Successioi ricorsive di umeri Getile Alessadro Laboratorio di matematica discreta A.A. 6/7 I queste pagie si voglioo predere i esame alcue tra le più famose successioi ricorsive, presetadoe alcue caratteristiche.. Itroduzioe Ua successioe si dice ricorsiva, o defiita i modo ricorsivo, quado il suo -esimo termie è calcolato come fuzioe di alcui dei precedeti, avedo posto delle codizioi iiziali per i primi termii: a f( a,..., a ) (dove o tutti i termii precedeti all -esimo soo ecessariamete argometo della fuzioe). Nelle relazioi ricorsive più semplici, l -esimo termie è calcolato come fuzioe del suo precedete: tali relazioi soo dette del prim ordie. Di queste si possoo dare molti semplici esempi, tra cui: - I umeri iteri co la codizioe iiziale a + a a - I fattoriali co! ( )!! - Le poteze, o più i geerale le successioi geometriche: - Le successioi aritmetiche: g p g g q
a c a a + d - I umeri triagolari, cioè le somme dei primi umeri aturali: T T + E a volte possibile, ache se o sempre facile, passare da ua relazioe ricorsiva ad ua formula diretta che calcoli l -esimo termie della successioe seza essere fuzioe dei precedeti; almeo egli esempi sopra elecati è immediato. Questo perché le successioi i esame erao del primo ordie: i geerale, ua relazioe ricorsiva è detta di ordie k quado ell espressioe per il calcolo dell -esimo termie compaioo i k termii precedeti. Nel cotesto delle successioi ricorsive, è d obbligo ache se u po scotato trattare dei famosi umeri di Fiboacci.. Numeri di Fiboacci La relazioe che dà i umeri di Fiboacci è del secodo ordie, e i primi due termii della successioe soo uguali ad. f f f f + f Il classico esempio co cui vegoo presetati questi umeri è quelli della riproduzioe dei coigli: spesso ifatti i atura si trovao feomei i cui compaioo dei termii della successioe di Fiboacci. Ache per questa successioe è possibile trovare ua formula diretta; questa cotiee ella sua espressioe la sezioe aurea, molto utilizzato come proporzioe ell arte a partire dagli atichi greci. Esso è il umero irrazioale φ 5+ e la formula diretta per l -esimo umero di Fiboacci è f φ φ 5 ( ) Se cosideriamo la sola relazioe di ricorreza, seza codizioi iiziali, si può osservare che essa può essere soddisfatta da diverse successioi, tra cui potrebbe esistere ua geometrica: la relazioe diveterebbe
f f + f e dividedo per f si ha l equazioe di secodo grado i f, f f le cui soluzioi soo proprio φ e φ. Essedo la relazioe lieare, ache ua combiazioe lieare di queste soluzioi sarà ua successioe che soddisfa la relazioe: φ φ + φ ( φ ) ( φ ) + ( φ ) ( ) ( ) ( ) Aφ + B φ Aφ + B φ + Aφ + B φ impoedo quidi a questo puto le codizioi iiziali sui coefficieti della combiazioe lieare si ha: f A B f A + B φ φ φ φ da cui risolvedo si ottiee A B 5 e quidi la formula diretta. Questa è l applicazioe di u metodo più geerale che permette di trovare ua formula diretta per successioi ricorsive lieari omogeee di ordie k. 3. Numeri di Catala Cosideriamo il seguete problema: dato u isieme su cui è defiita u operazioe o associativa, calcoliamo il risultato dell operazioe su oggetti di questo isieme: poiché o è associativa, tale risultato dipederà dala disposizioe delle paretesi. Quati soo i possibili risultati distiti? a ( a a3 ( a4 (...)...)...) a 3
Questo problema, detto problema delle paretesi, è equivalete a tati problemi di combiatoria, e la risposta è data dai umeri di catala. Deotato co C l -esimo umero di Catala, avremo C che sarao i risultati possibili. Ora troveremo ua formula ricorsiva che permetterà di calcolarli. Quado, o viee effettuato il prodotto, quidi il risultato è uico ed è il umero stesso. Per ache esiste chiaramete u solo risultato; abbiamo quidi come codizioi iiziali C C. Per arrivare a calcolare i successivi, cosideriamo il prodotto i questioe come prodotto di due termii, p e q, che siao rispettivamete i prodotti dei primi i termii e dei restati -i. Fissato i, abbiamo per ipotesi C i valori di p distiti: aalogamete per q avremo C i valori distiti. I totale quidi, il valori distiti che si ottegoo da questo prodotto soo Ci C i. Facedo ifie variare i tra ed - otteiamo il totale dei prodotti possibili, cioè l -esimo umero di Catala: C i C ic i Tale relazioe ricorsiva, che calcola l -esimo umero di Catala i fuzioe di tutti i suoi precedeti, è detta relazioe di Seger. Ora cosideriamo u problema equivalete al precedete, ma che ci porterà a trovare u espressioe diretta per il calcolo dei umeri di Catala. Cosideriamo di avere