I sofismi di Zenone. I sofismi di Zenone

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1 I ofimi di Zeoe I ofimi di Zeoe I argometo: la dicotomia Co queto ofima Zeoe vuole dimotrare che il movimeto o eite. Secodo Zeoe i pretede, i cotrappoizioe a quato affermava Parmeide, che u corpo, muovedo da u puto di parteza, poa giugere ad u termie tabilito. Queto o è poibile i quato tale corpo, prima di raggiugere il termie tabilito, dovrebbe percorrere la metà della trada tabilita, e prima acora, la metà della metà e, poi, la metà della metà della metà, e coì di eguito all ifiito. Co tale uddiviioe o i perviee mai allo zero. Quidi il movimeto o eite. II argometo: Achille e la tartaruga Il ecodo argometo coite el fatto che il più leto o arà mai orpaato ella ua cora dal più veloce, perché l ieguitore deve empre prima arrivare al puto dal quale l ieguito i è appea moo, coicché il più leto deve empre trovari i poco più avati dell altro. III argometo: la freccia. La freccia che i muove è ferma. Col terzo argometo Zeoe dimotra che ua freccia coccata da u arco, che qualiai peroa di buo eo crede di eere i movimeto, i realtà è ferma. Queto gli coete di affermare che il moto o eite. Ua freccia laciata è i ogi mometo ello tato di ripoo o ello tato di o-ripoo, cioè i movimeto; e l itate è idiviibile, la freccia o i può muovere, altrimeti l itate potrebbe immediatamete divideri. Ora il tempo è fatto di itati; iccome la freccia o può muoveri i eu itate, o può muoveri mai. Ea reta empre i ripoo. IV argometo: lo tadio Col quarto argometo Zeoe dimotra che uo teo corpo percorre ello teo tempo e co la tea velocità pazi diveri. Queto gli coete di affermare che il moto o eite. Il quarto argometo, detto ache delle mae ello tadio, è cotro il movimeto. Si abbiao tre ate uguali ciacua delle quali è uddivia i quattro tacche uguali.

2 2 I ofimi di Zeoe L ata A ha le 4 tacche idicate co A, A2, A3, A4, B ha le 4 tacche idicate co B, B2, B3, B4, C ha le 4 tacche idicate co C, C2, C3, C4. L ata A è ferma, l ata B i muove vero detra, l ata C i muove vero iitra co la tea velocità dell ata B. La poizioe iiziale (fiale) è quella idicata ella figura (figura 2). Per paare dalla figura alla figura 2, le ate B e C impiegao lo teo tempo t. L ata B, ripetto all ata ferma A, i è potata di 2 tacche metre, ripetto all ata mobile C, i è potata di 4 tacche. Poiché le tacche oo tutte uguali, bioga ammettere che l ata B ha percoro ello teo tempo t due pazi uo doppio dell altro. Co parole divere poiamo dire che ello teo tempo t l ata B ripetto all ata A ha percoro due tacche, ripetto all ata C ha percoro 4 tacche. La cella B ripetto all ata ferma A i è potata di due celle e ripetto all ata mobile C i è potata di 4 celle. Il quarto ofima di Zeoe afferma che i uo tadio u puto mobile va ad ua certa velocità e imultaeamete al doppio di ea, a ecoda che ia riferito ad u puto fio o ad u puto che i muove i vero oppoto, geerado i tal modo l aurdo logico che la metà del tempo è uguale al uo doppio.

3 I ofimi di Zeoe 3 I celebri ofimi di Zeoe a difea della filoofia di Parmeide mirao a provare che, e la egazioe del movimeto e della molteplicità può a prima vita apparire aurda, l ammiioe di ea coduce ad aurdità acora più gravi, acote, ma o riolta, dal liguaggio ordiario. Il pero di tali argometi coite ella dimotrazioe che, ia ella ozioe di movimeto, ia i quella di pluralità, i aida il delicato cocetto di ifiito. Queti argometi ucitaroo preo i greci ua tale diffideza ei cofroti dell ifiito, da peruaderli a compiere qualuque forzo pur di ecludere tale cocetto da ogi eria cotruzioe cietifica. Il metodo di cui Zeoe i erve è, come otò Aritotele, quello della dialettica: la quale coite ell ammettere come vera l affermazioe dell avverario per ricavare deduzioi che la cofutao. Tale è il procedimeto di Zeoe che ammette come ipotei la molteplicità ed il movimeto per dimotrare l aurdità. I 4 ofimi di Zeoe oo 2 cotro la pluralità delle coe ed altri 2 cotro il movimeto. Si dice che ua gradezza variabile cotituice u ifiito poteziale quado, pur aumedo valori fiiti, ea può crecere al di là di ogi limite; e per eempio immagiiamo di uddividere u dato egmeto co ucceivi dimezzameti, il riultato otteuto arà u ifiito poteziale perché il umero delle parti a cui perveiamo, pur eedo i ogi cao fiito, può crecere ad arbitrio. Si parla di ifiito attuale quado ci i riferice ad u be determiato iieme, effettivamete cotituito di u umero illimitato di elemeti. Se per eempio immagiiamo di avere compoto u egmeto i tutti i uoi puti, ci troveremo di frote ad u ifiito attuale perché o eite eu umero fiito che rieca a miurare la totalità di queti puti.

