 Premessa La rcerca soluzo pù vataggose term progettual e ecoomc porta sempre pù reuetemete all uso sezo orma o staar. Lo stesso cocetto orma staar tee a perere l suo sgcato vsto l arrcchmeto elle orme spobl. prouttor prolat metallc hao trazoalmete uso propr proott metteo a sposzoe e progettst maualett pù o meo estes coteet l elecazoe elle orme spobl, correate a u seme caratterstche statche per lo pù eterogeee al varare e prouttor e e maualett. Nel rattempo, co l passare egl a, maualett s soo moltplcat seza che essuo arotasse moo geerale e sstematco l problema. Lo sorzo mglore computo tala uest ambto resta la trauzoe talao el classco testo teesco Stahl m Hochbau ([]), l uale à u ampa casstca orme ache composte, oltre a ua otevole messe ormazo, purtroppo o pù aggorate. l testo [] rappreseta uo e vertc raggut all approcco maualstco classco, sol tom a cosultare e cas pù sparat, ma è opoe usa che sa orma ecessaro raccoglere l testmoe per prosegure lo sorzo orgaro alla luce ella parlata attuale, la uale usa l ormatca. uesta ecesstà o erva alla vogla segure la moa, besì alla possbltà portare a compmeto lo sorzo che ha amato ch ha reatto ostr classc test cosultazoe, vale a re are ua rsposta precsa e rapa a ua amplssma classe problem. progettst e prouttor ogg eserao poter escrvere ualsas orma sezoale moo ecete e rapo aveo cambo tutt at ella sezoe escrtta. U partcolare teresse rguara le sezo otteute assemblao pù sezo elemetar (sezo composte) e le sezo ormate a reo, per le ual l ustra ha creato ua amplssma gamma tp, cotua evoluzoe. uesto lavoro llustra la proceura seguta all autore per mplemetare l calcolo sezo moo el tutto geerale, ell ambto el progetto SMB. Nostro obettvo è l calcolo elle propretà lessoal elastche e plastche su ua sezoe o ua ruoe sezo completamete geerca. l lavoro porrà l acceto sugl aspett umerc e computazoal che caratterzzao la uestoe, vuao alcu egl aspett a arotare per rsolverla. La sezoe potrà essere elemetare, composta, ormata a reo e coteere or: l procemeto s applca moo geerale. L accao elle costruzo, Ezo Cremoese, Roma, 973

3 Descrzoe a polgoal Geeraltà uesto lavoro ua sezoe verrà escrtta come la ruoe u certo umero m polgoal chuse, rerte a u sstema coorate (, ). Og polgoale può rappresetare u peo o u vuoto. Stetcamete la sezoe Θ è tale per cu m Θ h P () ove P è la -esma polgoale e h vale se tale polgoale è pea, - se tale polgoale è vuota. E pacco che og tratto curvleo può essere approssmato a u certo umero tratt rettle pur aottare u umero put sucete. g. Og polgoale P vee escrtta a put el pao e lat, esseo l puto cocete per ezoe co l puto. chè uesta escrzoe abba seso è ecessaro che essu lato ua polgoale tersech u altro lato (è ella stessa è altre polgoal). put cascua polgoale soo orat a a percorreo la polgoale moo atoraro. Calcolo tegral alteratva alla trouzoe h s potrebbe covere percorrere le polgoal pee moo atoraro e le polgoal vuote moo oraro.

4 P: Samo teressat al calcolo el seguete tegrale, eto sul omo tero a ua polgoale p ove p e soo ue ter postv o ull. Utlzzao la ormula Gree s ha: ove la polgoale P è l cotoro. p p P ( p ) () g. Pertato p P p ( p ) ( p ) Se ha le coorate e e - possamo porre, lugo l tratto, : (4.a) (4.b) (5) ove è u ascssa amesoale compresa tra 0 e. Sosttueo le (4)-(5) elle () (3) s ottee p 0 ( ) ( p ) p ( ) (3) (6)

5 L tegrale eto che compare ella (6) può essere valutato umercamete o orma chusa. Per esso troucamo l smbolo abbrevato (a tre o uattro c) 3 ( ) ( ) ( ) 0 p p p (7) ove è l puto parteza e p e soo gl espoet e, rspettvamete. Graze alla (7) possamo scrvere p p (8) Rsultao partcolarmete utl alcu tegral, precsamete: ( ) 0 00 (9.a) ( ) 0 0 (9.b) ( )( ) 0 0 (9.c) ( ) ( ) 0 (9.) ( ) (9.e) ( )( ) 0 0 (9.) Tutt uest tegral et soo aclmete calcolabl orma chusa. esempo: 00 ( ) 0 6 e così va. l rsultato trovato s presta a essere geeralzzato al caso cu la sezoe segua la (), sa coè composta a ua ruoe m polgoal pee e vuote. tal caso l tegrale arà al puto j ella polgoale al puto j ella stessa polgoale, o, pù brevemete a j a j. etva, geeralzzao la (8) co ua scrttura a uattro c 3 S usao uattro c uao al puto s sosttusca l puto j, ovvero l puto j ella polgoale.