coppie (+,-) e di voler ordiare i termii a disposizioe co la codizioe che o ci siao somme parziali egative, cioè che per ogi k< la somma dei primi k addedi o sia egativa. L equivaleza col problema precedete si ha sostituedo i + co ( e i - co ), e la codizioe sulle somme parziali equivale a o chiudere paretesi che o siao acora state aperte. Immagiado di avere celle i cui disporre i termii a disposizioe, osservado che le tutte sequeze possibili (seza codizioe) dispoedo i tutti i modi possibili gli + i queste celle; il loro umero allora è quello delle combiazioi semplici di oggetti a a, quidi. Ora però da queste dobbiamo sfrodare quelle co somme parziali egative. Se ad ogi termie della sequeza associamo la rispettiva somma parziale, defiiamo co il termie eccedeza il umero di termii - a cui corrispoda ua somma parziale egativa. Se si percorre la sequeza e si arriva ad ua somma parziale egativa, si cotiua a seguirla fichè questa o tora a ; teedo fisso l ultimo + che ha riportato la somma parziale a, si scambiao la parte della sequeza precedete ad esso co quella successiva. Ora la parte che sta prima avrà la stessa eccedeza, metre dal + cosiderato fio alla fie avremo l eccedeza dimiuita di. Vediamo u esempio: + + + + Il quarto termie è il + che riporta la somma parziale da egativa a zero: allora scambiamo la sequeza dei tre precedeti co quella dei quattro successivi e otteiamo + + + + 4
Questo procedimeto è ivertibile: se si percorre la sequeza dall ultimo al primo, il primo termie + che riporta la somma parziale a verrà teuto fisso e si scambierao la sottosequeza precedete co quella successiva. Nell esempio precedete si ha + + + + e il termie cercato è il quito (il quarto dal fodo); effettuado lo scambio si ottee di uovo la sequeza di parteza, che ha eccedeza aumetata di : + + + + Abbiamo quidi costruito u procedimeto reversibile che se applicato ad ua sequeza la trasforma i u altra co eccedeza dimiuita di ; abbiamo come cosegueza che due diverse sequeze co uguale eccedeza o potrao essere otteute l ua dall altra mediate questa procedura. Detta S e T due sequeze, e F questo algoritmo, che può essere visto come fuzioe dell isieme di tali sequeze i sé stesso, si può defiire la relazioe di equivaleza S T : F ( S) T No stiamo a verificare che sia ua relazioe di equivaleza, si tratta di semplici cosiderazioi. Se suddividiamo l isieme di tutte le sequeze elle rispettive classi di equivaleza, è chiaro che per quato detto prima i ogi classe esiste ua e ua sola sequeza co eccedeza k per ogi k tra ed. I ogi classe avremo quidi + sequeze, ed esattamete ua co eccedeza. Ma avere eccedeza sigifica o avere somme parziali egative, quidi le sequeze cercate soo ua per classe. Il loro umero è uguale a quello delle classi, cioè la cardialità dell isieme delle sequeze divisa per la cardialità di ogi classe: + Se ifie ci ricoduciamo all equivaleza di questo problema co quello delle paretesi, vediamo che questa espressioe dà l (+)esimo umero di Catala. C + + 5
4. Numeri di Bell I combiatoria può essere utile cooscere il umero delle partizioi possibili di u isieme di cardialità fiita. Dato u isieme di cardialità, il umero delle partizioi possibili è B(), l -esimo umero di Bell. Procediamo a ricavare ua formula ricorsiva che geeri la successioe dei umeri di Bell. Itato osserviamo che B perché esiste ua sola partizioe di u isieme co u solo elemeto. Per u isieme U di ordie +, fissato u suo elemeto a, esiste uo e u solo isieme A di ua data partizioe che lo cotiee. Se A ha cardialità i+ è l uioe di { a} co u geerico sottoisieme di U \ { a}, di ha cardialità i; abbiamo quidi possibili scelte per A. Per ogua i di esse dobbiamo poi cosiderare le partizioi di U \ A, che sarao i umero B i. Facedo ifie variare i tra ed, si ottiee la formula cercata: B B + i i i Questa relazioe di ricorreza, detta formula di Aitke, coivolge tutti i umeri di Bell precedeti a quello che si vuole calcolare, perciò come la relazioe di Seger per i umeri di Catala ha ordie o fiito. U altra espressioe per calcolare i umeri di Bell fa uso dei umeri di Stirlig di secoda specie; questi ultimi soo defiiti come S(,k) umero delle partizioi di u isieme di ordie i k sottoisiemi. Da tale defiizioe è aturale cocludere che B S(, k) k Questa formula o è chiaramete ricorsiva sui B i, e la sua coveieza dipede da come vegoo calcolati i umeri di Stirlig. U ulteriore metodo per ricavare i umeri di Bell cosiste ella costruzioe di u triagolo i cui essi compaioo, similmete a come si costruisce il triagolo di Pascal per otteere i coefficieti biomiali. Si segue la seguete procedura: si iizia scrivedo ed u altro ella riga sotto, e alla sua destra si scrive la somma del umero alla sua siistra e i alto a siistra: + La riga successiva si otterrà poedo come primo elemeto l ultimo della riga precedete: 6