4 4 I ofimi di Zeoe Le erie umeriche ed il ofima di Achille piè veloce e la tartaruga 0) La coperta dei umeri irrazioali portò all abbadoo dell immagie pitagorica dei puti fiici dipoti i fila. Ea fu otituita dal cocetto più ottile del cotiuo. Ogi retta è ifiitamete diviibile, cioè il umero dei puti i ea coteuto è ifiito. Il problema dell ifiito apriva alla cieza u modo uovo. Sul cocetto di <<ifiito>> iiziava ua battaglia dialettica che arebbe durata millei. 02) Pitagora aveva ipotizzato che lo pazio ed il tempo poteero eere cocepiti ripettivamete come omma di u umero (itero) fiito di puti e di itati. La coperta delle gradezze icommeurabili codue ad ammettere l ifiita uddiviibilità dello pazio e del tempo i termii di elemeti idiviibili. 03) Zeoe, co i uoi 4 ofimi, voleva evideziare che o i poteva accettare la cocezioe pitagorica della uddiviioe dello pazio e del tempo i u umero fiito di elemeti idiviibili, é la cocezioe pot pitagorica (come ad eempio quella di Euclide) ecodo la quale lo pazio ed il tempo pooo eere cocepiti come u iieme di ifiiti elemeti primordiali (idiviibili). I itei Zeoe riteeva che o era lecito riteere le gradezze pazio e tempo dicrete e emmeo cotiue. Zeoe, co i ofimi della <<dicotomia>> e di <<Achille piè veloce>> voleva dimotrare che e, ammettiamo l ifiita uddiviibilità del tempo e dello pazio, il movimeto è impoibile, metre i ofimi della <<freccia>> e dello <<tadio>> volevao dimotrare che il movimeto è ugualmete impoibile e ammettiamo il cotrario, cioè e ammettiamo la uddiviibilità dello pazio e del tempo mediate u umero fiito di elemeti idiviibili. 04) Noi oggi aalizzeremo, il eguete ofima di Zeoe, ia alla luce delle attuali cooceze della matematica, che ecodo il puto di vita del filoo eleatico. <<Achille piè veloce o può raggiugere la leta tartaruga>> Co queto curioo ofima Zeoe di Elea (viuto el 500 A.C.) embrava volere dimotrare l impoibilità del moto, ma i realtà voleva emplicemete dire che co l <<ifiito>> o poiamo operare co le couete regole applicate alle quatità fiite. Doveva acora acere il primo matematico che avrebbe ammeo e dimotrato che la omma di ifiiti termii, a determiate codizioi, può dare come riultato ua quatità fiita.

5 I ofimi di Zeoe 5 A 00m T 0m t A T m t A 2 t 2 T 2 m A 0 3 t 3 T 3 << Achille e la tartaruga oo ditaziati di u tratto 00m. Partoo cotemporaeamete, i muovoo co velocità cotate e la velocità di Achille è 0 volte quella della tartaruga. Dopo quato tempo Achille raggiugerà la tartaruga? e e la raggiugerà quale pazio avrà percoro?>> Secodo il ragioameto di Zeoe Achille o poteva raggiugere la tartaruga i quato oteeva che la omma di ifiiti termii o poteva dare ua quatità fiita. Secodo le otre attuali cooceze Achille raggiugerà la tartaruga i quato, a determiate codizioi, la omma di ifiiti termii può dare ua quatità fiita. Oervazioe prelimiare: v A 0 vt A T 0. Ragioameto di Zeoe: E logico ammettere che Achille, prima di raggiugere la tartaruga, debba percorrere i primi tartaruga, queta arà avazata del tratto tartaruga percorre il tratto 00 m. Quado Achille percorre il tratto 00m che lo epara dalla 0 2 0m, quado Achille percorre il tratto, la 0 m. Coì eguitado vediamo che Achille è cotretto a paare per ua erie ifiita di puti T, T2, T3, poti ripettivamete a 00 m, ( )m, ( )m da A eza raggiugere mai la tartaruga. La cocluioe di Zeoe di Elea era la eguete: <<il corridore più leto, la tartaruga, i troverà empre u poco più avati del corridore più veloce, Achille>>. Achille percorre il eguete tratto: Zeoe oteeva che la omma di ifiiti termii, ache piccoli, o può mai eere ua quatità fiita e quidi Achille o raggiugerà mai la tartaruga. Alla luce delle otre attuali cooceze oi diciamo che Achille raggiugerà la tartaruga dopo avere percoro il eguete tratto:

6 6 I ofimi di Zeoe Siamo i preeza di ua erie geometrica avete ragioe q < e primo termie a 0 0 Mi calcolo: q a q Lim Lim Achille raggiugerà la tartaruga dopo avere percoro il tratto: I tratti via via percori da Achille, per quato empre più piccoli, oo empre be determiati e fiiti. Vediamo coì che ua omma ifiita di ifiite quatità fiite o è eceariamete ifiita, o upera eceariamete, da u certo idice i poi, ogi umero per quato grade eo ia. Se le quatità che i uccedoo oo empre più piccole può accadere che il limite delle loro ucceive omme ia fiito. Dopo quato tempo Achille raggiugerà la tartaruga? m Suppoiamo che Achille i muova co ua velocità cotate v 0. t * tempo impiegato da Achille per raggiugere la tartaruga t * m + v t 00 t. v t* Si tratta di ua erie geometrica di ragioe q < e primo termie a 0 Ea coverge al 0 valore a S q 0 0 Il ofima di <<Achille piè veloce e la tartaruga >> è u ofima dell ifiito poteziale perché i eo o i fa mai ricoro ad u ifiito i atto (ifiito attuale): oo i gioco empre e oltato delle ucceioi, delle aggiute i umero empre crecete, illimitato. Il ofima viee pieamete chiarito ell ambito della teoria dei limiti, della covergeza o meo di ua ucceioe ad u limite, dall eere queto limite fiito o ifiito (cao delle erie divergeti).

7 I ofimi di Zeoe 7 La teoria dei limiti viluppata col maimo rigore dal matematico tedeco Karl Weiertra (85 87) e dalla ua cuola, elimia dal calcolo ifiiteimale ogi riferimeto agli ambigui <<ifiiteimi i atto>>. I u certo qual eo è la rivicita di Aritotele che ammetteva l eiteza olo degli ifiiteimi poteziali e degli ifiiti poteziali ma o ammetteva l eiteza dell ifiito attuale e dell ifiiteimo attuale. Sarao due allievi di Karl Weiertra, il liquidatore degli ifiiteimi e degli ifiiti i atto ella tecica della matematica, che riaprirao la pirale dialettica dell ifiito. Reitrodurrao l ifiito attuale, ma co il rigore della cuola alla quale i erao formati, eza più ambiguità, ocurità e miticimo. A mio parere Zeoe o voleva dimotrare l impoibilità del moto, ma ridurre all aurdo la tei dei pitagorici, che compoevao il cotiuo co atomi (puti) di dimeioe fiita. Nell ipotei pitagorica la omma di u umero crecete di egmeti, ache e decreceti, dovrebbe tedere comuque all ifiito, perché ciacuo coterrebbe u umero itero di atomi dotati di dimeioe (arebbe come fare la omma di ifiiti umeri iteri, che tede certamete all ifiito). <<Il primo paradoo dell ifiito attuale: ua parte può eere uguale al tutto>> Sofima matematico: dimotrazioe apparetemete rigoroa, che coduce ad u riultato paleemete aurdo. Sofima filoofico: ragioameto che, partedo da premee vere o veroimili e ripettado le regole del ragioameto, perviee ad ua cocluioe aurda. Sofimi toricamete importati oo i ofimi di Zeoe cotro il movimeto e la pluralità. Per Galileo Galilei il <<cotiuo>> era compoto da ifiite particelle <<idiviibili>>, prive di gradezza, ma o ulle. Il metodo degli idiviibili è di portata aai più limitata del metodo del paaggio al limite, el quale o i coiderao <<ifiiteimi i atto>> (gli INDIVISIBILI), ma <<ifiiteimi i poteza>> (i differeziali). Per Guldio, oppoitore di Torricelli e di Cavalieri, il cotiuo è diviibile all ifiito, ma o cota di ifiite parti i atto, le quali o pooo mai eere eaurite. Per Guldio il cotiuo è cotituito da ifiite parti i poteza (ifiito poteziale di matrice Aritotelica) Leibiz, ella ua teoria del calcolo ifiiteimale, aveva itrodotto le quatità empre più piccole, evaeceti, ma o ulle; aveva itrodotto gli ifiiteimi i atto, cioè gli ifiiteimi attuali. Queto aveva reo logicamete vulerabile la teoria di Leibiz.