6 m p h Θ j ovvero ualsas tegrale è rotto a somme algebrche. jp (0) Propretà lessoal elastche Co la otazoe trootta rsulta: m h (.a) j j00 S m hj 0 (.b) j m hj 0 (.c) j m h (.) m j j j h (.e) j0 S m h (.) j j0 Dalle () è possble calcolare l barcetro G e gl ass prcpal per le ve orare. Sa γ l agolo ormato all asse prcpale u co l asse. La staza el geerco puto j (puto j ella polgoale ) all asse u è e all asse v è ( γ ) ( s( γ ) uj ( j G )cos j G ) vj ( γ ) ( ) cos( γ ) ( j G ) s j G Poamo ora semplcemete W W trovao moul ressteza elastc. u v (.a) ma u { } j uj (.b) ma v { } j vj

7 Sezo composte Ua elle stuazo pù reuet e pù teressat per l progettsta accao è costtuta alla possbltà creare ua sezoe composta 4 assemblao altre sezo elemetar, moo a otteere u certo scopo. uesto ambto o esstoo regole a pror che lmto le casstche possbl, così sembra propro che og elecazoe, per uato completa, sa estata a essere sucete. Spesso la ecesstà assemblare u certo moo le sezo elemetar erva a stuazo cotget o a ecesstà estetche che creao ua stuazoe rrpetble. La soluzoe el problema cosste el creare u sotware grao smulare co assoluta lbertà (la stessa el progettsta) l assemblaggo elle sezo elemetar. La proceura calcolo eve pertato essere specalzzata per trattare moo ecete l problema. Chamamo uue sezoe composta Φ la ruoe u umero arbtraro sezo elemetar Θ. Og sezoe Θ è rerta a u propro SC (, ) e otata e propr ass prcpal (u,v) ormat u agolo γ col sstema (,). Chamamo vece (X,Y) l SC aottato per la sezoe composta e (U, V) l suo sstema prcpale. La poszoe og sezoe elemetare Θ el pao è vuata a tre umer: le coorate (X, Y ) el suo barcetro e l agolo rotazoe α ell asse rspetto all asse X. Per prma cosa osservamo che l metoo preceetemete llustrato resta valo, perchè è acle veere che ache la sezoe composta sosa la (), può coè essere vsta come ruoe opportue polgoal. Naturalmete, perchè l metoo sa applcable è ecessaro che tutte le polgoal sao rerte al meesmo SC (X,Y), cò che s a mpoeo a tutte le polgoal ella sezoe, P, ua rototraslazoe peete a (X, Y ) e α. l sotware eve aggorare tempo reale at ella sezoe composta ma mao che ch lo usa trasla e ruota lberamete le sezo compoet el pao. Partcolare rlevo assumoo cotroll cogrueza cu s è atto ceo preceeza, pochè le sezo compoet o possoo sovrappors. E pertato ecessaro asscurars che la scelta correte X, Y e α, ovvero l moo cu l utete ha ecso muovere e ruotare la sezoe correte el pao, o vol ueste cozo regolartà. Cò s a cotrollao che essua polgoale ella sezoe corretemete spostata P tersech le polgoal elle altre sezo, e che essua polgoale ua sezoe sa coteuta o cotega u altra polgoale presa a u altra sezoe. Da u puto vsta pratco l sotware o eve accettare come etve stuazo che volo la cogrueza, pur coseteo trastare per stuazo ammssbl. 4 La parola composta s presta a ualche ratemeto: uesto lavoro s tee otteuta assemblao sezo elemetar (che al lmte possoo essere patt come elle sezo composte salate, ma ache PE, agolar, UPN, altre sezo composte, ecc.).