Dopodichè si cotiua co la costruzioe. Formalmete si può vedere il triagolo come ua matrice triagolare iferiore ifiita costruita secodo le regole: a a,, a a + a < j i i, j i, j i, j a a >,, ( a i, j ) che per le prime righe dà 3 5 5 7 5 5 7 37 5 5 67 87 4 5 3 3 55 3 49 53 674 877 877..................... e sulla prima coloa e sulla diagoale si ritrova la sequeza dei umeri di Bell. Ache per i umeri di Bell è possibile trovare ua forma diretta: si può ifatti dimostrare che possoo essere espressi come serie B k e k! k L espressioe data è detta formula di Dobiskj. 7
5. Numeri di Beroulli Si è i precedeza parlato di umeri triagolari: l -esimo umero triagolare è pari alla somma dei primi umeri aturali. Soo stati presetati i forma ricorsiva, ma o è difficile perveire alla forma esplicita per calcolarli: T i i ( + ) Spigedoci u po più i là, possiamo chiederci quale sia la somma dei quadrati dei primi umeri aturali: co qualche calcolo si arriva all espressioe i i ( + )( + ) 6 Ifie, voledo geeralizzare, ci si può chiedere se esista ua formula che ci permetta di calcolare la somma delle poteze k-esime dei primi umeri aturali; è qui che etrao i gioco i umeri di Beroulli. Joha Faulhaber, matematico di fie XVI secolo, si occupò di questo problema e arrivò a trovare formule per le somme di poteze geeriche, la cui espressioe geerale è i k k k k + k + + + 6 3 3 4 k k k k k 3 k 4 i... Molto simile allo sviluppo del biomio, trae che per dei particolari coefficieti che moltiplicao gli addedi. Jacob Beroulli approfodì il lavoro di Faulhaber e studiò questi coefficieti, che apputo presero poi il ome di umeri di Beroulli. I primi umeri della sequeza soo 3 B B B B 6 4 5 6 7 B B B B 3 4 8 9 5 B B B 3 66 Abbiamo itrodotto ua otazioe che ci permette di scrivere le formule i modo più compatto: ivece dell idice i basso, scriviamo l idice i alto come poteza simbolica, co la covezioe che B elevato alla sia l -esimo umero di Beroulli. Trattiamo quidi i umeri di Beroulli come se fossero poteze di B (il quale di per sé o ha sigificato), ache se è chiaro che è solo ua questioe di otazioe. 8
Per esempio 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 (x + B) x B + x B + xb + B x + x + x + Detto questo, facciamo uso di questa otazioe per scrivere la formula di Faulhaber per ogi aturale e per ogi poteza k: i i k ( ) k k + B B k Vediamo u esempio: vogliamo calcolare quato vale la somma delle seste poteze dei primi umeri aturali: ( ) 7 7 + 6 6 6 B B + +... + 7 7 6 7 5 7 4 3 7 3 4 7 5 6 + 7 B + B B B B 7 B + + + + 3 4 5 7 7 7 6 7 5 7 3 + + + 6 6 7.... 4 79 749 5 Quidi questi umeri di Beroulli hao qualche proprietà iteressate. Ma come si trovao? Essedo stati trattati qui, esiste u espressioe ricorsiva per calcolarli. Ache questo è u caso di relazioe ricorsiva di ordie o fiito: posto B, i successivi si calcolao sviluppado la relazioe ( ) k k B B dalla quale oti i primi k- si ricava il (k-)-esimo umero di Beroulli. Come esempio calcoliamo il quarto umero di Beroulli: (B ) B 5 5 5 4 3 5 B 5B + B B + 5B B 4 5 4 5B + B 6 6 3 9
La relazioe ricorsiva usata o vale per k: ifatti (B ) metre B. Questo o ci crea problemi, dato che B è per defiizioe uguale a. Azi, questo fatto può portare a ricavare la formula di Faulhaber a partire dalla relazioe di ricorsioe. Vediamo come. Sviluppiamo e ache k + B + kb + B +... ( ) k k k k k k k k k k ( + B) + B + k B + B +.. ( ) ( ) ( ) Possiamo osservare che il primo termie è uguale ei due sviluppi, e ache i termii a partire dal terzo i virtù della relazioe di ricorsioe. Il secodo ivece differisce per il sego: sottraedo i due primi membri arriviamo a aalogamete si avrà ( ) ( ) k k k + B + B k. fio a k k ( + ) ( + ) ( ) B B k k k k k ( + B) B k sommado ad etrambi i membri queste uguagliaze, a primo membro si semplificao tutti i termii itermedi, e si arriva a ( ) k k k B B k(... k + + + + ) e dividedo per k si ottiee la formula di Faulhaber. 6. Riferimeti - J. Coway, Il libro dei umeri; - D. Romagoli, Elemeti di matematica discreta, quadero didattico #3 Dipartimeto di matematica di torio; - G.C.Rota, Number of partitios of a set, America Mathematical Mothly, 7 vol 5; - http://e.wikipedia.org