8 g. 3 Oltre al metoo geerale gà escrtto è possble utlzzare l metoo retto per l calcolo e momet erza e egl ass prcpal ella sezoe composta a partre alle aaloghe graezze elle sezo elemetar. Naturalmete el ar cò occorre coserare oltre alla traslazoe ache la rotazoe cascua sezoe elemetare. Le ormule che s ottegoo soo le seguet: (3.a) S X Y (3.b) S Y X X Y ( Y ) X XY ( X ) Y ( X Y ) XY (3.c) (3.) (3.e) (3.) oltre rsulta, poeo β α γ X Y v ( β ) cos ( β ) s (4.a) v u ( β ) s ( β ) cos (4.b) u

9 XY ( ) s( β ) cos( β ) (4.c) u v Le (4) esprmoo momet erza ella sezoe elemetare rspetto agl ass parallel agl ass (X, Y) e passat per l barcetro ella sezoe elemetare. Sosttueo le (4) elle (3) s trovao le propretà ella sezoe composta rspetto al suo sstema rermeto, uzoe elle propretà prcpal elle sezo compoet, elle poszo (X, Y ) elle sezo compoet e ella rotazoe α loro applcata. Otteute le uattà (3) co l metoo geerale o co uello retto è po possble calcolare l barcetro ella sezoe composta, suo ass prcpal e l suo agolo γ (agolo tra X e U). Per otteere momet erza barcetrc basterà applcare le ormule trasporto be ote. Per l calcolo e moul ressteza sarà comuue ecessara la escrzoe a polgoal e l calcolo elle (). Prol ormat a reo: alcue specalzzazo Deamo u ormato a reo u prolo che possa essere vuato a ua lea mea K e a uo spessore costate t. Suppoamo che la lea mea sa composta a tratt rettle e a arch crcoereza. Per rago regolartà mpoamo K C ovvero la lea mea eve essere cotua co la sua ervata prma. uesto caso l calcolo elle propretà elastche può essere atto orma chusa. Poamo l K (5) ove l è l geerco lato, rettleo o crcolare. Scrvamo ora cotrbut cascu lato, rettleo o curvleo, alle graezze utl al calcolo. Se l è rettleo, è clato γ sull asse rermeto, ha l barcetro G e è lugo b, rsulta baalmete S tb (6.a) G S tb (6.b) G 3 3 b cos ( ) t γ tb s ( γ ) (6.c) 3 3 bt s ( γ ) tb cos ( γ ) (6.) 3 b ( γ ) cos( γ ) 3 t s tb s( γ ) cos( γ ) (6.e)

10 g. 4 Se l è u arco crcoereza rsulta, poeo per ezoe z R -r : C z3 S z ( β α) (cos( α) cos( β )) 3 (7.a) C z3 S z ( β α) ( s( β ) s( α)) 3 (7.b) C ( β α) z 4 ( β α) z C z3 (cos( α) cos( β )) z 4 ( s(α ) s(β )) (7.c) C ( β α) z 4 ( β α) z C z3 ( s( β ) s( α)) z 4 ( s(β ) s(α )) (7.) C C z 4 ( β α) z C z3 ( s( β ) s( α)) C z 3 (cos( β ) cos( α)) ( s ( β ) s ( α)) (7.e) ove c e c soo le coorate el cetro, α e β soo ue agol gura, R e r soo l raggo estero e uello tero. Le propretà ella sezoe s otteoo sommao cotrbut cascu lato, per esempo ove s usa la (6.c) o la (7.c) a secoa che l lato sa rettleo o crcolare. Per l calcolo e W è comuue ecessaro trasormare la lea mea K spessore t ella polgoale chusa euvalete P, cosa che s a orlao K uo spessore t/, e trasormao gl arch crcoereza polgoal co u umero opportuo lat. Geeraltà Propretà lessoal plastche l calcolo e moul ressteza plastc assume u mportaza crescete ato l maggor mpego orme agl stat lmte (EC3, BS, SC, ecc.).

11 Reramo la sezoe a suo ass prcpal elastc (u, v). Dato u geerco asse eutro plastco (g. 5) euazoe aubvc0 ove rsult a b uesto ve la sezoe ua zoa tesa e ua compressa e -. Nella zoa tesa la tesoe ormale vale, ella zoa compressa essa vale. troucamo la uzoe el puto s() così eta: s() sg(aubvc) se s() sg(aubvc) - se - og geerco asse eutro plastco (PN ) corrspooo u azoe assale e ue momet lettet, ovvero N s ( ) (8.a) pl M s ( ) v (8.b) upl M s ( ) u (8.c) vpl La tera Λ {N pl, M upl, M vpl } T rappreseta u puto el omo lmte (uo e o ue perchè s suppoe che l asse sa oretato). l vettore Λ ha per compoet moul plastc realtv al geerco asse eutro prescelto, precsamete rsulta: N pl pl s ( ) (9.a) M upl Z upl s ( ) v v v (9.b) M vpl Z vpl s ( ) u u u (9.c) Calcolo egl tegral

12 Sa ata ua polgoale P co omo tero taglata a u asse s. Chameremo P la polgoale (euvalete a P ) otteuta aggugeo a P put otteut tersecao lat P co s. g. 5 Se zalmete put P soo (), put P sarao geerale (r). Gl r uov put trovat stao tutt su s. Chamamo V j put ella uova polgoale P (j va a a r), e oramo gl r uov put trovat, R l, lugo s a partre al prmo verso l ultmo ( moo che l prmo e l ultmo sao tra loro pù stat, g. 6). g. 6 Data ua coppa put successv R l e R l, post etramb sulla polgoale, e u asse eutro plastco euazoe aubvc0, troucamo la uzoe η l (R l ) così eta (g. 6):

13 η l sg(bu l - av l ) se l puto meo el segmeto R l R l è tero a P η l 0 se l puto meo el segmeto R l R l è estero a P uesta uzoe η l vale uue o a secoa che l vettore che va a R l a R l sa euverso o meo co l oretazoe ell asse eutro plastco, e vale 0 se l tratto R l R l o appartee al omo. La opportutà trourre uesta uzoe è puramete ormatca. D atto essa tee coto ue cose: la prma è che o tutt segmet gacet su s ao eettvamete parte ella sezoe, e cò va atto compreere al calcolatore (a esempo l segmeto R R 3 ella gura 6). La secoa è che aao a R a R,R 3 eccetera, s può percorrere l asse eutro plastco el suo verso o verso a esso opposto, e cò occorre teer coto el valutare cotrbut, che hao sego solo se appartegoo al cotoro ella parte tesa, ovvero solo se s percorre la rotera el verso PN (g.5). S può mostrare 5 che r r p s( ) u v s( Vj ) Vjp η l Rlp (0) j l ove s tee come al solto V p ( uj uj ) jp ( vj vj ) vj () 0 ( p ) e smlmete per R lp. Per ua sezoe composta a m polgoal P, trasormate polgoal euvalet P (ao luogo a uov put R l ), possamo u porre, rcorao le (9) e applcao la (0): Z Z pl upl vpl m m m h h h ( η (.a) r r s Vj ) Vj00 l Rl 00 j l ( η (.b) r r s Vj ) Vj0 l Rl 0 j l ( η (.c) r r s Vj ) Vj0 l Rl0 j l 5 La mostrazoe è omessa per brevtà. S ot però che se Γ e Γ- soo l cotoro ella parte tesa e ella parte compressa, rspettvamete, rsulta s ( ) ( u, v) ( u, v) v ( u, v) v u Γ Γ e Γ- hao comue la parte rotera H che è ua parte s. H come parte Γ- vee percorsa però co verso opposto H come parte Γ, moo che ( ) ( ) s ( )( ) ( ) ( ) s( )( ) ( ) Γ Γ Γ H H Γ Γ H

14 Le () coo come calcolare moul lmte (e percò le sollectazo lmte) ato u certo asse eutro plastco. S ot che le uattà h valgoo se la polgoale P rappreseta u peo, - se la polgoale P rappreseta u vuoto. alogamete s (V j ) valgoo o a secoa ella poszoe V j rspetto all asse eutro plastco ( zoa tesa o compressa), e che la uattà η l vale,- o 0. Pertato le () soo la somma co seg opportu u certo umero tegral el tpo (9). Rcerca e moul plastc Tra tutt possbl ass eutr plastc a ual soo assocate le tere Λ, samo teressat a ue ass PN u e PN v tal per cu le tere vetao, rspettvamete Λ u {0, Z u, 0} (3.a) Λ v {0, 0, Z v } (3.b) ovvero a uegl ass eutr plastc che geerao strbuzo sorzo eulbrate co le sollectazo lessoal semplc. Suppoamo voler trovare Ζ u.cò s a co u procemeto teratvo che tea a aullare Ζ v e N pl. Coseramo apprma l aullameto N pl. Dato u geerco agolo clazoe φ ell asse eutro plastco, e posta l euazoe ell asse eutro plastco ella orma v cos(φ)-u s(φ)-c 0 è possble veere che esste uo e u solo cc(φ), e percò u solo asse eutro plastco clazoe φ, tale per cu la zoa tesa sa eguale a uella compressa, ovvero perchè sa vera la cozoe pl (4) Tale cozoe è ecessara achè la sezoe sa puramete lessa, ovvero sa aullato N pl. Per og geerco φ l corrspoete valore c può essere trovato co u metoo teratvo che us a esempo l metoo elle secat ( è ora l ce terazoe): L errore ε vee calcolato come c c pl ( ( c c pl ) pl( ) ) pl ε < TOLLERNZ (5) L terazoe s arresta uao la seuazoe (5) è sosatta.

15 og varazoe c, che corrspoe a ua traslazoe ell asse eutro plastco a clazoe costate, occorre valutare moul plastc corrspoet usao le (). Coseramo ora l aullameto Z v. l valore c otteuto co u geerco φ corrspooo tere el tpo { 0, Z u (φ), Z v (φ) } ovvero tere ove Z v o è ullo. l problema è trovare l valore φ che aull Z v, cosa che vee atta ache u co u procemeto teratvo. Poamo (sa sempre l ce terazoe): valutao l errore come ( φ φ ) φ φ Z v (6) ( Z Z ) v v( ) Z v ε < TOLLERNZ (7) W v og uovo φ vee computa u terazoe completa su c per trovare l valore c che sosa la (4). Co la coppa (φ, c(φ )) s calcolao le (), s valuta l errore secoo la (7) e s cerca u uovo φ co la (6). l procemeto vee arrestato uao la seuazoe (7) è sosatta. Coclusoe g. 7

16 l procemeto u llustrato è stato mplemetato el programma SMB, e co esso soo state valutate le caratterstche elastche e plastche sezo composte e ormate a reo complesse, come uelle rportate elle gure 7 (sezoe ormata a reo co oro) e 8 (sezoe composta geerca). La geeraltà el metoo seguto e la sua mpostazoe pesata per l mplemetazoe hao cosetto rsolvere l problema ua amplssma varetà cas, rspoeo al proposto orgaro. g.8 esempo lo stuo elle sezo composte avvee per mezzo el alogo g. 8, el uale s può veere come le sezo compoet (rettagolo cetrale basso) vegao aggute o rmosse (>>, <<) scegleole a ua lsta opportua (rettagolo a sstra). La sezoe selezoata ( rosso gura) può po essere traslata e ruotata co cotutà (cotroll X, Y, al ) oppure spostata a scatt cercao le cozo tageza co le altre sezo compoet (pulsat ->, <-, su, gù ). Le graezze calcolo vegoo aggorate co cotutà, metre moul plastc possoo essere calcolat su rchesta escao la oppa terazoe escrtta ( Calcola W plastc, g. 8).

17 Fg.9 at ella sezoe possoo po essere comoamete stampat su ualsas pererca (g.9).

18 Legea α agolo ormato all asse co l asse X, agolo zale lato crcolare β agolo ale lato crcolare γ agolo ormato all asse prcpale u co l asse per ezoe eguale a - ε errore u processo teratvo φ agolo clazoe PN sull asse u η l uzoe e put R l e R l ascssa amesoale compresa tra 0 e Γ cotoro Γ cotoro Γ cotoro - Λ vettore coteete moul plastc Θ sezoe composta a polgoal a b c h j l m p r s s() t z parametro ell euazoe PN lughezza u lato rettleo sezoe ormata a reo, parametro ell euazoe PN parametro ell euazoe PN staza u puto a u asse umero sezo compoet ua sezoe composta tesoe servameto uzoe che stablsce se ua polgoale è u peo o u vuoto ce el puto su ua polgoale P, ce ella polgoale Θ, ce terazoe, ce el lato. ce el puto sulla polgoale P ce ella sezoe compoete, ce el geerco asse eutro plastco lato sezoe ormata a reo, ce umero polgoal ua sezoe umero lat ua polgoale espoete tero postvo o ullo espoete tero postvo o ullo raggo tero lato crcolare, umero (uov) put P gacet su s retta corrspoete a PN uzoe el puto spessore ua sezoe ormata a reo R -r omo tero a ua polgoale, area ua sezoe zoa tesa - zoa compressa C cetro ella crcoereza a cu appartee u lato crcolare G barcetro H parte comue tra Γ e Γ- mometo erza

19 M mometo lettete N azoe assale P polgoale PN asse eutro plastco puto el pao se co uo o ue c, se co tre o uattro c valore u tegrale eto R raggo estero lato crcolare, puto ella polgoale P gacete su s S mometo statco V puto el pao apparteete alla polgoale P Z moulo plastco W moulo ressteza (,) sstema rermeto per ua sezoe (X,Y) sstema rermeto per ua sezoe composta (u,v) sstema rermeto prcpale per ua sezoe (U,V) sstema rermeto prcpale per ua sezoe composta